1. Regimul staţionar al sistemelor de acţionări electrice. Stabilitate statică

După cum s-a mai precizat, condiţia funcţionării unui sistem de acţionare în regim staţionar este m – ms=0. Acest regim corespunde punctului de intersecţie dintre caracteristica mecanică ω(m) a motorului şi caracteristica mecanică ω(ms) a maşinii de lucru.O etapă importantă în proiectarea sistemelor de acţionare o constituie verificarea stabilităţii regimului staţionar. Acest lucru se realizează prin scoaterea sistemului din starea de echilibru printr-o intervenţie din exterior, numită perturbaţie. După cum, în urma unor perturbaţii sistemul se stabilizează sau nu într-un nou regim staţionar sau, dacă în urma dispariţiei perturbaţiilor punctul de funcţionare revine sau nu în cel de regim staţionar iniţial, un sistem de acţionare funcţionează static stabil sau instabil într-un punct corespunzător unui regim staţionar.Pentru a putea afirma despre un punct de funcţionare de regim staţionar dacă este sau nu static stabil, se impune stabilirea unui criteriu de stabilitate statică a sistemului de acţionare.Să presupunem că dintr-un motiv oarecare, caracteristica mecanică a maşinii de lucru se modifică din caracteristica 1 în caracteristica 2, iar caracteristica mecanică a motorului rămâne aceeaşi (fig. 1).

Fig.1. Stabilitatea regimului staţionar al sistemelor de acţionări electrice

La viteza iniţială Ω1 corespunzătoare punctului A, motorul dezvoltă cuplul M1 iar maşina de lucru dezvoltă un cuplu mai mare, corespunzător abscisei punctului B. Deoarece m<ms

sistemul începe să frâneze, deci viteza unghiulară scade. Când viteza scade, cuplul motorului creşte, punctul A se deplasează pe caracteristica ω(m) spre viteze mai mici, iar cuplul maşinii de lucru scade, punctul B se deplasează pe caracteristica 2 de asemenea spre viteze mai mici. În final viteza unghiulară atinge valoarea Ω2 corespunzătoare punctului A’ , când cele două cupluri devin din nou egale. Se ajunge la un nou regim

1

staţionar, în punctul A’ , situat la intersecţia curbelor ω(m) şi curba 2 ω(ms). În această situaţie se poate afirma că punctul iniţial de funcţionare corespunde unui regim staţionar stabil. Dacă viteza nu tinde către o nouă valoare de regim staţionar sau oscilează în jurul valorii anterioare se spune că funcţionarea în punctul iniţial a fost instabilă.Stabilitatea astfel definită este denumită stabilitate statică şi presupune următoarele ipoteze:

perturbaţiile mărimilor funcţionale sunt mici faţă de valorile corespunzătoare regimului staţionar iniţial,

perturbaţiile se produc lent în timp astfel încât punctul de funcţionare se deplasează p caracteristici mecanice staţionare.

În aceste condiţii, deci la procese relativ lente, comportarea sistemului de acţionare se descrie primtr-o ecuaţie diferenţială neliniară de ordinul I

= (1)

Condiţia de funcţionare staţionară la o viteză unghiulară Ω1 constantă (fig. 1) este: m(Ω1) – ms(Ω1) =0. (2)Pentru a ne convinge dacă acest punct de funcţionare este stabil sau instabil, se linearizează ecuaţia diferenţială (1) în punctul Ω1, adică se consideră o mică perturbaţie

(fig. 2).

