Remédiation – Règles de priorité

Nom : ....................................................... Prénom : ....................................................... Classe : .............................

Van In © - Actimath 2 1 Ch. 1 – Règles de priorité

Remédiation – Règles de priorité

Redécouverte des règles de priorité

1) Calculatrice et règles de priorité

Une calculatrice scientifique a effectué les calculs suivants en utilisant une règle interne. Dans quel ordre effectue-t-elle les différentes opérations ? Souligne les différentes étapes.

4 + 5 . 3 = 19 2 . 3 + 5 . 4 = 26

5 . 22 = 20 (5 . 2)2 = 100

2 . (5 + 2)2 = 98 4 + 2 . (4 + 6) = 24

2) Utilité des parenthèses

Démarche a) Des parenthèses indiquent qu'un calcul est prioritaire. Places-en dans les

calculs suivants pour que la réponse soit correcte.

5 + 3 . 2 = 16 5 + 3 . 2 = 11 5 . 3 + 2 = 17

b) Effectue ces calculs à la calculatrice sans introduire les parenthèses et détermine alors celles qui sont inutiles.

c) Recopie les calculs en ne notant que les parenthèses nécessaires.

................................................... ................................................... ...........................................

Fais de même avec les exercices suivants.

4 + 3 . 2 + 8 = 18 4 + 3 . 2 + 8 = 34 4 + 3 . 2 + 8 = 70 ................................................... ................................................... ...................................................

3 . 2 + 5 2 = 31 3 . 2 + 5 2 = 81 3 . 2 + 5 2 = 147

................................................... ................................................... ...................................................

3) Codage et opération principale Chaque phrase a été codée par un calcul et l'opération principale apparaît en gras. Calcule.

la somme de 5 et du produit de 3 par 4 5 + 3 . 4 = ................................................................

le produit de 5 par la somme de 3 et de 4 5 . (3 + 4) = ...............................................................

le double du carré de 5 2 . 52 = .......................................................................



le somme des carrés de 5 et de 3 52 + 32 = .....................................................................

le carré de la somme de 5 et de 3 (5 + 3 )2 = ..................................................................

Utilisation des règles de priorité

Rappel Règle 1 On effectue d'abord les calculs entre parenthèses. Règle 2 On effectue dans l'ordre les puissances, les produits puis les sommes. 1) Utilisation des règles de priorité avec des nombres naturels

5 + 2 . 4 + 3 = .......................................................... (5 + 2) . (4 + 3) = ........................................................

5 . 2 + 4 . 3 = ........................................................... 5 + 2 . (4 + 3) = ............................................................

52 + 43 = ........................................................................ (5 + 2) . 4 +3 = ..............................................................

5 . (2 + 4) . 3 = ....................................................... (5 . 2)4 + 3 = ....................................................................

5. 2 . 4 + 3 = ............................................................. 5 . (4 + 3) . 2= ...............................................................

2) Utilisation des règles de priorité avec des nombres entiers

–3 . 4 + 5 . (–2) = .........................................................................................................................................................................

2 . (–6) – 5 . 4 = ............................................................................................................................................................................

–5 . 4 – 3 . (–4) = ..........................................................................................................................................................................

–5 + (–8) . (–2) = ............................................................................................................................................................................

–7 . (–2) + 5 . 3 = .........................................................................................................................................................................

(5 – 9) . (3 – 7) = .........................................................................................................................................................................

5 – 9 . (3 – 7) = ...............................................................................................................................................................................

5 – 9 . 3 – 7 = ...................................................................................................................................................................................

5 . (–9) + 3 . (–7) = .....................................................................................................................................................................

5 – 9 + 3 – 7 = ...................................................................................................................................................................................

5 . (–2)3 + 2 . (–5)2 = .................................................................................................................................................................

–3 + (–2)5 . 5 – 10 = ....................................................................................................................................................................

2 . (–3)3 + 5 . (–3)2 = ................................................................................................................................................................

–5 + 3 . (–4)3 =..................................................................................................................................................................................



(–5 + 3) . (–4)3 = ............................................................................................................................................................................

2 . (3 + 2)3 = ......................................................................................................................................................................................

(3 – 5)3 . (–2 + 7)2 = ...................................................................................................................................................................

5 + (8 – 4)3 = .....................................................................................................................................................................................

2 – 5 . (2 – 8)2 = ............................................................................................................................................................................

(2 – 5)3 . (2 – 8)2 = ......................................................................................................................................................................

3) Calcul de valeurs numériques a) Calcule mentalement la valeur numérique des expressions proposées.

b) Calcule en écrivant le détail de ton raisonnement.

c) Vérifie à la calculatrice.

d) En cas d'erreur, recommence les points a et b en relisant les règles de priorité.

Nombres naturels Si a = 5, b = 2, c = 3 et d = 4, calcule les expressions ci-dessous.

10a + b = ...................

10 . (a + b) = ..........

10a . b = ....................

10 . ab = ....................

10a + b = ..........................................................................................................................................................

10 . (a + b) = .................................................................................................................................................

10a . b = ............................................................................................................................................................

10 . ab = ............................................................................................................................................................

7b + 6c = ..................

7 . (b + 6c) = .........

(7b + 6) . c = .........

7.(b + 6) .c = .........

7b + 6c = ..........................................................................................................................................................

7 . (b + 6c) = ................................................................................................................................................

(7b + 6) . c = ................................................................................................................................................

7 . (b + 6) . c = ...........................................................................................................................................

a2 . b = ........................

b . c2 = ........................

3 . a3 = ........................

(3 . a)3 = ....................

a2 . b = ................................................................................................................................................................

b . c2 = ................................................................................................................................................................

