RESISTANCE DESMATERIAUX (1b)

Référence:Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf

Notes de cours:J. Walt OlerTexas Tech University

Contrainte et déformation– Chargement axial

2 - 2

Contrainte & déformation: Chargement Axial

• Le bon fonctionnement d’une structure peut autant dépendre des déformations dans la structure que des contraintes induites par les chargements. L’analyse statique seule n’est pas suffisante.

• Considérer que les structures sont déformables permet de déterminer les forces dans les éléments ainsi que les réactions qui sont statiquement indéterminées.

• La détermination de la distribution des contraintes dans un élémentdemande aussi de considérer les déformations dans l’élément.

• Ce chapitre est consacré à la déformation d’un élément de structure soumis à un chargement axial.

2 - 3

Principe de Saint-Venant• Les chargements transmis à travers

les plaques rigides induisent une distribution uniforme de la contrainte et de la déformation.

• Le principe de Saint-Venant :La distribution des contraintes peut être considérée indépendante du mode de chargement sauf au voisinage immédiat des points de chargement.

• Les distributions de contraintes et de déformations deviennent uniformes àune distance relativement petite des points d’application du chargement.

• Les chargements concentrés induisent des fortes contraintes proche du point d’application du chargement.

Note : σave = σmoy

2 - 4

Contrainte normale

L

AP

AP

δε

σ

=

==22

LL

AP

δδε

σ

==

=

22strain normal

stress

==

==

L

AP

δε

σ contrainte

déformation normale

2 - 5

Déformations sous chargement axial

AEP

EE ===

σεεσ

• D’après la loi de Hooke :

• D’après la définition de la déformation :

Lδε =

• Ainsi, pour la déformation,

AEPL

=δ

• Pour des variations de chargement, de section ou de propriétés du matériau,

∑=i ii

iiEALPδ

2 - 6

Problème 2.1

Une barre rigide BDE est suspendue àdeux tiges AB et CD.

La tige AB est faite d’aluminium (E = 70 GPa) et a une section de 500 mm2. La tige CD est faite d’acier (E = 200 GPa) et a une section de (600 mm2).

Pour une force de 30-kN, déterminer le déplacement a) de B, b) de D, et c) de E.

SOLUTION:

• Appliquer une analyse de corps libres à la barre BDE pour trouver les forces exercés par les tiges AB et DC.

• Évaluer la déformation des tiges ABet DC ou les déplacements de B et D.

• Reprendre la géométrie pour trouver le déplacement en E connaissant le déplacement en B et D.

2 - 7

Déplacement de B:

( )( )( )( )

m10514

Pa1070m10500m3.0N1060

6

926-

3

−×−=

××

×−=

=AEPL

Bδ

↑= mm 514.0BδDéplacement de D:

( )( )( )( )

m10300

Pa10200m10600m4.0N1090

6

926-

3

−×=

××

×=

=AEPL

Dδ

↓= mm 300.0Dδ

Corps libre : Barre BDE

( )

( )ncompressioF

F

tensionF

F

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60

m2.0m4.0kN300

0M

kN90

m2.0m6.0kN300

0

D

−=

×−×−=

=

+=

×+×−=

=

∑

∑

SOLUTION:

Problème 2.1

2 - 8

Déplacement de E:

( )

mm 7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

=

−=

=′′

xx

xHDBH

DDBB

↓= mm 928.1Eδ

( )

mm 928.1mm 7.73

mm7.73400mm 300.0

=

+=

=′′

E

E

HDHE

DDEE

δ

δ

Problème 2.1

2 - 9

Coefficient de Poisson

• Pour une barre mince soumise à un chargement axial :

0=== zyxx E σσσε

• L’allongement dans la direction x est accompagnée par une contraction dans les autres directions. En supposant que le matériau est isotrope (pas de dépendance directionnelle),

0≠= zy εε

• Le coefficient de Poisson est défini par

xz

x

y

εε

εεν −=−== axiale ndéformatio

latérale ndéformatio

2 - 10

Loi de Hooke généralisée

• Pour un élément soumis à un chargement multi-axial, les composantes de la déformation axiale résultante, peuvent être déterminées par le principe de superposition. Ce qui implique :

1) La déformation est linéairement dépendante de la contrainte 2) les déformations sont et restent petites

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=

• Avec ces restrictions:

2 - 11

Déformation en cisaillement

• Un élément cubique soumis à une contrainte cisaillante va se déformer en rhomboèdre. La déformation en cisaillement correspondante est quantifiée en termes de changement d’angle entre ses faces,

( )xyxy f γτ =

• Une courbe représentant la contrainte de cisaillement / déformation en cisaillement est similaire à la courbe de la contrainte normale / déformation normale, sauf que les valeurs de résistance sont approximativement divisées par deux. Pour de petites déformations,

zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===

où G est le module de rigidité ou module de cisaillement.