Rectas en El Espacio Tridimensional

RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL:

Nuestro gráfico muestra una recta con dos características:

1. Pasa por un punto conocido P0 (este punto llamado punto de paso)2. Tiene una dirección conocida, que está determinada por un vector u⃗ (llamado vector

dirección)

Observación:

Tener en cuenta que cuando el vector u⃗ tome el sentido contrario a la recta no cambia de dirección.

Por lo tanto para definir una recta es suficiente conocer un punto, llamado punto de paso, y un vector llamado vector dirección.

ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL:

La Recta que pasa por el punto P0 en la dirección de un vector u⃗ tiene por ecuación:

l : p=p0+t u⃗0

Donde:l, es la notación de la recta.p, es un punto cualquiera de la rectap0, es un punto conocido por donde pasa la rectat , es un parámetro que puede tomar cualquier valor.u⃗0, es el vector dirección de la recta.

P0

P0

u⃗P1

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta l, que pasa por el punto p0=(2 ;6 ;−1) y tiene por dirección

el vector u⃗0=(2 ;−1;5)

Solución:

Grafica:

Sabemos que l : p=p0+t u⃗0

Entonces:

l : p=(2 ;6 ;−1 )+ t (2;−1 ;5 ) Ecuacion Parametricade la Rectaen R3

P0=(2 ;6 ;−1)

Y

X

Z

u⃗0=(2 ;−1;5)

Ejemplo 2:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0=(1 ;5;6) y tiene por dirección el vector

u⃗=(5 ;−2;−3)

Solución:

Realizando la grafica del punto P0 y u⃗

Luego:


Entonces:

l : p=(1 ;5;6 )+t (5 ;−2;−3 ) Ec . Rectaenel EspacioTridimensional

Y

X

Z

P0=(1 ;5;6)

u⃗0=(5 ;−2;−3)

Ejemplo 3:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0=(2 ;3 ;4) y tiene por dirección el vector

u⃗=(3 ;5 ;−2)

Solución:


Sabemos que la Ecuación Paramétrica de la Recta es:

l : p=p0+t u⃗0

Entonces:

l : p=(2 ;3 ;4 )+ t (3 ;5;−2 )

P0=(2 ;3 ;4)

u⃗=(3 ;5 ;−2)

l

Ejemplo 4:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0=(−3 ;2 ;−4) y tiene por dirección el

vector u⃗=(2 ;5 ;7)

Solución:


Luego:


Entonces:

l : p=(−3 ;2 ;−4 )+t (2;5 ;7 ) Ec . Recta(Forma Parametrica)enel EspacioTridimensional

Nota: La Ecuación Mostrada es la llamada Ecuación FORMA PARAMETRICA.

Z

Y

u⃗0=(2 ;5 ;7)

Ecuación de la Recta en su forma cartesiana

Presentar la ecuación de la Recta en FORMA CARTESIANA en el plano tridimensional significa seguir operando la Ecuación de la Recta de su forma paramétrica; continuemos desarrollando la Ecuación de la Recta (forma paramétrica), para llegar a la Forma Cartesiana; así:

l :x−a

n= y−b

m= z−c

p

el punto “ p” es un punto cualquiera de la recta y que tiene como coordenadas a x ; y ; z

Ejemplo de las Ecuación de la Recta de la forma Paramétrica a Cartesiana.

p=(x ; y ; z ) ; en la Ecuación del Ejemplo 2 tenemos:

l : p=(1 ;5;6 )+t (5 ;−2;−3 )

¿=¿ l : ( x ; y ; z )= (1 ;5 ;6 )+t (5 ;−2;−3)

¿=¿ l : ( x ; y ; z )= (1 ;5 ;6 )+(5 t ;−2t ;−3 t)

¿=¿ l : ( x ; y ; z )= (1+5 t ;5−2 t ;6−3 t )

Enfrentando componente por componente; tenemos:

x=1+5 t …… Ec .1

y=5−2 t …… Ec .2

z=6−3 t …… Ec .3

Ahora debemos trabajar cada ecuación y despejar el parámetro t.