3 . a3 = ................................................................................................................................................................

(3 . a)3 = ...........................................................................................................................................................



c2d = .............................

8c2 = .............................

a + 2c3 = ....................

c3 (a + 2) = ..............

c2d = .....................................................................................................................................................................

8c2 = .....................................................................................................................................................................

a + 2c3 = ...........................................................................................................................................................

c3 (a + 2) = .....................................................................................................................................................

Nombres entiers Si a = -3 , b = 2, c = -5 et d = -4 , calcule les expressions ci-dessous.

10a + b = ...................

10 . (a + b) = ..........

10a . b = ....................

10 . ab = ....................

10a + b = ..........................................................................................................................................................

10 . (a + b) = .................................................................................................................................................

10a . b = ............................................................................................................................................................

10 . ab = ............................................................................................................................................................

7b + 6c = ..................

7 . (b + 6c) = .........

(7b + 6) . c = .........

7.(b + 6) .c = .........

7b + 6c = ..........................................................................................................................................................

7 . (b + 6c) = ................................................................................................................................................

(7b + 6) . c = ................................................................................................................................................

7 . (b + 6) . c = ...........................................................................................................................................

a2 . b = ........................

b . c2 = ........................

3 . a3 = ........................

(3 . a)3 = ....................

a2 . b = ................................................................................................................................................................

b . c2 = ................................................................................................................................................................

3 . a3 = ................................................................................................................................................................

(3 . a)3 = ...........................................................................................................................................................

c2d = .............................

8c2 = .............................

a + 2c3 = ....................

c3 (a + 2) = ..............

c2d = .....................................................................................................................................................................

8c2 = .....................................................................................................................................................................

a + 2c3 = ...........................................................................................................................................................

c3 (a + 2) = .....................................................................................................................................................



Problèmes et règles de priorité

Achats "multiples"

Enoncé 1 J'achète quatre cahiers et un porte-mine pour la somme de 6 €. Si tu sais que le porte-mine coûte 1 €, détermine le prix d'un cahier.

Directive Donne ta solution par des calculs successifs et séparés (à gauche). Donne ta solution par un calcul comprenant plusieurs opérations (à droite). Dans cette expression, souligne les calculs pour indiquer l'ordre de calcul.

Solution .......................................................

ou ....................................................... .......................................................

Enoncé 2 J'achète ¼ kg de bœuf et 2 cervelas pour le prix de 5,50 €. Si tu sais qu'un cervelas coûte 1,25 €, détermine le prix d'un kg de bœuf.


Solution .......................................................

....................................................... ou .......................................................

.......................................................

Enoncé 3 J'achète un morceau de tissu pour confectionner une nappe, de 1m20 sur 2m, bordée d'un liseré. Si tu sais que le tissu coûte 8 € le m2 et le liseré 1,50 € le mètre courant, détermine le prix de mes achats.


Solution .............................................................

.............................................................

.............................................................. ou ...........................................................................................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

Actimath 2 - Chapitre 1 – Activité 4 p. 11 Actimath 2- Chapitre 1 - Exercices complémentaires - Révisions 4 p. 23 - Série A : 3, 4 p.24

Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : ..................................

Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 6 - Reconnaissance des angles

Remédiation – Reconnaissance des angles

Rappel - Angles formés par des droites sécantes

Dans chaque cas, reconnais le type d'angles et note le bon numéro à côté de chaque dessin. Légende (1) Angles opposés par le sommet

(2) Angles complémentaires (3) Angles supplémentaires

AA A

A A A

Rappel - Angles formés par deux droites parallèles et une sécante

Dans chaque cas, reconnais le type d'angles et note le bon numéro à côté de chaque dessin. Légende (1) Angles alternes internes

(2) Angles alternes externes (3) Angles correspondants

AB

A B



ABA

B

A

B

Rappel - Angles à côtés parallèles Reconnais les angles qui ont leurs côtés respectivement parallèles et dis s'ils ont le même sens ou non.

B

A

A

B

A

B

Exercices 1) Complète les phrases.

o La somme de nos amplitudes vaut 90°, nous sommes des angles ............................................................

o Nous sommes formés par deux droites sécantes et nous avons la même amplitude, nous sommes des angles .....................................................................................................................................................................

o Nous sommes formés par deux droites sécantes et nous n'avons pas la même amplitude, nous sommes des angles .......................................................................................................................................

o Nous sommes formés par deux droites parallèles et une sécante commune et nous sommes situés de part et d'autre de la sécante, nous sommes des angles ................................

o Nous sommes formés par deux droites parallèles et une sécante commune et nous sommes situés à l'intérieur des parallèles, nous sommes des angles ................................................

o Nous sommes formés par deux droites parallèles et une sécante commune, nous sommes situés du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur des parallèles, nous sommes des angles ............................................................................................................................

o Nos côtés sont parallèles et de même sens, nous avons la ...........................................................................



2) Colorie les angles demandés.

2 angles alternes internes aigus

2 angles alternes externes obtus

2 angles supplémentaires de même sommet

2 angles obtus opposés par le sommet

2 angles correspondants aigus

2 angles supplémentaires de sommets différents

3) Complète les phrases en n'utilisant un angle qu'une seule fois.

A B

C

1 1

1

22

2

2

3 34

4

4

33D41

........................ et .................... sont des angles supplémentaires.

........................ et ................... sont des angles opposés par le sommet.

........................ et ................... sont des angles alterne internes.

........................ et ................... sont des angles correspondants.

........................ et ................... sont des angles alternes externes.

