Regresszió és korreláció

2013. 03. 09

.

• Lineáris regresszió

• Regressziós vizsgálatok

• Korrelációs együttható

• Korreláció és függetlenség

• Bizonyos esetekben tudjuk/gyanítjuk, hogy az adatok ingadozásáért egy másik, ugyancsak változó tényező a felelős

• Pl.: – RR különböző életkorokban más értékek– Laboratóriumi mérést helyiség hőmérséklete

befolyásol, növeli a szórást

• Kézenfekvő lenne ennek a külső változónak az ingadozását megszüntetni, értékét azonos szinten tartani – nem mindig lehetséges

• Másik megoldás, hogy a zavaró változó hatását igyekszünk felderíteni, és számítással kiküszöbölni.

• Bizonyos esetekben ennek a hatásnak a természete jobban érdekel minket, mint magának a szórásnak a csökkentése

• Pl.: Hogyan változik (és változik-e egyáltalán) – a korral a vérnyomás– a koncentrációval a törésmutató

• Eredeti változónkat tehát mintegy a másik függvényében vizsgáljuk – regressziós vizsgálatok

0

50

100

150

200

250

300

rángásidő ms

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.8

1.0

• Adrenalin hatására vizsgáljuk az izomrángást

• Adrenalin dózis növekedésével a rángásidőt vizsgáljuk

• Próbáljuk egyenessel megközelíteni a hatás jellemzését

• x változó vizsgált értékeit mi választjuk ki,

• yi adatok eltérését az egyenestől rögzített xi értéknél (tehát a függőlegesen vizsgáljuk)

• Célunk, hogy a függőleges egyenesekből számolt szórás a lehető legkisebb legyen

• y=a+bx ahol b a meredekség, a tengelymetszet

Regressziós vizsgálatok

• A regressziós összefügéseket nem mindig egyenes ábrázolja a legjobban

• Sokszor görbe jellemzi: parabola, hiperbola vagy exponenciális görbe

• Előfordul, hogy a dózis logaritmusa áll lineáris kapcsolatban a hatással

Valóságos regressziós egyenlet:

1., x és y tengelyen ábrázolt adatokra rátekintve mondhatjuk meg, hogy milyen görbe jellemzi

2., Megmérjük az összefüggés szorosságát, ezt a célt szolgálja a korrelációs együttható

• Kovariancia (sxy): az együttes ingadozás mértékszáma

• Korelációs együttható (r): a kovariancia a szórások szorzatával osztva

• Pozitív hajlásszögű egyenes: b>0, a korrelációs együttható (r) is pozitív lesz, ezt pozitív korrelációnak nevezzük.

• Negatív hajlásszögű egyenes: a korrelációs együttható is negatív, negatív korrelációról beszélünk

• r=0 korrelálatlanságról beszélünk, ilyenkor regressziós egyenes vízszintes (b=0) (ilyenkor y átlagos értéke ugyanaz marad, akárhogyan is változik x)

• A korrelációs együttható csak -1 és +1 közti értékeket vehet fel

• A együttható abszolút értéke jellemzi a kapcsolat szorosságát (mennél jobban tömörülnek a pontok az egyenes körül annál nagyobb r abszolút értéke)

• +1 vagy -1 értéket akkor és csak akkor éri el az együttható, ha a pontok valamennyien rajta fekszenek az egyenesen

• Két változó együttváltozása lehet, hogy csak egy harmadik változó hatásának eredménye: mindkettejük alakulását az szabályozza, maguk a vizsgált változók azonban semmiféle befolyással nincsenek egymásra

• Pl.: gyulladásos folyamat lázat és fvs szám növekedést okoz. De sem a láztól a fvs, sem a fvs növekedéstől a testhőmérséklet nem változik

• Még ha ok-okozati összefüggés áll is fenn a két vizsgált változó között, pusztán korrelációs együttható segítségével akkor sem tudjuk eldönteni hogy melyik befolyásolja a másikat

• Az ok megkeresése biológiai probléma nem pedig biometriai

• A korreláció hiánya, a korrelálatlanság (r=0) hasonlóképpen hibás következtetésekre indíthat – mivel a változók közötti kapcsolat hiánya miatt könnyen értelmezhetjük úgy, hogy az adatok függetlenek egymástól

• Pl.: az életkor függvényében vizsgált összefüggések

• Erre a legjobban közelítő egyenes a vízszintes lesz

• Erre az eredményt azonban a legjobban nem az egyenes reprezentálja hanem egy görbe.

