中野寛之

京都大学・理学研究科

ブラックホール摂動論入門

弘前大学・宇宙物理学セミナー

２０１４年１２月１２日

Regge-Wheeler-Zerilli formalism

イントロ (1)

ブラックホール摂動論：

ブラックホール時空（背景時空として固定）に

摂動を与えた場合の摂動の振る舞いを議論．

• 計量の摂動自身の振る舞いを計算する．

• エネルギー・運動量テンソルを摂動源として

計量の摂動を計算する．

イントロ (2) 計量の摂動自身の振る舞いを計算する

• 摂動 → ブラックホールの安定性

• 計量の摂動 → 重力波

• 減衰振動する準固有振動

（quasinormal mode，QNM，リングダウン）

• ブラックホール時空上の波の伝播

摂動方程式は，スカラー・電磁場・重力場等

に対して用意することが出来る．

（ホーキング輻射のGreybody factor，

プランク分布からずれる．）

イントロ (3)

エネルギー・運動量テンソルを摂動源として

計量の摂動を計算する

• 摂動源として質点を用意

巨体質量ブラックホール＝コンパクト天体連星系

（Extreme mass ratio inspiral, EMRI）

イントロ (4)

重力波天文学における重力波波形の計算に活躍

リングダウン重力波：

ブラックホールの質量により地上重力波検出器

（恒星質量程度：KAGRA, LIGO, VIRGO），宇宙

空間重力波検出器（中間質量ブラックホール：

DECIGO，巨大質量ブラックホール：eLISA）の

ターゲット．

イントロ (5)

重力波天文学における重力波波形の計算に活躍

EMRI重力波：

摂動展開のパラメータとして質量比を用いる

ためにブラックホールの質量は大きい必要が

ある．宇宙空間重力波検出器（中間質量ブラッ

クホール：DECIGO，巨大質量ブラックホール

：eLISA）のターゲット．

アインシュタイン方程式と摂動展開 (1)

計量を背景時空の計量と摂動で表す．

シュバルツシルト背景時空

摂動の１次まで考える線形化されたアインシュタイン方程式を導出したい．

アインシュタイン方程式：

注意

この発表では，

物理量に換算する時は，

アインシュタイン方程式と摂動展開 (2)

アインシュタイン方程式：

左辺・右辺それぞれ摂動展開する．

注：背景時空は，真空としている．

の導出が，ややこしい．

アインシュタイン方程式と摂動展開 (3)

の導出

相対論の定義に従って，順に計算．

アインシュタイン方程式と摂動展開 (4)

リッチ（テンソル）まで計算できれば，後もう少し．

アインシュタイン方程式と摂動展開 (5)

線形化されたアインシュタインテンソル

シュバルツシルト時空（真空解）を考えているので，

最終的な線形化されたアインシュタイン方程式

気をつけておきたいこと (1)

線形化されたアインシュタイン方程式

に

を導入すると，

と少しシンプルになる．

気をつけておきたいこと (2)

ここで，計量の摂動をどのような座標で見るか？

→ この自由度がゲージ変換（無限小座標変換）

この自由度を固定するゲージ条件として

（調和ゲージ，Lorenzゲージ）を選ぶと

シンプルだが，この発表では使わない．

気をつけておきたいこと (3)

シュバルツシルトブラックホール時空（球対称）

• 計量の摂動自身に対して方程式を考える．

• Regge-Wheeler-Zerilli formalism

カーブラックホール時空（軸対称）

• 曲率の摂動（ワイルテンソル）に対して議論する．

• Teukolsky formalism

• （計量の摂動自身の定式化は？？？）

この方程式をどう解くか？

Regge-Wheelerの論文

１９５７年

Phys. Rev. 108, 1063 (1957).