........................ et ................... sont des angles à côtés parallèles. Le nouvel Actimath 2 – Chapitre 6 – Activité 1 p. 115 Le nouvel Actimath 2 – Chapitre 6 – Exercices complémentaires Série A : 1 p. 129


Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 5 - Propriétés des puissances

Remédiation - Propriétés des puissances Produit de puissances de même base

Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.

Exemples a3 . a5 = a 3 + 5 = a8 2a2 . 5a4 = (2.5).(a2.a4) = 10.a2+4 = 10 a6

4a . 2a = (4.2).(a1.a1) = 8.a1+1 = 8a2 -2a . 3a2 = (-2.3) . (a1.a2) = -6.a1+2 = -6 a3

Fais de même en notant tous les détails de ta démarche.

a2 . a4 = ................................................................................. 3a . 5a = ......................................................................................

2a3 . 3a2 = .......................................................................... -4a2 . 3a5 = ...............................................................................

2a . 3a5 = ............................................................................. -a . (-3a) = .................................................................................

Puissance d'une puissance

Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.

Exemple (a3)5 = a 3 . 5 = a15


(a5)2 = ........................................... (b3)3 = .............................................. (a3)4 = ......................................................

Puissance d'un produit

Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.

Exemples (3.a)2 = 32 . a2 = 9 a2 (a2.b3)4 = (a2)4 . (b3)4 = a8 b12

(–2.a)3 = (– 2)3 . a3 = – 8 a3 (2.a4)3 = 23 . (a4)3 = 8 a12


(5.x)2 = .................................................................................. (xy3)4 = ................................................................................................

(–3.x)2 = ............................................................................... (3a2)2 = ...............................................................................................

(–2.a)5 = ................................................................................ (-2a4)3 = .............................................................................................

(10.c)3 = ................................................................................ (5ab)3 = ..............................................................................................

(a5.b2)3 = .............................................................................. (3ab4)2 = ............................................................................................



Contrôle des connaissances

Complète l'égalité et énonce la propriété utilisée. (1) a3 . a5 = .......... .................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

(2) (a3)2 = ........... .................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

(3) (a.b)3 = ........... .................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

Reconnais la propriété que tu dois utiliser en notant son numéro entre parenthèses. Ensuite, applique cette propriété afin de donner une écriture simplifiée du calcul.

(……) b3 . b5 = ........................ (……) (ab)4 = ............................ (……) 4a . 5a4 = .................................

(……) a . a2 = ........................... (……) (x3)3 = .............................. (……) (2a)3 = ...........................................

(……) (a2)4 = .............................. (……) 3a2.2a3 = ..................... (……) (b5)2 = ............................................

Exercices

1) Entoure la bonne réponse parmi les trois proposées.

3a3 . 2a2 = 5a6 6a6 6a5 5a . a5 = 6a6 5a6 5a5

4a . 4a4 = 16a5 8a5 16a4 (2ab)3 = 8ab3 6a3b3 8a3b3

(a4)4 = a8 a16 a256 2(a3b)2 = 2a6b2 8a6b2 2a5b2

(5a5)2 = 10a10 25a7 25a10 - a3 . 3a = 2a3 -3a4 2a4

(-4a4)2 = 16a8 -8a8 8a6 -3a . 2a = -a -6a2 -5a

2) Code l'expression, puis, écris-la sans parenthèses.

Le carré de 3a ...................................................................... Le cube de b2 ................................................................... Le cube de 2c ........................................................................ Le cube de 5b2 ...............................................................

Le carré de a5 ........................................................................ Le carré de 3a5 .............................................................



3) Utilise les propriétés des puissances.

Propriété 1 Propriété 3 Propriétés 2 et 3

a3 . a2 = ............................. (ab)4 = ................................... (2a3)4 = ....................................................................

b . b4 = .............................. (2a)4 = .................................. (5a2)3 = ....................................................................

2a5.2a2 = ......................... (-3b)2 = ............................... (2ab2)3 = ................................................................

– 2a3.4a5 = ..................... (–2a)3 = ................................ (-4a2)3 = .................................................................

2a.(–3a4 ) = ................... (–3ab)3 = ............................ (-3ab2)4 = ..............................................................

4) Reconnais la propriété qu’il faut utiliser, puis effectue en notant éventuellement les détails de ton raisonnement.

4a2.5a3 = ............................................................................

(-4a2)3 = .............................................................................

(a4)2 = ...................................................................................

(-4a)2 = ...............................................................................

-4a . 5a2 = ........................................................................

(-10x3)3 = ..........................................................................

(3ab)2 = ..............................................................................

-2a .(-3a) = .....................................................................

(-2x)5 = ....................................................................................

-4 . (a5)2 = .............................................................................

(3a3)3 = ....................................................................................

(-5a2)2 = ..................................................................................

-5a2 . a2 = ...............................................................................

-3 . (a3)2 = .............................................................................

-5a5 . 5a5 = ...........................................................................

(-5a5)3 = ..................................................................................

5) Reconnais la propriété qu’il faut utiliser, puis effectue.

a5 . (-a2) = ..................................... b4 .(-b4) = ........................................... (-2a2).(-a2) = .................................

(-ab)4 = ............................................ (b4)2 = .................................................... (-3a2b)

2 = .........................................

(c3)2 = ................................................ (-2b3)

4 = .............................................. -3(a2b3)

4 = ......................................

(-2.b)3= ............................................ -2a3 . 3a4 = ........................................ (4ab2)3 = ...........................................

-3x . x4

= ........................................ (-6x)2 = ................................................. (-3x).(-5x) = .................................

(3a)3 = ............................................... (-3b)3 = ................................................. (-2a3b)4 = .........................................

-3x . 2x = ...................................... (-a3bc2)4 = ......................................... (b4)

3 = ..................................................

