COALA GIMNAZIAL GRIGORE MOISILNUMERE RAIONALE

ELEVBACIU ERBAN ALEXANDRUPROFESORANDA MIHAELA MARCUCum se face c matematica produs

prin excelen al gndirii umane,

independent de experien poate fi

att de admirabil adaptat obiectelor

lumii reale?

Albert Einstein

CUPRINS

ISTORIA MATEMATICII..3MULIMEA NUMERELOR RAIONALE 6

Mulimea numerelor raionale Q..6

Reprezentarea pe axa numerelor7Opusul unui numr raional7Valoarea absolut7N Z Q..8

Operaii cu numere raionale; proprieti..8Compararea i ordonarea numerelor raionale11

Ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor12Ecuaii n mulimea numerelor raionale..13Probleme ce se rezolv cu ajutorul ecuaiilor15

Rapoarte i proporii16Proporii derivate17Proporionalitatedirect18Proporionalitate invers..18Regula de trei simpl.19

Procente..20Bibliografie . 22

Matematica este un mod de exprimare a legilor naturale, este cel mai simplu i cel mai potrivit chip de a nfia o lege general sau curgerea unui fenomen, este cea mai perfect limb n care se poate povesti un fenomen natural.

Din punct de vedere istoric, ramurile majore ale matematicii au derivat din necesitatea de a face calcule comerciale, de a msura terenuri i de a predetermina evenimente astronomice. Aceste domenii specifice pot fi folosite pentru a delimita n mod generic tendinele matematicii pn n ziua de astzi, n sensul delimitrii a trei tendine specifice: studiul structurii, spaiului i al schimbrilor.

Studiul structurii se bazeaz n mod generic pe teoria numerelor: iniial studiul numerelor naturale, numere pare, numere impare apoi numere ntregi, continund cu numere raionale i n sfrit numere reale, ntotdeauna corelate cu operaiile aritmetice ntre acestea, toate acestea fcnd parte din algebra elementara. Studiul spaiului pornete n mod natural de la geometrie, ncepnd de la geometria euclidiana si trigonometria familiar n trei dimensiuni i generalizat apoi la geometrie neeuclidian. Studiul schimbrii este o necesitate mai ales n cazul tiinelor naturale, unde msurarea i predicia modificrilor unor variabile este esenial.La nceput au fost numerele:

Istoria matematicii a nceput odat cu inventarea simbolurilor scrise care desemneaz numerele. Sistemul nostru bine-cunoscut de reprezentare a tuturor numerelor posibile, orict de mari prin cifrele: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 constituie o invenie relativ recent, ea a aprut acum circa 1500 de ani. Numerele sunt pretutindeni, ca slujitori discrei purtndu-ne mesajele, corectndu-ne ortografia cnd scriem, programndu-ne cltoriile de vacan, supraveghindu-ne bunurile, garantndu-ne c medicamentele noastre sunt sigure i eficiente. Dar cum a aprut de fapt aceast enorm industrie numeric? Totul a nceput cu mici semne n lut, n urm cu zece mii de ani, n Orientul Apropiat. nc de atunci socotitorii ineau evidena a ceea ce poseda fiecare i n ce cantitate dei nu se inventase scrisul, existau simboluri pentru numere. Unele erau conice, altele sferice sau ovoidale. Existau de asemenea cilindri, discuri i piramide. Cu trecerea timpului, semnele au devenit mai complicate i mai specializate. Totul s-a datorat faptului c semnele erau folosite pentru a ine evidena. Trecutul istoric de la semnele socotitorilor antici la cifrele actuale este unul lung i indirect. n antichitate, n cadrul civilizaiilor akadiene, babyloniene, egiptene, chineze i civilizaiile de pe valea Indului, au aprut numere cu 8 cifre scrise cu hieroglife, pentru fiecare unitate de fiecare ordin fiind niruite ordinele de la stnga la dreapta. De asemenea erau cunoscute numai numerele pozitive fr cifra zero i se cunoteau operaii de adunare i scdere doar cu numere naturale. Egiptenii cunoteau fraciile cu numitorul 1.

n Grecia antic, matematica, influenat de lucrrile anterioare i de specificaiile filosofice, genereaz un grad mai mare de abstractizare. Noiunile de demonstraie i de axioma apar n aceast perioada. Apar dou ramuri ale matematicii, aritmetica i geometria. n secolul al III-lea i.Hr., elementele lui Euclid rezum i pun n ordine cunotinele matematice ale Greciei antice, reprezentnd primul pas al dezvoltrii numerelor iraionale.

n Mesopotamia apar probleme de aproximaie apoi, civilizaia islamica a permis conservarea motenirii greceti i reunirea ei cu descoperirile din China i India, ducnd la apariia n faza incipient a numerelor iraionale sub forma geometrica (prin introducerea funciilor trigonometrice). De asemenea, n aceast perioad sunt inventate combinatorica, analiza numeric i algebra liniar.

