34

5. RELAII FUNDAMENTALE ALE ELECTROSTATICII

5.1. LEGEA CONSERVRII SARCINII UNUI SISTEM DE CORPURI IZOLAT ELECTRIC

Suma algebric a sarcinilor unui sistem de corpuri izolat electric este invariabil n timp

q q constk = = . (5.1-1) Aceast propoziie, cu caracter de lege, a fost enunat i mai nainte. Ea rezult ca un

caz particular, pentru regimul electrostatic, al unei legi mai generale: legea conservrii sarcinii electrice, care va fi prezentat n cadrul electrocineticii.

Forma particular enunat mai sus este util n studiul trecerii de la un regim electrostatic la alt regim electrostatic.

5.2. LEGEA LEGTURII DINTRE ! ! !D E P, i

Se constat experimental c, proprietatea (4.2-8), demonstrat pe baza teoriei coulombiene a cmpului electrostatic, este o proprietate general i se enun ca o lege general, valabil i pentru cmpul electromagnetic variabil n timp

! ! !D E P= + 0 . (5.2-1)

n orice moment i n orice punct din spaiu inducia electric este egal cu suma dintre intensitatea cmpului electric multiplicat cu constanta universal 0 (permitivitatea vidului) i polarizaie.

5.3. LEGEA POLARIZAIEI ELECTRICE TEMPORARE

Aceast lege de material exprim dependena componentei temporare a polarizaiei electrice

!Pt de intensitatea cmpului electric

( )! !P Et = f . (5.3-1) Forma explicit a relaiei de mai sus depinde de materialul considerat i de condiii

neelectrice, fiind stabilit fie prin mijloace experimentale, fie pe baza unei teorii microscopice (n cadrul fizicii corpurilor).

Cele mai multe materiale dielectrice sunt izotrope, adic au proprieti fizice locale care nu depind de direcie. Fluidele i solidele amorfe sunt izotrope. n mediile izotrope polarizaia temporar este paralel cu intensitatea cmpului electric i, de cele mai multe ori, este proporional cu aceasta

! !P Et e= 0 . (5.3-2)

Cu 0 s-a notat permitivitatea vidului, iar cu e susceptivitatea electric a materialului. Ultima mrime, adimensional, depinde de natura materialului i de condiii neelectrice locale (temperatur, presiune .a.). Materialele care se conformeaz acestei dependene se numesc

35

materiale liniare din punct de vedere electric. La aceste materiale polarizaia permanent este nul

!Pp = 0 , deci polarizaia se reduce la componenta sa temporar. n aplicaii, pentru materialele liniare, legea polarizaiei temporare se combin cu legea

legturii dintre ! ! !D E P, i . Rezult succesiv urmtoarele relaii

( )! ! ! ! ! ! ! !D E P E P E E E= + = + = + = + 0 0 0 0 0 1t e e . Expresia adimensional din ultima parantez se noteaz

r e= +1 (5.3-3)

i se numete permitivitate relativ (sau constant dielectric), iar produsul ei prin permitivi-tatea vidului se noteaz

( ) = = +0 0 1r e (5.3-4) i se numete permitivitate.

Cu aceste notaii, legea legturii, combinat cu legea polarizaiei temporare, pentru materiale liniare devine

! !D E= . (5.3-5)

n tabelul 5.3-1 se dau valorile permitivitii relative pentru cteva materiale dielectrice uzuale, folosite n electrotehnic.

Exist i materiale anizotrope (cum sunt cristalele), n care inducia electric n absena polarizaiei permanente nu este paralel cu intensitatea cmpului electric (dect pentru anumite direcii, numite direcii principale). n acest caz susceptivitatea electric, respectiv permitivitatea, se exprim ca tensori de ordinul 2.

Tabelul 5.1. Permitivitatea relativ a unor dielectrici uzuali.

