Upload
anonymous-upvxi6
View
259
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
1/28
Repetitorij- trigonometrijske funkcije, skalarne i
vektorske veliine, operacije sa vektorima.
b
atg
c
bcos
c
a
sin
=
=
=
=
=
=
tgba
coscb
sinca
Odrediti visinu nebodera ako se zna
duina njegove sjenke i kut pod kojim se vidi
Sunce.
m0.0!".!m#.$%&0tgm#.$%tgba
'b
'a
a
o
====
=
=
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
2/28
Skalarne veliine- (a odre)ivanje ovi' veliinadovoljno je znati samo nji'ov iznos mjeren u odgovaraju*im
jedinicama.
+rimjeri masa, vrijeme, gustina, energija, snaga,duina,...Vektorske veliine- (a odre)ivanje ovi' veliinapotrebno je osim iznosaznati i nji'ov smijer.
+rimjeri pomak tijela, sila, brzina, ubrzanje, impuls,...
ektori se predstav-ljaju orjentiranim
duima. uina je
proporcionalna
iznosu vektora, a
smijer orjentirane
dui je i smjer
vektora.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
3/28
(brajanje vektora / pravilo trokuta 1ail to 2ead3 .
R=A+BR4#%&m5!#&m4600m
R=A+B
m70#3m!#&3m#%&89R #### =+=+=
Op*i sluaj
va vektora se zbrajaju po pravilu trokuta tako da se poetak drugog vektora postavi u vr'
+rvoga, a zatim se spoje poetak prvog i vr' prvoga i tako dobije rezultiraju*i vektor.
Pravilo trokuta
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
4/28
:omponente vektora ektori x i y su ; komponenta i < komponentavektora pomaka r. +o konstrukciji, ; i Vektor #omaka ektor pomaka je vektor koji ima smijer od poetnog poloaja
estice prema njenom konanom poloaju. ?jegov iznos jednak je udaljenosti izme)u
poetnog i konanog poloaja.
SB jedinica za pomak je metar !m
x=x)+x
x=x>x)
+x
:))m
9))m
C;4;-;045&00m3-5#00m345700m
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
8/28
Vektor srednje brine!
t
;
tt
;;v
0
0
=
=
+x
+x
SI jedini4a! ms
-rijeme
+omakbrzinaSrednja =
Primjer! Andy Creen (00> svjetski rekord u automobiluD8rust SS%
Prva vo3nja! sDm&.77"s%6.6
m!$0"
t
;v +=
+=
=
ru$a vo3nja! mDs%.76#s$"&.6
m!$0"
t
;v =
=
=
t
;limv
0t
=
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
9/28
Vektor ubranja
t
v
tt
vva
Vrijeme
brzineomjenaPrubrzanjeSrednja
=
=
=
0
0
v)
a
v
SI jedini4a! ms9
a=9.:ms
Primjer! Avion #olai i stanja mirovanjat)=)& ? i #oslije t=90.)s dosti3ebrinu od +9*)km8 . "drediti srednje
ubranje aviona.
0v0 =
Prvo 6to treba uraditi je #revestijedini4e u one i SI sistema.
sDm%#s7$00
m!000#$0
'
km#$0v =
==
+x
#
0
0
sDm&.#s0s#"
sDm0sDm%#
tt
vv
a +=
+=
=
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
10/28
Primjer! ra$ster #rolai liniju 4ilja i voa dra$ ra4er? u#trebljava #adobran da bi se austavio. Voilo #oinje koiti u trenutku t)=0.)s kada je nje$ova brina bila v)=+9'ms.
/ trenutku t=(9.)s& brina voila se smanjila na v=(E.)ms. "drediti srednje ubranje dra$stera.
Srednje ubrzanje dragstera je
#
0
0 sDm0.&s0."s0.!#
3sDm#sDm!7
tt
vva =
+=
=
Drenutno ubranje!
t
vlima
0t
=
,ada ak4elera4ija i brina
imaju raliite smjerove&nji8ove kom#onente imajusu#rotne #rednake&tijelo us#orava& de4elerira.
Ako se ubranje tijela ne mijenja u toku kretanja& ostaje konstantno&
takvo kretanje se ove jednoliko ubrano kretanje.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
11/28
,inematike jednad3be jednoliko$ #ravolinijsko$ kretanja
Eednadba x a v v0 t
- 5 5 5 5
5 - 5 5 5
5 5 - 5 5
5 5 5 5 -
tavv += 0
t)vv(x += 0#
!
#
#
0
tatvx
+=
xavv += ##0#
; a v v0 t
a bi se #roblem jednoliko$#ravolinijsko$ kretanja mo$ao rije6itiF"RA@/ biti #onate bar DRIkinematike varijable.
Protiv $lavobolje!
