Relatividad generalAlgunas partes de este artculo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomiendaIntroduccin a la relatividad general.

Representacin artstica de la explosin de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de aos luz. De ser vlido el principio deaccin a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectaran inmediatamente, ms tarde nos llegaran las de origen electromagntico, que se transmiten a lavelocidad de la luz.Lateora general de la relatividadorelatividad generales una teora delcampo gravitatorioy de los sistemas de referencia generales, publicada porAlbert Einsteinen1915y1916.El nombre de la teora se debe a que generaliza la llamadateora especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en estageneralizacinson elprincipio de equivalencia, que describe laaceleraciny lagravedadcomo aspectos distintos de la misma realidad, la nocin de lacurvatura del espacio-tiempoy elprincipio de covarianciageneralizado.La intuicin bsica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teora general de la relatividad permiti tambin reformular el campo de lacosmologa.ndice[ocultar] 1Historia 2Por qu es necesaria la teora de relatividad general? 3Principios generales 3.1Principio de covariancia 3.2El principio de equivalencia 3.3La curvatura del espacio-tiempo 3.4Formulacin matemtica y consideraciones generales 4Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general 4.1La derivada covariante 4.2Los principios de general covariancia y de acoplamiento mnimo 4.3El tensor de Riemann y la curvatura de las lneas de universo 4.4El significado fsico del tensor de Ricci 4.5Las ecuaciones de Universo de Einstein 4.5.1Aplicacin a fluido perfecto 4.5.2Aplicacin a fluido electromagntico 4.6El tensor de Weyl 4.7La constante cosmolgica 4.8Resumen 5Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein 5.1No linealidad 5.2Soluciones para coordenadas esfricas: Campo exterior 5.3Soluciones para coordenadas esfricas: Equilibrio estelar 5.4Soluciones para coordenadas esfricas: Colapso gravitatorio 5.5Aproximaciones en coordenadas armnicas 5.6Soluciones relacionadas con los modelos de Universo 6Predicciones de la relatividad general 6.1Efectos gravitacionales 6.2Efectos rotatorios 6.3Otros efectos 6.4Comprobaciones 7Aplicaciones prcticas 8Relacin con otras teoras fsicas 8.1Inercia 8.2Gravitacin 8.3Electromagnetismo 8.4Conservacin de energa-momentum 9Transicin de la relatividad especial a la relatividad general 10Vase tambin 11Referencias 11.1Bibliografa 12Enlaces externosHistoria[editar]Poco despus de la formulacin de lateora de la relatividadespecial en 1905, Albert Einstein comenz a elucubrar cmo describir los fenmenos gravitatorios con ayuda de la nueva mecnica. En 1907 se embarc en la bsqueda de una nueva teora relativista de la gravedad que durara ocho aos. Despus de numerosos desvos y falsos comienzos, su trabajo culmin en noviembre de 1915 con la presentacin a laAcademia Prusiana de las Cienciasde su artculo, que contena las que hoy son conocidas como "Ecuaciones de Campo de Einstein". Estas ecuaciones forman el ncleo de la teora y especifican cmo la densidad local de materia y energa determina la geometra del espacio-tiempo.Las ecuaciones de campo de Einstein sonno linealesy muy difciles de resolver. Einstein utiliz los mtodos de aproximacin en la elaboracin de las predicciones iniciales de la teora. Pero ya en 1916, el astrofsico Karl Schwarzschild encontr la primera solucin exacta no trivial de las Ecuaciones de Campo de Einstein, la llamadaMtrica de Schwarzschild. Esta solucin sent las bases para la descripcin de las etapas finales de un colapso gravitacional, y los objetos que hoy conocemos comoagujeros negros. En el mismo ao, se iniciaron los primeros pasos hacia la generalizacin de la solucin de Schwarzschild a los objetos concarga elctrica, obtenindose as la solucin deReissner-Nordstrm, ahora asociada con la carga elctrica de los agujeros negros.En 1917, Einstein aplic su teora aluniversoen su conjunto, iniciando el campo de la cosmologa relativista. En lnea con el pensamiento contemporneo, en el que se supona que el universo era esttico, agreg a sus ecuaciones unaconstante cosmolgicapara reproducir esa "observacin". En 1929, sin embargo, el trabajo deHubbley otros demostraron que nuestro universo se est expandiendo. Esto es fcilmente descrito por las soluciones encontradas porFriedmannen 1922 para la expansin cosmolgica, que no requieren de una constante cosmolgica.Lematreutiliz estas soluciones para formular la primera versin de los modelos delBig Bang, en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso. Einstein declar ms tarde que agregar esa constante cosmolgica a sus ecuaciones fue el mayor error de su vida.Durante ese perodo, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las teoras fsicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con larelatividad especialy contestaba varios efectos no explicados por la teora newtoniana. El mismo Einstein haba demostrado en 1915 cmo su teora lograba explicar el avance delperihelioanmalo del planetaMercuriosin ningn parmetro arbitrario. Del mismo modo, en una expedicin de 1919 liderada porEddingtonconfirmaron la prediccin de la relatividad general para la desviacin de la luz estelar por el Sol durante eleclipse total de Soldel 29 de mayo de 1919, haciendo famoso a Einstein instantneamente. Sin embargo, esta teora ha entrado en la corriente de lafsica tericay laastrofsicadesarrolladas aproximadamente entre 1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general. Los fsicos empezaron a comprender el concepto deagujero negro, y a identificar la manifestacin de objetos astrofsicos como loscusares. Cada vez ms precisas, las pruebas delsistema solarconfirmaron el poder predictivo de la teora, y la cosmologa relativista, tambin se volvi susceptible a encaminar pruebas observacionales.Por qu es necesaria la teora de relatividad general?[editar]Los xitos explicativos de lateora de la relatividad especialcondujeron a la aceptacin de la teora prcticamente por la totalidad de los fsicos. Eso llev a que antes de la formulacin de la relatividad general existieran dos teoras fsicas incompatibles: La teora especial de la relatividad,covarianteen elsentido de Lorentz, que integraba adecuadamente elelectromagnetismo, y que descarta explcitamente lasacciones instantneas a distancia. La teora de lagravitacindeNewton, explcitamente no-covariante, que explicaba de manera adecuada lagravedadmedianteacciones instantneas a distancia(concepto de fuerza a distancia).La necesidad de buscar una teora que integrase, como casos lmites particulares, las dos anteriores requera la bsqueda de una teora de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos porEinstein. Adems de incluir la gravitacin en una teora de formulacin covariante, hubo otra razn adicional. Einstein haba concebido la teora especial de la relatividad como una teora aplicable slo asistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfaccin de Einstein con su creencia de que la teora era aplicable slo a sistemas inerciales le llev a buscar una teora que proporcionara descripciones fsicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general.Esta bsqueda era necesaria, ya que segn la relatividad especialninguna informacin puede viajar a mayorvelocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relacin decausalidadentre dos eventos unidos por un intervalo espacial. Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio deaccin a distancia, supone que las alteraciones producidas en elcampo gravitatoriose transmiten instantneamente a travs delespacio. La contradiccin entre ambas teoras es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevara implcita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de sucono de luz.Einstein resolvi este problema interpretando los fenmenos gravitatorios como simples alteraciones de lacurvatura del espacio-tiempoproducidas por la presencia demasas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que elcampo electromagntico, tiene una entidad fsica independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad finita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa,energaomomentumen una determinada regin de la variedad tetradimensional, provoca la alteracin de los coeficientes de la mtrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes.En esta visin, la gravitacin slo sera unapseudo-fuerza(equivalente a lafuerza de Coriolis, o a lafuerza centrfuga) efecto de haber escogido un sistema de referencia no-inercial.Principios generales[editar]Las caractersticas esenciales de la teora de la relatividad general son las siguientes: Elprincipio general de covariancia: lasleyes de la Fsicadeben tomar la misma forma matemtica en todos los sistemas de coordenadas. Elprincipio de equivalenciao deinvariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano deMinkowski) se aplicanlocalmentepara todos losobservadoresinerciales. Lacurvatura del espacio-tiempoes lo que observamos como un campo gravitatorio, en presencia de materia la geometra del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partcula enmovimiento libre inercialen el seno de un campo gravitorio sigue una trayectoriageodsica.Principio de covariancia[editar]Artculo principal:Principio de covarianciaEl principio de covariancia es la generalizacin de lateora de la relatividad especial, donde se busca que las leyes fsicas tengan la misma forma en todos lossistemas de referencia. Esto ltimo equivale a que todos los sistemas de referencia sean indistinguibles, y desde el punto de vista fsico equivalentes. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de losobservadores, las ecuaciones tendrn la misma forma matemtica y contendrn los mismos trminos. sta fue la principal motivacin deEinsteinpara que estudiara y postulara la relatividad general.El principio de covariancia sugera que las leyes deban escribirse en trminos detensores, cuyas leyes de transformacincovariantes y contravariantespodan proporcionar la "invariancia" de forma buscada, satisfacindose el principio fsico de covariancia.El principio de equivalencia[editar]

Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en cada libre. Por ellono experimentan gravedad alguna(su estado se describe coloquialmente como de "gravedad cero"). Se dice por ello queson observadores inerciales.Un hito fundamental en el desarrollo de la teora de la relatividad general lo constituye elprincipio de equivalencia, enunciado por Albert Einstein en el ao 1912 y al que su autor calific como la idea ms feliz de mi vida. Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en cada libre y otro que se mueve en una regin del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado fsico similar: en ambos casos se trata desistemas inerciales.Galileo distingua entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o movindose a velocidad constante) y cuerpos de movimiento no inercial (sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton (que se remonta a los trabajos del dominico espaolDomingo de Soto), toda aceleracin estaba causada por la aplicacin de una fuerza exterior. La relacin entre fuerza y aceleracin se expresaba mediante esta frmula:

dondeaes laaceleracin,Flafuerzaymlamasa. La fuerza poda ser de origen mecnico, electromagntico o, cmo no, gravitatorio. Segn los clculos de Galileo, la aceleracin gravitatoria de los cuerpos era constante y equivala a 9,8 m/s2sobre la superficie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atrado hacia el centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, segn los principios de lamecnica clsicaun cuerpo encada libreno es un sistema inercial, puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se encuentra.Sin embargo, lateora de la relatividadconsidera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en lacurvatura del espacio-tiempogenerada por la presencia de materia. Por ello,un cuerpo en cada libre es un sistema (localmente) inercial, ya que no est sometido a ninguna fuerza (porque la gravedad tiene este carcter en relatividad general). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en rbita) no experimenta ninguna aceleracin y es incapaz de discernir si est atravesando o no, un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la fsica se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ah que el principio de equivalencia tambin reciba el nombre deInvariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la relatividad especial.El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superficie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleracin de origen gravitatorio de unos 9,8 metros por segundo al cuadrado, es decir, "sienten su peso").Ejemplos de sistemas inerciales segn el Principio de Equivalencia

SistemaEs inercial?(Principio de Equivalencia)Es inercial?(Mecnica newtoniana)

Cuerpo en cada libreSNo

Cuerpo en reposo sobre la superficie terrestreNoS

Planeta orbitando alrededor del solSNo

Nave precipitndose hacia la tierraSNo

Cohete despegando desde una base de lanzamientoNoNo

Aunque la mecnica clsica tiene en cuenta la aceleracin medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrnomo); el Principio de Equivalencia, contrariamente, toma en consideracin la aceleracin experimentada por un observador situado en el sistema en cuestin: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satlites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar.La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrfuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos ltimos supuestos su aparicin es debida a la eleccin de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superficie de una esfera en rotacin). En el caso de la gravedad, nicamente percibimos lafuerza aparente gravitatoriacuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superficie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que s lo es (un cuerpo en cada libre).Aunque el principio de equivalencia fue histricamente importante en el desarrollo de la teora, no es un ingrediente necesario de una teora de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teoras mtricas de la gravedad, como lateora relativista de la gravitacinprescindan del principio de equivalencia. Adems conviene sealar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnticos, por ejemplo una partcula cargada movindose a lo largo de una geodsica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitir radiacin, a diferencia de una partcula cargada movindose a lo largo de una geodsica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia histrica no es parte esencial de una teora relativista de la gravitacin.La curvatura del espacio-tiempo[editar]Artculo principal:Curvatura del espacio-tiempoLa aceptacin del principio de equivalencia por Albert Einstein le llev a un descubrimiento ulterior: lacontraccin o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que qued expresado en su artculo de 1911"Sobre la influencia de la gravedad en la propagacin de la luz".1Supongamos que un fotn emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservacin del tetramomentum la energa conservada del fotn permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotn (que es un sistema inercial, es decir, se halla en cada libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energa conservada del fotn no se altera como consecuencia de la accin de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, segn la conocida frmula de la fsica cuntica, la energa de un fotn es igual a su frecuenciavmultiplicada por la constante de Planckh:E = h.

En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotn que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagntica pierde progresivamente energa y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrnomo situado en la superficie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados seran muy diferentes: el astrnomo podra comprobar cmo el fotn, por efecto de su cada hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energa potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto ltimo, su frecuencia se corre hacia el azul.2Los fenmenos de absorcin de energa por los fotones en cada libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemticamente mediante las siguientes ecuaciones:

dondees la energa medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrnomo),el potencial gravitatorio de la regin donde se encuentra ste,la energa conservada del fotn,la frecuencia de emisin,es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) yla constante de Planck.Ahora bien, en el prrafo anterior hemos demostrado que la energa conservada del fotn permanece invariante. Por tanto, cmo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medicin de la energa obtenidos por el astrnomo () y la energa conservada del fotn ()? La nica manera de resolver esta contradiccin es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuacin:

puede escribirse de este modo:

Es decir, la frecuencia es igual al nmero de ciclos que tienen lugar en un determinado perodo (generalmente, un segundo). Dondees el tiempo medido por unobservadorsituado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atraccin gravitatoria de ste), mientras quees el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre). De ah se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemticas:

En unasingularidad espacio-temporal(como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masa-materia y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelacin del tiempo y por lo tanto la eliminacin de todo tipo de procesos dinmicos:

En la imagen, dos partculas enreposo relativo, en unespacio-tiempo llano.

Se representan en este esquema dos partculas que se acercan entre s siguiendo un movimiento acelerado. Lainterpretacin newtonianasupone que el espacio-tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las lneas de universo es la fuerza de interaccin gravitatoria entre ambas partculas. Por el contrario, lainterpretacin einsteinianasupone que las lneas de universo de estas partculas son geodsicas ("rectas"), y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo que provoca su aproximacin progresiva.La contraccin del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el ao 1959 por elexperimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnticos a una cierta altura y se procedi a emitir radiacin desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones haban experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a travs del campo gravitatorio terrestre.Hoy en da, el fenmeno de la contraccin del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisin extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la seal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ah que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situacin exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre.Desde un punto de vista terico, el artculo de Einstein de 1911 tuvo una importancia an mayor. Pues, la contraccin del tiempo conllevaba tambin, en virtud de los principios de la relatividad especial, la contraccin del espacio. De ah que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas.En la relatividad general, fenmenos que lamecnica clsicaatribuye a la accin de la fuerza de gravedad, tales como unacada libre, larbitade un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geomtricos del movimiento en unespacio-tiempo curvado. De hecho una partcula libre en un campo gravitatorio sigue lneas de curvatura mnima a travs de este espacio tiempo-curvado.Finalmente, podemos hacer referencia a la desviacin de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenmeno que da lugar a efectos pticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein.Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.Formulacin matemtica y consideraciones generales[editar]Artculo principal:Introduccin matemtica a la relatividad generalNo te preocupes por tus problemas con las matemticas; te aseguro que los mos son mucho mayores.A. Einstein, en una carta a una nia de nueve aos.Matemticamente, Einstein conjetur que la geometra del universo deja de ser euclidiana por la presencia de masas. Einstein modeliz que el universo era un tipo deespacio-tiempo curvomediante unavariedad pseudoriemannianay sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto est relacionada directamente con eltensor de energa-momentoen dicho punto.Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energa. La curvatura "le dice a la materia como moverse", y de forma recproca la "materia le dice al espacio como curvarse". En trminos ms precisos las trayectorias de las partculas se ven afectadas por la curvatura, y la presencia de muchas partculas en una regin altera notoriamente la curvatura. La relatividad general se distingue de otras teoras alternativas de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura.Aunque todava no existe unateora cuntica de la gravedadque incorpore tanto a lamecnica cunticacomo a la teora de la relatividad general y que proponga una ecuacin de campo gravitatorio que sustituya a la de Einstein, pocos fsicos dudan que una teora cuntica de la gravedad pondr a la relatividad general en el lmite apropiado, as como la relatividad general predice la ley de la gravedad en ellmite no relativista.Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general[editar]Artculo principal:Introduccin matemtica a la relatividad generalLa derivada covariante[editar]

Los cuerpos en cada libre (como las naves en rbita) son sistemas inerciales en los que laderivada covariante de su velocidades nula (). Por ello, no experimentan ningn tipo de aceleracin inercial provocada por la "fuerza gravitatoria". Sin embargo, un observador externo, como un astrnomo situado en la Tierra, puede observar cmo dicho cuerpo en cada libre se aproxima a la Tierra con una aceleracin creciente (de ah que laderivada ordinaria de la velocidaden este caso sea diferente a cero --)

