Resistencia de Materiales-timoshenko-Tomo II

S . T I M O S H E N K O PROFESOR DE MECÁNICA TEÓRICA Y PRÁCTICA DE LA UNIVERSIDAD

DE STANFORD

R E S I S T E N C I A

D E

MATERIALES

SEGUNDA PARTE TEORÍA Y PROBLEMAS MÁS

COMPLEJOS

TRADUCIDO DEL INGLÉS por

TOMÁS DELGADO PÉREZ DE ALBA

INGENIERO INDUSTRIAL Y AERONÁUTICO

E S P A S A - C A L P E , S . A . M A I ) R I 1 )

1 9 5 7

xn NOTACIONES

N O T A C I O N E S

„ az Fatigas normales ligadas a planos perpendiculares al

eje x, y o z. a„ Fatiga normal ligada a un plano

perpendicular a la dirección n. aFl Fatiga normal en el

punto de fluencia. ot Fatiga normal de trabajo. t Fatiga

cortante. xzx Fatigas cortantes paralelas a los ejes y, 2, x,

y ligadas a planos perpendiculares a ios ejes x, y, z. t<

Fatiga cortante de trabajo.

8 Alargamiento total, flecha total, e

Alargamiento unitario.

Alargamiento unitario en las direcciones x, y. z. y

Distorsión unitaria, peso por unidad de volumen.

E Módulo de elasticidad en tracción y compresión.

O Módulo de elasticidad por cortadura, p.

Relación de Poisson.

A Dilatación.

K Módulo de elasticidad por volumen.

M, Momento torsor.

M Momento flector en una viga.

V Fuerza cortante en una viga.

A Área de sección recta. ly, Iz Momentos de inercia de

una figura plana con relación a los ejes y y z.

*v>

ky, h. Radios de giro correspondientes a Iu) /s.

h Momento de inercia polar. z Momento resistente.

C Rigidez a la torsión. l Longitud de una barra, luz de una viga.

P , Q Fuerzas concentradas.

t Temperatura, espesor.

ü Energía de deformación.

e Distancia, longitud de un arco.

Q Carga por unidad de longitud.

xn NOTACIONES

Í N D I C E

Páginas Capítulos -------- ,—

i.—PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 1

1. Vigas sobre fundación elástica .................................... 1 2. La viga semiinfinita sobre fundación elástica 12 3. Vigas de longitud finita sobre una fundación elás

tica ....................................................................................... 16 4. Carga lateral y compresión axial combinadas 27 5. Vigas continuas con acciones axiales y transver

sales ..................................................................................... 37 6. Tirantes con carga transversal .......................................... 41 7. La elástica mediante series trigonométricas .................. 46 8. Flexión de vigas en un plano principal que no es

plano de simetría. Centro de torsión ............................ 53 9. Anchura efectiva de alas delgadas .................................... 59

10. Limitaciones del método de superposición ..................... 62

II.—PIEZAS CURVAS .............................................................................................................................................. 68

11. ................................................................................................ Fatigas de flexión en barras curvas ................................. ... 68 12. Casos particulares ................................................................ 72 13. Deformación de barras curvas ........................................... 82 14. Arco articulado en los extremos ........................................ 97 15. Fatigas en un volante ......................................................... 100 16. Elástica de una barra con una linea media circular. 104 17. Deformación de barras con una pequeña curvatura

inicial ................................................................................ 107 18. Flexión de tubos curvos ..................................................... 110 19. Flexión de una barra curva fuera del plano de cur

vatura inicial ................................................................... 115

III. —PLACAS y ENVOLVENTES ................................. DELGADAS

121

20. Flexión de una placa en superficie cilindrica ............... 121 21. Flexión de una placa rectangular de gran longitud

cargada uniformemente ................................................ 123 22. Deformación de nlacas rectangulares que tienen una

pequeña curvatura inicial ............................................ 129 23. Flexión pura en dos direcciones rectangulares 133 24. Fatigas de origen térmico en las placas ......................... 137

XIV ÍNDICE

C a pi t ul o * PAg i n a*

25. Flexión de placas circulares cargadas simétricamen te respecto al centro ..................................................... 138

26. Placa circular cargada uniformemente ....................... 142 27. Placa circular cargada en el centro .............................. 149 28. Placa circular cargada concéntricamente ................... 152 29. Deformación de una placa circular que tiene un

agujero en su centro y está cargada simétricamente 154 30. Flexión de placas rectangulares ..................................... 159 31. Depósitos de pared delgada sometidos a presión in

terior ................................................................................. 163 32. Fatigas locales de flexión en depósitos de pared

delgada ............................................................................. 168 33. Fatigas térmicas en envolventes cilindricas ................ 178 34. Torsión de un anillo circular por un par distribuido

uniformemente a lo largo de su línea media 181

IV. ....................................................................................................................... —PANDEO DE BABEAS, PLACAS y OÁSOABAS ....................................................................... 189

35. Pandeo lateral de barras comprimidas por debajo del límite de elasticidad ................................................ 189

36. Método de la energía para el cálculo de la carga crítica ............................................................................. 204

37. Pandeo de barras prismáticas solicitadas por fuer zas axiales uniformemente distribuidas ................... 209

38. Pandeo de barras de sección variable ........................... 211 39. Efecto de la fuerza cortante en la carga crítica 214 40. Pandeo de vigas entramadas ........................................... 216 41. Pandeo de anillos circulares y tubos bajo presión

externa ............................................................................. 220 42. Pandeo de placas rectangulares ..................................... 228 43. Pandeo de vigas sin apoyos laterales ............................. 234

V.—DEEOBMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE un E J E . . . 241

44. Cilindro de pared gruesa .................................................. 241 45. Fatigas producidas por zunchado .................................. 245 46. Disco giratorio de espesor uniforme .............................. 249 47. Disco giratorio de espesor variable ................................ 258 48. Fatigas térmicas en un cilindro hueco de gran lon

gitud .................................................................................. 263

VI.—TORSIÓN .................................................................................................. 270

49. Ejes de sección no circular ............................................... 270 50. Analogía de la membrana ................................................. 272 51. Torsión de perfiles laminados ......................................... 279 52. Torsión de tubos delgados ................................................ 282 63. Torsión de piezas de pared delgada en las que algunas

secciones no pueden alabear libremente 286 54. Pandeo por torsión de piezas comprimidas de pared

delgada ............................................................................. 298 65. Fatigas secundarias en la torsión ................................... 302 56. Resorte helicoidal de espiras abiertas ........................... 308

VII. ..................................................................................................................... —CONCENTRACIÓN DE FATIGAS ..................................................................................... 316

57. Concentración de fatigas en piezas extendidas o comprimidas.................................................................... 316

68. Fatigas en una placa con un agujero circular 318 Capítulos Páginas

ÍNDICE XV

59. Otros casos de concentración de fatigas en piezas extendidas ........................................................................ 323

60. Concentración de fatiga en torsión ................................. 329 61. Eje circular de diámetro variable .................................... 334 62. Concentración de fatiga en flexión .................................. 340 63. Investigación de la concentración de fatiga con mo

delos .................................................................................. 347 64. Método fotoelástico para la medida de fatigas 351 65. Fatigas en el punto de aplicación de una carga 356 66. Fatigas de contacto entre bolas y rodillos ...................... 359

VIII. ....................................................................................................................... —Dio FORMACIONES PLÁSTICAS ..................................................................................... 366

67. Flexión pura de vigas cuyo material no sigue la ley de Hooke ........................................................................... 366

68. Flexión plástica de vigas por cargas transversales. . 376 69. Fatigas residuales en la flexión plástica ......................... 383 70. Torsión plástica ................................................................. 387 71. Deformación plástica de cilindros de pared gruesa

sometidos a presión interior ............... . ....................... 392

IX.—PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES ................................. 398

72. Ensayos de tracción ............................................................ 398 73. Ensayo de compresión ........................................................ 405 74. Endurecimiento por deformación ................................... 408 75. Endurecimiento por deformación y fatigas resi

duales ................................................................................ 414 76. Tipos de rotura .................................................................. 420 77. Tiempo de efecto e histéresis ............................................ 425 78. La fatiga alterna en los metales ....................................... 431 79. Diversos factores que afectan al límite de tole

rancia ................................................................................ 437 80. Fatiga variable y concentración de fatiga ..................... 443 81. Propiedades mecánicas de los metales a temperatu

ras elevadas ..................................................................... 458 82. Diversas teorías de la rotura............................................. 468 83. Fatigas de trabajo ............................................................... 477

