Renato Alvarez Nodarse´ - euler.us.eseuler.us.es/~renato/clases/aa-af/beamer-ser-fun.pdf · Sucesiones y series de funciones. En este apartado vamos a considerar una extensi´on

Sucesiones y series de funciones

Renato Alvarez Nodarse

Departamento de Analisis Matematico

Facultad de Matematicas. Universidad de Sevilla

http://euler.us.es/˜renato/

8 de octubre de 2012

http://euler.us.es/~renato/

Sucesiones y series de funciones.

En este apartado vamos a considerar una extension obvia de lateorıa de las sucesiones y series numericas: sucesiones y series defunciones.

Es decir, vamos a considerar un conjunto de funciones

fn(x) : X → R

que dependan de un parametro n ∈ N.


En este apartado vamos a considerar una extension obvia de lateorıa de las sucesiones y series numericas: sucesiones y series defunciones.

Es decir, vamos a considerar un conjunto de funciones

fn(x) : X → R

que dependan de un parametro n ∈ N.

Por ejemplo fn(x) : R → R

fn(x) =xn

n!, fn(x) = xn, fn(x) =

sen nx

n2


Una sucesion de funciones (fn(x))n, es una aplicacion que a cadanumero natural le hace corresponder una funcion

fn(x) : Dn → R


Una sucesion de funciones (fn(x))n, es una aplicacion que a cadanumero natural le hace corresponder una funcion

fn(x) : Dn → R

Ası mismo, podremos hablar de una serie de funciones

∞∑

n=1

fn(x)

asociada a la sucesion de funciones (fn(x))n.


Es evidente que la sucesion (fn(x))n tendra sentido si podemosdefinir fn(x), para todo n ∈ N, es decir, si existen las sucesionesnumericas (fn(x0))n para al menos un x0.



Esto no siempre ocurre. Por ejemplo, para la sucesion

f1(x) = x , f2(x) =√x , f3(x) =

1

x,√−x , · · · .

cuyos dominios son R, [0,+∞), R\{0}, (−∞, 0], etc..



Esto no siempre ocurre. Por ejemplo, para la sucesion

f1(x) = x , f2(x) =√x , f3(x) =

1

x,√−x , · · · .

cuyos dominios son R, [0,+∞), R\{0}, (−∞, 0], etc..

En adelante asumiremos que existe un conjunto mınimo D no vacıodonde esta definida la sucesion completa: D ⊂

⋂

∞

n=1 Dn que lodenominaremos dominio de la sucesion de funciones y lodenotaremos por Dom (fn(x)).

DefinicionesD1: La sucesion de funciones (fn(x))n tiene lımite para ciertox0 ∈ Dom (fn) si la sucesion numerica (fn(x0))n converge paradicho x0. En este caso diremos que la sucesion convergepuntualmente en x0,


D2: El conjunto X de todos los puntos x ∈ Dom (fn) donde lasucesion (fn(x))n converge se denomina conjunto de convergenciade la sucesion de funciones.

Como ∀x ∈ X, existe un unico valor del lımite de (fn(x))n,entonces podemos definir una funcion f (x) sobre X, i.e.,


D2: El conjunto X de todos los puntos x ∈ Dom (fn) donde lasucesion (fn(x))n converge se denomina conjunto de convergenciade la sucesion de funciones.

Como ∀x ∈ X, existe un unico valor del lımite de (fn(x))n,entonces podemos definir una funcion f (x) sobre X, i.e.,

D3: En el conjunto X de convergencia de (fn(x))n la funcion f (x)definida para cada x ∈ X de la forma f (x) = lım

n→∞

fn(x) se

denomina funcion lımite de (fn(x))n. Si existe f (x) se dice que lasucesion (fn(x))n converge puntualmente a f (x) en X y se denotapor fn(x) → f (x).