Dice la leyenda apcrifa que fue la manzana de un rbol la que provoc que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitacin universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superficie terrestre experimentan, como consecuencia de lafuerza aparente gravitatoria, una aceleracin inercial de(y por lo tanto laderivada covariante de su velocidadtambin tiene ese valor3). Sin embargo, dichos objetos, puesto que estn en reposo, tienen una aceleracin relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, laderivada ordinaria de su velocidades cero ()Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teora de la relatividad general es el dederivada covariante(a veces impropiamente llamadaconexin afn), que fue definida por primera vez por el matemtico italianoTullio Levi-Civitay que puede ser considerada tanto desde una perspectiva fsica como desde otra matemtica. Desde un punto de vista fsico, laderivadaordinaria de lavelocidades laaceleracinde un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrnomo situado sobre la superficie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distanciarconstante del centro de masas, pero no as el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio.Por el contrario, laderivada covariante de la velocidad4es la aceleracin medida por unobservador comvil, es decir, que est en reposo respecto al cuerpo en cada libre (por ejemplo, el piloto de un avin en cada libre o los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados).En resumidas cuentas,la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleracin ordinaria de un cuerpo, mientras quela derivada covariante es empleada para calcular su aceleracin inercial. Segn la mecnica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleracin son idnticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecnicos como el Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo est sometido a un campo gravitatorio, su aceleracin ordinaria cambia, pero no su aceleracin inercial. De ah que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teora el concepto de derivada covariante.Desde un punto de vista estrictamente matemtico, el clculo de la derivada covariante tiene lugar a travs de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cmputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza sta.La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica tambin sobre las bases del espacio vectorial:

Sobre esta ecuacin procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz),

Llegados a este punto introducimos una nueva notacin, lossmbolos de Christoffel, que pueden ser definidos como el componentede la derivada parcial derespecto a:. De este modo:

Realizamos un intercambio de ndices (por) en el ltimo trmino del segundo miembro de la ecuacin:

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresin entre parntesis:

Generalizamos dichos componentes multiplicndolos por el componentede la tetravelocidad () y obtenemos con ello la derivada covariante de la velocidad:

Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en cada libre), esta ltima ecuacin toma la siguiente forma:

Estas frmulas reciben el nombre deecuacin de las lneas geodsicas, y se utilizan para calcular la aceleracin gravitatoria de cualquier cuerpo.

Con ayuda de la ecuacin de las lneas geodsicas podemos determinar la aceleracin radial y angular de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los smbolos de Christoffel aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleracin de la Tierra es mxima en las proximidades delperihelio, exactamente tal y como predicen las leyes de Newton5y Kepler.6A los lectores principiantes puede chocarles la propia definicin de los smbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclideo, la derivada de una base (por ejemplo) respecto a otra coordenada (pongamos) es siempre cero, por la simple razn de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede as en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los smbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las derivadas del tensor mtrico. La relacin matemtica entre estas dos magnitudes matemticas se expresa mediante la siguiente ecuacin:

Los smbolos de Christoffel constituyen el parmetro principal que determina cun grande es el grado de curvatura existente en una regin determinada y con su ayuda podemos conocer cul va a ser la trayectoria de una geodsica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espacio-temporal, la Teora de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de tetramomentum y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada regin, mayores sern los valores de los smbolos de Christoffel.Los principios de general covariancia y de acoplamiento mnimo[editar]Artculo principal:Principio de acoplamiento mnimoEn un espacio-tiempo curvo, las leyes de la fsica se modifican mediante el Principio de acoplamiento mnimo, que supone que las ecuaciones matemticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modificaciones: La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante. La mtrica de Minkowski es sustituida por una formulacin general del tensor mtrico.

De este modo, la ecuacin galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuacin relativista de las lneas geodsicas:

Ley de conservacin de la energa:

Sin embargo, en virtud del principio de simetra de los smbolos de Christoffel, las leyes electromagnticas en general no experimentan modificaciones debidas a la curvatura gravitatoria:

Derivada covariante

Alteracin de las leyes fsicas producida por la curvaturaObjeto o ley fsico-matemticaEspacio-tiempo llanoEspacio-tiempo curvoSe produce alteracinpor la curvatura?

Ley de conservacinde la energaS

Tensor electromagnticoNo

Ecuaciones de MaxwellNo

Velocidad de la luzNo

Ecuacin de un sistema inercialS

AceleracinS

VolumenS

Ecuacin lneas geodsicasEl tensor de Riemann y la curvatura de las lneas de universo[editar]Vanse tambin:Tensor de curvatura,Transporte paraleloyFuerza de marea.

Aproximacin de dos geodsicas (en verde) en una superficie esfrica. Su vector de separacin(primero rosa, luego azul) va progresivamente contrayndose conforme nos acercamos al Polo Norte, siguiendo las pautas marcadas por el tensor de Riemann.La medicin de la curvatura de cualquier variedad (ya se trate del espacio-tiempo, de una esfera o de una silla de montar) viene determinada por eltensor de curvatura o tensor de Riemann, que es una funcin de los smbolos de Christoffel y sus derivadas de primer orden.El tensor de Riemann tiene una importancia fundamental a la hora de calcular la desviacin de dos lneas en origen paralelas cuando se desplazan a travs de una superficie curva. Es bien sabido que en una variedad llana las lneas paralelas jams se cortan, sin embargo esta regla no rige en el caso de las superficies curvas de geometra elptica. Supongamos que dos viajeros salen del Ecuador en direccin norte. En ambos casos, el ngulo que la trayectoria de su barco forma con el Ecuador es inicialmente de 90, por lo que se trata de dos lneas paralelas. Sin embargo, conforme los viajeros se van desplazando hacia el norte, su distancia recproca se hace cada vez ms pequea hasta que se hace nula en el Polo Norte, que es donde se cortan sus trayectorias de viaje. Para calcular la tasa de aproximacin entre las dos geodsicas utilizamos la siguiente ecuacin:

dondeyrepresentan el recorrido desde el Ecuador de ambas lneas geodsicas yla distancia de separacin entre ellas.

Aceleracin recproca de dos lneas de universo geodsicas. Como vemos, conforme se avanza en la coordenada temporal, el tensor de Riemann curva las geodsicas y provoca el acercamiento recproco de las dos partculas.En el espacio-tiempo, que tambin es una variedad curva, las cosas funcionan de un modo parecido: el tensor de Riemann determina la aceleracin recproca entre las lneas de universo de dos sistemas inerciales (p.e. dos asteroides que se acercan progresivamente como consecuencia de su mutua atraccin gravitatoria). Para calcular dicha aceleracin, aplicamos de nuevo la conocida frmula, modificndola ligeramente:

dondees un parmetro afn (el tiempo local) yyson los vectores de cuadrivelocidad de ambos cuerpos que, segn el esquema de Minkowski, equivalen geomtricamente a campos vectoriales tangentes a ambas lneas de universo.

Fuerzas de marea.Todo esto nos conecta con lo que en fsica newtoniana se denominanfuerzas de marea, responsables de mltiples fenmenos astronmicos y cuya base terica reposa en el planteamiento siguiente: Supongamos que una determinada nave espacial est cayendo a un agujero negro. Es evidente que la proa de la nave experimenta una fuerza gravitatoria ms intensa que la popa, por el simple hecho de que la primera est ms prxima que la segunda al horizonte de sucesos. Si la diferencia de aceleraciones entre la proa y la popa es lo suficientemente intensa, la nave puede llegar a distorsionarse y quebrarse definitivamente.El gradiente gravitatorio es tambin responsable del ciclo de mareas: Las zonas de la tierra ms cercanas a la Luna, experimentan una mayor atraccin gravitatoria que las ms lejanas a ella, lo que provoca que el agua del mar se acumule en aquellas reas de la superficie terrestre que estn alineadas con la Luna.En relatividad general, la aceleracin de marea viene originada por el tensor de Riemann. Hay una correspondencia casi natural entre las ecuaciones newtonianas y las relativistas. En efecto, la ecuacin newtoniana utilizada para computar las fuerzas de marea es la siguiente:

dondeaes la aceleracin de marea,el potencial gravitatorio yla distancia entre las dos partculas. Las fuerzas de marea vienen determinadas por las derivadas de segundo orden del potencial gravitatorio.Desde el punto de vista relativista, las fuerzas de marea vienen determinadas por el tensor de Riemann y si la regin del espacio tiene una escasa densidad de cuadrimomento y una distribucin uniforme de la curvatura, los componentes aqul toman aproximadamente los valores siguientes:

para el resto de los ndicesDemostracin[ocultar]Las expresiones que relacionan el tensor de Riemann con los smbolos de Christoffel son las siguientes:

En un marco de Lorentz, donde se hacen nulos los coeficientes de los smbolos de Christoffel pero no as sus primeras derivadas, la frmula para el clculo del tensor de curvatura queda simplificada:

Si el espacio-tiempo es newtoniano o cuasinewtoniano (poca densidad de cuadrimomento, fluidos no relativistas) los nicos coeficientes no nulos de los smbolos de Christoffel son los correspondientes a. Tenemos pues:de lo contrario

De ah que sea muy simple deducir la ecuacin clsica partir de la relativista:

Como se puede deducir de los prrafos anteriores, en relatividad general las fuerzas de marea estn determinadas por el tensor de Riemann y las primeras derivadas de los smbolos de Christoffel. Si estas magnitudes tienen un valor no nulo, el diferencial de los smbolos de Christoffel provoca la dispersin de las geodsicas correspondientes a partculas de un fluido determinado.