テンソル球面調和関数展開 (1)

背景時空の球対称性を利用する．

→ 球面調和関数，それを発展させたもの．

正規直交基底（１０個）

テンソル球面調和関数展開(2)

スカラー部分（(tt), (tr), (rr)成分やトレース部分）

正規化されている．

テンソル球面調和関数展開(3)

ベクトル部分（(tA), (rA)成分）Aは角度．

まずは，球面調和関数のgradでベクトルを作る．

テンソル球面調和関数展開(4)

ベクトル部分（(tA), (rA)成分）Aは角度．

前のページのものに垂直な方向のベクトルを作る．

テンソル球面調和関数展開(5)

スカラー部分（角度－角度のトレース部分）

角度部分でも，トレース部分はスカラー的．

テンソル球面調和関数展開(6)

テンソル部分（角度－角度のトレースレス部分）

テンソル球面調和関数展開(7)

テンソル部分（角度－角度のトレースレス部分）

テンソル球面調和関数展開(8)

実際の計算と計算チェック．

Zerilliの論文とは違うものを

用意している．

テンソル球面調和関数展開(9)

計量の摂動は，少しいじっている．

もちろん，最初に定義したものでも構わない．

パリティ変換とモードの分離

パリティ変換 に対して，

どのように振舞うかで，方程式系を分離できる．

：even parity

：odd parity

球面調和関数：(-1)^L ：even parity

後は，微分の掛かり方と や を考慮する．

単極子，双極子 (L=0, 1) モード

Ｌが２（四重極子）以上のモードのみを以降は議論．

例えば，L=0, 1モードには，

に対応する成分は存在しない．

（別の取り扱いが，必要となる．）

物理的に意味はある．

• L=0：質量（even）に対応

• L=1：角運動量（odd）・並進運動（even）に対応

Regge-Wheelerの論文で出来なかったこと

• Even parityに対して，マスター方程式を導出することができなかった．

注：マスター方程式：それさえ解けば

他の物理量（計量の摂動）を構築できる．

• ７つの連立変微分（もしくは，フーリエ空間

では常微分）方程式から，うまい関数の

組み合わせを考える必要があった．

１３年の時は流れ・・・

Zerilliの論文

１９７０年

Phys. Rev. D 2, 2141 (1970).

Zerilliの論文の概要 (1)

• RWと使っている手法は同じ．

• テンソル球面調和関数展開．

• Even，odd パリティの分離．

• Even パリティのマスター方程式の導出．

• 摂動源としてエネルギー運動量テンソルの導入．

• 本文４ページ半，AppendixがKまであり

１５ページ半．

Zerilliの論文の概要 (2) ゲージ条件として，Regge-Wheelerゲージ

を採用している．

「We have therefore chosen to eliminate those terms which contain

the derivatives of the highest order with respect to the angles.」

----- T. Regge, J. A. Wheeler, Phys. Rev. 108, 1063 (1957).

以下では，オリジナルのものを少し変更して取り扱う．

マスター方程式の導出 (1)

まずは，エネルギー運動量テンソルを

テンソル球面調和関数展開．

Zerilliの論文では，質点を取り扱っている．

質点の位置

４元速度の時間成分

マスター方程式の導出 (2)

１０成分を次々と展開していく．（even：７，odd：３）

（続きは次のページ）

マスター方程式の導出 (3)

• Schwarzschild時空では，赤道面のみの軌道に

制限してよい．

• 円軌道・動径運動のみの場合は，

少しシンプルになる．

oddパリティ 計量の摂動３成分＋ゲージ１成分

マスター方程式の導出 (4)

次は，線形化されたアインシュタイン方程式を書き下す．

計算チェックとして，

マスター方程式の導出 (5)

次のコンビネーション（wave function）を導入する．

----- C. T. Cunningham, R. H. Price and V. Moncrief, Astrophys. J. 224, 643 (1978).

----- C. O. Lousto, Class. Quant. Grav. 22, S569 (2005) [gr-qc/0501088].

