Relazione 1 - Calcolo Viscoso

AERODINAMICA LM A.A. 2012-13

ELABORATO n° 1 CALCOLO VISCOSO DI PROFILI ALARI Versione preliminare 1.0

COGNOME___________________________ NOME _____________________MATRICOLA _____________




Il profilo alare da studiare NACA _________________ è stato assegnato dal docente al gruppo di

lavoro (normalmente composto da quattro studenti). Per esigenze particolari contattare il docente.

Scopo dell’esercitazione è l’uso del programma XFOIL (http://raphael.mit.edu/xfoil/) e la

realizzazione di una sintetica relazione, nella quale riportare le curve CL-alfa e le polari CL-CD con

il confronto dei seguenti casi:

1) calcolo a potenziale

2) calcolo viscoso

3) valori sperimentali recuperati da autorevoli fonti, es. il Naca Report 824 oppure Abbott-Von

Doenhoff, THEORY OF WING SECTION, Dover o anche altre pubblicazioni

Per i calcoli si considerino almeno due numeri di Reynolds, 6 000 000 e 200 000 molto differenti

tra loro (anche se per quest'ultimo caso potrebbero non essere disponibili dati sperimentali).

1) Il confronto deve avvenire nello stesso grafico, appositamente predisposto (con excel matlab,

octave, open office ecc..) considerando un ragionevole numero di angoli di incidenza (es passo 2°

oppure 4°) senza indagare eccessivamente la “zona di stallo”, dove la convergenza del calcolo

iterativo diventa critica (ed anche i dati sperimentali potrebbero diventare incerti).

Si dovranno confrontare in una tabella l’angolo di portanza nulla, la pendenza della retta di

portanza ed il valore minimo del CD. Si richiede inoltre di riportare nella polare (o in apposito

grafico) la scomposizione del CD totale nei due contributi di pressione e di attrito.

2) Per almeno per almeno tre angoli di incidenza, ritenuti i più significativi, devono essere inclusi

nella relazione anche i grafici che forniscono l’andamento del coefficiente di pressione e quelli che

forniscono il corrispondente andamento del coefficiente di attrito.

3) Si suggerisce di completare lo studio valutando anche altre caratteristiche degli strati limite, in

particolare la posizione della transizione, sul ventre e sul dorso del profilo e quella di un eventuale

separazione, riportandone gli andamenti in funzione dell’angolo di incidenza.

4) E’ lasciata libertà agli allievi, che desiderassero approfondire l’argomento l’aggiunta in appendice di altri

grafici: (ad esempio riguardanti il Cm-Alfa, la posizione del centro aerodinamico del centro di pressione,

ecc). Altri studi potrebbero considerare variazioni del numero di Reynolds oppure l’influenza del fattore N

nel calcolo della transizione, la determinazione del Mach critico, ecc.. Si potranno allegare tabelle e calcoli

di confronto (per esempio ottenuti con altri programmi, in particolare quelli di propria realizzazione)

considerazioni, studi ed osservazioni personali, commenti ed infine anche eventuali sperimentazioni,

eseguite appositamente al Clasd. Tutte queste attività sono da ritenere facoltative e non devono precludere

quelle obbligatorie

Si raccomanda di preparare la relazione (che sarà consegnata in formato elettronico insieme alle

altre prima dell'esame) cercando il miglior compromesso tra sintesi e completezza, privilegiando ordine e concisione. L’elaborato sarà esaminato in sede di esame orale e contribuirà alla valutazione finale: lo studente dovrà essere in grado di discutere l’intera relazione, incluse le parti facoltative e quelle “svolte dagli altri compagni” (se non dichiarate tali) senza incertezze o dubbi.

Marco-AspireOne

Textbox

CARUGATI

Marco-AspireOne

Textbox

MARCO

Marco-AspireOne

Textbox

743476

Marco-AspireOne

Textbox

CODA

Marco-AspireOne

Textbox

MATTEO

Marco-AspireOne

Textbox

741620

Marco-AspireOne

Textbox

GENTILE

Marco-AspireOne

Textbox

FEDERICO

Marco-AspireOne

Textbox

799504

Marco-AspireOne

Textbox

4418

Marco-AspireOne

Textbox

Calcolo viscoso del profilo alare NACA 4418

Marco Carugati, Matteo Coda, Federico Gentile

Gennaio 2013

1

Elaborato 1 - Calcolo viscoso

Calcolo viscoso del profilo alare NACA 4418

Sommario

La presente relazione ha lo scopo di mostrare sinteticamente i risul-tati dell’analisi del profilo NACA 4418, presentato in Figura 1. Tra-mite l’utilizzo del software XFoil si sono eseguiti i calcoli nelle condi-zioni di flusso non viscoso e viscoso (a due differenti numeri di Rey-nolds) per poter instaurare un confronto tra le grandezze maggior-mente significative, sfruttando anche la disponibilita di alcuni datisperimentali.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x/C

