1

Indeks terminów i nazw dotychczas omówionych:

• doświadczenie Michelsona-Morleya,

• doświadczenie Younga, • prawo Snella,• zasada Huygensa,yg ,• korpuskularno-falowa teoria

światła

FaleFaleWykład 2.Wykład 2.

Fale podłużne a fale poprzeczne

Ró nanie falo e fala harmonic naRównanie falowe, fala harmoniczna

Prędkość fazowa i grupowaJak pokonać prędkość światła

Opis fal przy pomocy liczb zespolonych

Fala płaska

Równania Maxwella

Fale elektromagnetyczneFale elektromagnetyczne

FotonySpinCiśnienie światła; wiatr słonecznyChłodzenie atomów

ZadaniaZadania

2

Fale podłużne a fale poprzeczne

zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni.

kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna)

poprzecznepoprzeczne :

drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia(np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p)

podłużnepodłużne :

Równanie falowe

2 21f f∂ ∂

Jednowymiarowe skalarne równanie falowe funkcji f:

2 2 2

10

v

f f

x t

∂ ∂∂ ∂

− =

Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal powierzchniowych).

Fale elektromagnetyczne

(w tym pole elektryczne E fali świetlnej)

są rozwiązaniem równania falowego z v = c.

ę y , p y )

3

Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiazanie:

Równanie falowe

( , ) ( v )f x t f x t= ±

Jednowymiarowe skalarne równanie falowe posiada proste rozwiazanie:

gdzie f (u) może być dowolną funkcąj podwójnie różniczkowalną.

Fale: parametryzacjaFale: parametryzacjaNajbardziej elementarna funkcja jednowymiarowa spełniająca równanie falowe:

E(x,t) = E0 cos[(k x – ω t ) – θ ]A

πθ = 0 θ = 3/2

A - amplitudaθ - faza początkowa (faza absolutna)

Oscylacje w czasie i przestrzeniOscylacje w czasie i przestrzeni

4

Długość faliE(x,t) = A cos[(k x – ω t ) – θ ]

długość falidługość faliFala Fala harmoniczna:harmoniczna:

wektor falowy: k = 2wektor falowy: k = 2ππ//λλliczba falowa: liczba falowa: 1//λλ

okres faliokres fali

Am

plitu

da

λ ulega skróceniu w ośrodku o wyższym n

częstość kołowa: częstość kołowa: ωω==22ππ//ττczęstość: częstość: ν=1//ττ

okres faliokres fali

Am

plitu

daA

mpl

ituda

λ w pewnym momencie czasu

Zmiana λ w ośrodku niejednorodnym z tłumieniem

Fala harmonicznaFala harmoniczna

długość falidługość fali

E(x,t) = A cos[(k x – ω t ) – θ ]

wektor falowy: k = 2wektor falowy: k = 2ππ//λλliczba falowa: liczba falowa: 1//λλ

okres faliokres fali

wielkości przestrzenne:

częstość kołowa: częstość kołowa: ωω==22ππ//ττczęstość: częstość: ν=1//ττ

okres faliokres fali

wielkości czasowe:

5

‐‐nie nie wystarczy, by wystarczy, by opisać fale bardziej opisać fale bardziej 

długość falidługość fali

Prędkość fazowa fali harmonicznej

prędkość z jaką rozchodzą się miejsca fali o tej samej fazie:

vp = λ / T , lub: vp = ω / k

złożone!złożone!

Na przykład: W ośrodkach ddyyssppeerrsysyjnjnycych h fale o różnych różnychczęstotliwościach rozchodzą się z różnymi:

ω = ω(k).

Przemieszczanie się paczki falowej złożonych z fal o różnych ω opisuje dodatkowa wielkość: prędkość grupowa

wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych.

Np. E(t) = A cos(ϕ), ϕ = k x – ω t – θ

Prędkość grupowa

gdzie faza fali: ϕ = ϕ(x,y,z,t) (w przeciwieństwie do fazy początkowej θ), zmienia się się w czasie i przestrzeni.

Zmiany fazy w czasie: ω = – ∂ϕ /∂t

Zmiany fazy w przestrzeni: k = ∂ϕ /∂x

W języku fazy prędkość grupowa: Taka definicja jestt∂∂− /φję y y p ę g p

Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę.

Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa.

