1 | P a g e

CLASA A IX A

IX.G . ELEMENTE DE GEOMETRIE

IX.G.1. - VECTORI ÎN PLAN

• Segment orientat, vectori, vectori coliniari

• Operaţii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea după doi vectori necoliniari

IX.G.2. - COLINIARITATE, CONCURENŢĂ, PARALELISM - CALCUL VECTORIAL ÎN GEOMETRIA PLANĂ

• Vectorul de poziţie a unui punct

• Vectorul de poziţie a punctului care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales (condiţii de paralelism)

• Vectorul de poziţie a centrului de greutate al unui triunghi (concurenţa medianelor unui triunghi)

• Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

Regula triunghiului Regula paralelogramului

𝑐 = �⃗� + �⃗⃗� 𝑐 = �⃗� + �⃗⃗�

2 | P a g e

3 | P a g e

4 | P a g e

Geometrie analitica vectoriala

Vector Distanta Modulul unui vector

[Ox si [Oy – sistem de axe ortogonale.

𝑖 , 𝑗 – versorii axelor [Ox, [Oy. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴) ∙ 𝑖 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) ∙ 𝑗 �⃗⃗� = 𝑥 ∙ 𝑖 + 𝑦 ∙ 𝑗 |�⃗⃗�| = √𝑥2 + 𝑦2

Suma a doi vectori Paralelism Perpendicularitate

�⃗⃗� = 𝑥1 ∙ 𝑖 + 𝑦1 ∙ 𝑗 �⃗� = 𝑥2 ∙ 𝑖 + 𝑦2 ∙ 𝑗 �⃗⃗� + �⃗� = (𝑥1 + 𝑥2) ∙ 𝑖 + (𝑦1 + 𝑦2) ∙ 𝑗 �⃗⃗�||�⃗� ⇔

𝑥1

𝑥2

=𝑦1

𝑦2

�⃗⃗� ⊥ �⃗� ⇔ 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 = 0

1. Să se arate că triunghiul ABC, unde A(0,3),B(2,6),C(5,4) este dreptunghic în B.

(Indicaţie: se arată că vectorii 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ şi 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt perpendiculari)

Răspuns: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)𝑖 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)𝑗 = (2 − 0)𝑖 + (6 − 3)𝑗 = 2𝑖 + 3𝑗 ,

𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑥𝐶 − 𝑥𝐵)𝑖 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵)𝑗 = (5 − 2)𝑖 + (4 − 6)𝑗 = 3𝑖 − 2𝑗 , Verificăm condiţia (P2) x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 = 0

5 | P a g e

2. Fie triunghiul ABC unde A(1,2),B(3,0),C(5,2). Să se determine coordonata piciorului

D(x,4) al înălţimii duse din A.

(Indicaţie: din condiţia de perpendicularitate a vectorilor AD şi BC se obţine x)

Raspuns: alegem 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (5 − 3)𝑖 + (2 − 0)𝑗 = 2𝑖+2𝑗 şi 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑥 − 1)𝑖 +

(4 − 2)𝑗 = (𝑥 − 1)𝑖+2𝑗 din condiţia de perpendicularitate se obţine

2 ∙ (𝑥 − 1) + 2 ∙ 2 = 0 rezultă 2x-2+4=0 adică x=…