UNIDAD: Teoremas de

Pitágoras, Euclides y Tales

Docente: Camilo Castillo

Objetivos

• Conocer los teoremas de Pitágoras,

Euclides y Tales, su relación con las

proporciones entre elementos de

triángulos y sus aplicaciones.

¿Qué es el Teorema de

Pitágoras?

¿Qué es el Teorema de

Pitágoras?

• Establece la relación que existe entre

los catetos y la hipotenusa de un

triángulo rectángulo.

– Recordar que los catetos son los lados que

formar el ángulo recto y la hipotenusa el

lado opuesto a dicho ángulo.

¿Qué es el Teorema de

Pitágoras?

• Los suma de las áreas de los cuadrados

que se pueden dibujar a partir de los

catetos del triángulo rectángulo es igual

al área del cuadrado que se puede

dibujar a partir de su hipotenusa.

¿Qué es el Teorema de

Pitágoras?

¿Qué es el Teorema de

Pitágoras?

• Matemáticamente:

a2 + b2 = c2

Donde a y b son la medida de los catetos y

c la medida de la hipotenusa

¿Qué es el Teorema de

Pitágoras?

• Ejemplo: Determinar la medida de la

hipotenusa (c) de un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 12u y

5u.𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐

𝟏𝟐𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝒄𝟐

𝟏𝟒𝟒+ 𝟐𝟓 = 𝒄𝟐

𝟏𝟔𝟗 = 𝒄𝟐

𝒄 = 𝟏𝟔𝟗 = 𝟏𝟑𝒖

Números Pitagóricos

Números Pitagóricos

• Los números pitagóricos o tríos

pitagóricos, son ternas de números que

satisfacen el teorema de Pitágoras. Los

más usados son el 3-4-5 y el 5-12-13

aunque existen muchos más

• También sirven sus múltiplos como el 6-

8-10, el 10-24-26, el 1,5-2-2,5; etc

• El número mayor corresponde a la

hipotenusa y los restantes a los catetos

Teorema de Euclides

Teorema de Euclides

• El Teorema de Euclides relaciona las

medidas de los lados de un triángulo

rectángulo, su altura y las proyecciones

de los catetos sobre la hipotenusa

Teorema de Euclides

• “m”: proyección del cateto “b” sobre

la hipotenusa “c”

• “n”: proyección del cateto “a” sobre la

hipotenusa “c”

Teorema de Euclides

• Dos de las fórmulas del Teorema de

Euclides relacionan el cuadrado de cada

cateto con el producto de su

proyección y la hipotenusa

Teorema de Euclides

𝒃𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒄

𝒂𝟐 = 𝒏 ∙ 𝒄

Teorema de Euclides

• Otra de las fórmulas del Teorema de

Euclides relaciona el cuadrado de la

altura con el producto de ambas

proyecciones sobre la hipotenusa

Teorema de Euclides

𝒉𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏

Teorema de Euclides

• Una última fórmula nace a partir de las

tres anteriores y relaciona la altura con

los lados del triángulo

Teorema de Euclides

𝒉 =𝒂 ∙ 𝒃

𝒄

Teorema de Euclides

• Ejemplo: determinar el valor de x en el

siguiente triángulo

Teorema de Euclides

• Entonces, m=5 y n=4, por tanto la

hipotenusa c=9

𝒙𝟐 = 𝒏 ∙ 𝒄

𝒙𝟐 = 𝟗 ∙ 𝟒

𝒙𝟐 = 𝟑𝟔

𝒙 = 𝟑𝟔

𝒙 = 𝟔

Teorema de Tales

Teorema de Tales

• Relaciona las medidas entre segmentos

de rectas paralelas que son

intersectadas por un par de rectas

secantes

• Eventualmente, las rectas decante

pueden terminar formando un triángulo

Teorema de Tales

• L1//L2//L3 son intersectadas por dos

rectas secantes

L1

L2

L3

Teorema de Tales

• En este caso, se pueden describir una serie de proporcionalidades entre los distintos segmentos de rectas:

𝑨𝑩

𝑩𝑪 =

𝑨´𝑩´

𝑩′𝑪′

𝑨𝑩

𝑩𝑩′ =

𝑨𝑪

𝑪𝑪′

𝑨𝑩

𝑨𝑪 =

𝑨′𝑩′

𝑨′𝑪′

𝑨′𝑩′

𝑩′𝑩 =

𝑨′𝑪′

𝑪′𝑪

𝑩𝑪

𝑨𝑪 =

𝑩′𝑪′

𝑨′𝑪′

Teorema de Tales

• Algunas de las fórmulas mostradas, no son más que las proporciones de los segmentos homólogos

• El teorema de Tales se basa en el concepto de semejanza, por lo que es mejor deducir las fórmulas relacionando los lados de las figuras semejantes que pueden observarse

Teorema de Tales

• El teorema de Tales también puede

aplicarse en triángulos

Teorema de Tales

• O también puede aplicarse en rectas

que se cruzan de la siguiente manera

Teorema de Tales

• En este caso, las proporciones que

pueden describirse son:

𝑨𝑩

𝑩𝑬 =

𝑪𝑫

𝑫𝑬

𝑨𝑬

𝑬𝑪 =

𝑩𝑬

𝑬𝑫

𝑨𝑬

𝑨𝑪 =

𝑩𝑬

𝑩𝑫

Teorema de Tales

• Ejemplo: Determinar x

𝑨𝑬

𝑬𝑪 =

𝑩𝑬

𝑬𝑫

𝟖

𝟒=

𝟐

𝒙

𝒙 =𝟒 ∙ 𝟐

𝟖

𝒙 = 𝟏

Teorema de Tales

• Ejemplo: Determinar x

𝑨𝑩

𝑩𝑩′=

𝑨𝑪

𝑪𝑪′

𝟐

𝟒=

𝟖

𝒙

𝒙 =𝟖 ∙ 𝟒

𝟐

𝒙 = 𝟏𝟔

Ahora debes ejercitar…

¡Éxito!