Taka definicja jest przydatna dla naprawdę

skomplikowanych fal. x

tg ∂∂

∂∂=

/

/v

φφ

6

Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowajest prędkością obwiedni fali nośnej.

Prędkość grupowa

Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.

Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową.

)](exp[)()( 0 tziktzEtE pg vv −−=

gυpυvg vp

vg ≡ dω /dk

vg ≡ dω /dkCzęstośćCzęstość fali harmonicznej ω jest taka sama w ośrodku, jak i poza nim, ale:

k k

Prędkość grupowaPrędkość grupowa falfalw ośrodkach z dyspersją: w ośrodkach z dyspersją: n(n(ωω))

ωk = k0 n =

k0 jest wektorem falowym w próżni,

n(ω) jest parametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka.

Tak więc wygodnie jest pomyśleć o ω jako o zmiennej niezależnej:Mamy więc: k = ω n(ω) / c0,

pochodna k: dk /dω = ( n + ω dn/dω ) / c0

vg = c0 / ( n + ω dn/dω) = (c0 /n) / (1 + ω /n dn/dω )

[ ] 1v /g dk dω −≡

nc0

g 0 ( ) ( 0 ) ( )

v φ = ω / k = c0 /n,

Ostatecznie: vg = c0 / (n + ω dn/dω)v v / 1g

dn

n dφω

ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

- prędkość światła w próżni zmniejszona przez wsp. załamania

7

vg ≡ dω /dkCzęstość fali harmonicznej ω jest taka sama w rozważanym ośrodku, jak i poza nim, ale k = k0 n, gdzie k0 jest wektorem falowym w próżni i n jest

Prędkość grupowaPrędkość grupowaa dyspersja ośrodka: a dyspersja ośrodka: n(n(ωω))

p , 0 , g 0 j y p jparametrem (współczynnik załamania) zależnym od ośrodka.

Tak więc wygodnie jest pomyśleć o ω jako o zmiennej niezależnej:

Ponieważ: k = ω n(ω) / c0,

pochodna k: dk /dω = ( n + ω dn/dω ) / c0

vg = c0 / ( n + ω dn/dω) = (c0 /n) / (1 + ω /n dn/dω )v / k /

[ ] 1v /g dk dω −≡vg = vφ

v φ = ω / k = c0 /n,

Ostatecznie:vg = c0 / (n + ω dn/dω)v v / 1g

dn

n dφω

ω⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, gdy

dn/dω = 0,

(brak dyspersji, tak jak np. w próżni).

Każda ze składowych harmonicznych rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową

fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. Fala będąca paczką fal zawierajacych częstości z pewnego przedziału będzie więc zmieniać swój kształt.

W ośrodku dyspersyjnym:

rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową (falową):

vp = ω / k,

natomiast paczka fal jako całość przesuwa

się z prędkością vg ≠ vp.

Falę taką opisać możemy jakoFalę taką opisać możemy jako falę harmoniczną o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie;

prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji to prędkość grupowa:

vg = dω/dk .

8

Dyspersja prędkości grupowej a impulsy światła

Impuls światła jest szeroki spektralnie (zawiera wiele częstości). Prędkość grupowa będzie różna dla różnych długości światła.

czasowy początek impulsu

czasowy koniec impulsu

Ponieważ ultrakrótkie impulsy laserowe zawierają szeroki zakres długości fal, dyspersja prędkości grupowej stanowi poważne wyzwanie, które nie istnieje w przypadku pracy z laserem o pracy ciągłej (CW).

vgr(żółta) < vgr(czerwona)

Dyspersja prędkości grupowej jest szkodliwa w układach telekomunikacyjnych:

Ciąg impulsów wchodzących Dyspersja sprawia, że impulsy rozciągają się w

Wiele kilometrów światłowoduWiele kilometrów światłowodu

impulsy rozciągają się w czasie.

Ciąg impulsów wychodzących

Dyspersja narzuca długości fal, dla których transmisja

systemów telekomunikacyjnych jest możliwa oraz stawia wysokie wymagania na

parametry światłowodów (kompensacja dyspersji).

9

Czy można:Czy można:

• zatrzymać światło?

• przyspieszyć światło?!?