En la Ec. 1, tenemos:

x=1+5 t=¿>t= x−15


y=5−2 t=¿>t=5− y2

=− y+52


z=6−3 t=¿>t=6−z3

Luego igualamos los resultados del parámetro “t”; así:

x−15

=5− y2

=6−z3

Debemos de tener en cuenta que se debe factorizar el signo en (5− y )=−( y−5 )∧ (6−z )=−(z−6)

La presentación de la Ecuación de la Recta en su forma Cartesiana queda así:

x−15

=−( y+5)

2=

−(z−6)3

x−15

=− y−52

=−z−63

Respuesta Final

Ejemplo:Si l : p=(2 ;3 ;4 )+ t (3 ;5;−2 ), hallar la Ecuación Cartesiana de la Recta.Solución:Sabemos que “ p” es un punto cualquiera en R3, lo cual podemos denotar como p : ( x ; y ; z ); entonces…

l : ( x ; y ; z )=(2 ;3 ; 4 )+t (3;5 ;−2 )

¿=¿ l : ( x ; y ; z )= (2;3 ;4 )+(3 t ;5 t ;−2 t )

Ahora sumemos componente con componentes:

¿=¿ l : ( x ; y ; z )= (2+3t ;3+5 t ;4−2 t )

Ahora iguales componente con componentes y formemos un sistema de ecuaciones:

x=2+3 t=¿> t= x−23

y=3+5t=¿>t= y−35

z=4−2t=¿> t=4−z2

Igualando los valores “ t ”; tenemos:

x−23

= y−35

=−z−42

Ejemplo Sencillo:

Hallar la ecuación cartesiana de la recta, sabiendo que p0 : (−4 ;2;−1 ) y el vector dirección

u⃗ : (6 ;−3 ;7 )

Solución:

x+46

=− y−23

= z+17

Respuesta …

Ejemplo sencillo:

Sabiendo que la ecuación cartesiana de la recta es:

x−23

= y−84

=z+4

Hallar la ecuación paramétrica de la recta y su gráfica.

Solución:

De la ecuación cartesiana de la recta, obtenemos los valores de p0 : (2 ;8;−4 ) y u⃗ : (3 ;4 ;1 )

Entonces la Ecuación paramétrica de la recta está indicado por:

l : p=p0+t u⃗0

l : p=(2 ;8 ;−4 )+t (3 ;4 ;1 ) Respuesta …

Ejemplo de las Ecuación de la Recta de la forma Cartesiana a Paramétrica.

Sea la ecuación cartesiana:

( x−1 )−1

= y−24

= z−32

Podemos indicar que los denominadores de estas fracciones representan las coordenadas del vector dirección.

Es Decir

Según esto:

El Vector Dirección, tiene como componentes:

( x−1 )−1

= y−24

= z−32

u⃗=(−1 , 4 , 2 )

En los numeradores encontramos las variables que representan las coordenadas del punto de paso ( p0). Estos números salen con signo cambiado.

Los valores son: 1,2,3 y estos formarían el punto de paso p0=(1 , 2, 3)

Ahora como tenemos las coordenadas del vector u⃗=(−1 , 4 , 2 )

Podemos hallar la ecuación paramétrica

l : p=(1 ;2;3 )+ t (−1; 4 ;2 ) Ec . Parametrica de la Recta

Ejemplo:

Sea la ecuación cartesiana:

l :x+2

3= y−4

2= z+5

6

Observando la ecuación de la recta podemos indicar que las coordenadas del punto de paso p0 se

encuentran en el numerador pero con signo cambiado es decir… p0(−2 ,4 ,−5) y las coordenadas del vector u⃗ lo encontramos en el denominador de la ecuación de la recta, es decir:

u⃗=(3 ,2 , 6 )

Teniendo como dato las coordenadas del p0 y u⃗ podemos indicar la Ecuación Paramétrica de la Recta

l : p=(−2 ;4 ;−5 )+t (3;2 ;6 ) Ec . Parametrica de la Recta

( x−1 )−1

= y−24

= z−32

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

d ( R ,l )=‖( R−p0 )× u⃗‖

‖u⃗‖

d ( R ,l )=‖( (5 ,2 ,1 )−(2 , 5 ,3)) ×(8 ,6 ;7)‖

‖(8 , 6 ;7)‖

¿=¿d (R ,l )=‖(3 ,−3 ,−2 )×(8 ,6 ;7)‖

‖(8 ,6 ;7)‖

‖(3 ,−3 ,−2 ) × (8 , 6 ;7 )‖=¿

Hallando la primera componente:

|−3 −26 7 |=−21+12=9

Hallando la segunda componente:

|3 −28 7 |=21+16=37

Hallando la tercera componente:

|3 −38 6 |=18+24=42

R(5 , 2 , 1)

l1: P=(2 ,5 ,3 )+t (8 , 6 ;7)

