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Universidade de São Paulo
Escola de Engenharia de São Carlos
SEL 0359 - Controle Digital
Professor Manoel L. Aguiar
Cesar Machado Maia 5209512
Gabriel Santos da Silva 5911155
João Carlos S. Sampaio Januario 5971222
As provas do laboratório de controle digital se embasaram na planta da figura 1:
Figura 1: Planta a ser estudada
Para este grupo os valores para os componentes passivos do circuito acima são
dados R1 = 390K ohms e R2 = 560k ohms e C1 =C2 = 2,2 uF e o degrau é de 1,62V
A) Prova 1:
Primeiramente foi feita a modelagem contínua da planta. A função de transferência
obtida foi:
H (s )= 0,44995
s2+1,36601 s+0,44995
A modelagem em espaço de estados obtida foi:
A=[−0.8117 00.5543 −0.5543] B=[0.8117
0 ] C=[ 0 1 ] D=0
O diagrama do Simulink da FT e da VE é mostrado abaixo:
Figura 2: Representação da planta para a simulação discreta
Em seguida investigou-se uma taxa amostral que fosse suficiente para as
simulações, assim foi obtido um valor de T0=0,2 segundos.
Tendo posse do valor de T0 foi possível obter a formulação discreta da planta em
FT e VE. Para encontrar a VE discreto foi usado o comando “c2d” do matlab. Para
formular a FT discreta foram usados 5 modos diferentes: Integração retangular (ir),
integração retangular sob a curva, integração trapezoidal, mapeamento direto e
invariância ao degrau.
I – Integração Retangular
H ( z )= (0,1623 z )(0,1109 z )(1,1623 z−1)(1,1109 z−1)
II – Integração Retangular abaixo da curva
H ( z )= 0,017998
z2−1,7268 z+0,7448
III – Integração Trapezoidal
H ( z )= (0,8117 z+0,8117)(0,5543 z+0,5543)(10,8117 z+9,1883)(10,5543 z−9,4457)
IV – Mapeamento direto
H ( z )= 0,0157(z−0,8502)(z−0,8951)
V – Invariância ao Degrau
H ( z )= 0,0783 z−0,0783(z−0,8950)(z−0,8502)
Com o comando c2d do Matlab, obteve-se o espaço de estados discreto:
O VI usado está mostrado abaixo:
Figura 3: Arquivo Vi utilizado na prática.
O arquivo mdl da prática, onde estão todas as comparações, inclusive as
respostas dos espaços de estados discretos e contínuos são mostrados abaixo:
Figura 4: Simulink completo com todas as modelagens de FT propostas:
Figura 5: Espaço de estado discreto e contínuo.
A reposta ao degrau do sistema discretizado e do sistema simulado estão na figura
abaixo:
Figura 6: Reposta do sistema discreto
As discretizações mostradas antes, os espaços de estados e a planta contínua
estão mostradas na figura abaixo:
Figura 7: Respostas Analisadas na prática:
B) Prova 2
Nessa prática investigou-se o comportamento do controlador proporcional e a
redução do erro de regime que ele provoca. Nesta prática ainda será feito o teste
para o ganho crítico para projeto do controlador proporcional de Ziegler-Nichols
Os diagramas do Simulink basicamente foram um sistema realimentado com um
ganho proporcional K.
Abaixo está mostrado o diagrama do simulink:
Figura 8: Simulações de controladores prporcionais
Para essa prática foi usado o seguinte VI:
Figura 9: Arquivo LabView para realização da prática.
As saídas referentes aos ganhos indicados estão mostrados nas figuras abaixo:
Figura 10: Resposta ao degrau para ganho 1
Para uma realimentação unitária, um baixo sobressinal. Entretanto um certo grau
de erro de regime.
Um ganho 5 eleva o sobressinal, isto é, aloca os polos mais perto de uma
instabilidade.
Figura 11: Resposta ao degrau para ganho 5
Um ganho 8, aumenta esse overshoot e o tempo de acomodação:
Figura 12: Resposta ao degrau para ganho 8
Observa-se nesse caso, uma pequena discrepância entre os valores simulados e os do
obtidos diretamente na prática.
As ações de controle também foram observadas:
Figura 13: Ação de controle para ganho 1.
Figura 14: Ação de controle para ganho 5.
Figura 15: Ação de controle para ganho 8.