(-2.x2)3 = ........................................ -2.(a3b)3 =............................................ 3 . 2a3 = .............................................

(-2a) . (-3a) = ............................ (ab2c3)2 = ............................................ (-5a5)

2 = ............................................

2a3.5b3 = ........................................ 2ab4.(-3a2b) = ................................ 2ab.3ab4 = ......................................



Calcul littéral – Exercices divers avec parenthèses

Rappel : reconnaître la règle à appliquer

7a . (– 2) = - 14a Simple produit

(7a)2 = (7 . a)2 = 72 . a2 = 49 a2 Puissance d'un produit

(–3a)2 . 3 = (-3)2 . a2 . 3 = 9a2 . 3 = 27a2 Puissance d'un produit puis simple produit

7 . (a + 2) = 7a + 14 Distributivité simple

(3 + a2) . (a + 2) = 3a + 6 + a3 + 2a2 Distributivité double

5a – (a2 – 5) = 5a – a2 + 5 Suppression de parenthèses précédées de "–"

a + (-2a2 - 1) = a – 2a2 - 1 Suppression de parenthèses précédées de "+"

Reconnais le type de calcul, puis écris sans parenthèses.

(6x)2 = ................................................................................................ (– 5a2)3 = ............................................................................. 6 . (x + 3) = .................................................................................. – 5 + (- a2 – 3) = ........................................................... 6x . (– 3) = .................................................................................... (–5a)2 . 3 = ....................................................................... – 6 - (x – 3) = ............................................................................ (5 + a2) . (a + 3) = ...................................................... (– 2x)7 = ............................................................................................ (a3 – 5) . (a2 + 3) = .................................................... -3 . (2x + 3) = ............................................................................ 5 - (- a2 – 1) = ................................................................ 6x . (– 3) = ...................................................................................... (5a2)2 = ................................................................................ (-3x)2 = .............................................................................................. – 5 + (a2 + 3) = ............................................................... –6 . (x – 3) = ............................................................................... 4 + a2. (a + 2) = ............................................................ 2 . (3x)2 = ........................................................................................ (4 + a2) . (a + 2) = ......................................................

-3 - (2x + 3) = ........................................................................... 5a7 . (- a2)3 = ................................................................. 6x + (–3 + x) = ............................................................................ -2a . (a2 + a) = ............................................................... -3.(3x)2 = ......................................................................................... – 5 - (-a2 - 3) = ............................................................. –4 . (x – 3) = ................................................................................. (-3 + a2) . (- a + 2) = ............................................... -2 . (3 - 2x) = .............................................................................. (-3 + a2) - (- a + 2) = .............................................. Le nouvel Actimath 2 - Chapitre 5 – Activité 5 à 8 p. 106 à 110 Le nouvel Actimath 2- Chapitre 5 - Exercices complémentaires Série A : 7 à 11 p. 112


Van In © - Actimath 2 1 Ch. 1 – Propriétés des puissances (exercices numériques)

Remédiation - Propriétés des puissances (exercices numériques)

Redécouverte des propriétés

Relie entre elles les écritures différentes d'un même nombre. 23 . 22 O O (2 . 2 . 2) . (2 . 2 . 2) O O 102 O O 32

(23)2 O O (5 . 5) . (5 . 5) . (5 . 5) O O 26 O O 125

(2 . 5)2 O O (2 . 2 . 2) . (2 . 2) O O 53 O O 15 625

5 . 52 O O (2 . 5) . (2 . 5) O O 25 O O 64

(52)3 O O 5 . (5 . 5) O O 56 O O 100

Calcul "facile"

On te donne les tables des puissances de 2 et de 5.

....1 ....2 ....3 ....4 ....5 ....6 ....7 ....8 ....9 ....10

2.... 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

5.... 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625

Dans chaque cas, détermine le résultat en utilisant les tables de puissances, vérifie ta réponse à la calculatrice, écris ta réponse sous forme d'une puissance d'un nombre entier.

25 . 22 = ................................................................................................................................................................ = .....................................

23 . 23 = ................................................................................................................................................................ = .....................................

22 . 27 = ................................................................................................................................................................ = .....................................

(24)2 = .................................................................................................................................................................... = .....................................

(52)3 = .................................................................................................................................................................... = .....................................

53 . 23 = ................................................................................................................................................................ = .....................................

25 . 55= .................................................................................................................................................................. = .....................................

52 . 58 = ................................................................................................................................................................ = .....................................

25 . 25 = ................................................................................................................................................................ = .....................................


Van In © - Actimath 2 2 Ch. 1 – Propriétés des puissances (exercices numériques)

Rappel des propriétés Retrouve, dans la partie théorique d’Actimath 2, la règle illustrée par chaque exemple.

23 . 25 = 28 ......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

(5 . 2)3 = 53. 23 ......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

(53)2 = 56 ......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

Exercices 1. Ecris sous la forme d’une puissance d’un nombre.

32 . 37 =............................. 24 . 23 . 25 = .............. (– 2)3 . (– 2)5 =................... 103 . 102 = ......................... 2 . 25 = ............................. (34)4 = ................................ (– 2)3 . (– 5)3 = ................ 10 . 107 = ........................... (53)2 = ................................ 32 . 52 = ........................ ((– 3)5)2 = .............................. (103 )2 = ............................... 43 . 73 = ........................... (52)5 = ................................ (– 5)4 . (– 5) = ................... 104 . 24 = ........................... 55 . 25 = ........................... 52 . 55 = .......................... 28 . (– 5)8 = ......................... (104)2 = .................................