Entonces la d ( R ,l )

¿=¿d (R ,l )=‖(9 ,37 ,42 )‖‖(8 ,6 ;7)‖

¿=¿d (R ,l )=√92+372+422

√82+62+72=√3214

√149=√ 3214

149=√21.5704≅ 4.64u

d ( R ,l )≅ 4.64u

Ejemplo:

Hallar la distancia del punto Q : (−2 ;4 ;3 ) a la recta l , sabiendo que la ecuación paramétrica de la recta l : p=(3 ;−6 ;2 )+ t (−4 ;4 ;−5 )

Solución:Sabemos que:

d (Q ,l )=‖(Q−p0 ) ×u⃗‖

‖u⃗‖Entonces:

d (Q ,l )=‖( (−2 ;4 ;3 )−(3 ;−6 ;2 ) )× (−4 ; 4 ;−5 )‖

‖(−4 ; 4 ;−5 )‖

¿=¿d (Q , l )=‖(−5 ;10 ;1 ) × (−4 ;4 ;−5 )‖

‖(−4 ;4 ;−5 )‖

Hallando el producto vectorial de (−5 ;10 ;1 )× (−4 ; 4 ;−5 )=( x ; y ; z )

¿=¿ ( x ; y ; z )=(−54 ;29 ;20 )

Entonces:

¿=¿d (Q , l )=‖(−54 ;29;20 )‖‖(−4 ;4 ;−5 )‖

¿=¿d (Q , l )=√ (−54 )2+(29 )2+(20 )2

√ (−4 )2+(4 )2+(−5 )2=√2916+841+400

√16+16+25=√4157

√57=√ 4157

57

¿=¿d (Q , l )=√72.927≅ 8.53 u

∴d (Q , l )≅ 8.53u Respuesta …

RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES:

Consideremos dos rectas L1={ p0+t u⃗ t . q . t∈R } y L2={q0+r v⃗ t .q .r∈R }. La recta L1 y la

recta L2 son paralelas si y solo si sus vectores direcciones son paralelos. Es decir:

L1∥L2 ↔u⃗∥ v⃗

La recta L1 y la recta L2 son ortogonales si y solo si sus vectores direcciones son ortogonales, es decir:

L1⊥ L2↔ u⃗⊥ v⃗

Si L1 y L2 son paralelos ( L1∥L2 ), entonces L1=L2∨ L1∩ L2=∅

Si L1 y L2 no son paralelos ( L1∦ L2 ), entonces L1≠ L2(las rectas secruzan)∨ L1∩ L2=p

( pes un punto en el espacio)

ANGULO ENTRE DOS RECTAS:

Consideremos la ecuación de dos rectas L1={ p0+t u⃗ t . q . t∈R } y L2={q0+r v⃗ t .q .r∈R }.

Entonces el ángulo entre las rectas L1 y L2 se define como el ángulo formado por sus vectores direcciones u⃗ y v⃗ , es decir:

∡ ( L1 , L2 )=∡ (u⃗ , v⃗ )=θ; el cual podemos expresarlo por la siguiente relación:

Cosθ= u⃗ . v⃗‖u⃗‖×‖v⃗‖

;0 ≤ θ ≤ π

DISTANCIA MINIMA ENTRE DOS RECTAS:

Si L1={ p0+t u⃗ t . q . t∈R } y L2={q0+r v⃗ t .q .r∈R }. Son dos rectas no paralelas, entonces la

distancia mínima entre las rectas L1 y L2, lo denotaremos por d ( L1 , L2 ) y es definido como la

perpendicular común a ambas rectas.

Si las rectas L1 y L2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que contienen a las rectas L1 y L2 respectivamente.

