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UFOP - CETEC - UEMG
REDEMATREDE TEMÁTICA EM ENGENHARIA DE MATERIAIS
UFOP – CETEC – UEMG
"Estudo da Granulometria em Imagens via a
Modelagem das Freqüências Espaciais "
Autora: Elisângela Fátima de Oliveira.
Orientador: Luiz de Siqueira Martins Filho.
Co-orientador: Romuel F. Machado.
Fevereiro de 2007
UFOP - CETEC - UEMG
REDEMATREDE TEMÁTICA EM ENGENHARIA DE MATERIAIS
UFOP – CETEC – UEMG
Elisângela Fátima de Oliveira
" Estudo da Granulometria em Imagens via a Modelagem
das Freqüências Espaciais "
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Materiais da REDEMAT, como parte integrante dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia de Materiais.
Área de concentração: Análise e Seleção de Materiais. Orientador: Prof. Luiz de Siqueira Martins Filho.
Ouro Preto, fevereiro de 2007
iii
À minha família, meu namorado,
e a todos que estiveram presentes
neste momento tão importante da
minha vida.
iv
Agradecimentos
A realização deste trabalho não seria possível sem as bençãos da Satíssima
Trindade, de Nossa Senhora e sem a ajuda de diversas pessoas às quais registro a
minha homenagem:
Aos meus pais e amigos pelo incentivo em todos os momentos da minha
vida.
Ao meu orientador Luiz Martins e ao co-orientador Romuel F. Machado, que
me guiaram no decorrer do trabalho, ensinando a superar os obstáculos e a manter
meu ideal.
Ao "professor" Adilson Jorge pela inspiração e incentivo e a todos os demais
colegas da Samarco Mineração SA.
A todos que contribuíram com observações, sugestões e correções no
decorrer deste estudo.
v
Sumário
1. Introdução ............................................................................................................................1
1.1. Motivação...........................................................................................................................1
1.2. Objetivos e Metodologia....................................................................................................2
2. A imagem Digital ................................................................................................................4
2.1 Classificação da imagem digital ....................................................................................4
2.2 Processamento de imagens digitais................................................................................6
2.2.1 Histórico...................................................................................................................6
2.2.2 Etapas do processamento de imagens.......................................................................8
3. Proposta de análise de imagens: wavelets.............................................................................17
3.1 Histórico.........................................................................................................................17
3.2 Conceito e propriedades da função wavelet ..................................................................19
3.3 A escolha da Transformada............................................................................................21
3.4 Transformação de vetores entre os espaços tempo-freqüência.....................................23
3.4.1 Resolução tempo-freqüência...................................................................................24
3.5 Transformada wavelet e suas aplicações.......................................................................26
3.5.1 Tipos de transformada wavelet................................................................................28
3.6 Análise e Síntese na multi-resolução e o algoritmo piramidal......................................31
3.7 Banco de Filtros.............................................................................................................35
3.7.1 Caso unidimensional...............................................................................................35
3.7.2 Caso bidimensional.................................................................................................36
3.7.3 A reconstrução perfeita do sinal..............................................................................40
4 Transformada wavelet discreta em duas dimensões.............................................................41
4.1 Filtragem em sub-bandas...............................................................................................42
4.2 A energia da transformada wavelet................................................................................47
4.3 A escolha da função wavelet..........................................................................................48
5 Metodologia experimental e hipóteses..................................................................................51
5.1 Desenvolvimento experimental......................................................................................55
5.2 Estudo de Caso: Imagens reais de fragmentos de rochas...............................................61
6 Conclusões.............................................................................................................................64
6.1 Sugestões para trabalhos futuros........................................................................................66
7. Referências bibliográficas.....................................................................................................67
vi
Anexos..................................................................................................................................71
Anexo A: Famílias de wavelets ...........................................................................................72
Anexo B: Exemplo de cálculo da decomposição unidimensional........................................78
Anexo C: Exemplo de reconstrução perfeita do sinal..........................................................80
Anexo D: Procedimentos no ambiente Matlab para o cálculo das transformadas
wavelet e das energias associadas..............................................................................................83
Anexo E:Procedimentos no ambiente Matlab para o cálculo das energias dos coeficientes
wavelet......................................................................................................................................85
vii
Lista de Figuras
Figura 2.1: Representação do modelo de cores RGB em um sólido tridimensional............. 06
Figura 2.2: Passos fundamentais para o processamento de imagens..................................... 08
Figura 2.3: Exemplo de histograma de uma imagem............................................................ 15
Figura 2.4: Exemplo de aplicação da técnica de segmentação............................................. 16
Figura 3.5: Estratificação da imagem.................................................................................... 20
Figura 3.6: Localização do sinal em tempo-freqüência........................................................ 21
Figura 3.7: Comportamento do sinal em tempo freqüência.................................................. 22
Figura 3.8: Transformação dos vetores entre os espaços tempo e freqüência...................... 23
Figura 3.9: Introdução da transformada tempo-freqüência................................................... 24
Figura 3.10: Cobertura do espaço tempo-freqüência usando a transformada de Fourier
com janelas............................................................................................................................
25
Figura 3.11: Banco de filtros com largura de banda constante em relação à
freqüência central..................................................................................................
26
Figura 3.12:Esquema de operações de Síntese e Análise...................................................... 34
Figura 3.13: Implementação da transformada wavelet baseada na filtragem do sinal.. 35
Figura 3.14: Divisão do espectro de um sinal em sub-bandas usando banco de filtros......... 36
Figura 3.15: Processo de decomposição do sinal...................................................... 37
Figura 3.16: Processo de reconstrução do sinal......................................................... 37
Figura 3.17: Obtenção dos coeficientes após a reconstrução do sinal......................... 38
Figura 3.18: Banco de síntese de 1° estágio.............................................................. 39
Figura 3.19: Banco de filtros de três estágios............................................................ 39
Figura 3.20: Reconstrução perfeita do sinal.............................................................. 40
Figura 4.21: Visualização da aplicação de filtros passa baixa na transformada wavelet....... 42
Figura 4.22: Representação dos coeficientes bidimensionais................................................ 43
Figura 4.23: Representação da parte suave e detalhes da imagem........................................ 43
Figura 4.24: Representação dos coeficientes bidimensionais em mosaicos.......................... 44
Figura 4.25: Tipos de decomposição bidimensional.............................................................. 46
Figura 4.26: Exemplo de distribuição de energia da transformada discreta wavelet de
Daubechies 4, da imagem Lena............................................................................................. 48
Figura 5.27: Imagens de esferas simuladas de diferentes diâmetros..................................... 52
Figura 5.28: Diagrama de imagens obtidas após a aplicação de filtros................................. 54
viii
Figura 5.29: Exemplo de imagens de esferas reais................................................................ 55
Figura 5.30: Exemplo de decomposição da imagem real no nível 1..................................... 55
Figura 5.31: Exemplo de decomposição da imagem real no nível 2..................................... 56
Figura 5.32: Gráfico de correlação entre diâmetro das esferas e energia dos detalhes
horizontais e verticais............................................................................................. 57
Figura 5.33: Gráfico de correlação energia dos detalhes x diâmetro das esferas
simuladas................................................................................................................ 58
Figura 5.34: Variação dos diâmetros simulados e estimados via o cálculo da taxa de
energia.................................................................................................................... 59
Figura 5.35: Gráfico de correlação entre a energia dos detalhes e diâmetro das
esferas reais........................................................................................................... 60
Figura 5.36: Exemplos de imagens de fragmentos de rochas............................................... 61
A.3: Wavelet de Haar…………………………………………………………………... 73
A. A.4: Wavelet de Haar em vários níveis de resolução................................................ 73
A.5: Wavelet de Daubechies na escala 3................................................................. 74
A.6: Bases Coiflets………………………………………………………………………… 75
A.7: Wavelet de Meyer…………………………………………………………………….. 76
ix
Resumo
Este trabalho examina a análise de granulometria em objetos baseada na
modelagem das freqüências espaciais via a utilização das transformadas wavelets.
Em contraste com as técnicas comumente empregadas para a realização de
estudos dessa natureza, em geral baseadas na aplicação da transformada de Fourier
e nas técnicas de segmentação, em especial, de detecção de bordas, o presente
estudo cria um modelo entre o padrão de freqüências espaciais e a granulometria. O
intuito é otimizar as técnicas clássicas para determinação da variação da
granulometria com a minimização dos erros oriundos do processamento de imagens
e obter uma melhor performance nos resultados.
A motivação desse estudo foi a percepção de que os métodos até então
empregados são adequados para a medição de objetos de geometria bem definida,
mas falham para a granulometria em função diversos fatores, como ruídos na
imagem, influência de coloração e de texturas. Além disto, a segmentação
consegue, sob certo aspecto, validar um número reduzido de objetos o que pode
descaracterizar ou pelo menos diminuir a amostra, e como conseqüência gera a
propagação de erros no modelo. Tais erros tendem a se tornarem mais significativos
quando trata-se do estudo de materiais em pilhas ou sobre transportadores, situação
em que há a influência da sobreposição de objetos. O resultado então é a
identificação de "partes" de objetos como se fossem inteiros, demandando
operações complicadas para validação e/ou correções nos resultados por algum tipo
de inferência estatística.
Nesse contexto, o objetivo deste trabalho é verificar a possibilidade de se
mensurar a granulometria em imagens através da determinação dos padrões de
freqüências espaciais, como ferramenta auxiliar no controle de processo industrial
para um monitoramento contínuo e digital. Isto será avaliado adotando como
parâmetro estatístico a análise de correlação entre um padrão de freqüências
espaciais e a granulometria conhecida.
x
Abstract
This study examines the particle size analysis in objects based in the space
frequencies modeling using the wavelets’coefficients.
Contrasting with the techniques normally used for the realization of this kind
of study, in general based in the application of Fourier’s coefficients and
segmentation techniques (in special the edge detection one), the present study
creates a model between the space frequencies standard and the granulometry. The
intention is to optimize the classic techniques for the determination of the
granulometry variation with the reduction of errors derived from the images
processing in order to obtain better results.
The motivation of this study was the perception that the methods used until
then are adjusted for the measurement of objects that have a well defined geometry,
but fails for the particle size analysis due to diverse factors as image noise and
influence of coloration and texture. Moreover, the segmentation validates only a
reduced number of objects that can deprive the characteristics or at least reduce the
sample, and as consequence there is an error propagation generation in the model.
Such errors become more significant when the study is about materials in stacks or
on transporters, situations where there are the influence of object overlapping. The
result then is the identification of objects “parts” as if they were integer, demanding
complicated operations for validation and/or corrections in the results through some
type of statistics inference.
In this context, the purpose of this study is to verify if it’s possible to
measure the granulometry in images thought the determination of space frequencies
standard, as an auxiliary tool in the control of the industrial process for a
continuous and digital monitoring. This will be evaluated adopting as statistical
parameter the correlation analysis between the space frequencies standard and the
known granulometry.
1
Capítulo 1: Introdução ao estudo proposto, motivação deste trabalho, apresentação de
paradigmas e contribuição original do trabalho.
1. Introdução
As técnicas de análise de imagem são empregadas, desde meados da década de
oitenta na mineração, em aplicações de monitoramento das dimensões do minério
conduzido através das correias transportadoras e identificação de pedras preciosas,
extração de informações referentes à granulometria e à inspeção das etapas de
britagem, classificação e beneficiamento do material.
Entretanto, os métodos tradicionais para o estudo da granulometria baseiam-se
no processamento de imagens por meio das técnicas de segmentação, que consistem
em um processo que particiona o domínio espacial de uma imagem em subconjuntos
mutuamente exclusivos, denominados de regiões, onde cada uma destas é uniforme e
homogênea com respeito a algumas propriedades, como tom e textura, e cujos valores
de propriedades diferem em alguns aspectos e significados das propriedades de cada
região em questão (Kubiça,1999). É sabido que o estudo da granulometria de materiais
naturais ou processos de beneficiamento possui certas limitações por se basearem na
técnica de segmentação de imagens. Esse fato o torna susceptível à falhas, tais como: a
presença de ruídos na imagem, influência de coloração e texturas. Isto se torna mais
relevante ao se considerar materiais em pilhas ou sobre transportadores, uma vez que
nestes casos, existe a influência da sobreposição de objetos e a segregação por
tamanho, induzindo à identificação de “partes” de objetos como o objeto “completo”.
1.1 Motivação para o estudo
O interesse na área de análise de sinais tem sido muito acentuado nas últimas
décadas devido ao crescente aumento de aplicações nas mais diversas áreas do
conhecimento humano, como medicina, engenharia e economia.
Em relação à aplicação na indústria mineral, as aplicações geralmente consistem
no emprego da análise imagem em tempo real para o controle do processo, com
sistemas de medição e monitoramento on-line despertou minha atenção para o assunto.
2
Além da finalidade de inspeção, como por exemplo, o monitoramento das
dimensões do minério (na forma de fragmentos ou de pelotas) através de correias
transportadoras, um sistema de controle através da visão automatizada também pode
ser empregado para controlar os equipamentos britadores e as peneiras de classificação
para adequar o minério à etapa seguinte do processo. E isto alia o controle de processo
à análise de imagens.
Nesse contexto, o convívio na vida profissional com sistemas dessa natureza aliado
ao potencial de aplicações da visão computacional motivou o desenvolvimento do
presente estudo.
1.2 Objetivos e Metodologia
Este estudo propõe um método de análise de imagem para a granulometria que
não se baseia na individualização de objetos, mas sim, no tratamento das imagens
através da transformação da informação contida nas mesmas. Portanto, gerada em
pixels, para o domínio das freqüências espaciais.
O objetivo geral deste trabalho é desenvolver o estudo da análise de
granulometria em imagens digitais através da determinação dos padrões de freqüências
espaciais. Para tal será adotada a técnica de análise via wavelets. (Mallat,1999)
Em linhas gerais, o experimento realizado consistirá nas seguintes etapas:
• Implementação do algoritmo simulador;
• Obtenção de imagens de granulometria conhecida para simulação;
• Quantificação com o uso das transformadas wavelet das freqüências espaciais
presentes nas imagens;
• Modelagem do sistema;
• Realização de testes estatísticos de correlação para verificar a resposta do
modelo com o conjunto de imagens para a validação.
3
Para tal, este trabalho está dividido nas seguintes partes:
Capítulo 1: Introdução ao estudo proposto, motivação deste trabalho, colocação dos
paradigmas e contribuição original do trabalho.
Capítulo 2: Descrição do conceito de imagem digital e processamento de imagens.
Fundamentação teórica das técnicas empregadas e fases do processamento.
Capítulo 3: Apresentação e fundamentação teórica sobre o estudo das wavelets.
Mostra-se a necessidade e a atualidade de seu estudo e relatam-se diversas áreas onde
o conceito de wavelet se aplica. Apresentam-se várias abordagens citadas na literatura
relacionadas à comparação de métodos de quantificação da granulometria empregadas:
técnicas baseadas na segmentação de imagens (via a detecção de bordas) e na
aplicação da Transformada de Fourier. Apresenta-se ainda, uma introdução sobre a
transformada wavelet e relata-se um pouco sobre seu desenvolvimento histórico.