NACA−4418

Figura 1: Profilo NACA 4418

Tabella 1: Caratteristiche geometriche del profilo in esame

M (ordinata massima della linea media) 4% della corda c

P (posizione di M lungo l’ascissa x) 40% della corda c

SS (valore massimo della distribuzione di spessore) 18% della corda c

2


Indice

1 Coefficienti di portanza e di resistenza 4

1.1 Coefficiente di portanza CL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Coefficiente di resistenza CD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Polare del profilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Altri parametri significativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Coefficienti di pressione e di attrito 11

2.1 Coefficiente di pressione CP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Coefficiente d’attrito CF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Analisi della transizione 20

Appendice 22

a) Coefficiente di momento CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

b) Determinazione del centro di pressione . . . . . . . . . . . . . . . 23

Bibliografia 26

3


1 Coefficienti di portanza e di resistenza

Come dichiarato nel sommario, il calcolo dei coefficienti aerodinamici e ditutti i risultati successivi e stato effettuato (naturalmente solo per quantoconcerne il caso viscoso) a due diversi numeri di Reynolds: un primo pari aRe1 = 200000, per cui gli effetti viscosi sono piu rilevanti, e un secondo fissatoinvece a Re2 = 6000000; quest’ultimo in particolare rappresenta meglio lecondizioni tipiche delle correnti aeronautiche.

1.1 Coefficiente di portanza CL

Come primo caso analizzato si sono prese in considerazione le condizionidi fluido ideale, cioe per il quale la viscosita µ e assunta trascurabile; diconseguenza tutti i fenomeni viscosi non possono essere osservati mediantequesto tipo di analisi. Si tratta comunque di una discreta approssimazionedella situazione reale se si considerano solamente angoli di incidenza ridotti,ben lontani dalla zona di stallo.

−10 −5 0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Lift Coefficient CL (inviscid flow)

angle of attack α [deg]

CL

Figura 2: Grafico della curva CL-α nel caso non viscoso

4


Come e visibile in Figura 2, il coefficiente di portanza ha un andamentoperfettamente lineare lungo tutto l’intervallo di angoli di incidenza conside-rati, che spaziano tra -6◦ e 16◦. Inoltre e evidente che, essendo il profilo nonsimmetrico, ad un angolo α nullo corrisponde un CL diverso da zero.

Dal momento che ad elevati angoli di incidenza i fenomeni viscosi (quali laseparazione del flusso) diventano non trascurabili e rilevanti per il calcolo delCL, si rende necessaria l’introduzione di un modello viscoso che permetta diosservare l’incorrere dello stallo.

Per primo caso, come gia affermato in precedenza, si e analizzato il pro-filo immerso in una corrente con Re1 = 200000. I risultati sono espressi inFigura 3.

−10 −5 0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Lift Coefficient CL comparison

α [deg]

CL

inviscid flowviscous flow, Re=200000

Figura 3: Confronto tra i grafici delle curve CL-α nei casi non viscoso e viscosoa Re1 = 200000

Come previsto, la corrispondenza e buona solo per angoli di incidenza ridotti:gia per α ≈ 8◦ lo scostamento tra i CL calcolati nei due casi e tutt’altroche trascurabile. Si puo notare che lo stallo si verifica in maniera graduale

5


e piu ’dolce’ rispetto a profili piu sottili, con una diminuzione di pendenzaprogressiva a partire da α ≈ 5◦ che culmina nello stallo vero e proprio intornoad α = 14◦.

In modo analogo si sono ottenuti i risultati per un numero di Reynolds piuelevato, pari a Re2 = 6000000; in accordo con il significato fisico di taleparametro adimensionale, ci si aspetta che i fenomeni viscosi siano menorilevanti rispetto al caso precedente (Re1 = 200000) e che quindi lo stallosia posticipato. Per questo valore di Re sono disponibili anche alcuni datisperimentali.1

−10 −5 0 5 10 15 20−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Lift Coefficient CL comparison

α [deg]

CL

inviscid flowviscous flow, Re=6000000experimental data, Re=6000000

Figura 4: Confronto tra i grafici delle curve CL-α nei casi non viscoso, viscosoa Re2 = 6000000 e sperimentale

Osservando la Figura 4, si ha la conferma delle previsioni fatte: ad α = 16◦

lo stallo non e ancora avvenuto, diversamente dal caso precedente a Re1 =200000 in cui allo stesso angolo di incidenza la curva CL-α presentava gia la

1Tali dati sono stati ottenuti mediante una digitalizzazione dei grafici presenti nelNACA Report no.824 (per ulteriori dettagli si veda la fonte [1] riportata in bibliografia).