Denumirea materialului r Denumirea materialului r Aer la 760 mmHg, 0C 1,0006 Mic 4,5...7,5 Ap distilat 80...81 Parafin 1,9...2,3 Bachelit 4,5...5,5 Porelan 5,5...8 Cauciuc 2,6...3 Prepan 3...5 Izolaie cablu telefonie (hrtie-aer)

1,6...2 Pertinax 3,5...7

Izolaie cablu energie electric (hrtie-ulei)

3...4,3 Polistirol 2,3

Polietilen 2...2,4 Sticl 5...10 Lemn uscat 2,5...5 Sticl de cuar 3,2...4,2 Ulei de transformator 2,2...2,5 elac 2,9...3,7

Materiale feroelectrice. Anumite substane, numite feroelectrice, cum sunt titanatul de

bariu, tetrahidratul de potasiu .a., se caracterizeaz printr-o polarizare neliniar (cu saturaia polarizaiei electrice la intensiti foarte mari ale cmpului electric), foarte puternic (permitivitate relativ de sute sau mii) i ireversibil, prezentnd fenomenul de histerezis (electric). La variaia ciclic alternativ a induciei sau a intensitii cmpului electric rezult un ciclu de histerezis electric ca n figura 5.3-1. Ciclul se parcurge n sensul indicat prin sgei.

36

La parcurgerea unui ciclu, n unitatea de volum a dielectricului se dezvolt o cantitate de cldur proporional cu aria ciclului Ae (teorema lui Warburg). Dac amplitudinea variaiei alternative a cmpului depete o anumit valoare E0, corespunztoare saturaiei materialului, se obine ciclul de histerezis limit, de arie maxim.

Fig. 5.3-1 Ciclul de histerezis al unui material feroelectric i aria sa Ae.

5.4 LEGEA FLUXULUI ELECTRIC

Experiena arat c este valabil urmtoarea lege general: fluxul electric _ printr-o suprafa nchis este proporional cu sarcina electric adevrat q_ localizat n interiorul acelei suprafee

= q , (5.4-1)

n care

= D A! !D n d (5.4-2) i

q vD

D = v d . (5.4-3)

n aceste expresii versorul !n al normalei se consider orientat spre exteriorul suprafeei nchise (fig. 5.4-1); cu D s-a notat domeniul (volumul) delimitat de suprafaa i cu dv elementul de volum.

Fig. 5.4-1. Notaii pentru legea fluxului electric.

n domenii de continuitate i netezime a proprietilor electrice, se poate obine o form local a legii fluxului electric, transformnd integrala de suprafa care exprim fluxul electric cu formula Gauss-Ostrogradski. Se obine

! ! !D n D d div d d .A v v

D D = = v (5.4-4)

37

Domeniul D fiind arbitrar, egalitatea poate avea loc numai dac integranzii sunt egali i rezult forma local a legii fluxului electric

div .!D = v (5.4-5)

Dac exist suprafee ncrcate cu densiti de suprafa s a sarcinii electrice, se deduce o relaie similar cu ajutorul divergenei superficiale

( )div ,s s! ! ! !D n D D= =12 2 1 (5.4-6) valabil pentru punctele suprafeei ncrcate superficial.

Rezult c sursele induciei electrice sunt sarcinile electrice adevrate. Printr-o demonstraie analog celeia din subcap. 2.5, se arat c fluxul electric se

conserv n toate seciunile transversale ale unui tub de flux (tub format din liniile cmpului induciei electrice) care nu conine sarcini electrice adevrate. Din aceast cauz, de regul, cmpul electric se reprezint prin liniile induciei electrice, corespunztoare axei tuburilor de flux care sunt strbtute de fluxuri electrice egale. Liniile induciei electrice strbat continuu regiunile cu medii dielectrice neomogene, dar nencrcate electric. Liniile induciei electrice au nceputurile i sfriturile pe corpurile ncrcate cu sarcin electric adevrat.

5.5. TEOREMA POTENIALULUI ELECTROSTATIC

Un cmp electrostatic o dat stabilit se menine fr a fi nevoie de vre-un aport de energie din exterior. Din principiul de conservare a energiei rezult n acest caz urmtoarea proprietate: n cmpul electrostatic nu se poate obine lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de transformare reversibil.

