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1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio número 1) Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Total Puntuación obtenida Observaciones 1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad. 2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de la resolución de los problemas. 3. Entregad dos folios grapados. 4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar la notas final del cuatrimestre. 5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementará la valoración de cada uno de los ejercicios. Sea f : R 4 R 5 la aplicación lineal definida por M β 5 c β 5 c (f )= 1 2 3 1 0 1 5 2 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 . Responde a las siguientes cuestiones: 1. Encuentra bases β y β tales que M ββ = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Plantilla para la solución: β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )} β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )} 2. Considera las bases β 4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}, β 5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)} y calcula M β 4 β 5 (f )

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1

Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio número 1)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 3 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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2

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 3z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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3

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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4

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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5

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 11 15 224 5 8 92 1 1 12 4 7 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 13dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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6

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 2y + 3z = 2y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 8x + αy + z = 103x + αy = 9

Hasta aquí el ejercicio de Antonio José Fernández Soriano.

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7

Regalo de Navidad para Noelia Alcaraz Gómez (ejercicio número 2)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 6 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 6, 1, 0), (3, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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8

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 6z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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9

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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10

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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11

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 20 11 194 8 6 82 1 1 12 7 5 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 40dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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12

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 6z = 2y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 14x + αy + z = 116x + αy = 18

Hasta aquí el ejercicio de Noelia Alcaraz Gómez.

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13

Regalo de Navidad para Laura María Gómez Rocamora (ejercicio número 3)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 5 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (6, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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14

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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15

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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16

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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17

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 17 17 164 7 9 72 1 1 12 6 8 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 29dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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18

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 5z = 2y + 6z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 135x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Laura María Gómez Rocamora.

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19

Regalo de Navidad para Antonio Alfonso Giménez García (ejercicio número 4)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 4 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 4, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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20

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 4z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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21

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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22

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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23

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 14 15 174 6 8 62 1 1 12 5 7 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 20dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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24

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 2y + 4z = 2y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 10x + αy + z = 114x + αy = 12

Hasta aquí el ejercicio de Antonio Alfonso Giménez García.

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25

Regalo de Navidad para Ángel Tudela Mayol (ejercicio número 5)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 3 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 1, 0), (6, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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26

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 3z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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27

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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28

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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29

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 11 17 226 5 9 93 1 1 13 4 8 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 18dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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30

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 3z = 3y + 6z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 12x + αy + z = 123x + αy = 12

Hasta aquí el ejercicio de Ángel Tudela Mayol.

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31

Regalo de Navidad para Matías López Bastida (ejercicio número 6)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 6 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 6, 1, 0), (2, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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32

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 6z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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33

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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34

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10

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35

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 20 9 196 8 5 83 1 1 13 7 4 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 45dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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36

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 3y + 6z = 3y + 2z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 21x + αy + z = 116x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Matías López Bastida.

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37

Regalo de Navidad para Javier Bustillos Cuéllar (ejercicio número 7)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 5 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 5, 1, 0), (7, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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38

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 5z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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39

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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40

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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41

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 17 19 166 7 10 73 1 1 13 6 9 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 34dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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42

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 3y + 5z = 3y + 7z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 18x + αy + z = 155x + αy = 20

Hasta aquí el ejercicio de Javier Bustillos Cuéllar.

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43

Regalo de Navidad para José Miguel Sánchez Zapata (ejercicio número 8)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 4 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 4, 1, 0), (1, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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44

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 4z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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45

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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46

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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47

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 14 7 176 6 4 63 1 1 13 5 3 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 25dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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48

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 3y + 4z = 3y + 1z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 15x + αy + z = 84x + αy = 16

Hasta aquí el ejercicio de José Miguel Sánchez Zapata.

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49

Regalo de Navidad para Juan Francisco García Pedreño (ejercicio número 9)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (4, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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50

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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51

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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52

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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53

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 13 228 5 7 94 1 1 14 4 6 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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54

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 4y + 3z = 4y + 4z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 113x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Juan Francisco García Pedreño.

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55

Regalo de Navidad para Daniel Guillén Buendía (ejercicio número 10)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 6 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 6, 1, 0), (1, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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56

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 6z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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57

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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58

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13

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59

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 20 7 198 8 4 84 1 1 14 7 3 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 52dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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60

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 4y + 6z = 4y + 1z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 28x + αy + z = 116x + αy = 30

Hasta aquí el ejercicio de Daniel Guillén Buendía.

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61

Regalo de Navidad para José Antonio Madrid Font (ejercicio número 11)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 5 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 5, 1, 0), (8, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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62

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 5z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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63

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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64

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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65

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 17 21 168 7 11 74 1 1 14 6 10 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 41dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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66

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 4y + 5z = 4y + 8z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 24x + αy + z = 175x + αy = 25

Hasta aquí el ejercicio de José Antonio Madrid Font.