Pitagora inoveaz prin introducerea nlimii n geometrie, metoda falsei poziii si ecuaii de gradul I n algebr.

n timpul Renaterii, cercetarea matematic se concentreaz n Europa. Calculul algebric se dezvolt ca urmare a lucrrilor lui Franois Vite i Ren Descartes. Newton i Leibniz au inventat, independent, calculul infinitezimal.n secolul al XVIII-lea i secolul al XIX-lea, matematica cunoate o nou perioad de dezvoltare intens, cu studiul sistematic al structurilor algebrice, ncepnd cu grupurile (variste Galois) i inelele (concept introdus de Richard Dedekind).n secolul al XIX-lea, David Hilbert i Georg Cantor dezvolt o teorie axiomatic asupra cutrii fundamentelor matematice. Aceast dezvoltare a axiomaticii va conduce n secolul al XX-lea la definirea ntregii matematici cu ajutorul unui singur limbaj: logica matematic.Secolul XX a fost martorul unei specializri a domeniilor matematicii, naterea i dezvoltarea a numeroase ramuri noi, cum ar fi teoria spectral, topologii algebrice sau geometrie algebric. Informatica a avut un puternic impact asupra cercetrii. Pe de o parte, a facilitat comunicarea ntre cercettori i rspndirea descoperirilor, pe de alta, a constituit o unealt foarte puternic pentru testarea teoriilor.

Etimologic, cuvntul raional are dou sensuri foarte diferite: un om raional nu are nimic n comun cu un numr raional. Cele dou sensuri au ajuns la o form comun din dou cuvinte diferite (raie i raiune), dar aceste dou cuvinte diferite n romn provin amndou dintr-un singur cuvnt, latinescul ratio, care nseamn att gnd ct i calcul.1.1Mulimea numerelor raionale QUn numr raional este numrul care poate fi scris sub forma unei fracii ordinare.

Exemple de numere raionale:

;;;.1.2Reprezentarea pe axa numerelorOrice numr raional poate fi reprezentat pe axa numerelor:

1.3Opusul unui numr raionalOrice numr raional are un opus al su.Numerele raionale sunt de dou feluri: pozitive i negative.Suma a dou numere opuse este nul.

Opusul luiaeste-a.

a+ (-a) = 0Exemple: opusul lui7este-7; opusul lui-5este5;1.4Valoarea absolutValoarea absolut (modulul) a unui numr raional este distana dintre punctul ce reprezint numrul pe axa numerelor i originea axei,O.

1.5N Z QAm artat la1.1c orice numr natural sau ntreg poate fi scris sub forma unei fracii ordinare. De aceea numerele naturale sunt incluse n mulimea numerelor ntregi care la rndul lor sunt incluse n mulimea numerelor raionale

1.6Operaii cu numere raionale; proprieti

Adunarea i scdereaPentru a efectua adunarea sau scderea numerelor raionale este necesar a parcurge urmtorii pai:

Se transform fraciile zecimale n fracii ordinare;

Se aduc fraciile la acelai numitor;

Se efectueaz adunarea/scderea. Exemplu:

Proprietile adunrii: Adunarea este comutativ:a + b = b + a. Adunarea este asociativ:a + b + c = (a + b) + c. Elementul neutru al adunrii este 0:a + 0 = a. Pentru oriceaexist opusul lui astfel nct:a + (-a) = 0nmulirea La nmulirea unui numr ntreg cu o fracie, se nmulete numrul ntreg cu numrtorul fraciei, numitorul rmnnd neschimbat;

Se transforma fraciile zecimale in fracii ordinare;

La nmulirea a doua fracii ordinare se nmulescnumrtorii ntre ei i numitorii ntre ei.

Exemplu:Proprietile nmulirii: nmulirea este comutativ:ab = ba; nmulirea este asociativ:abc = (ab)c; Elementul neutru al nmulirii este1:a1 = a; nmulirea este distributiv fa de adunare sau scdere:a( b + c ) = ab + acTabelul nmulirii semnelor:

F1F2P

+++

+--

-+-

--+

mprireaLa mprirea a dou numere raionale se nmulete primul numr cu al doilea inversat.

Exemplu:

Tabelul mpririi semnelor:DIC

+++

+--

-+-

--+

Ridicarea la putere,,Puterea este o nmulire repetat

Exemplu:

Operaii cu puteri:

1a= 1;

a1= a;

a0= 1, dac a0;

0a= 0, daca a0;

aman= am+n;

am: an= am-n;

(am)n= amn;

(ab)m=ambm.

1.7Compararea i ordonarea numerelor raionale

A compara dou numere nseamn a arta care numr este mai mare dect cellalt. Pentru a compara dou numere raionale reprezentate prin fracii ordinare, se procedeaz astfel:

1)Se aduc fraciile la acelai numitor, iar fracia va fi mai mare cea cunumrtorul mai mare.