Apresenta-se o conceito de Análise Tempo Freqüência, análise multi-resolução e a
forma como a transformada wavelet se relaciona com esse conceito. Além disto,
menciona-se também outras abordagens que relacionam a transformada wavelet com
esquemas de filtragem.
Capítulo 4: Demonstração da aplicação da transformada wavelet em duas dimensões.
Apresenta-se o referencial teórico matemático para as etapas da análise da imagem,
após a aplicação dos bancos de filtros e os relaciona às sub-rotinas implementadas
computacionalmente.
Capítulo 5: Desenvolvimento de um modelo experimental que implementa a
transformada wavelet para o estudo da análise de granulometria em imagens digitais
através da determinação dos padrões de freqüências espaciais. Apresenta-se e discute-
se os resultados obtidos.
Capítulo 6: Conclusões do estudo e sugestões de alternativas e possibilidades de
trabalhos futuros.
Capítulo 7: Anexos.
4
Capítulo 2: Descrição do conceito de imagem digital e processamento de imagens.
Fundamentação teórica das técnicas empregadas e fases do processamento.
2. A imagem digital
Neste capítulo será apresentado conceito de imagem digital e processamento de
imagens, bem como abordará as técnicas empregadas e fases do processamento da
imagem.
• Conceito:
A imagem é definida como o resultado de estímulos luminosos produzidos por
um suporte bidimensional. Esta definição está inserida no contexto físico do nosso
universo. Entretanto, em se tratando do mundo digital, a imagem pode ser definida
como um sinal bidimensional, que recebe a seguinte definição: “ Uma imagem digital
é uma imagem f(x,y) discretizada tanto em coordenadas espaciais quanto em brilho”
(Gonzalez,2000). Outra definição adotada nesse contexto define a imagem como uma
projeção de uma cena em um plano. Em termos práticos, para ser manipulada por um
computador a imagem precisa estar em uma forma numérica. Esta conversão é
denominada digitalização e o seu produto é reconhecido como uma imagem digital. A
imagem digital pode ser então considerada como sendo uma matriz cujos índices de
linhas e de colunas identificam um ponto na imagem, e o correspondente valor do
elemento da matriz digital recebe a denominação de elementos da imagem, elementos
da figura, ou simplesmente, pixels. Parâmetros como a resolução e a qualidade de uma
imagem digital são mensurados pela quantidade de pixels existentes na mesma. Quanto
mais pixels contiver a imagem, melhor é a sua resolução e, por conseguinte, sua
qualidade.
2.1. Classificação da imagem digital
Em termos de classificação, a imagem digital se subdivide em imagem
monocromática e imagens coloridas.
5
• Imagem Monocromática
As imagens monocromáticas são imagens digitais onde cada pixel possui
representação em apenas um canal de cor, ou seja, refere-se à função bidimensional de
intensidade de luz f(x,y), onde x e y expressam as coordenadas espaciais e o valor de f
em qualquer ponto (x,y) é proporcional ao brilho da imagem naquele ponto.
Neste sistema denominado Sistema de Tons de Cinza, torna-se necessário
conhecer três valores para cada pixel: x, y e t, onde x e y correspondem à coordenada
espacial do pixel e t corresponde ao tom de cinza do pixel. Este elemento, por sua vez,
compreende valores entre a faixa de 0 (preto) a 255 (branco). Já o Sistema Binário é
considerado uma simplificação do Sistema de Tons de Cinza, pois neste só existe a
possibilidade de dois valores: 0 (zero) correspondendo ao preto e 1 (um) para o
branco. Apesar de sua simplicidade, tal sistema destaca-se devido à sua ampla
aplicação nas propriedades dos pixels.
• Imagem Colorida
Para as imagens coloridas, o modelo mais empregado baseia-se na
representação dos pixels em três canais de cores visíveis (Red, Blue e Green),
constituindo o modelo RGB (Gomes, 1994).
Criado com base na natureza do olho humano, em que todas as cores são vistas
como uma combinação das chamadas cores primárias: Vermelho (Red), Verde (Green)
e Azul (Blue). Este modelo se baseia em um sistema de coordenadas cartesianas
tridimensional onde associa-se a cada eixo uma das três cores primárias. Cada cor
corresponde a um ponto nesse espaço, sendo portanto representada por três
coordenadas: x, y e z que podem assumir cada uma valores inteiros entre 0 e 255. As
cores primárias, vermelho, verde e azul são representadas pelo pontos (255,0,0),
(0,255,0) e (0,0,255) respectivamente e as cores secundárias que se originam de
combinações de duas cores primárias, são representadas pelos pontos (255,255,0)
(amarelo), (255,0,255) (magenta) e (0,255,255) (ciano).
A linha de cinza é representada pelo segmento de reta que une a origem que
representa o preto ao ponto (255,255,255) que representa o branco. Com isso, a
representação para o modelo RGB está baseada em um sólido tridimensional, em que
cada cor está associada a um ponto em um sistema de coordenadas 3-D ortogonais.
6
Figura 2.1: Representação do modelo de cores RGB em um sólido tridimensional.
Fonte: Adaptado de Gonzalez, 2000.
2.2. Processamento de imagens digitais
2.2.1. Histórico
A aplicação das técnicas de processamento de imagens se deu no início do
século XX com o envio de imagens por meio de cabos submarinos entre Londres e
Nova Iorque para a publicação em jornais. As imagens eram codificadas no
transmissor e decodificadas no receptor. Entretanto, havia a necessidade do
melhoramento da qualidade da imagem no receptor. Isto só foi possível graças ao
advento dos computadores de grande porte no período da corrida espacial com a
necessidade da análise e melhoria das imagens de televisão enviadas por sondas
espaciais. Nesta época, as técnicas de processamento usadas serviram de base para o
realce e a restauração de imagens espaciais.
Pode-se atribuir o interesse em métodos de processamento de imagens digitais
como decorrência de duas principais áreas de aplicação: melhoria da informação visual
para a interpretação humana e processamento de dados de cenas para percepção
automática através de máquinas. (Gonzalez, 2000)
(255,0,0)
(255,255,0)
(0,255,0)
(0,0,0)
(255,0,255)
(0,0,255)
(0,255,255)
(255,255,255)
7
Atualmente, o processamento de imagens possui uma vasta gama de aplicações
nas mais diversas áreas do conhecimento humano, como ferramenta de grande
utilidade para a extração, análise e interpretação de informações.
Na indústria, as técnicas de processamento de imagens apresentam uma vasta
aplicabilidade, constituindo soluções disponíveis no mercado, especificamente para
cada segmento. Exemplos práticos disto são os sistemas de monitoramento da
qualidade na indústria gráfica, sistemas de inspeção automatizada na indústria têxtil,
sistemas de visão automatizada na indústria siderúrgica e, principalmente, no setor
automobilístico, mineração e robótica, dentre outras áreas. Temos ainda aplicações na
área de percepção automática por máquinas, em que sobressaem as técnicas de
processamento automático de impressões digitais, o reconhecimento automático dos
mais diversos caracteres, a visão computacional e o processamento automático de
imagens de satélites para reconhecimento de queimadas.
O processamento de imagens digitais baseia-se em informações e no modo de
processar do sistema visual humano e envolve uma série de conceitos que abrangem as
transformadas das imagens e as técnicas de realce de imagem, tais como:
• a utilização de máscara e de filtragem, visando o processamento da imagem de
modo que se obtenha um resultado mais apropriado para uma aplicação em
comparação com a imagem original;
• técnicas de restauração interativa e interpolação dos níveis de cinza para
reconstruir ou recuperar imagens degradadas;
• compressão de imagens, como compressão livre de erros e com perdas, cujo
propósito é reduzir a quantidade de dados necessária para representar uma
imagem digital;
• segmentação de imagens, como detecção de bordas, de pontos, de linhas e
descontinuidade, cujo propósito é a divisão da imagem em partes para a análise;
• reconhecimento e interpretação de imagens, com o uso de técnicas de análise
baseadas em conhecimento e em redes neurais, permitindo-se detectar e
reconhecer padrões e características da imagem.
8
De modo geral, a utilização de uma imagem como fonte geradora de
informações envolve os seguintes tópicos apresentados na figura esquemática abaixo:
Figura 2.2.: Passos fundamentais para o processamento de imagens.
Fonte: Adaptado de Gonzalez, 2000.
2.2.2 Etapas do processamento de imagens:
• Aquisição de Imagens:
Nesta etapa há a digitalização da imagem a ser estudada. Procura-se determinar
a imagem propriamente dita, para extrair as médias e os desvios-padrão para cada pixel
que caracteriza a mesma.
• Representação de Imagens Digitais:
O processo de formação de imagens em câmeras digitais, provém de uma série
de fenômenos foto-elétricos. Entretanto, após o procedimento de digitalização das
imagens, ou seja, alguma informação é perdida, uma vez que há uma amostragem
espacial e de tonalização.
A imagem é então representada por coordenadas espaciais, cada qual
denominada de ponto ou pixel. Cada pixel, ainda pode ser representado com uma
resolução qualquer, como por exemplo, de 8 bits correspondendo a uma gama de 0 a
Pré- processamento
Aplicação da Transformada
Aquisição de imagens
Base de Conhecimento Reconhecimento
e Interpretação Resultado
Domínio do problema
Representação e descrição
9
255;16 bits 0 a 65535. Para o caso de uma imagem colorida, cada pixel contém três
valores de tonalidade que combinados formam a coloração do mesmo.
• Pré-processamento
O pré-processamento consiste de uma série de técnicas com o objetivo de
melhorar o aspecto da imagem para o processamento posterior.
Nesta etapa devem ser corrigidas quaisquer distorções ocasionadas durante a
fase de captura da imagem como, por exemplo, distorções geométricas causadas pelas
lentes ou pela câmera, variações na iluminação entre outras interferências, ou seja, é
nesta etapa que a imagem é adequada ao algoritmo responsável por realizar a extração
das informações necessárias para a análise em questão. O realce dos detalhes da
imagem também deve ser abordado nesta fase, com o uso de técnicas para a eliminação
de partes indesejadas, ajustes de brilho, retirada de partes insignificantes, dentre
outras, de modo a obter minuciosamente as características do que se deseja medir ou
verificar. Geralmente, as técnicas de pré-processamento são amplamente empregadas
para a remoção de ruídos por meio do uso de filtros.
• Representação e descrição
Nesta etapa, procura-se extrair características que resultem em alguma
informação quantitativa de interesse na imagem, necessária para a tomada de decisão.
Pode-se realizar a discriminação entre classes e objetos, efetuar o reconhecimento de
caracteres entre outras possibilidades.
• Reconhecimento e interpretação
O reconhecimento atribui um rótulo a um objeto baseado na informação
fornecida pelo seu descritor. Já a interpretação envolve a atribuição de significado a
um conjunto de objetos reconhecidos.
• Segmentação
A segmentação é o processo no qual a partir de uma imagem adquirida
(digitalizada) e pré-processada é gerado o conjunto de “primitivas ou segmentos
10
significativos” que contém a informação. Em geral, as primitivas usadas são os
contornos e regiões. (Kubiça, 1999).
O conceito de segmentação também pode ser entendido como a atividade que
consiste em particionar a imagem em regiões de pixels relevantes para uma dada
aplicação em objetos e fundo. Embora a técnica de segmentação represente uma das
principais etapas na maioria das aplicações, a mesma também representa um dos
maiores desafios em processamento de imagens. A técnica em si consiste na realização
de duas atividades básicas: a identificação do objeto e o seu delineamento.
A identificação indica a localização aproximada do objeto e o delineamento
extrai sua extensão na imagem. Seres humanos executam a primeira tarefa com relativa
facilidade, mas o computador é capaz de executar a segunda com muito mais precisão
que nós humanos. A dificuldade da máquina na identificação de objetos se deve a falta
de descrição global dos objetos na forma de um modelo matemático, já que as decisões
automáticas usam normalmente propriedades locais extraídas em torno dos pixels.
Na tentativa de minimizar esses efeitos emprega-se juntamente com a
segmentação técnicas capazes de extrair informação a partir de uma imagem, como a
detecção de pontos, detecção de linhas, detecção de bordas, operadores gradiente,
laplaciano, Transformada de Hough, Limiarização Simples, Limiarização Adaptativa,
Crescimento de Regiões e Watershed. Considerando-se o estudo proposto, serão
apresentadas as técnicas de Limiarização simples, Detecção de Bordas e Limiarização
Adaptativa. Devido à natureza deste trabalho, uma maior ênfase será dada na
apresentação do método tradicional de segmentação dos contornos pela detecção de
bordas.
Por ser considerada a parte mais complexa de um sistema de processamento de
imagens, existem várias subdivisões dos tipos de segmentação: segmentação por
região, segmentação por textura e a segmentação por contorno. A escolha da mais
apropriada para cada situação depende da característica do problema e dos objetivos
específicos. Existem várias técnicas de segmentação de imagens, dentre as quais
podemos citar as técnicas por detecção de descontinuidades, por região ou através de
limiar (threshold). Ainda temos técnicas mais avançadas como a utilização de redes
neurais artificiais.
As técnicas por detecção de descontinuidades procuram na imagem regiões em
que houve uma abrupta mudança no nível de cinza. O meio mais comum de verificar
descontinuidades é a utilização da operação de filtragem.
11
A filtragem é uma transformação da imagem pixel a pixel, que não depende
apenas do nível de cinza de um determinado pixel, mas também do valor dos níveis de
cinza dos pixels vizinhos na imagem original. A aplicação da máscara, que contém os
pesos de contribuição de cada pixel, com centro na posição (x,y), sendo x o número de
uma dada linha e y o número de uma dada coluna da imagem, consiste no cálculo do
valor do pixel na posição (x,y) que depende do valor do pixel na posição, dos pixels
vizinhos e dos pesos da máscara, conforme a equação:
i
n
i
iZR ψ∑=
=1
(2.1)
onde R é o novo valor do pixel, ψ i é o coeficiente da máscara, Zi é o nível de cinza da
imagem original e n a quantidade de elementos da máscara. Ainda é necessário que o
valor resultante seja maior que um determinado limiar para ser considerada uma
descontinuidade. Quanto maior for o valor deste limiar, menor a quantidade de
descontinuidades encontradas na imagem. Pequenas variações de tons de cinza são
comuns em imagens reais.
• Segmentação por regiões
Buscam identificar na imagem regiões com uma diferença nos níveis de cinza
maiores que um determinado limiar. Destaca-se o método de crescimento de regiões.