2. Transforme le nombre en gras en une puissance, puis réduis.

8 . 25 = 2…..… . 25 = …………..….. 253 = (5……)3 = …………..….. 32 . 27 = …………………..…..….. = …………..….. 82 = …………..…..…………..……..…..= …………..….. 25 . 57 = ………………………....…..= …………..….. 95 = …………..………………………….. = …………..….. 1000 . 102 =………………...….. = …………..….. 1003 = …………..…..…………..….. = …………..…..

3. Complète les égalités par un nombre naturel.

45 = 42 . 4…… 62 . 65 = 6……. 5…… . 5….. = 53 (33)….. = 327

5 . 5……… = 56 53 . 2….. = 103 2….. . 5….. = 103 25 . 2…… = 225

(4 . 5)…… = 43 . 53 72 . …......2 = 142 32 . 3…… = 33 35 . 2…. = 6…… 4. Vrai ou faux ? Corrige si cela est nécessaire en recopiant toute l'égalité.

32 . 35 = 310 ……… ……………………………………….………… 25 . 25 = 225 ……… ……………………………………….……… 53 . 33 = 153 ……… ……………………………………….………… (32)3 = 38 ……… ……………………………………….………

Actimath 2 - Chapitre 1 – Activité 5 p. 13, Activité 6 p. 14, Activité 7 p. 15, Activité 8 p. 16 Actimath 2- Chapitre 1 - Exercices complémentaires - Série A : 7, 8 p. 25 – Série B : 4, 5, 6, 8 p. 27

Nom : ...................................................... Prénom : ....................................................... Classe : .....................................

Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 10 – Opérations sur les fractions : synthèse

Remédiation – Opérations sur les fractions : synthèse

A) Rappel des règles

Tu trouveras, sur la fiche de remédiation "Opérations simples sur les fractions", les règles relatives au calcul sur les fractions.

Si tu ne possèdes pas cette fiche, tu peux également les retrouver aux pages 142, 143 et 144 du Référentiel de théorie du nouvel Actimath du 1e degré.

Voici les exemples utilisés sur cette fiche; ils peuvent éventuellement t'aider à retrouver les règles.

Sommes 3 5 9 10 9 + 10 19 + = + = = 2 3 6 6 6 6

-3 5 -9 10 -9 + 10 1+ = + = = 4 6 12 12 12 12

-5 4 5 -4 5 4 35 16 35 - 16 19 + = + = - = - = = -4 -7 4 7 4 7 28 28 28 28

: 3

Produits 2 5 2 . 5 10 . = = 3 7 3 . 7 21

4 -6 4 . (-6) 4 . (-2) -8. = = = 9 5 9 . 5 3 . 5 15

: 3 : 5

-2 -5 -8 -2 . (-5) . (-8) -2 . (-1) . (-8) -16 . . = = = 3 7 5 3 . 7 . 5 3 . 7 . 1 21

: 5

l'inverse l'inverse

: 4

Quotients 5 2 5 7 5 . 7 35 : = . = = 9 7 9 2 9 . 2 18

8 -12 8 -5 8 . (-5) 2 . (-5) -10 : = . = = = 7 5 7 12 7 . 12 7 . 3 21

: 4

: ! . : ! .

3 3 7 3 5 152 = : = . = 7 2 5 2 7 145

5 5 5 8 5 1 53 3= = : = . = 88 3 1 3 8 241

Puissances 4 4

42 (2) 16 = = 3 (3) 81

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 3

3-4 (-4) -64 = = 3 (3) 27

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠



B) Opérations mélangées

Reconnais l'opération, puis calcule.

5 1 - 8 12

= ............................................................................... -12 75 . -50 -18

= ...................................................................................

-18 15 -2 . . 5 -8 -25

= .......................................................... 2-3

7⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ...............................................................................................

-4 5

-109

= ................................................................................. 4 -34

= .................................................................................................

7 -21 : 6 10

= ............................................................................. -32 -48 : 15 45

= ..................................................................................

-21 -5 . -10 12

= ........................................................................... -1 2- 4 9

= ............................................................................................

-3-3 . 10

= ................................................................................ 7 - 55

= ...............................................................................................

-2 -5 - 9 12

= ............................................................................. 3-3

4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ................................................................................................

C) Règles de priorité

1) Les règles de priorité vues avec les nombres naturels, puis avec les nombres entiers peuvent s'appliquer aux fractions.

On effectue par priorité les calculs................................................................................................................................

On effectue dans l'ordre............................................................................................................................................................

A chaque étape, souligne le calcul prioritaire et effectue-le.

3 1 7 . - 5 2 3

= ...........................................................................................................................................................................................................

2 2 1 - : 15 3 4

= .........................................................................................................................................................................................................

8 12 - . 3 5

= ..............................................................................................................................................................................................................

3 -7 1 . + 4 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ..................................................................................................................................................................................................

3 -7 1 - . 5 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ...................................................................................................................................................................................................



2-45 . 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ...............................................................................................................................................................................................................

33 -2 . 5 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= .............................................................................................................................................................................................................

21 32 . - 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ......................................................................................................................................................................................................

1 -2 4 : + 3 7 3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ..................................................................................................................................................................................................

1 7 -1 7 - : + 4 3 5 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= .................................................................................................................................................................................

2) Tu sais qu'un quotient peut s'écrire de deux manières différentes. Dans l'exercice précédent, tu n'as rencontré qu'une seule écriture. Les énoncés de l'exercice 2 utilisent la 2e écriture. Cela te semble peut-être plus compliqué, car il n'y a pas de parenthèses. En réalité, les difficultés sont identiques, à condition d'ajouter (même mentalement) les parenthèses absentes.