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67

Regalo de Navidad para Alberto Corbalán Bernad (ejercicio número 12)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 4 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 4, 1, 0), (6, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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68

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 4z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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69

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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70

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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71

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 14 17 178 6 9 64 1 1 14 5 8 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 32dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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72

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 4y + 4z = 4y + 6z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 20x + αy + z = 144x + αy = 20

Hasta aquí el ejercicio de Alberto Corbalán Bernad.

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73

Regalo de Navidad para Francisco Fernández Sánchez (ejercicio número 13)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 1 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (2, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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74

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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75

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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76

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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77

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 5 9 2210 3 5 95 1 1 15 2 4 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 26dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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78

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 5y + 1z = 5y + 2z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 81x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de Francisco Fernández Sánchez.

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79

Regalo de Navidad para Pablo González Alcaraz (ejercicio número 14)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 1 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (3, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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80

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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81

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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82

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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83

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 5 11 1910 3 6 85 1 1 15 2 5 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 26dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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84

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 5y + 1z = 5y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 91x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de Pablo González Alcaraz.

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85

Regalo de Navidad para Emilio Gil Estade (ejercicio número 15)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 1 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (4, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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86

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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87

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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88

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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89

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 5 13 1610 3 7 75 1 1 15 2 6 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 26dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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90

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 5y + 1z = 5y + 4z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 101x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de Emilio Gil Estade.

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91

Regalo de Navidad para Celia Ruiz Zamora (ejercicio número 16)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 1 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (5, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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92

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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93

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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94

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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95

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 5 15 1710 3 8 65 1 1 15 2 7 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 26dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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96

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 5y + 1z = 5y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 111x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de Celia Ruiz Zamora.

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97

Regalo de Navidad para Sebastián García Abellán (ejercicio número 17)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 2 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (2, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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98

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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99

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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100

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2

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101

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 8 9 2212 4 5 96 1 1 16 3 4 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 40dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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102

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 6y + 2z = 6y + 2z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 102x + αy = 14

Hasta aquí el ejercicio de Sebastián García Abellán.

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103

Regalo de Navidad para José Ángel Rubio López (ejercicio número 18)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 2 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (3, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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104

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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105

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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106

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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107

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 8 11 1912 4 6 86 1 1 16 3 5 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 40dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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108

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 6y + 2z = 6y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 112x + αy = 14

Hasta aquí el ejercicio de José Ángel Rubio López.

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109

Regalo de Navidad para Lourdes Fábregas (ejercicio número 19)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 2 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (4, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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110

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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111

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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112

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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113

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 8 13 1612 4 7 76 1 1 16 3 6 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 40dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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114

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 6y + 2z = 6y + 4z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 122x + αy = 14

Hasta aquí el ejercicio de Lourdes Fábregas.

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115

Regalo de Navidad para Ana María Antolí Gil (ejercicio número 20)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 2 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 2, 1, 0), (5, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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116

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 2z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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117

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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118

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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119

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 8 15 1712 4 8 66 1 1 16 3 7 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 40dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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120

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 6y + 2z = 6y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 18x + αy + z = 132x + αy = 14

Hasta aquí el ejercicio de Ana María Antolí Gil.

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121

Regalo de Navidad para Álvaro Conesa Aparicio (ejercicio número 21)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 2 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 2, 1, 0), (6, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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122

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 2z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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123

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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124

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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125

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 8 17 2214 4 9 97 1 1 17 3 8 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 53dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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126

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 7y + 2z = 7y + 6z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 21x + αy + z = 152x + αy = 16

Hasta aquí el ejercicio de Álvaro Conesa Aparicio.

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127

Regalo de Navidad para Enrique López López (ejercicio número 22)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 2 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 2, 1, 0), (7, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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128

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 2z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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129

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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130

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17

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131

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 8 19 1914 4 10 87 1 1 17 3 9 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 53dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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132

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 7y + 2z = 7y + 7z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 21x + αy + z = 162x + αy = 16

Hasta aquí el ejercicio de Enrique López López.

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133

Regalo de Navidad para Miguel Ángel Belmonte Ortiz (ejercicio número 23)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 3 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 3, 1, 0), (3, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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134

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 3z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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135

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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136

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2

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137

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 11 11 1614 5 6 77 1 1 17 4 5 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 58dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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138

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 7y + 3z = 7y + 3z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 28x + αy + z = 133x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Miguel Ángel Belmonte Ortiz.

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139

Regalo de Navidad para Mario González Ortín (ejercicio número 24)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 3, 1, 0), (4, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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140

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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141

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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142

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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143

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 11 13 1714 5 7 67 1 1 17 4 6 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 58dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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144

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 7y + 3z = 7y + 4z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 28x + αy + z = 143x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Mario González Ortín.

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145

Regalo de Navidad para Pedro Martínez López (ejercicio número 25)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 3 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 1, 0), (5, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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146

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 3z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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147

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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148

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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149

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 11 15 226 5 8 93 1 1 13 4 7 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 18dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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150

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 3z = 3y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 12x + αy + z = 113x + αy = 12

Hasta aquí el ejercicio de Pedro Martínez López.