• Crescimento de regiões
Dentro do método de crescimento de região temos o crescimento segundo a
varredura e o crescimento em todas as direções. No crescimento segundo a varredura,
uma linha da imagem é percorrida por vez. O teste de homogeneidade é realizado entre
o pixel que está sendo pesquisado e seus vizinhos já anteriormente rotulados. Caso
nenhuma região satisfaça a condição, uma nova região é criada. Caso um dos pixels
vizinhos pertença a esta região, então os vizinhos deste pixel são pesquisados, até não
haver mais possibilidade de crescimento. Este processo é repetido até não haver mais
pixels que não estejam rotulados.
12
• Segmentação por contornos
Um objeto pode ser entendido como uma região pertencente a um contorno. Assim, para
distingui-lo faz-se a detecção de bordas e constrói-se um contorno a partir delas. Na prática, o
grande problema é a presença de ruído na imagem e o fato de as fronteiras identificadas
poderem ser fechadas ou não. Nesse sentido, uma borda pode ser entendida como um
conjunto de pixels em torno de uma fronteira.
• Detecção de Bordas
A visão computacional envolve a identificação e classificação de objetos em
uma imagem. Desta forma a detecção de bordas é uma ferramenta essencial no
processo de análise de imagens. Uma definição intuitiva do conceito de borda é
definida como: borda é o contorno (uma linha fechada formada pelas bordas de um
objeto) entre um objeto e o fundo indicando o limite entre objetos sobrepostos.
Uma definição mais teórica define as bordas como picos da magnitude do
gradiente, ou seja, são variações abruptas que ocorrem ao longo de curvas baseadas
nos valores do gradiente da imagem. Assim, as bordas são regiões da imagem onde
ocorre uma mudança de intensidade em um certo intervalo do espaço, em uma certa
direção. E, isto corresponde a regiões de alta derivada espacial, que contém alta
freqüência espacial. (Wangenheim, 2003)
Como as propriedades dos objetos, tais como as características geométricas e
físicas, podem ser mensuradas a partir das técnicas de análise de imagem torna-se
possível detectar e extrair informações dos objetos, muitas técnicas de processamento
de imagens são utilizadas, dentre elas a detecção de bordas.
A idéia é detectar as bordas através das variações dos tons de cinza na imagem,
de modo a diferenciar a imagem e criar contrastes. A sua caracterização baseia-se
quase sempre na utilização de filtros derivativos, ou seja, máscaras convolucionadas
com a imagem original. As técnicas de detecção de bordas empregam a aplicação de
um operador diferencial local. O gradiente G(x,y) e o Laplaciano L(x,y), operadores de
primeira e segunda ordem podem ser utilizados para realçar o contraste, bem como
utilizar filtros para tal, como por exemplo os filtros passa-faixa.
O procedimento adotado para contornar esse fato é empregar a técnica de
suavização da imagem, antes de executar a detecção das bordas propriamente dita.
13
Contudo, existem efeitos inoportunos ligados à suavização, ou seja, perda de
informação e deslocamento de estruturas de feições relevantes na imagem. Além disso,
existem diferenças entre as propriedades dos operadores diferenciais comumente
utilizados, ocasionando bordas diferentes. Logo, é difícil formular um algoritmo de
detecção de bordas que possua um bom desempenho em diferenciados contextos e
capture os requisitos necessários aos estágios subseqüentes de processamento.
Entretanto, ao diferenciar a imagem todas as variações dos níveis de cinza são
detectadas e, por conseqüência, detecta-se também bordas denominadas espúrias, que
constitui uma forma indesejável de variação.
Dependendo do fim a que se destina, a detecção de bordas pode ser
implementada como um fim ou como um pré-processamento para passos subseqüentes.
De qualquer forma, para que sejam obtidos os resultados desejados, é
necessário que a estratégia de detecção de bordas seja eficiente e confiável.
Conseqüentemente, no tocante ao processamento de imagem digital, uma variedade de
detectores de bordas têm sido desenvolvidos visando diferentes propósitos, com
formulações matemáticas diferenciadas e com propriedades algorítmicas distintas.
• Operador Gradiente
O gradiente é um operador útil na segmentação de bordas, e por isso será
mostrado.
O gradiente de uma imagem f(x, y) na posição (x, y) é dado pelo vetor:
(2.2)
Na detecção de bordas é importante analisar o gradiente de forma separada em
magnitude e ângulo, sendo:
(2.3)
, , podendo ser aproximado por yx GGf +=∇ . (2.4)
∂∂∂∂
=
=∇
y
fx
f
G
Gf
y
x
[ ]22yx GGf +=∇
( )
= −
x
y
G
Gyx 1tan,α
14
A implementação do operador pode ser feita de forma digital de diferentes formas,
sendo uma delas os operadores de Sobel, dados pelas máscaras:
(a) (b)
Sendo a máscara “a” utilizada no cômputo de Gx e “b” no cômputo de Gy.
• Método de Canny:
O método de Canny consiste em efetuar o processo de detecção de bordas a
partir de critérios de quantificação de desempenho de operadores de bordas conhecidos
como os critérios de detecção e de localização. Em seguida, Canny aproxima o
operador ótimo pela primeira derivada da função Gaussiana. Aliado a esse operador
propôs-se também a supressão de pixels que não forem máximos locais na direção
transversal à borda. A limiarização adaptativa também é empregada nesse método
como forma de eliminar a fragmentação dos contornos das bordas.
A desvantagem desse método consiste em se obter bordas além das estritamente
necessárias para a extração das características das regiões que se queira analisar. Uma
observação importante é que para o processo de reconhecimento de objetos através da
análise das bordas, o principal objetivo não é encontrar o maior número possível de
contornos, mas sim os melhores e que contenham a informação mais importante para o
estudo.
• Limiarização Simples ou Thresholding
É a técnica mais simples de segmentação. Basicamente, é escolhido em uma
imagem em tons de cinza, um valor de tom de cinza que melhor caracterize a
separação entre duas ou mais regiões com tons de cinza distintos, separando os objetos
de fundo. A partir daí é obtido um diagrama de tons da imagem, através do seu
histograma. Baseado neste histograma deve ser realizada a escolha de um limiar como
um valor da região de vale no histograma. Este limiar nada mais é que um valor que
ajuste o modelo gerado pela imagem ao histograma da própria imagem
satisfatoriamente, ou seja, onde a probabilidade de se classificar erroneamente um
121
000
121 −−−
101
202
101
−
−
−
15
pixel do objeto como fundo seja mínima, assim como a probabilidade de se classificar
erroneamente um pixel do fundo como objeto também seja mínima.
É notável que, em geral, se o histograma apresenta os picos altos, estreitos,
simétricos e separados por vales profundos, tem-se a escolha de um limiar plenamente
satisfatório para a imagem em questão.
Figura 2.3: Exemplo de histograma de uma imagem.
Assim, conhecido um limiar T, uma imagem g(x, y) pode ser formada a partir da
seguinte regra:
≤
>=
Tyxf
Tyxf
se
seyxg
,
,
0
1, (3.5)
Sendo que, pixels rotulados como 1 correspondem ao(s) objeto(s), enquanto os com 0
correspondem ao fundo da imagem.
16
A técnica pode era subdividida em quatro fases, conforme ilustração abaixo:
Fase 1: Captura da Imagem Fase 2: Separação imagem de fundo e objetos
Fase 3: Tratamento da imagem Fase 4: Extração e dilatação dos objetos
Figura 2.4: Exemplo de aplicação da técnica de segmentação
Fonte: Paiva ,2004.
• Limiarização Adaptativa
Como o próprio nome sugere, o método de limiarização adaptativa possui o
mesmo princípio da limiarização mencionado anteriormente, porém o cálculo do limiar
não é realizado de forma única. Isto porque neste método há uma divisão da imagem
em mxn sub-imagens, e a partir destas sub-imagens tem-se o cálculo de um limiar
respectivo a cada uma delas. A idéia básica é eliminar sub-imagens que possuam
histogramas bimodais, ou seja, histogramas que apresentem dois picos.
Como a principal desvantagem do método, pode-se mencionar a segmentação
excessiva e conseqüente perda de informações.
17
Capítulo 3: O estudo das wavelets: conceitos, caracterização e fundamentação teórica.
3. Proposta de análise de imagens: wavelets
Neste capítulo será introduzido o objeto de estudo: wavelets. O assunto será
abordado com a apresentação de um histórico, definições, características e
propriedades da wavelet, principais tipos e, por fim, aplicações até então empregadas.
3.1. Histórico
A possibilidade de representar funções através de coeficientes relacionados a
determinados sistemas de funções despertou profundo interesse para aplicações nas
mais variadas áreas do conhecimento humano.
O passo fundamental para esta representação ocorreu em 1807 com a afirmação
de Fourier de que qualquer função f(t) definida no intervalo [-π,π] poderia ser expressa
através de uma série trigonométrica cuja base é formada pelas funções cos(nt) e
sen(nt). A partir deste conceito e empregando-se as noções de função e sua
convergência, foi possível constituir um conjunto gerador das funções definidas no
intervalo [-π,π] o qual, a partir do produto interno de seus termos foi possível
constituir uma base ortogonal para tais funções, denominadas Transformadas de
Fourier de f(t).
A evolução seguinte se deu em 1873, quando Paul Du Bois-Reymont apresentou
uma função contínua e periódica de período 2π cuja série de Fourier divergia em um
determinado ponto. Entretanto, os coeficientes obtidos de acordo com a base em
questão, apesar de representarem f(t) de acordo com diferentes níveis de freqüências, a
dissociam de representação no próprio eixo do tempo.
Assim, nessa transformada, não era possível a determinação temporal de um
determinado evento incidente no sinal, assim como, a detecção de certas características
transitórias já que a informação do tempo é desorientada.
Tendo-se em vista as limitações apresentadas pela análise de Fourier, Du Bois-
Reymont propôs a adoção das seguintes medidas:
• modificação da definição de função, com o objetivo de proporcionar a
adequação de algumas delas às séries de Fourier;
18
• modificação da noção de convergência de forma a restabelecer a igualdade
entre a função e a série;
• proposição de outros conjuntos de funções, que não cos(t) e sen(t), com os
quais seja possível gerar séries que convergem para a função (Homsy, 2000).
Em 1909, Haar determinou um sistema ortonormal gerado através de rotações e
translações de uma função em relação ao produto interno e que convergia
uniformemente para f(t). Tal sistema, denominado sistema de Haar, possuía como
vantagem a sua composição de funções de suporte compacto. Esta característica
conferiu ao sistema a capacidade de localizar sinais tanto no domínio da freqüência
como o sistema trigonométrico quanto no domínio do tempo.
Posteriormente, o foco da análise em questão passou a abranger, além da
determinação de bases para o espaço contínuo e descontínuo, metodologias de
obtenção das mesmas a partir de funções ditas originais ( )tψ através de algum
processo de associação, baseado na proposição de que os processos de associação em
questão deveriam considerar não apenas compressões/dilatações de funções originais
( )tψ (correspondente ao caso em que j=1 e k=0 ) como ocorria no caso da análise de
Fourier, mas também translações das mesmas.
A conseqüência disto é a representação das funções a partir das originais
empregando-se dois índices: kj ,ψ , onde j. ∈ +ℜ e k ∈ ℜ .(Homsy, 2000)
Cabe destacar que, embora a primeira menção às wavelets seja datada de 1909
por A. Haar, apenas em 1985, há o emprego efetivo das wavelets em seu trabalho de
processamento de imagens, de autoria de Stephane Mallat despertando o interesse de
vários outros pesquisadores, como Y. Meyer. Meyer baseou-se nos resultados de
Mallat e construiu a primeira wavelet não-trivial (suave). (Lima, 2003)
Poucos anos mais tarde, Ingrid Daubechies usou os trabalhos de Mallat para
construir um conjunto de bases ortonormais de wavelets suaves, com suportes
compactos. Esta aplicação ocorre através da aplicação de translações diádicas e
dilatações binárias aplicadas às funções indexadas por números naturais, constituem
bases ortogonais de suporte compacto para o L2 (R) no sentido da média quadrática
(Homsy, 2000). Devido à sua extrema importância, os trabalhos de Daubechies são
considerados os alicerces das aplicações atuais de wavelets.
19
3.2. Conceito e propriedades da função wavelet
As wavelets podem ser consideradas funções geradas a partir de translações e
dilatações de uma única função ( )tψ , que permitem a representação, tanto no domínio
das abscissas quanto no da freqüência dos elementos de determinados subespaços do
conjunto das funções (F) em que a variável independente t representa o tempo.
(Homsy, 2000)
De fato, uma wavelet é uma função que possui certas propriedades especiais.
Literalmente, o termo “wavelets” significa pequenas ondas que podem ser suaves ou
não, simétricas ou não, e podem ter expressões matemáticas simples ou não. As
wavelets são funções definidas em um intervalo finito e de valor médio nulo, o que as
caracteriza como pequenas ondas.
Em geral, uma wavelet é uma função, no domínio do tempo, que apresenta as
seguintes propriedades:
• é uma função finita, admissível, ou seja, que oscila no domínio do tempo
para que tenha valor médio nulo (∫ψ(t) dt =0);
• é uma função regular no sentido de que decai exponencialmente para ser um
operador local no domínio do tempo e da freqüência. Assim, os coeficientes
da transformada de wavelet diminuem rapidamente com a diminuição da
escala. Este fato torna a wavelet uma ótima ferramenta para a compressão de
dados;
• é uma função localizada no espaço. As funções seno e cosseno empregadas na
transformada rápida de Fourier não o são;
• emprega dilatações (compressões) e translações de uma função wavelet mãe de
modo a abranger todo o espaço real.
Tal fato permite aproximar uma determinada função como a sobreposição de
funções wavelet base, obtidas por escalamentos (dilatações ou contrações) e
translações sucessivas.
Além disso, o termo wavelet descreve uma função localizada no espaço, ou seja,
uma função que apresente suporte compacto, implicando no fato de sua energia se
concentrar em uma pequena região. Estas características resumem a capacidade de tal
expansão em representar aspectos oscilatórios de curta duração presentes em um sinal.
Este fato é facilmente explicável, uma vez que a transformada wavelet proporciona
uma decomposição tempo-escala adequada para modelar e estudar o comportamento
tempo-freqüência em sinais transitórios ou para detectar sinais impulsivos e
20
descontinuidades. Também é fato que a wavelet permite a detecção da imagem em
diferentes níveis ou estratos. Isto permite se conhecer todos os detalhes da mesma e
eliminar os coeficientes de aproximação a um nível determinado.
Figura 3.5: Estratificação da Imagem
Fonte: Selmaoui, 2004.
Os parâmetros de escala associada à análise na wavelet são similares às escalas
usadas em mapas, onde altas escalas correspondem a uma visão global da imagem
(sem detalhes), e baixas escalas correspondem a uma visão mais detalhada. Como
demonstram as figuras acima, a transformada wavelet é atualmente mais poderosa que
a transformada de Fourier, pois ela permite ajustar a resolução e os níveis de escala de
modo a obter uma melhor caracterização da imagem.