>/ #rvom koraku treba odreditismjer #oitivne ose + ?.>Pa3ljivo itati #roblem i akljuiti
radi li se radi o us#orenomkretanju. Ako da& ubranje seuima sa ne$ativnim #rednakom.
GAF"7HA DAB5A
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
12/28
Primjer
;m3 amDs#
3 vmDs3 v0mDs3 t s3
5#!&000 -!0.0 F 7#&0mDs
Svemirski brod kre2e se brinom od +E9:)ms. / jednom trenutku #ali retro rakete i brod se #oinjeus#oravati konstantnim ubranjem inosa ().)ms. "drediti brinu broda kada je #omak broda u odnosu namjesto $dje su u#aljene rerorakete +9(: km.
>Poitivan smjer neka je smjer kretanja broda utrenutku #aljenja retroraketa.
>Brod se kre2e us#oreno #a je ubranje ne$ativno> 7a raunanje brine naj#rikladnijom se ini
etvrta Jormula i tabele.
s/m)s/m(v
s/m
m)s/m()m(axvv
#&00$#$#&00
$#$#&00
#!&000!0#7#&0#
#
##
###0
#
=
=
+=+=
Poma3e li vam slika da raumijete 6to nae dvijemo$u2e vrijednosti brine broda sile koje djeluju na daljinu-Padobrana4 #ada #rivuen silom 7emljine te3e
-jelovanje naelektriirani8 tijela ili ma$neta jedan na dru$i-Privlana sila imeu Fjese4a i 7emlje #lima i oseka?Heke osobine sila-Sila je vektorska veliina-Sile mo$u deJormirati tijelo
-Sile mo$u tijelu dati ubranje-Sile se uvijek javljaju u #aru. Ako tijelo A djeluje silom na tijelo B&
tada 2e tijelo B djelovati silom na tijelo A.ru$o i tre2e svojstvo sila daje nam mo$u2nost mjeriti inos sile.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
14/28
HeKtonovi akoni me8anike
inamika je oblast Jiike koja se bavi o#isom interak4ija imeu tijela.
Demelje dinamike dao je Sir Isaa4 HeKton (*M9.>(9.? u knjiiPhilosophiae Naturalis Principia MathematicaFatematiki #rin4i#i #rirodne JilooJije?inamika se temelji na tri HeKtonova akona.-Prvi HeKtonov akon akon iner4ije-ru$i HeKtonov akon akon sile-Dre2i HeKtonov akon akon ak4ije i reak4ije
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
15/28
Tijelo zadrava stanje mirovanja ili stanje jednolikog pravolinijskog
kretanja sve dok vanjska sila to stanje ne promijeni.
>Prvi HeKtonov akon utvruje da su stanje mirovanja i stanje jednoliko$#ravolinijsko$ kretanja ekvivalentni istonani& isti? u smislu da a nji8ovoodr3avanje nije #otrebna sila.>/ iskau #rvo$ HeKtonovo$ akona koristimo ira Nvanjska silaO. Ako na tijelo ne djeluje vanjska sila& to mo3e naiti sljede2e!
-Na tijelo ne djeluje nikakva sila. Ono je potpuno izolirano od okoline. Kaemo da je tijelo slobodno.
>Na tijelo djeluju vanjske sile ali je rezultiraju!a sila koja na njega djeluje jednaka nuli.
Kaemo da se tijelo nalazi u stanju ravnotee.
Prvi HeKtonov akon
ks#erimenti #okauju da ni$dje u svemiru nema slobodno$ tijela. 7ato seu #rvom HeKtonovom akonu #od #ojmom Nvanjska silaO #o #ravilu#odraumijeva reultiraju2a vanjska sila.Vanjska reultiraju2a sila ne odr3avastanja mirovanja ili jednoliko$#ravolinijsko$ kretanja& ona i8 mijenja.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
16/28
Iska3imo #rvi HeKtonov akon koriste2i u iskau reultiraju2u silu!
-Dijelo koje miruje ostaje u stanju mirovanja sve dok je vanjska reultiraju2a silakoja na nje$a djeluje jednaka nuli.
-Dijelo koje se kre2e jednoliko #ravolinijski nastavlja se tako kretati sve dok jevanjska reultiraju2a sila koja na nje$a djeluje jednaka nuli.
Fatematiki a#is #rvo$ HeKtonovo$ akona
GR=)& v=4onst& a=) / trenutku kada jesnimljena ova slika&reultiraju2a silakoja djeluje na ovo$
s#orta6a jednaka jenuli.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
17/28
Iner4ija i iner4ijalni sistemi
Iner4ija je svojstvo tijela da nastoji adr3ati stanjemirovanja ili jednoliko$ #ravolinijsko$ kretanja.
a bi se iner4ijatijela mo$la kvantitativnoiraiti&uvodi se #ojammasetijela.SI jedini4a mase! (k$
Sistem reJeren4ije u kojem vrijedi #rvi HeKtonovakon ove se iner4ijalni reJerentni sistem.Cedankenex#eriment Fisaoni eks#eriment?sa #utnikom u va$onu i ku$li4om na stolu is#red nje$a.