Ejemplos

◮ E1: Definamos en [0,∞) la sucesion fn(x) = xn, n ∈ N. Esfacil comprobar que la sucesion de funciones converge si y solosi x ∈ [0, 1], ademas

lımn→∞

xn = f (x) =

{

1, x = 1

0 0 ≤ x < 1,

es la funcion lımite. Notese que si escogemos X = [0, q],0 ≤ q < 1, entonces f (x) = 0.

Ejemplos


lımn→∞

xn = f (x) =

{

1, x = 1

0 0 ≤ x < 1,


◮ E2a: Sea fn(x) : R 7→ R, fn(x) =sen n2x

n. Es evidente que

X = R y f (x) = 0.

Ejemplos


lımn→∞

xn = f (x) =

{

1, x = 1

0 0 ≤ x < 1,


◮ E2a: Sea fn(x) : R 7→ R, fn(x) =sen n2x

n. Es evidente que

X = R y f (x) = 0.

◮ E2b: Sea fn(x) : R 7→ R, fn(x) =sen nx

n2. Como en el ejemplo

anterior X = R y f (x) = 0.

Ejemplos

◮ E3: Sea fn(x) : [0, 1] 7→ R, fn(x) = 2(n + 1)x(1 − x2)n.Evidentemente si x = 0 o x = 1, fn(x) = 0. Si x ∈ (0, 1)entonces (1− x2) < 1, luego fn(x) → 0 cuando n → ∞. Portanto, X = [0, 1] y f (x) = 0.

Ejemplos


◮ E4: Sean n,m ∈ N y sea fm(x) = lımn→∞

(cosm!πx)2n.

Si m!x ∈ Z =⇒ fm(x) = 1, si m!z 6∈ Z =⇒ fm(x) = 0.

Ejemplos



(cosm!πx)2n.


Veamos el lımite cuando m → ∞ de fm(x).Si x 6∈ Q =⇒ ∀m ∈ N, m!x 6∈ Z, por tanto fm(x) = 0 yf (x) = lım

m→∞

fm(x) = 0.

Ejemplos



(cosm!πx)2n.



m→∞

fm(x) = 0.

Si x ∈ Q =⇒ a partir de cierto m ∈ N, m!x ∈ Z, por tanto, apartir de dicho m, fm(x) = 1 =⇒ f (x) = lım

m→∞

fm(x) = 1.

Ejemplos



(cosm!πx)2n.



m→∞

fm(x) = 0.

Si x ∈ Q =⇒ a partir de cierto m ∈ N, m!x ∈ Z, por tanto, apartir de dicho m, fm(x) = 1 =⇒ f (x) = lım

m→∞

fm(x) = 1.

Ası, tenemos que X = R y f (x) = D(x), es la funcion deDirichlet

D(x) =

{

1, x ∈ Q

0, x ∈ I.

Objetivo fundamental

Nuestro objetivo fundamental NO es estudiar cuando lassucesiones funcionales convergen o no –pues eso ya lo hemos vistoantes pues para cada x la sucesion (fn(x))n es una sucesionnumerica– sino decidir en que condiciones las propiedades de fn setraspasan a la funcion lımite.

Objetivo fundamental

Nuestro objetivo fundamental NO es estudiar cuando lassucesiones funcionales convergen o no –pues eso ya lo hemos vistoantes pues para cada x la sucesion (fn(x))n es una sucesionnumerica– sino decidir en que condiciones las propiedades de fn setraspasan a la funcion lımite.

¿Hereda f (x) todas las propiedades de las fn(x)?

Los ejemplos anteriores sirven de ilustracion a nuestro problema.

EjemplosE1: fn(x) = xn, n ∈ N. En D = [0, 1]

lımn→∞

xn = f (x) =

{

1, x = 1

0 0 ≤ x < 1,

es la funcion lımite.

Si escogemos X = [0, q], 0 ≤ q < 1, entonces f (x) = 0.

Aquı las funciones xn son continuas en [0, 1] pero la funcion lımitef (x) no lo es. No ocurre lo mismo en el intervalo X = [0, q].Ademas

∫ 1

0

fn(x)dx =

∫ 1

0

xn dx =1

n + 1→ 0 =

∫ 1

0

0 dx =

∫ 1

0

f (x)dx .