Las geodsicas (trayectorias inerciales en el espacio-tiempo) vienen determinadas por los valores de los smbolos de Christoffel. Si stos son constantes, las partculas de un fluido se mueven uniformemente, a una misma velocidad y aceleracin, y no se altera su distancia entre s. Pero si los componentes de los smbolos de Christoffel varan a lo largo de una determinada regin, ello conlleva la divergencia de las lneas de universo de las partculas y la distorsin del fluido, en la medida en que cada una de sus partes constituyentes acelera distintamente.

En esta recreacin artstica se reproducen el planeta y los dos cinturones de asteroides que orbitan alrededor de la estrellapsilon Eridani.Las fuerzas de marea y el tensor de Riemann tienen una importancia fundamental en la formacin y configuracin de los sistemas planetarios, as como en multitud de procesos astrofsicos y cosmolgicos. Sirva de ejemplo nuestro propio Sistema Solar: Hace cerca de 4.500 millones de aos, una nube molecular alcanz la densidad y la compresin suficientes como para transformarse en un sistema planetario. La mayor parte del material de la nube se precipit sobre en torno al ncleo, dando lugar al Sol. Sin embargo, ciertas cantidades de gas y de polvo continuaron rotando bajo la forma de un disco de acrecin, y se aglutinaron para dar origen a planetesimales y posteriormente a planetas.

El sistema planetario de la estrellaHD 69830viene compuesto por un masivo cinturn de asteroides y por tresexoplanetasde masa neptuniana cuyos efectos gravitatorios dispersan las lneas de universo de los asteroides, impidiendo que se agreguen para formar nuevos planetas.Sin embargo, en la zona situada entre Marte y Jpiter, los tensores de Riemann correspondientes a las masas del Sol y de Jpiter generaron unas intensas fuerzas de marea que dispersaron las lneas de universo de los planetesimales all situados, impidiendo que se agregaran entre s para dar lugar a un cuerpo masivo. Los planetesimales permanecieran dispersos bajo la forma de un cinturn de asteroides. Este fenmeno que acaba de describirse no es exclusivo de nuestro Sistema Solar, sino que ha sido observado en multitud desistemas exoplanetariosdescubiertos desde principios de los aos noventa hasta la actualidad, como los mostrados en las ilustraciones de esta seccin.Las fuerzas de marea tambin poseen cierta importancia en el desarrollo de otros fenmenos astronmicos como las supernovas de tipo II, deflagraciones csmicas que suelen tener lugar en el marco de sistemas estelares dobles. En efecto, en los sistemas binarios es frecuente que una estrella masiva orbite alrededor de unaenana blanca. Si el tamao de la primera sobrepasa ellmite de Roche, el componente del tensor de Riemanngenerado por la masa de la enana blanca extrae material de las capas exteriores de su compaera y lo precipita sobre la enana blanca, en torno a la cual dicho material orbita formando un disco de acrecin. El plasma queda sometido a enormes temperaturas que provocan la emisin de rayos X y la aparicin de explosiones peridicas conocidas con el nombre desupernovasde tipo II.El significado fsico del tensor de Ricci[editar]

En la ilustracin se reproducen los efectos del tensor de Ricci (concretamente su componente) sobre un volumen tridimensional esfrico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. El autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia: Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones espaciales y una temporal, el volumen de la esfera est definido por tres dimensiones espaciales.Segn la teora laplaciana-newtoniana de la gravitacin universal, una masa esfrica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atraccin recproca de sus molculas) con una aceleracin equivalente a:

Es evidente, que dicha ecuacin no es compatible con la relatividad especial, por las razones reseadas anteriormente:1. El parmetro, que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energa-tensin, que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energa y la presin, y no slo los de la masa.2. Por otro lado, segn la teora de la relatividad general, los efectos gravitatorios no son causados por ningn tipo de fuerza a distancia sino por la curvatura del espacio-tiempo.En este sentido, cabe sealar que en un espacio-tiempo curvo la aceleracin del volumen viene cuantificada por un objeto geomtrico especfico, el tensor de Ricci, que puede definirse como la aceleracin coordenada del hipervolumen, normal al vector unitario. De este modo, el componenteexpresa la aceleracin temporal del volumen tridimensional:

La relacin entre el tensor mtrico y el tensor de Ricci se expresa a travs de la llamadaecuacin de flujo de Ricci, que tiene la forma siguiente:

Segn esta ecuacin, la existencia de valores positivos del tensor de Ricci implica la disminucin a lo largo del tiempo de los coeficientes del tensor mtrico, y como consecuencia de ello la disminucin de los volmenes en esa regin de la variedad. Por el contrario, la presencia de valores negativos en el tensor de Ricci lleva consigo una expansin progresiva de las distancias, las superficies y los volmenes.Por todo lo dicho, los tensores de energa-momentum y de Ricci permitan expresar de manera tensorial y covariante lafrmula de Poisson, y de ah que originalmente Einstein propusiera las siguientesecuaciones de universo:

En relatividad general, el tensor de Ricci tiene la virtualidad de representar aquellos efectos gravitatorios originados por la presencia inmediata y local de cuadrimomento, que son con gran diferencia los ms importantes a pequea y gran escala.El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofsicos que tienen lugar en el Cosmos: constituye una medida de la contraccin de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas; cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversin en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros; y proporciona una medida de la expansin del universo.Del tensor de Ricci, particularmente de la forma que toma en los campos gravitatorios esfricos (como las estrellas estticas),7se deriva la llamadaLey de equilibrio hidrosttico, que regula elequilibrioentre la presin del fluido estelar8(que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este equilibrio se mantiene prcticamente durante toda la vida de la estrella y slo se rompe en dos ocasiones diferentes: 1) Cuando la estrella deviene en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presin de radiacin9desbordan los del tensor de Ricci, y como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situacin de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible. Se produce entonces un descenso en la presin del fluido, y la estrella, bien se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtindose en un agujero negro.Las ecuaciones de Universo de Einstein[editar]Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles con laley de la conservacin de la energa[Demostracin 1]. Esto constri a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la publicacin en1915del artculoAplicacin de la teora de la relatividad general al campo gravitatorio:10

Demostracin 1[ocultar]En efecto, la derivada covariante del tensor de energa-momentum de cualquier fluido es cero:

Sin embargo, de las identidades de Bianchi se deduce que la derivada covariante del tensor de Ricci es en general no nula:

Lo que conduce al descarte de cualquier tipo de relacin de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de tensin energa:

Dondees eltensor de Ricci,eltensor mtrico,elescalar de Ricci,laconstante de gravitacin universalyeltensor de energa-impulso. El miembro izquierdo de la ecuacin recibe el nombre genrico de tensor de Einstein, se representa con la notaciny satisface las mismas relaciones de conservacin que el tensor de tensin-energa:

Teniendo en cuenta que el escalar de curvaturaes proporcional a la traza del tensor de Einstein, las ecuaciones de universo de Einstein pueden reformularse de la manera siguiente:

Aplicacin a fluido perfecto[editar]

Corriente de chorro emanando del centro de una galaxia.En un fluido no relativista,11como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energa-impulso son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento, que corresponde a la densidad de masa y que es el nico que contribuye sensiblemente a la atraccin gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Si deseamos medir la contraccin de volumen producida por la masa-energa presente en una determinada regin, hemos de aplicar las ecuaciones de universo de Einstein:

Computemos ahora los valores de:

Tras ello obtenemos:

O bien:

Dondees la presin del fluido, que en general es muy pequea comparada con, por lo que tenemos es una ligera correccin de la anteriormente citada frmula newtoniana. Como vemos, la atraccin gravitatoria viene determinada no slo por la masa-energa sino tambin por la presin, aunque la contribucin de sta esinferior a la de la primera. Por eso, en las regiones del espacio-tiempo sometidas a bajas presiones y temperaturas, como las nebulosas o nuestro Sistema Solar, la masa es prcticamente la nica fuente de atraccin gravitatoria y por ello las ecuaciones de la gravitacin universal newtonianas constituyen una muy buena aproximacin de la realidad fsica. En cambio, en fluidos sometidos a altas presiones, como las estrellas que se colapsan, la materia que se precipita en los agujeros negros o los chorros que son expelidos de los centros de las galaxias; en todos ellos la presin puede tener cierta importancia a la hora de computar la atraccin gravitatoria y la curvatura del espacio-tiempo.Aplicacin a fluido electromagntico[editar]

La deflexin relativista de los rayos de la luz genera las conocidasLentes gravitacionales.En un fluido electromagntico, la traza del tensor de energa-impulso es nula. Como consecuencia de ello, las ecuaciones de universo de Einstein toman la siguiente forma.