Por tudo isso, as wavelets são consideradas como “microscópicos matemáticos”,
pois permitem a realização de zoom de imagens em resoluções múltiplas. (Selmaoui,
2004)
Na prática, quando o sinal é analisado em escalas maiores, ou seja, adota-se
uma menor resolução temporal, os detalhes não são considerados. Ao se realizar um
zoom na imagem, a escala é reduzida e obtém-se um ganho na resolução temporal.
Além disto, a localização no tempo e a localização em freqüência determinam
uma janela tempo-freqüência que diminui automaticamente para detectar fenômenos de
alta freqüência (j>0) e aumenta para capturar as freqüências baixas (j<0). Esse
21
procedimento permite obter janelas estreitas para freqüências altas e largas para o caso
das freqüências baixas. A figura 3.6 ilustra essa propriedade.
Figura 3.6: Localização do sinal em tempo-freqüência.
Fonte: Souza, 2004.
3.3. A escolha da transformada: Transformada Wavelet
Uma wavelet é uma função Ψ (x) pertencente à intercessão de dois espaços
L1 (R) e L
2 (R), tal que a família de funções seja preferencialmente uma base
ortonormal de L2 (R). A vantagem de se utilizar uma base ortonormal é que elas
possibilitam a reconstrução perfeita do sinal a partir dos coeficientes da transformada.
Matematicamente, uma wavelet possui a seguinte representação:
Ψ j,k (t) = 2-j/2 Ψ (2-j/2
t- k) (3.6)
onde: j e k são números inteiros arbitrários, considerando-se uma base ortonormal para
L2 (R) e a função Ψ j,k (t) é obtida de Ψ(t) por uma dilatação binária 2
j e uma
translação k2-j A idéia é considerar dilatações (compressões) e translações de uma
função, de modo a percorrer todo o conjunto dos números reais (R).
Esta ferramenta matemática é muito eficaz quando se trata de sinais
estacionários e permite oferecer informações sobre o espectro de freqüência de modo
satisfatório. Entretanto, a Transformada de Fourier é uma transformada global, a qual
trata o sinal como um “todo”. Por isso, essa transformada induz a uma baixa
sensibilidade para a detecção de características transitórias, revelando-se um
22
instrumento inadequado para o estudo de sinais não-estacionários como se apresentam
a maioria dos sinais do mundo real. Para ilustrar melhor este fato, considere o
exemplo abaixo em que são apresentados dois sinais com diferentes características
tempo-freqüência.
Figura 3.7: Comportamento do sinal em tempo-freqüência
Fonte: Pagamisse, 2003.
Na figura 3.7 (a) percebe-se um sinal com comportamento periódico, o qual
pode ser perfeitamente analisado via a transformada de Fourier. Já a figura 3.7 (b)
apresenta um sinal com diferentes comportamentos em relação ao tempo, o que torna a
análise por Fourier inadequada.
Diante de tal restrição, o uso da transformada wavelet se revela uma excelente
ferramenta para o tratamento de sinais que variam no tempo, preservando assim o
aspecto temporal do sinal e ao mesmo tempo, possuindo janelas variáveis em tamanho.
Em termos de similaridades entre a análise de Fourier e as wavelets, pode-se
afirmar que a transformada rápida de Fourier (FFT) e a transformada discreta de
wavelet (DWT) são ambas operações lineares, as quais geram uma estrutura de dados
que contém log n segmentos de vários tamanhos, e que usualmente, os preenche e os
transforma em um vetor de dados diferente de tamanho 2n. Além disto, as
propriedades matemáticas envolvidas nas transformadas são também similares. A
inversa da matriz da transformada tanto para o FFT, quanto para a DWT é a transposta
da original. Tal fato resulta na visão de ambas as transformadas como uma rotação no
espaço da função para um diferente domínio, que no caso da FFT contém funções base
senos e cossenos. Para a transformada de wavelet, o domínio contém infinitas funções
base mais complexas chamadas wavelet-mãe, a partir das quais podem ser obtidas
outras bases para a decomposição de funções no domínio da freqüência.
23
Quando foi provado que a aproximação de Fourier era menos sensível a ruídos,
a atenção da pesquisa se voltou para a análise baseada na escala e isto conduziu ao
conceito de wavelet. (Souza, 2004)
3.4. Transformação de vetores entre os espaços tempo e freqüência
Considerando-se a significação do espectro e a propriedade de reversibilidade
da série de Fourier obtêm-se as denominações "domínio do tempo" e "domínio da
freqüência". Tais denominações caracterizam os domínios como representações
distintas do mesmo fenômeno em bases distintas do espaço euclidiano. Pelo fato de
ambos os espaços (vetoriais e unidimensionais) serem semelhantes, conclui-se que
uma adição e uma multiplicação por números reais podem ser definidas em c[a,b] e o
espaço vetorial constituído pelos valores reais ℜ.
Deste modo, as bases do espaço de funções, tempo e freqüência podem ser
ilustrados como na figura abaixo:
Figura 3.8: Transformação de vetores entre os espaços tempo e freqüência.
Fonte: Souza, 2004.
A idéia básica é a implementação da Transformada de Fourier como operador
responsável por transportar uma série de um espaço a outro de forma reversível.
Em termos comparativos, pode-se afirmar uma certa desvantagem no emprego
da representação no domínio da freqüência: a base de funções de Fourier é ortogonal à
base do tempo e isto acarreta na impossibilidade de se determinar a partir dos
24
coeficientes calculados o momento em que as freqüências ocorrem no sinal, ou seja,
determinar o intervalo dos componentes presentes no sinal.
Para suprir tal carência, originou-se a transformada tempo-freqüência,
responsável pela transposição dos vetores do domínio do tempo para o domínio da
freqüência, ortogonal a este empregando-se o domínio misto tempo-freqüência, de
modo a obter informação em ambos os domínios, ou seja, tanto do tempo quanto da
freqüência.
A figura 3.9 auxilia na compreensão da mudança de domínios:
Figura 3.9: Introdução da transformada tempo-freqüência
Fonte: Souza, 2004.
Neste contexto, a solução do problema resume-se em obter uma transformada
adequada que relacione os vetores no domínio do tempo a vetores no domínio misto
tempo-freqüência. Neste trabalho será empregada a técnica de análise via a
transformada wavelet para tal.
3.4.1. Resolução tempo-freqüência
Para realizar a análise de freqüência em uma imagem pela transformada de
Fourier, emprega-se a transformada de Fourier com janela, STFT (Short-time Fourier
Transform).
Nesta transformada a dimensão da janela temporal é fixa, e, portanto, a
resolução da análise é a mesma em todas as localizações no plano tempo-freqüência.
25
Assim, o banco de filtros possui largura de banda constante, conforme indicado na
figura abaixo:
Figura 3.10: Cobertura do espaço tempo-freqüência usando a transformada de
Fourier com janelas.
A transformada wavelet é semelhante à transformada de Fourier localizada,
entretanto é introduzida a noção de escala em alternativa à freqüência, preservando o
aspecto temporal do sinal e utilizando janelas com dimensão variável. Tais janelas
proporcionam uma análise multi-resolução com janelas escalonadas (dilatadas e
contraídas). Disto resulta uma característica relevante na análise das wavelets:
componentes de alta freqüência são analisadas em intervalos curtos de tempo,
enquanto as componentes de baixa freqüência são analisadas sobre intervalos largos de
tempo, e assim permite a análise dos sinais com transitoriedades e singularidades
(Morettin, 1999).
A técnica prevê a especificação de diferentes funções de base através de uma
função base mãe e da aplicação de escalamentos e translações às transformadas. Em
baixas freqüências, o filtro de wavelet tem largura de banda pequena e uma longa
janela temporal, o que implica em uma baixa resolução no tempo e elevada resolução
na freqüência. Em alta freqüência, ou seja, com um baixo fator de escala, o filtro de
wavelet tem uma largura de banda alta que ocasiona em uma janela temporal estreita,
elevada resolução no tempo e baixa resolução na freqüência.
tempo
frequência
26
Portanto, conclui-se da resolução tempo-freqüência que a resolução temporal na
análise com wavelet aumenta com o aumento da freqüência do sinal, conforme
ilustrado na figura 3.11.
Figura 3.11: Banco de filtros com largura de banda constante em relação à freqüência
central.
Fonte: Leite, 2003.
3.5. Transformada wavelet e suas aplicações
Segundo Paiva (in Castleman,1996), a transformada wavelet pode ser
comparada à representação bidimensional do espaço tempo-freqüência: tempo
(compasso sonoro) freqüência (som grave ou agudo). Nessa filosofia, cada nota
corresponde a uma componente wavelet e sua duração é codificada pelo tipo de nota. A
atividade de execução de uma música equivale à aplicação de uma transformada
wavelet à mesma. De modo semelhante, um músico ao executar uma melodia a partir
de sua pauta, pode ser visto como um executor de uma transformada wavelet inversa,
já que ele reconstrói o sinal sonoro partindo-se de uma representação no domínio
tempo-freqüência. Logo, a idéia central da transformada wavelet é a decomposição de
uma função em uma base geradora de uma sub-espaço de funções, de modo que esta
representação apresente propriedades bem determinadas, como por exemplo,
localização temporal das freqüências.
27
Além dessa propriedade, a caracterização da transformada wavelet pode ser obtida
pela observância de suas principais características:
• análise multi-resolução da imagem;
• não correlação da imagem usando uma escala maior para eliminar o efeito de
bloco que ocorre com débitos binários baixos (taxas de compressão elevadas);
• possibilidade de obtenção de uma compressão com perdas ou sem perdas de
informação contida no sinal, com o uso do mesmo algoritmo;
• exploração da redundância espacial existente na imagem possuindo como
característica essencial à compactação de grande parte da energia da imagem
em um número reduzido de coeficientes;
• decomposição da imagem em sub-bandas de freqüência onde cada banda pode
ser quantificada de acordo com a sua importância visual.
Geralmente, as propriedades da transformada wavelet possuem ampla aplicação
na área de processamento de sinais. Técnicas modernas de radar e sonar de banda larga
são exemplos práticos de utilização para o tratamento de banda larga, onde requer-se
uma fina cobertura dos valores de atraso de tempo e escalas, e a transformada wavelet
é empregada para implementar o processamento da correlação.
Outra área onde a wavelet se destaca refere-se ao reconhecimento de padrões,
através da detecção de sinais transientes e abruptos, detecção de bordas, análise em
multi-resolução, processamento de sinais acústicos e compressão de dados. Este último
destaca-se dentre os demais pelo alto potencial de aplicação das wavelets.
Na compressão, a transformada wavelet discreta pode ser interpretada essencialmente
como um sistema de codificação sub-banda, atuando como compactador de voz ou de
imagens. Outras aplicações comuns de wavelets são a remoção de ruído de sinais, a
suavização de imagens e a análise de fractais.
28
3.5.1 Tipos de transformadas wavelet
Existem, basicamente, duas classificações quanto ao tipo de transformada
wavelet: a transformada discreta e a transformada contínua. Cada caso será abordado
individualmente.
• Transformada wavelet contínua ou TWC
A transformada wavelet contínua ou TWC é responsável pelo mapeamento do
sinal original unidimensional no domínio do tempo, para uma função do espaço
bidimensional. Seu cálculo se baseia na correlação entre os escalonamentos e
translações contínuos de uma função sobre um sinal.
Para uma função x(t), a transformada wavelet contínua é o produto interno da
função x(t) pela função Ψ j,k. Sua representação matemática é definida pela seguinte
expressão:
(3.7)
Onde: j= dilatação ou fator de escala; k= fator de translação.
A análise da wavelet contínua se fundamenta em uma função denominada
wavelet-mãe, a qual representa as modificações da função Ψ (t) no decorrer da
transformada. O termo mãe é então empregado para classificar todas as funções que
possuem diferentes tamanhos empregadas no processo das transformadas e originadas
de uma wavelet principal. Sendo assim, a wavelet-mãe é considerada uma fonte
geradora de funções. Como característica fundamental destaca-se o fato de a wavelet-
mãe possuir como parâmetro a média zero e a parte central oscilante. Isto significa que
a função decai para zero em ambos os lados de sua trajetória.
Outra característica relevante está no fato de a wavelet-mãe se comportar como
uma função janela, em que o fator de escala e o tamanho da função janela são variáveis
interdependentes. Isto associa às menores escalas com as menores janelas.
( ) dtj
kttx
jkjTWC ∫
∞
∞−
−=
)()(
1, ψ
29
Uma conseqüência imediata deste fato consiste na análise dos componentes de
bandas estreitas de freqüência de um sinal via um pequeno fator de escala, e
componentes de bandas largas de freqüência com fatores de escala maiores,
propiciando o estudo minucioso das características de um determinado sinal. Para tal, a
interpretação correta dos coeficientes da wavelet é essencial.
• Discretização da transformada
Esta atividade consiste em discretizar as variáveis de domínio wavelet: s
(escalamento) e (translação), substituindo-as pelas versões discretas j (escalamento) e
k (translação) de tal forma que se obtenha:
(3.8)
O limite inferior na escala j pode tornar-se finito com a inclusão da função
escala na base de decomposição wavelet (Burrus, Gopinath & Guo, 1997).
Esta função é responsável pela formação de um subespaço VJ em L2(R), que
compreende todos os subespaços Wj para j<J. Embora a escolha do nível J para a
função escala seja arbitrária, deve-se atentar para o fato de que não existe sentido na
operação sobre escalas maiores que a do próprio sinal, o qual deve ser considerado o
nível máximo de projeção.
Apesar de sua definição formal incluir o uso de somatórios infinitos sobre
domínios contínuos, o emprego desta transformada no campo de processamento de
sinais faz-se diante a certas limitações.
O primeiro a ser considerado deve-se ao fato de a amostragem do sinal impor os
limites ao domínio (de contínuo para discreto), e conseqüentemente, determinar o
limite superior na escala j, além do qual não é possível obter mais informações sobre o
sinal.
Outro limite considerado é referente aos deslocamentos k. Para determiná-los
empregam-se bases wavelet de suporte finito, para possibilitar a descrição de qualquer
ponto da função a partir de um conjunto finito de coeficientes.
Diante dessas considerações torna-se possível extrair a relação entre a função
amostrada e sua transformada wavelet discreta, composta pelos chamados coeficientes
∑ ∑∞+
−∞=
∞+
=
+=k Jj
kjkJkJ xxfxxxfxf )(),()()(),()( ,,, ψφφ
30
wavelet, divididos em coeficientes de aproximação a[k] e coeficientes de detalhes
d[j,k]. (Bucher, 2001)
Tal relação se expressa por:
(3.9)
• _Transformada wavelet discreta
Sabe-se que a wavelet contínua é obtida por meio de infinitas translações e
escalonamentos (discretização) de uma função sobre um sinal. Na prática a execução
dessas operações gera redundância e demanda tempo e recursos operacionais.