Exemple :

3 1 6 13 1 7 + + + 7 10 7 . 10 7 . 5 352 4 4 42 4 4= = = = . = = = 7 1 97 1 14 5 4 9 4 . 9 2 . 9 18 - - - 5 2 105 2 10 10

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Fait apparaître les parenthèses absentes, puis calcule en utilisant les règles de priorité.

1 1 + 2 33 2 - 5 3

= ................................................................................................................................................................................................................

1 2 + 513 - 5

= ..................................................................................................................................................................................................................

3- + 3 2

2-5 . 3

= ................................................................................................................................................................................................................

2

3

1 1 - 5 42 1 - 5 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= .............................................................................................................................................................................................................



D) Valeurs numériques

Pour calculer les valeurs numériques ci-dessous, il faut d'abord remplacer les lettres par leur valeur, ajouter les éventuelles parenthèses manquantes puis effectuer. Calcule les valeurs numériques des expressions ci-dessous, si tu sais que

a = -23

, b = 43 , c =

23 et d = -1

5.

(a + c) : (b + d) = ................................................................................................................................................................................................ a . bc . d

= ..........................................................................................................................................................................................................................

c - ba . d

= ..........................................................................................................................................................................................................................

d2:b3 = ......................................................................................................................................................................................................................

2

2a . ca . b

= .........................................................................................................................................................................................................................

1 + b1 - d

= ..........................................................................................................................................................................................................................

a + bc + d

= .........................................................................................................................................................................................................................

2c - d3a + d

= ......................................................................................................................................................................................................................

2

2 2(b + c)c + d

= ...................................................................................................................................................................................................................



E) Fractions et nombres décimaux : faut-il choisir ?

Les nombres décimaux limités peuvent tous s'écrire facilement sous forme d'une fraction décimale et toutes les fractions à termes entiers peuvent s'écrire sous forme de nombres décimaux. La question est donc : "Si dans un calcul apparaissent des fractions et des nombres décimaux, avec quels nombres faut-il travailler ? Les fractions ou les nombres décimaux ?

Exemples : 1,5 + 43 = 1,5 + 0,75 = 2,25 ou 1,5 +

43 = 3 3 6 3 9 + = + =

2 4 4 4 4

0,5 + 32 = 0,5 + 0,666.. = 1,1666... ou 0,5 +

32 = 1 2 3 4 7 + = + =

2 3 6 6 6

Dans les exercices ci-dessous choisis la méthode qui te paraît la plus simple pour calculer.

1 - 0,33

= ............................................................................... 80,125 . 5

= .....................................................................................

1 + 0,72

= .............................................................................. 22,5 : 3

= ............................................................................................

3-0,25 + 7

= ....................................................................... 33 : 0,310

= .........................................................................................

3 . 0,62

= ............................................................................... 24,2 : 3

= .........................................................................................

-50,4 . 2

= ............................................................................. 0,21 : 0,07 = ................................................................................

Utilise les règles de priorité pour calculer.

10,5 + 4

1 + 0,258

= .......................................................................................................................................................................................................

-2 . 1,2 3

12,3 - 2

= .........................................................................................................................................................................................................

1 1(-0,3 + ) : (0,2 - )3 2

= ........................................................................................................................................................................

Le nouvel Actimath 2 – Chapitre 10 – Activité 2 et 3 p. 184 à 188 – Activité 5 et 6 p. 189 à 194 Le nouvel Actimath 2 – Chapitre 10 – Exercices complémentaires Série A : 12 à 14 p. 199


Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 5 - Mise en évidence

Remédiation – Mise en évidence

Mise en évidence sans puissance

Lorsque tous les termes d’une somme possèdent un (ou plusieurs) facteur(s) commun(s), on peut le(s) mettre en évidence.

Ex : 3a + 3b = 3 . (a + b) 5ab + 5ac = 5a . (b + c)

7x + 7y = .................................................................................. 2ax + 2bx = .......................................................................................

3xy + 2xz = .......................................................................... 4ab + 4a = ...........................................................................................

3xy + 3xz = .......................................................................... 12bc + 12cd = ..................................................................................

Il est parfois utile de décomposer les facteurs numériques afin de faire apparaître le facteur numérique commun (leur PGCD).

Ex : 6a + 9b = 3 . 2a + 3 . 3b = 3 . (2a + 3b) 24x + 36y = 12 . 2x + 12 . 3y = 12 . (2x + 3y)

Décompose les facteurs numériques pour faire apparaître leur PGCD. Souligne le(s) facteur(s) commun(s) et mets le(s) en évidence.

8x + 12y = ................................................................................................................................................................................................................

45a + 60b = ............................................................................................................................................................................................................

5x + 15y = ................................................................................................................................................................................................................

24a + 32b = ............................................................................................................................................................................................................

25x + 15y = .............................................................................................................................................................................................................

27ab + 18ac = .......................................................................................................................................................................................................

24xy + 12xz = ......................................................................................................................................................................................................

Mets le(s) facteur(s) commun(s) en évidence

12x + 16y = ........................................................................... 35ax + 25bx = ................................................................................

7ab + 7ac = .......................................................................... 51a + 17 = ............................................................................................

3ab + 2ac = .......................................................................... 30xy + 45x = ...................................................................................

75x + 25y = ......................................................................... 8x + 6xy = ...........................................................................................

12a + 24 = ............................................................................. 8x + 16y = ...........................................................................................

6a + 6 = .................................................................................... 8x + 8 = .................................................................................................


Van In © - Le nouvel Actimath 2 2 Ch. 5 - Mise en évidence

Mise en évidence avec puissances

La décomposition de chaque terme de la somme doit faire apparaître le(s) facteur(s) commun(s) parmi lesquels peut se trouver une puissance.