L1

u⃗

π1

po

Si d es la distancia entre los planos π1 y π2 donde N⃗ es la normal del plano π2; por lo tanto N⃗ es

ortogonal a los vectores u⃗ y v⃗=¿> N⃗=u⃗× v⃗

Por otro lado el vector unitario está en la dirección de la normal (N⃗ )

a⃗= N⃗

‖N⃗‖

Ahora:

Cosθ= a⃗ ∙ p⃗q‖a⃗‖∙‖p⃗q‖

De donde

a⃗ ∙ p⃗q=‖p⃗q‖.Cosθ ………(1)

Observamos que tenemos el triángulo OPQ.

d=‖p⃗q‖. Cosθ ………(2)

De donde al comparar la (1) y (2) tenemos:

d ( L1 , L2 )=‖a⃗ ∙ p⃗q‖

Ejemplos: Angulo de dos rectas:

Hallar el ángulo de las rectas sabiendo que: l1={(3 ;−6 ;2 )+t (−4 ;4 ;−5 )t .q t∈R }

l2= {(2 , 5 , 3 )+r (8 ,6 ;7 )t . q . r∈ R }

Solución:Sabemos que

Cosθ= u⃗ . v⃗‖u⃗‖×‖v⃗‖

;0 ≤ θ ≤ π

Entonces:

Cosθ=(−4 ;4 ;−5 ) ∙ (8 , 6 ;7 )

‖(−4 ; 4 ;−5 )‖.‖(8 , 6 ;7 )‖=

(−4 ) (8 )+( 4 ) (6 )+ (−5 ) (7 )

√(−4 )2+( 4 )2+(−5 )2 √ (8 )2+(6 )2+(7 )2

L2v⃗

N⃗a⃗

θ

d

π2q

¿ −32+24−35

√16+16+25√64+36+49= −43

√57√149= −43

√8493≅ −43

92.15

Cosθ≅−0.46

∴θ=arccos (−0.46 )≅ 117.81° Respuesta …

PLANO EN EL ESPACIO EUCLIDEANO:

Ecuación general de un plano

π :a x+b y+c z+d=0

n⃗: Vector normal del plano.

Sabemos que π :a x+b y+c z+d=0

Cuyas coordenadas del vector normal

n⃗(a , b , c)

Presentamos el siguiente grafico:

n⃗ ∙ u⃗=0

n⃗

u⃗

n⃗

u⃗

Ejemplo:

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto:

p0 (−1;3 ;7 ) y cuyo vector normal n⃗(5;2 ;1)

Solución:

Reemplazando valores tenemos en π :a x+b y+c z+d=0

Tenemos que π :5 x+2 y+z+d=0

Reemplazando valores del punto p0 en π :5 x+2 y+z+d=0

Tenemos que:

π :5 (−1 )+2 (3 )+7+d=0 Realizando la operación tenemos que d=−8

Luego la ecuación del plano es:

π :5 x+2 y+z−8=0

Ejemplo:

Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto:

p0 (3 ;−5 ; 4 ) y cuyo vector normal n⃗(−2;6 ;3)

Solución:

Sabemos que la ecuación del plano es:

π :a x+b y+c z+d=0

Reemplazando los valores del vector normal en la ecuación del plano:

π :−2 x+6 y+3 z+d=0

Para hallar el valor de d utilizamos las coordenadas del p0= (3;−5 ;4 ); pues al ser punto por donde pasa el plano; este punto satisface la ecuación del plano, entonces:

π :−2(3)+6 (−5)+3(4)+d=0

¿=¿−6−30+12+d=0=¿>d=24

∴ La ecuación del plano es: π :−2 x+6 y+3 z+24=0 Respuesta …

Ecuación Paramétrica del plano:

Consideremos la siguiente ecuación del plano:

π '= {p0+r u⃗+ t v⃗ /r ,t∈ R }

Si P∈π entonces P=p0+r u⃗+ t v⃗ ; para todo r , t∈R ; reemplazando sus componentes tenemos:

( x , y , z )=( x0 , y0 , z0 )+r (u1 ,u2 , u3 )+t (v1 , v2 , v3 )

( x , y , z )=( x0 , y0 , z0 )+(r u1 , ru2 , r u3 )+(t v1 , t v2 , t v3)

( x , y , z )=( x0+r u1+t v1, y0+r u2+t v2, z0+ru3+ t v3 )

De donde en esta igualdad enfrentado componente con componentes tenemos:

π ' :{x=x0+r u1+t v1

y= y0+ru2+t v2

z=z0+r u3+t v3

;r ,t∈ R

Esto es la ecuación paramétrica del Plano

Planos Paralelos y Ortogonales:

Consideremos dos planos π1 y π2 cada uno con respectiva ecuación general.