Para superar tais restrições implementou-se as wavelets discretas como a versão
digitalmente implementável da transformada wavelet contínua, uma vez que as mesmas
permitem realizar as operações de escalonamentos e translações em intervalos
discretos. Sua definição é expressa pela equação matemática:
(3.10)
Onde: x(n): representa a função correspondente ao sinal original;
ψ : representa a wavelet-mãe. Os parâmetros de escala e de translação são,
respectivamente, i,j e possuem um parâmetro inteiro m. Este parâmetro m permite uma
expansão da família obtida pela wavelet-mãe através da geração das wavelets-filhas;
k: é uma variável inteira que se refere a um número particular de amostras de um
determinado sinal de entrada. O parâmetro de escala permite o aumento da escala
geométrica. Desse modo, a saída pode ser representada em um espaço bidimensional
de maneira semelhante à da transformada discreta de Fourier Janelada, mas com
bandas de freqüência de tempo regulares, que se apresentam estreitas para as
componentes de alta freqüência e largas para as componentes de baixa freqüência.
Isto implica em que a dimensão da base do domínio transformado (o número de
coeficientes) deve ser igual à dimensão da base do domínio temporal (ou seja, o
número de pontos do sinal). Também é desejável que a transformada tenha uma
transformada rápida (FWT ou Fast Wavelet Transform).
[ ] [ ]∑ ∑
+=k j
kjkJ xkjdxkaxf )(,)()( ,, ψφ
)()(1
),( 00
0
m
minjknx
iKmTwd ∑ −= ψ
31
• Transformada rápida wavelet
A transformada wavelet rápida envolve dois pares de filtros ortogonais, de sorte
que um par, (denominado LD e HD ) é empregado na decomposição, e o outro par (LR
e HR) é empregado na reconstrução do sinal. Deste modo, assim como a transformada
rápida de Fourier, a transformada rápida wavelet possui um ciclo básico de operação
que pode ser subdividido em blocos. Para explicar a implementação dos filtros, será
focado o bloco de decomposição e o de reconstrução do sinal.
A idéia central da decomposição, como já dito anteriormente, é a aplicação de
filtros ortogonais responsável pela geração de novas séries de coeficientes. Estes por
sua vez, permitem via a redundância de coeficientes gerada, eliminar um de cada dois
coeficientes calculados. A partir destes últimos obtêm-se os coeficientes de
aproximação e os coeficientes de detalhe. Embora a série dos coeficientes de
aproximação e dos de detalhe possuam um tamanho correspondente à metade dos
termos de pontos do sinal original devido ao processo de decimação, o número de
coeficientes da base se mantém inalterado após a decomposição. Isto se deve ao fato
de que somando-se os N/2 termos obtidos na aproximação com os respectivos N/2
termos oriundos dos detalhes chega-se ao tamanho original N. Estes blocos são
adequadamente montados de modo a obter a transformada rápida.
3.6. Análise e síntese na multi-resolução e o algoritmo piramidal
A análise multi-resolução é uma estratégia de processamento de sinais onde é
utilizado um conjunto de filtros especializados em extrair as informações do sinal,
como as freqüências presentes e a sua localização no tempo de duração do sinal, em
diferentes resoluções. (Castañon, 2003)
O estudo da multi-resolução baseou-se no próprio olho humano que detecta as
imagens em diferentes resoluções, onde as informações sobre freqüências e a
orientação dos tons de cinza presentes na imagem são interpretadas separadamente.
A conceituação matemática da análise de multi-resolução (AMR) compreende o
estudo de uma seqüência crescente de subespaços fechados {Vj, j Є Z}, que aproximam
L2 (R) e que satisfazem as seguintes propriedades:
1). ...V2⊂V1⊂V0⊂V-1⊂V-2⊂...
32
2) (R)2LV
Zj
j =∈U
3) { }0=∈I
Zj
jV
4) Invariância em escala: ( ) 02 VxfVjfj ∈⇔∈
5) Invariância em translações: ( ) ZkVkxfVf ∈∈−⇔∈ ,00
6) Existência de uma função 0V∈φ tal que { }Zkk ∈;,0φ é uma base ortonormal
em 0V , onde obtém-se: ( ) ( )kxx jj
kj −= −− 22 2/, φφ ; j,k R∈ .
Na análise de multi-resolução, denomina-se φ a função escaladora a qual
origina a família ortogonal kj,φ , de modo a obter uma nova função que recebe a
denominação de wavelet pai e é expressa pela seguinte equação:
( )ktjj −= 22 2/kj, φφ (3.11)
As propriedades (5) e (6) implicam que kj,φ , com j, k pertencente ao conjunto
dos números reais (Z), é uma base ortonormal para Vj para todo j pertencente a Z.
Diante dessas propriedades, a função φ é denominada função de refinamento, função
de escalonamento (Daubechies, 1992) ou simplesmente, wavelet-pai.
O princípio básico da análise multi-resolução é que sempre que uma coleção de
sub-espaços fechados satisfaz as propriedades da multi-resolução, há uma base
ortonormal de wavelets. Cabe lembrar o conceito de base ortonormal, que pode ser
enunciado como: base ortonormal é a base em que todos os vetores que definem os
eixos tem tamanho 1 e, além disso, são ortogonais entre si.
A idéia central da análise multi-resolução é dada uma função f de L2 (R), obter
aproximações a f em diferentes níveis de resolução. Cada subespaço Vj, será
constituído por funções aproximantes, sendo que a melhor aproximação é obtida
considerando-se a projeção ortogonal de f sobre cada Vj.
O fato que Vj ⊂ Vj+1 significa que, ao passar de um nível de resolução j para o
nível de resolução j+1, adicionamos detalhes á imagem e, conseqüentemente,
aumentamos o nível de informação contida na mesma. A cada passo, o coeficiente de
aproximação (cA) recebe uma influência menor das componentes de alta freqüência do
sinal ou imagem. Enquanto isso, os coeficientes de detalhes (cD) consistem
principalmente de altas freqüências ou ruídos. Assim, há uma separação dos
33
componentes em relação à freqüência e às partes indesejadas podem ser removidas
pela modificação dos coeficientes wavelets, via a inserção de zero nos coeficientes não
desejados (limiarização). O passo seguinte envolve a reconstrução da imagem pelo
agrupamento das componentes decompostas usando os coeficientes wavelets. (Souza,
2004)
O raciocínio oposto também é válido, ou seja, ao se aproximar f a níveis de
resolução cada vez menores, perde-se informação. (Mallat, 1999)
Considerando-se a uma dada resolução (j-1) um sinal, pode-se afirmar que as
funções de escalonamento φ (x) formam uma base para um conjunto de sinais. Nesse
contexto, o sinal acrescido dos detalhes combinam-se em uma multi-resolução a um
nível de resolução mais fino j. As médias provêm das funções de escalonamento e os
detalhes são oriundos das wavelets, como segue abaixo:
(3.12)
O lado esquerdo da equação representa o sinal como uma combinação linear das
funções de escalonamento e ao nível j. No lado direito, tem-se a soma de
combinações lineares do sinal ao nível (j-1) e das funções de escalonamento
também ao nível (j-1). O resultado dessa seqüência de operações é a multi-resolução
de um sinal.
A análise clássica da multi-resolução é baseada no conhecimento de um
conjunto de espaços funcionais nos quais as sucessivas aproximações de uma dada
função convergem para aquela função, e pode ser eficientemente computada. Dessa
forma, todos os conteúdos das aproximações e dos detalhes são obtidos por meio de
um processo sucessivo de operações de decimação, denominadas convoluções.
Esse processo, como já dito anteriormente, compreende a decomposição do
sinal em aproximação e detalhe através das sucessivas passagens do sinal pelos bancos
de filtro (sub-amostragem): filtros passa-baixa correspondendo às aproximações e
filtros passa-alta correspondendo aos detalhes. A aproximação do sinal/imagem
consiste em uma representação em baixa resolução do sinal/imagem original. A
principal característica da aproximação é o fato de a mesma conter as baixas
freqüências do sinal original. Já o detalhe corresponde à diferença entre duas
sucessivas representações em baixa resolução do sinal/imagem original e expressa a
alta freqüência do mesmo sinal. Esta decomposição em aproximações e detalhes da
( ) ( ) kj
k
kjkj
k
kjkj
k
kj btata ,1,1,1,1,, −−−− ∑∑∑ += ψφφ
( )tkj ,1−φ( )tkj ,φ
34
imagem, representa na teoria, a execução das operações de Análise e Síntese,
implementadas nas bases φ(t) e wj,k (t) para decompor o sinal, decorrentes da aplicação
dos bancos de filtro. O próximo capítulo aborda detalhadamente a implementação dos
filtros e suas respectivas funções.
Nesse sentido, a análise multi-resolução promove a divisão do sinal original em
escalas de resolução, ao invés de ser dividido em freqüências diferentes, como ocorre
na análise de Fourier. (Valins , 2005).
Para tal, deve-se considerar que na transformada wavelet discreta cada sinal x(t)
pertencente ao espaço Vj, Vj = Vj-1 +Wj-1 pode ser expresso de duas formas, através das
funções da base de cada um dos espaços . Logo:
(3.13) (3.14)
A partir dos coeficientes gerados na primeira aproximação A0(k) pertencentes à
escala (j) são implementados os coeficientes A1(k) e D1(k) na escala (j-1) que
representa a operação de análise.
Alternativamente, tal processo pode se iniciar a partir dos coeficientes A1(k) e
D1(k) na escala (j-1) e produzir os coeficientes A0(k) na escala (j). Tal operação
denomina-se síntese.
Esquematicamente, as operações de Análise e de Síntese são definidas como
segue:
Figura 3.12: Esquema das operações de Análise e Síntese.
)()()()( ,11,11 tkcDtkcA kj
k
kj
k
−− ∑∑ += ψφ
)()()( ,0 tkcAtx kj
k
φ∑=
35
3.8. Banco de filtros
3.8.1. Caso unidimensional
A transformada wavelet decompõe o sinal em diferentes níveis empregando
bases que são, geralmente, ortogonais. Como já dito anteriormente, essas funções são
obtidas a partir das translações e dilatações da wavelet mãe, localizada no domínio da
freqüência e do tempo. Ao se efetuar este processo em passos discretos obtêm-se a
transformada wavelet correspondendo a uma implementação baseada na filtragem do
sinal.
Assim, cada wavelet corresponde a filtros passa alta e passa baixa. Tais filtros
são determinados respectivamente, pela função escala e função wavelet empregadas.
Esquematicamente, pode-se visualizar tal processo como segue:
Figura 3.13: Implementação da transformada wavelet baseada na filtragem do sinal.
O diagrama explicita o processo de obtenção das aproximações e dos detalhes
obtidos através dos bancos de filtros passa-alta e passa-baixa que, por sua vez,
promovem uma divisão do sinal amostrado em sub-bandas de freqüência analisadas
individualmente.
Sinal
Filtro passa alta Filtro passa baixa
Coeficientes de aproximação
Coeficientes de detalhes
36
A figura 3.14 ilustra o esquema de codificação em sub-bandas:
Figura 3.13: Divisão do espectro de um sinal em sub-bandas usando
banco de filtros.
Fonte: Leite, 2003.
Neste processo são empregadas as equações obtidas pelos filtros passa-baixa,
denominadas equações de dilatação, responsáveis pelas aproximações da imagem
original e as equações de translação, oriundas dos filtros passa-alta e responsáveis pela
captura dos detalhes da imagem. Ainda em relação aos detalhes (Mallat, 1999) propõe
uma subdivisão em três funções distintas obtidas conforme a utilização dos filtros
pelas linhas e colunas. Obtém-se então: os detalhes na vertical correspondentes à
adoção de filtros passa-alta nas linhas e passa-baixa nas colunas; os detalhes na
horizontal correspondem aos filtros passa-baixa nas linhas e passa-alta nas colunas e,
por fim, os detalhes na diagonal resultantes do emprego de filtros passa-alta nas linhas
e também nas colunas.
Todo este processo nada mais é que o algoritmo piramidal empregado como
meio de obtenção de “aproximações” e “detalhes” de um dado sinal.
Comumente, emprega-se o fator de dilatação igual a dois, cuja denominação é
descrita como diagrama “diádico”.
3.7.2. O esquema de análise do banco de filtro:
O raciocínio é apenas inverter a metodologia usada no esquema de
decomposição tratada anteriormente. Trata-se agora de, a partir dos coeficientes A1(k)
e D1(k) na escala(j-1), obter os coeficientes A0(k) na escala j.
37
Assim, dada uma função x(t), a qual representa um sinal bem definido, tem-se:
= (3.15)
Esquematicamente, os diagramas que envolvem as etapas de decomposição e
reconstrução são definidos como:
Figura: 3.15: Processo de decomposição do sinal.
Figura 3.16: Processo de reconstrução do sinal.
)()()( ,0 tkcAtx kj
k
φ∑=
)()()()( ,11,11 tkcDtkcA kj
k
kj
k
−− ∑∑ += ψφ
)()( 11 tDtA +
38
Pelo diagrama, percebe-se que o processo de reconstrução ocorre no sentido inverso ao de
decomposição.
Figura 3.17: Obtenção dos coeficientes após a reconstrução do sinal.
Fonte: Phillips, 2003.
Considera-se o fato de que )(, tnjφ é uma base ortogonal ao sub-espaço Vj. Logo:
(3.16)
Esta expressão pode ser melhor compreendida através dos conceitos de
filtragem e de upsampling. A operação de upsampling consiste em aumentar o tamanho
do sinal ou imagem com o emprego da interpolação, de modo a introduzir zeros entre
os valores do sinal discreto. Simbolicamente possui como representação: ↑ 2. Tal
procedimento assemelha-se ao zoom digital na imagem. Em comparação à operação de
filtragem do sinal, tem comportamento oposto à operação de decimação. Filtrar, como
já dito anteriormente, consiste em reter parte dos componentes de um sinal. Sua
)2()()2()(
)(),()()(),()(
)(),()()()(cA
1101
,,11,,11
,,11,11
0
knhkcDknhkcA
ttkcDttkcA
ttkcDtk
(t)x(t),(n)cA
k
njkj
k
njkj
k
k k
njkjkj
j,n
−+−=
+=
+=
=
∑∑
∑∑
∑ ∑
−−
−−
φψφφ
φψφ
φ
39
simbologia ↓2 denota o bloco que realiza a remoção das amostras ímpares. Logo, após
a aplicação das operações de upsampling, o banco do primeiro estágio da síntese passa
a ser implementado como:
Figura 3.18: Banco de Síntese de 1° estágio.
Fonte: Phillips, 2003.
A rotina de implementação computacional para esse caso, se realiza através do
comando idwt do toolbox do matlab. Sua sintaxe corresponde a:
x=idwt (cA,D,' família wavelet'). Para o caso de um banco de filtro de múltiplo estágio, tem-se uma estrutura
próxima à uma árvore, na qual a saída do banco de filtros de primeiro estágio se torna
a entrada para o banco de filtros do estágio superior.
No exemplo abaixo é apresentado um banco de filtros de três estágios. Nessa
situação, o banco de análise de três níveis produz saídas cD1(k), cD2(k), cD3(k) e
cA3(k), correspondendo respectivamente aos coeficientes de detalhe no nível 1,
coeficientes de detalhe no nível 2, coeficientes de detalhe no nível 3 e a aproximação
obtida também no nível 3.