Se consider un ciclu de transformare reversibil, constnd din deplasarea pe o curb nchis a unui corp de prob ncrcat cu sarcina electric qp (fig. 5.5-1); micarea se efectueaz suficient de ncet, pentru a putea considera, n continuare, o succesiune de stri electrostatice.

Fig. 5.5-1. Notaii folosite la stabilirea teoremei potenialului electrostatic.

Lucrul mecanic efectuat de fora electric ! !F Ee p= q care se exercit asupra corpului de

prob, are expresia

L q W W= = = ! ! ! !F s E se p in find d , (5.5-1) n care Win i Wfin sunt energiile sistemului (cmp + corp de prob) n starea iniial i n cea final.

ntruct la deplasarea pe o curb nchis starea iniial coincide cu starea final, rezult egalitatea energiilor Win = Wfin i se obine urmtoarea proprietate important: circulaia intensitii cmpului electrostatic este nul pentru orice curb nchis

38

! !E sd . = 0 (5.5-2)

Aceasta este forma integral a teoremei potenialului electrostatic. Rezult urmtoarele consecine.

a) n cmp electrostatic nu exist linii de cmp nchise. n adevr, dac ar exista o asemenea linie, pe aceasta produsul

! !E sd ar avea mereu acelai semn i integrala de contur nu ar putea fi nul (dect dac E 0).

b) n cmp electrostatic, tensiunea electric ntre dou puncte nu depinde de drum. n adevr, considernd ntre dou puncte A i B dou drumuri C1 i C2 (fig. 5.5-2), pe conturul nchis format prin reunirea celor dou drumuri, rezult

! ! ! ! ! ! ! ! ! !E s E s E s E s E sd d d d d = + = =C1AB C2BA C1AB C2AB 0

Tensiunea electric UAB, ntre cele dou puncte A i B, are aceeai valoare pe oricare dintre drumuri.

Fig. 5.5-2. Tensiunea electric ntre dou puncte n cmp electrostatic.

c) n cmp electrostatic se poate defini o funciune scalar de punct, numit potenial, determinat cu urmtoarea regul de calcul

( ) ( )V P V PP

P= 0

0

! !E sd , (5.5-3)

curba pe care se calculeaz integrala fiind arbitrar. d) n cmp electrostatic tensiunea electric ntre dou puncte este egal cu diferena

potenialelor acelor puncte

( ) ( )U V V VAB AB

A

BA B= = = ! !E sd d . (5.5-4)

Teorema potenialului electrostatic se poate exprima i n form local !E = grad ,V (5.5-5)

adic se poate defini o functiune scalar de punct, numit potenial, al crei gradient cu semn schimbat este intensitatea cmpului electric.

n domenii de continuitate i netezime a proprietilor fizice se poate obine o alt form local, aplicnd expresiei (5.5-2) teorema lui Stokes: circulaia unui vector cmp

!G pe orice

curb nchis este egal cu fluxul rotorului su prin orice suprafa S_ mrginit de acea curb (fig. 5.5-3)

! ! ! !G s G nd rot d . = AS (5.5-6)

39

Fig. 5.5-3. Notaii i convenii la teorema lui Stokes.

n aceast expresie elementul de arc d !s i versorul normalei !n au sensuri asociate dup regula burghiului drept.