Indice DE AUTORES .............................................................................................. 495

RESISTENCIA DE MATERIALES

S E G U N D A P A R T E

CAPÍTULO PRIMERO PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN

DE VIGAS

1. Vigas sobre fundación elástica.—Consideremos una viga

prismática apoyada en toda su longitud sobre una fundación elástica

continua, tal que cuando la viga se deforma la intensidad de la

reacción distribuida de modo continuo es en cada sección

2 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A

TETtT\T,ER

proporcional a la flecha de dicha sección L Con esta hipótesis, la

reacción por unidad de longitud de la barra puede representarse por

la expresión ky, donde y es la flecha y k una constante denominada

corrientemente módulo de la fundación. Esta constante representa

la reacción por unidad de longitud cuando la flecha es igual a la

unidad. La sencilla hipótesis de que la reacción por unidad de

longitud es proporcional a la flecha da resultados satisfactorios en

muchos casos prácticos. Por ejemplo, en el caso de carriles sobre

traviesas la solución obtenida con esta hipótesis está de acuerdo con

las determinaciones reales 1.

1 Véase S. Timoshenko y B. F. Langer, Trans A. S. M. E., volumen 54,

pág. 277, 1932. La teo-ía de la flexión de una barra sobre fundación elástica ha sido desarrollada por E. Winkier, Die Lehre v. d. Elastizat u. Festigkeit, Praga, 1867, pág. 182. Véase también A. Zim- mermann, Die Berechnung des Eisenbahn -Oberbaues, Berlín, 1888. Los Ultimos estudios de la teoría pueden verse en las siguientes publicacio-

i¿lfiSlSlLi\CiA DE MATE¡UALE8. — i. Ü

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS 3

AI estudiar la elástica de una viga, se obtuvo 2

EI*^=q, (a)

donde q representa la intensidad de la carga que obra sobre la viga.

En un trozo descargado, la única fuerza sobre la viga es la

reacción de intensidad ky. Por consiguiente,

q = — ky, y la ecuación (a) será:

EI^ = -ky. (1) dx4

Empleando la notación

4

y—

\ i E l ,

la solución general de la ecuación (1) puede escribirse

y = (A eos ¡3x -f- B sen fix) + e - P* (C eos [3a; + D sen (3x) (b)

lo que puede comprobarse sustituyendo (b) en la ecuación (1). En

cada caso particular se hallarán las constantes A, B, C y D por las

condiciones especiales del mismo.

Sea, por ejemplo, el caso de una sola carga

concentrada que actúa sobre una

(o) viga de longitud infinita

(fig. 1). Tomemos 2 como origen de coordenadas el punto de

Fin. l aplicación de la fuerza. Por simetría, basta

considerar el trozo de viga a la derecha de la

carga —fig. 1 (b)—. Para aplicar a este caso la solución general

(ó), empezaremos por determinar las

constantes. Es lógico

suponer que en puntos situados sobre la viga a distancia infinita de

P la flecha y el giro de la sección correspondiente sean nulos. Esta

condición puede satisfacerse únicamente si las constantes A y B de

la ecuación (6) son nulas. Por consiguiente, la elástica para la parte

de viga que se considera será

2 Véase Strenght oj Materials, primera parte, pág. 131,

P V7Z7r WJWM/‘7?7Z7/. ~ y M

M.

4 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A

TETtT\T,ER

y = e~$x ((7 eos fke -f D sen pa;). (c)

Las dos constantes que quedan, G y D, las encontraremos por las

condiciones en el origen, * = 0. En este punto, la elás tica debe tener

una tangente horizontal; luego

utilizando para y la expresión (c).

e~ 3* (G eos $x + D sen fix - G sen ¡3a;—D eos Pa;) x _ o = 0; de

donde

La ecuación (c) será, por tanto,

y = Ce~ x (eos pa; + sen pa;). (d)

Las derivadas consecutivas de esta ecuación son:

-- = — 2 p(7e sen Pa;, dx

= 2 p2Oe (sen pa; — eos Pa;) (e) dx2

= 4 BnCe ~ ?x eos pa;. (/) dx3

La constante G la determinaremos ahora,puesto que para

* = 0 la fuerza cortante en el trozo de viga queconsidera-

p mos —fig. 1 (6)— es —r-, El signo — procede del convenio esta- ¿¡

blecido para el signo de la fuerza cortante (véase página 68, Primera

'parte). Por consiguiente,

4 RESISTENCIA T)E MATERIALES

empleando la ecuación (/),

EL ■ 4 p3C = 2

de donde <7 í_

sps/,

Sustituyendo este valor en las ecuaciones (d) y (e), se obtiene

F jPR ^ — ----------- e~'f-x (eos{3a; +sen ¡3a;)= — e_h* (eos pz -f- sen fia;) (3)

8 %PEIt 2 k

M = — El. —==—■ — e“P* (sen8a; — cospz). (4) da;2 4 (3

Las ecuaciones (3) y (4) tienen la forma de ondas, cuya am

plitud decrece gradualmente. La longitud de onda a es igual al

período de las funciones eos {ix y sen jix; es decir,

o=— = 2 7, i/i—-1 m p I t

Para simplificar la determinación de la flecha, el momento flector y

la fuerza cortante, se emplea la tabla numérica que se

PROBLEMAS ESPECIALES EN' LA ELEXFÓN PE VTOAS 6

inserta a continuación, en la que se emplean las notaciones si-

guientes:

 '

G)

0 = e~ P* eos pa;; ^ = e _ 3* sen pa;. )