Figura 3.19: Banco de filtro de três estágios.
Fonte: Phillips, 2003.
40
3.7.3. A reconstrução perfeita do sinal
A etapa de reconstrução atua sobre os coeficientes calculados na decomposição.
Durante este processo, a quantidade de amostras do sinal ou imagem é reduzida através
da aplicação da decimação fator 2 (Dyadic downsampling). Em um primeiro momento,
insere um zero após cada coeficiente de modo a permitir a restituição do tamanho
original da série e, posteriormente, aplicam-se filtros de reconstrução para obter os
dois sinais finais, os quais somados constituem o sinal reconstruído.
O esquema da reconstrução do sinal consiste em efetuar a análise via banco de
filtros e empregar logo após o banco de filtros da síntese. O diagrama abaixo ajuda na
compreensão deste conceito:
Figura 3.20: Reconstrução perfeita do sinal.
Fonte: Phillips, 2003.
A reconstrução perfeita emprega na análise os filtros de reconstrução denotados
na figura por: rh1(n) e rh2(n) cuja nomenclatura se refere à reconstrução do filtro h1(n)
e h2(n).
Operação de Análise Operação de Síntese
41
Capítulo 4: Aplicações da Transformada Wavelet em duas dimensões.
4. Transformada wavelet discreta em duas dimensões
4.1. Filtragem em sub-bandas
A aplicação da transformada de wavelet a um sinal é equivalente à realização da
análise do sinal em sub-bandas. A filtragem em sub-bandas consiste em analisar um
sinal passando-o por um banco de filtros passa-banda, o que o torna um método muito
empregado em processamento de sinais análise de espectro. Neste método, cada sub-
banda resultante da filtragem com o banco de filtros é então codificada de modo a
considerar as características da sub-banda. Este processo é conhecido por subband
coding. (Leite, 2003)
De modo geral, a idéia central consiste em dividir o espectro do sinal através do
emprego de dois filtros, um passa-baixo e outro passa-alto, os quais irão subdividir o
sinal em dois sinais iguais menores respectivamente: um para as freqüências maiores
que um limiar (metade passa-alto) e outro para representar as freqüências menores
(metade passa-baixo).
Os filtros passa-baixo, também conhecidos como filtros de suavização, possuem
a característica de manterem os mesmos coeficientes para a máscara de convolução,
independente da posição na imagem. Esta característica é conhecida como invariância
à translação. Outra importante propriedade é a implementação dos filtros pela
operação de convolução, em que a máscara caracteriza o tipo de filtro linear
empregado.
Como os filtros passa-baixas eliminam os componentes de alta freqüência, são
eles também os responsáveis pela remoção de pequenos detalhes presentes na imagem
e na atenuação de ruídos.
Já os filtros passa-alta têm por função o realce dos componentes de altas
freqüências da imagem, visualizadas pela representação de níveis de cinzas mais claros
em uma imagem monocromática (valores de pixel mais altos) e as componentes de
baixa freqüência se tornam mais escuras, o que corresponde a uma aparente acentuação
das bordas e outros detalhes finos da imagem. (Santos, 2002)
Na figura abaixo, os filtros passa-baixa são representados nas três distintas
orientações (horizontal, vertical e diagonal) em dois níveis de resolução. Os detalhes,
correspondentes às baixas freqüências são as imagens em cinza.
42
Figura 4.21: Visualização da aplicação de filtros passa baixa na transformada wavelet.
Na prática, a aplicação destes filtros em uma matriz é realizada pela iteração
entre linhas e colunas da matriz de origem, tal que, a cada nível de iteração são
geradas 3 sub-imagens (cada uma referente à uma orientação espacial), que constituem
os coeficientes de wavelets armazenados. (Oliveira, 2000)
Como resultado, obtém-se sub-imagens organizadas em diferentes níveis. A
vantagem deste esquema consiste no fato de ser necessário desenhar apenas dois
filtros, passa-alta e passa-baixa, sendo os outros filtros obtidos por iterações
sucessivas. Todavia, este método apresenta como desvantagem a cobertura fixa do
espectro. (Leite, 2003). As extensões das equações de dilatação e o algoritmo
piramidal (decomposição de Mallat) também são válidas para o caso bidimensional.
Deste modo, os coeficientes obtidos são matrizes e podem ser representados no
formato de mosaicos. Na figura abaixo os coeficientes gerados pela wavelet pai
(coeficientes da aproximação) são simbolizados por aj, os coeficientes dos detalhes
horizontais são simbolizados por dH, os coeficientes dos detalhes verticais por d
V e,
por fim, os coeficientes dos detalhes diagonais são simbolizados por dD em seus
respectivos níveis de resolução, j.
43
Assim, tem-se:
Figura 4.22: Representação dos coeficientes bidimensionais.
Na figura percebe-se que cada quadrado representa os coeficientes da wavelet,
decompostos na parte suave (aproximação) e os detalhes obtidos em cada direção.
Exemplo:
Imagem Original Decomposição em 1 nível Decomposição em 2 níveis
Figura 4.23: Representação da parte suave e detalhes da imagem.
Outra representação possível é obtida através des mosaicos que se repetem na
mesma proporção. Entretanto, Morettin (1999) também apresenta uma representação
baseada em mosaicos organizados em proporções diferentes. Trata-se de uma
a d
dd
j
j+1
j+1
j+1
H
V D
d j+2
V
dD
j+2
dH
j+2
dV
dD
dH
j+3
j+3j+3
aproximação detalhes
44
representação gráfica baseada em produtos de pares de wavelets e funções escalas,
considerando-se escalas distintas.
Figura 4.24: Representação dos coeficientes bidimensionais em mosaicos.
Fonte: Morettin, 1999.
A análise multi-resolução da transformada wavelet está fundamentada nas projeções
na base ortogonal formada pela função de escalamento e na base ortogonal formada pela
wavelet.
No tratamento de imagens, ou seja, para sinais bidimensionais, a transformada baseia-
se em uma função de escalamento separável, denotada por (x,y) e denominada wavelet-pai
ou ondaleta-pai.
φ (x,y)= φ (x) φ (y) (4.27)
Com base nisto, pode-se afirmar que a análise é realizada por meio de duas
análises multi-resolução de uma única dimensão. O resultado é a obtenção das ditas
wavelets-mãe, responsáveis pelos detalhes da imagem, que caracterizam a projeção
ortogonal de uma imagem dita f(x,y) nas bases formadas pelas wavelets nos fornece os
detalhes da imagem.
Matematicamente, os detalhes nas direções horizontal, vertical e diagonal
respectivamente são expressos pelas seguintes relações:
HH
j fyxd ψ,),( = (4.28)
VV
j fyxd ψ,),( = (4.29)
DD
j fyxd ψ,),( = (4.30)
φ
45
A aproximação para o caso bidimensional é obtida pela projeção ortogonal da
função f(x,y) no conjunto das funções originadas da função de escalamento.
Considerando-se um nível de resolução (i), a aproximação é descrita por:
(4.31)
Uma outra forma de representação da transformada wavelet de uma dada função
f é a forma matricial em que dada uma matriz com 2lx 2l pixels, a qual pode ser
armazenada em uma matriz quadrada B, de ordem 2l. Neste caso, cada linha ou coluna
dessa matriz é tratada como uma imagem unidimensional para o cálculo dos
coeficientes wavelet, que são representados por um vetor. De modo análogo, no caso
de um sinal bidimensional S(x,z) têm-se suas representações baseadas na
decomposição de uma matriz em submatrizes.
Essa decomposição pode ser obtida de duas maneiras: a decomposição
convencional ou a decomposição alternada.
A decomposição convencional consiste em se utilizar a transformada wavelet
em uma dimensão seguida pela transformada desta operação em outra dimensão. Deste
modo, torna-se possível obter decomposições em diferentes níveis a partir do sinal
original.
Já a decomposição alternada de linhas e colunas é obtida a partir de
representações em diferentes níveis, ou seja, a partir do produto tensorial de duas
bases de dimensão unitária, com escalas distintas para cada dimensão. Cada conjunto
de transformadas na linha e na coluna corresponde a um nível de decomposição na
imagem. Como resultado, obtém-se um novo grupo de subespaços denominados
aproximação (parte suave) e detalhes (parte ruidosa), divididos em detalhes horizontal,
vertical e diagonal.
( ) ( ) ( ) ( ) >=< yxyxfyxai φφ ,,,,
46
A cada um desses subespaços é atribuído um conjunto de coeficientes suaves e
de detalhes.
Figura 4.25: Tipos de decomposição bidimensional.
Fonte: Betetto, 2006.
Matematicamente, este novo grupo de subespaços traduz-se pelas seguintes
expressões:
⇒=Φ )()(),(21 ,,. yxyx klklkl φφ (4.32)
⇒=Ψ )()(),(21 ,,, yxyx kjkj
h
kj ψφ wavelet horizontal. (4.33)
⇒=Ψ )()(),(
21 ,,, yxyx kjkj
v
kj φψ wavelet vertical. (4.34)
⇒=Ψ )()(),(
21 ,,, xxyx kjkj
d
kj ψψ wavelet diagonal. (4.35)
wavelet pai.
Decomposição Convencional Decomposição Alternada
47
4.2. A energia da Transformada Wavelet
A determinação das energias está fundamentada no teorema de Parseval que
estabelece que “a energia contida no sinal é igual à soma das energias concentradas
nos diferentes níveis de resolução da sua transformada wavelet”. Isso implica que a
energia do sinal pode ser decomposta em termos dos seus coeficientes wavelets na
forma:
2
1 1
2
1
2
1
|)(||)(||)(| ndnanfj
J
N
n
jj
N
n
N
n
∑∑∑∑−= ===
+=
A variáveis empregadas nessa equação têm o seguinte significado:
N: corresponde ao número total de amostras do sinal;
2
1
|)(| nfN
n
∑=
: corresponde a energia do sinal analisado;
2
1
|)(| na j
N
n
∑=
: energia concentrada na versão aproximada de nível “j” do sinal analisado;
2
1 1
|)(| ndj
J
N
n
j∑∑−= =
: energias concentradas nos detalhes de níveis de 1 a “j”do sinal
analisado.
A partir dessa análise, após a decomposição do sinal em diferentes níveis de
resolução, ou seja, após a determinação dos coeficientes wavelet do sinal, é efetuado o
cálculo da energia concentrada em cada um dos níveis de decomposição.
(4.26)
48
Para a imagem, a distribuição da energia na imagem é caracterizada em função
das sub-bandas. (Dados relativos à média da raiz quadrada da média da energia
(RMSE).
Figura 4.26: Exemplo de distribuição da energia da transformada discreta wavelet de
Daubechies 4, da imagem Lena 512x512.
4.3. A escolha da função wavelet
A transformada wavelet pode ser comparada a um microscópio, cuja ampliação
é dada pelo inverso do parâmetro de dilatação e a capacidade óptica pela escolha da
função wavelet–mãe.
Uma questão que sempre surge na aplicação da análise wavelet é a escolha da
função mais adequada para a análise do sinal em questão. Como não existe uma receita
única para este procedimento, deve-se atentar para alguns pontos norteadores de tal
seleção.
As famílias wavelets freqüentemente empregadas para o processamento de
sinais são as wavelets de Haar, Daubechies, Morlets, Coiflets e Symlets. Várias outras
famílias de wavelets foram definidas em diversos trabalhos além dessas, com cada uma
atributos próprios e empregabilidade específica. A recomendação da literatura é que a
escolha da família a ser implementada se baseie na melhor caracterização do
fenômeno: imagem ou sinal a ser analisado.
49
A determinação da qualidade e quantidade de compressão está diretamente
relacionada às matrizes as quais a transformada será submetida, ou seja, da forma e
propriedades dos dados sendo comprimidos. Para os caso de matrizes compostas por
planos constantes então uma wavelet Daubechies de ordem 1 (e filtro de comprimento
2) será suficiente. Se forem compostas por planos lineares então uma wavelet
Daubechies de ordem 2 deverá ser utilizada sob pena de má compressão. A família de
Daubechies, comprime bem curvas formadas por polinômios: quanto maior a ordem do
polinômio, maior deverá ser a ordem da wavelet. Entretanto, a opção por uma ordem
alta, implica em desvantagens que também devem ser consideradas: a velocidade de
execução da transformada e a qualidade da compressão.
A qualidade da compressão é afetada porque filtros de grande comprimento
tendem a “espalhar” a ocorrência de uma descontinuidade entre vários coeficientes.
Isto é causado pelo fato de que o tamanho do filtro é diretamente proporcional ao
comprimento da onda correspondente no espaço físico. Portanto, quanto maior o
tamanho do filtro, maior quantidade de ondas serão atingidas pela descontinuidade,
caso exista.
A família de Coiflets é empregada a sinais que apresentam propriedades
espectrais particulares. Já as Symlets são adaptadas a dados com planos de simetria
definidos, como por exemplo, um sinal composto por uma série de curvas gaussianas.
As wavelets Splines por apresentarem a característica de serem biortogonais não são
empregadas para a compressão de dados.
Segundo Domingues (2003) as principais recomendações para a realização desta
seleção se concentram na observação das características presentes no sinal e de seu
comportamento. Assim, a forma da função wavelet escolhida deve refletir as
características da série temporal. Como exemplo, estão listados abaixo alguns pontos
fundamentais a serem considerados:
� análises temporais que apresentam variações bruscas, deve-se empregar a
wavelet de Haar, assim como imagens com grandes regiões de cor constante;
� séries temporais com variações mais suaves, indica-se a família Morlet e a
wavelet chapéu mexicano;
� para o estudo de sinais que apresentam oscilações de amplitude e/ou fase,
sugere-se o emprego de uma wavelet complexa como a de Morlet, por exemplo;
50
� na análise exploratória dos dados, as funções wavelet não-ortogonais revelam–
se bem adequadas, isto devido ao fato de as mesmas permitirem uma
redundância de informação;
� para sintetizar dados e fazer compressões, são empregadas as funções wavelet
ortogonais, que representam os sinais de forma mais compacta;
� quando é necessário uma informação quantitativa sobre um processo, funções
wavelet ortogonais são a melhor escolha (Kumar & Foufoula,1994).
Vidakovic (1995) recomenda que a escolha de wavelet ortogonais de
Daubechies para sinais turbulentos deve ser baseada no critério de balanço de energia
do sinal.
Deve-se adotar a que menos desbalanceia a energia do sinal, isto é, a que
necessite do menor número de coeficientes para representar o sinal. Conforme essas
orientações e implentação prática, a escolha da família wavelet que se revelou
adequada ao presente estudo foi a família de Haar, devido principalmente à sua
simplicidade na implementação e performance eficiente para detecção de alterações
bruscas na imagem (bordas).
51
Capítulo 5: Modelo experimental empregado para a análise da granulometria e
hipóteses do trabalho.
