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Índice Introducción ----------------------------------------------------------------- 3
1. Teoría ----------------------------------------------------------------------- 4
1.1 Difracción ----------------------------------------------------------- 4
1.2 Principio de Huygens - Fresnel---------------------------------- 4
1.3 Difracción de Fraunhofer y Fresnel ---------------------------- 5
1.4 Rendija rectangular------------------------------------------------ 6
1.5 Abertura circular----------------------------------------------------7
1.6 Red de difracción--------------------------------------------------- 8
2. Experimentos -------------------------------------------------------------- 9
2.1 Patrón de difracción de una rendija rectangular ------------ 9
2.2 Difracción de campo lejano -------------------------------------- 12
2.3 Redes difractoras -------------------------------------------------- 13
3. Referencias ----------------------------------------------------------------- 14
3
Introducción En esta práctica se estudiaron los patrones de difracción formados por la luz al incidir a diferentes
obstáculos. Se estudiaron los diferentes tipos de difracción, y se encontraron experimentalmente los
parámetros significativos de la difracción. Para lograr esto se utilizaron diversos materiales y
componentes ópticos proporcionados en el laboratorio de óptica aplicada.
Figura 1 - Efecto cuando la luz toca el borde del círculo central de un disco CD. [4]
4
1. TEORÍA 1.1 DIFRACCIÓN [1].
El efecto de la difracción, es una característica general de los fenómenos ondulatorios que ocurren donde
quiera que una parte de un frente de onda ya sea sonido, onda material o luz, esté obstruida de alguna
manera. Si al encontrar un obstáculo transparente u opaco se altera la amplitud o la fase de una región
del frente de onda, esto producirá difracción. Los varios segmentos del frente de onda que se propagan
más allá del obstáculo interfieren, produciendo aquella distribución de densidad de energía particular
denominada figura de difracción.
1.2 PRINCIPIO DE HUYGENS – FRESNEL [1].
Para aproximarnos al problema, consideremos el principio de Huygens – Fresnel, que establece:
“Cada punto sin obstrucción de un frente de onda, en un instante de tiempo determinado, sirve como fuente de trenes de onda secundarios esféricos (de la misma frecuencia que la onda primaria). La amplitud del campo óptico en cualquier punto más allá es la superposición de todos estos trenes de onda (considerando sus amplitudes y fases relativas).”
Aplicando estas ideas en el nivel cualitativo más simple, nos referiremos a las fotografías del tanque de
ondas de la figura 2 y a la ilustración de la figura 3.
a) b) c)
Figura 2 - Difracción por una abertura con λ variable. a) λ < AB solamente directamente frente a la
abertura, las ondas secundarias interfieren constructivamente. c) λ > AB las ondas interfieren
constructivamente. [1]
Figura 3 – Difracción en una abertura pequeña. [1]
5
Si cada punto despejado de la onda plana incidente actúa como fuente secundaria coherente, la máxima
diferencia en las longitudes de camino óptico entre ellas será Λmax = |AP – BP |, correspondiendo a una
fuente puntual en cada borde de la abertura. Pero Λmax, es menor o igual a AB cuando P se encuentra en
la pantalla. Cuando λ> AB (como en la figura 3), se deduce que λ> Λmax y puesto que las ondas estaban
inicialmente en fase, interfieren todas ellas constructivamente (en grado variable) donde quiera que esté
(como en la figura 2c). Por lo tanto, si la longitud de onda es mayor que la abertura, las ondas se extenderán según ángulos grandes en la región más allá de la obstrucción. Cuanto más pequeña sea la
abertura, más circulares serán las ondas difractadas.
La situación antitética ocurre cuando λ<AB (como en la figura 2a). Ahora, el área donde λ> Λmax se limita
a una pequeña región que se extiende hacia afuera directamente frente a la abertura, siendo solamente
ahí donde todas las ondas secundarias interferirán constructivamente. Fuera de esta zona, algunas ondas
secundarias pueden interferir negativamente, comenzando así la «sombra». Recordemos que la sombra
geométrica ideal corresponde a λ 0.