Ejemplos

E2a: Sea fn(x) : R 7→ R, fn(x) =sen n2x

n. Es evidente que X = R

y f (x) = 0.

Aquı la funcion fn(x) =sen n2x

nes derivable en todo R, y su

funcion lımite tambien, pero por ejemplo, la sucesion de susderivadas f ′n(x) = n cos n2x no tiene lımite excepto cuandon2x = kπ/2, k ∈ Z. Es decir la sucesion de derivadas no convergea la derivada de la funcion lımite.

Ejemplos

E2a: Sea fn(x) : R 7→ R, fn(x) =sen n2x

n. Es evidente que X = R

y f (x) = 0.

Aquı la funcion fn(x) =sen n2x

nes derivable en todo R, y su

funcion lımite tambien, pero por ejemplo, la sucesion de susderivadas f ′n(x) = n cos n2x no tiene lımite excepto cuandon2x = kπ/2, k ∈ Z. Es decir la sucesion de derivadas no convergea la derivada de la funcion lımite.

E2b: Sea fn(x) : R 7→ R, fn(x) =sen nx

n2. Como en el ejemplo

anterior X = R y f (x) = 0.En este caso, a diferencia del anterior la sucesion de sus derivadas

f ′n(x) =cos nx

nconverge a cero que justamente es la derivada de la

funcion lımite. Es decir, en este ejemplo sı que tenemosf ′n(x) → f ′(x).

Ejemplos

E3: Sea fn(x) : [0, 1] 7→ R, fn(x) = 2(n + 1)x(1 − x2)n. Comovimos lımn→∞ fn(x) = f (x) = 0.

La funcion fn(x) = 2(n + 1)x(1 − x2)n es integrable en [0, 1] yademas

∫ 1

0

fn(x)dx = 2(n+1)

∫ 1

0

x(1−x2)ndx = 2(n+1)

−(1− x2)n+1

n + 1

∣

∣

∣

∣

∣

1

0

= 1,

pero

∫ 1

0

f (x)dx =

∫ 1

0

0 dx = 0, luego

∫ 1

0

fn(x)dx 6→∫ 1

0

f (x)dx .

Ejemplos

E4: Sean n,m ∈ N y sea fm(x) = lımn→∞

(cosm!πx)2n.

lımm→∞

fm(x) = D(x) =

{

1, x ∈ Q

0, x ∈ I.

Notese que la funcion fm(x) vale cero en [0, 1] excepto un numerofinito de puntos, luego fm es integrable y su integral vale cero, perosu funcion lımite es una funcion no integrable.

Ejemplos


(cosm!πx)2n.

lımm→∞

fm(x) = D(x) =

{

1, x ∈ Q

0, x ∈ I.


Todo lo anterior nos dice que dada una sucesion (fn(x))n cuyasfunciones tienen determinadas propiedades como la continuidad,derivabilidad o integrabilidad, la funcion lımite puede o no tenerlas.

Ejemplos


(cosm!πx)2n.

lımm→∞

fm(x) = D(x) =

{

1, x ∈ Q

0, x ∈ I.


Todo lo anterior nos dice que dada una sucesion (fn(x))n cuyasfunciones tienen determinadas propiedades como la continuidad,derivabilidad o integrabilidad, la funcion lımite puede o no tenerlas.

Por tanto nuestro objetivo es claro: Encontrar condiciones bajo lascuales la funcion lımite “herede” las propiedades de las funcionesde la sucesion.

