Reglerteknik 6 - KTH · 2015. 1. 28. · kondensator. för att få denna effekt! • Men till reglerteknikens processer kan man av stabilitetsskäl oftast bara använda ”låga”

Reglerteknik 6

William Sandqvist [email protected]

Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln

Kapitel 10

Föreläsning 6 kap 10


Reglersystemets egenskaper

Stabilitet är den viktigaste egenskapen. Ett ostabilt system är oanvändbart.

Stabilitet är viktigast


Regulatorn är den del av överförings-funktionen man kan påverka. Med den kan man kompensera för ”brister” i processens överföringsfunktion.

Segway är i sig instabil, det är regulatorn som gör den till ett användbart fordon.

Stabilitet är viktigast


Men även om processen är stabil, kan felaktiga regulatorinställningar resultera i ett ostabilt system!

Kretsöverföring: )()()()( sGsGsGsG GPRK ⋅⋅=

)(sGK

(Open loop)

Nyquistkriteriet för stabilitet


(eg. Det förenklade Nyquistkriteriet)

Man studerar det öppna systemet GK. Kommer en sinusformad störning att växa till en ”större kopia” efter ett varv?

I så fall kommer den, i ett slutet system, att växa varv efter varv helt ostabilt!

)(sGK

U

Harry Nyquist




• Finns det något ω då insignal och utsignal till GK är i ”fas”? )()( ωϕω KK jG =∠

°−180°−= 360 dvs. i fas

( = kopia)!

• Har amplituden ökat något vid den frekvensen?

1)()( >= ωω KK AjG

i så fall blir det slutna systemet instabilt!

• Detta ω kallas för ωπ – egensvängningsfrekvensen.

°−= 180)( πωϕK+°−180




stabiltAKK 1)(180)( 1

Stabilitetsmarginaler


Hur stabilt är ett ”stabilt” system? Om systemet slits, eller utsätts för extrema temperaturer så att överföringsfunktionen blir något förändrad – kan det då bli instabilt? Man vill ha siffervärden på hur långt ifrån ”stabilitetsgränsen” som systemet ligger.

• Fasmarginal )(

1

πωKm A

A =

)(180 CKm ωϕΦ +°=

• Amplitudmarginal °−= 180: Kϕωπ

1: =KC AωAm 2…5

Φm 30°…60°

Typiskt:

Polbestämning för stabilitet


s-planet. s = σ + jω

Förstärkning → ← Dämpning

Ökande frekvens ↑

Ostabilt!

• Slutna systemets överföringsfunktion.

Polbestämning för stabilitet


En överföringsfunktion är stabil om nämnarpolynomet inte har rötter som ger poler i högra halvplanet.

Gyllene regeln


Ex. stabilt?


51 =G+− 65

122 ++

=ss

GY

1155

5655

6551

6515

1

2

2

2

2

21

21

++=

=+++

=

+++

++⋅

=⋅+

⋅=

ss

ssss

ssGG

GGGTOT

Quadratic Equation Solver

X

X

= Stabilt!

Re

Im

Routh-Hurwitz metod


Man kan ta reda på om det finns det någon rot i högra halvplanet eller ej, utan att man behöver lösa hela nämnarpolynomet! Edward Routh

Adolf Hurwitz

0012 23 +++++ sss

012011Början på

Routh-tabellen

udda potenser jämna potenser

Routh-Hurwitz metod


12 23 +++ sss

5,0012011Fortsätt-

ningen på Routh-tabellen

5,02

1112=

⋅−⋅

Routh-Hurwitz metod


12 23 +++ sss

005,0012011Fortsätt-


02

0102=

⋅−⋅

Routh-Hurwitz metod


12 23 +++ sss

1005,0012011Fortsätt-


15,0

0215,0=

⋅−⋅

Routh-Hurwitz metod


12 23 +++ sss

001005,0012011Fortsätt-


05,0

0205,0=

⋅−⋅

Routh-Hurwitz metod


12 23 +++ sss

001005,0012011Routh-

tabellen är nu klar. 3+1 rader för gradtal 3.

Alla i första kolumnen har positivt tecken ⇒ Stabilt!