1.3 DIFRACCIÓN DE FRAUNHOUFER Y FRESNEL [1].
Imaginemos que tenemos una pantalla opaca, que
contiene una sola abertura pequeña iluminada por
ondas planas de una fuente puntual. El plano de
observación es una pantalla paralela y muy cerna a la
pantalla opaca. Bajo estas condiciones, se proyecta
sobre la pantalla una imagen de la abertura que es
claramente reconocible a pesar de unas pequeñas
franjas que se ven alrededor de su periferia. Según el
plano de observación va alejándose de la pantalla
opaca, la imagen de la abertura va adquiriendo más
estructura, mientras que las franjas se vuelven más
prominentes. Este fenómeno se denomina Difracción
de Fresnel o de campo cercano (Figura 4). Si se va
alejando aún más el plano de observación, se
producirá un cambio continuo en las franjas. A una
gran distancia de la pantalla opaca, la distribución
proyectada se habrá extendido considerablemente,
teniendo muy poco o nada de parecido con la
abertura real. De ahí en adelante, el movimiento de la
pantalla cambia esencialmente, sólo el tamaño de la
distribución y no su forma. A este fenómeno se le
conoce como Difracción de Fraunhofer o de campo
lejano (Figura 4).
Figura 4 - Una sucesión de distribuciones de
difracción a distancias crecientes de una rendija
única; Fresnel abajo (cercano) desplazándose
hacia Fraunhofer arriba (lejos). [1]
Si en ese punto pudiéramos reducir
suficientemente la longitud de onda de la radiación
incidente, el patrón volvería al caso de Fresnel. Si λ
se disminuyera aún más, de tal forma que se
acercara a cero, las franjeas desaparecerían,
mientras que la imagen adquiriría la forma
limitadora de la abertura.
6
Volviendo a la disposición original, si se desplazara ahora la fuente puntual hacia la pantalla opaca, las
ondas esféricas incidirían en la abertura, dando lugar así a una distribución de Frensel, incluso en un
plano de observación distante.
Ahora consideremos una fuente puntual S y un punto de observación P, donde ambos estén muy lejos de
la pantalla opaca. Siempre que la onda incidente y la emitida sean planas en la extensión de las aberturas difractoras (u obstáculos), se obtiene la difracción de Fraunhofer. Por otro lado, cuando S o P están muy
cercas de la pantalla opaca, como para poder considerar despreciable la curvatura de los frentes de onda
de incidencia y de emisión, prevalece la difracción de Fresnel.
Por regla empírica, la difracción de Fraunhofer se producirá en una abertura (u obstáculo) con largo
máximo “a” cuando:
R > (a2 / λ) (1.1)
Donde R es la distancia más pequeña de las dos que van de S hasta la pantalla, y de la pantalla hasta P.
Asimismo, un aumento de λ desplaza claramente el fenómeno hacia el extremo de Fraunhofer.
Caso contrario, la difracción de Fresnel se producirá cuando:
R < (a2 / λ) (1.2)
1.4 LA RENDIJA RECTANGULAR [1].
Consideremos un haz de luz monocromática de longitud de onda λ que en su propagación encuentra
perpendicularmente una rendija estrecha de anchura “a” (Figura 5). De acuerdo con el principio de
Huygens, cada punto de la rendija se convierte en un emisor de ondas secundarias. Puesto que por
hipótesis el haz incidente es plano y la rendija se encuentra perpendicular a él, todas estas ondas
secundarias se encuentran en fase. Y si recogemos sobre una pantalla lejana la radiación procedente de
todos estos focos emisores, encontraremos una distribución de intensidad donde cada punto de la
pantalla estará más o menos iluminado dependiendo de las fases de las ondas secundarias que alcanzan
el punto dado; fases secundarias haya tenido que recorrer para llegar allí. Aparecerán máximos y
mínimos en la pantalla, y puntos con una intensidad intermedia, que constituyen el patrón de difracción
de la rendija.
Figura 5 – Esquema de difracción de un haz plano por una rendija estrecha. [1]
7
Consideremos el esquema de la figura 5. En el centro de la pantalla (punto O) aparecerá un máximo de
intensidad, porque todos los focos secundarios que forman la rendija son equidistantes y las ondas
secundarias que originan llegan en fase. A medida que nos alejamos de ese punto central, hacia un lado y
otro hay desfases en las ondas secundarias que alcanzan cada punto y en consecuencia aparecen
variaciones en la intensidad, Consideremos seguidamente el rayo que forma un ángulo θ con la dirección
perpendicular a la rendija y la pantalla, cuya trayectoria es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos
catetos son L y Y. Llamando Io a la intensidad del máximo central, si la rendija está lo suficientemente
lejos de la pantalla y la distancia de la abertura es pequeña comparada con D, puede demostrarse que la
intensidad de la luz difractada según la dirección dada por el ángulo θ es:
I = I(0) [( sen β)
(𝛽)]
2
(1.3)
Donde β está dado por:
𝛽 = 𝜋 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜃
𝜆 (1.4)
Siendo el valor de β, un múltiplo entero de π, en cada mínimo del patrón formado.