Convergencia puntual y uniformeDefinicion 4: Una sucesion de funciones (fn(x))n definidas enI ⊂ R converge puntualmente a f (x) en I , i.e., fn → f si

∀ǫ > 0 y ∀x0 ∈ I ,∃N ≡ N(ǫ, x0) ∈ N t.q. ∀n > N, |fn(x0)−f (x0)| < ǫ

Convergencia puntual y uniformeDefinicion 4: Una sucesion de funciones (fn(x))n definidas enI ⊂ R converge puntualmente a f (x) en I , i.e., fn → f si

∀ǫ > 0 y ∀x0 ∈ I ,∃N ≡ N(ǫ, x0) ∈ N t.q. ∀n > N, |fn(x0)−f (x0)| < ǫ

Convergencia puntual y uniformeDefinicion 5: Una sucesion de funciones (fn(x))n definidas enI ⊂ R converge uniformemente a f (x) en I , i.e., fn ⇒ f , si

∀ǫ > 0, ∃N ≡ N(ǫ) ∈ N t.q. ∀n > N y ∀x0 ∈ I , |fn(x0)− f (x0)| < ǫ

Convergencia puntual y uniformeDefinicion 5: Una sucesion de funciones (fn(x))n definidas enI ⊂ R converge uniformemente a f (x) en I , i.e., fn ⇒ f , si


Convergencia puntual y uniforme

fn −→ f converge puntualmente a f (x) en I si

∀ǫ > 0 y ∀x0 ∈ I , ∃N ≡ N(ǫ, x0) ∈ N t.q. ∀n > N, |fn(x0)−f (x0)| < ǫ

fn ⇒ f converge uniformemente a f (x) en I si












Ejemplos de convergencias

Ejemplo: xn ⇒ 0 en [0, q], con 0 < q < 1.

Efectivamente, cualquiera sea ǫ > 0, si escogemos N = log ǫ/ log q,entonces para todo n > N y todo x ∈ [0, q], xn ≤ qn < ǫ, es decirxn ⇒ 0 en [0, q].




Comprobemos que xn 6⇒ 0 en [0, 1).




Comprobemos que xn 6⇒ 0 en [0, 1).

Sea ǫ > 0 t.q. 0 < ǫ < 1. Como lımx→1

xn = 1 ello indica que

cualquiera sea n ∈ N siempre existe un xǫ ∈ (0, 1) tal que xnǫ ≥ ǫbasta escoger, por ejemplo, xǫ = n

√ǫ.

Luego dado un ǫ ∈ (0, 1), cualquiera sea N ∈ N siempre existe unx ∈ (0, 1) tal que fn(x) = xn ≥ ǫ, por tanto fn 6⇒ f en [0, 1).

La sucesion fn(x) = xn en [0, 1]

La sucesion fn(x) = xn en [0, q], q < 1

Ejemplos de convergencias: Simulacion

Ver las simulaciones

Principales teoremas

T1: (Condicion necesaria y suficiente de convergencia uniformepara una sucesion de funciones)Dada una sucesion de funciones fn(x))n definidas en I ∈ X , fn(x)converge uniformemente a f (x) en I si y solo si

lımn→∞

supx∈I

|fn(x)− f (x)| = 0.



lımn→∞

supx∈I

|fn(x)− f (x)| = 0.

Corolario: Para que una sucesion de funciones fn(x))n definidasen I ∈ X , fn(x) converja uniformemente a f (x) en I es necesarioy suficiente que exista una sucesion (an)n de terminos nonegativos con lım

n→∞

an = 0 y un numero N ∈ N tal que

∀n > N, |fn(x)− f (x)| ≤ an



lımn→∞

supx∈I

|fn(x)− f (x)| = 0.

Corolario: Para que una sucesion de funciones fn(x))n definidasen I ∈ X , fn(x) converja uniformemente a f (x) en I es necesarioy suficiente que exista una sucesion (an)n de terminos nonegativos con lım

n→∞

an = 0 y un numero N ∈ N tal que

∀n > N, |fn(x)− f (x)| ≤ an

Ejercicio: Probar que la sucesion fn(x) = xn ⇒ 0 en [0, q],0 < q < 1, pero no lo hace en [0, 1).


T2: (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme para unasucesion de funciones)Dada una sucesion de funciones fn(x))n definidas en I ∈ X , fn(x)converge uniformemente a f (x) en I si y solo si ∀ǫ > 0,

∃N ∈ N tal que ∀n > N, ∀p ∈ N y ∀x ∈ I , |fn+p(x)− fn(x)| < ǫ.