6


pendenza negativa tipica della zona post-stallo. Inoltre, si verifica nuovamenteche l’analisi non viscosa e una buona approssimazione del caso viscoso soloper angoli ridotti. Si puo anche notare che il valore massimo del CL nellecondizioni a Re2 = 6000000 e piu elevato rispetto a quello calcolato peril flusso a Re1; essendo CLmax legato alla separazione del flusso (che e unfenomeno imputabile agli effetti viscosi), questo fatto e giustificato ancorauna volta dal significato fisico di Re.

Per quanto riguarda il confronto con i dati sperimentali si ha una corrispon-denza accettabile con l’analisi viscosa di XFoil fino ad α ≈ 10◦: oltre talevalore si ha una pessima concordanza, sia dal punto di vista qualitativo cheda quello prettamente numerico; infatti, secondo l’analisi sperimentale ope-rata dalla NACA, lo stallo avviene gia ad α ≈ 14◦. Avendo a disposizioneun’unica fonte per i dati sperimentali, non e possibile affermare con certezzase queste differenze cosı significative siano da imputare ad errori compiuti du-rante l’analisi in galleria del vento o ad inaccuratezze nel metodo numericoutilizzato dal software XFoil. Ad ogni modo e stato segnalato che i risultatiottenuti sperimentalmente dalla fonte sopracitata tendono generalmente asottostimare il valore massimo del CL.

1.2 Coefficiente di resistenza CD

Approcciandosi al calcolo del CD, e fondamentale precisare che tale coeffi-ciente, come del resto anche la resistenza stessa, perde di significato nel casoin cui si consideri un profilo alare immerso in un flusso non viscoso; infatti inqueste condizioni e dimostrabile che la forza netta in direzione parallela allavelocita della corrente e nulla (si tratta del celebre paradosso di D’Alembert).Poiche gli effetti viscosi sono stati assunti trascurabili, non si ha ne resistenzadi attrito (dovuta agli sforzi tangenziali sulla superficie) ne resistenza di pres-sione (dovuta alla separazione del flusso); di conseguenza nel seguito il casonon viscoso non verra considerato ai fini della valutazione della resistenza.Per quanto concerne i due casi viscosi, ci si aspetta che nelle condizioni aRe2 = 6000000 gli effetti viscosi siano meno rilevanti e che quindi il coeffi-ciente di resistenza sia globalmente minore rispetto alla situazione in cui ilnumero di Reynolds e Re1 = 200000.

In Figura 5 e riportato il grafico del CD nei casi considerati, includendoanche le curve relative ai soli contributi di pressione (che costituiscono laresistenza di forma). In accordo con quanto precedentemente ipotizzato, perogni α il CD complessivo a Re1 e piu elevato rispetto a quello calcolato perRe2. Si puo anche osservare come ad alti angoli di incidenza il contributo di

7


pressione sia fortemente preponderante paragonato al contributo di attritoviscoso: questo fatto e dovuto alla separazione del flusso che, manifestandosiin modo sempre piu evidente al crescere di α, modifica la distribuzione dipressione sul dorso e in particolare aumenta la componente di resistenzaottenuta tramite l’integrazione della pressione stessa lungo il contorno delprofilo.

−10 −5 0 5 10 15 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Drag Coefficient CD

comparison

α [deg]

CD

total drag coefficient, Re=200000pressure drag coefficient C

Dp, Re=200000

total drag coefficient, Re=6000000pressure drag coefficient C

Dp, Re=6000000

Figura 5: Confronto tra i grafici delle curve CD-α nei due casi viscosi

1.3 Polare del profilo

Nella Figura 6 e presentato il grafico di confronto tra le polari, ancora unavolta per i due casi viscosi a Re1 e Re2; per le condizioni a Re2 sono nuova-mente disponibili i dati sperimentali della NACA. Si osserva che, a parita diCL, il CD a Re2 risulta essere minore, coerentemente con quanto affermatonei paragrafi precedenti.

Per quanto riguarda il confronto con i dati sperimentali, si nota che solo perbassi valori di CL l’analisi numerica e l’analisi in galleria forniscono risultati

8


simili. Al contrario, al crescere del coefficiente di portanza, la corrispondenzatra le due curve e piuttosto scarsa: infatti in Figura 4 si era gia riscontratauna discordanza notevole tra gli andamenti di CL-α in prossimita dello stallo.