O ganho de 8 satura a fonte, como pode ser observado. E para esse ganho acontece
certa discrepância entre o experimental e o simulado.
Dentro da proposta dos exercícios, pediu-se que fizesse um controlador que
reduzisse 65% do erro de regime do controlador de ganho 1. O valor de K que
possibilitou essa redução foi de 2,1. Esse valor de K também obteve algumas análises:
A saída da planta controlada:
Figura 16: Resposta ao degrau com ganho 2.1
A ação de controle, que não satura a fonte.
Figura 17: Ação de controle para resposta ao degrau com ganho 2.1
Como item extra, foi pedido para que se obtivesse o valor do ganho crítico, aquele
que representa o início da instabilidade. Usando a ferramenta de gráfico de lugar de
raízes, obteve-se um ganho crítico de 31,854. A resposta e a ação de controle também
foram analisadas, mas houve uma grande discrepância:
Figura 18: Resposta ao degrau com ganho crítico
Figura 19: Ação de controle com ganho crítico
Pode ter sido resultado de algum erro na modelagem ou na taxa de amostragem.
C) Prova 3
Nessa prática investigou-se a melhoria introduzida pelos termos derivativo e
integrativo o controlador, configurando um controlador PID.
Inicialmente, usou-se a ferramenta do MATLAB “RLTOOL” para fazer o local
de raízes da planta, e projetar o controlador PID.
As figuras referentes ao uso do RLTOOL estão na sequência:
O diagrama de lugar das raízes:
Figura 20: Local de Raízes para o projeto do PID
A resposta ao degrau e os parâmetros de desempenho como overshoot, tempo de
acomodação e tempo de subida:
Figura 21: Resposta ao degrau obtida com o “rltool”
A título de completude, a interface gráfica de projeto de controladores do
“rltool”:
Figura 22: Interface gráfica do “rltool”
O algoritmo PID usado pelo simulink está mostrado na figura abaixo:
Figura 23: Algoritmo PID usado na prática
O arquivo VI para essa finalidade, está mostrado na figura a seguir:
Figura 24: Arquivo Vi do algoritmo PID
As análises das respostas temporais podem ser feitas com os gráficos a seguir. A
resposta do PID corresponde ao especificado em sobressinal como pode ser visto na
figura:
Figura 25: Resposta ao degrau do PID em malha fechada.
A reposta do PID deve ter erro de regime nulo. Esse fato pode ser observado no
gráfico do erro:
Figura 26: Erro do PID em malha fechada.
Observa-se que a o erro em regime se anula.
E em todo projeto de controle, a ação de controle não deve saturar a fonte, isto é,
exigir da fonte uma quantidade maior de energia do que a fonte pode fornecer, com
posse da resposta temporal, isso pode ser comprovado:
Figura 27: Ação de controle do PID em malha fechada.
Pode-se concluir que o projeto do controlador atendeu aos especificados.
Ainda no simulink fez-se o controlador de Ziegler-Nichols, mas não foi
implementado em prática. Observa-se que esse controlador tem um sobressinal maior
sendo não muito aconselhável em estratégias de controle mais agressivas:
Figura 28: Simulação da planta com PID Ziegler-Nichols 2
D) Prova 4
Essa prática introduziu o controlador “dead beat” e o conceito envolvido no
projeto desse controlador.
Nessa prática projetou-se e programou-se os controladores “dead beat(n) dead
beat(n+1)”. Além de comprovar que o projeto desse controlador é feito para entrada
degrau.