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151

Regalo de Navidad para Elena Pérez Gómez (ejercicio número 26)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (4, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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152

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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153

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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154

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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155

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 13 198 5 7 84 1 1 14 4 6 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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156

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 4y + 3z = 4y + 4z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 113x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Elena Pérez Gómez.

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157

Regalo de Navidad para Carlos Gómez-Gil de la Cerda (ejercicio número 27)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 3 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 3, 1, 0), (7, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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158

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 3z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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159

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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160

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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161

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 11 19 1610 5 10 75 1 1 15 4 9 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 34dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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162

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 5y + 3z = 5y + 7z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 20x + αy + z = 153x + αy = 18

Hasta aquí el ejercicio de Carlos Gómez-Gil de la Cerda.

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163

Regalo de Navidad para Ana Marina Carralero Hernández (ejercicio número 28)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 3 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 3, 1, 0), (8, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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164

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 3z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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165

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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166

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17

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167

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 11 21 1712 5 11 66 1 1 16 4 10 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 45dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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168

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 6y + 3z = 6y + 8z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 24x + αy + z = 173x + αy = 21

Hasta aquí el ejercicio de Ana Marina Carralero Hernández.

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169

Regalo de Navidad para Diego Barberán Verdú (ejercicio número 29)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 8 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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170

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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171

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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172

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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173

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 26 15 184 10 8 92 1 1 12 9 7 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 68dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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174

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 2y + 8z = 2y + 5z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 158x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Diego Barberán Verdú.

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175

Regalo de Navidad para José María Navarro Alarcón (ejercicio número 30)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 8 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (4, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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176

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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177

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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178

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10

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179

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 26 13 174 10 7 82 1 1 12 9 6 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 68dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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180

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 2y + 8z = 2y + 4z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 148x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de José María Navarro Alarcón.

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181

Regalo de Navidad para Jesús Aguirre Cárcel (ejercicio número 31)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 8 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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182

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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183

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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184

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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185

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 26 15 164 10 8 72 1 1 12 9 7 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 68dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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186

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 8z = 2y + 5z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 158x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Jesús Aguirre Cárcel.

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187

Regalo de Navidad para Álvaro Alejandro Martínez Millán (ejercicio número 32)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 8 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 8, 1, 0), (2, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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188

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 8z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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189

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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190

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 13 − 21 15− 3 15 − 21 15− 3 13 − 19 15− 2 10 − 18 16

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191

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 26 9 154 10 5 62 1 1 12 9 4 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 68dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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192

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 8z = 2y + 2z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 18x + αy + z = 128x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Álvaro Alejandro Martínez Millán.

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193

Regalo de Navidad para Adrián Ibánez del Toro (ejercicio número 33)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 8 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (8, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 8, 1, 0), (1, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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194

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 8z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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195

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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196

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 14 − 24 18− 3 16 − 24 18− 3 14 − 22 18− 2 11 − 21 19

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197

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 26 7 226 10 4 93 1 1 13 9 3 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 73dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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198

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 8z = 3y + 1z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 8, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 27x + αy + z = 128x + αy = 32

Hasta aquí el ejercicio de Adrián Ibánez del Toro.

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199

Regalo de Navidad para Daviz Pérez Lozano (ejercicio número 34)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 9 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 9, 1, 0), (6, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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200

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 9z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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201

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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202

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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203

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 29 17 216 11 9 83 1 1 13 10 8 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 90dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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204

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 3y + 9z = 3y + 6z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 30x + αy + z = 189x + αy = 36

Hasta aquí el ejercicio de Daviz Pérez Lozano.

Page 205: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

205

Regalo de Navidad para Francisco David Morales Fernández (ejercicio número 35)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 9 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 9, 1, 0), (5, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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206

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 9z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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207

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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208

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10

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209

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 29 15 206 11 8 73 1 1 13 10 7 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 90dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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210

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 3y + 9z = 3y + 5z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 30x + αy + z = 179x + αy = 36

Hasta aquí el ejercicio de Francisco David Morales Fernández.

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211

Regalo de Navidad para Elina Krassimirova Anguelova (ejercicio número 36)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 9 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 9, 1, 0), (4, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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212

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 9z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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213

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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214

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13

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215

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 29 13 196 11 7 63 1 1 13 10 6 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 90dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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216

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 3y + 9z = 3y + 4z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 30x + αy + z = 169x + αy = 36

Hasta aquí el ejercicio de Elina Krassimirova Anguelova.

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217

Regalo de Navidad para Carlos Andrés Santiago Civantos (ejercicio número 37)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 9 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 9, 1, 0), (3, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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218

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 9z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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219

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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220

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 13 − 21 15− 3 15 − 21 15− 3 13 − 19 15− 2 10 − 18 16

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221

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 29 11 268 11 6 94 1 1 14 10 5 17

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 97dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

Page 222: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

222

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 4y + 9z = 4y + 3z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 40x + αy + z = 169x + αy = 45

Hasta aquí el ejercicio de Carlos Andrés Santiago Civantos.