5. Metodologia Experimental
O presente trabalho emprega a análise de imagens empregando a técnica de
Análise Wavelet para determinação de padrões de freqüências espaciais. Como
ferramenta auxiliar será implementado um algoritmo para a geração de imagens de
corpos padrão - esferas (uniformes em relação a geometria e considerando-se a medida
do diâmetro das esferas como parâmetro de entrada no simulador. Esta simulação tem
por objetivo reproduzir a realidade desses corpos ao serem depositados em pilhas ou
transportadores. Portanto, serão consideradas todas as possibilidades de alocação dos
corpos.
A partir das imagens geradas, será utilizado o software Matlab 6.5 para o
modelagem do sistema.
Também serão realizados testes estatísticos de correlação visando melhorar a
adeqüabilidade ao modelo.
Imagens Simuladas
Para a análise das imagens simuladas foi implementado um simulador, cujo
parâmetro de entrada é o valor fixo de diâmetro, escolhido aleatoriamente. As imagens
seguintes apresentam as imagens geradas com os diâmetros de 14 , 24, 35, 50, 75 e 95
pixels.
52
Figura 5.27: Imagem de esferas de diferentes diâmetros
(diâmetro = 14 pixels) (diâmetro = 24 pixels)
(diâmetro = 35 pixels) (diâmetro = 50 pixels)
53
Hipóteses
Sabe-se que os sinais físicos podem ser representados de duas formas: no
domínio do tempo, onde a amplitude do sinal ou imagem é representada como uma
função temporal; bem como, no domínio da freqüência, ou simplesmente, freqüência
espacial, onde o sinal é representado pela amplitude de cada freqüência que o compõe.
Presume-se que o espectro de freqüências espaciais seja rico em determinadas
componentes, de modo que será possível definir um padrão de freqüências espaciais a
partir de objetos e sua disposição na imagem. Assim, constitui-se hipótese deste
trabalho a suposição de que através da determinação do padrão de freqüências
espaciais e sua respectiva variação pode-se estimar um padrão de tamanhos de objetos
em uma imagem digital.
A asserção básica feita nesse trabalho é que, através do cálculo das freqüências
altas e baixas, e da distribuição da energia local, resultante da decomposição do sinal
dada pela transformada wavelet discreta são suficientes para modelar o sistema de
distribuição de granulometria. Neste sentido, observou-se uma forte relação entre
tamanhos e energias associadas, através dos experimentos planejados com esferas de
diâmetros conhecidos e, posteriormente, imagens com geometrias diversas.
Através do emprego do teorema da convolução, torna-se possível o projeto de
filtros no domínio da freqüência. Sabe-se que regiões de borda e outras transições
abruptas de cinza correspondem a componentes de alta freqüência, enquanto as baixas
freqüências representam regiões mais homogêneas na imagem original.
Cada conjunto de sub-imagens geradas após a aplicação da transformada é
dividida nas bandas LL, LH, HL e HH. A banda LL representa os componentes de
baixa freqüência e cuja resolução corresponde à metade da resolução da imagem antes
da decomposição. Ainda como característica, apresenta uma alta concentração de
energia e importantes informações sobre a imagem.
54
As imagens obtidas nas bandas (filtros) LH, HL e HH correspondem aos
componentes de alta freqüência contendo os componentes das bordas horizontal,
vertical e diagonal. Nelas a concentração de energia é baixa. Contém detalhes da
informação sobre os contornos da imagem.
Figura 5.28: Diagrama de imagens obtidas após a aplicação dos filtros.
LL HL
LH HH
55
5.1. Desenvolvimento Experimental
O desenvolvimento experimental envolveu em uma segunda etapa a aquisição
de imagens de esferas, representadas por esferas de isopor, de diferentes diâmetrso.
Alguns exemplo são ilustardos abaixo:
Diâmetro de 60 mm. Diâmetro de 50mm.
Figura 5.29: Exemplos de imagens de esferas reais.
Considerando as amostras reais, em que as imagens correspondem às esferas de
diferentes diâmetros, obteve-se:
Figura 5.30: Exemplo de decomposição da imagem real no nível 1.
Detalhe horizontal: alta freqüência
Detalhe diagonal: alta freqüência
Detalhe vertical: alta freqüência
Aproximação: baixa freqüência
56
Considerando-se agora a decomposição no nível dois, tem-se:
Figura 5.31: Exemplo de decomposição da imagem real no nível 2. Resolução =24.
Ao invés de aplicar a técnica de análise de bordas convencional, via a segmentação da
imagem, efetuou-se a transformada wavelet e aplicou-se os filtros passa-faixa. Deste modo,
obteve-se a decomposição da freqüência em altas e baixas, correspondentes à aproximação e
detalhes da imagem.
Inicialmente, o cálculo da magnitude foi aplicado considerando-se apenas a
orientação espacial nas direções vertical e horizontal, baseado na explanação do
professor Jung (Unisinos) sobre processamento de imagens. Nela, o professor Jung cita
a possibilidade de análise de bordas através da análise de cada pixel da imagem e da
estimação da magnitude do vetor gradiente na escala 2 original, e os detalhes nas
direções horizontal e vertical para o caso wavelet 2D.
A relação é expressa como :
(5.27) Onde: j= representa a escala.
( )22 )()( v
j
h
jj DDmagnitude +=
57
O passo seguinte foi o cálculo da energia contida na imagem com base na
magnitude do vetor gradiente, conforme a equação 4.26.
Assim, obteve-se um modelo que correlaciona os detalhes (bordas) e a taxa de
energia associada aos coeficientes wavelet.
O seguinte gráfico apresenta a correlação entre as variáveis diâmetro das esferas
e energia dos detalhes horizontais e verticais.
Figura 5.32: Gráfico da relação diâmetro das esferas e energia dos detalhes horizontais
e verticais.
Embora exista uma alta correlação entre as variáveis, conforme indicação no gráfico, o
modelo se mostrou mais complexo e com uma pouca variação da energia em objetos de
diâmetro maior. Além disso, o modelo apenas considera duas direções espaciais, o que limita
o estudo em função da geometria dos objetos. Apesar disso, os resultados confirmam a
suposição inicial deste trabalho em extrair informações úteis à quantificação de granulometria
pela decomposição das freqüências espaciais.
Em seguida, foi calculada a energia ou magnitude da imagem de aproximação e
de detalhes globais (detalhe vertical + detalhe horizontal + detalhe vertical) e a
magnitude da taxa de energia (razão entre a energia da aproximação e a energia dos
detalhes.
58
Os resultados iniciais são apresentados na figura 5.33:
Figura 5.33: Gráfico de correlação energia dos detalhes verticais x diâmetro das
esferas simuladas.
Embora exista uma correlação entre as energias dos detalhes e a variação dos
tamanho, observou-se uma variação nesta correlação ao empregar objetos de diferentes
geometrias. O emprego da técnica de cálculo da magnitude da energia dos coeficientes
tornou o modelo linear e expandiu o campo de análise a quaisquer geometrias e
orientações espaciais.
Relação entre diâmetro das esferas e magnitude da
energia
R2 = 0,9593
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Magnitude da energia
Diâ
met
ro d
as
esfe
ras
59
Variação dos diâmetros (pixels) com a taxa da
energia dos coeficientes
0
20
40
60
80
100
120
10 28 43 55 72 89 101
Taxa de energia dos coeficientes
Diâ
met
ros
Série 1 (Azul) : Diâmetros conhecidos Série 2 (Rosa): Diâmetros estimados
Gráfico 5.34: Variação dos diâmetros simulados e estimados via o cálculo da taxa de
energia.
O gráfico acima evidencia claramente o comportamento uniforme entre a
variação dos diâmetros das esferas analisadas e a taxa de energia dos coeficientes
calculados para cada imagem de diâmetro fixo. É interessante ressaltar que, embora as
imagens tenham sido geradas com diâmetros fixos, o empillhamento das mesmas não
causou distorções no modelo.
60
Figura 5.33: Gráfico de correlação entre a energia dos detalhes verticais e diâmetro
das esferas reais.
Percebe-se pelo gráfico acima que a correlação se mantém acima de 95% para
os testes com imagens de esferas reais de diâmetros variáveis. Nesse ensaio, foram
empregadas esferas de isopor, com iluminação constante e captura via câmera CCD
monocromática de alta resolução. Em coerência com o gráfico 5.32 a tendência de
aumento da taxa de energia dos coeficientes varia de modo linear e positivamente com
o aumento dos diâmetros das esferas.
Diâmetro de esferas reais versus taxa de energia dos coeficientes
R2 = 0,9655
0
15
30
45
60
75
90
105
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Taxa de Energia
Diâ
met
ro (
mm
)
61
5.2. Estudo de caso: Imagens reais de fragmentos de rochas
Gran01: taxa de energia=39,974 Gran02: taxa de energia =57,779
Gran03: taxa de energia =68,769 Gran04: taxa de energia = 104,28
Gran05: taxa de energia =92,556
Figura 5.36: Exemplo de imagens de fragmentos de rochas.
62
Uma análise qualitativa destas imagens totalmente heterogêneas, demonstra uma
tendência em relação às taxas de energia conforme os testes apresentados
anteriormente. Percebe-se que:
• A imagem Gran 01 se apresenta mais homogênea em relação aos tamanhos dos
grãos. Percebe-se também uma riqueza de detalhes;
• as imagens Gran 02, Gran 03 e Gran 05, revelam um aumento na geração de
finos e, também uma maior heterogeneidade;
• a imagem Gran 04 apresenta a maior taxa de energia acredita-se devido à
centralização da imagem nos dois objetos de maior tamanho. Tal análise deverá
ser realizada com uma abordagem mais minuciosa.
Uma análise qualitativa baseada na atribuição de grau de heterogeneidade, e na
atribuição de pesos conforme a variação desta variável nas imagens, revela uma
correlação positiva entre a heterogeneidade e a magnitude da taxa de energia dos
coeficientes wavelet.
Tabela 1: Relação entre a heterogeneidade da imagem e a magnitude da taxa de energia
dos coeficientes wavelet correspondentes.
Imagem Peso Magnitude da taxa de energia
Gran 01 1 39,974 Gran 02 2 57,779 Gran 03 3 68,769 Gran 04 5 104,28 Gran 05 4 92,556
63
Assim, pelo exposto acima, conclui-se que:
• A técnica foi capaz de detectar as variações na heterogeneidade dos objetos;
• para uma imagem rica em detalhes, o espectro de freqüências espaciais é
predominante em freqüências altas; isto justifica a baixa taxa de energia dos
coeficientes;
• objetos com dimensão bem pequena (finos) são ricos em freqüências baixas.
Com isto, a taxa de energia dos coeficientes se mantém alta;
• a imagem Gran04 apresenta a maior taxa de energia devido à extrema
heterogeneidade da mesma com centralização nos dois objetos de maior
tamanho.
64
Capítulo 6: Conclusões e sugestões de abordagens em trabalhos futuros.
6. Conclusões
A partir dos resultados obtidos, é possível afirmar que foram comprovadas as
hipóteses iniciais deste estudo com a mensuração da variação da granulometria através
da modelagem das freqüências espaciais da imagem com o emprego da transformada
wavelet de Haar. Esta modelagem baseou-se na decomposição das freqüências
espaciais via o emprego de bancos de filtros: passa-alta e passa-baixa contendo,
respectivamente, as altas e baixas freqüências espaciais.
Por sua vez, a análise dessas classes de freqüências permite caracterizar a
imagem pela detecção de bordas, representadas pelas componentes de alta freqüência
da imagem (detalhes) e regiões de baixa freqüência, com alta concentração de energia
e capacidade de detecção de regiões mais homogêneas na imagem. Comprovou-se que
as imagens obtidas pela aplicação de bancos de filtros tornaram possível o tratamento
das imagens através da transformação da informação contida na imagem, gerada em
pixels para o domínio das freqüências espaciais. A validação dessa afirmação foi
efetuada com os cálculos da aplicação da transformada de Haar após a execução do
banco de filtros, responsáveis pela decomposição do sinal/imagem e reconstrução
perfeita da mesma, o que garante a inexistência de perdas significativas de informação.
Tais considerações culminaram na construção de um modelo baseado taxa entre
as freqüências baixas e altas, com a mensuração da variável taxa de energia dos
coeficientes da transformada wavelet, que consiste na razão entre as altas e baixas
freqüências obtidas após a discretização da transformada wavelet de Haar. Tal
procedimento considera que a característica da transformada wavelet está intimamente
relacionada com o nível de detalhe que a imagem apresenta e, conseqüentemente com
a capacidade de detecção de bordas e contornos.
Os resultados obtidos revelam uma forte correlação entre as freqüências dos
coeficientes wavelet e a distribuição de tamanhos dos objetos analisados, aplicável a
qualquer geometria e disposição dos objetos, incluindo a sobreposição dos mesmos.
Assim, o estudo revela esta técnica como uma ferramenta auxiliar na abordagem
convencional de determinação da granulometria com as etapas de segmentação e
análise de bordas da imagem, já que analisa a imagem de modo global ao invés da
identificação de "partes" de objetos como se fossem inteiros. Isto melhora
65
significativamente a performance dos resultados, principalmente em situações de
sobreposição de objetos.
Outro aspecto positivo revelado nesse estudo é a sua facilidade de
implementação nos pacotes computacionais já existentes e o fato de se tratar de uma
abordagem forte indicadora de tendência para a aplicação prática nos processos
industriais para monitoramento das dimensões de materiais como, por exemplo,
minério através de correias transportadoras, extração de informações referentes à
granulometria e à inspeção das etapas de britagem, classificação e beneficiamento dos
materiais.
66
6.1. Sugestões para Trabalhos Futuros
Com relação às perspectivas de continuidade do estudo apresentado, sugere-se a
integração dessa ferramenta nos softwares existentes para a abordagem e quantificação
da granulometria, como uma alternativa complementar ao modelo matemático
tradicional.
A possibilidade de expandir a aplicabilidade dessa ferramenta aos materiais
finos, ou seja, com granulometria extremamente pequena e na determinação da
variação da granulometria, através do cálculo dos respectivos desvios-padrão, em
imagens complexas, ou seja, com alto grau de heterogeneidade como as apresentadas
no estudo de caso. Acredita-se que a modelagem nesse caso possa apresentar melhores
resultados ao se considerar determinada freqüência específica ou faixas com maior
representatividade do fenômeno. A estratificação das freqüências seria um recurso para
uma análise mais apurada de casos mais complexos.
Outra abordagem interessante é a obtenção de uma distribuição conhecida,
gerada a partir da simulação de diferentes diâmetros de esferas, de modo que a energia
contida na imagem revele a distribuição dos tamanhos.
67
7. Referências Bibliográficas
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Acesso em 24/09/2005.
71
Anexos
72
A) Famílias de Wavelets
A literatura nos apresenta uma diversidade de tipos de wavelets. A seleção do
tipo a ser empregado está associada à aplicação específica, e considera as restrições e
necessidades do estudo. Na prática, pode-se gerar uma gama de wavelets diferentes,
não havendo regras para a obtenção das mesmas. Entretanto, para a simplificação do
estudo, serão primeiramente, definidos e caracterizados os principais tipos de wavelets
destacados nas referências bibliográficas.
