REDUCCIÓN DE UN ÁNGULO

AL PRIMER CUADRANTE

Introducción

Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus

correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición.

Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible

relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos.

Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaban

esencial cuando no se disponía de calculadoras. Existían tablas con los valores de las razones para ángulos del

primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al

primer cuadrante.

No obstante el tema sigue siendo de interés para aplicar las razones trigonométricas inversas, es decir, para

determinar un ángulo conocido una de sus razones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a

partir de una razón trigonométrica, la calculadora nos proporciona sólo una solución. Nosotros encontraremos

el resto de soluciones con los conocimientos adquiridos en esta unidad.

Trabajaremos con circunferencias goniométricas, es decir, de radio 1.

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Ángulos suplementarios son los que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario

será "180º-A".

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario va a permitir "reducir"

ángulos del segundo al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º-A) son iguales ya que siendo rectángulos

tienen igual la hipotenusa (es el radio) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON

En consecuencia

sen (180º-A) = segmento (180º-A)N = segmento AM = sen A

cos(180º-A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno:

tg (180º-A) = sen (180º-A)/cos(180º-A) = sen A / - cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios son:

sen (180º-A) = + sen A

cos(180º-A) = - cos A

tg (180º-A) = - tg A

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º

Si el valor de un ángulo es "A", el valor del otro ángulo que se diferencia en 180º será "180º+A".

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de 180º+A va a permitir "reducir" ángulos

del tercer al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º+A) son iguales ya que siendo rectángulos

tienen la hipotenusa y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON

En consecuencia

sen (180º+A) = segmento (180º+A)N = - segmento AM = - sen A

cos(180º+A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno

tg (180º+A) = sen (180º+A)/cos(180º+A) = - sen A / - cos A = tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 180º

son:

sen (180º+A) = - sen A

cos(180º+A) = - cos A

tg (180º+A) = + tg A

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS OPUESTOS

Si el valor de un ángulo es "A", el valor de su opuesto es obviamente -A

La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de su opuesto -A va a permitir "reducir"

ángulos del cuarto al primer cuadrante.

Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(-A) son iguales ya que siendo rectángulos

tienen igual la hipotenusa (OA = O(-A)) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (-A)ON = A

En consecuencia

sen (-A) = segmento (-A)N = - segmento MA = - sen A

cos(-A) = segmento ON = segmento OM = cos A

y haciendo el cociente de seno entre coseno

tg (-A) = sen (-A)/cos(-A) = - sen A / cos A = - tg A

En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos son:

sen (-A) = - sen A

cos(-A) = - cos A

tg (-A) = + tg A

PARA ÁNGULOS MAYORES

DE UNA VUELTA Si tenemos que calcular R.T.

α > 360º, usamos el siguiente criterio:

R.T.( α ) R.T.( α )

α ÷ 360º = q + Residuo: β

Esto es posible porque “α” y “β” resultan ser ángulos coterminales.

Ejemplo: Sen 1500º = ??

1500º 360º

1440º 4

60º

→ Sen 1500º = Sen 60º = √3

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