7emlja je dobar iner4ijalni reJerentni sistem.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
18/28
,oriste2i ve2 #onate #ojmove mase i brine& u dinami4i se uvodi jo6jedan #ojam& Jiika veliina koju ovemo im#uls.Im#uls esti4e jednak je #roivodu nje$ove mase i nje$ove brine!
SI jedini4a! k$ ms
>Im#uls ima smjer brine esti4e.>,ori6tenjem im#ulsa& #rvi HeKtonov akon mo3e se iskaati na sljede2i nain!
,ada je vanjska sila koja djeluje na tijelo jednaka nuli& im#uls esti4e ostaje sauvan!
Prvi HeKtonov akon& iskaan na ovaj nain a#ravo je iska akona osauvanju im#ulsa esti4e.
Im#uls tijela
vmp =
constvmp,FR === 0
Pokauje se da im#uls esti4e ima dublje naenje ne$o brinaili sama sila. Im#uls je jedna od najva3niji8 veliina u Jii4i& aakon o sauvanju im#ulsa jedan je od osnovni8& temeljni8akona u #rirodi.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
19/28
ru$i HeKtonov akon
a G
a (m
,ada vanjska reultiraju2a sila djelujena tijelo mase m& ubranje tijela
#ro#or4ionalno je sili a obrnuto#ro#or4ionalno masi tijela./branje ima smjer vanjske reultiraju2esile
SI jedini4a!
amFilim
Fa R
R
==
)Neton(Ns/m!" !# =
Hi6ta bolje od dobro$ #rimjera-
va ovjeka $uraju auto. Prvi djeluje silomod 9: H a dru$i silom od E0: H u istomsmjeru. Dre2a sila inosa :*) H djeluje usu#rotnom smjeru. Fasa auta je (':) k$."drediti ubranje auta.
eJ! Sila ima inos od ( H ako tijelu mase( k$ daje ubranje od ( ms9
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
20/28
Gree>body dija$ramSlu3i da bi se$raJiki #redstavilesve sile koje djelujuna tijelo
Prema II H7 ubranje je jednako koliniku reultiraju2e vanjske sile i mase.a bi smo odredili reultiraju2u silu& koristimo tv. Gree> body dija$ram. Poitivni smjer ose xIabran je kao na sli4i.Radimo sa skalarnim kom#onentama sila. Skalarne kom#onente sila kojima ljudi $uraju auto suPoitivne& dok je skalarna kom#. Dre2e sile ne$ativna.
#
7#!
0&"0!&0
!!0!!0
&$07"%&
s
m#
!"
N
m
Fa
NF
)N()N()N(FFFF
R
R
R
+=+
==
+=
++++=++=
Poitivni #rednak nai da je ubranje ima smjer +x ose& dakle isti kao i sile kojima dva ovjeka$uraju auto.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
21/28
Dre2i HeKtonov akon
G(9G9(
Covore2i o o#2im svojstvima sila&na#omenuli smo da se sile uvijek
javljaju u #arovima i da ioliranasila u Jii4i ne #ostoji.
Dre2i HeKtonov akon #oveuje ovaj#ar sila i ka3e vi6e o osobinama imeusobnom odnosu ti8 sila.
Dre2i HeKtonov akon esto ovu i akonom ak4ije ireak4ije./vjetno& silu kojom #rvo tijelo djeluje nadru$o tijelo ovemo silom ak4ije. Silu kojom dru$otijelo djeluje na #rvo tijelo& u tom sluaju& ovemo
silom reak4ije.
Sile kojima dva tijela
djeluju jedno na dru$o istesu #o inosu i #rav4u& asu#rotno$ su smjera.
Fatematiki!
#!!# FF =
Sile akcije i reakcije se ne
ponitavaju.
One ne djeluju na isto tijelo.
V A Q H "
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
22/28
Hi6ta bolje od dobro$ #rimjera.
Astronaut mase ma=09 kilo$rama djeluje silom P=+E*H na svemirsku sonduFase ms=(())) k$. "drediti ubranje astronauta i sonde.
Po tre2em HeKtonovom akonu& sonda djeluje naAstronauta silom jednako$ inteniteta a su#rotno$Smjera!>P=>E* H.Premda su sile ak4ije i reak4ije #o inosu jednake& oneo dru$om HeKtonovom akonu& tijelima na kojadjeluju ne daju isto ubranje.
/branje sonde je!
Ha isti nain se rauna ubranje astronauta!