En la figura 2 se dan gráficamente las funciones <¡> y

TABLA I FUNCIONES 9 , (|(, 0 Y 5

pa: 9

* 0

5 pa: 9

+ 0

=

0 1,0000 1,0000 1,0000 0 3,6 — 0,0366 — 0,0124 — 0,0245 — 0,0121 0,1 0,9907 0,8100 0,9003 0,0903 3,7 — 0,0341 — 0,0079 — 0,0210 — 0,0131 0,2 0,9651 0,6398 0,8024 0,1627 3,8 — 0,0314 — 0,0040 — 0,0177 — 0,0137 0,3 0,9267 0,4888 0,7077 0,2189 3,9 — 0,0286 — 0,0008 — 0,0147 — 0,0140 0,4 0,8784 0,3564 0,6174 0,2610 4,0 — 0,0258 0,0019 — 0,0120 — 0,0139 0,5 0,8231 0,2415 0,5323 0,2908 4,1 — 0,0231 0,0040 — 0,0095 — 0,0136 0,6 0,7628 0,1431 0,4530 0,3099 4,2 — 0,0204 0,0057 — 0,0074 — 0,0131 0,7 0,6997 0,0599 0,3798 0,3199 4,3 — 0,0179 0,0070 — 0,0054 — 0,0125 0,8 0,6354 — 0,0093 0,3131 0,3223 4,4 — 0,0155 0,0079 — 0,0038 — 0,0117 0,9 0,5712 — 0,0657 0,2527 0,3185 4,5 — 0,0132 0,0085 — 0,0023 — 0,0108 1,0 0,5083 — 0,1108 0,1988 0,3096 4,6 — 0,0111 0,0089 — 0,0011 — 0,0100 1,1 0,4476 — 0,1457 0,1510 0,2967 4,7 —■ 0,0092 0,0090 0,0001 — 0,0091 1,2 0,3899 — 0,1716 0,1091 0,2807 4,8 — 0,0075 0,0089 0,0007 — 0,0082 1,8 0,3355 — 0,1897 0,0729 0,2626 4,9 — 0,0059 0,0087 0,0014 — 0,0073 1,4 0,2849 — 0,2011 0,0419 0,2430 5,0 — 0,0046 0,0084 0,0019 — 0,0065 1,5 0,2384 — 0,2068 0,0158 0,2226 5,1 — 0,0033 0,0080 0,0023 — 0,0057 1,6 0,1959 — 0,2077 — 0,0059 0,2018 5,2 — 0,0023 0,0075 0,0026 — 0,0049 1,7 0,1570 — 0,2047 — 0,0235 0,1812 5,3 — 0,0014 0,0069 0,0028 — 0,0042 1,8 0,1234 — 0,1985 — 0,0376 0,1610 5,4 — 0,0006 0,0064 0,0029 — 0,0035 1,9 0,0932 — 0.1S99 — 0,0484 0,1415 5,5 0,0000 0,0058 0,0029 — 0,0029 2,0 0,0667 — 0,1794 — 0,0563 0,1230 5,6 0,0005 0,0052 0,0029 — 0,0023 2,1 0,0439 — 0,1675 — 0,0618 0,1057 6,7 0,0010 0,0046 0,0028 — 0,0018 2,2 0,0244 — 0,1548 — 0,0652 0,0895 5,8 0,0013 0,0041 0,0027 — 0,0014 2,3 0,0080 — 0,1416 — 0,0668 0,0748 5,9 0,0015 0,0030 0,0026 — 0,0010 2,4 — 0,0056 — 0,1282 — 0,0669 0,0613 0,0 0,0017 0,0031 0,0024 — 0,0007 2,5 — 0,0166 — 0,1149 — 0,0658 0,0492 6,1 0,0018 0,0026 0,0022 — 0,0004 2,6 — 0,0254 — 0,1019 — 0,0636 0,0383 6,2 0,0019 0,0022 0,0020 — 0,0002 2,7 — 0,0320 — 0,0895 — 0,0608 0,0287 6,3 0,0019 0,0018 0,0018 + 0,0001 2,8 — 0,0369 — 0,0777 — 0,0573 0,0204 6,4 0,0018 0,0016 0,0017 0,0003 2,9 — 0,0403 — 0,0660 — 0,0534 0,0132 6,5 0,0018 0,0012 0,0015 0,0004 3,0 — 0,0423 — 0,0563 — 0,0493 0,0070 6,6 0,0017 0,0009 0,0013 o,ooor» 8,1 —■ 0,0431 — 0,0469 — 0,0450 0,0019 6,7 0,0016 0,0006 0,0011 0,0006 3,2 — 0,0431 — 0,0383 — 0,0407 — 0,0024 6,8 0,0015 0,0004 0,0010 0,0006 3,3 — 0 0422 — 0,0306 — 0,0364 — 0,0058 0,9 0,0014 0,0002 0,0008 0,0006 3.4 3.5

— 0,0408 — 0,0389

— 0,0237 — 0,0177

— 0,0323 — 0,0283

— 0,0085 — 0,0106

7,0 0,0013 0,0001 0,0007 0,0006

7 RESISTIA CIA RE MATERIALES

Empleando la notación (6) y las ecuaciones (d) a (/), se obtiene

F==“<p(P*)> Óf==~ ' 2 k dx h

(7)

F = — Elfit = — -6(p*). da;3 2

Usando estas ecuaciones junto con la tabla I, se calculan

fácilmente las flechas, el giro, el momento flector y la fuerza

cortante para cualquier sección recta de la vita. La flecha máxima

y el momento flector máximo acontecen en el origen y valen,

respectivamente,

* = (y),-o=^’ (8) 2k

M0= (M)^0= (9) 4£

Utilizando la expresión (3) y el principio de superposición, se

puede calcular fácilmente la flecha producida en una viga de

longitud infinita sobre fundación elástica por

cualquier clase de carga.

Como ejemplo, consideraremos el caso de

una carga uniforme repartida sobre una

longitud l de una viga infinitamente larga

(fig. 3). Consideraremos un punto cualquiera

A y sean c y b las distancias desde

este punto a los extremos de la parte cargada.

La flecha en A,producida por un elemento de carga qdx, se

obtendrá sustituyendo qdx en lugar de P en la ecuación (3) y será

t „jipBr

L i [* y/'///// y//

Fia. 3

8 BESTRTTÍNCTA DE MATEETAT/ES

(10')

La flecha producida en A por toda la carga valdrá

__ fg _px ^CQg ax _|_ gen ax-j _j_ í _9^_ e -P* (cos

Rx y Jo sm Jo 8PEI, P

+ sen ¡3a:) = — (2 — e~?b eos $b — e-!2* eos pe). (g) 2 k

Si c y b son grandes, los valores de e~$b y e~°c

son pequeños

y laflecha (¡7) será igual, aproximadamente, a es decir, en

fC

puntos alejados de los extremos y pertenecientes a la parte car-

gada, puede despreciarse la flexión de la barra y suponerse que la

carga uniforme q se transmite directamente a la fun 1 ación

elástica. Tomando el punto A en uno de los extremos de la parte

cargada se tiene c = 0, b — l, e~ c eos pe = 1 Suponiendo que l es

grande, tendremos también e~$b eos p6 = 0. Por tanto,

y = JJp es decir, la flecha ahora es la mitad de la encontrada

anteriormente.

De modo parecido, y utilizando la ecuación (4), puede deducirse

la expresión del momento flector en A. Si el punto A se toma en la

viga, fuera de la parte cargada, y suponemos que b y c representan

la mayor y la menor de las distancias de dicho punto a los

extremos de la parte cargada de la viga, la flecia en A será

y — [ e ~ P* (eos p# -f sen Bx) — f —-^X - e ~ (eos Bx Jo 8P*EI, Jo

+ sen p#) = — (e~eos pe — e~Pb eos ptí). (h) 2 k

Cuando c = 0 y 6 = 1 es una cantidad grande, se obtiene

para la flecha el valor , que coincide con el hallado anterior- z te

mente. A medida que 6 y c aumentan, la flecha (h) disminuye y

tiene a cero para valores crecientes de b y c.


El caso de que la solicitación sea un par —fíg. 4 (a)—, puede

analizarse utilizando la solución (3) correspondiente a una carga

aislada. La acción del par es equivalente a la de las dos fuerzas P

de la figura 4 (ó), si Pe vale Mo, cuando e tiende hacia cero.

Utilizando la primera de las ecuaciones (7), la flecha a una

distancia x del origen, valdrá

9ÍP*) — <prp(®+*ii {<p(Pzj — <p[p(x + e)]}

2& 2 k

M0Qdq>

2k dx

Deducido de las ecuaciones (7),

dx

por lo que la elástica que produce el par MQ responde a la

ecuación

V = -

k

Diferenciando esta ecuación, se obtiene: dy

dx

M = — —°0(pa:), dx2 2

y

1c

d3y ' dxs

M0{i o (¡3a:).

Y — — El.

10 BESTRTTÍNCTA DE MATEETAT/ES

(10')

Utilizando estas ecuaciones junto con la tabla I, puede cal-

cularse rápidamente la flecha, el giro, el momento flector y la

tuerza cortante en cualquier sección de la viga.

Consideraremos ahora el caso de que sobre la viga actúen

varias cargas concentradas. Veremos, como ejemplo, la flexión de

un carril producida por las acciones contra él de las ruedas de una

locomotora. Para aplicar los resultados de nuestro análisis, es

necesario admitir que el carril está embebido de modo continuo en

una fundación elástica. Esta hipótesis es aceptable \ puesto que

la distancia entre traviesas es pequeña comparada con la longitud

de onda a de la elástica dada por la ecuación (5). Para, obtener el

valor del módulo de la fundación le, se divide la carga necesaria

para hundir a la traviesa la unidad de longitud entre la

separación de traviesas. A este efecto, se suponeque la traviesa está solicitada por dos cargas correspondientes a la presión de los carriles. Supongamos, por

ejemplo, que la traviesa se hunde 1 cm. en los puntos de apli-

cación de dos cargas de 5.000 kg. y que la separación entre

traviesas es 50 cm., tendremos

¿ _ JbQM =100 kg./cm.* 1 X 50

Para el caso de una sola rueda cuya carga es P, se utilizan

las ecuaciones (8) y (9) para el cálculo de la flecha máxima y del

momento flector máximo. La fatiga máxima debida a la flexión del

carril será

_ -Mmáx _ P _ P |/4E/j ^

máx Z 4(5Z iZ ’ k donde Z representa el momento resistente del

carril3. Para com

. " Al escribir la ecuación (i) se ha supuesto que la fórmula obtenida

en la teoría elemental de vigas puede aplicarse en la sección de aplicación de la carga P. Un análisis más profundo de la cuestión jnuestra que, debido a las fatigas locales, el resultado es muy distinto del que da la ecuación elemental (i).