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035−0.5

0

0.5

1

1.5

2Profile Drag Polar comparison

CD

CL

Re=200000Re=6000000experimental data, Re=6000000

Figura 6: Confronto tra i grafici delle polari nei casi viscosi e sperimentale

1.4 Altri parametri significativi

Nella tabella presentata di seguito sono raccolti alcuni parametri significativiemersi durante lo svolgimento dell’analisi che puo essere utile analizzare piu afondo. In particolare si tratta dell’angolo di portanza nulla α0, della pendenzaCL/α del tratto lineare della curva del coefficiente di portanza e del valoreminimo CDmin del coefficiente di resistenza.2

2α0 e stato calcolato direttamente con XFoil tramite il comando cl 0; CL/α e statoottenuto considerando una media dei coefficienti angolari calcolati tra due punti successividel tratto lineare delle curve; CDmin si e invece ricavato estraendo il valore minimo delCD dalle polari.

9


Tabella 2: Confronto tra alcuni parametri significativi

Analisi non viscosa Analisi viscosa Analisi viscosa Dati sperimentali(Re1 = 200000) (Re2 = 6000000) (Re = 6000000)

α0 -4.211◦ -4.250◦ -4.186◦ -4.000◦

CL/α 7.209 rad−1 6.259 rad−1 6.487 rad−1 5.603 rad−1

CDmin - 0.0127 0.0062 0.0070

Come e possibile notare dai dati presentati nella Tabella 2, l’angolo di por-tanza nulla α0 assume valori simili in tutti i casi considerati; non a caso,essendo molto ridotto, esso si trova nel tratto lineare della curva CL-α in cuigli effetti viscosi non hanno una particolare influenza sul CL, anche in casodi sensibili variazioni del numero di Reynolds.

Per quanto riguarda i valori di CL/α, si puo ricordare che in base alla teoriadei profili sottili esso ha un valore di 2π rad−1; tuttavia il profilo in esameha uno spessore piuttosto elevato, che lo rende poco adatto ad essere mo-dellato tramite tale approccio analitico. Ad ogni modo, a scapito di quantoappena detto, si puo constatare che per i due casi viscosi analizzati la pen-denza e abbastanza in accordo con la teoria dei profili sottili; al contrario neicasi inviscido e sperimentale si riscontra un errore nei confronti della teoriarispettivamente del 14.8% e del 10.8%.

Come gia espresso in precedenza, il calcolo del CD nel caso non viscoso perdedi significato. E possibile invece trovare un ulteriore conferma della diminu-zione del CDmin all’aumentare del numero di Reynolds: infatti, in base alladefinizione di tale numero adimensionale, un Re elevato implica che le forzeinerziali sono predominanti sugli effetti viscosi. Inoltre si ha una buona cor-rispondenza tra il valore numerico calcolato tramite XFoil nel caso viscoso aRe2 = 600000 e il valore sperimentale ottenuto dalla NACA nelle medesimecondizioni.

10


2 Coefficienti di pressione e di attrito

Per le analisi che seguono si sono presi in considerazione tre diversi angoli diincidenza ritenuti significativi: α1 = 0◦, α2 = 6◦ e α3 = 12◦. Tali valori sonostati scelti in modo da poter analizzare il comportamento del profilo lungotutto lo spettro di angoli di interesse aeronautico, senza avvicinarsi troppoalla zona di stallo dove il metodo utilizzato da XFoil evidenzia i propri limiti edove, come si e visto, i risultati numerici possono differire in maniera notevoleda quelli sperimentali disponibili.

2.1 Coefficiente di pressione CP

Grazie alla definizione del coefficiente di pressione:

CP =P − P∞12ρV 2∞

(1)

e possibile fare alcune considerazioni sugli andamenti della velocita e dellapressione lungo il profilo.

Inoltre, solamente nel caso di flusso non viscoso, applicando il teorema diBernoulli nel caso stazionario3 si giunge alla seguente espressione, che legadirettamente il CP alla velocita locale v:

CP = 1− v2

V 2∞

(2)

In Figura 7 si ha la distribuzione del CP per il primo angolo di incidenza con-siderato, α1 = 0◦, in funzione dell’ascissa x normalizzata rispetto alla cordac. In prossimita di x/c = 0 si trova il punto di ristagno, in cui la velocita v enulla e il CP e unitario.4 Da qui, sul dorso si verifica una repentina diminu-zione di pressione, fino a raggiungere un valore minimo intorno al 25% della

3In realta non e sufficiente l’ipotesi di flusso non viscoso per poter introdurre il teoremadi Bernoulli: solo se la densita ρ e costante e se il campo di moto e irrotazionale e stazionariosi puo ottenere la consueta espressione del teorema:

P

ρ+v2

2= cost

Si noti che l’ipotesi di irrotazionalita garantisce che la risultante degli sforzi viscosi sianulla anche in caso di viscosita µ 6= 0: pertanto, a rigore, il teorema e applicabile anche aflussi viscosi purche valga ω = 0.