Rezult alt form local a teoremei potenialului electrostatic

rot .!E = 0 (5.5-7)

Aceast relaie se poate obine i formal, innd seama de expresia (5.5-5) i de proprietile produsului vectorial

( ) ( )rot .! !E E= = = V V 0

5.6. CONDUCTOARELE N CMP ELECTROSTATIC

Experiena arat c un conductor neutru se electrizeaz la introducerea lui n cmp electric. Acest fenomen se numete electrizare prin influen i const n repartizarea unor sarcini electrice pe suprafaa conductorului, fr modificarea sarcinii electrice (adevrate) totale a conductorului (nul n cazul conductorului izolat i iniial neutru).

n teoria microscopic, acest fenomen se explic - la metale - prin schimbarea poziiei electronilor liberi (de conducie), sub influena cmpului electric din conductor. n starea final, cmpul electric n conductoarele omogene i neaccelerate este nul, iar intensitatea cmpului electrostatic n fiecare punct al suprafeei conductoarelor are numai component perpendicular pe suprafa; n caz contrar particulele purttoare de sarcini electrice s-ar deplasa n conductor sau pe suprafaa sa i nu ar fi ndeplinit condiia de echilibru electrostatic.

n cazul conductoarelor omogene i neaccelerate, n regim electrostatic rezult urmtoarele proprieti:

toate punctele din interiorul unui conductor au acelai potenial (diferena de potenial ntre diferitele puncte ale corpului, egal cu tensiunea electric ntre acele puncte, este nul, ntruct E 0); deci suprafeele conductoarelor sunt suprafee echipoteniale i liniile de cmp sunt perpendiculare pe aceste suprafee;

sarcina electric a conductoarelor este repartizat superficial, iar sarcina din interiorul conductoarelor este nul (este o consecin a legii fluxului electric: ntruct ! !E D= =0 0, rezult i apoi q_ = 0);

la suprafaa conductoarelor, inducia electric este egal cu densitatea de suprafa a sarcinii electrice. n adevr, aplicnd legea fluxului electric unei suprafee ca n figura 5.6-1 , ntruct n conductor inducia este nul, iar la suprafa este perpendicular pe suprafaa conductorului, rezult

= = = = ! ! ! !D n n nd A D A D A As i atunci

40

D = s . (5.6-1)

n cavitile fr sarcini electrice din interiorul conductoarelor cmpul electric este nul (efect Faraday). Acest efect se este folosit n instalaiile de nalt tensiune pentru ecranarea (prin conductoare legate la pmnt) a locurilor de observaie n care se afl persoane (fig. 5.6-2), astfel nct acestea s poat fi aezate n apropierea platformelor de experimentare.

orice suprafa echipotenial din cmp poate fi nlocuit printr-o suprafa conductoare ("foi metalic"), fr a perturba cmpul ("principiul metalizrii" suprafeelor echipoteniale).

Fig. 5.6-1. Cmpul electric la suprafaa unui conductor. Fig. 5.6-2. Ecranarea postului de observaie.

5.7. RELAII DE TRECERE PRIN SUPRAFEE DE DISCONTINUITATE

Se consider o suprafa de frontier, fr densitate superficial de sarcin electric adevrat, care desparte dou medii cu permitiviti diferite 1 i 2. Condiiile de trecere se pot stabili cu ajutorul legii fluxului electric i al teoremei potenialului electrostatic.

Se aplic legea fluxului electric unei suprafee nchise , de form unei prisme elementare foarte plate, avnd bazele de arie A situate de o parte i de alta a suprafeei de separaie (fig. 5.7-1a), i cu nlimea h foarte mic n comparaie cu dimensiunile bazelor. Se obine succesiv

( )! !D n d ,A D D A q

= = =n1 n2 0 sau

D Dn1 n2= . (5.7-1)

La trecerea printr-o suprafa de discontinuitate, nencrcat cu sarcini electrice, se conserv componenta normal a induciei electrice.

Fig. 5.7-1. Condiii de trecere la suprafee de discontinuitate: a) pentru inducia electric, b) pentru intensitatea cmpului electric.

41

n planul care conine vectorii! !E E1 2 i , se considr un mic contur nchis , care trece

pe cte o lungime l de o parte i de alta a suprafeei de discontinuitate (fig. 5.7-1b). Pe acest contur se aplic teorema potenialului electrostatic

( )! !E sd , = =E E lt1 t2 0 sau

! !E Et1 t2= . (5.7-2)

La trecerea printr-o suprafa de discontinuitate se conserv componenta tangenial a intensitii cmpului electric.