#00770!!000
7$s/m#
!"
N
m
Pa
ss +=
+==
#7"0"#
7$s/m#
!"
N
m
Pa
aa =
=
=
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
23/28
Im#ulsne sile
/ #uno sluajeva sila koja djeluje na tijelo nije konstantna."na se mijenja kako #o inosu intenitetu?. Sile koje djelujuu kratkom vremenskom intarvalu ovu se im#ulsne sile.
7a im#ulsne sile #o$odno je uvestiHovu veliinu koja se ove im#ulssile i deJinira se na slijede2i nain!
SI jedini4a! HeKtons=H sIm#uls sile je vektor i ima smjersile.
tF$ =
Imeu momenta sile i im#ulstijela #ostoji vrlo va3na vea kojase mo3e ivesti i II HeKtonovo$akona.
t
pp
t
vmvm
t
vvmamF
%%%
00
=
=
==
0pptF % =
Primjer!:iGna kap mase 0.00!# kg pada na krov automobila brzinom od !&mDs.?akon udara o krov kapljica se se zaustavlja u vremenskom intervalu od 0.#s.
Odrediti silu kojom kapljica djeluje na krov automobila. Raun ponoviti za sluaj
kada umjesto kiGe pada tua a estice leda se odbiju od krova automobila pri emu
kontakt izme)u estice leda i auta traje isto vrijeme.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
24/28
Heka je #oitivan smjer smjer #adanja ka#lji4e Dada je sila kojom krov djeluje na ka#lji4u!
,a#lji4a djeluje na krov silom isto$ inteniteta alisu#rotno$ smjera.
N#s#
)s/m(!"#
t
mvmvF
%"0
#0
!&00!#000=
+=
=
Postu#amo na isti nain. Sila kojom krov djeluje naesti4u leda je
N#s#
)s/m(!"#)s/m(!"#
t
mvmvF
%
!#0
!&00!#0!&00!#0
0
=+
=
=
,a#lji4a djeluje na krov silom isto$ inteniteta alisu#rotno$ smjera.
7ada2a! ,o6arka6 koji se kre2e brinom od 9ms udara $lavom u dovratak. Ako senje$ova $lava austavila a vrijeme ).Es& odrediti srednju silu kojom dovratak djelujena ko6arka6evu $lavu. Heka je masa $lave E k$.Savjet! / R A I D 7 A A /
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
25/28
7akon o sauvanju im#ulsa a vi6e tijela.
tijelodrugovmvmt"##$
tijeloprvovmvmt"##$
%&&&'&(&e)t&
%((('(&(e)t(
7brajanjem ovi8 jednad3bi dobije se!
%'e)t%'e)t&e)t(
%&&%((&'&('(&((&e)t&e)t(
PP%#PP##
vmvmvmvm"##$##
=
7akon o sauvanju im#ulsa.Ako je reultiraju2a vanjska sila koja djelujena sistem jenaka nuli& uku#ni im#uls sistema sene mijenja.
/eto je u obir da je suma unutra6nji8 silajednaka nuli
7akon o sauvanju im#ulsa jedan je odtemeljni8 akona u Jii4i.
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
26/28
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
27/28
pp%pp ksissisk
kp sisp
Heka je mmasa krvi koja #ri kontrak4iji sr4ano$misi4a ilai sr4a brinom od ).9:ms& aM masaovjeka i #okretno$ dijela uredjaja. Heka jeim#uls krvi a uku#ni im#uls 4ovjeka iureaja. ,ako je reultiraju2asila na sistem ovjek+balisto$raJ? jednaka nuli&vrijedi akon o sauvanju im#ulsa!
kp
sisp
jer je uku#ni im#uls sistema #rije kontrak4ijebio jednak nuli. /vr6tavju2i adane vrijednosti&
dobije se!
o
s*m%%(+,.%kg-
s*mkg(&.%v
s*mkg(&.%s*m.&kg%.%Mvp
sis
sissis
Balisto$raJ je u sustini jedna #okretna #latJorma
koja lebdi na ranom jastuku kako bi se ibje$lotrenje sa #odlo$om. ,ontrak4ijom srano$ mi6i2a"dreena koliina krvi se istisne i srane komore.,ori62enjem akona o sauvanju im#ulsa& mo$u2e jePoveati im#uls istisnute krvi i im#uls #latJorme.Fjeri se im#uls #latJorma& a na osnovu to$a seirauna im#uls istisnute krvi odakle se dobijuinJorma4ije o Junk4iji sr4a.
7ada2a! Ako se #ret#ostavi da kontrak4ija sr4a traje
).E s& odrediti srednju silu koja djeluje na sistemovjek>#latJorma. Primijenite ira a im#ulsnu silu-
Giike osnove balistokardio$raJije
7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima
28/28