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223

Regalo de Navidad para Fernando Monteagudo López (ejercicio número 38)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 9 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 9, 1, 0), (2, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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224

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 9z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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225

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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226

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 14 − 24 18− 3 16 − 24 18− 3 14 − 22 18− 2 11 − 21 19

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227

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 29 9 168 11 5 84 1 1 14 10 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 97dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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228

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 4y + 9z = 4y + 2z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 40x + αy + z = 159x + αy = 45

Hasta aquí el ejercicio de Fernando Monteagudo López.

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229

Regalo de Navidad para Fernando Costa Hernández (ejercicio número 39)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 9 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (9, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 9, 1, 0), (1, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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230

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 9z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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231

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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232

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 15 − 27 21− 3 17 − 27 21− 3 15 − 25 21− 2 12 − 24 22

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233

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 29 7 158 11 4 74 1 1 14 10 3 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 97dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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234

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 4y + 9z = 4y + 1z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 9, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 40x + αy + z = 149x + αy = 45

Hasta aquí el ejercicio de Fernando Costa Hernández.

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235

Regalo de Navidad para Carmen María Hernández Jara (ejercicio número 40)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 7 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 7, 1, 0), (4, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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236

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 7z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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237

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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238

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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239

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 23 13 148 9 7 64 1 1 14 8 6 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 65dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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240

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 4y + 7z = 4y + 4z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 32x + αy + z = 157x + αy = 35

Hasta aquí el ejercicio de Carmen María Hernández Jara.

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241

Regalo de Navidad para Pedro Muñoz Díaz (ejercicio número 41)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 7 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 7, 1, 0), (3, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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242

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 7z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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243

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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244

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10

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245

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 23 11 2110 9 6 95 1 1 15 8 5 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 74dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

Page 246: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

246

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 5y + 7z = 5y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 40x + αy + z = 157x + αy = 42

Hasta aquí el ejercicio de Pedro Muñoz Díaz.

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247

Regalo de Navidad para Gloria Motos Cascales (ejercicio número 42)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 3 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 1, 0), (4, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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248

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 3z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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249

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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250

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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251

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 11 13 196 5 7 63 1 1 13 4 6 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 18dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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252

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 3y + 3z = 3y + 4z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 12x + αy + z = 103x + αy = 12

Hasta aquí el ejercicio de Gloria Motos Cascales.

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253

Regalo de Navidad para Patricio David Tripiana García (ejercicio número 43)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (5, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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254

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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255

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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256

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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257

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 15 268 5 8 94 1 1 14 4 7 17

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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258

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 4y + 3z = 4y + 5z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 123x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Patricio David Tripiana García.

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259

Regalo de Navidad para María Ángeles García Martínez (ejercicio número 44)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (6, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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260

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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261

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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262

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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263

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 17 168 5 9 84 1 1 14 4 8 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

Page 264: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

264

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 4y + 3z = 4y + 6z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 133x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de María Ángeles García Martínez.

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265

Regalo de Navidad para Alejandro Ottenwalder Rivas (ejercicio número 45)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (7, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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266

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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267

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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268

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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269

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 19 158 5 10 74 1 1 14 4 9 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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270

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 4y + 3z = 4y + 7z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 143x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Alejandro Ottenwalder Rivas.

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271

Regalo de Navidad para Juan Miguel Rodríguez Soler (ejercicio número 46)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 7 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 7, 1, 0), (2, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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272

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 7z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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273

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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274

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13

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275

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 23 9 2010 9 5 85 1 1 15 8 4 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 74dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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276

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 5y + 7z = 5y + 2z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 40x + αy + z = 147x + αy = 42

Hasta aquí el ejercicio de Juan Miguel Rodríguez Soler.

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277

Regalo de Navidad para Aránzazu Ros Liarte (ejercicio número 47)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 7 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (7, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 7, 1, 0), (1, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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278

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 7z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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279

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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280

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 13 − 21 15− 3 15 − 21 15− 3 13 − 19 15− 2 10 − 18 16

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281

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 23 7 1910 9 4 75 1 1 15 8 3 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 74dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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282

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 5y + 7z = 5y + 1z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 7, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 40x + αy + z = 137x + αy = 42

Hasta aquí el ejercicio de Aránzazu Ros Liarte.

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283

Regalo de Navidad para Alfonso Dávila Abellán (ejercicio número 48)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 6 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 6, 1, 0), (3, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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284

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 6z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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285

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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286

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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287

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 20 11 1810 8 6 65 1 1 15 7 5 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 61dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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288

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 5y + 6z = 5y + 3z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 35x + αy + z = 146x + αy = 36

Hasta aquí el ejercicio de Alfonso Dávila Abellán.

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289

Regalo de Navidad para Javier Olmedo Romero (ejercicio número 49)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 6 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 6, 1, 0), (2, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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290

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 6z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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291

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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292

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10

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293

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 20 9 2512 8 5 96 1 1 16 7 4 16

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 72dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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294

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 6y + 6z = 6y + 2z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 42x + αy + z = 146x + αy = 42

Hasta aquí el ejercicio de Javier Olmedo Romero.