Cu ajutorul acestor dou condiii de trecere, se poate stabili teorema refraciei liniilor de cmp electric. Se noteaz cu 1 unghiul de inciden i cu 2 unghiul de refracie al unei linii a cmpului electric (fig. 5.7-2). Atunci rezult succesiv

tgtg

.

1

2

1

2

1

2

= = = =

D DD D

DD

EE

t1 n1

t2 n2

t1

t2

t1

t2

Fig. 5.7-2. Notaii la refracia liniilor cmpului electric.

La trecerea printr-o suprafa de discontinuitate, liniile de cmp electric se refract astfel nct tangentele unghiurilor fa de normala suprafeei s fie proporionale cu permitivitile. Deci la ieirea dintr-un material cu permitivitate mai mare ntr-unul cu permitivitate mai mic liniile de cmp se apropie de normal.

5.8. STRPUNGEREA DIELECTRICILOR

Calitatea de izolant a unui material dielectric se poate pierde dac intensitatea cmpului electric depete o anumit valoare limit Ed, numit rigiditate dielectric.

Experimental se constat c rigiditatea dielectric Ed depinde de natura, de puritatea i de capacitatea de cedare de cldur a izolantului, de forma electrozilor metalici ntre care se face ncercarea, de distana ntre ei, de durata aplicrii tensiunii, de presiune, de umiditate, de temperatur .a. Deci rigiditatea dielectric nu este o constant de material i trebuie specificate condiiile n care a fost determinat aceast mrime.

n tabela 5.8-1 se d rigiditatea dielectric pentru cteva materiale uzuale, la ncercarea cu electrozi standard, durata aplicrii de 1 minut, la temperatura de 25C.

Strpungerea izolanilor solizi se datorete mai multor fenomene. Sub influena forelor electrice ce se exercit asupra particulelor pozitive i negative ale atomilor se poate produce "ruperea" moleculei. Pentru aceasta, n cazul materialelor pure, ar fi necesare intensiti ale cmpului electric mai mari de 100 MV/cm. Strpungerea pe aceast cale nu poate fi obinut dect n cazul epruvetelor foarte subiri (sub 10-4 mm) sau al izolanilor care conin impuriti.

42

Tabelul 5.8-1. Rigiditatea dielectric a unor materiale uzuale n condiii de ncercare normalizate.

Denumirea materialului Ed [kV/cm] Denumirea materialului Ed [kV/cm] Aer uscat 21 Sticl 120...200 Hrtie uleiat de cablu 1000 Cuar 170...200 Bachelit (pur) 200 Micanit 250...350 Cauciuc dur 100...300 Porelan (glazurat) 300...380 Prepan 110...300 Steatit (gazurat) 200...300 Ulei de transformator 80...120 Mic 500..800 Polietilen 600...800

Sub influena aciunilor termice (topiri, arderi, carbonizri) se pot modifica local sau

global proprietile izolante ale materialului, pn la pierderea lor complet, fapt care conduce la "strpungerea termic".

Incluziunile de gaze din izolani se ionizeaz sub influena cmpului electric i astfel ele devin regiuni conducoare, ceea ce face s creasc intensitatea cmpului electric n restul izolantului. Cldura dezvoltat prinionizare contribuie, de asemenea, la strpungere.

n cazul izolanilor lichizi, impuritile coninute pot forma puni conductoare ntre electrozi. Totodat apar dezvoltri de cldur i vaporizri locale, care provoac o situaie similar cu cea din dielectricii solizi.

Fenomenul strpungerii dielectricilor va fi dezvoltat, mai n detaliu, la discipline de specialitate.

5.9. TEOREMA UNICITII I SUPERPOZIIEI CMPURILOR ELECTROSTATICE

Aceste teoreme vor fi enunate fr demonstraie detaliat.

