-
8/13/2019 Relqm Appa
1/8
C h a p t e r 1 5
A p p e n d i x A : T h e M a n d e l s t a m
V a r i a b l e s
I n C h a p t e r 2 . 2 w e a l r e a d y e n c o u n t e r e d
d i e r e n t i n v a r i a n t k i n e m a t i c a l q u a n t i t
i e s . W e
g e n e r a l i z e F i g . 2 . 2 . 1 i n s o f a r t h a t w e
l e a v e o p e n w h i c h p a r t i c l e s a r e i n c o m i n g
a n d w h i c h
o u t g o i n g . T h u s w e c o n s i d e r t h e k i n e m a
t i c s i t u a t i o n g i v e n i n F i g . A . 1 .
tu
s
p p
p p
mm
1 2
21
12
F i g u r e A . 1 D e n i t i o n o f s ; t ; u .
8 4
-
8/13/2019 Relqm Appa
2/8
I n t h e d i s c u s s i o n o f C h a p t e r 2 . 2 , w e a l
r e a d y d e n e d s a n d t a n d f o u n d t h e m t o b e u s e
f u l
v a r i a b l e s . H e r e w e d e n e a t h i r d , u , a l t
h o u g h a l l t h r e e , s ; t ; u , a r e n o l o n g e r i n d
e p e n d e n t .
s = p
1
+ p
2
2
= p
0
1
+ p
0
2
2
= , p
1
+ p
2
p
0
1
+ p
0
2
t = p
1
+ p
0
1
2
= p
2
+ p
0
2
2
= , p
1
+ p
0
1
p
2
+ p
0
2
= 2 m
2
1
+ p
1
p
0
1
= 2 m
2
2
+ p
2
p
0
2
u = p
1
+ p
0
2
2
= p
2
+ p
0
1
2
= , p
1
+ p
0
2
p
2
+ p
0
1
1 5 . 1
T h e p h y s i c a l s i g n i c a n c e o f t h e s e v a r i
a b l e s c a n b e e x p r e s s e d i n t w o w a y s :
a s i s t h e s q u a r e o f t h e c : m : e n e r g y i f
p
1
a n d p
2
o r p
0
1
a n d p
0
2
a r e i n c o m i n g .
t i s t h e s q u a r e o f t h e c : m : e n e r g y i f p
1
a n d p
0
1
o r p
2
a n d p
0
2
a r e i n c o m i n g .
u i s t h e s q u a r e o f t h e c : m : e n e r g y i f p
1
a n d p
0
2
o r p
2
a n d p
0
1
a r e i n c o m i n g .
T h i s i s a r a t h e r a r t i c i a l d e s c r i p t i o n
i s d e n e d b y a n o t h e r p r o c e s s . T h e t h r e e p r
o c e s s e s ,
i n w h i c h s ; t ; u a r e t h e s q u a r e d c : m : e n e
r g i e s a r e c a l l e d t h e " s ; t ; u c h a n n e l , " r e
s p e c t i v e l y .
E x a m p l e : L e t p
1
; m
1
d e s c r i b e a p i o n , a n d p
2
; m
2
a n u c l e o n , t h e n :
s , c h a n n e l m e a n s : : + N , ! + N
: +
N , ! +
N
t , c h a n n e l m e a n s : : + , ! N +
N
: N +
N , ! +
u , c h a n n e l m e a n s : : + N , ! + N
: +
N , ! +
N 1 5 . 2
b I f o n e d e s c r i b e s t h e m e a n i n g o f s ; t ; u
i n a d e n i t e p r o c e s s , e . g . , t h e s - c h a n n e l
, t h e n
s i s t h e s q u a r e d c : m : e n e r g y .
t i s t h e s q u a r e d f o u r - m o m e n t u m t r a n s f
e r . I n p a r t i c u l a r , i t r e d u c e s t o t h e s q u a
r e d
t h r e e - m o m e n t u m t r a n s f e r i n t h e B r e i t
s y s t e m .
u h a s n o s i m p l e p h y s i c a l m e a n i n g , s i n c
e t h e r e i s n o L o r e n t z s y s t e m w h e r e i t r e d u
c e s t o
a n y t h i n g o b v i o u s .