2)Se aduc fraciile la acelai numrtor, iar fracia va fi mai mare cea cunumitorul mai mic.

Pentru a compara doua fracii zecimale cu prile ntregi egale, se adaug un numr de zecimale fr a modifica valoarea numrului i se compar prile fracionare.

Pentru a compara dou numere negative se compar valorile; va fi mai mare numrul care are valoarea absoluta mai mic.

Exemple: ;;

;

1.8Ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor

ntr-un exerciiu de calcul aritmetic ce conine mai multe operaii cu numere raionale se efectueaz mai nti ridicrile la putere, apoi nmulirile i mpririle n ordinea n care sunt scrise i apoi adunrile i scderile, la fel, n ordinea n care sunt scrise.n exerciiile de calcul aritmetic care conin paranteze se efectueaz mai nti calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) i apoi cele din acolade.Dac n faa unei paranteze ce conine un numr raional sau o sum/diferen de numere raionale se afla simbolul ,,-, atunci se poate elimina semnul i paranteza, scriind numerele din parantez cu semnul schimbat.

Exemplu:

.1.9Ecuaii n mulimea numerelor raionalePropoziia cu o variabil de forma ax+ b = 0 se numete ecuaie cu o necunoscut, undeaibsunt numere raionale.ntr-o ecuaie avem ,,dreptul de a trece termeni dintr-un membru n alt membru cu semnul schimbat.ntr-o ecuaie avem ,,dreptul de a nmuli/mpri egalitatea cu un numr diferit de zero.Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor i la final aflarea necunoscutei.Exemplu: Stabilim c.m.m.m.c. al numitorilor i amplificm fraciile:

Amplificm numrtorii i scriem ecuaia fr numitori:

Trecem termenii dintr-un membru n alt membru cu semnul schimbat:

Efectum operaiile de adunare/scdere:

mprim ecuaia prin coeficientul necunoscutei:

n final, aflm soluia ecuaiei: 1.10Probleme ce se rezolv cu ajutorul ecuaiilor

Exemplu:

ntr-un triunghi ABC, msura unghiului B este de dou ori mai mare dect msura unghiului A iar msura unghiului C este 75% din msura unghiului B. Aflai msura unghiului A.

Rezolvare:1) Notm msura unghiului A cux.

2) Din datele problemei rezult c msura unghiului B este egal cu 2x.

La fel din datele problemei rezult c msura unghiului C este 75%din 2x, adic este egal cu 1,5x.

3) Dac suma msurilor unghiurilor ntr-un triunghi este egal cu 1800, atunci obinem ecuaia:

4)x+ 2x+ 1,5x= 1800n urma rezolvrii ecuaiei, obinemx= 400.

5) Verificm soluia:400+ 800+ 600= 1800.1.11Rapoarte i proporii

Raportul a dou numereasib,b0 este

Egalitatea a dou rapoarte se numete proporie:

;;

Proprietatea fundamental a unei proporii:

Adic, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor.

Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporie:

Exemplu:1.12Proporii derivateDerivarea proporiilor cu aceeai termeni:

Derivarea proporiilor cu ali termeni:

1.13Proporionalitatedirect Mulimea A={a, b, c} este n direct proporionalitate cu mulimea B= {x, y, z}dac:.Exemplu:mprii numrul100 ntrei pri direct proporionale cu numerele 3, 7 i 10.

Rezolvare:

1.14Proporionalitate invers Mulimea A={a, b, c} este n invers proporionalitate cu mulimea B= {x, y, z} dac:

sau

Exemplu:mprii numrul121 ntrei pri direct proporionale cu numerele 3, 7 i 10.Rezolvare: .

1.15Regula de trei simplExemplu:Dac 5 pini cost 7,50 lei atunci ct vor costa 12 pini?

Rezolvare:

Exemplu:Daca 15 muncitori efectueaz o lucrare n 8 zile, 12 muncitori n cte zile ar termina aceeai lucrare?Rezolvare:

1.16ProcenteFormula general:p% dina=bsauAflarea unui procent dintr-un numr dat:

Exemplu:

Aflarea unui numr cnd se cunoate un procent din el:

Daca Exemplu:

Aflarea raportului procentual:

DacaExemplu:

1. Ion Cec, Gina Caba, MATEMATIC Manual pentru clasa aVII-a , Editura Teora;

2. Gheorghe Turcitu, Niculae Ghiciu, Constantin Basarab, Ionic Rizea, Dan Mic, Marlena Basarab, MATEMATIC Manual pentru clasa aVII-a , Editura Teora;

3. Marius Perianu, Ioan Balica, Dumitru Svulescu, MATEMATIC pentru clasa aVII-a , Editura ART;

4. Anton Negril, Maria Negril, Mate 2000-consolidare, Editura Paralela 45.22