Lección 2.1

Integración por Sustitución

11/07/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 22

Objetivo

Al finalizar esta lección podrá:

• Reconocer cuándo se debe usar el método de

sustitución para integrar.

• Reconocer cuándo usar la Regla de la Potencia de la

Integración para hallar la integral indefinida y

definida.

• Usar la Regla de la Sustitución de la Integración.

• Usar la técnica de multipicar y dividir constantes en

conjunto con la Regla de la Sustitución para hallar la

integral indefinida y definida.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011 2 de 22

Regla de la sustitución

• Sea u una función diferenciable y F una

función tal que F’(u) = f(u). Entonces,

• Pasos a seguir:

1. Seleccione u y calcule el diferencial du.

2. Exprese el integral en términos de u.

3. Integre.

4. Exprese resultado en términos de variable

original

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

cuFdxxuuf )()()(

3 de 22

Ejemplo 1

• Encuentre:

• Solución:

1. Seleccione u y calcule el diferencial du:

2. Escriba el integral en términos de u:

3. Integre:

4. Exprese resultado en términos de variable original

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

xdxx 2142

12 xu xdx

du2

duu4c

u

5

5

c

xxdxx

5

121

5242

xdxdu 2

4 de 22

Ejemplo 2

• Encuentre:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dx

x

x 8lncos

8ln xu

dxx

du1

cu )sin(

cxdxx

x

)8sin(ln

)8cos(ln

dxx

x1

8lncos

duu)cos(

5 de 22

Ejemplo 3

• Encuentre:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxxx332 52

52 3 xu

dxxdu 26 duu3

6

1c

u

46

1 4

c

xdxxx

24

5252

43332

dxxx 233 52

dxxx 233 6526

1

6 de 22

Ejemplo 4

• Encuentre:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxx

x241

241 xu

xdxdu 8

duu 21

8

1

cu

21

21

8

1

dxxx 41 21

2

xdxx 8418

121

2

cu

4

21

cx

dxx

x

4

41

41

2

2

7 de 22

Ejercicio #1

• Calcule:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxex x342

34xu

dxxdu 212

dxxe x 24 3

dxxe x 24 1212

1 3

dueu

12

1

ceu

12

1

ce x

12

34

8 de 22

Ejercicio #2

• Calcule:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dwww

wlncos

11

wwu ln

dww

du

11 uducos

dw

www

11lncos

cu sin

cww )lnsin(

9 de 22

Ejemplo 5

• Calcule:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxxx ))cos(2)(sin( 4

)cos(2 xu

)()sin( xdx

dx

dx

du

cu

5

5

dxxdu )1)(sin( duu 4)(

dxxx )sin())cos(2( 4

c

x

5

)cos(25

dxxdu )sin(1

10 de 22

Ejercicio #3

• Calcule:

• Solución:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dzzz )3(sin3cos 10

zu 3sin

zdz

dz

dz

du33cos

cu

113

1 11

dzzdu 3cos3

duu 10)(3

1

dzzz 3cos3)3(sin3

1 10

cz

33

3sin11

1010 )3(sin)3(sin zz

11 de 22

Ejemplo 6

• Compare:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dy

y 4

3

4 yu

dydu

dy

y

y

4

32

dy

y

y22 4

3

dyy 4

32

dy

y 4

13

duu

13

42 yu

ydydu 2

ydy

y2

4

1

2

32

duu

1

2

3

42 yu

ydydu 2

ydy

y2

)4(

1

2

322

duu2

1

2

3

cy 4ln3 cy 4ln2

3 2

Continúa en la

próxima …

c

y

42

32

duu 2

2

3

12 de 22

Ejemplo 6 ….

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dy

y 4

32

2

yu

dydu2

1

dyy

14

4

32

dy

y1

2

1

4

32

dy

y 2

1

12

12

4

32

du

u21

1

2

3

cu 1tan2

3

cy

2tan

2

3 1c

a

u

adu

ua

1

22tan

11

:recordar para Fórmula

13 de 22

Fórmulas para recordar

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

tan𝑢 𝑑𝑢 = −ln | cos 𝑢| + 𝑐

cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sin 𝑢| + 𝑐

𝑠𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = ln | sec 𝑢 + tan𝑢 | + 𝑐

𝑐𝑠𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = −ln | csc 𝑢 + cot 𝑢 | + 𝑐

14 de 22

Ejercicios #4

• Calcule:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxex x

342

dxxx sincos3

dxx

x

7 3

2

dxxx )5cos( 43

dxx

25

12

ce x 34

12

1

cx 4cos4

1

cx 37ln3

1

cx )5sin(20

1 4

cx

5tan

5

1 1

dxx

6csc c

xx

6cot

6cscln6

15 de 22

Ejemplo 7

• Calcule:

• Solución:

• Calcule los límites de integración en términos de u.

• Proceda con la sustitución. Incluya los nuevos límites

de integración

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxx

0

1

25)1(

1 xu dxdu

01)1()1( u 11)0()0( u

duu1

0

25

1

0

26

26

u

26

1

26

)0(

26

)1( 2626

dxx

0

1

25)1(

16 de 22

Ejemplo 8

• Calcule:

• Solución:

• Calcule los límites de integración en términos de u.

• Proceda con la sustitución. Incluya los nuevos límites

de integración

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxx

xe

1

ln

xu ln dxx

du1

dxx

x

e

1

1ln

01ln)1( u 1ln)( eeu

duu

1

0

1

0

2

2

u

2

1

2

0

2

1 22

dx

xx

e

1

1ln

17 de 22

Ejercicios #5

• Calcule:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

1

0

32 1 dxxx

1

0

32 212

1xdxx

2

1

4

42

1 u

8

15

2

1

4

8

1u

2

1

3

2

1duu

44 128

1

18 de 22

Ejemplo 9

• Calcule:

• Solución:

• Calcule los límites de integración en términos de u.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

dxx

x

12

0

2

3tan6

3sec

xu 3tan6 xdxdu 3sec3 2

4tan6

)03tan(6)0( u

dxxx

12

0

2 3sec33tan6

1

3

1

7

6

1

3

1du

u

dxxx

12

0

2 3sec3tan6

1

)12

3tan(612

u 716

0tan6 606

7

6||ln

3

1u

|6|ln|7|ln3

1 6ln7ln

3

1

6

7ln

3

1

19 de 22

Ejemplo 10

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

2

1

61

cotcsc dttt tu

dtdu

2

1

2

1

u

2

66

1

6

1

u

2

1

61

csccot1

dttt

2

6

csccot1

duuu

2

6

csc1

u

6csc

2csc

1

6sin

1

2sin

11

211

1

20 de 22

Ejercicios #6

• Calcule:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011

4

0 12

1dx

x

4

0

2

1

2)12(2

1dxx

9

1

2

1

212

1

u

2

9

1

2

1

2

1duu

9

1

2

1

u 21

21

19

21 de 22

Actividades 2.1

• Ejercicios: Stewart; Problemas impares 1 –

33 de la página 392 y 39 -53 de la página

392. Soluciones en página 109

• Referencias:

• Visual Calculus: Tutorial: Integration using

Substitution Ejercicios: Integration by

Substitution.

• Paul's Online Math Notes - Substitution Rule

for the Indefinite Integrals ; More Substituion

Rule; Substitution Rule for Definite Integrals.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11/07/2011 22 de 22