π1: a1 x+b1 y+c1 z+d1=0 y π2: a2 x+b2 y+c2 z+d2=0; donde sus vectores normales son

n⃗1 (a1;b1 ;c1 ) y n⃗2 (a2;b2;c2 ) respectivamente.

Primer Caso

n⃗1 n⃗2

u⃗1 u⃗2

π1 π2

Segundo Caso

El plano π1 es paralelo al plano π2 si y solo si sus vectores normales n⃗1 y n⃗2 son paralelos, es decir:

π1 ∕ / π2<¿=¿ n⃗1 ∕ ∕ n⃗2

Si n⃗1 ∕ ∕ n⃗2 ¿=¿∃r∈R t .q . n⃗1=r ∙ n⃗2, esto quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos debe ser proporcionales, ósea debe cumplirse:

a1

a2

=b1

b2

=c1

c2

=r

π1

n⃗1

π2

n⃗2

u1

u2

Por ejemplo:

Los planos: π1:3 x+5 y−7 z+2=0∧π 2:6 x+10 y−14 z+5=0 estos dos planos son paralelos porque:

36= 5

10= −7

−14=1

2=r

Si los planos π1 y π2 son paralelos puede ocurrir que:

π1=π2∨π 1∩ π2=∅ ; es decir:

π1 ∕ / π2<¿=¿π 1=π 2∨π1 ∩ π2=∅ ;

Los planos π1: a1 x+b1 y+c1 z+d1=0 y π2: a2 x+b2 y+c2 z+d2=0; son ortogonales si sus

vectores normales n⃗1 (a1;b1 ;c1 ) y n⃗2 (a2;b2;c2 ) son ortogonales, es decir:

π1⊥ π2<¿=¿>n⃗1⊥ n⃗2

n⃗1⊥ n⃗2=¿> n⃗1 ∙ n⃗2=0=¿> (a1 , b1 , c1 ) ∙ ( a2 , b2 , c2 )=a1 a2+b1b2+c1 c2=0

Por lo tanto:

π1⊥ π2<¿=¿>a1 a2+b1b2+c1c2=0

π1

π2

n⃗2

n⃗1

Es decir: el plano π1⊥ π2 si y solo si el producto punto (producto escalar) de sus vectores normales es igual a CERO.

INTERSECCION DE PLANOS:

Consideremos dos planos: π1: a1 x+b1 y+c1 z+d1=0 y π2: a2 x+b2 y+c2 z+d2=0 No paralelos, que al intersectarlos nos da una recta L.

Esto quiere decir:π1 no paralelo a π 2=¿>∃L t . q . π1∩ π2=L

La recta L de intersección de los planos, se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos π1 y π2

Ejemplo:Hallar la recta de intersección de los planos:π1:3 x+ y−2 z=5 ; π2: x+2 y+z+5=0

Solución:

{3x+ y−2 z=5 …..(1)x+2 y+z=−5….(2)

−6 x−2 y+4 z=−10

−5 x+5 z=−15=¿> x−z=3

Luego: x=0=¿>z=−3

x+2 y+z=−5=¿>0+2 y−3=−5=¿>2 y=−2=¿> y=−1

A la Ecuación (2) lo multiplicamos por 2

2 × [ x+2 y+z=−5 ]=¿>¿2 x+4 y+2 z=−10 … …… (β )

Sumamos miembro a miembro (1)+ ( β )

3 x+ y−2 z=5

π1

π2

L

2 x+4 y+2 z=−10

x+ y=−1 … ..(α )Luego:Para x=0 , y=−1, z=−3=¿> p0(0 ,−1 ,−3)

Como x+ y=−1=¿> y=−x−1

De la Ec (2) tenemos:z=−5−x−2 y; reemplazando el valor de y , ¿=¿>z=−5−x−2 (−x−1 )=−5−x+2 x+2

¿=¿ z=x−3

Sea ( x , y , z )∈ L=¿>( x , y , z )=( x ,−x−1 , x−3 )=(0 ,−1 ,−3 )+ x (1,−1 ,1)

( x ,−x−1 , x−3 )= (0 ,−1 ,−3 )+ (x ,−x , x )=(0 ,−1 ,−3 )+x (1 ,−1 ,1 )

∴L={(0 ,−1 ,−3 )+t (1 ,−1 , 1 )t . q .t ∈R }

Luego la Ecuación cartesiana de la recta L

L : x=−( y−1 )=z+3

L :x1=

−( y−1 )1

= z+31

Observación:

A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos, puede expresarse de la siguiente forma:

L :{a1 x+b1 y+c1 z+d1=0a2 x+b2 y+c2 z+d2=0

A esta ecuación lo conocemos con el nombre de ecuación biplanar de la recta.