1.5 LA ABERTURA CIRCULAR [1].
Imaginemos que ondas planas inciden en una pantalla Ʃ que contiene una abertura circular. Se forma
entonces una distribución de campo lejano extendido en una pantalla de observación distante σ. Para una
abertura circular, la simetría sugiere el uso de coordenadas esféricas tanto en el plano de la abertura
como en el plano de observación. Debido a la misma simetría, en la pantalla se forma un patrón de anillos
conocidos como Anillos de Airy (Figura 6). Este patrón tiene la forma de una función de Bessel de orden
1, y su irradiancia está dada por:
I (θ) = I(0) [(2 J1 k a sen θ)
(𝑘 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃)]
2
(1.5)
Donde a es el radio de la abertura circular y θ es el ángulo entre la normal y Ʃ. El radio r1 del primer
anillo oscuro está dado por:
𝑟1 = 0.61 (𝐿 𝜆
𝑎) (1.6)
Figura 6 – Anillos de Airy producidos por la difracción de la luz al pasar por una abertura circular. [2]
8
1.6 RED DE DIFRACCIÓN [1]
Una red de difracción, es un conjunto repetitivo de elementos difractores de una onda emergente, bien
sean aberturas u obstáculos, que tienen el efecto de producir alteraciones periódicas en la fase, amplitud,
o ambas. Uno de los más simples de tales conjuntos, es la configuración de rendijas múltiples.
Figura 7 – Geometría de rendijas múltiples. El punto P se halla a una distancia infinita de la pantalla Ʃ. [1]
Consideremos el caso de N rendijas estrechas, largas y paralelas, cada una de ancho “b” y una separación
“a” de centro a centro (Figura 7). La distancia “a” es también conocida como el periodo de la red.
La distancia del centro del conjunto hasta el punto P es igual a [R – (N – 1)(a/2)sen θ] y, por consiguiente,
la fase de E en P corresponde a la de una onda emitida desde el punto medio de la fuente. La función de
densidad de flujo es:
𝐼(𝜃) = 𝐼0(𝑆𝑒𝑛 𝛽
𝛽) 2 (
𝑆𝑒𝑛 𝑁𝛼
𝑆𝑒𝑛 𝛼) 2 (1.7)
Donde I0 es la densidad de flujo en la dirección θ=0 emitida por cualquiera de las rendijas y que
I(0) = N2 I0. Dicho de otro modo, las ondas que llegan a P en la dirección hacia adelante están todas en
fase, y sus campos se suman constructivamente. Cada rendija por si misma engendraría precisamente la
misma distribución de densidad de flujo. Superpuestas, las distintas contribuciones dan como resultado
un sistema de interferencia de ondas múltiples, modulado por la envolvente de difracción de rendija
única. Si el ancho de cada abertura se disminuyera hasta cero, la ecuación 1.7 se convertiría en la ecuación
de densidad de flujo para una disposición coherente y linear de osciladores. Los máximos principales se
dan cuando (Sen Nα/ Sen α) = N, o de manera equivalente, dado que α= (ka/2) Sen θ
𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝜃𝑚 = 𝑚 𝜆 (1.8)
Donde m es el m-ésimo orden difractado por la rejilla, “a” el periodo, y λ la longitud de onda.
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2. EXPERIMENTOS 2.1 PATRON DE DIFRACCIÓN DE UNA RENDIJA RECTANGULAR
2.1.1 ARREGLO EXPERIMENTAL
Se colocó el arreglo óptico de la figura 8.
Figura 8 - Esquema del arreglo utilizado para el experimento. [3]
El dispositivo laser utilizado fue un He-Ne Multilineal Sintonizable. Se colocó una densidad óptica para
reducir la potencia del haz, sobre un vástago atornillado a la mesa.
2.1.2 PROCEDIMIENTO
Se hizo incidir el haz en un vidrio opaco, con una la abertura rectangular transparente, y se observó el
patrón de difracción formado, en la pantalla. Después se giró el vidrio, de manera que la abertura quedara
horizontal, y se observó el patrón de difracción formado. Se colocó un vernier en vez del vidrio
(Figura 9) y se cerró de manera que la separación se asemejara a una rendija, y se observó el patrón de
difracción formado.
