Repaso Repaso sobre el sobre el grupo de grupo de Teoremas Teoremas

de de Pitágoras.Pitágoras.

Clase 143

Revisión del estudio Revisión del estudio individualindividual..1.En la figura: 1.En la figura: ED ED BCBC; ; = 50 = 5000; ; = 30 = 300 0 y ; CA y y ; CA y ED se cortan en ED se cortan en F. Halla F. Halla y y ..

1.En la figura: 1.En la figura: ED ED BCBC; ; = 50 = 5000; ; = 30 = 300 0 y ; CA y y ; CA y ED se cortan en ED se cortan en F. Halla F. Halla y y .. DD AA BB

CC

FF

EE

D A B

C

F

E

por ser ED BC, entonces BDE es rectángulo en E.

+ = 900

+ 500 = 900

= 900 – 500

= 40= 4000

DFA = por ángulos opuestos por el vértice.DFA = 300

por ángulos complementarios de un triángulo rectángulo

D A B

C

F

E

= + DFA por ángulo exterior al DFA. = 400 + 300

= 70= 7000

Teorema del ángulo de Teorema del ángulo de 303000: c = : c = 22a ; a ; si si = = 303000 c = c = 22b ; b ; si si = =

303000

Razones Razones trigonométricatrigonométrica

ss

En todo En todo triángulo triángulo rectángulrectángulo se o se cumple:cumple:

En todo En todo triángulo triángulo rectángulrectángulo se o se cumple:cumple:

AAAA BBBB

CCCC

aaaabbbb

ccccpppp qqqq

hhhh

Teorema Teorema de de

Pitágoras: Pitágoras: cc22 = a = a22 + b + b22

Teorema de Teorema de la altura: la altura:

hh22 = p= p·q·q

Teorema de los Teorema de los catetos: acatetos: a22= q= q·c ; ·c ; bb22= =

pp·c ·c

Grupo de Grupo de teoremas de teoremas de

PitágorasPitágoras

EjercicioEjercicio 11EjercicioEjercicio 11 En un triángulo En un triángulo rectángulo cuyos catetos rectángulo cuyos catetos

miden miden 3,03,0 u y u y 4,04,0 u u respectivamente, halla la respectivamente, halla la

longitud de la altura longitud de la altura relativa a la hipotenusa. relativa a la hipotenusa.

En un triángulo En un triángulo rectángulo cuyos catetos rectángulo cuyos catetos

miden miden 3,03,0 u y u y 4,04,0 u u respectivamente, halla la respectivamente, halla la

longitud de la altura longitud de la altura relativa a la hipotenusa. relativa a la hipotenusa.

A B A B

CCaabb

cc

hhcchhccqqqqpppp

a = 4,0u ; b = 3,0upor el Teorema deTeorema de PitágorasPitágoras tenemos:

cc22 = a = a22 + b + b22cc22 = a = a22 + b + b22

c2 = (4u)2 + (3u)2

c2 = 16u2 + 9u2

c2 = 25u2

c = 5u

por el Teorema Teorema de los catetosde los catetos tenemos:

aa22= q · c= q · caa22= q · c= q · c

q = a2

c16u2

5u= = 3,2u

A B A B

CCaabb

cc

hhcchhccqqqqpppp

p = c – q p = c – q

por diferencia de diferencia de segmentossegmentos tenemos:

p = 5u – 3,2u p = 1,8u

por el Teorema de la alturaTeorema de la altura tenemos: hh22 = p · q = p · qhh22 = p · q = p · q

h2 = 1,8u · 3,2u h2 = 5,76u2

h = 2,4uh = 2,4u

Ejercicio 2Ejercicio 2Ejercicio 2Ejercicio 2El perímetro de un El perímetro de un triángulo isósceles es de triángulo isósceles es de 3636 cm. Si los lados iguales cm. Si los lados iguales miden miden 13 13 cm. Calcula: cm. Calcula: a) la a) la longitud de la altura longitud de la altura relativa a la base, relativa a la base, b) la b) la distancia del pie de dicha distancia del pie de dicha altura a cualquiera de los altura a cualquiera de los lados iguales. lados iguales.

El perímetro de un El perímetro de un triángulo isósceles es de triángulo isósceles es de 3636 cm. Si los lados iguales cm. Si los lados iguales miden miden 13 13 cm. Calcula: cm. Calcula: a) la a) la longitud de la altura longitud de la altura relativa a la base, relativa a la base, b) la b) la distancia del pie de dicha distancia del pie de dicha altura a cualquiera de los altura a cualquiera de los lados iguales. lados iguales.

M NM NM NM N

RRRR

QQQQ

MNR: isósceles

de base MN, RQ = hMN

p = 36cm; MR = NR =13cm

p = 2MR + MN por ser el MNR isósceles de base MN.

36cm = 2·13cm + MN36cm = 26cm + MN

MN = 10cm

M NM NM NM N

RRRR

QQQQ

como en el triángulo isósceles la altura relativa a la base coincide con la mediana y mediatriz relativa a ese lado, entonces:

NQ = MN2

10cm2

= = 5cm

NQR rectángulo en Q por ser

RQ = hMN

M NM NM NM N

RRRR

QQQQ

por el Teorema de Pitágoras

RN2 = RQ2 + NQ2

RQ2 = RN2 – NQ2

RQ2 = (13cm)2 – (5cm)2

RQ2 = 169cm2 – 25cm2

RQ2 = 144cm2

RQ = 12cm

M NM NM NM N

RRRR

QQQQ

SS

En el triángulo rectángulo RQN tenemos: QS = hRN

por el Teorema Teorema de los catetosde los catetos

QN2 = SN · RN

SN = QN2

RN52

13=

2513

= 1,92 cm

b)b)

M NM NM NM N

RRRR

QQQQ

SS

En el QSN rectángulo en S tenemos por el Teorema de Teorema de Pitágoras Pitágoras que:que:

QN2 = SN2+ QS2 QS2 = QN2 – SN2 QS2 = 52 – 1,922 QS2 = 25 – 3,6864 QS2 = 21,3136QS2 21,31

QS 21,31

QS 4,62 cm

La distancia La distancia del centro de del centro de la base a los la base a los lados iguales lados iguales es de es de 4,624,62cm .cm .

En el ABC rectángulo en C, a = 36,0cm y b = 15,0cm. Calcula el área de cada uno de los rectángulos sombreados en la figura.

A B

C

ab

q

h

h

pb AA11

AA22

Para el estudio individualPara el estudio individual

RespResp: A: A11= 498 cm= 498 cm22; ;

AA22= 192 cm= 192 cm22

c2 = a2 + b2 por el Teorema de Pitágoras.

c2 = (36)2 + (15)2 c2 = 1 296 + 225

c2 = 1 521

c = 1 521

c = 39 cm

por el teorema de los catetos tenemos:

a2 = pc

p =a2

c362

39=

= 1 29639

33,23A1 = pb

= 33,23 15

= 498,45 cm2

498 cm2