これは，Regge-WheelerやZerilliが導入したものと

という関係がある．

マスター方程式の導出 (6)

Wave functionは，次の波動方程式を満たす．

Regge-Wheeler方程式：

ポテンシャルは，

ソース項は，

マスター方程式の導出 (7)

Regge-Wheelerゲージのもとで，計量の摂動は

wave functionから次のように求められる．（２成分：３－１）

（無限遠方での重力波の議論・計算チェック等に必要．）

evenパリティ 計量の摂動７成分＋ゲージ３成分

マスター方程式の導出 (8)

全部で７つの式を次々と書き下していく．

（線形化されたアインシュタイン方程式の７成分）

マスター方程式の導出 (9)

ただ，書き下すしかない・・・．

マスター方程式の導出 (10)

後２つ．

マスター方程式の導出 (11)

計算チェック．

マスター方程式の導出 (12)

次のwave functionを導入する．

----- V. Moncrief, Annals Phys. 88, 323 (1974).

----- C. O. Lousto, Class. Quant. Grav. 22, S569 (2005) [gr-qc/0501088].

これは，Zerilliが導入したものと

という関係がある．

マスター方程式の導出 (13)

Wave functionは，Zerilli方程式：

を満たす．ポテンシャル（oddより複雑）は，

ソース項（oddより複雑）は，

マスター方程式の導出 (14)

Evenパリティの計量の摂動，４（７－３）成分は，

マスター方程式の導出 (15)

一つにまとめると，

Regge-Wheeler (odd) 方程式と Zerilli (even) 方程式：

（マスター方程式）

ゲージ変換と重力波 (1)

波動方程式の形をしていて，

遠く離れたところでの漸近形も求まるが・・・，even

ゲージ変換と重力波 (2)

波動方程式の形をしていて，

遠く離れたところでの漸近形も求まるが・・・，odd

この解は，いったい何なのか？

無限遠方で観測される重力波になっているのか？

ゲージ変換と重力波 (3)

漸近的平坦（ＡＦ）なゲージに移って議論する必要がある．

ＲＷゲージは，

消したものは，重力波成分だった・・・．

ゲージ変換と重力波 (4)

計量の摂動に対して，

ＲＷゲージからＡＦゲージへの変換を考えよう．

計量の摂動のゲージ変換は，

ゲージ変換と重力波 (5)

ゲージ変換に対して，

ベクトル球面調和関数展開で議論する．

• ベクトルポテンシャルを表現する時にも使う．

ゲージ変換と重力波 (6)

計量の摂動は，次のような変換を受ける．（１０成分）

ゲージ変換と重力波 (7)

漸近的平坦なゲージの条件を満たすように

ゲージ変換を探すと，最終的に，

無限遠方で生き残る（重力波の）成分が出る．

ゲージ変換と重力波 (8)

上記と角度依存性を合わせると，evenパリティは，

ここで，球面調和関数の性質から，

mモードに対称性がある． →

ゲージ変換と重力波 (9)

さらに，重力波のプラスとクロスモードを合わせると，

spin weighted spherical harmonics

（スピンの重み付き？球面調和関数）で書ける．

ゲージ変換と重力波 (10)

次は，oddパリティに対して計算．

先ほどと同様に，mモードに対称性がある．

（m>0とm=0を計算すればよい．）

ゲージ変換と重力波 (11)

Oddパリティもまた，

同じようなまとめ方をすることができた．

（先ほどと同じ角度依存性）

ゲージ変換と重力波 (12)

Even, oddパリティをまとめると

無限遠方で観測される重力波は，wave functionを用いて

と書ける．

重力波放射によるエネルギー (1)

トランスバース＝トレースレスゲージの下では，

(i, j)の縮約に注意すると

重力波波形を代入しよう．

重力波放射によるエネルギー (2)

角度関数の正規直交性やmモードの対称性を使う．

計算の途中式．

最終的に，

何故選んだ？（ゲージ不変量）(1)

Oddパリティのwave functionは

任意のゲージのもとで，

一方，計量の摂動のゲージ変換は，

変換後の計量の摂動をwave functionに代入すると

ゲージ変換部分が消えた．

何故選んだ？（ゲージ不変量）(2)

Evenパリティのwave functionは

任意のゲージのもとで，

変換後の計量の摂動を代入してみると，また消えた！

Chandrasekhar変換 (1)

Even, odd パリティにそれぞれ方程式がある．

（例えばグリーン関数法で）２つも解きたくない．

----- S. Chandrasekhar, The mathematical theory of black holes

Chandrasekhar変換 (2)