4Ad essere precisi, il CP e pari a uno solo se valgono le citate ipotesi del teorema diBernoulli e se di conseguenza il CP e scrivibile nella forma (2). Inoltre il concetto stessodi punto di ristagno perde di significato nel caso in cui il flusso sia viscoso: la condizionedi aderenza impone infatti che sia v = 0 su tutta la superficie del corpo.

11


corda (dove anche il CP e infatti minimo); successivamente il gradiente dipressione diventa positivo, un effetto che si oppone al movimento del fluidoverso valle e che potrebbe provocarne la separazione. Anche sul ventre ini-zialmente la pressione diminuisce, pur senza raggiungere un valore minimoridotto quanto quello raggiunto sul dorso; superato tale punto il gradiente dipressione diventa positivo e, in una precisa posizione lungo il profilo, il CPcambia segno mostrando che la pressione locale e maggiore di quella asintoticaP∞: per α1 = 0◦ questo avviene tra il 52% e il 65% della corda a seconda delcaso analizzato. Essendo la pressione sul ventre mediamente molto maggioredi quella sul dorso, la forza aerodinamica che si ottiene integrando le distri-buzioni di P lungo il profilo avra di conseguenza una componente normalealla direzione del vento incidente che sara portante.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Pressure Coefficient CP ( α=0°)

x/c

Cp

upper surface, Re=200000lower surface, Re=200000upper surface, Re=6000000lower surface, Re=6000000upper surface, inviscid flowlower surface, inviscid flow

Figura 7: Confronto dei CP per α1 = 0◦

E possibile notare un fenomeno interessante nel grafico del CP relativo aRe1 = 200000. Sul dorso, tra il 43% e il 67% della corda, si ha infatti unabolla di separazione: il flusso (inizialmente laminare) si separa a causa del

12


gradiente di pressione avverso; poco dopo tuttavia si ha una transizione instrato limite turbolento, che ha la caratteristica di essere piu energetico diquello laminare. A conseguenza di cio, il flusso si riattacca sul dorso posti-cipando la separazione definitiva della vena fluida. Tali considerazioni risul-teranno piu chiare in seguito all’analisi del coefficiente d’attrito a parete nelparagrafo successivo. Si noti che per Re2 = 6000000 non si ha alcuna bolladi separazione: il flusso e attaccato lungo tutto il profilo, avvicinandosi mag-giormente ai risultati del caso non viscoso (a ulteriore conferma del fatto chea Re elevati gli effetti viscosi sono ridotti).

Nella Figura 8 e riportato il grafico del CP per α2 = 6◦. Come in precedenza,sul dorso si ha una veloce diminuzione di pressione fino ad un minimo, cherisulta essere pero piu vicino al bordo d’attacco e maggiore in valore asso-luto rispetto al caso per α1 = 0◦. Il punto di ristagno si trova sul ventre,leggermente piu a valle se paragonato alla situazione precedente.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


x/c

Cp



In aggiunta, questa volta il CP sul ventre e positivo per quasi tutta la lun-

13


ghezza della corda: questo fatto, unito alla constatazione che la depressionesul dorso e globalmente maggiore, fa sı che la forza di portanza complessivasia piu elevata rispetto alle condizioni di α1 = 0◦. La bolla di separazione,visibile sempre per Re1 = 200000, si verifica piu a monte e precisamente trail 32% e il 52%.

Come ultimo caso, in Figura 9 si ha il confronto per α3 = 12◦: in queste con-dizioni il profilo non si trova ancora in condizioni di stallo, ma si dovrebbeavere gia evidenza di una separazione definitiva del flusso verso il bordo diuscita, almeno per Re1. Si osserva che il picco di depressione si e spostatoulteriormente verso il bordo d’attacco, aumentando sensibilmente in modulo;anche la bolla di separazione migra verso una posizione piu a monte, loca-lizzandosi tra il 18% (punto in cui avviene la prima separazione) e il 33%(luogo in cui il flusso, diventato turbolento, si riattacca).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−5

−4

−3

−2

−1

0

1


x/c

Cp



Di nuovo, poiche la differenza di pressione media tra dorso e ventre e piuelevata rispetto al caso precedente, la forza di portanza risulta maggiore.