A s s ; t ; u a r e n o t i n d e p e n d e n t , i t f o l l o
w s f r o m 1 5 . 1 t h a t
s + t + u = 4 m
2
1
+ 2 m
2
2
+ 2 p
1
p
2
+ p
0
2
+ p
0
1
8 5
-
8/13/2019 Relqm Appa
3/8
= 2 m
2
1
+ 2 m
2
2
: 1 5 . 3
L e t u s a n t i c i p a t e t h e n o t i o n o f a s c a t t
e r i n g a m p l i t u d e , i . e . , t h e c o m p l e x f u n c
t i o n w h i c h
c o m p l e t e l y d e s c r i b e s t h e s c a t t e r i n g
p r o c e s s . I t w i l l b e a f u n c t i o n o f t w o v a r i
a b l e s , b u t c a n
b e w r i t t e n a s f u n c t i o n o f s ; t ; a n d u h a v
i n g i n m i n d t h a t o n e o f t h e m i s r e d u n d a n t ,
i . e . ,
T s ; t ; u s c a t t e r i n g a m p l i t u d e : 1 5 . 4
O n e c a n p r o v e , i n d e p e n d e n t o f p e r t u r b
a t i o n t h e o r y , t h a t t h i s f u n c t i o n i s a n a n
a l y t i c
f u n c t i o n o f a n y t w o o f t h e v a r i a b l e s i f
t h e s e a r e c o n s i d e r e d t o b e c o m p l e x . T h e r
e a r e t h e n
c e r t a i n d o m a i n s i n t h e c o m p l e x s t o r s u
o r t u p l a n e , i n w h i c h t h e s e v a r i a b l e s b e c
a m e
r e a l a n d h a v e " p h y s i c a l " m e a n i n g . T h e
s e r e g i o n s a r e d i s c o n n e c t e d a n d b e l o n g t
o d i e r e n t
p h y s i c a l p r o c e s s e s . T h a t T s ; t ; u i s a n
a n a l y t i c f u n c t i o n o f a n y t w o c o m p l e x v a r
i a b l e s
o u t o f s ; t ; u m e a n s t h a t t h e " p h y s i c a l s
c a t t e r i n g a m p l i t u d e " i s t h e b o u n d a r y v a
l u e o f
t h a t g e n e r a l f u n c t i o n w h e n s ; t ; u t a k e
o n p h y s i c a l v a l u e s . I n o t h e r w o r d s , t h e "
p h y s i c a l
s c a t t e r i n g a m p l i t u d e " i s o b t a i n e d i n
a n y c h a n n e l f r o m t h e g e n e r a l f u n c t i o n s i
m p l y b y
s p e c i a l i z i n g t o t h e " p h y s i c a l v a l u e s
" o f s ; t ; u f o r t h a t c h a n n e l .
H e r e w e s h a l l n o t g o i n t o t h e " a n a l y t i c
a l s t r u c t u r e o f t h e s c a t t e r i n g a m p l i t u d
e , " b u t o n l y
e x p l a i n t h e g r a p h i c a l r e p r e s e n t a t i o
n o f t h e v a r i a b l e s s ; t ; u a n d e x h i b i t t h e i
r " p h y s i c a l
r e g i o n s . "
L e t u s c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t r i a n g l
e ,
g
g
gb
c
a
Pc
a
b
F i g u r e A . 2 G e o m e t r i c C o n s i d e r a t i o n
.