Prędkość grupowa (vg) a prędkość fazowa (vp)

http://www.hno.harvard.edu/gazette/1999/02.18/light.htmlhttp://www.hno.harvard.edu/gazette/1999/02.18/light.html

A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?

vg = c0 / (n + ω dn/dω)

Prędkość grupowa Prędkość grupowa a dyspersja ośrodkaa dyspersja ośrodka

dn/dω jest ujemn. Tak więc vg może przewyższy c0 dla tych częstości!

Obszary dyspersji anomalnej

zała

man

ia n

vg < c0 vg < c0 vg < c0

Dyspersjanormalna

Dyspersjanormalna

Dyspersjanormalna

Wsp

ółc

zyn

nik

Ale w rejonach tych absorpcja jest duża, a dn/dω < 0 w wąskich przedziałach częstości (schodek), tak wiec osiągniecie vg > c0 nie jest trywialne

(np. w doświadczeniach z impulsami, które zawierają szerokie spektrum częstości)

10

Czy można pokonać prędkość światła?Aby prędkość grupowa mogła być większa, niż prędkość c0, musimy dysponować ośrodkiem o ujemnej dyspersji dn/dω w dostatecznie dużym obszarze częstości. Nachylenie zależności nie powinno by zbyt strome, a absorpcja powinna być jak najmniejsza.

Trick: przygotować ośrodek przez uprzednie rezonansowe wzbudzenie p yg p pimpulsem światła laserowego. Impuls świetlny „napompuje” układ stwarzając warunki dla wzmocnienia światła w miejsce absorpcji;

odwrócenie krzywej). Między dwoma rezonansami powstanie obszar o minimalnej absorpcji i prawie liniowym, ujemnym nachyleniu:

Obszarprzydatny

Nachyleniezbyt duże

ałam

ania

bso

rpcj

i

2

Nachyleniezbyt małe

Wsp

ółc

zyn

nik

za

Wsp

ółc

zyn

nik

ab

Pole elektryczne fali świetlnej o częstości ω można opisać:

E(x,t) = A cos(kx – ωt – θ)

P i (i ) ( ) + i i ( ) (f ł E l )

Opis fal przy pomocy liczb zespolonych

Ponieważ exp(iϕ) = cos(ϕ) + i sin(ϕ) (formuła Eulera ):

E(x,t) = Re { A exp[i(kx – ωt – θ)] }

lub

E(x,t) = 1/2 A exp[i(kx – ωt – θ)] + c.c.

gdzie "+ c.c." oznacza "plus oznacza sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem.

Możemy wygodnie różniczkować exp(ikx):

11

Przypomnienie: liczby zespolone

Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać:

z = Re{ z } + i Im{ z }Tak więc:ę

Re{ z } = 1/2 ( z + z* )i

Im{ z } = 1/2i ( z – z* )

gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i → –i )

Wielkość | z | (moduł), liczby zespolonej:

| |2 * R { }2 + I { }2| z |2 = z z* = Re{ z }2 + Im{ z }2

Liczbę z zapisać można w postaci polarnej: A exp(iϕ).

A2 = Re{ z }2 + Im{ z }2

tan(ϕ) = Im{ z } / Re{ z }

z

Fale zapisane przy pomocy zespolonych amplitud W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy:

( ) ( ), expE x t A i kx tω θ= − −⎡ ⎤⎣ ⎦

Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych w czasie.

W wyniku otrzymujemy „zespolone amplitudy":

Tak więc:

( ) { } ( ){ }ex, ex( pp )E x t i k ti xA ωθ= −− ⎡ ⎤⎣ ⎦

0 exp( ) E A iθ= − ←%

(note the " ~ ")uwaga na

( ) ( )0, expE x t E i kx tω= −% %

Jak odróżnić, E0 jest rzeczywiste, czy zespolone?

Nie wszyscy używają znaczka "~", by oznaczyć zespoloność amplitudy. Lepiej jest zawsze założyć, że jest zespolona.

Pole tak zapisane jest całkowicie zespolone!

12

Liczby zespolone w optyce ułatwiają życie

Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji trygonometrycznych a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów:

Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach początkowych daje falę o tej samej częstości.

trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem eksponensów:

1 2 3

1 2 3

( , ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

( ) exp ( )totE x t E i kx t E i kx t E i kx t

E E E i kx t

ω ω ωω

= − + − + −

= + + −% % % %

% % %

gdzie wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E1, E2, i E3.

Fala płaska:Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń.