Em princípio será mostrado o arquivo mdl usado para as simulações dos
controladores “dead beat” :
num(s)
den(s)
Transfer Fcn5
num(s)
den(s)
Transfer Fcn4
num(s)
den(s)
Transfer Fcn3
num(s)
den(s)
Transfer Fcn1
u_db
To Workspace9
erro_db
To Workspace8
Erro2
To Workspace7
saida2
To Workspace6
saida_db
To Workspace4
saida3
To Workspace2
u_db_1
To Workspace13
erro_db_1
To Workspace12
saida_db_1
To Workspace11
Erro
To Workspace1
saida
To Workspace
Step4
Step3
Step2
Step
Scope9Scope8
Scope7
Scope6
Scope5
Scope4
Scope2
Scope14
Scope13
Scope12
Scope11
Scope10
Scope1
Scope
Saturation4
Saturation3
Saturation2
Saturation1
Quantizer6
Quantizer5
Quantizer3
Quantizer1
1
Gain9
1
Gain8
2
Gain4
1
Gain3
1
Gain2
1
Gain11
1
Gain10
1
Gain
num_db_1
den_db_1
DiscreteTransfer Fcn2
num_db
den_db
DiscreteTransfer Fcn1
5.2393z -8.7513z+3.65652
z -z2
DiscreteTransfer Fcn
Figura 29: Controladores dead beat
Os arquivos VI usados são mostrados abaixo:
A primeira figura é o controlador dead beat (n):
Figura 30: Implementação do controlador dead beat n
A próxima figura mostra o controlador dead beat (n+1):
Figura 31: Implementação do controlador dead beat n+1
Comparando a simulação com os valores experimentais, os resultados estão mostrados
abaixo:
Figura 32: Resposta ao degrau com controlador dead beat n
Figura 33: Ação de controle com controlador dead beat n
Figura 34: Erro com controlador dead beat n
Com o controlador dead beat (n+1), os seguintes resultados foram obtidos:
Figura 35: Resposta ao degrau com controlador dead beat n+1
Figura 36: Ação de controle com controlador dead beat n
Figura 37: Erro com controlador dead beat n
Para ambos os casos, foi observado que o erro de regime tendeu a zero e não houve
saturação da fonte. Sem sobressinal considerável para entrada degrau.
Analisando o controlador para uma entrada rampa, com inclinação de 0,7059.
O arquivo do Simulink é mostrado abaixo:
Figura 38: Controlador dead beat com entrada rampa
A partir do simulink fez-se o arquivo VI, com a mesma entrada em rampa:
Figura 39: Arquivo VI para controlador com entrada rampa:
Os resultados não foram satisfatórios, o que era de se esperar, pois o controlador é
feito para entrada degrau. As figuras abaixo mostram o comportamento desse
controlador para a devida entrada:
Figura 40: Reposta á rampa
Esta figura mostra a instabilidade que a entrada rampa insere no sistema.
O erro, aumenta da mesma forma que a saída do controlador:
Figura 41: Erro da resposta à rampa
A ação de controle, como se pode observar, saturaria a fonte. Assim, pode-se
concluir que o controlador dead beat para entrada rampa tem um comportamento
totalmente insatisfatório.
Figura 42: Ação de controle com entrada rampa.
E) Prova 5
Essa prática teve como objetivo o uso do controlador por realimentação de estados.
Esse controlador devera fazer com que os polos da matriz A sejam os mesmo da planta
com o controlador PID.
A representação de realimentação de estados é mostrada na figura abaixo:
Figura 43: Arquivo Simulink de realimentação de estados
O programa em LabView que faz essa realimentação nos estados é mostrado abaixo:
Figura 44: Arquivo LabView de realimentação de estados
A saída com o controlador K é mostrada abaixo:
Figura 45: Saída com controlador de realimentação de estados
A ação de controle também:
Figura 46: Ação de controle com controlador de realimentação de estados
Foi pedido também para que se fizesse um observador de estados em duas
condições: Sem a realimentação de estados e com a realimentação. O modelo mdl do
observador sem o controlador K, está na sequência:
Figura 47: Simulink de observador de estados
O Vi correspondente:
Figura 48: LabView de observador de estados
Quando se inclui o controlador de estados, tem-se:
Figura 49: Simulink de observador de estados com controlador K
E seu VI:
Figura 50: Simulink de observador de estados com controlador K
A resposta do observador sem o controlador é mostrado abaixo:
As saídas observadas foram x1 e x2:
Figura 51: Variável de estado X1
Observa-se nesse caso que há um leve erro. A origem desse erro pode ser a
implementação computacional do algoritmo.
Figura 52: Variável de estado X2
O caso acima, não houve discrepâncias e os resultados foram absolutamente coerentes.
Analisando com o observador e controlador a saída da planta:
Figura 52: Resposta do observador com controlador K
E a ação de controle, que novamente, não satura a fonte:
Figura 53: Ação de controle do observador com controlador K
Ainda nessa prática, pedia-se que se fizesse um observador considerando apenas
X1 como observável. Nesse caso, com apenas essa saída, o sistema não é observável,
assim não há meios de se fazer um observador de estados para o sistema.