T2: (Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme para unasucesion de funciones)Dada una sucesion de funciones fn(x))n definidas en I ∈ X , fn(x)converge uniformemente a f (x) en I si y solo si ∀ǫ > 0,

∃N ∈ N tal que ∀n > N, ∀p ∈ N y ∀x ∈ I , |fn+p(x)− fn(x)| < ǫ.

Corolario: Si (fn(x))n y (gn(x))n son dos sucesiones de funcionesuniformemente convergentes en I a las funciones f (x) y g(x),respectivamente, entonces

αfn(x) + βgn(x) ⇒ αf (x) + βg(x), en I, ∀α, β ∈ R,

h(x)fn(x) ⇒ h(x)f (x), para toda funcion h(x) acotada en I .

Convergencia de series de funciones

D6: Dada una sucesion de funciones (an(x))n, la expresion

∞∑

k=1

ak(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + · · ·+ ak(x) + · · ·

se denomina serie funcional o serie de funciones y las

Sn(x) =n∑

k=1

ak(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + · · ·+ an(x),

se denominan sumas parciales de la serie de funciones.


D6: Dada una sucesion de funciones (an(x))n, la expresion

∞∑

k=1

ak(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + · · ·+ ak(x) + · · ·

se denomina serie funcional o serie de funciones y las

Sn(x) =n∑

k=1

ak(x) = a1(x) + a2(x) + a3(x) + · · ·+ an(x),

se denominan sumas parciales de la serie de funciones.

D7: Una serie de funciones

∞∑

k=1

ak(x) converge puntualmente

(uniformemente) en I ∈ X si la correspondiente sucesion de sumasparciales converge puntualmente (uniformemente) en I .


Si definimos el resto de la serie

rn(x) ≡ S(x)− Sn(x) =

∞∑

k=n+1

ak(x),

entonces, la serie converge uniformemente si y solo si rn(x) ⇒ 0,en caso contrario la convergencia no es uniforme.


Si definimos el resto de la serie

rn(x) ≡ S(x)− Sn(x) =

∞∑

k=n+1

ak(x),

entonces, la serie converge uniformemente si y solo si rn(x) ⇒ 0,en caso contrario la convergencia no es uniforme.

T3: Si la serie∞∑

k=1

ak(x) es uniformemente convergente en I ,

entonces, an(x), el termino general de la serie convergeuniformemente a 0 en I , es decir an(x) ⇒ 0.


T4: (Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de unaserie de funciones)Sea (an)

∞

n=0 una sucesion de funciones definidas en I ⊂ R, y(bn)

∞

n=0 una sucesion de numeros reales no negativos, tales que

|an(x)| ≤ bn para todo n ∈ N y x ∈ I y cuya serie

∞∑

n=1

bn es

convergente. Entonces la serie de funciones

∞∑

n=1

an(x) es

uniformemente convergente an I .


T4: (Criterio de Weierstrass para la convergencia uniforme de unaserie de funciones)Sea (an)

∞

n=0 una sucesion de funciones definidas en I ⊂ R, y(bn)

∞

n=0 una sucesion de numeros reales no negativos, tales que

|an(x)| ≤ bn para todo n ∈ N y x ∈ I y cuya serie

∞∑

n=1

bn es

convergente. Entonces la serie de funciones

∞∑

n=1

an(x) es

uniformemente convergente an I .

¡Este teorema solo da condiciones suficientes!