¿=¿>5 x+5 y=−5 ;simplificando

INTERSECCIÓN ENTRE LA RECTA Y PLANO

Consideremos la ecuación del plano: π :a x+b y+c z+d=0 y consideremos la ecuación de una recta l : p=p0+t u⃗0t .q .t∈ R

Si l y π no son paralelos entonces al intersectarse no dá un punto Q, es decir l ∩π={Q }

Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta l yel plano π

Si l ∕ /π=¿=¿ l⊂ π∨ l∩ π=∅

Ejemplo:

Hallar el punto de intersección de la recta l :x+2

3= y

−1= z−4

2 y el plano π :2 x+3 y−z+11=0

Solución:Como l esno paraleloa π=¿>∃Q tal que Q∈ l∧π

Si Q∈l∧π=¿=¿Q∈l∧Q∈ π

Como Q∈l=¿>Q(−2+3 t ;−t ; 4+2 t) donde:

l= {(−2;0 ; 4 )+t (3;−1 ;2 )tal que t∈R }

Además Q∈π=¿>2 (−2+3 t )+3 (−t )−( 4+2 t )+11=0=¿>t=−3

Luego Q(−11;3 ;−2)

l

Qπ

l

Q

π

l :x+2

3= y

−1= z−4

2…… Ecuacioncartesiana de larecta enR3

Entonces la Ec. Paramétrica:

l :q=po+t u⃗

p0 (−2 ;0 ;4 )∧ u⃗ (3 ;−1;2 )

¿=¿>q=(−2 ;0 ;4 )+t (3 ;−1;2 )

q=(−2 ;0 ;4 )+(3 t ;−t ;2 t )=¿>q=(−2+3 t ;−t ; 4+2 t )

Ejemplo 2:

Hallar el punto de intersección de la recta l :x−5

2= y+2

4= z+3

5 y el plano

π :3 x−5 y+2 z+8=0Solución:Como l esno paraleloa π=¿>∃P tal que P∈ l∧π

Si P∈l∧π=¿=¿ P∈ l∧ P∈ π

Como P∈l=¿>p=p0+t u⃗=¿=¿ p=(5 ;−2;−3 )+t (2; 4 ;5 )

p= (5 ;−2 ;−3 )+ (2t ;4 t ;5 t )=¿> P=(5+2 t ;−2+4 t ;−3+5 t )

Ahora debemos hallar el valor del parámetro t y para ello utilizaremos la ecuación del plano π , pues al ser t un punto que pertenece al plano, el valor de t satisface la ecuación del plano π

Sabemos que: π :3 (5+2t )−5 (−2+4 t )+2 (−3+5 t )+8=0

15+6 t +10−20 t−6−10 t=0=¿>19−24 t=0=¿>t=1924

Una vez hallado el valor de t ; procedemos a reemplazar el valor de t en el punto P

P=(5+2( 1924 );−2+4( 19

24 );−3+5( 1924 ))

P=( 163

;76

;2324 )

FAMILIA DE PLANOS:

Una familia de planos es el sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos cuyas ecuaciones se expresan:

{π 1:a1 x+b1 y+c1 z+d1=0π 2:a2 x+b2 y+c2 z+d2=0

……………….(1)

Los puntos P(x , y , z) que satisfacen a las ecuaciones anteriores, están sobre la recta de intersección, dichos puntos P(x , y , z); también satisfacen la ecuación:

k 1 (a1 x+b1 y+c1 z+d1 )+k 2 ( a2 x+b2 y+c2 z+d2 )=0………… ..(2)

Donde k 1 y k2 son números reales cualesquiera, excepto que si en la ecuación (2) se tiene que k 1≠ 0, entonces a la ecuación (2) podemos expresarlo de la forma siguiente:

a1 x+b1 y+c1 z+d1+k (a2 x+b2 y+c2 z+d2 )=0…… ..(3)