3a + 5a2 = a . 3 + a . 5a = a . (3 + 5a) 7a3 + 5a2 = a2 . 7a + a2 . 5 = a2 . (7a + 5)

Fais apparaître les facteurs communs, puis mets en évidence.

5x2 + 7x = ..............................................................................................................................................................................................................

8x + 9x3 = ..............................................................................................................................................................................................................

3x2 + 5x3 = ............................................................................................................................................................................................................

4x2 + x = ..................................................................................................................................................................................................................

x3 + 7x = ..................................................................................................................................................................................................................

3x5 + 4x3 = ............................................................................................................................................................................................................

x7 + 2x3 = ................................................................................................................................................................................................................

7x5 + x2 = ................................................................................................................................................................................................................

3x2 + 3x5 = ............................................................................................................................................................................................................

6x + 9x2 = ..............................................................................................................................................................................................................

50x2 + 75x3 = .....................................................................................................................................................................................................

12x3+ 4x2 = ...........................................................................................................................................................................................................

Exercices de synthèse

Mets le(s) facteur(s) commun(s) en évidence

3x + 8x2 = ............................................................................. 2x3 + 3x = ........................................................................................

6x + 3x4 = ............................................................................. 21a + 7a2 = .......................................................................................

3x5 + 2x3 = ........................................................................... 12x3 + 15x2 = .................................................................................

12x2 + 8x = ........................................................................... 9a5 + 15a3 = ....................................................................................

x2 + 3x = ................................................................................. 21a3 + 7a = .......................................................................................

x2 + 5x3 = ............................................................................... 45a7 + 27a5 = ................................................................................

8x2 + 4x = ............................................................................. 9a9 + 6a3 = .......................................................................................

Le nouvel Actimath 2 - Chapitre 5 – Activité 2d p. 100 Le nouvel Actimath 2- Chapitre 5 - Exercices complémentaires Série A : 3 p. 111


Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 12 – Equations

Remédiation - Equations

1) Equations du type x+a= b (1) , ax = b (2) et bax = (3)

Pour résoudre une équation d'un de ces trois types, tu ne dois neutraliser qu'un seul nombre : un terme (1), un facteur multiplicateur (2) ou un facteur diviseur (3).

Exemple (1) Exemple (2) Exemple (3)

3 + x = - 5 2x = - 6 3x

= 5

-3 - 3 : 2 : 2 . 3 . 3 x = - 8 x = - 3 x = 15 Exercices d’entraînement • Reconnais le type d'équation. • Indique les flèches et l'opération que tu dois effectuer dans chaque membre pour

neutraliser le nombre "gêneur". • Détermine la solution.

x – 5 = - 2 – 3x = 21 62x= 14 = 5x

........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................

- 5 = 3x

- 4 = x + 3 5 – x = -3 -14 = -3x

........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................

- 4 = 2x−

- 2 + x = 51

31

5x=

5x

21=

........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................



2) Equations du type dc

bax c

bax == ou

Pour résoudre une équation d'un de ces deux types, tu dois neutraliser deux nombres : un facteur multiplicateur (a) et un facteur diviseur (b). Tu peux procéder de deux manières différentes.

a) 5

3x = 6

53x

= 6

. 5 . 5 53

. x = 6

3x = 30 : 53

: 53

(ou . 35

)

: 3 : 3 x = 6 . 35

x = 10 x = 10

b) 2

3x =

75

2

3x =

75

. 2 . 2 23

. x = 75

3x = 710

: 23

: 23

(ou . 32

)

: 3 : 3 x = 75

. 32

x = 2110

x = 2110

Exercices d’entraînement

35x

= 6 72x-

= 3 54x-

=152

3

7x =

421

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................



3) Equations du type ax + b = c Pour résoudre une équation de ce type, on neutralise d’abord le terme « gêneur », puis le facteur « gêneur ». Remarques

Un terme « gêneur » est relié à l’inconnue par une somme. Un facteur « gêneur » est relié à l’inconnue par un produit.

Exemples

2x + 8 = 18 – 9 – 5x = – 19 – 8 – 8 + 9 + 9 2x = 18 – 8 – 5x = – 19 + 9 2x = 10 – 5x = – 10 : 2 : 2 : (– 5) : (– 5) x = 10 : 2 x = (– 10) : (– 5) x = 5 x = 2

Exercices d’entraînement 2x – 5 = 2 – 3x + 4 = – 2 5 + 7x = – 2 – 2 – 2x = 5 ........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ......................................... ......................................... ........................................

6 = 2x – 5 – 4 = – 3x + 1 2x + 12

= 3 45

12x

=+

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................

........................................ ......................................... ......................................... ........................................



4) Equations du type : ax + b = cx + d

Pour résoudre ce genre d’équation, il faut effectuer des neutralisations successives. 5x + 2 = 3x – 4 5x + 2 = 3x – 4 –3x – 3x – 3x – 3x 5x – 3x + 2 = – 4 - 2 - 2 2x + 2 = – 4 5x – 3x = – 4 – 2 - 2 - 2 2x = – 4 – 2 2x = – 6 2x = - 6 : 2 : 2 : 2 : 2 x = – 3 x = – 3 La deuxième méthode est plus rapide car on neutralise les deux termes (soulignés) en même temps. Le but poursuivi est donc de grouper les termes en x dans un membre et les termes indépendants (sans x) dans l’autre membre. 5x – 3 = – 2x + 1 – 5 + 2x = 5x – 4 8 – x = 2 + 3x 5x + 2x = 1 + 3 2x – 5x = – 4 + 5 – x – 3x = 2 – 8 7x = 4 – 3x = 1 – 4x = – 6

x = 47

x = −13

x = 32

Exercices d’entraînement 5x – 1 = 3x – 2 x + 4 = 3x – 2 2 – 3x = x + 1 ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... x + 1 = – 2x – 2 1 + 4x = – 3x – 2 2 + x = 3x – 1 ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... ...................................................... ....................................................... ...................................................... Le nouvel Actimath 2 - Chapitre 12 - Activité 2 à 6 p. 224 à 232 Le nouvel Actimath 2 - Chapitre 12 - Exercices complémentaires – Série A : 1 à 4 p. 235


Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 8 – Simplification de fractions

Remédiation – Simplification de fractions

Rappel du principe de simplification

o Pour simplifier une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun non nul.

o Pour rendre une fraction irréductible, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD).