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295

Regalo de Navidad para Julio José Jiménez Cava (ejercicio número 50)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 6 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 6, 1, 0), (1, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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296

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 6z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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297

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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298

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 12 − 18 12− 3 14 − 18 12− 3 12 − 16 12− 2 9 − 15 13

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299

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 20 7 2412 8 4 86 1 1 16 7 3 16

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 72dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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300

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 6y + 6z = 6y + 1z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 42x + αy + z = 136x + αy = 42

Hasta aquí el ejercicio de Julio José Jiménez Cava.

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301

Regalo de Navidad para Juan Manuel Girón Sola (ejercicio número 51)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 5 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (2, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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302

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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303

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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304

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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305

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 17 9 1412 7 5 76 1 1 16 6 4 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 61dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

Page 306: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

306

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 6y + 5z = 6y + 2z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 135x + αy = 35

Hasta aquí el ejercicio de Juan Manuel Girón Sola.

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307

Regalo de Navidad para Francisco José Pérez Losella (ejercicio número 52)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 5 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (1, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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308

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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309

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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310

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10

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311

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 17 7 1312 7 4 66 1 1 16 6 3 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 61dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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312

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 6y + 5z = 6y + 1z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 125x + αy = 35

Hasta aquí el ejercicio de Francisco José Pérez Losella.

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313

Regalo de Navidad para Miguel García Alcobas (ejercicio número 53)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 1 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (2, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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314

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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315

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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316

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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317

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 5 9 2014 3 5 97 1 1 17 2 4 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 50dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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318

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 7y + 1z = 7y + 2z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 101x + αy = 8

Hasta aquí el ejercicio de Miguel García Alcobas.

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319

Regalo de Navidad para Oscar Amorós Ferri (ejercicio número 54)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 1 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (3, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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320

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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321

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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322

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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323

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 5 11 1914 3 6 87 1 1 17 2 5 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 50dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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324

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 7y + 1z = 7y + 3z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 111x + αy = 8

Hasta aquí el ejercicio de Oscar Amorós Ferri.

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325

Regalo de Navidad para Rosa Ana Hurtado Latorre (ejercicio número 55)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 1 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (4, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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326

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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327

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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328

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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329

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 5 13 1814 3 7 77 1 1 17 2 6 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 50dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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330

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 7y + 1z = 7y + 4z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 121x + αy = 8

Hasta aquí el ejercicio de Rosa Ana Hurtado Latorre.

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331

Regalo de Navidad para Abraham Lorente Vela (ejercicio número 56)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 7 1 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 7, 1, 1, 0), (5, 7, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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332

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 7y + 1z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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333

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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334

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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335

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

14 5 15 1714 3 8 67 1 1 17 2 7 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 28

x2 − 14x + 50dx =

15. Dada A =

(1 70 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(7 −77 7

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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336

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 74 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 7y + 1z = 7y + 5z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 7αy + z = 14x + αy + z = 131x + αy = 8

Hasta aquí el ejercicio de Abraham Lorente Vela.

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337

Regalo de Navidad para Eduardo Cuevas Tortosa (ejercicio número 57)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 1 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 1, 0), (6, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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338

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 1z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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339

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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340

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17

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341

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 5 17 246 3 9 93 1 1 13 2 8 15

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 10dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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342

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 3y + 1z = 3y + 6z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 6x + αy + z = 101x + αy = 4

Hasta aquí el ejercicio de Eduardo Cuevas Tortosa.

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343

Regalo de Navidad para Andrés García (ejercicio número 58)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 1 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 1, 0), (7, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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344

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 1z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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345

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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346

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 1 15 − 21− 3 3 15 − 21− 3 1 17 − 21− 2 − 2 18 − 20

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347

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 5 19 238 3 10 84 1 1 14 2 9 15

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 17dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

Page 348: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

348

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 4y + 1z = 4y + 7z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 8x + αy + z = 121x + αy = 5

Hasta aquí el ejercicio de Andrés García.

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349

Regalo de Navidad para Ángel Reverte (ejercicio número 59)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (6, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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350

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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351

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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352

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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353

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 17 168 5 9 84 1 1 14 4 8 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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354

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 4y + 3z = 4y + 6z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 133x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Ángel Reverte.

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355

Regalo de Navidad para María Angeles Moya Navarro (ejercicio número 60)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 1 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 1, 0), (8, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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356

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 1z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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357

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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358

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 0 18 − 24− 3 2 18 − 24− 3 0 20 − 24− 2 − 3 21 − 23

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359

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 5 21 2210 3 11 75 1 1 15 2 10 15

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 26dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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360

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 5y + 1z = 5y + 8z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 10x + αy + z = 141x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de María Angeles Moya Navarro.

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361

Regalo de Navidad para Francisco Antonio Campoy Aznar (ejercicio número 61)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 1 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 1, 0), (9, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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362

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 1z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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363

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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364

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 − 1 21 − 27− 3 1 21 − 27− 3 − 1 23 − 27− 2 − 4 24 − 26

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365

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 5 23 1212 3 12 66 1 1 16 2 11 6

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 37dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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366

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 6y + 1z = 6y + 9z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 12x + αy + z = 161x + αy = 7

Hasta aquí el ejercicio de Francisco Antonio Campoy Aznar.