Figura 9 – Haz siendo difractado debido a la abertura del vernier. [3]
Se quitó el vernier y se colocó un soporte con una fibra óptica. Se hizo incidir el haz en la fibra, y se observó
el patrón de difracción formado. Se hizo lo mismo cambiando la fibra óptica por un cabello. Se cambió la
longitud de onda del haz, y se obtuvieron los respectivos resultados en el patrón de difracción.
ESPEJO ESPEJO
Objeto Difractor LÁSER He-Ne MULTILINEAL SINSONIZABLE
10
Estos experimentos son considerados como difracción de campo cercano, por lo que después colocamos
una lente entre la salida del haz y la rendija de difracción, y otra entre la rejilla y la pantalla, para lograr
el campo lejano y ondas planas, y observar la difracción de campo lejano. Esto se ilustra en la figura 10.
Figura 10 – Difracción de campo lejano debido a 2 lentes. [3]
El foco de las lentes eran de 5.3 cm, por lo que colocamos la primera a 5.3 cm del 2do espejo donde incidía
el haz. La 2da lente fue colocada a 5.3 cm de la rejilla, y la pantalla fue colocada a 5.3 cm de la 2da lente.
De esa manera transformamos la difracción de campo cercano en difracción de campo lejano.
2.1.3 RESULTADOS
Usando las formulas 1.3 y 1.4 encontramos los anchos de diferentes objetos difractores. Se utilizaron
diferentes longitudes de onda, y se observaron los distintos patrones formados (Figura 10, 11, y 12).
Objeto difractor Distancia a la pantalla [m]
Separación del centro al primer
máximo [m]
Longitud de onda [nm]
Ancho de la rendija [μm]
Rendija .3 0.0095 Rojo - 640 19 Vernier 2.26 0.015 Rojo - 640 95
Fibra 2.17 0.013 Rojo - 640 105 Fibra 2.17 0.011 Verde – 514 101.4
Cabello 2.17 0.012 Verde - 514 93 Cabello 2.17 0.015 Naranja - 585 91
Tabla 1 – Parámetros utilizados, y resultados obtenidos en el experimento. [3]
También se hizo incidir luz blanca, y en el patrón de difracción observado fueron las diferentes longitudes
de onda que componen a la luz blanca.
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Figura 11 – Patrón observado con luz naranja Figura 12 – Patrón observado con luz verde
en difracción de campo cercano. [3] en difracción de campo cercano. [3]
Figura 13 – Patrón observado con luz roja.
en difracción de campo cercano. [3]
En el caso de la difracción de campo lejano, con las lentes, el patrón observado era muy pequeño. Tan
pequeño que fue experimentalmente imposible medir las distancias entre máximos y mínimos con los
instrumentos proporcionados.
2.1.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS
Se observó que entre más pequeña sea la abertura, más grande es la separación entre máximos y mínimos
en el patrón formado. También se observó que los máximos y mínimos de las longitudes de onda más
pequeñas, se separan menos.
2.1.5 CONCLUSIÓN
El patrón de difracción se observa con una rotación de 90° grados respecto a la posición de la rendija, es
decir, si la rendija es vertical, el patrón es horizontal, y viceversa.
Entre menor sea la longitud de onda, menor es la difracción.
El tamaño de la abertura es inversamente proporcional a la separación de los máximos y mininos.
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2.2 DIFRACCIÓN DE CAMPO LEJANO
2.2.1 ARREGLO EXPERIMENTAL
Se colocó el arreglo óptico de la figura 13.
Figura 17 – El haz polarizado incide en la placa, y esta se rota. [3]
Figura 14 – Esquema del arreglo utilizado para el experimento. [3]
Al final de la mesa se colocó una pantalla para observar el patrón de difracción.
2.2.2 PROCEDIMIENTO
Se hizo incidir el haz en la abertura circular, que se encontraba exactamente nivelada, y se observó el
patrón de difracción formado en la pantalla. Dicho patrón fue el de los Anillos de Airy (figura 6 y 14).
2.2.3 RESULTADOS
Con la fórmula 1.6 se calculó el radio de la abertura. La distancia de la abertura a la pantalla fue de 1.073
m, la longitud de onda fue de 640 nm, y la medida del centro al primer anillo oscuro fue de 2.5 cm.
Con esto encontramos que la abertura tiene una medida del orden de 33 μm.
2.2.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS
Se calcularon los datos, con la distancia al primer anillo, debido a la simplicidad de las ecuaciones para
encontrar el dato deseado. Se hubiese podido calcular con los demás, cambiando la fórmula utilizada,
para hacerla funcionar con el anillo deseado.