• Nem minden görbevonalú kapcsolat esetén ennyire félrevezető az r együttható segítségével szerzett információ, de ajánlatos azzal mindig óvatosan bánnunk

• A normális eloszlás fontos kivétel: elméletileg igazolható, hogy ilyenkor vagy lineáris kapcsolat van a változók között vagy semmilyen

• Normális eloszlás esetén tehát a korrelálatlanság (lineáris kapcsolat hiánya) már biztosítja a függetlenséget.

• Fordított irányú következtetés viszont mindig helyes: a változók függetlensége esetén a korrelációs együttható mindenképp nulla

• Bizonyos esetekben az r becsaphat: korrelációt találhatunk ott is ahol valójában függetlenség van, máskor meg kétségkívül fennálló lineáris kapcsolatot „nem veszi észre” a mintából számított r együttható, a mintaelemek speciális elhelyezkedése miatt

• A körben elhelyezkedő végtelen sok érték közül választunk ki néhányat – a változóból a mintát -, és ezekből határozzuk meg a korrelációs együtthatót. Mivel a kiválasztott pontok véletlenül egy egyenes mentén helyezkednek el, a korrelációs együttható értéke közel lesz az 1-hez . Emiatt arra a következtetésre jutunk, hogy a változók közt szoros kapcsolat van.

• Más esetben a változók értékeit ábrázoló pontokból a köztük lévő lineáris összefüggés nyilvánvaló; a kiválasztott pontok – ismét csak véletlenül – azonban úgy helyezkednek el, hogy rajtuk vízszintes egyenest fektethetünk át.

• Az így kapott r=0 alapján a változók korrelálatlanságára (sőt gyakran függetlenségére) következtethetünk

• A fenti ellentmondásokat az eddigi módszerekkel már nem tudjuk feloldani.

• Statisztikai következtetés módszereinek helyes alkalmazása megvéd az utóbbi kettő tévedéstől.

Az eloszlások paramétereire vonatkozó próbák

• U próba

• T (student) próba

• F próba

u-próba

• He egy ismert σ szórású (normális eloszlású) alapsokaságból vett n elemszámú minta átlagára vonatkozó nullhipotézisünket akarjuk ellenőrizni

• Átlagsúly 1.985 kg

• A súlyok szórása 0.060kg

• Szignifikancia szint 5% (μp=0.05)

• Ehhez tartozó kritikus érték: 1.96

t-(student) próba

• T-próbával ellenőrizhetjük két ismeretlen minta középértékeire vonatkozó hipotézisünket, a két mintaátlag különbségének szignifikanciáját.

• A két mintaátlag különbözősége önmagában nem bizonyítja a két várható érték eltérését, erre a t-próba ad felvilágosítást

t-(student) próba

• A t-próba alkalmazásának előfeltétele, hogy a két valószínűségi változó követi a normális eloszlást, és szórása egyenlő

F-próba

• Mind az u-próbánál, mind a t-próbánál feltéteteleztünk valamit a sokaság szórásáról:

• Az u-próbánál azt, hogy ismert, t-próbánál pedig azt, hogy az összehasonlított sokaságok szórása azonos. A szórással kapcsolatos ezen hipotéziseink ellenőrzésére alkalmas az F-próba

F-próba

A nullhipotézis itt azt jelenti, hogy két normális eloszlású ismeretlen várható értékű sokaság szórása azonos (σ1=σ2)

A két sokaságból vett minta szórásnégyzeteinek hányadosa F-eloszlást követ

KÖSZÖNÖM

A

FIGYELMET!