0 exp[ ( )]E i k r tω⋅ −r r

%

Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła.

Płaszczyzny frontów falowych są odległe o długość fali. Są one prostopadłe do kierunku propagacji.

Na oznaczenie fali płaskiej zazwyczaj

rysujemy linie.

13

Wiązka laserowa a fala płaska

Płaszczyzniane fronty falowe fali płaskiej wypełniają całą przestrzeń. Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie!istnieje realnie!

Wiązka lasera jest przestrzennie zlokalizowana. Można ją przybliżyć jako falę harmoniczną względem czasu z rozkładem Gaussa w płaszczyźnie frontu falowego.

2 2

20( , , , ) exp[ ( )exp ]x y

E x y z t E i kz tw

ω=⎡ ⎤+−⎢

⎦−⎥

⎣% % w ⎦⎣

Plamka wiązki laserowej na ścianie

w

x

y

Zlokalizowane fronty falowe

z

Równania MaxwellaPodstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu):

- natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ],

ε0 - przenikalność elektryczna, ik l ść t

Er

Br

µ0 - przenikalność magnetyczna, ∇⋅ - operator dywergencji, [1/m], ∇× - operator rotacji, [1/m].

Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej.

14

Równania MaxwellaPodstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami.

W ośrodkach liniowych:

- natężenie pola elektrycznego, [ V / m ],

- indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2],

- indukcja elektryczna, [ C / m2]

Er

Br

PEDrrr

sformułowanie „makroskopowe”

- natężenie pola magnetycznego, [ A / m ]

εr - przenikalność elektryczna ośrodka,

µr - przenikalność magnetyczna ośrodka,

- gęstość prądu swobodnego, [A/m2],

ρ - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]

∇⋅ - operator dywergencji, [1/m],

∇× - operator rotacji, [1/m].

PED += 0ε

Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu)

Pola elektryczne i magnetyczne oscylują w tej samej fazie.

Migawka w czasie t:

Kierunek pola elektrycznego, magnetycznego i wektora falowego są wzajemnie prostopadłe:

E B k× ∝rr r

15

Foton posiada energię: i pęd:

Wielkość pędu wynosi: , gdzie:

FotonyFotony

hh jest stałą Plancka, kk jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2k=2ππ //λλ, ), ), ω=2π/νω=2π/ν jest częstością kołową..Wektor kk wskazuje kierunek propagacji.

FotonyFotonyFoton posiada energię: i pęd:

Wielkość pędu wynosi: , gdzie:

hh jest stałą Plancka, kk jest wektorem falowym (o liczbie falowej k=2k=2ππ //λλ, ), ), ω=2π/νω=2π/ν jest częstością kołową..Wektor kk wskazuje kierunek propagacji.

W pustej przestrzeni foton porusza się z prędkością światła c c i jego energia E E i pęd pp powiązane są relacją:

E=cpE=cpE cpE cp. Dla porównania, odpowiadający temu związek energii i pędu

dla cząstki posiadającej masę byłby: EE22= (= (cpcp))22+(mc+(mc22))22

(szczególna teoria względności).

16

Foton niesie również moment pędu (spin), który nie zależy od częstości.

Długość momentu pędu wynosi tak więc jego składowe

FotonyFotony

Długość momentu pędu wynosi , tak więc jego składowe mierzone wzdłuż kierunku ruchu (jego skrętności) wynoszą odpowiednio .

Wartości te odpowiadają dwóm możliwym stanom polaryzacjikołowej (lewo- i prawo-skrętnej). Polaryzacja liniowa to superpozycja tych polaryzacji.

Foton posiada więc spin całkowity (jest bozonem), podlega więc statystyce Bosego–Einsteina. Dowolna liczba ę y y gbozonów może dzielić ten sam stan kwantowy.

Doświadczenia ze zliczaniem fotonów informują nas o charakterze źródła światła.

Przypadkowe (niespójne) źródła światła takie jak gwiazdy

(Słońce) i żarówki, emitują fotony przypadkowo rozłożone w czasie i statystyce Bosego-w czasie i statystyce Bosego

Einsteina.

Laserowe (spójne) źródła światła, posiadają bardziej jednorodne

(choć nadal przypadkowe) rozkłady czasowe o

poissonowskim rozkładzie prawdopodobieństwa.