Teorema unicitii n cmpul electrostatic. Cmpul electrostatic dintr-un domeniu al spaiului ocupat de un mediu dielectric, cu

permitivitatea ( ) !r dat i independent de cmp, este univoc determinat de repartiia n spaiu a sarcinilor electrice adevrate din domeniul respectiv i de componenta normal a intensitii cmpului electric pe suprafeele-frontier ale domeniului (teorema lui Neumann), sau de repartiia n spaiu a sarcinilor electrice adevrate i de repartiia potenialului electrostatic pe suprafeele-frontier ale domeniului (teorema lui Dirichlet). Dac suprafeele-frontier se deprteaz la infinit, repartiia n spaiu a sarcinii gsindu-se numai ntr-un domeniu mrginit, condiiile la limit sunt

E r const V r const2 = = sau .

Teorema superpoziiei cmpurilor electrostatice.

Intensitatea cmpului electric rezultant, produs de corpuri cu n distribuii de sarcini electrice adevrate ( )k k n! "r , , , , ,= 1 2 situate ntr-un mediu liniar, ntr-o regiune mrginit a spaiului, este egal cu suma intensitilor cmpurilor electrice care s-ar produce dac ar exista fiecare distribuie n parte, n lipsa celorlalte. Teorema este valabil pentru medii liniare i pentru ntregul domeniu n care exist cmp electric produs de aceste sarcini.

43

n cazul particular a n conductoare n regim electrostatic i avnd potenialele V1, V2,..., Vn (cu V_= 0), potenialul rezultant V, ntr-un punct de vector de poziie

!r , are expresia

( ) ( )V v Vk k kk

n! !r r==

1

,

unde ( )vk k!r este potenialul n punctul considerat, n ipoteza c potenialul conductorului k ar fi egal cu unitatea, potenialele toturor celorlalte conductoare fiind nule.

Aceast teorem are i urmtoarea form particular: dac este nul potenialul punctelor de la infinit i sarcinile electrice adevrate ale tuturor conductoarelor cresc de ori, atunci potenialele conductoarelor, respectiv potenialul fiecrui punct din spaiu, cresc de ori.

5.10. TEOREMA LUI COULOMB NTR-UN DIELECTRIC OMOGEN I LINIAR

Cu ajutorul legii fluxului electric, aplicat ntr-un mediu dielectric omogen i liniar, de permitivitate , se deduce uor expresia intensitii cmpului electric produs de un corp punctiform, ncrcat cu sarcina electric adevrat q1

!!

ER

11

122

12

12

14

=

qR R

, (5.10-1)

dac !R 12 este vectorul de poziie al punctului de observaie n raport cu punctul n care se afl

corpul ncrcat. Rezult formula lui Coulomb pentru medii dielectrice liniare i omogene

!!

FR

121 2

122

12

12

14

=

q qR R

. (5.10-2)

Se observ c pentru mediul dielectric omogen i liniar expresia forei se obine din expresia coresunztoare n vid, dac se nlocuiete 0 cu . n dielectric, intensitatea cmpului electric i forele scad de r ori n raport cu valorile din vid. Scderea se datorete apariiei sarcinilor de polarizaie, care neutralizeaz parial sarcina adevrat a corpului punctiform.

Fig. 5.10-1. Sarcinile de poarizaie de la suprafaa de separaie dintre corp i dielectric.

n figura 5.10-1 s-a reprezentat corpul ncrcat cu o densitate de suprafa s i densitatea de suprafa a sarcinii de polarizaie sp care apare n imediata vecintate a suprafeei corpului, n dielectric. Se observ, fr dificultate, c densitatea de sarcin electric rezultant are valoarea

s sp r+ = = =D P E D0 ,

adic scade de r ori fa de situaia n care corpul s-ar afla n vid. n restul dielectricului liniar i omogen, nencrcat electric (v = 0), nu apar sarcini de polarizaie, ntruct, innd seama de legea fluxului electric

44

( )( ) ( ) ( ) vp v= = = = =div div div .! ! !P D D1 1 1 1 1 1 0r r r