Fig. 2. Explicativă pentru linearizare

Cu + , ecuaţia (1) devine

(3)

Luând în consideraţie notaţiile din figura 2, pentru cuplul dezvoltat de motor se obţine relaţia

(4)

În mod analog, pentru cuplul de sarcină se obţine relaţia

2

(5)

Înlocuind relaţiile (4) şi (5) în (3) se obţine:

(6)

Ţinând seama că punctul A este un punct de funcţionare în regim staţionar, adică

,

Se obţine ecuaţia diferenţială omogenă linearizată

(7)

unde este o mică deviaţie a vitezei unghiulare faţă de viteza staţionară (vezi figura 1), iar

(8)

Reprezintă panta diferenţei cuplurilor în punctul de funcţionare sau coeficient de stabilitate .Soluţia ecuaţiei (7) este:

(9)

unde corespunde unei deviaţii iniţiale, care poate rezulta de exemplu ca urmare a trecerii punctului de funcţionare de pe o caracteristică mecanică pe alta (vezi figura 3), iar

are semnificaţia unei constante de timp şi se numeşte constantă mecanică de timp.

Fig. 3. Explicativă pentru deviaţia iniţială şi variaţia ei

Din relaţia (9) rezultă criteriul de stabilitate statică, care se poate formula în felul următor: funcţionarea la viteza unghiulară este stabilă numai dacă >0, fiindcă numai în acest caz , când Criteriul de stabilitate exprimat prin relaţia k>0, poate fi formulat şi în felul următor: în punctul de funcţionare stabil, tangenta la curba trebuie să aibă o pantă mai mică decât tangenta la curba

3

Altfel spus, condiţia generală de stabilitate presupune ca variaţia vitezei unghiulare şi variaţia cuplului dinamic să fie de sensuri contrare.

Atragem atenţia că problema stabilităţii poate fi hotărâtă numai prin examinarea simultană a celor două caracteristici mecanice şi , deci stabilitatea este proprietatea sistemului de acţionare şi nu a motorului.

2. Regimul dinamic al sistemelor de acţionare electrică

Prin regim dinamic se înţelege regimul în care viteza unghiulară al sistemului de acţionare se modifică, deci este un regim cu viteză variabilă.Dacă modificarea vitezei unghiulare se realizează în mod voit (pornire, frânare, reversare) atunci regimul dinamic se numeşte regim tranzitoriu.Regimurile dinamice prezintă un interes deosebit din mai multe puncte de vedere, uneori contradictorii. Astfel, în procesele tehnologice timpii de pornire, frânare, reversare pot avea un rol important în privinţa productivităţii unor instalaţii. Pe de altă parte, în procesele tranzitorii diferitele mărimi funcţionale pot fi supuse unor restricţii, ca de pildă: restricţii de acceleraţie, de viteză sau de cursă.În practică nu se impune urmărirea amănunţită a tuturor proceselor care au loc într-un sistem de acţionare electrică. La rezolvarea unor probleme concrete, procesele tranzitorii se studiază cu pretenţii diferite, neglijând uneori factori de importanţă secundară, care în împrejurimile date nu influenţează pronunţat funcţionarea.Procesele tranzitorii sunt influenţate de inerţia diferitelor elemente, caracterizate prin constante de timp. Deosebim:

inerţia mecanică a diferitelor elemente în mişcare de rotaţie sau translaţie ale maşinilor de lucru, al transmisiilor sau al motorului de acţionare. În cazul acţionărilor electrice acest tip de inerţie se caracterizează prin constanta mecanică de timp, cu valori cuprinse între 10-3 s şi 5 s,

inerţia electromagnetică datorată inductivităţii proprii şi mutuale, respectiv rezistenţei înfăşurărilor motorului şi aparatelor de comandă, caracterizată prin constanta electromagnetică de timp cu valori cuprinse între (10-4 – 10-1) s,

inerţia termică a diferitelor elemente din motor şi instalaţia electrică de alimentare, comandă şi comutaţie, caracterizată prin constanta de timp la încălzire, cu valori cuprinse între (10 – 104) s.

2.1. Determinarea variaţiei vitezei unghiulare funcţie de timp în diferite regimuri dinamice

La proiectarea acţionărilor electrice este nevoie de a cunoaşte modul de variaţie a vitezei unghiulare funcţie de timp , funcţie numită şi diagramă de lucru. Această diagramă permite determinarea şi a funcţiilor sau , necesare la verificarea maşinilor alese.