14


Riassumendo, all’aumentare dell’angolo di incidenza α, si e osservato che:

1. il punto di ristagno si sposta sempre piu a valle, lungo il ventre;

2. il picco di depressione sul dorso aumenta in modulo e si sposta piu amonte;

3. sul ventre si ha una maggiore sovrapressione, mentre invece sul dorsosi ha una maggiore depressione: cio che ne risulta e un aumento nettodi portanza (ma solo finche non incorre lo stallo);

4. a numeri di Reynolds bassi il flusso laminare separa in modo precoce mai disturbi generatisi causano presto una transizione in flusso turbolento,il quale si riattacca poco piu a valle: si ha cosı una bolla di separazioneche, a parita di Re, tende a spostarsi piu a monte all’aumentare di α;tale fenomeno non si e osservato per Re2, che identifica una correntecon effetti viscosi piu ridotti.

2.2 Coefficiente d’attrito CF

Considerando una corrente viscosa che investe il profilo alare, l’interazionetra fluido e corpo si manifesta in ogni punto come sforzi di pressione (semprenormali alla superficie) e di taglio (diretti come la tangente alla superfi-cie). Questi ultimi, a differenza della pressione, hanno origine unicamentea causa della viscosita e, se integrati lungo il profilo, vanno a costituire lacosiddetta resistenza d’attrito. Come di consueto, e utile introdurre un’adi-mensionalizzazione rispetto alle condizioni asintotiche, in modo da ottenereun coefficiente d’attrito cosı definito:

CF =τw

12ρV 2∞

(3)

Quando la corrente si muove in direzione di un gradiente di pressione avverso,come e il caso di un flusso sul dorso di un profilo alare, si puo incorrere nelfenomeno della separazione: questo si ha quando lo sforzo a parete τw e diconseguenza anche CF si annullano. In base alla definizione di τw:

τw = µ

(∂u

∂y

)y=0

(4)

questo si verifica quando il profilo di velocita nello strato limite u(y) ha unflesso nell’origine.

15


L’andamento di CF per α1 = 0◦ e presentato nella Figura 10. Analizzando ilcaso a Re1 = 200000, si nota che sul dorso si ha una separazione (CF = 0)a circa il 43% della corda: il CF diventa negativo assestandosi su un valorequasi costante. Piu a valle si osserva che la curva comincia pero a cresceree che il CF torna in breve spazio ad essere positivo: l’aumento repentino edovuto ad una avvenuta transizione da strato limite laminare a turbolento(il quale comporta sforzi a parete maggiori), mentre invece il fatto che ilcoefficiente d’attrito sia di nuovo sopra all’asse delle ascisse e un segnaledel riattaccamento della vena fluida. Il fenomeno non e altro che la bolla diseparazione gia vista nel corrispondente grafico del CP in Figura 7.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Skin Friction Coefficient CF ( α=0°)

x/c

Cf

upper surface, Re=200000lower surface, Re=200000upper surface, Re=6000000lower surface, Re=6000000

Figura 10: Confronto dei CF per α1 = 0◦

Da qui, nonostante dopo aver raggiunto un massimo locale la curva diventidecrescente, il CF resta positivo fino al bordo d’uscita e non si ha quindialcuna separazione definitiva del flusso. Sul ventre lo strato limite resta sem-pre aderente alla superficie, essendo la curva del CF sempre localizzata nelprimo quadrante: questo e ragionevole, dato che sulla superficie inferiore lacorrente si muove in direzione di un gradiente di pressione meno severo. Si

16


nota tuttavia la transizione in corrispondenza dell’aumento del coefficiented’attrito a circa il 75% della corda.

Per Re2 = 6000000 non si osserva nessuna separazione; la transizione si ha(sempre osservando il punto in cui CF subisce un aumento improvviso) al42% della corda sul dorso e al 22% sul ventre.

Lo stesso grafico, questa volta per α2 = 6◦, e riportato in Figura 11. Si hala conferma della presenza di una bolla di separazione per Re1 = 200000,gia osservata nel diagramma del CP in Figura 8; come gia detto, essa risultaessere spostata piu a monte rispetto al caso precedente. Si nota anche chela transizione viene anticipata sul dorso (52%), ma sul ventre non avviene:come infatti testimonia la curva, che non presenta nessun brusco aumento diCF , sulla superficie inferiore del profilo lo strato limite resta laminare.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


x/c

Cf



Per la corrente a Re2 = 6000000 non si ha mai separazione; tuttavia latransizione avviene prima rispetto al caso a Re1 e si ha anche sul ventre(appena oltre il 90% della corda).

