Repaso Examen #3 Instructor: Roberto C. Toro Curso: Precálculo I Semestre: II Año: 2011-2012

Temas Para el Examen

y Funciones Exponenciales

y Función Exponencial Natural

y Funciones Logarítmicas

y Leyes de Logarítmos

y Ecuaciones Logarítmicas y Exponenciales

y Funciones Cuadráticas y Modelos

y Funciones Polinómicas y sus Gráficas

Ejemplo 1 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 y 𝒈 𝒙 = 𝟓𝒙 en el mismo plano.

Ejemplo 1 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 y 𝒈 𝒙 = 𝟓𝒙 en el mismo plano.

Ejemplo 2 Hallar la función exponencial 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 cuya gráfica se muestra a continuación. y 9 (2,9) 1 2 x

Ejemplo 3 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟏 − 𝟑 utilizando transformaciones. Indicar dominio, rango y asíntota.

Ejemplo 3 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟏 − 𝟑 utilizando transformaciones. Indicar dominio, rango y asíntota.

Ejemplo 4 Si Juan invierte $𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 en una cuenta a un interés de 𝟔% calculado mensualmente. Encuentra el valor de la inversión luego de 3 años.

Ejemplo 5 Si José invierte $𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 en una cuenta a un interés de 𝟔% calculado continuamente. Encuentra el valor de la inversión luego de 3 años.

Ejemplo 6 Trazar la gráfica de 𝒈 𝒙 = 𝒆 𝒙 + 𝟒. Indicar dominio, rango y asíntota.

Ejemplo 6 Trazar la gráfica de 𝒈 𝒙 = 𝒆 𝒙 + 𝟒. Indicar dominio, rango y asíntota.

Ejemplo 7 Los sismólogos utilizan la escala Richter para medir la magnitud de un terremoto. La escala de Richter de un terremoto depende de la razón de la intensidad 𝑰 del terremoto y la intensidad de referencia 𝑰𝟎 la cual es el movimiento mínimo que puede ser medido por un sismógrafo. El número de Richter está dado por

𝑹 = log𝐼𝐼 

Determina la escala de Richter de un terremoto cuya intensidad es 50,000 veces la intensidad de referencia.

Ejemplo 8 Expresar la ecuación en forma exponencial. 1) log 𝟎. 𝟏 = −𝟏

2) ln 𝒆 = 𝟏

Ejemplo 9 Expresar la ecuación en forma logarítmica. 1) 𝟐𝟓 = 𝟑𝟐

2) 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓

Ejemplo 10 Evaluar las siguientes expresiones. 1) log𝟓 𝟏𝟐𝟓

2) log𝟑 𝟑𝟓

3) 𝟕 𝟕 𝟑

4) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟎𝟎

Ejemplo 11 Encuentra la función logarítmica 𝒇 𝒙 = log𝒂 𝒙 cuya gráfica se muestra a continuación. 2 (4,2) 1 4

Ejemplo 12 Encuentra el dominio de 𝐠 𝒙 = log𝟐(𝒙𝟐 − 𝟒).

Ejemplo 13 Encuentra el dominio de 𝐡 𝒙 = ln 𝒙 − log𝟏𝟎𝟎𝟎𝟏(𝟐𝟓 − 𝒙𝟐).

Ejemplo 14 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = log𝟒 𝒙.

Ejemplo 14 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = log𝟒 𝒙.

Ejemplo 15 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟏 − log𝟓 𝒙 + 𝟐 . Indicar dominio, rango y asíntota.

Ejemplo 15 Trazar la gráfica de 𝒇 𝒙 = 𝟏 − log𝟓 𝒙 + 𝟐 . Indicar dominio, rango y asíntota.

Ejemplo 16 Utilizar las leyes de logarítmos para evaluar las siguientes expresiones. 1) log 𝟑𝟎 − log𝟑

2) log𝟐𝟏𝟑𝟐

3) log𝟐(log𝟐 𝟐𝟔𝟒)

Ejemplo 17 Expandir la expresión log𝟑

𝒙𝒚𝒛𝟐

𝒘𝒗

.

Ejemplo 18 Expandir la expresión log𝟓

𝒙𝟐 𝟐𝒙 𝟏 𝟑 𝒙 𝟓

.