4

Diagrama de lucru se obţine din rezolvarea ecuaţiei fundamentale a mişcării folosind unul din următoarele procedee: linearizarea ecuaţiei de mişcare, integrarea analitică, integrarea numerică sau integrarea grafică.Din motive didactice, în continuare se va aplica metoda linearizării caracteristicilor mecanice în punctul de funcţionare, pentru trei exemple de regimuri tranzitorii.

2.1.1. Determinarea variaţiei vitezei unghiulare şi al cuplului dezvoltat de motor la pornirea în gol a unui motor cu caracteristică tip derivaţie

Presupunem că un motor de curent continuu excitaţie independentă sau derivaţie se cuplează la momentul t=0 la o sursă de c.c. cu tensiunea U=const. (vezi figura 4).

t

Fig. 4. Pornirea în gol a unui motor cu caracteristică tip derivaţie

Caracteristica mecanică staţionară a motorului este determinată de cuplul de pornire , dezvoltat la momentul alimentării şi de viteza unghiulară de mers în gol ideal . (Mersul în gol ideal însemnă neglijarea cuplurilor de frecări din maşină şi ca urmare considerând )Cuplul de pornire, care se obţine prin prelungirea caracteristicii mecanice naturale până la intersecţia cu axa absciselor, este de 8 până la de 10 ori cuplul nominal al motorului şi reprezintă numai o mărime de calcul, pornirea motoarelor de c.c. pe caracteristica mecanică naturală ne fiind permisă datorită unui curent de pornire de 8 până la de 10 ori mai mare decât curentul nominal .Datorită faptului că acest curent absorbit la pornire poate să ducă la arderea maşinii, pornirea lor este permisă doar cu reostat de pornire, prin care se limitează cuplul respectiv curentul de pornire la valori care nu depăşesc limitele maxime admise.Utilizarea reostatelor de pornire influenţează favorabil ipotezele simplificatoare admise, în sensul că procesele tranzitorii electrice devin mai rapide în timp ce procesele mecanice devin mai lente.

5

Din cauza linearităţii caracteristicilor şi , în acest exemplu nu este nevoie de limitarea lui la valori mici şi ca urmare expresia coeficientului de stabilitate se poate scrie:

,

ceea ce ne indică un punct de funcţionare stabil la viteza unghiulară .Prin urmare ecuaţia diferenţială (7) devine:

unde este denumită constantă de timp la pornire.

Punctul de funcţionare staţionar se obţine la intersecţia celor două caracteristici şi , având viteza unghiulară . Datorită faptului că punctul iniţial s-a considerat la

pornire şi fiindcă viteza unghiulară nu poate să aibă o variaţie discretă (bruscă), rezultă o deviaţie iniţială .Prin urmare soluţia (9) a ecuaţiei linearizate (7) devine:

(10)Viteza unghiulară în orice moment se defineşte cu relaţia: (11)Înlocuind relaţia (10) în relaţia (11), se obţine modul de variaţie în timp a vitezei unghiulare în procesul de pornire, adică diagrama de lucru al procesului:

(12)

Fig. 5. Variaţia în timp a vitezei unghiulare şi a cuplului motor la pornirea în golDin asemănarea triunghiurilor (fig. 4) rezultă variaţia în timp a cuplului dezvoltat de motor în procesul de pornire:

(13)

Procesul de pornire este reprezentat în figura 5. Discontinuitatea în variaţia cuplului trebuie atribuită numai neglijării proceselor tranzitorii electrice. În realitate, cuplul este legat de starea energetică din motor şi ca urmare are o variaţie continuă.