Routh-Hurwitz metod


Ett annat nämnarpolynom: 92 23 +++ sss

005,3092011

−5,3

29112

−=⋅−⋅

Minst en i första kolumnen är negativ (teckenbyte) ⇒ ostabilt!

Nu kan man sluta att räkna.

Routh-Hurwitz metod


Routh’s metod kan enkelt ge algebraiska vilkor för stabilitet. – Hur stor förstärkning K kan integratorn maximalt ha?

sKG =1+

−22 )1(

3s

G+

=

2

2 3 2

2

33 3(1 )

3 (1 ) 3 2 31(1 )

TOT

KK Ks sG K s s K s s s K

s s

⋅+= = =

+ + + + ++ ⋅+

1 2

1 21TOT

G GGG G⋅

=+ ⋅

Routh-Hurwitz metod


Ksss 32 23 +++

00300032011

232

K

KK−

Vilkor för stabilitet:

03032

>>−

KK

320

10.1 Stabilitet


xxyyya +=−+ 6)Vilka processer är stabila?

xyyyb 3862) =−+xxyyyc 42110) +=++

uuyyyyd 523) +′=+′−′′+′′′uuyyyye 347) +′′=+′+′′+′′′uuyyyyf 763) +′=+′+′′+′′′

62) 2 −−

+ss

sg

423)

2

+++

sssh

10.1 e lösning, Stabilitet


Inga teckenbyten, stabilt

» pole(tf([1,3,0],[1,7,1,4])) ans = -6.9390 -0.0305+ 0.7586i -0.0305- 0.7586i

MATLAB 4723 +++ sss

400047011

73 7

37

4117

=

=⋅−⋅

poler i vhp, stabilt

Routh 47

3347

:}{347)

23

2223

++++

=+=+++

+′′=+′+′′+′′′

sssss

UYUUsYYsYsYs

Luuyyyye

10.1 f lösning, Stabilitet


teckenbyte, ostabilt

» pole(tf([1,7],[1,3,1,6])) ans = -3.2583 0.1291+ 1.3509i 0.1291- 1.3509i

MATLAB 6323 +++ sss

6001063011

−

13

6113−=

⋅−⋅

poler i hhp, ostabilt

Routh 63

7763

:}{763)

2323

++++

=+=+++

+′=+′+′′+′′′

ssss

UYUUsYYsYsYs

Luuyyyyf

10.1 g lösning, Stabilitet


» pole(tf([1,2],[1,-1,-6])) ans = 3 -2

MATLAB

pol i hhp, ostabilt

25

216

21

62) 412 ±=+±=−−

+ sss

sg

poler i hhp, ostabilt

10.1 h lösning, Stabilitet


44

23)2

−=+

++ ss

ssh pol i vhp, stabilt

» pole(tf([1,3,2],[1,4])) ans = -4

MATLAB

pol i vhp, stabilt

Statisk noggrannhet


– När systemet väl är stabilt försöker man också att uppfylla ytterligare prestandakrav.

• Statisk noggrannhet – litet kvarvarande fel.

+

−R PG

+ Y+Regulator Process

V

RG

• Börvärdesändringar • Processtörningar

Kvarvarande fel?

Statisk noggrannhet e0 e1 eV


• Gränsvärde vid stegformad börvärdesändring:

• Gränsvärde vid rampformad börvärdesändring:

• Gränsvärde vid stegformad processtörning:

Bevis i appendix.

Kommer Du ihåg OP-följaren?

OP-Förstärkning 100000 ggr


Om OP-förstärkning 5 ggr?


Vi ändrar OP-modellen från Aol=100K till Aol=5.

Nu är förstärkningen bara fem gånger!

Om OP-förstärkning 5 ggr?

e0 = 1-0,8333 = 0,1666

16% fel!


1666,0151

11

lim00

=⋅+

⇒⋅+

=→

PRs GG

ae

0,1666 5

Operationsförstärkaren


Operationsförstärkarens förstärkningskurva faller en dekad/dekad i Bodediagrammet. Trots att den har 100000 ggr förstärkning kan den därför stabilt motkopplas enda ned till förstärkningen ett.