11 RESISTE'N'CTA T>E MATEHTALES

parar las fatigas en carriles cuyas secciones son semejantes geo-

métricamente, la ecuación (i) se pone en la forma siguiente:

(?)

siendo A el área de la sección del carril. Como el segundo factor

del segundo miembro de la ecuación (?) permanece constante para

secciones geométricamente semejantes, y como el tercer factor no

depende de las dimensiones del carril, se deduce que la fatiga

máxima es inversamente proporcional al área de la sección recta;

es decir, inversamente proporcional al peso del carril por unidad

de longitud.

El valor

aproximado de la

presión i?máx sobre una

traviesa se obtiene multiplicando la flecha máxima por la

separación entre traviesas l y por el módulo de la fundación. De la

ecuación (8),

(k)

De aquí se deduce que la acción sobre la traviesa depende

principalmente de la separación entre traviesas l. Debe señalarse

que k influye con su raíz cuarta en las ecuaciones (?) y (&). Por

consiguiente, un error en la determinación de k vendrá muy

reducido al influir sobre amáx y /¿máx.

Cuando son varias las cargas que actúan sobre el carril, se

emplea el método de superposición. Veamos, como ejemplo, un

caso numérico. Sea un carril de Iz = 1.800 cm.* y supongamos una

separación de traviesas tal que k = 100 kg./cmA De la ecuación (2),

y de la ecuación (5), 2*71

a = — = 684 cm.

Tomaremos, por ejemplo, un sistema de cuatro ruedas igua* les

separadas a 165 cm. Escogiendo el origen de coordenadas en el

12 ttESTSTEfíCIA DE MATETtTAEES

punto de contaot» de la primera rueda, los valores de fix para

PRORT,TOMAR TOSPTOCTALTOR TON LA TOLEXIÓN T)TO VTOAS 1]

las demás serán los de la tabla II y los de las funciones 9 y <Ji de la

tabla de la página 5, los que también se indican.

Superponiendo los efectos de las cuatro ruedas que actúan sobre

el carril, el momento flector en el punto de apoyo de la primera

rueda, en virtud de la ecuación (4), será

P P M, = — (1 — 0,207 — 0,053 + 0,008) = 0,75 — >

4p 43

es decir, el momento es un 25 por 100 menor que el que produce una

carga aislada P. Procediendo en forma análoga, se obtiene para el

punto de contacto de la segunda rueda

P P M2 = — (1 — 2 x 0,207 — 0,053) = 0,533 —

43 43

Puede observarse que, debido a la acción de las ruedas adya-

centes, el momento bajo la segunda rueda es mucho menor que

debajo de la primera. Este resultado ha sido comprobado en

multitud de determinaciones experimentales. Utilizando la ecua-

ción (3) y los valores de la última fila de la tabla II, se haya la flecha

bajo la primera rueda:

8, = ^ (I + 0,234 — 0,042 — 0,012) = 1.18 2 ¿ 21c

Las flechas, en los otros puntos, pueden obtenerse de modo

análogo.

Se ve, por tanto, con qué facilidad puede aplicarse el método de

superposición y obtener el efecto debido a una combinación de

cargas cuando se conoce su disposición y su separación.

El estudio realizado ha sido hecho suponiendo que la fundación

es capaz de desarrollar reacciones negativas. Puesto que existe

juego entre el carril y los pernos, hay una pequeña resis

T A B L A I I

Cargas i 2 3 4

0 1,51 -

0,207 0,234

3,03 — 0,053 — 0,042

4,55

0,008 —

0,012

i 1

14 ttESTSTEfíCIA DE MATETtTAEES

tencia en el movimiento hacia arriba del carril, lo que tiende a

aumentar el momento flector debajo de la primera y última rueda.

En el problema intervienen, además, otros elementos que pueden

afectar al resultado del análisis. Sin embargo, en general, la teoría

expuesta para la flexión del carril, en virtud de cargas estáticas,

está en satisfactorio acuerdo con los experimentos realizados. Problemas

1. Utilizando loa datos de la tabla II, construir el diagrama de

momentos flectores para el carril, suponiendo que la acción de cada

rueda es igual a 20.000 kg. Este diagrama mostrará que los momentos

son negativos para las secciones medias entre ruedas, ¡o que indica que

durante el movimiento de la

locomotora el carril está sometido a un

cambio en la acción de las fatigas de

flexión, lo que puede ocasionar roturas

por fatiga alterna.

2. Encontr

ar el momento flector en el centro de

la parte cargada de la viga de la figura

3, y el giro en Fia. 5 ¡a

elástica correspondiente al extre

mo izquierdo del mismo trozo.

3. Encontrar la flecha en un punto cualquiera A, bajo la carga

triangular que obra sobre la viga infinitamente larga, apoyada de modo

continuo y elástico, de la figura 5.

Respuesta:

Procediendo del mismo modo que al deducir la ecuación ((/), página

7, se tiene

y " T$k 1[WC) ~ W6) ~ 2 Í3W(P6) + 4 P<5]

2. La viga semiinfinita sobre fundación elástica. — Si una

viga larga embebida en una fundación elástica

se flexa por la acción de una fuerza P y de un

momento M0 aplicados en su extremo (fig. 6), podremos utilizar la

solución general (b) del artículo anterior. Puesto que

flechas y momento-flector tienden hacia cero, a

medida que x aumenta deberá tomarse A — B = 0, y tendremos

y = e~P* (C eos p* + D sen $x).

i 1

Fio. 6

(a)


Para determinar las constantes de integración C y D, dis-

ponemos de las condiciones en el origen; es decir, bajo la carga P:

El, = ~ M a \dx2! xs*0

Elt = — V = P. UW*-0

Sustituyendo la expresión (o) en estas ecuaciones, se obtienen dos ecuaciones lineales en C y D, de las que

1 M C = —i— (P — plf0); D =

2 fPEIz 2 [PEI,

con estos valores la ecuación (a) se escribe

Q — {3& y = y;Ej tp cos $x ~ (cos P* ~sen ^)1

= ^ {Pe^) - pif0 [0(p*) - £(?*)]}. (11)

Sustituyendo en (11) x = 0, se obtiene la flecha bajo la carga

'ir>

La expresión del giro se obtiene diferenciando la ecuación (11).

En el extremo (x = 0), este giro vale

ldñ ~ 1 (P- 2 pif0). (12) 2p *EIZ

Empleando estas ecuaciones y el método de superposición,

pueden resolverse problemas más complejos.

Si una viga larga uniformemente cargada, apoyada sobre fun-

dación elástica, tiene un extremo simplemente apoyado —figura 7

(a)—, la reacción R se encuentra estableciendo que la flecha en el

apoyo es nula. Observando que la flexión de la viga es despreciable

a distancia grande del apoyo y que su depresión en la

16 RESISTENCIA DE MATERIALES

fundación será igual a y, se calcula el valor de R sustituyendo IC

M0 = 0 y á = yr en la ecuación (11')- Así se obtiene; «c

La elástica se obtiene restando las flechas dadas por la ecuación

(11) paraP = R, M0— 0, de la depresión uniforme de

viga p y así se obtiene:

q e~$x „ y = ----------------- Ji eos Ba4 * 2 33E/2

= - (1 — e-P*cospa;). (14) k

En el caso de extremo

empotrado —fig. 7 (ó)—, los

valores de la reacción R y del

momento M0 se obtienen

estableciendo que en el apoyo la flecha y el giro son nulos. q

Observando que a distancia grande del apoyo la flecha vale ^, y

empleando las ecuaciones (11') y (12), se obtienen para el cálculo de

R y Ma las ecuaciones siguientes b

k 2 $*EIt

1

(R + 2p3/0) 2¡y EI,

de donde

(15)

El signo menos de M0 indica que el momento tiene la dirección

indicada por la flecha de la figura 7 (b).

4 En las ecuaciones (11') y (12) se sustituye P = — R, ya que la

L 2P*

R = 2 PS#/,- = k (13)

la

(R + pJ/0)

0

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 17

Problemas

1. Encontrar la elástica de una viga semiinfinita sobre fundación

elástica articulada en el extremo y solicitada por el par Mu (fig. 8).