Exemples 12 6 = 18 9

La fraction a été simplifiée mais la nouvelle fraction n'est pas irréductible.

12 2 = 18 3

La fraction a été simplifiée et la nouvelle fraction est irréductible.

Rends les fractions suivantes irréductibles.

12 25 - 54 12 - 24 7 = = = = = = 9 35 42 25 36 12- 15 125 55 125 40 -= = = = = 18 - 75 44 120 24

500 = 450

Signe d'une fraction et simplification

o Une fraction est positive si ses deux termes sont de même signe. o Une fraction est négative si ses deux termes sont de signes différents.

Attention, quand tu simplifies une fraction, il faut veiller à rendre le dénominateur positif. Exemples

6 3 -3 3 = = = --4 -2 2 2

-15 -3 3= = -20 -4 4

50 2 2- = - = -75 -3 3


-20 = 30 21 = -27 -30 - = 45-36 = -54

-45 - = -6072 = -16-32 - = -48-16 = 20

121 = -55-126 - = 81

320 = -240-150 = 420



Fractions avec termes littéraux

o Le principe de simplification est le même. o Pour déterminer le PGCD de facteurs littéraux, il suffit de multiplier les facteurs

communs, chacun d'eux étant affecté de l'exposant le plus petit. Exemples

3 5

2 7 2a b .a.. a. a.= =

.b.b. b.ba b b=

a.a b.b.b.b.ba.a b.b.b.b.b

a3b2ca3b3d2 = a.a.a.b.b.c

a.a.a.b.b.b.d.d= c

b.d.d= c

b.d2

o Pour diviser les 2 termes de la fraction par leur PGCD, on peut également écrire les puissances sous forme de produits et barrer les facteurs communs.

Exemples (les facteurs communs sont en italique)

3 5

2 7 2a b . a . a . a a= = =a b . b . b . b.b b

3 2

3 3 2 2a b c . c c c= = =a b d . b . d . d b . d . d b . d

Dans chaque cas, détermine le PGCD des termes de la fraction, puis rends celle-ci irréductible.

3

5

2 3

.............................................................................................

...........................................................................................

ab =bca b =aba b

3 4

2 3

2 3 2

......................................................................................

....................................................................................

c =ab c-a bc =a b c

3

3

2 6

6 3

4

3

3 2

4

........................

.....................

...................

...................

xy =x yx y =x y-xy =x y

x y z =xyz

2

5

4

2

2 3

6 3

2 3

........................

.......................

......................

.....................

a =ax =xab =

a ba b =a b

2

3

3

5

4

....................

....................

...................

6x =9x

-8x =12x-24x =-36x

2

4 5

5

2 3

2

.......................

......................

.....................

25xy =35xy

-18x y =27x y49x y =-21x y

3

4

4

6 3

2

2

......................

....................

....................

-5a b =15ab-16a b =-24a b

-9a b =-27a b



Simplification de fractions – Procédé pratique

o En pratique, il est plus facile de déterminer le PGCD des facteurs numériques, puis celui des facteurs littéraux (puissances) base par base.

Exemple

3 5 3 5 3 3

4 2 4 212a b 12 a b 2 . 1 . b 2b= = = 18a b 18 a b 3 . a . 1 3a

2 2 2 2

2 6 2 6 4 445a b 45 a b 3 . 1 . 1 3= = = 75a b 75 a b 5 . 1 . b 5b


5

3

5

3

3

5

.......................................

.......................................

......................................

......................................

3a =2a

-12a =16a-14x =21x18a =9a

3

6

4

3

2

3

5 2

........................................

.......................................

.......................................

......................................

-6ab =2ab

ab =-a b

-4xy =6xy

-6a b =-3ab

2 4

3 6

5

3 3

2

2 2

2 3

3

.......................................

.......................................

......................................

...............................

-a bc =6a c-12a b =16a b

-4a bc =-12ab c

6a bc =-9ab c

.......

Simplifions avec prudence Simplifie, si possible, les fractions suivantes.

....................................................................

....................................................................

..................

3 . 7 =7 . 11

(8 + 3) . 5 =4 . (9 + 2)

8 + 7 =8 . 7

..................................................

....................................................................

.............................................

8 . 25 =50 . 24

(6 + 3) . 7 =7 . (9 + 3)

.......................

....................................................................-6 + 18 =-10 + 12

.........................................................................

.........................................................................

.........

abc =ab

a + b + c =a + bc

(a + b) . c =(a + b) . d

................................................................

.........................................................................

........................................

a + b.c =a.b + c

a - 2 =6a

.................................

.........................................................................-2a =6a

Le nouvel Actimath 2 – Chapitre 8 – Activité 7 p. 158 Le nouvel Actimath 2 – Chapitre 8 – Exercices complémentaires Série A : 15 à 19 p. 163 et 164

Documents

Remédiation – Règles de priorité