Frekvenskurvan faller brantare först vid lägre förstärkning än ett (under 0dB). Vid tillverkningen har man lagt till en kondensator för att få denna effekt! • Men till reglerteknikens processer kan man av stabilitetsskäl oftast bara använda ”låga” förstärkningsvärden.

Ex. utan/med Integrerande regulator


P

P

P

PsP

P

sV KKK

KKTsK

TsKK

TsK

e+−

=++

−=

+⋅+

⋅+

−=

→→ 11lim

11

11lim

00

• Processtörning. Proportionell regulator K

Litet kvarvarande fel eV kräver hög regulatorförstärkning K – Risk för stabilitetsproblem.

PR

Psv GG

aGe⋅+⋅−

=→ 1

lim0

Ex. utan/med Integrerande regulator


• Processtörning. Integrerande regulator 1/T1s

• Inget kvarvarande fel!

00)1(

lim

111

11lim

1

1

0

1

0=−=

++−

=

+⋅

⋅+

⋅+

−=

→→PP

PsP

P

sV KKTssTsTK

TsK

sT

TsK

e

För att eliminera kvarstående fel efter en stegformad process-störning krävs en integrerande regulator.

PR

Psv GG

aGe⋅+⋅−

=→ 1

lim0

Fel vid börvärdesändring


• Börvärdesändring. Stegformad börvärdesändring.

För att eliminera kvarstående fel efter en stegformad börvärdesändring krävs att antingen regulatorn eller processen är integrerande.

Här har det ingen betydelse var integreringen är placerad.

0 0 om eller integrerandeR Pe G G=

Sammanfattning e0 eV


+

−R PG

+ Y+Regulator Process

V

RG e = 0

För att eliminera en steg-börvärdesändring R krävs: • GR eller GP är integrerande För att eliminera en steg-störning V krävs: • GR är integrerande

Ex. Steg, ramp börvärde/störning


01) integrering 0PG es

∝ ⇒ =1

1 0 0) ramp lim lim (1 ) 3 331 1(1 )

s s

h h he s ss ss s

→ →= = =

+ + + ++

2

0 0

3(1 )) steg lim lim3 (1 ) 3 31(1 )

v s s

aa as se

s s as s

→ →

−−+= = = −+ ++

+

3

)1(1

ssGP +

=

Störning:

Börvärde: integrering

Ex. steg, ramp börvärde/störning


0 11) 0 2) 3)3 3Vh ae e e= = = −

3Vae =

1 3he =00 =e !

!

10.14 Statisk noggrannhet


?=K+−

R)101)(1(

1ss ++

Y?1,00 =e

Ställ in regulatorns förstärkning K så att .1,00 =e

10.14 lösning 10% fel


?=K+−

R)101)(1(

1ss ++

Y?1,00 =e

11

11

1

)101)(1(11

1lim1

1lim000 +

=+

=

++⋅+

=⋅+

=→→ KK

ssKGG

es

PRs

99,01,01,01,011,01

1>⇒>⇒+

Snabbhet


• Stigtid tr

Stigtiden kan enkelt mätas med oscilloskop, de har ofta någon ”inbyggd mätfunktion” för detta.

Stigtidsmarkeringar på oscilloskopskärm

För överföringsfunktioner som har höga gradtal är det dock besvärligt att beräkna vilket exakt värde stigtiden bör ha. Därför använder man tumregler när man värderar stigtidsmätningar.

Snabbhet, tumregel


För ofta förekommande, ”normala”, överföringsfunktioner använder man följande aproximativa tumregel:

Kretsöverföringen, den öppna överföringsfunktionen, har överkorsningsfrekvensen ωC i Bodediagammet. ( Skärningen med A(ω) = 1 )

1=ACω

Crt ω

4,1≈

A

ω

Avläsning av felen e0 e1 ur Bodediagrammet


Typ 0 Typ 1 Lutning 1 dekad/dekad

)0( ≈ωA

Ur kretsöverföringen (öppna systemet)