Propiedades de las sucesiones de funciones

T5: (Sobre la conmutatividad del lımite de una sucesion defunciones)Sea (fn(x))n una sucesion de funciones definidas en I ⊂ R tal quepara cada n ∈ N existe el lımite lım

x→x0fn(x) = ln, x0 ∈ I . Si

fn(x) ⇒ f (x) en I , entonces

lımn→∞

(

lımx→x0

fn(x)

)

= lımx→x0

(

lımn→∞

fn(x))

Propiedades de las sucesiones de funciones

T5: (Sobre la conmutatividad del lımite de una sucesion defunciones)Sea (fn(x))n una sucesion de funciones definidas en I ⊂ R tal quepara cada n ∈ N existe el lımite lım

x→x0fn(x) = ln, x0 ∈ I . Si

fn(x) ⇒ f (x) en I , entonces

lımn→∞

(

lımx→x0

fn(x)

)

= lımx→x0

(

lımn→∞

fn(x))

Corolario: (Sobre la continuidad de una sucesion de funciones)Sea (fn)

∞

n=0 una sucesion de funciones definidas en I ⊂ R. Si fn escontinua en I para todo n ∈ N, y fn converge uniformemente a fen I entonces f es continua en I .

Propiedades de las series de funciones

T6: (Sobre la conmutatividad del lımite y la suma para una seriede funciones)

Sea

∞∑

n=1

an(x) una serie de funciones uniformemente convergente

en I tales que lımx→x0

an(x) = an, entonces

lımx→x0

(

∞∑

n=1

an(x)

)

=∞∑

n=1

(

lımx→x0

an(x)

)

=∞∑

n=1

an.

Si ademas, las funciones an(x) son continuas, entonces la sumaS(x) de la serie es una funcion continua.


T6: (Sobre la conmutatividad del lımite y la suma para una seriede funciones)

Sea

∞∑

n=1

an(x) una serie de funciones uniformemente convergente

en I tales que lımx→x0

an(x) = an, entonces

lımx→x0

(

∞∑

n=1

an(x)

)

=∞∑

n=1

(

lımx→x0

an(x)

)

=∞∑

n=1

an.

Si ademas, las funciones an(x) son continuas, entonces la sumaS(x) de la serie es una funcion continua.

El inverso es falso en general, i.e., si fn(x) → f (x) en I , y fn(x) yf (x) son continuas en I , ello no implica fn(x) ⇒ f (x).

Propiedades de las series de funcionesT7: (Sobre la integrabilidad de una sucesion de funciones)Sea (fn)

∞

n=0 una sucesion de funciones fn : [a, b] ⊂ R 7→ R

integrables en [a, b] y sea fn ⇒ f en [a, b]. Entonces

lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

[ lımn→∞

fn(x)]dx =

∫ b

a

f (x)dx .


∞



lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

[ lımn→∞

fn(x)]dx =

∫ b

a

f (x)dx .

Corolario: Sea S(x) =∞∑

n=1

an(x) una serie de funciones

uniformemente convergente en [a, b] t.q. an(x) son integrables en[a, b], entonces S(x) es integrable en [a, b] y

∞∑

n=1

(∫ b

a

an(x)dx

)

=

∫ b

a

(

∞∑

n=1

an(x)

)

dx =

∫ b

a

S(x)dx .


∞



lımn→∞

∫ b

a

fn(x)dx =

∫ b

a

[ lımn→∞

fn(x)]dx =

∫ b

a

f (x)dx .

Corolario: Sea S(x) =∞∑

n=1

an(x) una serie de funciones

uniformemente convergente en [a, b] t.q. an(x) son integrables en[a, b], entonces S(x) es integrable en [a, b] y

∞∑

n=1

(∫ b

a

an(x)dx

)

=

∫ b

a

(

∞∑

n=1

an(x)

)

dx =

∫ b

a

S(x)dx .

Demostraremos una version mas sencilla: impondremos que lasfunciones fn(x) son continuas en [a, b].


T8: (Sobre la derivabilidad de una sucesion de funciones)Sea (fn)

∞

n=0 una sucesion de funciones definidas en un intervaloacotado I ⊂ R y derivables en I tales que para cierto x0 ∈ I setiene lım

n→∞

fn(x0) = l y ademas la sucesion de funciones (f ′n)∞

n=0

converja uniformemente a g en I . Entonces la sucesion (fn)∞

n=0

converge uniformemente a cierta funcion f en I y ademasf ′(x) = g(x) para todo x ∈ I , es decir la sucesion se puede derivartermino a termino, i.e.,

(

lımn→∞

fn(x))

′

= lımn→∞

f ′n(x).