Y la ecuación (3) lo denominamos Familia de Planos que pasa por la intersección de los planos π1 y π2

Ejemplo:

Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos

{ π 1:2 x− y−z+8=0π 2: x+6 y−2 z−7=0

Y por el punto (1 ;−2 ;2 )

Solución:

Por medio de la familia de planos tenemos:

π :2 x− y−z+8+k ( x+6 y−2 z−7 )=0…… ..(α )

Como (1 ;−2 ;2 )∈π=¿>2 (1 )+2−2+8+k ( 1+6 (−2 )−2 (2 )−7 )=0

10−22 k=0=¿>k=1022

=¿>k= 511

Reemplazando el valor de k en la ecuación (α )

2 x− y−z+8+ 511

( x+6 y−2 z−7 )=0

¿=¿2 x− y−z+8+ 511

x+ 3011

y−1011

z−3511

=0

¿=¿ 2711

x+ 1911

y−2111

z+ 5311

=0

π :27 x+19 y−21 z+53=0Respuesta .

Trabajo: Averiguar sobre Ecuaciones Incompletas del plano.

Distancia de un Punto a un Plano:

Consideremos la ecuación general del un plano:

π :a x+b y+c z+d=0y un punto P1 ( x1 ; y1; z1 ) que no pertenece al plano

Consideremos el vector unitario en la dirección del vector n⃗ es decir:

u⃗n=n⃗

‖n⃗‖= 1

√a2+b2+c2(a ;b ;c )

De nuestra grafica tenemos que:

P⃗0 P1 ∙u⃗n=|⃗P0 P1||u⃗n|=¿>Cosθ=¿> P⃗0 P1 ∙ u⃗n=|⃗P0 P1|cosθ de donde al efectuar las

operaciones tenemos:

a ( x1−x2 )+b ( y1− y2 )+c ( z1−z2 )√a2+b2+c2

=|⃗P0 P1|.Cosθ …………… ………… ..(1)

P1 ( x1 ; y1; z1 )

P0 ( x0; y0 ; z0 )

u⃗n

n⃗ (a ;b ; c )

Q

π

d

θ

En el triangulo rectángulo tenemos:

d=|⃗P0 P1|. Cosθ ……….(2)

Por lo tanto de la (1) y (2) tenemos:

d ( P1; π )=|a x1+b y1+c z1+d|

√a2+b2+c2

Observación:

Dados los planos paralelos π1: a x+b y+c z+d1=0 y π2: a x2+b y2+c z2+d2=0 ;la distancia entre dichos planos, está indicado por la siguiente fórmula:

d ( π1; π2 )=|d1−d2|

√a2+b2+c2

ANGULO ENTRE LA RECTA Y EL PLANO:

Consideremos las ecuaciones de una recta en su forma paramétrica L : p=p0+t u⃗ t .q .t∈ R y un

plano π :a x+b y+c z+d=0 , connormal n⃗=(a ;b ;c )

El ángulo entre los vectores a⃗ y n⃗ está definido de la siguiente manera:

cosθ= n⃗ ∙a⃗‖n⃗‖∙‖a⃗‖

Además se tiene que α=π2−θ; de donde

θα

a⃗

Ln⃗

π

Senα=Sen( π2−θ)=Cosθ= n⃗∙ a⃗

‖n⃗‖∙‖a⃗‖

Por lo tanto:

Senα= a⃗ ∙ n⃗‖a⃗‖∙‖n⃗‖

Que es la expresión para calcular α

PROYECCION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN PLANO:

La proyección ortogonal de un punto P sobre el plano π :ax+by+cz+d=0 con vector normal n⃗=(a;b ;c); en el punto P0 del plano π , al cual vamos a denotarlo de la siguiente manera:

Proy πP

De manera que el vector P⃗0 P es ortogonal al plan o π

Para hallar el punto P0 trazamos por el punto P una recta L ortogonal al plano π es decir:

L= {P+ λ n⃗ t . q . λ∈R }

De donde L ∩π=P0

Proyección Ortogonal de una recta sobre un plano:

La proyección ortogonal de una recta L sobre el plano π , es la recta L ' , al cual denotaremos

como Proy πL que pasa por dos puntos de π y que son proyecciones ortogonales de dos puntos de

L sobre el plano π

π

L

P

P0

L

L '

P

AP0

π

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Rectas en El Espacio Tridimensional