Figura 15 – Patrón de difracción observado. [3]
2.2.5 CONCLUSIÓN
Este experimento también se considera como difracción de campo lejano, debido a que el cuadrado de la
abertura es más pequeño que el producto de la distancia a la pantalla por la longitud de onda.
MICROABERTURA ESPEJO
PANTALLA LÁSER He-Ne MULTILINEAL SINSONIZABLE
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2.3 REDES DIFRACTORAS.
2.3.1 ARREGLO EXPERIMENTAL
Se utilizó el mismo arreglo experimental que el mostrado en la figura 8, pero reemplazando la micro
abertura por una rejilla de difracción.
2.3.2 PROCEDIMIENTO
Hicimos incidir el haz en la rejilla, para observar el patrón en una pantalla, y calcular su periodo en base
a la ecuación de la rejilla.
Cambiamos la longitud de onda del haz para observar los distintos patrones. Cambiamos la rejilla de
difracción por una pluma de ave, y después por un disco, para observar el patrón formado. Al final
cambiamos el disco por una media de nylon estirada, y observamos el patrón formado.
Se colocó una capa delgada de talco sobre un portaobjetos de microscopio y se empañó con el aliento.
Después se observó luz blanca a través del mismo portaobjetos.
2.3.3 RESULTADOS
Con la fórmula 1.8 se calcularon los periodos de distintas rejillas, con diferentes longitudes de onda.
Objeto difractor
Longitud de onda [nm]
Distancia a la pantalla [m]
Orden Distancia del centro al máximo [m]
Periodo [μm]
Rejilla 1 Morado - 458 2.54 1 .756 1.605 Rejilla 1 Verde - 514 2.54 1 .859 1.604 Rejilla 2 Rojo - 640 .1 1 .046 1.53 Rejilla 2 Rojo - 640 .1 2 .15 1.53 Pluma Rojo - 640 .2 1 .07 18.29 Disco Rojo - 640 .1 1 .045 1.56
Tabla 2 – Periodos encontrados para distintos tipos de rejillas. [3]
Para la media de nylon, no se tomaron medidas, pero se observó un patrón cuadriculado, a lo largo y a lo
ancho de la pantalla, similar a una matriz. Al estirar la media hacia los lados, el patrón aumentaba en
dirección vertical, y al estirar la media verticalmente, el patrón aumentaba de manera horizontal.
En el caso del portaobjetos con la capa de talco, se observó la luz puntal, rodeada de un halo de luz verde
y morada.
2.3.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS
Al cambiar la longitud de onda, no cambia el periodo, esto se debe a que el periodo sigue siendo el mismo
en la rejilla, no hay ningún cambio físico que lo afecte. El aumento o disminución en la longitud de onda,
se compensa con el aumento o disminución de distancia, en la separación de los puntos del patrón visto.
En el portaobjetos con talco, la luz que incidía en él era difractada por las pequeñas partículas de talco, lo
que hacía que la luz se separara en sus distintas longitudes de onda.
2.3.5 CONCLUSIÓN
Este tipo de difracción también se considera se campo lejano. Con cada periodo encontrado, al calcular el
inverso, se obtiene el número de rendijas por metro en cada rejilla, pluma, o disco.
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3. REFERENCIAS TEORÍA Y FIGURAS:
[1]: ÓPTICA – Eugene Hecht, 3ra edición, Pearson Addison-Wesley, 2000
[2]: http://es.wikipedia.org/wiki/Disco_de_Airy
[3]: Oliver Jesús Espinosa Olvera. Dominio Público.
[4]: http://forofotografiasalva.blogspot.mx/2012/04/difraccion.html
ECUACIONES:
ECUACIÓN 1: Condición para lograr la difracción de Fraunhofer.
ECUACIÓN 2: Condición para lograr la difracción de Fresnel.
ECUACIÓN 3: Intensidad de la luz difractada en difracción debido a una rendija.
ECUACIÓN 4: Valor de β en la ecuación de intensidad de la luz en difracción debido a una rendija.
ECUACIÓN 5: Irradiancia de la luz difractada en difracción debido a una micro abertura.
ECUACIÓN 6: Radio del primer anillo oscuro en el patrón de Airy.
ECUACIÓN 7: Densidad de flujo de luz difractada debido a una rejilla.
ECUACIÓN 8: Densidad de flujo para una disposición coherente y linear de osciladores.