17


L’ultimo angolo di incidenza considerato e α3 = 12◦, il cui grafico del coeffi-ciente d’attrito a parete e presentato in Figura 12. Di nuovo, a Re1 = 200000,la bolla di separazione si e spostata piu a monte sul dorso; e interessante no-tare che a circa l’85% della corda si ha una separazione definitiva del flusso:cio e un preavviso del fenomeno dello stallo del profilo che, in base alla curvaCL-α gia vista in Figura 3, avviene per α ≈ 14◦. Come in precedenza, sul ven-tre non si ha alcun tipo di separazione e nemmeno la transizione da laminarea turbolento dello strato limite.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


x/c

Cf



Nella Figura 13 viene riportata una schermata di XFoil in cui sono visibili iprofili di velocita nel caso in esame: si puo osservare che in corrispondenzadel punto A il profilo u(y) ha un flesso per y = 0 e, in base alla relazione (4),si ha la separazione. Si noti anche l’inversione della velocita vicino a paretenei punti a valle di A, indice di un flusso gia separato.

18


Figura 13: Separazione sul dorso per α3 = 12◦ (Re1 = 200000)

Per Re2 = 6000000 la corrente sul dorso diventa turbolenta al 9% della corda,non si ha alcuna bolla ma avviene una separazione definitiva a circa il 92%,ossia piu a valle rispetto al caso a Re1 = 200000. Sul ventre il flusso restasempre laminare e attaccato.

19


3 Analisi della transizione

Come si e osservato nei paragrafi precedenti, in alcuni precisi punti lungo ilprofilo si verifica una transizione del regime dello strato limite, che si tra-sforma da laminare a turbolento a causa delle instabilita che nascono nellacorrente. Analizzando i grafici del CF si e anche visto come uno strato tur-bolento, a scapito di coefficienti d’attrito a parete piu elevati, consenta alflusso di rimanere attaccato alla superficie piu a lungo. Di conseguenza, l’ot-tenimento di un moto laminare vicino a parete causa una riduzione dellaresistenza di attrito ma provoca un aumento notevole della componente dipressione, per effetto di una separazione precoce della vena.

Nella Figura 14 e diagrammata la posizione del punto di transizione (sepa-ratamente per dorso e ventre) al variare dell’angolo di incidenza α.

−10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Transition points comparison

α [deg]

x/c


Figura 14: Punti di transizione al variare dell’angolo di incidenza

Si evince che l’andamento generale delle curve e lo stesso per entrambi inumeri di Reynolds: sul dorso il punto di transizione si sposta sempre di

20

Marco

Highlight

Marco

Note

Un flusso più laminare è più incline a separarsi: benchè quindi gli sforzi di attrito siano ridotti, si registra una maggiore resistenza di pressione indotta dalla separazione che avviene più facilmente con lo strato limite laminare.

Marco

Note

RE=2*10^5 DORSO=il punto di transizione si sposta sempre più a monte man mano che alfa aumenta VENTRE=il punto di transizione si sposta sempre di più a valle man mano che l'angolo aumenta. tutavia a circa 2.5° abbiamo una transizione costante sul bordo di uscita, cioè il flusso resta sempre laminare!


piu verso il bordo d’attacco all’aumentare di α; sul ventre al contrario latrasformazione in strato limite turbolento si sposta piu a valle. Analizzandoil primo caso a Re1 = 200000, si nota che per α > 2.5◦ il flusso sul ventreresta sempre laminare; lo stesso avviene a Re2 = 6000000 per α > 7.5◦.

E importante sottolineare che in generale all’aumentare di Re la transizioneviene anticipata: ricordando che uno strato limite turbolento separa piu tardidi uno laminare, si giunge alla conclusione (gia piu volte espressa e compro-vata in altre sezioni) che a Re2 lo stallo avviene per α piu elevati rispettoalle condizioni a Re1.

Inoltre e possibile verificare che i punti di transizione coincidono con quelliestratti nei paragrafi precedenti a partire dai grafici del CF .

21

Marco

Highlight

Marco

Note

Poichè si osserva che a Re più alti la transizione viene anticipata, allora si deduce che la separazione a Re maggiori è più tarda ad avvenire. Pertanto lo stallo a Re maggiori si verifica ad alfa maggiori.


Appendice

a) Coefficiente di momento CM

Il software XFoil fornisce tra i risultati delle analisi anche il coefficiente dimomento riferito al punto posizionato al 25% della corda. Gli andamenti diCM al variare di α, nei tre diversi casi considerati, vengono riportati nellaFigura 15.