• Haar:
O tipo mais simples se refere à wavelets de Haar. Esta é considerada a pioneira,
datada de 1910 e mais simples de todas. Possui como característica a descontinuidade.
Se comparada às wavelets de Daubechies, a wavelet de Haar é equivalente à
Daubechies 1.
Seu princípio é bem simples: as funções regulares são aproximadas por uma
função com descontinuidades. Isto é evidenciado pela equação característica abaixo:
YJ (x)= Y (2i x-1); I = 01... 2J-1... (A.1)
Y= 1 0 < x < 1/2
-1 ½ < x < 1 (A.2)
0 outros valores de x
Como limitações do tipo de Haar têm-se uma perda de informação na
representação do sinal, devido à sua descontinuidade.
73
Figura A.4: Wavelet de Haar em vários níveis de resolução
A wavelet de Haar é considerada um elemento da família das wavelets
denominadas daublets em homenagem à Ingrid Daubechies. É interessante destacar
que a wavelet de Haar representa a única função que possui expressão numérica
explícita e caráter simétrico.
Embora haja as wavelets-mãe tais que não há wavelets-pai associadas, deve-se
atentar para o fato de que tendo-se em vista a satisfação das propriedades relativas as
inter-relações entre os sistemas da função escala e as diferentes bases de wavelet-mãe
deverão estar associadas às ditas wavelet-pai.
Figura A.3: Wavelet de Haar.
74
• Daubechies:
Possuem como característica o suporte compacto e suavidade “regulável”.Além
disto, apresentam uma capacidade de análise e síntese mais efetiva do que a wavelet de
Haar por possuírem maior regularidade e aproximarem melhor funções em L2(R).
A origem das wavelets de Daubechies está associada às famílias de filtros com
propriedades especiais: são filtros ortogonais capazes de maximizar a suavidade da
função de escala associada, por meio de uma alta taxa de decaimento de sua
transformada de Fourier.
Outro destaque é o fato de as wavelets de Daubechies serem numeradas em
função do número de momentos nulos que possuem. O número de coeficientes que os
filtros associados possuem são expressos pelo índice da wavelet. Assim, por exemplo,
a wavelet de Daubechies D4 possui 2 momentos nulos, os filtros associados possuem 4
zeros no ponto π e 4 coeficientes.
Figura A.5: Wavelet de Daubechies na escala 3.
• Coiflets:
Datada de 1989 com o objetivo de facilitarem a compressão de operadores via
wavelets. Seu princípio provém da construção de uma base ortonormal de wavelets em
que não somente a função wavelet-mãe ψ (x), como também a função escala f(x) têm
momentos nulos. Há um número fixo de momentos que são eliminados, os quais para a
função wavelet representam 2N momentos e na função escala 2N-1 momentos. Assim,
75
para uma base de Coiflet 2, tem-se respectivamente, 4 momentos nulos para a função
wavelet e 3 momentos nulos para a função escala.
Tais relações são expressas por:
1,...,0;0)(∫∞
∞−Lldxxxl
(A.6)
1,....,1,0)(∫∞
∞−Lldxxxl 1)(∫
∞
∞−dxx
(A.7)
Pelo fato de existir uma relação entre o número de momentos nulos gerados e a
simetria da função, as bases de Coiflet se apresentam mais simétricas do que as de
Daubechies.
Figura A.8: Bases Coiflets
• Symlets:
Propostas por Daubechies, as Symlets apresentam as mesmas propriedades da
família Daubechies , porém com mais simetria.
• Coifman:
Possui a vantagem de seus filtros serem projetados de modo que tanto a função
escala possuam momentos nulos;
76
Meyer:
Derivam-se das chamadas wavelets de Shannon ou Sinc wavelets. Possui um
enjanelamento na freqüência tal que o decaimento no tempo (t) seja mais rápido que a
potência de t.
Figura A.9: Wavelet de Meyer
• Wavelets Biortogonais
As wavelets biortogonais surgem da remoção da ortogonalidade das funções e
da introdução de bases duais. Neste contexto, ocorre a preservação do conceito de
função escala com uma nova visão da multi-resolução aplicada às funções duais, como
se segue:
(A.10)
Por definição, conforme (A.10) visto anteriormente a condição para que ( )tφ e
( )tφ existam deve ser :
n
nh )( = n
nh )( = 2 (A.11)
A partir dessa consideração pode-se definir as bases duais, empregando-se um
paralelo do processo de construção das wavelets ortogonais (Primer, 1999). Disto
resulta a definição de wavelets duais:
)2(2)1()1()2(2 ntnhntg(n)ψ(t)n
n
n
∑∑ φφ
)2(2)1()1()2(2 ntnhnt(n)g(t)ψn
n
n
∑∑ φφ
( ) )2(2)( ntnhtn
−=∑ φφ
(A.12)
(A.13)
77
• Comparação entre Wavelet Ortogonal e Biortogonal
Os sistemas biortogonais generalizam os sistemas ortogonais clássicos. Segundo
(Primer, 1999), eles são mais flexíveis e simples para modelar. Além disto, esses
sistemas destacam-se por apresentarem as seguintes características:
a) sistemas biortogonais não necessitam de filtros de mesmo comprimento, em
contraste com as wavelets ortogonais na qual isto se revela como condição
necessária;
b) wavelets simétricas e funções escala podem ser empregadas com a estrutura das
wavelets biortogonais;
c) o teorema de Parseval, que postula que a energia total é conservada quando da
passagem do domínio do tempo para o domínio da freqüência, não é válido para os
sistemas biortogonais. Isto implica no fato de que a normal dos coeficientes não
é a mesma das funções do modelo. Esta é uma das principais desvantagens de se
utilizar a wavelet biortogonal;
d) nas wavelets biortogonais é possível escolher o ajuste mais adequado para cada
aplicação por meio da propriedade que permite realizar uma mudança nas regras
do sistema primário sem afetar o sistema duplo;
e) as wavelets biortogonais são indicadas para estimação e detecção de ruído por
permitir o emprego de algoritmos eficientes na sua caracterização.
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B) Exemplo de Cálculo da Decomposição Unidimensional usando Transformada Wavelet de Haar
Considere uma imagem unidimensional composta por um conjunto de oito
pixels com os seguintes valores:
( 7 5 2 8 9 5 3 3 ) (B.1)
Pode-se obter, por exemplo, uma imagem com uma menor resolução a partir da média
obtida par a par da imagem anterior, ou seja:
( 6 5 7 3 ) (B.2)
A comparação dos conjuntos de pixels de ambas as imagens revela que houve
uma significante perda de informações. No entanto, essas informações perdidas são
reutilizadas pelo processo de reconstrução da imagem original, através do
armazenamento dos coeficientes de detalhes originários da média. Assim, os
coeficientes de detalhes podem ser obtidos armazenando-se os valores das diferenças
entre o valor médio e os valores nos pixels obtidos com essa operação. Esse processo
não nada mais é do que a aplicação de um banco de filtros.
O procedimento inicia-se com pelo primeiro par de valores: 7 e 5. Em seguida,
calcula-se a média entre eles: média =6. Portanto, o coeficiente de detalhe necessário
para a reconstrução da imagem original tem valor igual a 1.
Para o segundo par, repete-se o mesmo procedimento, obtendo-se como coeficientes de
detalhe o valor (-3), já que [ 5+(-3)=2 e 5-(-3)=8]. Um resumo dos cálculos é
apresentado na tabela a seguir:
Resolução Médias calculadas Coeficientes de detalhes
8 7 5 2 8 9 5 3 3
4 6 5 7 3 1 -3 2 0
2 5,5 5 0,5 2
1 5,25 0,25
Tabela B.3: Cálculo dos coeficientes de detalhes
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A conclusão é que a decomposição wavelet da imagem obtida pelo banco de filtros é
expressa pela seguinte seqüência de números reais: ( 5,25 0,25 0,5 2 1 -3 2 0), cujo
primeiro termo representa o elemento final obtido no processo de decomposição das médias e
os demais termos representam a seqüência dos coeficientes de detalhes.
Através desse mesmo processo é possível codificar os quadrature mirror filters
(QMF) que são amplamente empregados no campo de processamento de sinais, por
promoverem uma perfeita reconstrução dos sinais através dos filtros os algoritmos de síntese
(composição) e análise (decomposição).
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C) Exemplo de reconstrução perfeita de um sinal
Considere o sinal: x={110 –105.5 -50.6 60.5}
Fase I: aplicação de filtros e implementação da transformada. Ao aplicar a máscara de Daubechies1, tem-se: Máscara = {+0.707 +0.707} Cálculo dos Filtros:
a) Etapa de Decomposição: LD e HD
LD= transposição de LR;
HD= máscara com sinal invertido = - ak
b) Etapa de Reconstrução: LR e HR
LR= máscara da wavelet = {+0.707 +0.707} = ak
HR= [ transposição (troca de sinal dos coeficientes ímpares de LR]
Assim, LR= {+0.707 +0.707}
HR= { transp(-0.707 0.707)}= {0.707 -0.707} LD= { transp (0.707 0.707)} = {+0.707 +0.707} HD= - ak = {-0.707 +0.707} Com um sinal de quatro pontos, pode-se calcular dois níveis de coeficientes, devido à
decimação. Então temos j=1 e j=2 (escalas).
Cálculo dos Coeficientes
a) Coeficientes de detalhe (cd1): Nível 1. Cd1=convolução do sinal x com o filtro passa alta HD.
Por definição, a operação de convolução é a operação de inversão da ordem dos
elementos do segundo termo, multiplicando-se ponto a ponto pelo primeiro termo.
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Cd1= [( 110 -105.5 -50.6 60.5) x ( +0.707 -0.707)] ↓2 Cálculos Auxiliares: (110 x 0.707) + (-105.5 x (-0.707))=152.4 (-105.5 x 0.707) + (-50.6 x (-0707))= -38.4 (-50.6 x 0.707) x (60.5 x (-0.707)) = -78.5 -60.5 x 0.707 +0= 42.8 Logo: Cd1= { 152.3 -38.5 -78.5 42.8}↓2 Cd1= { 152.3 –78.5}
b) Cálculo dos coeficientes de aproximação (Nível 1): Ca1= conv (x,LD) ↓2 X = (110 -105.5 -50.6 60.5) ; LD= (0.707 0.707); Ca1= { 3.18 7.0} Cálculo dos Coeficientes do Nível 2: Cd2= conv (Ca1,HD) ↓2 Ca1= {3.18 7.0} , HD= {-0.707 0.707}, conv HD= {0.707 -0.707}; Cd2= {-2.7 4.9}↓2. Portanto: Cd2= {- 2.7} Ca2= conv (Ca1,LD) ↓2 Ca1= {3.18 7.0}, LD= (0.707 0.707); Ca2 = {7.2 4.9} ↓2 Ca2 = {7.2 }
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Pela teoria, sabe-se que os coeficientes wavelet resultantes do sinal X
utilizando-se a base de Haar é dado por:
C = { Cd1 Cd2 Ca2 } Assim, C = { 152.3 -78.5 -2.7 7.2} Fase II: Reconstrução do sinal original Ca1= conv (Ca2 ↑2 ,LR) + conv (Cd2 ↑2 ,HR) = conv{ (7.2 0), (0.707 0.707) }+ conv{(-2.7 0), (0.707 -0.707) } = conv ( 5.09 5.09) + (-1.91 +1.91) = { 3.18 7.00) O sinal original é dado por: X= conv (Ca1 ↑2 ,LR) + conv (Cd1 ↑2 ,HR). Logo: X= conv{ (3.18 0 7.0 0), (0.707 0.707) }+ conv{(152.3 0 -78.5 0), (0.707 -
0.707) }
={(2.25 2.25 4.95 4.95) + (107.7 -107.7 -55.5 55.5) = {110 -105.5 -50.6 60.5) ⇒ Sinal Original.
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D) Procedimentos no ambiente Matlab para cálculo das Transformadas Wavelet e
das Energias associadas
Seja, por exemplo, a análise da imagem (“25pix.bmp”):
X=imread('25pix.bmp');
[ca1,ch1,cv1,cd1] = dwt2(X,'db1');
cod_ca1 = wcodemat(ca1,1024);
cod_ch1 = wcodemat(ch1,1024);
cod_cv1 = wcodemat(cv1,1024);
cod_cd1 = wcodemat(cd1,1024);
image([cod_ca1,cod_ch1;cod_cv1,cod_cd1]);
[ca2,ch2,cv2,cd2] = dwt2(ca1,'db1');
cod_ca2 = wcodemat(ca2,1024);
cod_ch2 = wcodemat(ch2,1024);
cod_cv2 = wcodemat(cv2,1024);
cod_cd2 = wcodemat(cd2,1024);
a0 = idwt2(ca1,ch1,cv1,cd1,'db1',size(X));
[c,s] = wavedec2(X,2,'db1');
ca2 = appcoef2(c,s,'db1',2);
ch2 = detcoef2('h',c,s,2);
cv2 = detcoef2('v',c,s,2);
cd2 = detcoef2('d',c,s,2);
a2 = wrcoef2('a',c,s,'db1',2);
h2 = wrcoef2('h',c,s,'db1',2);
v2 = wrcoef2('v',c,s,'db1',2);
d2 = wrcoef2('d',c,s,'db1',2);
[c,s] = upwlev2(c,s,'db1');
siz = s(size(s,1),:);
ca1 = appcoef2(c,s,'db1',1);
ch1 = detcoef2('h',c,s,1);
cv1 = detcoef2('v',c,s,1);
cd1 = detcoef2('d',c,s,1);
a1 = upcoef2('a',ca1,'db1',1,siz);
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hd1 = upcoef2('h',ch1,'db1',1,siz);
vd1 = upcoef2('v',cv1,'db1',1,siz);
dd1 = upcoef2('d',cd1,'db1',1,siz);
a0 = waverec2(c,s,'db1');
[Ea,Ed]=wenergy2(c,s);
result=Ea/Ed;
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E) Procedimentos no ambiente Matlab para cálculo das energias dos coeficientes
wavelet
Por exemplo, seja o cálculo da energia dos coeficientes do sinal x= seno (2πt),
no intervalo t=0:10:100:
t=0:10:100;
x=sin(t.*2*pi);
[c,l]=wavedec(x,3,'db1');
et=sum(c.^2); {et= energia total da imagem após a aplicação da transformada}
level=length(l)-2;
ca=c(1:l(1)); {ca= coeficientes de aproximação}
cd=detcoef(c,l,'celulas'); {cd=coeficientes de detalhe}
ea=100*sum(ca.^2)/et; { ea= energia da aproximação}
k=1; for k=1:3, Ed(k)=100*sum (cd{k}.^2)/et; end {ed=energia dos detalhes} [wea,wed]=wenergy(c,l);