Solución: La reacción en la ar

ticulación se obtiene por la ecuación

(11'), teniendo en cuenta que 8 = 0; lo que

da p=

Sustituyendo este valor de P en la ecuación (11) se obtiene

■ e — 3* sen $x 2 QPEI,

Por diferenciaciones sucesivas se obtiene

dy dx

dh) V = - EIz ¿5 = ~ 3-^0 ' 9(3*)'

1. Encontrar el momento flector M0 y la fuerza P, que actúan en «i

extremo de una viga semiinfinita sobre fundación elástica (figu- la 11), ai

se conocen la flecha 8 y el giro i en dicho extremo.

SoTnc'Jn: Loa valores Ma y P se obtienen de las ecuaciones (11')

S 1121 sustituyendo las cantidades dadas en lugar

de 8

. ^ Encontrar la elástica para una viga semiinfinita sobre fundación

elástica producida por una carga P, aplicada a la distancia o del extremo

A de la viga (fig. 10).

Fio. 8

(16)

<P

y

dxa '

M = — El, (6) : - 9(3*),


Solución: Supongamos que la viga continúa a la izquierda de A,

tal y oomo se representa en la figura por línea de trazos lia esto caso

la ecuación (3) da la elástica para x >

0, y en la sección A de la viga infinita

ficticia, en virtud de la simetría y

empleando las ecuaciones (7),

tendremos

M=4-p«Po), P = Je«3c). (e)

Para obtener la elástica deseada es

evidentemente necesario superponer a

las flechas de la viga v ficticia infinita

las flechas que en una viga semiinfinita

producen las cargas de la figura 10 (6).

Utilizando las ecuaciones (3), (11) y (c)

se obtiene para x > 0

y = <p(fte) + ¡ VQifrx + C)j + m<$mx + c)J ~ + c] j

<d)

o sea

v = TÍ +T> i 0(3c)0W(:r + C)1 +

-(-1 lj/(Pc)0[P(^ + c)] — + c>] j.

Esta expresión es también válida para — c < x < 0; en este caso debe

emplearse el valor absoluto de x; en lugar de x en <p(Px).

3. Vigas de longitud finita sobre una fundación elástica.—La

flexión de una viga de longitud finita embebida en una fundación

elástica puede estudiarse mediante la solución (3), correspon-

diente al caso de viga de longitud infinita unida al método de

superposición L Consideremos, por ejemplo, el caso de una viga

de longitud finita con los extremos libres solicitada por dos fuer-

zas P simétricamente aplicadas —fig. 11 (a)—. Este caso de carga

corresponde al de una traviesa bajo la acción de las presiones de

los carriles. A cada una de las tres porciones de la viga puede

1 Este método de análisis ha sido desarrollado por M. Hetenyi, Final Report of the Second Congrega of the. International Aaaoc. f. Bridge and, Structural Engineering, Berlín, 1938.

CA\

p

0

\\//A

(T'''

y

0

\(t>) y

PlG. 10


aplicarse la solución general (ó) del artículo 1.° y calcular las

constantes de integración por las condiciones en los extremos y en los

puntos de aplicación de las cargas. Puede, sin embargo, obtenerse la

solución de modo mucho más sencillo, superponiendo las soluciones

correspondientes a los dos casos de carga, sobre una viga de longitud

infinita, que muestran las figuras 11 (b) y 11 (c)-

En la figura 11 (b) actúan sobre la viga de longitud infinita las dos

fuerzas P. En la figura 11 (c) dicha viga está cargada con

las fuerzas Q0 y momentos $T0. aplicados fuera del trozo A B de la

viga e infinitamente próximos a los puntos A y B extremos de la viga

dada —fig. 11 (a) — . Se ve fácilmente que escogiendo de modo

conveniente las fuerzas Q0 y los momentos M0, puede anularse la

fuerza cortante y el momento flector producidos por las fuerzas P en

las secciones A y B de la viga de longitud infinita, representada en la

figura 11 (ó). Por consiguiente, la parte central de la viga infinita

estará en las mismas condiciones que la viga finita representada en

la figura 11 (a), y, por tanto, todo aquello referente a la flexión de esta

última viga puede deducirse superponiendo los casos que muestran

las figuras 11 (ó) y ll (c). DESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n

A rí P - C ♦

B Ji m

«i A

y/////////////,

V 1

'///A Ca)

B

jP

&

zz/z/zz/zz/zA

y

A B

Wi ¡(ó)

0. .'«M.

pí

h— ¡ — i

Fio. 11

RESTSTEWCTA BE MATERIALES

Para establecer las ecuaciones que determinan los valores

apropiados de M0 y Q0, consideraremos la sección en A de la viga

infinitamente larga. Tomando el origen de coordenadas en este punto

y empleando las ecuaciones (7), calculemos el momento flector M' y la

fuerza cortante F' producidas en este punto por las fuerzas P.

(o)

= 0[Mj. ¿á

El momento M” y la fuerza cortante V" producidos en el mismo

punto por las fuerzas indicadas en la figura 11 (c), se obtienen

mediante las ecuaciones (7) unidas a las (10'); lo que da

M" = 9° fl + W0] + ^ [i + 6(PQ], 43 ¿

^ (b)

v=- %ci - e(W] -^[i - <?mi Z A

Los valores apropiados de Ma y Qü se obtienen de las ecua-

ciones M' + M” = 0, V'+V” =0, \ (c)

que se resuelven en cada caso con facilidad empleando la tabla I.

Conocidos Ma y Q0, la flecha y momento flector en cualquier

sección de la viga dada —figura 11 (o)- se obtienen utilizando las

ecuaciones (7), (10) y (10'), junto

con el método de superposición. El

caso particular de la figura 12 se

resuelve en la forma expuesta,

haciendo c — 0.

De esta forma, se obtiene para

valor de la flecha en los extremos y en el centro de la viga las

expresiones siguientes:

PBOBLEMAS ESPECIALES Eli LA FLEXIÓN DE VIDAS 19

2 Pj3 ChpZ eos p/

k ShpZ + sen pZ

nu ¡il >il

Ch —

eos— 4Pp 2 2

Ve

k ShpZ -4- sen

pZ El momento flector en el centro es

QUP5 P* Sh— sen -

2 P ¡3 ShpZ -f sen pZ

5 El método

empleado para

el caso de carga

simétrica —

figura 11 (a)—

puede aplicarse

también para el

caso de carga

anti- eunétrica

—fig. 14 (a)—.

Q0 y M0

constituyen en

este caso un .

sistema

antisimétrico —

fig. 14 (c)—. Los

valores de Q0 y

M0 se

(d) ■■yb =

(«)

(/) Ma

20 KESISTEÍTOTA T>E MATEETAUES

El caso de una carga aislada en el centro (fig. 13), puede

deducirse también del estudiado

—fig. 11 (a)—. Basta

hacer c — ~ y escribir P en 2 J

lugar de 2 P.

De esta forma, se obtiene para

el valor de las

flechas en los extremos y centro las expresiones siguientes:

P? pZ Ch - eos —

2 Pp y a = Vb •

ShpZ-

sen pi 2

_ Pp ChpZ + eos pZ -f ^c

2k ShpZ -f sen pZ

El momento flector en el punto de aplicación de la carga vale P

ChpZ— eos pZ

Me 4p ShpZ -f sen pZ

(9)

ih)

(i)

determinan mediante un sistema de ecuaciones establecido de

modo análogo a como se han escrito las ecuaciones (a), (b) y (c).

Conocidos Qü y M0. todos los resultados concernientes a la

flexión de la viga de la figura 14 (a) pueden obtenerse superpo-

niendo los casos correspondientes a las figuras 14 (ó) y 14 (c).

Teniendo las soluciones correspondientes a los casos de carga

simétrica y de carga antisimétrica, puede resolverse con facilidad

cualquier otro caso de carga utilizando el principio de

superposición. Sea, por ejemplo, el caso de carga asimétrica de la

figura 15 (a). Su solución puede encontrarse superponiendo los

casos de carga simétrica y antisimétrica de las figuras 15 (ó) y 15

(c). El problema de la figura 16 puede resolverse de modo análogo.