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367

Regalo de Navidad para Antonio Ángel Escudero Lidón (ejercicio número 62)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 2 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (3, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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368

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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369

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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370

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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371

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 8 11 184 4 6 92 1 1 12 3 5 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 8dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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372

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 2y + 2z = 2y + 3z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 72x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de Antonio Ángel Escudero Lidón.

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373

Regalo de Navidad para Juan Antonio Núñez Reolid (ejercicio número 63)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 2 10 1 4 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (4, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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374

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 4t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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375

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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376

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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377

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 8 13 174 4 7 82 1 1 12 3 6 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 8dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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378

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 2y + 2z = 2y + 4z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 82x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de Juan Antonio Núñez Reolid.

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379

Regalo de Navidad para María Isabel León Sánchez (ejercicio número 64)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 2 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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380

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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381

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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382

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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383

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 8 15 164 4 8 72 1 1 12 3 7 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 8dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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384

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 2z = 2y + 5z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 92x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de María Isabel León Sánchez.

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385

Regalo de Navidad para María Cerezo Martínez (ejercicio número 65)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 2 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 1, 0), (6, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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386

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 2z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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387

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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388

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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389

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 8 17 154 4 9 62 1 1 12 3 8 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 8dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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390

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 2z = 2y + 6z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 6x + αy + z = 102x + αy = 6

Hasta aquí el ejercicio de María Cerezo Martínez.

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391

Regalo de Navidad para Cristóbal Marín Fernández (ejercicio número 66)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 2 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 2, 1, 0), (7, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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392

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 2z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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393

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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394

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17

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395

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 8 19 226 4 10 93 1 1 13 3 9 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 13dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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396

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 2z = 3y + 7z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 9x + αy + z = 122x + αy = 8

Hasta aquí el ejercicio de Cristóbal Marín Fernández.

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397

Regalo de Navidad para Elena Clos Pérez (ejercicio número 67)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 2 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 2, 1, 0), (8, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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398

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 2z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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399

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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400

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 1 15 − 21− 3 3 15 − 21− 3 1 17 − 21− 2 − 2 18 − 20

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401

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 8 21 216 4 11 83 1 1 13 3 10 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 13dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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402

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 3y + 2z = 3y + 8z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 9x + αy + z = 132x + αy = 8

Hasta aquí el ejercicio de Elena Clos Pérez.

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403

Regalo de Navidad para Alejandro Acosta León (ejercicio número 68)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 2 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (2, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 2, 1, 0), (9, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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404

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 2z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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405

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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406

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 0 18 − 24− 3 2 18 − 24− 3 0 20 − 24− 2 − 3 21 − 23

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407

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 8 23 206 4 12 73 1 1 13 3 11 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 13dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

Page 408: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

408

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 3y + 2z = 3y + 9z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 2, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 9x + αy + z = 142x + αy = 8

Hasta aquí el ejercicio de Alejandro Acosta León.

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409

Regalo de Navidad para Alumnno 04 (ejercicio número 69)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (7, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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410

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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411

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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412

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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413

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 19 158 5 10 74 1 1 14 4 9 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

Page 414: Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano ...filemon.upct.es/~gabi/Fundamentos/EjerciciosRepaso... · 1 Regalo de Navidad para Antonio José Fernández Soriano (ejercicio

414

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 4y + 3z = 4y + 7z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 143x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 04.

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415

Regalo de Navidad para Alumnno 05 (ejercicio número 70)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 4 3 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 4, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 4, 3, 1, 0), (8, 4, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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416

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 4y + 3z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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417

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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418

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17

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419

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

8 11 21 148 5 11 64 1 1 14 4 10 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 16

x2 − 8x + 25dx =

15. Dada A =

(1 40 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(4 −44 4

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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420

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 44 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 4y + 3z = 4y + 8z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 4αy + z = 16x + αy + z = 153x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 05.

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421

Regalo de Navidad para Alumnno 06 (ejercicio número 71)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 3 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (3, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 3, 1, 0), (9, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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422

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 3z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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423

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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424

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 1 15 − 21− 3 3 15 − 21− 3 1 17 − 21− 2 − 2 18 − 20

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425

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 11 23 2110 5 12 95 1 1 15 4 11 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 34dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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426

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 5y + 3z = 5y + 9z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 3, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 20x + αy + z = 173x + αy = 18

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 06.

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427

Regalo de Navidad para Alumnno 07 (ejercicio número 72)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 4 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 4, 1, 0), (5, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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428

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 4z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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429

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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430

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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431

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 14 15 2010 6 8 85 1 1 15 5 7 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 41dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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432

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 5y + 4z = 5y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 25x + αy + z = 144x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 07.