Even, odd パリティにそれぞれ方程式がある．

（例えばグリーン関数法で）２つも解きたくない．

----- S. Chandrasekhar, The mathematical theory of black holes

Chandrasekhar変換 (3)

フーリエ変換しておこう．

周波数領域では，

目標は，微分のところを同じ形にしたい！

Chandrasekhar変換 (4)

いつもこのようなことができる訳ではないが・・・．

「We can!」by Chandrasekhar

同じ微分方程式の形にできる．

Regge-Wheeler-Zerilliの解き方 (1)

Mano-Suzuki-Takasugiの方法（周波数空間）

----- S. Mano, H. Suzuki, E. Takasugi, Prog. Theor. Phys. 96, 549 (1996).

----- M. Sasaki, H. Tagoshi, Living Rev. Relativity 6, 6 (2003).

Wave function Xを

と変更して，RW方程式を少し書き換えて，

εの展開として解く．

Regge-Wheeler-Zerilliの解き方 (2)

遅延時間 と先進時間 の座標で解く．

（時間領域）摂動源として，質点のデルタ関数を扱う．

----- C. O. Lousto, Class. Quant. Grav. 22, S543 (2005).

ブラックホール準固有振動 (1)

連星などの合体により最終的にブラックホールが形成される時に放射される重力波であり、ブラックホールを直接観測する方法として利用できる。

右図で，最後の方に見える減衰振動が 準固有振動（quasinormal mode, QNM）である．

ブラックホール準固有振動 (2)

ＱＮＭ重力波（リングダウン）が分かると，

何が分かるのか？

パラメータ：

• 中心周波数：fc，Ｑ値：Q

（もしくは周波数の実部・虚部）

• 初期時刻・初期位相

• スピンの方向・重力波源の位置

ブラックホール準固有振動 (3) 理論屋として，まず，すべきこと

ＱＮＭパラメータの中で，

「中心周波数：fc，Ｑ値：Q」

をブラックホールの性質と関連付ける．

例）カーブラックホール（ここでは、質量：M，スピン：j）

-----

E. Berti, V. Cardoso, C. M. Will,

Phys. Rev. D73, 064030 (2006).

ブラックホール準固有振動 (4)

GR禁止領域

50M_sun

175M_sun

振動数（実部，Hz）

振動数（虚部，Hz）

中村卓史氏による提案．

ブラックホール準固有振動 (5)

一番簡単な評価方法：WKB近似

----- B. F. Schutz and C. M. Will, Astrophys. J. 291, L33 (1985).

ブラックホール準固有振動 (6)

ポテンシャル障壁を持つ１次元

シュレディンガー方程式と似ている！

Region IIではポテンシャルを近似して，厳密解を求める．その後，接続する．

ブラックホール準固有振動 (7)

Regge-Wheeler方程式に使ってみよう．（M=1としている．）

----- B. F. Schutz and C. M. Will, Astrophys. J. 291, L33 (1985).

：スカラー，ベクトル，計量の摂動

準固有振動数：σ

と，ポテンシャルのピークでの振る舞いで書ける．

（r0はポテンシャルのピークの位置．）

ブラックホール準固有振動 (8)

3rd order WKB

S. Iyer, C. M. Will, Phys. Rev. D 35, 3621 (1987).

6th order WKB

R. A. Konoplya, Phys. Rev. D 68, 024018 (2003).

ブラックホール準固有振動 (9)

----- R. A. Konoplya, Phys. Rev. D 68, 024018 (2003).

----- R. A. Konoplya, Phys. Rev. D 68, 024018 (2003).

ブラックホール準固有振動 (10)

まとめ

Regge-Wheeler-Zerilli formalism

ブラックホール摂動論の中で，最もシンプル，でも奥深い．

QNMに関しては、どの精度で計算したいか？

定式化は，静的球対称時空の色んなものに拡張できそう．

----- T. Ono, T. Suzuki, N. Fushimi, K. Yamada, H. Asada, arXiv:1410.6265.