T8: (Sobre la derivabilidad de una sucesion de funciones)Sea (fn)

∞

n=0 una sucesion de funciones definidas en un intervaloacotado I ⊂ R y derivables en I tales que para cierto x0 ∈ I setiene lım

n→∞

fn(x0) = l y ademas la sucesion de funciones (f ′n)∞

n=0

converja uniformemente a g en I . Entonces la sucesion (fn)∞

n=0

converge uniformemente a cierta funcion f en I y ademasf ′(x) = g(x) para todo x ∈ I , es decir la sucesion se puede derivartermino a termino, i.e.,

(

lımn→∞

fn(x))

′

= lımn→∞

f ′n(x).

Notese que NO es suficiente la convergencia uniforme de lasucesion, sino la convergencia uniforme de la sucesion de derivadas+ convergencia para algun x0 ∈ I .

Demostracion:

Definamos la sucesion de funciones (ϕn(x))n, definidas por

ϕn(x) =

fn(x)− fn(x0)

x − x0, x 6= x0

f ′n(x0), x = x0

Las funciones ϕn(x) son continuas en I –pues las funciones fn(x)son derivables en I por condicion del teorema–.

Probemos que ϕn(x) ⇒ ϕ(x) en I . En efecto, aplicando el criteriode Cauchy para la convergencia uniforme tenemos

Demostracion:

|ϕn+p(x)− ϕn(x)| =∣

∣

∣

∣

(fn+p(x)− fn(x)) − (fn+p(x0)− fn(x0))

x − x0

∣

∣

∣

∣

=

=∣

∣f ′n+p(ξ)− f ′n(ξ)∣

∣ ,

donde ξ ∈ (x , x0). Para obtener la ultima igualdad hemos aplicadoel teorema del valor medio de Lagrange a la funcionF (x) = fn+p(x)− fn(x), es decir, F (x)− F (x0) = F ′(ξ)(x − x0).

Ademas, por definicion tenemos ϕn+p(x0)− ϕn(x0)= f ′n+p(x0)− f ′n(x0), luego |ϕn+p(x)− ϕn(x)| =

∣

∣f ′n+p(ξ)− f ′n(ξ)∣

∣

para todo x ∈ I . Ahora bien, como f ′n(x) ⇒ g(x) en I , entonces,para todo ǫ > 0 existe un N ∈ N tal que para todo n > N, p ∈ N ypara todo x ∈ I ,

∣

∣f ′n+p(ξ)− f ′n(ξ)∣

∣ < ǫ, entonces

|ϕn+p(x)− ϕn(x)| =∣

∣f ′n+p(ξ)− f ′n(ξ)∣

∣ < ǫ

de donde deducimos que ϕn(x) ⇒ ϕ(x) en I .

Demostracion:

Probemos ahora que fn(x) ⇒ f (x) en I . Para ello usamos lasidentidades fn+p(x) = fn+p(x0) + (x − x0)ϕn+p(x), yfn(x) = fn(x0) + (x − x0)ϕn(x). Entonces,

|fn+p(x) − fn(x)| = |fn+p(x0)− fn(x0) + (x − x0)[ϕn+p(x)− ϕn(x)]|

≤ |fn+p(x0)− fn(x0)|+ |x − x0| |ϕn+p(x)− ϕn(x)|

Ahora bien, como fn(x0) → f (x0), entonces, para todo ǫ > 0 existeun N1 ∈ N tal que para todo n > N1, y p ∈ N,|fn+p(x0)− fn(x0)| < ǫ/2. Ademas, ϕn(x) ⇒ ϕ(x) en I , por tanto,para todo ǫ > 0 existe un N2 ∈ N tal que para todo n > N, p ∈ N

y para todo x ∈ I , |ϕn+p(x)− ϕn(x)| < ǫ/2(b − a), es decir, paratodo ǫ > 0 existe un N ∈ N –N = max(N1,N2)– tal que para todon > N, p ∈ N y para todo x ∈ I , |fn+p(x)− fn(x)| < ǫ, o sea,fn(x) ⇒ f (x) en I .