8 6
-
8/13/2019 Relqm Appa
4/8
a n d r e m e m b e r f r o m e l e m e n t a r y g e o m e t r
y t h a t i f f r o m a n y p o i n t p t h e t h r e e d i s t a n
c e s
G
a
; G
b
; G
c
t o t h e s i d e s a ; b ; c a r e t a k e n , t h e n
a G
a
+ b G
b
+ c G
c
= a h
a
= b h
b
= c h
c
= 2 F ; 1 5 . 5
w h e r e F d e n o t e s t h e s u r f a c e o f t h e t r i a
n g l e . H e r e h
a
; h
b
; h
c
a r e t h e t h r e e h e i g h t s p e r p e n -
d i c u l a r o n a ; b ; c , r e s p e c t i v e l y . T a k i
n g c h
c
a n d d i v i d i n g b y c g i v e s
a
c
G
a
+
b
c
G
b
+ G
c
= h
c
: 1 5 . 6
I f w e c o m p a r e t h i s w i t h 1 5 . 6 , w e s e e t h a
t w e c a n i d e n t i f y
a
c
G
a
: = u ;
b
c
G
b
: = s ; G
c
= t ; h
c
= 2 m
2
1
+ 2 m
2
2
1 5 . 7
t o h a v e t h e r e l a t i o n b e t w e e n s ; t ; u f u l
l l e d . T h u s a n y t h r e e c o o r d i n a t e a x e s i n t
e r s e c t i n g
s u c h t h a t t h e y f o r m a t r i a n g l e w i t h h
c
= 2 m
2
1
+ 2 m
2
2
c a n s e r v e t o r e p r e s e n t s ; t ; u i n
a p l a n e . O f c o u r s e , o n e c h o o s e s p a r t i c
u l a r t r i a n g l e s , w h e r e t h e r e p r e s e n t a t i
o n b e c o m e s
s i m p l e . T h e b e s t c h o i c e s e e m s t o b e a = b
= c ; h = 2 m
2
1
+ 2 m
2
2
. T h i s i s v e r y
s y m m e t r i c a l b u t h a s o n e d i s a d v a n t a g e
: T h e b o u n d a r i e s o f t h e " p h y s i c a l r e g i o n
s " w i l l b e
g i v e n i n f o r m o f e q u a t i o n s b e t w e e n s a n
d t .
8 7
-
8/13/2019 Relqm Appa
5/8
u=0
t=0
s=0
t=4m
u=4m
s=4m2
2
2
s
t
u
t
su
F i g u r e A . 3 P h y s i c a l r e g i o n s o f s ; t ; u c
h a n n e l s i n s y m m e t r i c a l r e p r e s e n t a t i o n
f o r m
1
= m
2
.
E v e r y p o i n t i n t h e p l a n e s a t i s e s s + t + u
= 4 m
2
.
T h e c u r v e s a r e a c t u a l l y e a s i e r t o d r a w
i n a r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s y s t e m , a n d
w e c h o o s e
b = c =
a
p
2
= h = 2 m
2
1
+ m
2
2
.
8 8
-
8/13/2019 Relqm Appa
6/8
t=0
s=0u=0
t
su
u
s
t
4m
4m
u=4m
2
2
2
F i g u r e A . 4 P h y s i c a l r e g i o n s o f s ; t ; u c
h a n n e l s i n t h e c a r t e s i a n s t - p l a n e f o r
m
1
= m
2
. E v e r y
p o i n t i n t h e p l a n e s a t i s e s s + t + u = 4 m
2
. N o t e t h a t t h e u n i t a l o n g t h e u a x i s i s s
m a l l e r b y
a f a c t o r
1
p
2
c o m p a r e d t o t h e t a n d s a x i s .
W e n o w n d t h e " p h y s i c a l r e g i o n " o f s ; t ;
u i n t h e t h r e e p o s s i b l e c h a n n e l s o f F i g . A
. 4 .
8 9
-
8/13/2019 Relqm Appa
7/8
p p p p p p
pppppp
1 2 1 2 1 2
1 22121
s-channel t-channel u-channelF i g u r e A . 5 T h e t h r e e d
i e r e n t c h a n n e l s .