−10 −5 0 5 10 15 20−0.16

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

Moment Coefficient CM

comparison (at quarter chord point)

α [deg]

CM

moment coefficient, inviscid flowmoment coefficient, Re=200000moment coefficient, Re=6000000

Figura 15: Confronto tra i grafici delle curve CM -α

Si puo osservare come per i due casi viscosi gli andamenti siano simili, men-tre al contrario il CM calcolato nel caso inviscido mostra un comportamentoradicalmente diverso (nella fattispecie lineare decrescente). Nonostante que-ste notevoli differenze a livello qualitativo, dal punto di vista quantitativo loscostamento tra le curve non e cosı marcato, essendo inoltre i valori in giocomolto ridotti.

22


b) Determinazione del centro di pressione

Per definizione, il centro di pressione e il punto di applicazione della forzaaerodinamica: cio implica necessariamente che il momento dovuto alla forzastessa, se preso come polo di riferimento tale punto, e nullo.

Per poter calcolare analiticamente la sua posizione, poiche sono noti il coef-ficiente di momento riferito a c

4e il coefficiente di portanza, si puo sfruttare

un trasporto dei momenti:

~MP ≡ 0 = ~Mc/4 +(~xc/4 − ~xP

)× ~L (5)

in cui con il pedice P si sono indicate le grandezze relative al centro dipressione.5

Figura 16: Localizzazione del centro di pressione P

Scrivendo l’equazione in una piu semplice forma scalare si ha:

0 = Mc/4 +∥∥∥xc/4 − xP ∥∥∥ · L (6)

Svolgendo poi i passaggi e adimensionalizzando rispetto alla corda c si puoottenere l’espressione:

ξP = 0.25− CMCL

(7)

5A rigore, in luogo della portanza L (la quale e la componente della forza aerodinamicain direzione normale al vento incidente), sarebbe corretto utilizzare la forza N (ossia lacomponente normale alla corda); poiche tuttavia l’analisi considera solo angoli di inci-denza piccoli, per questo calcolo e lecito confondere L con N senza commettere un errorerilevante.

23

Marco

Highlight

Marco

Note

Espressione della posizione del centro di pressione dipendente dal Cl....per alfa0 avremo una migrazione a valle a -infinito perchè Cl=0 in quelle situazioni.....


in cui per semplicita di notazione si e chiamato CM il coefficiente di momentoaerodinamico riferito al quarto di corda, il quale (al pari di CL) e un datoricavabile dalle analisi di XFoil.

Per la costruzione del diagramma in Figura 17 e stata calcolata mediantequesta procedura la posizione adimensionale di P al variare di α.

−10 −5 0 5 10 15 20−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5Centre of pressure position

α [deg]

Cen

tre

of p

ress

ure

posi

tion

[x/c

]

inviscid flowRe=200000Re=6000000

Figura 17: Posizione ξP del centro di pressione

Le tre curve risultano quasi sovrapposte: a partire da α = −6◦, per cuiP si trova poco davanti al bordo d’attacco, il centro di pressione si spostasempre piu a monte nel flusso fino ad α ≈ −4.2◦, dove si ha una discontinuitae P migra istantaneamente molto a valle del profilo. La causa di questocomportamento e da imputare al CL: infatti, ricordando i dati riportati nellaTabella 2, si nota che in corrispondenza di tale angolo si ha portanza nullae quindi teoricamente il centro di pressione si sposta all’infinito.

Aumentando ancora α, la posizione di P (ora a valle del profilo) avanzasempre di piu verso il bordo d’attacco avvicinandosi asintoticamente ad un

24

Marco

Highlight

Marco

Highlight


punto situato tra il 25% e il 30% della corda, come risulta piu chiaro da uningrandimento della Figura 17 presentato in Figura 18.

−2 0 2 4 6 8 10 12 14

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Centre of pressure position (zoom)

α [deg]

Cen

tre

of p

ress

ure

posi

tion

[x/c

]

inviscid flowRe=200000Re=6000000

Figura 18: Posizione ξP del centro di pressione (ingrandimento)

25


Bibliografia

[1] I.H. Abbott, A.E. von Doenhoff, L.S. Stivers Jr.: NACA Report no.824:Summary of Airfoil Data, Langley Field, 1945

[2] J.D. Anderson Jr.: Fundamentals of Aerodynamics, McGraw-Hill, NewYork, 5th edition, 2011

[3] E.L. Houghton, P.W. Carpenter: Aerodynamics for Engineering Stu-dents, Butterworth-Heinemann, Oxford, 5th edition, 2003

[4] M. Drela: XFOIL: An Analysis and Design System for Low ReynoldsNumber Airfoils (estratto da Lecture Notes in Engineering #54: LowReynolds Number Aerodynamics), Springer Verlag, 1989

26

Documents

Relazione 1 - Calcolo Viscoso