En cada caso, el problema se reduce a la determinación de valores

apropiados de las fuerzas Q0 y momentos M0, mediante las

ecuaciones (c).

Al analizar la flexión de vigas de longitud finita se observa que

la influencia de fuerzas aplicadas en un extremo de la viga sobre

la flecha en el otro extremo depende del valor de ¡5L Esta cantidad

aumenta al crecer la longitud de la viga. Al mismo tiempo (vcase

tabla I), las funciones y, y 0 decrecen rápida'

Fio. 14

22 KESISTEÍTOTA T>E MATEETAUES

PROBT/BINTAS ESPBCTAPES T?N PA FLEXIÓN DE VIGAS

mente, y por encima de cierto valor de ¡31 puede suponerse que las

fuerzas que actúan en un extremo de la viga tienen una influencia

despreciable sobre las deformaciones del otro extremo. En este

caso, la viga puede considerarse como infinitamente larga, ya que

las cantidades <p (¡31), (¡3!) y 6(¡31) son desprecia-

bles comparadas con la unidad en las ecuaciones (b), lo que sim-

plifica considerablemente las ecuaciones (c).

En general, el análisis de la flexión de vigas de longitud finita

se Jiace clasificándolas en tres grupos:

I. Vigas cortas, (31 < 0,60.

II. Vigas de longitud media, 0,60 < ¡3?<5.

III. Vigas largas, (31 > 5.

Al examinarse el caso de vigas delprimer grupo, puede des

preciarse por completo la flexión y considerar la viga como ab-

solutamente rígida, por ser la flecha que origina muy pequeña

comparada con la depresión de la fundación. Sea, por ejemplo, el

caso de una carga aislada en el centro (fig. 13) y supongamos =

0,60, encontraríamos, mediante las fórmulas dadas anteriormente

para ya e ye, que la diferencia entre la flecha en el

21

FIG. 15 Fio. 16

23 RESISTENOTA EE TVTATERT AT.ES

centro y la flecha en el extremo es alrededor del 6/2 por 100 de la

flecha total. Esto indica que la flecha de la fundación se obtiene

con gran aproximación considerando infinitamente rígida la viga y

empleando para la flecha la fórmula P

y = — ¡el

La característica esencial de las vigas del segundo grupo es

que una fuerza que actúa en un extremo produce un efecto

considerable en el otro. Estas vigas deben estudiarse según lo

expuesto para vigas de longitud finita.

En las vigas del tercer grupo puede suponerse, al estudiar un

extremo de la viga, que el otro extremo está infinitamente alejado.

Puede considerarse, por consiguiente, la viga como infinitamente

larga.

En todo lo estudiado se ha supuesto a la viga embebida de

modo continuo en la fundación; pero los resultados obtenidos

pueden aplicarse también a casos en que la viga está apoyada en

un gran número de apoyos elásticos equidistantes. Como un

ejemplo de esta clase, expondremos el caso de una viga horizontal

AB (fig. 17), que sirve de apoyo a un sistema de vigas verticales

equidistantes, cargadas uniformemente a razón de q kg./cm.1.

Todas las vigas están articuladas en los extremos. Sean EI1 y lx la

rigidez a la flexión y la longitud de las vigas verticales. La flecha

en su centro será 5 ql\ Rl\ ,.

y = ------- — --------- — (?) 384 El, 48 EI1

Donde R es la acción mutua entre la viga horizontal AB y la

vertical considerada. Resolviendo en R la ecuación (/), se ve que la

viga horizontal AB está bajo la acción de una fuerza concentrada

—fig. 17 (c)—, cuyo valor es

p 5 / 48 EI\ m #=-3*1 ------------------------------------------------ (¿)

6 Diversos problemas de esta naturaleza se presentan en las es


Suponiendo que la distancia a entre las vigas verticales es

pequeña comparada con la longitud l de la viga horizontal y

sustituyendo las fuerzas concentradas por una carga uniforme

equivalente —fig. 17 (c)~, puede también reemplazarse la dis-

tribución de carga indicada en la figura con línea de trazos por

una carga distribuida continuamente de intensidad.

9i ~ % Donde

ñql, 4SEI, Vi — ó K '

8 a

La ecuación diferencial de la elástica de la viga A B es, por

consiguiente,

WTd*y - a EIdx*~ h

Se ve que la viga horizontal está en análogas condiciones que

una viga cargada uniformemente y embebida en una fundación

elástica.

La intensidad de la carga y el módulo de la fundación están

dados por las expresiones (l). Para estudiar la deformación de la

viga, puede utilizarse el método de superposición expuesto

////////y////////////// , ¿

FIG. 17

(i!) ap

■ky. {m)

25 RESISTENCIA T>E M ATEPT AT.ES

anteriormente o integrar directamente la ecuación (m). "Esco-

giendo el último camino, escribiremos la integral general de ia

ecuación (m) en la forma siguiente:

sen ¡3xShPyx + C2 sen (3rCh(3x + C3 eos (3x h / (n)

X Sil ¡3x + C4 eos ¡3:rCh ¡3x.

Tomando en el centro el origen de coordenadas —fig. 17 (c)—,

se deduce por simetría que

0.

Sustituyendo en la ecuación (n) y utilizando las condiciones an

los extremos articulados (d2y\

2

2 sen — Sh— 2

<71 = k eos (314- Ch¡3í

P?, 2

2 eos —Ch —

Q __ 71 4 fc eos [31 + Ch[3í

La elástica será, por consiguiente,

o 2 sen — Sb —

sen ¡3xSh¡ia; eos ¡31-¡-Ch[31

2 eos —Cb— 2 2 eos [3xCh¡3x

eos ¡31 -fi Cb¡31

La flecha en el centro se obtiene haciendo x = 0, y vale / 2

eos — Cb

(y) =^1 ^ W

*“° ¿\ cospl+Chpi/

se encuentran

7:

v = t

fe)


Sustituyendo este valor en la ecuación (k), se halla la reacción

en el apoyo central de la viga vertical correspondiente al punto

medio de AB.

Es interesante subrayar que esta reacción puede ser negativa,

lo que indica que la viga horizontal actúa como soporte de las

vigas verticales cuando es suficientemente rígida. En caso con-

trario, puede aumentar la flexión de algunas vigas verticales.

Problemas

1. Encontrar la expresión general de la elástica para el caso de

figura 12.

ütvputala: 2 P¡i Chpx eos |i(l — x) + Ch3 (l— x) eos ¡la:

y ~~ k Shpl + senpl

2. Encontrar las flechas en los extremos y el momento en la seo-

Fio. 18 Fia. 19

ción central de una viga flexada por dos pares iguales y opuestos Mt

(figura 18).

•¿¿espites ta:

2 MJ13 w Sh|31 —

sen(3Z y“ yb k X Sh (31 +•

sen ¡lí’

Sh eos v. -p Ch sen Mc = 2 M0 .■

Shpl-f sen pt

3. Encontrar la flecha y el momento flector en la sección central

de una viga apoyada sobre fundación elástica, que tiene sus extremos

art. arlados y que está cargada en su punto medio (fig. 19).

¿tnupuanla:

_ P$ Shpí — sen ¡lí Vc

~ 2* Chpi + eos 01*

P Shjlf + senfll Me~4& Chpr+cosp‘

A

P

—1

r

y


4. Encontrar la flecha y el momento flector en la sección central de

una viga sobre fundación elástica, con los extremos articulados y

sometida a una carga uniformemente repartida (fig. 20).

Respuesta:

2 Chacos|

Chpí + cospí,

oh 7- sen -r 9 2 2

W2 Ch¡3¿ + eos¡3Z

6. Encontrar los momentos Sectores en los extremos de la viga de la

figura 21, que descansa sobre una fundación elástica, está cargada

_L a <7

r •</

de modo uniforme y con una carga concentrada en ese punto medio y

tiene perfectamente empotrados los extremos.

Respuesta:

Sh — sen — P 2 2 q Sh(3Z—sen

P Shpi + sen pí2 (5a Shpl + sen ¡il

Fio. 23

6. Encontrar la elástica de una viga sobre fundación elástica soli-

citada por una carga concentrada que actúa en un extremo (fig. 22).