Como vemos, los valores del tensor de Ricci son justo el doble de los calculados para las soluciones de polvo. Esto es lo que explica que la deflexin de los rayos de la luz sea dos veces superior en el mbito relativista que en el newtoniano, y que la expansin de un universo cclico de Tolman (dominado por la radiacin) sea ms lenta que la de un universo cclico de Friedman (dominado por la materia).El tensor de Weyl[editar]Es importante notar que, puesto en unespacio-tiempode cuatro dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene ms informacin que lacurvatura de Ricci. Eso significa que las ecuaciones del campo anterior, con = 0, no especifican completamente eltensor de curvaturasino una parte del mismo, eltensor de Ricci. La parte de la curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein, coincide precisamente con eltensor de Weyl. Eso significa que las ecuaciones de Einstein no especifican por completo el tensor de curvatura, ni la forma global del universo.La constante cosmolgica[editar]Vase tambin:Constante cosmolgicaDesde el principio Einstein apreci que matemticamente el miembro derecho de suecuacin de campopoda incluir un trmino proporcional altensor mtricosin que se violara el principio deconservacin de la energa. Aunque inicialmente no incluy dicho trmino, ya que no pareca tener una interpretacin fsica razonable; ms tarde lo incluy. Esto se debi a que en sus primeros intentos de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones de campo consider que lo que hoy conocemos como modelo estacionario de Einstein. Einstein apreci que esa solucin, explicaba adecuadamente los datos disponibles en su tiempo, y corresponda a un universo esttico similar a los datos observados. Sin embargo, dicha solucin erainestable matemticamentelo cual no pareca corresponderse con la estabilidad fsica observable, y se dio cuenta de que con el trmino proporcional a la mtrica la solucin poda ser similar pero esta vez estable.Por esa razn Einstein introdujo en sus ecuaciones un trmino proporcional al tensor mtrico. Siendo la constante de proporcionalidad precisamente laconstante cosmolgica. El trabajo de varios cientficos (FLRW): Alexander Friedman, Georges Lematre, Howard Percy Robertson y Arthur Geoffrey Walker, prob que existan soluciones estables no estacionarios sin el trmino proporcional a la constante cosmolgica. Y aunque Einstein inicialmente haba rechazado el trabajo de Friedman por describir un universo en expansin que no pareca ser descriptivamente adecuado a un universo que l crea estacionario, los datos delcorrimiento al rojodel astrnomoEdwin Hubbleslo parecan explicables mediante un modelo de universo en expansin. Esto convenci a Einstein de que lasolucin FLRWera de hecho correcta y descriptivamente adecuada y por tanto la constante cosmolgica innecesaria.Recientemente la evidencia de laaceleracin de la expansin del Universohan llevado a reintroducir la constante cosmolgica diferente de cero como una de las posibles explicaciones del fenmeno.Resumen[editar]Significado fsico de los diferentes tensores de la Relatividad general

TensorNotacinSignificado fsico

Derivada ordinariaAceleracin medida por un observador externo en reposo

Derivada covarianteAceleracin inercial medida por un observador comvil, situado en la propia lnea de universo del cuerpo observado

Tensor mtricoDistancia (o, en su caso, intervalo) entre dos puntos (eventos) del espacio(-tiempo)

Tensor de tensin energaPresencia inmediata de cuadrimomento en una regin del espacio-tiempo

Tensor de RiemannAceleracin recproca de dos lneas de universo

Tensor de RicciAceleracin de un volumen (3 dimensiones) o un hipervolumen (4 dimensiones)

Escalar de RicciAceleracin de la superficie que encierra dicho volumen o hipervolumen

Tensor de WeylFuerzas de marea generadas por lasondas gravitatorias

Principales ecuaciones de la relatividad general

DenominacinDesarrolloSignificado fsico

Ecuaciones de universo de EinsteinContraccin de un fluido como consecuencia de la presencia inmediata de cuadrimomento

Ecuacin de las lneas geodsicasMovimiento de un sistema inercial en el espacio-tiempo

Desviacin geodsicaFuerzas de marea entre dos partculas que caen en un mismo campo gravitatorio

Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein[editar]Matemticamente las ecuaciones de campo de Einstein son complicadas porque constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales no lineales independientes. La complejidad de dicho sistema de ecuaciones y las dificultades asociadas para plantear el problema como un problema de valor inicial bien definido, hicieron que durante mucho tiempo slo se contara con un puado de soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetra. En la actualidad se conocen algunos centenares de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein.Histricamente la primera solucin importante fue obtenida porKarl Schwarzschilden 1915, esta solucin conocida posteriormente comomtrica de Schwarzschild, representa el campo creado por un astro esttico y con simetra esfrica. Dicha solucin constituye una muy buena aproximacin al campo gravitatorio dentro del sistema solar, lo cual permiti someter a confirmacin experimental la teora general de la relatividad explicndose hechos previamente no explicados como el avance del perihelio de Mercurio y prediciendo nuevos hechos ms tarde observados como la deflexin de los rayos de luz de un campo gravitatorio. Adems las peculiaridades de esta solucin condujeron al descubrimiento terico de la posibilidad de losagujeros negros, y se abri todo una nueva rea de la cosmologa relacionada con ellos. Lamentablemente el estudio del colapso gravitatorio y los agujeros negros condujo a la prediccin de lassingularidades espaciotemporales, deficiencia que revela que la teora de la relatividad general es incompleta.Algunas otras soluciones fsicamente interesantes de las ecuaciones de Einstein son: Lamtrica de Kerrque describe el campo gravitatorio de un astro en rotacin. Esta solucin bajo ciertas circunstancias tambin contiene unagujero negro de Kerr. Lamtrica de Friedman-Lematre-Robertson-Walker, realmente es un conjunto paramtrico de soluciones asociadas a lateora del Big Bangque es capaz de explicar la estructura del universo a gran escala y la expansin del mismo. Eluniverso de Gdel, que en su forma original no parece describrir un universo realista o parecido al nuestro, pero cuyas propiedades matemticamente interesante constituyeron un estmulo para buscar soluciones ms generales de las ecuaciones para ver si ciertos fenmenos eran o no peculiares de las soluciones ms sencillos.Por otra parte, el espacio-tiempo empleado en la teora especial de la relatividad, llamadoespacio de Minkowskies en s mismo una solucin de las ecuaciones de Einstein, que representa un espacio-tiempo vaco totalmente de materia.Fuera de las soluciones exactas y a efectos comparativos con la teora de campo gravitatorio tambin es interesante laaproximacin para campos gravitatorios dbilesy las soluciones en formadas deondas gravitatorias.No linealidad[editar]Cuando Einstein formul en 1915 las ecuaciones de universo de la Relatividad general, el cientfico alemn pens, en un principio, que dichas ecuaciones eran irresolubles debido a su carcter no lineal, que se manifestaba tanto desde un punto de vista fsico como desde otro matemtico: En el plano estrictamente fsico, la no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein se deriva del mutuo condicionamiento entre el tetramomentum y la curvatura del espacio tiempo. As, la densidad de masa, contenida en el coeficiente, provoca una contraccin (parametrizada a travs de) del volumen tridimensional que de nuevo vuelve a alterar el densidad de masa, y as sucesivamente. Este movimiento cclico recuerda a la autoinductancia el electromagnetismo y no suele tener importancia en campos gravitatorios de baja intensidad, pero s ha de tenerse en cuenta en el clculo de las perturbaciones gravitatorias originadas por una alta concentracin local de tetramomentum, como sucede en el caso de los agujeros negros o los fluidos relativistas. De una manera ms intuitiva la no linealidad de las ecuaciones de Einstein puede pensarse desde el punto de vista fsico de la siguiente manera: Dada una distribucin de materia, esta producir una curvatura del espacio o "campo gravitatorio" el cual contiene energa. Dado queE=mc2dicha energa a su vez generar otra curvatura o "campo gravitatorio" el cual a su vez contendr cierta energa y as sucesivamente. Estaretroalimentacinentre la fuente (materia) y el efecto (curvatura) est representada en el carcter no lineal de las ecuaciones de Einstein. Desde un punto de vista matemtico, el miembro izquierdo de la igualdadcontiene tanto funciones lineales como derivadas de primer y de segundo orden del tensor mtrico, lo que hace imposible despejar los coeficientes de este ltimo a partir de los valores del tensor de energa momentum. No es posible, pues, construir una funcin de tipo.Soluciones para coordenadas esfricas: Campo exterior[editar]Artculo principal:Mtrica de SchwarzschildPara sorpresa de Albert Einstein, pocas semanas despus de la publicacin de sus ecuaciones de campo lleg a su despacho un correo deKarl Schwarzschild, un profesor universitario que en esos momentos se encontraba en el frente de laI guerra mundial, realizando trabajos debalsticapara las unidades de artillera del ejrcito alemn. En esa histrica carta se contenan las primeras soluciones exactas de las ecuaciones de la relatividad general, que seran conocidas por la posteridad con el nombre genrico deSolucin de Schwarzschild.El principio sobre el que pivotaba dicha solucin era el siguiente: Dado que el Principio de la Covariancia General permita hacer funcionar las ecuaciones de campo de la relatividad general en cualquier sistema de coordenadas, Schwarzschild procedi a calcular los valores de los tensores de energa-momento y de Einstein en coordenadas espacio-temporales esfricas. El alto grado de simetra proporcionado por dicho sistema de coordenadas, as como el carcter esttico de la mtrica, permitieron integrar directamente el conjunto de ecuaciones diferenciales. Siendo en el caso general el tensor mtrico para un problema con simetra esfrica de la forma:(SE)Para el espacio la parte exterior de un astro esfrica ms concretamente se tena:

Las comprobaciones experimentaqles mostraron que la mtrica de Schwarzschild describe con enorme precisin lo que sucede en sistemas esfricos estticos, similares alsistema solar.Soluciones para coordenadas esfricas: Equilibrio estelar[editar]Artculo principal:Estructura estelar

La masa del Sol, as como su volumen y su temperatura se han mantenido estables durante millones de aos.Las ecuaciones de un campo con simetra esfrica (SE) permiten tambin estudiar la curvatura en el interior de las estrellas masivas. El resultado de ese anlisis, es que para estrellas de lasecuencia principaldeldiagrama de Hertzsprung-Russell, la curvatura originada por la gravedad es compensada por la presin de la materia estelar. Esa compensacin conduce a una ley deequilibrio hidrostticoque hace que la estrella, an sometida a su propio campo gravitatorio, pueda mantener durante millones de aos su volumen y su densidad a niveles constantes. Matemticamente, el hecho de que la mtrica tenga un carcter esttico implica los valores del tensorse mantengan estables en el tiempo. La ley de equilibrio hidrosttico que relaciona la densidad y la presin en una estrella esfrica viene dada por la ecuacin de Tolman-Oppenheimer-Volkoff:

Donde:son la presin y la densidad a una distanciardel centro del astro.es la masa encerrada en una esfera de radior.Soluciones para coordenadas esfricas: Colapso gravitatorio[editar]La solucin de Schwarzschild permiti aplicar los postulados de la relatividad general a disciplinas como la mecnica celeste y la astrofsica, lo cual supuso una verdadera revolucin en el estudio de la cosmologa: Apenas seis aos despus de la publicacin de los trabajos de Einstein, el fsico ruso Aleksander Fridman introdujo el concepto de singularidad espacio-temporal, definido como un punto del espacio-tiempo en el que confluyen todas las geodsicas de las partculas que haban atravesado el horizonte de sucesos de un agujero negro. En condiciones normales, la curvatura producida por la masa de los cuerpos y las partculas es compensada por la temperatura o la presin del fluido y por fuerzas de tipo electromagntico, cuyo estudio es objeto de la fsica de fluidos y del estado slido. Sin embargo, cuando la materia alcanza cierta densidad, la presin de las molculas no es capaz de compensar la intensa atraccin gravitatoria. La curvatura del espacio-tiempo y la contraccin del fluido aumentan cada vez a mayor velocidad: el final lgico de este proceso es el surgimiento de una singularidad, un punto del espacio-tiempo donde la curvatura y la densidad de tetramomentum son infinitas.Ahora bien, el fsicoSubrahmanyan Chandrasekharfue el primero en darse cuenta que la gravedad poda ser contenida no slo por fuerzas de tipo mecnico, sino tambin por un fenmeno de origen cuntico al que llampresin de degeneracin, derivado delprincipio de exclusindePauliy que era capaz de sostener a estrellas cuya masa no superase ellmite de Chandrasekhar. Estas ideas tan audaces le costaron caras a su autor, que fue ridiculizado en pblico porSir Arthur Eddingtondurante un congreso de astrnomos. Sin embargo, los clculos de Chandrasekhar se revelaron certeros, y sirvieron de base para la comprensin de un tipo estelar cuya naturaleza fsica hasta entonces era desconocida: laenana blanca.Aproximaciones en coordenadas armnicas[editar]Dado que para muchos sistemas fsicos no resulta sencillo obtener las expresiones exactas de las soluciones de las ecuaciones de Einstein, los fsicos tericos han desarrollado aproximaciones bastante precisas empleando series de potencias. De entre ellas las ms importantes funcionan encoordenadas armnicasy reciben los nombres deaproximacin posnewtonianayaproximacin para campos gravitatorios dbiles.En virtud del principio de la covariancia general, ya examinado en secciones anteriores, es posible hacer funcionar a las ecuaciones de universo de Einstein en cualquier tipo de coordenadas, incluidas las armnicas, que son aqullas en las que se cumple la relacin(como, por ejemplo, en el caso de las coordenadas cartesianas). Se hace necesario en este punto distinguir con claridad entre los conceptos deplanituddel espacio-tiempo yarmonicidadde un sistema de coordenadas: en una espacio-tiempo de curvatura nula, como el espacio-tiempo de Minkowski, es posible utilizar coordenadas no-armnicas como las esfricas o las cilndricas, sin que ello implique que el espacio se curve, ya que la curvatura es una cualidad instrnseca de cualquier variedad e independiente de nuestro sistema de referencia.

Ondas gravitatorias. La solucin en el vaco de la aproximacin para campos gravitatorios dbiles () tiene una estructura similar a laecuacin diferencial de ondas de d'Alembert, de lo que se deduce que las perturbaciones de la mtrica tienen una naturaleza ondulatoria y se transmiten a travs del espacio-tiempo a la velocidad de la luz.Para campos gravitatorios poco intensos, como los existentes en el espacio interestelar, es recomendable utilizar la llamadaaproximacin para campos dbiles, que es, como veremos, muy similar en su estructura a la frmula de Poisson newtoniana, si bien las diferencias con esta ltima son enormes.Lafrmula de Poissonafirma que el laplaciano del potencial gravitatorioes igual:

En la imagen se reproducen las ondas gravitatorias emitidas por una estrella durante su colapso.Esta frmula plantea un grave inconveniente, y es que presupone el principio de accin a distancia: No tiene en cuenta el retardo en la medicin del campo gravitatorio realizada por un determinado observador (pongamos, un observador en la tierra) situado a cierta distancia a la masa del cuerpo que genera dicho campo gravitatorio (p.e. el Sol, situado a 8 minutos luz de nuestro planeta).De ah que uno de los primeros intentos de compatibilizar la teora de la Relatividad Especial y la Gravitacin Universal consistiera en sustituir el laplaciano de la frmula de Poisson por un d'Alembertiano, una de cuyas soluciones es, precisamente, un potencial retardado:

Como vemos, el potencial gravitatorio medido por el observador en el tiempot, es proporcional a la densidad de masa que tiene el cuerpo estelar observado en el tiempot - r/c, dondeces la velocidad de la luz,res la distancia entre el observador y el objeto yr/ces elretardo, es decir, el tiempo que la luz tarda en desplazarse desde la estrella en cuestin hasta el observador.Ahora bien, la relatividad general es una teora mtrica de la gravedad, y explica los fenmenos gravitatorios en trminos de perturbaciones de la mtrica. Es conveniente, por tanto, introducir en nuestra ecuacin el pseudotensor, que representa la desviacin de los coeficientes del tensor mtrico respecto a la mtrica de Minkowski. Aplicando el lmite newtoniano, en cuya virtudes igual a, obtenemos el resultado siguiente:

Frmula de Poisson

Aproximacin para campos dbiles

A grandes rasgos, la sustitucin del laplacianopor el d'alembertianoviene exigida por la obligada eliminacin del principio de accin a distancia; el empleo del pseudotensoren lugar del potencialcomo elemento definitorio del campo gravitatorio es una consecuencia de la del carcter mtrico de la teora de la relatividad general; y finalmente, la eliminacin, en el lado derecho de la ecuacin, del parmetroy su sustitucin por la expresin tensorialviene exigida por el principio de la covariancia general.

La aproximacin posnewtoniana permite a los astrnomos calcular con suma precisin la posicin y el movimiento de los planetas del Sistema Solar, teniendo en cuenta los efectos relativistas.Sin embargo, en el anlisis de la evolucin de sistemas astronmicos como el solar o el formado por estrellas dobles o tripoles, la aproximacin para campos dbiles no es til, ya que el uso de esta ltima se restringe a zonas del espacio-tiempo con poca densidad de tetramomentum. En estos casos es preferida laaproximacin posnewtonianaque como su propio nombre indica prescinde del empleo de la compleja notacin del clculo tensorial y describe el movimiento de los cuerpos celestes utilizando los conceptos matemticos que emple el propio Newton a la hora describir las leyes de la mecnica y de la gravitacin universal (vectores, gradientes, etc.).En los siglos XVIII y XIX, astrnomos como Laplace y Le Verrier haban aplicado los postulados de la mecnica newtoniana al estudio de la evolucin del Sistema Solar, obteniendo unos resultados muy fructuosos: La precisin de los clculos astronmicos obtenidos haba permitido incluso prever la existencia de un planeta hasta entonces nunca observado por los astrnomos, Neptuno. Por este motivo no es de extraar que cuando la relatividad general obtuvo pleno reconocimiento, se desarrollase por parte de los astrofsicos una aproximacin que siguiera en su estructura el modelo newtoniano y que fuese fcilmente aplicable tanto por los astrnomos como por los ordenadores.De acuerdo con la teora clsica de la gravitacin, la aceleracin de un cuerpo en cada libre es el gradiente negativo del potencial gravitatorio:

Como ya se ha avanzado en secciones anteriores, esta frmula presupone la asuncin del principio newtoniano de accin a distancia, contrario a los postulados de la Relatividad Especial, y adems no tiene en cuenta los efectos gravitatorios generados por la energa y por el momentum. Laaproximacin posnewtonianasoslaya estos inconvenientes introduciendo otros dos nuevos potenciales: el potencial, que constituye una aproximacin en segundo grado del potencialy el potencial, derivado de la presencia de momentum en el fluido.Potenciales de la aproximacin posnewtoniana

NotacinExpresin AlgebraicaSignificado fsico

Potencial newtoniano (densidad de masa)

Retardo del potencial newtoniano, densidad de energa

Potencial derivado del momentum

Las ecuaciones de movimiento quedaran reformuladas de la siguiente forma:

Soluciones relacionadas con los modelos de Universo[editar]Existen un cierto nmero de soluciones exactas de las ecuaciones que describen un universo completo y por tanto pueden ser consideradas modelos cosmolgicos entre ellas destacan: Mtrica de Friedman-Lematre-Robertson-Walker, que describe un tipo de universo homogneo, istropo y en expansin y puede considerarse una primera aproximacin de la forma de nuestro universo a gran escala. Universo de Gdel, obtenida por el matemticoKurt Gdelrepresenta un universo homogneo e istropo con materia en rotacin. Aunque no se considera que describa un universo similar al nuestro tiene la importante propiedad de contenercurvas temporales cerradasque representan un ejemplo contraintuitivo donde un observador puedeviajar a su propio pasadosin violar ninguna ley fsica conocida.Predicciones de la relatividad general[editar]

La ms famosa de las primeras verificaciones positivas de la teora de la relatividad, ocurri durante uneclipsesolar de 1919, que se muestra en la imagen tomada porSir Arthur Eddingtonde ese eclipse, que fue usada para confirmar que el campo gravitatorio del sol curvaba los rayos de luz de estrellas situadas tras l.Se considera que la teora de la relatividad general fue comprobada por primera vez en la observacin de un eclipse total deSolen1919, realizada porSir Arthur Eddington, en la que se pona de manifiesto que la luz proveniente de estrellas lejanas se curvaba al pasar cerca del campo gravitatorio solar, alterando la posicin aparente de las estrellas cercanas al disco del Sol. Desde entonces muchos otros experimentos y aplicaciones han demostrado las predicciones de la relatividad general. Entre algunas de las predicciones se encuentran:Efectos gravitacionales[editar] Desviacin gravitacional de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: La frecuencia de la luz decrece al pasar por una regin de elevada gravedad. Confirmado por elexperimento de Pound y Rebka(1959). Dilatacin gravitacional del tiempo: Los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo ms lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atmicos situados sobre la superficie terrestre y los relojes en rbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPSpor sus siglas en ingls). Tambin, aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequeos, las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general. Efecto Shapiro(dilatacin gravitacional de desfases temporales): Diferentes seales atravesando un campo gravitacional intenso necesitan mayor tiempo para atravesar dicho campo. Decaimiento orbital debido a la emisin deradiacin gravitacional. Observado en plsares binarios. Precesin geodsica: Debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientacin de un giroscopio en rotacin cambiar con el tiempo. Esto se comprob exitosamente en mayo de 2011 por el satliteGravity Probe B.Efectos rotatorios[editar]Esto implica el comportamiento del espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo rotante. Friccin del marco de referencia. Un objeto en plena rotacin va a arrastrar consigo al espacio-tiempo, causando que la orientacin de un giroscopio cambie con el tiempo. Para una nave espacial en rbita polar, la direccin de este efecto es perpendicular a la precisin geodsica. El principio de equivalencia fuerte: incluso objetos que gravitan en torno a ellos mismos van a responder a un campo gravitatorio externo en la misma manera que una partcula de prueba lo hara.Otros efectos[editar] Gravitones: De acuerdo con lateora cuntica de campos, la radiacin gravitacional debe ser compuesta por cuantos llamados gravitones. La relatividad general predice que estos sernpartculasdeespn2. Todava no han sido observados.Comprobaciones[editar]La teora de la relatividad general ha sido confirmada en numerosas formas desde su aparicin. Por ejemplo, la teora predice que la lnea del universo de un rayo de luz se curva en las proximidades de un objeto masivo como el Sol. La primera comprobacin emprica de la teora de la relatividad fue a este respecto. Durante los eclipses de 1919 y 1922 se organizaron expediciones cientficas para realizar esas observaciones. Despus se compararon las posiciones aparentes de las estrellas con sus posiciones aparentes algunos meses ms tarde, cuando aparecan de noche, lejos del Sol. Einstein predijo un desplazamiento aparente de la posicin de 1,745 segundos de arco para una estrella situada justo en el borde del Sol, y desplazamientos cada vez menores de las estrellas ms distantes. Se demostr que sus clculos sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio eran exactos. En los ltimos aos se han llevado a cabo mediciones semejantes de la desviacin de ondas de radio procedentes de qusares distantes, utilizando interfermetros de radio. Las medidas arrojaron unos resultados que coincidan con una precisin del 1% con los valores predichos por la relatividad general.Otra confirmacin de la relatividad general est relacionada con el perihelio del planeta Mercurio. Haca aos que se saba que el perihelio (el punto en que Mercurio se encuentra ms prximo al Sol) gira en torno al Sol una vez cada tres millones de aos, y ese movimiento no poda explicarse totalmente con las teoras clsicas. En cambio, la teora de la relatividad s predice todos los aspectos del movimiento, y las medidas con radar efectuadas recientemente han confirmado la coincidencia de los datos reales con la teora con una precisin de un 0,5%.Se han realizado otras muchas comprobaciones de la teora, y hasta ahora todas parecen confirmarla. Prcticamente con la ms reciente prueba del satliteGravity Probe B, se podra considerar a la teora como una ley.Aplicaciones prcticas[editar]Los relojes en los satlitesGPSrequieren una sincronizacin con los situados en tierra para lo que hay que tener en cuenta lateora general de la relatividady lateora especial de la relatividad. Si no se tuviese en cuenta el efecto que sobre el tiempo tiene la velocidad del satlite y su gravedad respecto a un observador en tierra, se producira un adelanto de 38 microsegundos por da en el reloj del satlite (sin correccin, su reloj retrasara al da 7 microsegundos como consecuencia de la velocidad y adelantara 45 microsegundos por efecto de la gravedad), que a su vez provocaran errores de varios kilmetros en la determinacin de la posicin.12Puede considerarse otra comprobacin de ambas teoras.Relacin con otras teoras fsicas[editar]En esta parte, la mecnica clsica y la relatividad especial estn entrelazadas debido a que la relatividad general en muchos modos es intermediaria entre la relatividad especial y la mecnica cuntica.Sujeto alprincipio de acoplamiento mnimo, las ecuaciones fsicas de la relatividad especial pueden ser convertidas a su equivalente de la relatividad general al reemplazar la mtrica de Minkowski (ab) con la relevante mtrica del espacio-tiempo (gab) y reemplazando cualquier derivada normal con derivadas covariantes.Inercia[editar]Tanto en mecnica cuntica como en relatividad se asuma que el espacio, y ms tarde el espacio-tiempo, eran planos. En el lenguaje de clculo tensorial, esto significaba queRabcd= 0, dondeRabcdes eltensor de curvatura de Riemann. Adicionalmente, se asuma que el sistema de coordenadas era un sistema de coordenadas cartesianas. Estas restricciones le permitan al movimiento inercial ser descrito matemticamente como:donde xaes un vector de posicin, , y estiempo propio.Hay que notar que en la mecnica clsica,xaes tridimensional y t, dondetes una coordenada de tiempo.En la relatividad general, si estas restricciones son usadas en la forma de espacio-tiempo y en el sistema de coordenadas, stas se perdern. sta fue la principal razn por la cual se necesit una definicin diferente de movimiento inercial. En relatividad especial, el movimiento inercial ocurre en elespacio de Minkowskicomo parametrizada por el tiempo propio. Esto se generaliza a espacios curvos matemticamente mediante laecuacin de las geodsicas:donde es unsmbolo de Christoffel(de otro modo conocido comoconexin de Levi-Civita).Comoxes un tensor de rango uno, estas ecuaciones son cuatro y cada una est describiendo la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio. (En la mtrica de Minkowski de la relatividad especial, los valores de conexin son todos ceros. Esto es lo que convierte a las ecuaciones geodsicas de la relatividad general enpara el espacio plano de la relatividad especial).Gravitacin[editar]En gravitacin, la relacin entre la teora de lagravedadde Newton y la relatividad general son gobernadas por elprincipio de correspondencia: la relatividad general tiene que producir los mismos resultados, as como la gravedad lo hace en los casos donde la fsica newtoniana ha demostrado ser certera.Alrededor de objetos simtricamente esfricos, la teora de la gravedad de Newton predice que los otros objetos sern acelerados hacia el centro por la ley:

Donde: M: masa que genera el Campo gravitatorio, y m es la masa del cuerpo que es atrado., es la distancia al objeto atrado, yes un vector de unidad identificando la direccin al objeto masivo.En laaproximacin de campo dbilde la relatividad general tiene que existir una aceleracin en coordenadas idnticas. En lasolucin de Schwarzschild, la misma aceleracin de la fuerza de gravedad es obtenida cuando la constante de integracin es igual a 2m(dondem=GM/c2).Electromagnetismo[editar]El electromagnetismo plante un obstculo fundamental para la mecnica clsica, debido a que lasecuaciones de Maxwellno soninvariantessegn la relatividad galileana. Esto creaba un dilema que fue resuelto por el advenimiento de la relatividad especial. En forma tensorial, las ecuaciones de Maxwell son:, y

Donde:, es eltensor de campo electromagntico, y, es unacuadricorriente.El efecto de un campo electromagntico en un objeto cargado de masames entonces:

Dondees elcuadrimomentodel objeto cargado.En la relatividad general, las ecuaciones de Maxwell se convierten en, y.La ecuacin para el efecto del campo electromagntico sigue siendo la misma, aunque el cambio de mtrica modificar sus resultados. Ntese que al integrar esta ecuacin para cargas aceleradas las hiptesis habituales no son vlidas (ya que implican que una carga sujeta en un campo gravitato debe comportarse como si estuviera uniformemente acelerada, lo que muestra que una carga uniformemente acelerada no puede radiar).Conservacin de energa-momentum[editar]En la mecnica clsica, laconservacin de la energay elmomentumson manejados separadamente. En la relatividad especial, la energa y el momentum estn unidos en elcuadrimomentoy lostensores de energa. Para cualquier interaccin fsica, el tensor de energa-impulsosatisface la ley local de conservacin siguiente:

En la relatividad general, esta relacin es modificada para justificar la curvatura, convirtindose en:

donde representa aqu laderivada covariante.A diferencia de la mecnica clsica y la relatividad especial, en la relatividad general no es siempre posible definir claramente la energa total y el momentum. Esto a menudo causa confusin en espacio-tiempos dependientes del tiempo, en los que no existenvectores de Killingtemporales, los cuales no parecen conservar energa, aunque la ley local siempre se satisfaga (Ver energa de Arnowitt, Deser y Misner).Transicin de la relatividad especial a la relatividad general[editar]Artculo principal:Transicin de la relatividad especial a la relatividad generalLa teora de la relatividad especial presentacovariancia de Lorentzesto significa que tal como fue formulada las leyes de la fsica se escriben del mismo modo para dosobservadoresque sean inerciales. Einstein estim, inspirado por elprincipio de equivalenciaque era necesaria una teora que presentara una para la que valiera unprincipio de covarianciageneralizado, es decir, en que las leyes de la fsica se escribieran de la misma forma para todos los posibles observadores fueron estos inerciales o no, eso le llev a buscar una teora general de la relatividad. Adems el hecho de que la propia teora de la relatividad fuera incompatible con el principio de accin a distancia le hizo comprender que necesitaba adems que esta teora general incorporase una descripcin adecuada del campo gravitatorio.Hoy sabemos que Einstein consideraba que la teora de la relatividad slo era aplicable a sistemas de referencia inerciales estrictamente, aunqueLogunovha probado en el marco de lateora relativista de la gravitacinque de hecho fijado un observador inercial o no, cualquier otro que se mueva con velocidad uniforme respecto al primero escribir las leyes fsicas de la misma forma. Probando as que la relatividad especial de hecho es ms general de lo que Einstein crey en su momento. Adems el trabajo de Logunov prueba que siempre que el espacio-tiempo sea plano puede establecerse para cada observador existe un grupo decaparamtrico de transformaciones de coordenadas que generaliza las propiedades del grupo de Lorentz para observadores no inerciales.El principio de geometrizacin y el principio de equivalencia fueron las piedras angulares en las que Einstein bas su bsqueda de una nueva teora, tras haber fracasado en el intento de formular una teora relativista de la gravitacin a partir de un potencial gravitatorio. La teora escalar de la gravitacin de Nordstrm13y la interpretacin geomtrica que extrajo de ellaAdriaan Fokker(1914), el estudiante de doctorado deHendrik Lorentz, llevaron a Einstein a poder relacionar el tensor de energa-impulso con lacurvatura escalarde Ricci de un espacio-tiempo con mtrica:

que involucraba la mtrica del espacio-tiempo plano y un campo escalar relacionado con el campo gravitatorio. La superacin de las deficiencias de la teora de la gravitacin escalar de Nordstrm llevaron a Einstein a formular las ecuaciones correctas de campo.Vase tambin[editar] Teora relativista de la gravitacin Teora de la Relatividad Especial Introduccin matemtica a la relatividad general Glosario de conceptos relativistasReferencias[editar]1. Volver arribaEn alemn:"ber den Einflu der Schwerkfraft auf die Ausbreitung des Lichtes"2. Volver arribaEllo como consecuencia de la frmula de Planck, que supone que cuanto ms energticos sean los fotones, ms alta es su frecuencia.3. Volver arribaEscogemos un sistema de coordenadas esfrico, compuesto de tres grados de libertad: Latitud, longitudy distancia respecto al centro. Los componentesyde la aceleracin son iguales a cero. La aceleracin gravitatoria tiene lugar exclusivamente en direccin al centro de la Tierra.4. Volver arribaAmbas notaciones son alternativas.5. Volver arribaLa gravitacin universal newtoniana establece que la fuerza (y por lo tanto la aceleracin radial) de atraccin ejercida por el Sol sobre la tierra es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ambos cuerpos celestes6. Volver arribaLa tercera ley de Kepler afirma que los planetas barren reas iguales en tiempos iguales. Para que esta ley mantenga su validez en toda la trayectoria orbital terrestre es necesario que la aceleracin angular sea mxima en las regiones prximas al perihelio, de tal manera que se compense con ello las menores dimensiones del radio.7. Volver arribaMs adelante analizaremos con profundidad este tema en el captulo dedicado a lamtrica de Schwarzschild.8. Volver arribaEn las estrellas de la secuencia principal, la presin viene integrada por dos elementos diferentes: La presin molecular, que es causada por la energa cintica de los tomos e iones del fluido estelar, y que viene parametrizada por laecuacin de Boltzmann, y la presin de radiacin, que es aquella originada por los fotones. Ambos tipos de presin tienden a compensarse en virtud de un proceso fsico denominadoBremsstrahlung(radiacin de frenado). De este modo, los fotones, que en el ncleo del tomo son generados con niveles de energa correspondientes al especro de los rayos gamma, salen del sol con frecuencias del espectro ultravioleta y sobre todo, del de la luz visible.9. Volver arribaDichos efectos se ven incrementados por el desencadenamiento de reacciones termonucleares en todas las capas de la estrella, y no slo en su ncleo10. Volver arribaEn alemn:"Anwendung der allgemeinen Relativittstheorie auf das Gravitationsfeld"11. Volver arribaLa relatividad general distingue entre fluidos relativistas, que viajan a velocidades cercanas a la de la luz, y no relativistas, que lo hacen a velocidades relativamente bajas. Al respecto, laseTeora de la Relatividad.12. Volver arribaGuillermo Snchez.Sistema posicionamiento global (GPS) y las teoras de la relatividad.13. Volver arribaVer por ejemplo,Nordstrm's theory of gravitationBibliografa[editar] Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973).The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press.ISBN 0-521-09906-4. Misner, Thorne and Wheeler,Gravitation, Freeman, (1973),ISBN 0-7167-0344-0. Robert M. Wald,General Relativity, Chicago University Press,ISBN 0-226-87033-2. Steven Weinberg,Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972),ISBN 0-471-92567-5.Enlaces externos[editar] Pgina introductoria a la relatividad general de la Universidad de Illinois(en ingls) Tesis de Juan Antonio Navarro Gonzlez de la Universidad de Extremadura Otero Carvajal, Luis Enrique: "Einstein y la revolucin cientfica del siglo XX,Cuadernos de Historia Contempornea, n 27, 2005, INSS 0214-400-X Otero Carvajal, Luis Enrique: "Einstein y la teora de la relatividad. Del Universo esttico al Universo en expansin",Umbral, revista de la Facultad de Estudios Generales de la Universidad de Puerto Rico, recinto de Ro Piedras Otero Carvajal, Luis Enrique: "La cosmologa relativista. Del Universo esttico al Universo en expansin", enUmbral, revista de la Facultad de Estudios Generales de la Universidad de Puerto Rico, recinto de Ro Piedras Hacia una nueva prueba de la relatividad general? Artculo en Astroseti.org http://es.groups.yahoo.com/group/relatividad/foro sobre relatividad en espaol http://www.relatividad.org/bhole/relatividad.htmapuntes sobre relatividad Relatividad sin frmulas