11

1ω

=⇒ e∞=⇒ 1e

)0(11

0 ≈+=⇒

ωAe 00 =⇒ e

1ω0≈ω

1=A 1=A

Sammanfattning av Bodediagrammet

11

1ω

=eC

rt ω4,1

≈

Fel vid ramp- störning

Stigtid vid börvärdessteg

Stabilitet Amplitud-marginal

Stabilitet Fasmarginal

Typ 1


0

1

11 ( 0)

eA

eω

=+ ≈

= ∞

10.17 Bodediagram


????? 10 ====Φ= eetA rmm

)(sGK+−

RY

10.17 a Bodediagram


10.17 a lösn Bodediagram


5,24,0

1==mA

°=Φ 45m

integrator00 =e

25,18,0

11 ==e

75,18,04,1==rt

Typ 1

10.17 b Bodediagram


10.17 b lösn Bodediagram


°=Φ 20m

25,0

1==mA

2,041

10 =+=e

∞=1e

56,05,24,1==rt

Typ 0

10.17 c Bodediagram


10.17 c lösn Bodediagram


integrator00 =e

25,18,0

11 ==e

7,024,1==rt

8,326,01

==mA

°=Φ 70m

Typ 1

10.17 d Bodediagram


10.17 d lösn Bodediagram


°=Φ 70m

6,162,01

==mA

25,031

10 =+=e

∞=1e

75,024,1==rt

Typ 0

Styrsignalstorlek?


Hur stor blir styrsignalen U ? Det är ingen mening med en matematiskt perfekt regulator som genererar orimliga styrsignaler under regleringen!

Styrsignalöverföringsfunktioner


RP

R

GGG

RU

+=

1 RPR

GGG

WU

+−

=1

RP

PR

GGGG

VU

+−

=11 RP

R

GGG

VU

+−

=12

Styrsignalaktiviteten kan simuleras, eller studeras med Bodediagram.

Styrsignalöverföringsfunktioner


RP

R

GGG

RU

+=

1 RPR

GGG

WU

+−

=1

RP

R

GGG

VU

+−

=12

För höga frekvenser är det vanligt att GP → 0. Styr-signalerna beror då mest på regulatorns högfrekvens-egenskaper:

RRP

R GGG

G∞→∞→

=+ ωω

lim1

lim

0≈


Reglerteknik 6Föreläsning 6 kap 10Stabilitet är viktigastStabilitet är viktigastNyquistkriteriet för stabilitetNyquistkriteriet för stabilitetNyquistkriteriet för stabilitetStabilitetsmarginalerSlide Number 9Polbestämning för stabilitetPolbestämning för stabilitetGyllene regelnEx. stabilt?Slide Number 14Routh-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodRouth-Hurwitz metodSlide Number 2410.1 Stabilitet10.1 e lösning, Stabilitet10.1 f lösning, Stabilitet10.1 g lösning, Stabilitet10.1 h lösning, StabilitetSlide Number 30Statisk noggrannhetStatisk noggrannhet e0 e1 eVSlide Number 33Kommer Du ihåg OP-följaren?Om OP-förstärkning 5 ggr?Om OP-förstärkning 5 ggr?OperationsförstärkarenSlide Number 38Ex. utan/med Integrerande regulatorEx. utan/med Integrerande regulatorSlide Number 41Fel vid börvärdesändringSammanfattning e0 eVSlide Number 44Ex. Steg, ramp börvärde/störningEx. steg, ramp börvärde/störningSlide Number 4710.14 Statisk noggrannhet10.14 lösning 10% felSlide Number 50SnabbhetSnabbhet, tumregelSlide Number 53Avläsning av felen e0 e1 ur BodediagrammetSammanfattning av BodediagrammetSlide Number 5610.17 Bodediagram10.17 a Bodediagram10.17 a lösn Bodediagram10.17 b Bodediagram10.17 b lösn Bodediagram10.17 c Bodediagram10.17 c lösn Bodediagram10.17 d Bodediagram10.17 d lösn BodediagramSlide Number 66Styrsignalstorlek?StyrsignalöverföringsfunktionerStyrsignalöverföringsfunktionerSlide Number 70

Documents

Reglerteknik 6 - KTH · 2015. 1. 28. · kondensator. för att få denna effekt! • Men till reglerteknikens processer kan man av stabilitetsskäl oftast bara använda ”låga”