Respuesta:

2PP —-—j—y- | ¡Sh|3í eos p.xOh¡3(2 — ®) — sen SíChâ; eos P(i — *)]•

Me =

Fio. 21

A

Fio. 20

Mo = — s

fc(Sh2(3í —sen* (37)


7. Una viga sobre fundación elástica con los extremos articulados

PROBLEMAS ESPECIALES TW LA ELEXT<VNr LE VTOAS 29

está flexada por un par Ma, aplicado en un extremo (iig. 23). Hallar la

elástica.

Respuesta:

[Chpi sen |5xSh(5(Z — x) — cos pZShpx sen ¡5(Z — *)).

4. ---------------------------------------------------------- Carga lateral y

compresión axial combinadas.—Comenzaremos por el problema

sencillo de una pieza con los extremos articulados solicitada por

una fuerza aislada P — ----------------------------- rt/WM■WV"\1/IA rt1 f. 1 wv AT» 4* A P

y comprimida axialmente por dos fuerzas S iguales

y opuestas (fig. 24). Suponiendo que la fuerza P ac-

túa en uno de los planos

principales de la pieza, tendremos flexión en el mismo

plano. Las ecuaciones diferenciales de la elástica para los dos

trozos en que P divide a la pieza son

pueden expresarse las soluciones generales de las ecuaciones (a) y

(ó), en la forma siguiente:

= Cj cos px + C2 sen px — ^ x,

y = (?3 cos px + C4 sen px — — --------- — (l — a:). (d) SI

Puesto que en los extremos de la pieza la flexión es nula, se

tiene Cl = 0,

C3 = — C4 tg pl.

= 2Af„p» fc(Ch2|3i — eos2 (51)

Fio. 24

(a)

(¿)

í17)

Sy — P^- C)- (l ~ x).

S_

El = P\:

Eid^y=~ dx2


n T dfy ci

El -E = — Sy x, dx2 l

(c)


Las otras dos constantes se deducen de la continuidad de la

elástica en el punto de aplicación de la carga P, lo que obliga a que

las ecuaciones (c) y [d) den la misma flecha y el mismo giro para x =

l — c. Tendremos

C2 sen p(l — c) = C4 [sen p(l — c) — tg pl eos p(l — c)], P

C¿p eos p(l — c) = C\p [eos p(l — c) + tg pl sen p(l — c)] + —» S

de donde P sen pe ,, Psenp(l—c)

(y2 " ------------ j O4 =----------------------------- Sp sen pl Sp tg pl

Sustituyendo en la ecuación (c), se obtiene para el trozo iz-

quierdo de la pieza P sen pe Pe

y — — -------- sen px x. -------- (18)

Sp sen pl - SI

Diferenciando, tendremos

dy P sen pe Pe — — —eospx ----- dx S sen pl SI

d2y Pp sen pe sen px. dx2 S sen pl

Las expresiones que corresponden al trozo de la derecha se

obtienen escribiendo l — a; en lugar de a:; l — c, en vez de c, y

cambiando el signo de en las ecuaciones (18) y (19). De este

modo, se obtiene

P sen p(l — c) n . P(l — c) y = ----- ----------- r- sen p(l — x) 5_—' (l — x), (20)

Sp sen pl oí

dy P sen p(l—c) , . P(l—c) . Jl — 1eosp(l— as) -------------------------- -1 (21) dx S sen pl SI

dy2 Pp sen p(l — c) . . 7 , ---------------------- 7, 7- sen p(l — x).

(19)


---------------- (22)

iíx¿ o sen


En el caso particular de que la carga se aplique en el centro

de la pieza, se escribe c — e introduciendo la notación z

_ pw _ f

4 El 4 de !a

ecuación (18), deducimos

P l pl pl\ PP tg u — u

» * “ s s ( i , , - ¡ = ^ ( “ r r 5 ü T r ' ‘ 1 - w

El primer factor de la expresión (24) representa la flecha que

produciría ia carga P actuando sola. El segundo factor indica en qué

proporción crece esa flecha por la acción de las fuerzas S de

compresión axial.

Cuando S es pequeña comparada con la carga de Euler

S„ = —p—), la cantidad u es pequeña y el segundo factor de

la ecuación (24) se aproxima a la unidad, lo que indica que en este

caso el efecto sobre la flecha de la fuerza axial de compresión es

despreciable. Cuando S se aproxima al vaior de Euler, ia 71

cantidad u tiende a — —véase ecuación (23)— y ei segundo ZJ

factor de la expresión (24) crece indefinidamente, de acuerdo con el

análisis ya efectuado de la carga crítica (véase página 238, primera

parte).

El valor máximo del momento flector acontece bajo la carga y su

valor, deducido de la segunda de las ecuaciones (19), es

' x 2

También el primer factor de la expresión (25) representa el

momento flector producido por la carga P actuando sola, mientras

que el segundo factor, denominado «factor de amplificación»,

representa la influencia sobre el momento flector máximo de las

fuerzas axiales S.

JLiesuelto el problema para una carga transversal P (fig. 24),


se puede con facilidad obtener la solución para el caso de una pieza

solicitada por un par aplicado en su extremo (fig. 25). Basta suponer

en el análisis anterior que c disminuye y tiende hacia cero, mientras

que Pe permanece constante e igual a M0.

Haciendo Pe = M0 y sen kc = Ice en la ecuación (18), se obtiene para

la elástica la expresión

M0[,enpx x\

S \ sen pl i) de donde

dy _ M0 fp eos px 1\

dx S \ sen pl 1/

Los giros de la viga en los extremos son

dy\ 1 _________ J\ (27)

dx}x^0 S \senpi 1} 6Pl 1211860211 (2w)2/

dy\ ¡jp 1\ _ MJ, 31 1 ________ 1_

dxjx^¡ S \tgpl l) 2>EI \2wtg2M (2w)2

De nuevo los primeros factores de las expresiones (27) y (28)

representan los giros que produciría el par M0 actuando solo (véase

pág. 151, Primera parte), y los segundos factores representan el

efecto de las fuerzas axiales S.

Examinando las ecuaciones (18) y (26), se ve que la fuerza

transversal P y el par M0 figuran en ellas linealmente, mientras que

la fuerza axial S figura de modo más complejo, ya que p también

depende de S (véase ecuación 17). De esto se deduce que si en el

punto G (fig. 24) se aplican dos fuerzas P y Q, la flecha en cualquier

punto puede obtenerse superponiendo la flecha producida por la

carga Q y las fuerzas axiales S a la flecha producida por la carga P y

las mismas fuerzas axiales.


Una consecuencia análoga se obtiene para el caso referente a pares

aplicados en un extremo de la viga.

Esta superposición especial puede generalizarse fácilmente en el

caso de varias cargas (fig. 26). Para cada porción de la pieza puede

escribirse una ecuación análoga a las ecuaciones (a) y (b), y

obtenerse una solución semejante a las ecuaciones (c) y (d). Las

constantes de la integración pueden encontrarse de las condiciones

de continuidad en los puntos de aplicación de las cargas y de las

condiciones de apoyo de los extremos de la pieza. De esta forma se

vería que la flecha en cualquier punto de la pieza es una función

lineal de las cargas P1, P%y que

la flecha en cualquier punto puede obtenerse superponiendo las

flechas producidas en dicho punto por cada una de las cargas la-

terales, obrando siempre la fuerza axial S. Consideremos el caso

general de n fuerzas, de las que m están aplicadas a la derecha de la

sección recta para la que se quiere calcular la flecha. La expresión

de esta flecha se obtiene empleando la ecuación (18) para las fuerzas

Pv P2,.... Pm y la ecuación (20) para las fuerzas, Pm+1, Pm+2,.... Pn. La

flecha buscada será

sen px *-*» x <-m ------------ S P< sen pct — — S P¡c4 Sp sen pl i -1 SI i -1

sen — x) i—» + o ------------- r 2 P,-senp(/—c¿)-

¿psenpl i-m + i l X’_-”

■ —S PS-Ci). (29) o í t - m + 1

5

"A. .