Demostracion:

Para culminar nuestra prueba nos resta demostrar que la funcionlımite f (x) es derivable en I y que f ′(x) = g(x) para todo x ∈ I ,es decir, que f ′(x) = lımn→∞ f ′n(x).Ante todo, notemos que puesto que fn(x) ⇒ f (x) en I , entonces lacondicion lım

n→∞

fn(x0) = f (x0) se cumple para cualquiera sea x0 ∈ I

y no solo para el x0 prefijado en el enunciado del teorema. Portanto, si probamos que f (x) es derivable en cierto ζ ∈ I –enparticular x0– y que f ′n(ζ) → f ′(ζ) = g(ζ), entonces f ′(x) = g(x)en todo I . Escojamos por tanto un ζ cualquiera y redefinamos lasfunciones

ϕn(x) =

fn(x)− fn(ζ)

x − ζ, x 6= ζ

f ′n(ζ), x = ζ

Como antes, las funciones ϕn(x) son continuas en I yϕn(x) ⇒ ϕ(x) en I . Luego

Demostracion:

ϕ(x) = lımn→∞

ϕn(x) = lımn→∞

fn(x)− fn(ζ)

x − ζ=

f (x)− f (ζ)

x − ζ.

Lo anterior junto con el hecho de que todas las funciones ϕn(x)son continuas en I , y que ϕn(x) ⇒ ϕ(x) en I , nos permiten utilizarel teorema sobre la continuidad de una sucesion de funciones paraafirmar que ϕ(x) es continua en I ası como el teorema sobre ellımite que nos da

lımx→ζ

f (x)− f (ζ)

x − ζ= lım

x→ζ

(

lımn→∞

fn(x)− fn(ζ)

x − ζ

)

= lımn→∞

(

lımx→ζ

fn(x)− fn(ζ)

x − ζ

)

= lımn→∞

f ′n(ζ).

Esta igualdad nos asegura que existe la derivada de f (x) para todox ∈ I , y ademas que

f ′(ζ) = lımx→ζ

ϕ(x) = lımn→∞

f ′n(ζ), ∀ζ ∈ I ,

que es que se querıa demostrar.

Aplicacion a las series de potencias

T9: (Segundo Teorema de Abel para las series de potencias)

Cualquiera sea la serie de potencias

∞∑

n=0

anzn, an, z ∈ C, ∃R ≥ 0

o R = +∞ t.q. R es el radio de convergencia de la serie. Ademas,la serie converge absolutamente para todo z tal que |z | < R yuniformemente para todo z tal que |z | ≤ r < R .




∞∑

n=0

anzn, an, z ∈ C, ∃R ≥ 0


T10: (Sobre la convergencia uniforme de una serie de potencias)

Sea la serie de potencias∞∑

n=0

anzn, an, z ∈ C. Entonces la serie

converge uniformemente en cualquier region del plano complejo

contenida en |z | ≤ r < R, con R =1

lımn

n√

|an|.




∞∑

n=0

anzn, an, z ∈ C, ∃R ≥ 0


T10: (Sobre la convergencia uniforme de una serie de potencias)

Sea la serie de potencias∞∑

n=0

anzn, an, z ∈ C. Entonces la serie

converge uniformemente en cualquier region del plano complejo

contenida en |z | ≤ r < R, con R =1

lımn

n√

|an|.

Ejercicio: Aplica los teoremas T6, T7 y T8 a las series de potencias.

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Renato Alvarez Nodarse´ - euler.us.eseuler.us.es/~renato/clases/aa-af/beamer-ser-fun.pdf · Sucesiones y series de funciones. En este apartado vamos a considerar una extensi´on