6

2.1.2. Pornirea unui motor cu caracteristică tip derivaţie când cuplul de sarcină este proporţional cu viteza unghiulară

În figura 6 sunt reprezentate caracteristicile mecanice când un motor cu caracteristică tip derivaţie este pornit cu un cuplu de sarcină proporţional cu viteza unghiulară.

t

Fig. 6. Caracteristicile mecanice la pornirea motorului derivaţie când cuplul de sarcină este proporţional cu viteza unghiulară

Punctul de funcţionare de regim staţionar, care se obţine la intersecţia celor două caracteristici mecanice, se obţine la viteza unghiulară . Viteza unghiulară în orice moment se defineşte cu relaţia (11), care în cazul nostru devine: (14)

La momentul , se obţine deviaţia iniţială .Coeficientul de stabilitate (panta diferenţei cuplurilor) se obţine pe baza unei relaţii asemănătoare din exemplul anterior

,

şi fiind pozitiv, punctul de funcţionare la viteza unghiulară este static stabil.

Comparând constanta de timp la pornire cu cel din exemplul anterior

m , se obţine relaţia , care ne arată că la

pornirea cu sarcina proporţională cu viteza se produce o scădere a constantei de timp la pornire.Soluţia (9) a ecuaţiei linearizate (7) devine:

,

cu care se obţine expresia diagramei de lucru, adică variaţia în timp a vitezei unghiulare:

7

. (15)

Folosind relaţia (13) din exemplul anterior, se poate deduce variaţia în timp a cuplului dezvoltat de motor

(16)

Relaţiile (15) şi (16) sunt reprezentate în figura 7.

0

101 ω

ω1mm

Fig. 7. Variaţia în timp a vitezei unghiulare şi a cuplului dezvoltat de motor la pornirea unui motor de c.c. derivaţie cu un cuplu de sarcină proporţional cu viteza unghiulară

2.1.3. Punerea sub sarcină a unui motor electric

Presupunem că un motor de c.c. excitaţie independentă sau derivaţie funcţionează în gol ideal, la viteza unghiulară . La momentul se cuplează la arborele motor o sarcină care produce un cuplu de sarcină constant m1, şi punctul de funcţionare se stabilizează la viteza unghiulară (fig. 8). Se presupune că după atingerea vitezei unghiulare de mers în gol ideal, rezistenţa de pornire a fost scurcircuitată şi ca urmare cuplul de pornire corespunde cuplului de pornire pe caracteristica mecanică naturală.

8

t

Fig. 8. Caracteristicile mecanice la punerea sub sarcină a unui motor electric când cuplul de sarcină este constant

Din expresia vitezei unghiulare la un moment dat , rezultă pentru

momentul o deviaţie iniţială .Coeficientul de stabilitate (panta diferenţei cuplurilor) se calculează cu relaţia:

k rezultând pozitiv înseamnă un punct de funcţionare static stabil la viteza unghiulară

. Constanta de timp definită cu relaţia se numeşte constanta de timp la

pornire în scurtcircuit.

Ca şi în cazurile precedente, soluţia (9) devine

cu care

(17)

va reprezenta variaţia în timp a vitezei unghiulare la punerea sub sarcină a motorului.

9

Fig. 9. Variaţia în timp a vitezei unghiulare şi a cuplului dezvoltat de motor, la punerea sub sarcină şi la descărcarea de sarcină a motorului

În acelaşi regim, pentru cuplul dezvoltat de motor obţinem relaţia

(18)

Regimurile descrise de relaţiile (17) ŞI (18) sunt prezentate în figura 9. În aceeaşi figură sunt prezentate şi procesele care au loc la descărcarea de sarcină, adică revenirea la situaţia premergătoare punerii sub sarcină.La punerea sub sarcină, cuplul dezvoltat de motorul electric de acţionare creşte treptat ca urmare a scăderii vitezei unghiulare, în primele momente cuplul de sarcină fiind acoperit de energia cinetică a maselor în mişcare de rotaţie. La descărcare are loc un proces invers. Inerţia mecanică acţionează la scăderea sarcinii ca un tampon între maşina de lucru şi reţeaua electrică de alimentare.

10