Bose-Einstein

Poisson

17

Pęd fotonów w oddziaływaniu z atomami

Jeśli atom emituje foton, podlega odrzutowi w przeciwnym kierunku, zgodnie z zasada zachowania pędu.

Jeśli atomy zostaną wzbudzone, a następnie emitują światło, wiązka atomowa stanie się bardziej rozbieżna, niż wiązka atomów przed wzbudzeniem światłem.

Fotony Fotony –– ciśnienie światłaciśnienie światłaFotony nie mają masy, ale po zaabsorbowaniu przez przekazują swój pęd.

Promieniowanie słoneczne trafiające na Ziemię ma gęstość energii strumienia pola równą 1370 W/m2, więc ciśnienie promieniowania (gdyby zostało całkowicie pochłonięte) wynosi:

P= S/c P ≅ (1400 W/m2)/(3x108 m/s) ≅ 5x10-6 Pa << P = 105 Pa

Żagle słoneczne, zaproponowane jako metoda napędu misji kosmicznych używałyby ciśnienia promieniowania Słońca jako siłę napędową.

Ciśnienie promieniowania jest niezaniedbywalne:

• Odchylanie warkoczy komet (pozostałe siły są mniejsze)

P= S/c P ≅ (1400 W/m2)/(3x108 m/s) ≅ 5x10-6 Pa << Patm= 105 Pa

komet (pozostałe siły są mniejsze)

• Statek kosmiczny Viking (minąłby Marsa o 15,000 km)

• Wnętrza gwiazd

18

S Chu C Cohen-Tannoudji W Phillips

••

Podstawy chłodzenia i pułapkowania atomów światłem laserowym –

Nobel 1997 →

Spowalnianie atomów światłem laseraSpowalnianie atomów światłem lasera

S.Chu, C.Cohen-Tannoudji, W.Phillips

CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI:CHŁODZENIE ATOMÓW FOTONAMI:

wiązka lasera wiązka atomów

@ I 6 W/ 2

po zabsorb. 1 fotonu:

∆vR = ħk/M = 3 cm/s

Nobel 1997 →

∆∆pp = = ΣΣ ħ ħ kkabsabs -- ΣΣ ħ ħ kkemem = N ħ k= N ħ kLL –– 00∆∆pp = = ΣΣ ħ ħ kkabsabs -- ΣΣ ħ ħ kkemem = N ħ k= N ħ kLL –– 00

@ I = 6 mW/cm2

czas zatrzymania: 1 ms

droga hamowania: 0,5 m

przyspieszenie: 106 m/s2

1 atom

Pułapki magneto-optyczne umożliwiają ochłodzenie chmury (gazu) neutralnych

atomów do temperatur rzędu 100µK PUŁAPKA MOTPUŁAPKA MOT

IF PANIF PAN

IF PAN (M. Głóź)IF PAN (M. Głóź)IF UW (W. Gawlik)IF UW (W. Gawlik)Laboratorium FAMO (Toruń)Laboratorium FAMO (Toruń)

Chmura zimnych atomówRb w centrum pułapki

19

"What is known of [photons] comes from observing the"What is known of [photons] comes from observing theresults of their being created or annihilated."results of their being created or annihilated."

PhotonsPhotons

gg

Eugene HechtEugene Hecht

Można powiedzieć, że zdanie to jest słuszne nie tylko dla fotonów, ale dla wszystkiego, co jesteśmy w stanie zaobserwować. Nasz ogląd świata jest wynikiem kreowania i anihilowania fotonów, czyli sposobu, w jaki światło oddziałuje z materią.

1. Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie

Zadania:

, j f ( ) pfalowe.

2. Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową:

Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość ω zależy od długości fali λ).

20

Indeks haseł dotychczas omówionych:

• doświadczenie Michelsona-Morleya

• Chłodzenie atomów światłem laserowymMorleya,

• doświadczenie Younga, • prawo Snella,• zasada Huygensa

laserowym• Ciśnienie światła• Dyspersja (czasowa)• Dyspersja prędkości grupowej• Fala elektromagnetyczna• Fale podłużne • Fale poprzeczne• Prędkość fazowa• Prędkość grupowaę g p• Równania Maxwella w próżni• Równania Maxwella w

ośrodkach materialnych• Równanie falowe skalarne• Spin fotonu• Światło jako fala

elektromagnetyczna• Światło jako strumień fotonów