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433

Regalo de Navidad para Alumnno 08 (ejercicio número 73)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 4 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 4, 1, 0), (6, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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434

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 4z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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435

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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436

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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437

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 14 17 1910 6 9 75 1 1 15 5 8 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 41dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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438

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 5y + 4z = 5y + 6z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 25x + αy + z = 154x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 08.

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439

Regalo de Navidad para Alumnno 09 (ejercicio número 74)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 5 4 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 5, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 5, 4, 1, 0), (7, 5, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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440

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 5y + 4z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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441

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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442

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 4 6 − 12− 3 6 6 − 12− 3 4 8 − 12− 2 1 9 − 11

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443

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

10 14 19 1810 6 10 65 1 1 15 5 9 12

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 20

x2 − 10x + 41dx =

15. Dada A =

(1 50 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(5 −55 5

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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444

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 54 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 7x + 5y + 4z = 5y + 7z = 7z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 5αy + z = 25x + αy + z = 164x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 09.

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445

Regalo de Navidad para Alumnno 10 (ejercicio número 75)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 4 10 1 8 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 4, 1, 0), (8, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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446

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 4z + 8t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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447

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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448

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 3 9 − 15− 3 5 9 − 15− 3 3 11 − 15− 2 0 12 − 14

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449

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 14 21 2512 6 11 96 1 1 16 5 10 16

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 52dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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450

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 8x + 6y + 4z = 6y + 8z = 8z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 30x + αy + z = 184x + αy = 28

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 10.

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451

Regalo de Navidad para Alumnno 11 (ejercicio número 76)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 4 10 1 9 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (4, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 4, 1, 0), (9, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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452

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 4z + 9t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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453

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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454

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 2 12 − 18− 3 4 12 − 18− 3 2 14 − 18− 2 − 1 15 − 17

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455

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 14 23 2412 6 12 86 1 1 16 5 11 16

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 52dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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456

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 9x + 6y + 4z = 6y + 9z = 9z = 0} yV =< (0, 1, 4, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 30x + αy + z = 194x + αy = 28

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 11.

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457

Regalo de Navidad para Alumnno 12 (ejercicio número 77)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 5 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (6, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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458

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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459

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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460

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 6 0 − 6− 3 8 0 − 6− 3 6 2 − 6− 2 3 3 − 5

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461

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 17 17 1412 7 9 76 1 1 16 6 8 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 61dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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462

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 1x + 6y + 5z = 6y + 6z = 1z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 175x + αy = 35

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 12.

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463

Regalo de Navidad para Alumnno 13 (ejercicio número 78)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 6 5 10 1 7 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 6, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 6, 5, 1, 0), (7, 6, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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464

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 6y + 5z + 7t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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465

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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466

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 5 3 − 9− 3 7 3 − 9− 3 5 5 − 9− 2 2 6 − 8

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467

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

12 17 19 1312 7 10 66 1 1 16 6 9 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 24

x2 − 12x + 61dx =

15. Dada A =

(1 60 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(6 −66 6

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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468

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 64 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 2x + 6y + 5z = 6y + 7z = 2z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 6αy + z = 36x + αy + z = 185x + αy = 35

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 13.

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469

Regalo de Navidad para Alumnno 14 (ejercicio número 79)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 5 10 1 5 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (5, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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470

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 5t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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471

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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472

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2

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473

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 17 15 224 7 8 92 1 1 12 6 7 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 29dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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474

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 2y + 5z = 2y + 5z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 125x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 14.

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475

Regalo de Navidad para Alumnno 15 (ejercicio número 80)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 5 10 1 1 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (1, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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476

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 1t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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477

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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478

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 11 − 15 9− 3 13 − 15 9− 3 11 − 13 9− 2 8 − 12 10

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479

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 17 7 194 7 4 82 1 1 12 6 3 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 29dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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480

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 4x + 2y + 5z = 2y + 1z = 4z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 85x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 15.

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481

Regalo de Navidad para Alumnno 16 (ejercicio número 81)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 6 10 1 6 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 6, 1, 0), (6, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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482

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 6z + 6t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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483

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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484

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 7 − 3 − 3− 3 9 − 3 − 3− 3 7 − 1 − 3− 2 4 0 − 2

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485

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 20 17 164 8 9 72 1 1 12 7 8 9

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 40dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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486

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 3x + 2y + 6z = 2y + 6z = 3z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 14x + αy + z = 146x + αy = 18

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 16.

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487

Regalo de Navidad para Alumnno 17 (ejercicio número 82)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 2 5 10 1 2 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 0), (5, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 5, 1, 0), (2, 2, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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488

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 2y + 5z + 2t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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489

Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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490

Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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491

Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

4 17 9 174 7 5 62 1 1 12 6 4 11

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 8

x2 − 4x + 29dx =

15. Dada A =

(1 20 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(2 −22 2

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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492

17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 24 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 6x + 2y + 5z = 2y + 2z = 6z = 0} yV =< (0, 1, 5, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 2αy + z = 12x + αy + z = 95x + αy = 15

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 17.