F o r m
1
6= m
2
t h e r e i s o n e s y m m e t r y , n a m e l y t h a t t i s
t h e m o m e n t u m t r a n s f e r i n b o t h ,
t h e s a n d t h e u c h a n n e l . I t c a n t h u s b e e x
p e c t e d t h a t t h e p h y s i c a l r e g i o n s i n t h e s
a n d
u c h a n n e l s m a p o n e a c h o t h e r i f s a n d u a r
e i n t e r c h a n g e d . T h i s i s t h e f a m o u s c r o s s
i n g
s y m m e t r y .
I f t h e m a s s e s a r e e q u a l m
1
= m
2
, t h e n t h e r e i s m o r e s y m m e t r y :
G o i n g f r o m s t o t c h a n n e l ! u k e e p s i t s m e
a n i n g .
G o i n g f r o m s t o u c h a n n e l ! t k e e p s i t s m e
a n i n g .
G o i n g f r o m t t o u c h a n n e l ! s k e e p s i t s m e
a n i n g .
T h e p h y s i c a l r e g i o n s a r e , t h e r e f o r e ,
m a p p e d o n e a c h o t h e r i f o n e
a i n t e r c h a n g e s s $ t a n d k e e p s u .
9 0
-
8/13/2019 Relqm Appa
8/8
b i n t e r c h a n g e s s $ u a n d k e e p s t .
c i n t e r c h a n g e s t $ u a n d k e e p s s .
T h e s e a r e i n t h e s y m m e t r i c a l r e p r e s e n
t a t i o n o f F i g . A . 2 , t h e r e e c t i o n s o f t h e e
n t i r e
p l a n e w i t h r e s p e c t t o t h e t h r e e s y m m e t
r y a x e s o f t h e b a s i c t r i a n g l e A B C . I n F i g .
A . 3
t h e d i e r e n t s c a l e a l o n g t h e a x e s m a k e s
t h e g u r e a p p a r e n t l y l e s s s y m m e t r i c , b u t
o n e c a n
e a s i l y t r a n s l a t e t h e p h y s i c a l r e g i o n
s f r o m F i g . A . 2 t o F i g . A . 3 . T h i s s y m m e t r y
a l l o w s t o
d i s c u s s t h e s - c h a n n e l o n l y . A l l c o n s i
d e r a t i o n s h e r e a r e r e s t r i c t e d t o t h e c a s
e m
1
= m
2
.
W e h a v e i n t h e s - c h a n n e l c : m : s y s t e m
:
s = p
1
+ p
2
2
= p
0
1
+ p
0
2
2
= 2 E
2
= 4 m
2
+ q
2
t = p
0
1
, p
1
2
= p
0
2
, p
2
2
= 2 q
2
c o s
c : m :
, 1 1 5 . 8
w h e r e q i s t h e c : m : m o m e n t u m o f a l l f o u r
p a r t i c l e s . H e n c e , t h e " p h y s i c a l r e g i o n
" i n t h e
s - c h a n n e l i s g i v e n b y
4 m
2
s
t
m i n
t 0
t
m i n
= , 4 q
2
= 4 m
2
, s : 1 5 . 9
W i t h s + t + u = 4 m
2
, o n e n d s s + t
m i n
+ u = 4 m
2
= s + t
m i n
. H e n c e , t h e
b o u n d a r y t
m i n
= 4 m
2
, s i s i d e n t i c a l w i t h t h e l i n e u = 0 . T h e p
h y s i c a l r e g i o n o f t h e
s - c h a n n e l i s , t h e r e f o r e , g i v e n b y t h e
t w o c o n d i t i o n s
t 0
u 0 : 1 5 . 1 0
T h i s r e g i o n i s s h o w n i n F i g s . A . 2 a n d A .
3 s h a d e d a n d m a r k e d b y s . T h e c o r r e s p o n d i
n g
r e g i o n s f o r t h e t w o o t h e r c h a n n e l s f o l
l o w f r o m t h e a b o v e s y m m e t r y c o n d i t i o n s
.
9 1