Ejemplo 19 Combinar la expresión ln 𝑥 + 3 + ln 𝑥 − 5 − 2ln 𝑥 + 4 .

Ejemplo 20 Combinar la expresión 2ln 𝑥 + 3ln 𝑦 − 4ln 𝑧 − 2 ln𝑤.

Ejemplo 21 Evaluar los siguientes logarítmos a seis lugares decimales. 1) log𝟕 𝟏𝟓

2) log𝟏.𝟐 𝟏𝟗. 𝟏

Ejemplo 22 Resuelve la ecuación 𝟒𝒙 𝟕 = 𝟔𝟒𝒙.

Ejemplo 23 Resuelve la ecuación 𝟓𝟒 𝒙 = 𝟕𝟑𝒙 𝟏.

Ejemplo 24 Resuelve la ecuación 𝒆𝟐𝒙 − 𝟔𝒆𝒙 − 𝟕 = 𝟎.

Ejemplo 25 Resuelve la ecuación 𝒆𝒙 − 𝟏𝟐𝒆 𝒙 − 𝟏 = 𝟎.

Ejemplo 26 Resuelve la ecuación 𝒙𝟐𝟑𝒙 − 𝟒 𝟑𝒙 = 𝟎.

Ejemplo 27 Resuelve la ecuación log𝟐 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟓.

Ejemplo 28 Resuelve la ecuación log 𝒙 + log 𝑥 + 3 = 1.

Ejemplo 29 Sylmarie invierte una cierta cantidad de dinero a una tasa de interés de 𝟔% calculado trimestralmente. Determina cuanto tiempo tomará para que la cantidad de dinero se duplique.

Ejemplo 30 Un terremoto en San Francisco en 1989 se reportó que tuvo una magnitud de 6.90 en la escala Richter. ¿Cómo se compara la intensidad del terremoto con la intensidad de referencia?

Ejemplo 31 Considerar la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟐𝟕. (a) Escribir la función en forma estándar. (b) Trazar la gráfica de 𝒇.

Ejemplo 31 Considerar la función 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟐𝟕. (a) Escribir la función en forma estándar. (b) Trazar la gráfica de 𝒇.

Ejemplo 32 Considerar la función 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐. (a) Hallar el máximo ó mínimo local de 𝒇. (b) Determina el dominio y el rango de 𝒇.

Ejemplo 33 Cuando una cierta droga se toma oralmente, la concentración de dicha droga en la sangre luego de 𝒕 minutos esta dada por

𝑪 𝒕 = 𝟎. 𝟎𝟔𝒕 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝒕𝟐 donde 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝟒𝟎 y la concentración se mide en mg/L. ¿Cuando se alcanza la concentración máxima de una droga A en la sangre y cuál es la concentración máxima?

Ejemplo 34 Un hombre tiene 2400 pies de verja para encerrar un terreno rectangular adyacente a un rio recto. El hombre no desea colocar verja a lo largo del rio. Encuentra las dimensiones del terreno que maximizan el área encerrada.

Ejemplo 35 Determina el comportamiento final de los siguientes polinomios. a) 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 b)𝑺 𝒕 = 𝒕𝟖 − 𝟓𝒕𝟒 + 𝟐𝒕𝟑 − 𝒕𝟐 + 𝒕 + 𝟏

Ejemplo 36 Trazar la gráfica de 𝑷 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝟐.

Ejemplo 36 Trazar la gráfica de 𝑷 𝒙 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟐 𝟐.

Ejemplo 37 Trazar la gráfica de 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟗.

Ejemplo 37 Trazar la gráfica de 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟗.

Ejemplo 38 Trazar la gráfica de 𝐑 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒.

Ejemplo 38 Trazar la gráfica de 𝐑 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒.

Ejemplo 39 Determina la cantidad máxima de ceros que pueden tener los siguientes polinomios. a) 𝑷 𝒙 = 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏

b) 𝑹 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙𝟗 − 𝟖𝒙𝟕 − 𝟒𝒙𝟔 + 𝟐𝒙𝟓 − 𝟓𝒙𝟒 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟖

FIN Recordatorio: Examen #3 Fecha: Martes 1 de mayo de 2012 Horario: 7:30-9:00 pm