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Regalo de Navidad para Alumnno 18 (ejercicio número 83)

Preguntas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 TotalPuntuación obtenida

Observaciones

1. El ejercicio se debe entregar el primer día de clase después de las vacaciones de Navidad.

2. Además de los enunciados rellenos con las soluciones, debes entregar el desarrollo de laresolución de los problemas.

3. Entregad dos folios grapados.

4. Estos ejercicios no eliminan ninguna pregunta del examen, valdrán para complementar lanotas final del cuatrimestre.

5. En la corrección se atenderá principalmente al resultado final y el desarrollo complementarála valoración de cada uno de los ejercicios.

Sea f : R4 → R5 la aplicación lineal definida por

Mβ5c β5

c(f) =

1 3 6 10 1 3 20 0 1 30 0 0 00 0 0 0

.

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Encuentra bases β y β′ tales que Mββ′ =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

Plantilla para la solución:

β = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

β′ = {( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , )}

2. Considera las bases

β4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 0), (6, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)},

β5 = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 3, 6, 1, 0), (3, 3, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)}

y calcula Mβ4β5(f)

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Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f) =

3. Calcula las matrices Mβ4β4

cy Mβ5β5

c.

Plantilla para la solución:

Mβ4β4c

=

Mβ5β5

c=

4. Calcula Ker f e Im f dando ecuaciones cartesianas, dimensiones y bases (todo ello respecto

de las bases β4 y β5 respectivamente).

Plantilla para la solución:

Ker f

Ker f = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer f = { }

dim Ker f =

Im f

Im f = {(x, y, z, t)β5 : }

βIm f = { }

dim Im f =

5. Sea g : R4 → R4 dada por g(x, y, z, t)β4 = (x + 3y + 6z + 3t, y, z + t, y + z + t)β4 , calculaMβ4β4(g)

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Plantilla para la solución:

Mβ4β4(g) =

6. Calcula Ker g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Ker g

Ker g = {(x, y, z, t)β4 : }

βKer g = { }

dim Ker g =

7. Calcula Im g (respecto a la base β4 todos los resultados que des).

Plantilla para la solución:

Im g

Im g = {(x, y, z, t)β4 : }

βIm g = { }

dim Im g =

8. Calcula (Ker g + Ker f) + Im g

Plantilla para la solución:

(Ker g + Ker f) + Im g

(Ker g + Ker f) + Im g =

βKer g+Im g =

dim[(Ker g + Ker f) + Im g] =

9. Calcula Mβ4β5(f ◦ g) (observa que Mβ4β5(f ◦ g) = Mβ4β5(f)Mβ4β4(g))

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Plantilla para la solución:

Mβ4β5(f ◦ g) =

10. Calcula la expresión analítica de f ◦ g

Plantilla para la solución:

f ◦ g(x, y, z, t)β4 = ( , , , , )β5

11. Sea ahora la matriz A formada por las tres primeras filas y columnas de Mβ4c β5

c(f) y calcula

(sin diagonalizar) la potencia 7 de A (tienes que seguir como ejemplo un ejercicio del tema 2que hicimos en clase donde se descomponía A como la suma de la matriz identidad con unamatriz nilpotente).

Plantilla para la solución:

A7 =

12. Encuentra (si existen) matrices P y P−1 tales que P−1AP es una matriz diagonal diciendo

quién es ésta. En este ejercicio

A =

− 1 10 − 12 6− 3 12 − 12 6− 3 10 − 10 6− 2 7 − 9 7

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Plantilla para la solución:

A =

P =

; P−1 =

13. Calcula el siguiente determinante∣∣∣∣∣∣∣∣

6 20 11 226 8 6 93 1 1 13 7 5 13

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

14. Calcula la primitiva que sigue

∫4x + 12

x2 − 6x + 45dx =

15. Dada A =

(1 30 1

)se pide calcular (usando el binomio de Newton)

A30 =

16. Recordamos que el conjunto M2×2(R), formado por todas las matrices de tamaño 2 × 2sobre los números reales, es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es βc =

{(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)}. Dada A =

(3 −33 3

)se pide justificar si el conjunto

de matrices β = {I2, A,A2, A3} es o no es una base de M2×2(R).

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17. Factoriza (dejando claros todos los cálculos que hagas) el polinomio

p(x) = x4 + 34 =

18. Dados los espacios vectoriales U = {(x, y, z, t) : 5x + 3y + 6z = 3y + 3z = 5z = 0} yV =< (0, 1, 6, 0), (0, 0, 1, 0) > se pide calcular:

a) Una base de U .b) Las ecuaciones cartesianas de V respecto de la base β = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.c) Una base de U ∩ V .d) Una base de U + V .e) Las ecuaciones de U + V respecto de la base canónica.

Plantilla para la solución:

a) βU = { }

b) V = {(x, y, z, t)β : }

c) βU∩V =

d) βU+V = { }

e) U + V = {(x, y, z, t) : }

19. Discute (según el valor del parámetro α) el sistema de ecuaciones x + 3αy + z = 21x + αy + z = 126x + αy = 24

Hasta aquí el ejercicio de Alumnno 18.