UNIDAD 6

ESPACIO TRIDIMENSIONAL: EL PLANO Objetivos

Geometría analítica

255

Introducción

x1, x2, x3

x1, x2 y x3,x1, x2 x3

Vector segmentodirigido.

A B

dirección A B

A

B

u v w

u u = (u1,u2

u

u u = (u1,u2,u3

u

256

n

u

espacio vectorialn n

escalar

Operaciones con vectores

Suma y resta

Ejemplo 1

a b

a + b a b

Solución

a + b

a b

Multiplicación de vectores por escalares

u u uu

Geometría analítica

257

Ejemplo 2

a

aa

aa

magnitud u u

Definición u = (u1, u2,...,un u

u

Vectores unitarios

vector unitario

u u

u = (u1, u2 un u 0

u u

uu

Ejemplo 3

v 2

v

258

Solución

v

v

vv

v 2 v 4

w

w =

w

w

Vectores coordenados unitarios

dos dimensiones 2

i j

Geometría analítica

259

3

i j k

i j k

260

v v i j ij i j i

j = – i j v

Ejemplo 4

u v w

u = i + 2j k v i + j k w i j + k

u + v + w

Solución

u + 2v w i + 2j k i j k i j + ku + 2v w i + 2j k i j k i j ku + 2v w i j k

u + 2v w = 2i j + 2k

Producto escalar

u = v =

u v

u v c

Geometría analítica

261

Ejemplo 5

C D

Solución

Ángulo entre vectores

A B V2

y

Ejemplo 6

A B

Solución

A B

262

A B

paralelismo ortogonalidad

Vectores paralelos

A B Vn paralelos

A B VnA B A

B y A = B B = A A B

Ejemplo 7

F G

Solución

F G F = G

, F = G

F G

Geometría analítica

263

Vectores ortogonales

A B Vn A B

Ejemplo 8

A B AB

Solución

A B A B

A B

proyección componente

A BB A

componente de A BB

A

A B

componente A B

A

264

Ejemplo 9

A B A = 2j k B = 4j

Solución

A = 2

A = (a a2 a

a2 A aA a2

A a

a a2 A

A B

2

Geometría analítica

265

Ejemplo 10

A = 2j k B = 4j AB

Solución

Producto vectorial

Definición A B V A = (a , a2, a

B = (b , b2, b

Ejemplo 11

A = 2i j k B i + j + 2k A × B

Solución

vectores paralelos

266

A B A × B =

dextrógiro

A B V A × BA B A × B

A B

A B

A × B B × A

6.1. Definición de plano

(P(x, y, z

Geometría analítica

267

Definición de espacio euclidiano de dimensión tres. El espacio euclidiano de dimensión tres, denotado por 3, es el conjunto de puntos P, representados por las ternas ordenadas de números reales (x1, x2, x3).

Definición de plano en 3. Es la sección comprendida por dos vectores no paralelos que forman un paralelogramo para el cual existe un par de puntos P, Po 3 y dos vectores linealmente independientes (son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igualada a cero es aquella cuyos escalares son cero). A , B 3, tales que los podemos denotar como un conjunto de la siguiente manera:

Ejemplo 12

PA = 2i + k i + 2k

Solución

P P

P = (x, y, z

Ejemplo 13

P

Solución P(x, y, z

268

(x, y, zP

ecuaciones del plano en posiciones especiales. z = ,

z = c, c

yy = cxx = c

Geometría analítica

269

6.2. Ecuaciones del plano

Ecuación normal de un plano cualquiera.

x + y + z = 0

ecuación normal del plano, p

KA, B, C, –D,

270

0

ecuación del plano en forma general.

A, B, C

K

2 2 2

p>0

2 2 2

K D

Ejemplo 14

Solución 2 2 2

KK

Geometría analítica

271

p

Ecuación vectorial del plano

P P P

NA B

A × B = N N A N B

N N k(A × Bk

P P P N

P P P P P

P P – P0 A B

P – P0 = A + B

P P P

NA B A B

P0 NP P N

P0 NA B

272

P P P P P P

P P0 P P N

P P PB A N A × N

P0

N A B

P P P

P P P P

P0

Ecuación cartesiana del planoP P N

NP P N

(P – P0 N P N P0 N P N = P0 N

(x y z a b c

0 0 0 a, b, c, x0, y0, z0

0 0 0 N =

ecuación cartesiana del plano x, y z d

P0

N

P P N P N = P0

NP

NP

P P P0

N P P N

Geometría analítica

273

P0

Ejemplo 15

PN j

Solución a, b c N d = P0 N

a = b c = d =

y y

PN j

Ejemplo 16

P

Solucióny

Ecuación paramétrica del plano

u v

274

Ejemplo 17

Solución u x

v

u = x, x

v

y x + v x y + z

Geometría analítica

275

Ejercicio 1

MN

Ma

1 = a

2 = .

AB C

6.3. Distancia de un punto a un plano

Distancia de un plano al origen.

P P P N

276

P0 NQ QQ Q = N, Q

N Q Q P0 N Q N = P0 N

Q N N P0 N

N N N2 P N

N

Q d Q Q

N N = d

NN

NN

Nd

d

N

dN

Ejemplo 18

Solución

d

Geometría analítica

277

2

N N

N × N2

kN N k

N

N × N2

2

Ejemplo 19

Solución

dd d

N

278

0P (x , y , z

P Ax + By + Cz + DP

P0 (x0, y0, z0

Teorema . Sean 0 la ecuación general de un plano y P1 (x1, y1, z1) un punto que no está en el plano. Entonces, la distancia perpendicular d del plano a P1 está dada por:

(6)

Ejemplo 20

Solución A, B, C, D, x1, y1 z1

Geometría analítica

279

d

6.4. Intersección y ángulo entre planos

I ntersección de planos.

2

(x, y, z)

280

Ejemplo 21

P P

P P

Solución

2

Geometría analítica

281

s sP

y y

2 N

2

z z

Ejemplo 22

Solución x, y, z

ya, , b a b

y z

282

(d, e, d e

m, m m m

Ejemplo 23

Solución

0

x x

Geometría analítica

283

y y

z z

P

Ejemplo 24

x – z =

Solución x – z =

0

0

0

0 y

, , ,P P

P P

284

Ángulo entre dos planos.

N NN N

N NN N

N N

Ejemplo 25

2

Solución N N

Geometría analítica

285

Ejercicio 2

Ejercicios resueltos

.

Solución N P0

N P0

P0 N=

Solución P P N

P0

N P(x, y, z .

N

x y + 2 + z

.

286

P

Solución

D P

D D D = 9

x y z

Solución

Solución:0

Geometría analítica

287

B, C D

A,

A

6. A = B = C =

SoluciónD = B AE = C A

D E

D × E

N N

N P0

D

7.

Solución

288

= – .

,

2

Solución

P2

v u

v = u = v u

P P

PP

Geometría analítica

289

Solución

(K

2

Solución

N d

2

Solución t

t t t t

290

P

Solución d

Solución

x x

Solución N N N N2

N NN N

Solución

N N2

Geometría analítica

291

N NN N

Y

292

Autoevaluación

N = i –2j +k , N = 2i – 2j –k x = . N = –2i + j + 2k , N = i + j –k y = 2.

4

x y z

Geometría analítica

293

P

M M2

M1 M M

d d d d

x + y + 2z

x + y z

294

Ejercicios opcionales

M1

x z y

a b

Oxy

M

Geometría analítica

295

Respuestas a los ejercicios

N P0

. d

Respuestas a la autoevaluación

2

1

296

Respuestas a los ejercicios opcionales

a a = , b , a = , b

2