Fia. 26


7 Diversos casos particulares de piezas comprimidas cargadas la-

teralmente han sido estudiados pox A. P. Vander Fleet, Buíl. Soc. oj

STBiJClA I» MATEMÁ1E8.—T. 11 8

de Pp en la ecuación (29) y reemplazando sumas por integra ciones,

se obtiene la siguiente expresión para la elástica:

x C7~x SÍ .L

aenpx /**-* y = I q senpede—— J ---------------- qede

Sp sen pl

sen p(l — x) ir Jl — X

I—X ri - I q{l — c)dc. Jl—m

q sen p(l — c)dc + Sp sen pl

Integrando

SI

( f - H cos

x(¡—x) (30) Sp2 pl 2 8

eos


u

cos u

— u 24

Diferenciando la ecuación (30), se obtienen fácilmente las ex-

presiones del giro y del momento flector. El giro en el extremo

izquierdo de la pieza es

pl

6 ql* 384 El

u

~~~2 Ü/)r iy).

'“2 Sp2\cosu

(31)

qls tg u — u * X - --------- (32) sí 28

( - ) - \dxfx _ „

24 El pl -u*

El momento flector máximo acontece en el centro y vale

i, Pl\ ,3o í l-ws-

v

2 S coa ~

ql2 2(1 — COS U)

8 u2cos u Mmix = -Ellpt\ =EI

(33)

Empleando la solución (26) para el caso de un par junto con la

solución (29) para cargas transversales y utilizando el método

T’ROBTj'EMAS ESPECUAEES EX EA EEEXTÓX BE

VTOAS 37

de superposición, pueden resolverse fácilmente diversos casos

liiperestáticos de flexión de piezas. Sea, por ejemplo, el caso de

una pieza empotrada en un extremo y cargada de modo uniforme

(fig. 27). El momento flector M0 en el empotramiento se deduce de

la condición de que esta sección no gira en la

deformación. Utilizando las ecuaciones (28) y (32), la condición se

escribiré

qP tg u —« M0l I 3 3 0,

24 El

de donde

ql2 4 tg 2u(tg u— u)

8 u(tg2u— 2 u)

En el caso de una pieza uniformemente cargada con ambos

extremos empotrados, los momentos M0 en los extremos se ob-

tienen de la ecuación

ql8 tgu — u M0l f 3

8 El [_2 u tg 2 u

FIG. 27

3EI\2utg2u (2 u)2

M0 = - (34)

■—1

(2«)2

J 24 El 1

38 RESISTE Tí OTA DE MATERIALES

I

6 El' \2u sen 2u (2 «)*

ql2 tgu — u

12 i , , -u3 tgu 3

De las expresiones (34) y (35) se deduce que los valores de los

momentos hiperestáticos se deducen multiplicando los momentos

obtenidos en la teoría elemental de vigas por ciertos factores de

amplificación. Los cálculos necesarios pueden simplificarse

preparando tablas numéricas que dan los factores de amplificación

\

0,

de donde

Mn (35)


Obtenido el momento máximo para una pieza esbelta la fatiga

máxima numéricamente se encuentra combinando las ta- tigas de

compresión y flexión, lo que da

8 , Á + ~z

donde A y Z son el área de la sección recta y el módulo de la

sección, respectivamente. Por ejemplo, en el caso de una pieza

comprimida con los extremos articulados y cargada lateralmente

de modo uniforme,

mediante la ecuación

(33) se obtiene

,_l " , ^ ,ts

T +7T^ * ñ -------------------------------------- (f)

Al escoger las dimensiones apropiadas para la sección recta de

una pieza de esta clase, es necesario tener en cuenta que el

segundo miembro de la ecuación (/) no es lineal en 8, puesto que la

cantidad u también depende de S, según se ve en la ecuación (23).

Debido a esto, la fatiga máxima aumenta en mayor grado que la

fuerza 8. Por tanto, el método corriente de determinar las

dimensiones de una sección, tomando 10

|Cmaxl = ---------- > (9)

n

donde n es el coeficiente de seguridad, falla en este caso.

Si la pieza comprimida debe proyectarse de suerte que co-

mience la fluencia cuando las fuerzas 8 y q se hagan n veces

mayores, la sección debe escogerse de modo que omáx sea algo

menor que — , de suerte que quede satisfecha la ecuación »

1*1 = ® 2(1 —eos ^ ^

n A 8 Z u\ eos tq

siendo u1 = nu.

bien definido.

10 Se supone que el material de la pieza tiene un punto de fluencia

8 ql9 2(1 — eos u)

A 8 Z u2 eos u

40 RESISTE Tí OTA DE MATERIALES

Multiplicando los dos miembros de (h) por n, se obtiene

nS nql2 2(1 — cos «,) O t'i = ------- 1 ------------------------------- , (i)

A 8 Z u\ cos ux

lo que indica que la fatiga máxima alcanza al punto de fluencia

cuando S y q se han hecho n veces mayores. En otros casos de

carga puede aplicarse un procedimiento análogo para el proyecto

de piezas comprimidas. Se deduce de lo expuesto anteriormente

que para contar con un coeficiente de seguridad n en el proyecto

de piezas comprimidas 1, debe utilizarse, en lugar de la ecuación

(g) una ecuación análoga a la (A), en la que el parámetro u se

sustituye por el u1 =ynu.

Problemas

1. Encontrar el giro en el extremo izquierdo de una pieza com-

primida con los extremos articulados y cargada en el centro con la

fuerza P.

Respuesta: (dy\ _ P 1 — cos u _ Pl2 1 — cos u \dx)x=o 2S cos u 16 Él 1

2 w2 cos u

2. Encontrar los giros en los extremos de una pieza comprimida

con carga triangular (fig. 28).

Soluc-ióv: Sustituyendo en la ecuación (29) —en lugar de y

reemplazando las sumas por integrales, se obtiene

1 Este método para el proyecto de piezas comprimidas fué desarrollado por

K. S. Zavriev. Memoirs of the Institule of Engiueers oj Ways of Communicatiun, 1913,

San Petorsburgo. •*,


sen px ¡l~xQnO , x Ií~xq0ci , y = o —7 ~r sen pedo — -y- de

Sp sen pl jo l SI Jo l

, sen p(l — x) (l qac .. ,1 — x C 1 q„c . , + o , ~ sen p{l — c)dc — ~{l — o)do

Sp sen pl Ji—x lc SI Ji—x l

derivando respecto a x, se halla

(J)*_0 = 6^kr(p-1)

{£),-, = ~ 6p*EI(a “ !)*

donde a y son las funciones dadas por las expresiones (361 (véase

página 37).

3. Encontrar los giros en los extremos de una pieza comprimida

cargada simétricamente con dos fuerzas P, tal como indica la figura

23.

Respuesta:

(dy) = _ _ p /eos pb t \dx)x=0 \dx) x _ j 'S’LogP?

4. Una pieza comprimida con los extremos empotrados está car-

gada tal como indica la figura 29. Encontrar los momentos Sectores Ma

en los extremos.

Solución: Los momentos Mn seencuentran por la condición de

que

los extremos de la pieza comprimida no giren. Utilizando la solución

del problema anterior, y las ecuaciones (27) y (28), se puede escribir la

ecuación siguiente, que sirve para obtener M0:

a+ P(*2LPb_ i\ = 0, &EI + 3í;íP + S¡ _ pl *

de donde 2 PEI u feos pb

= SI tg u \ eos u

p ó

- - - - - - - - - - 26 —

P d

k J c —

— c —

l JfiG. 29

>)•


5 Vigas continuas con acciones axiales y transversales.—

En el caso de una viga continua con acciones axiales se procede

como en el caso elemental de viga continua (véase pág. 192,

Primera parte) y se consideran dos tramos adyacentes (fig. 30) 11,

empleando las ecuaciones (23), (27) y (28) e introduciendo las

notaciones siguientes para el tramo n:

. . . . sji Un 4, El'

- e l — i - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - 1 L2 un sen 2 u„ (2 un)12J

p » = s f — - - - - - - - - - - - - - - ] L(2m„)2 2w„ tg 2 un\

tg un — un Y» = —: ------------------ -

3 "

Se deduce que el giro en el extremo derecho del tramo n —

figura 30 (a)—, producido por los momentos que actúan en los

extremos Mn_ x y Mn, es

q M nln Mn— / i -‘W.—’Ts/r (a>

11 Esta teoría se debe a H. Zimmermann, Sitzungsb. Akad. Wiss.,

Berlín, 1907 y 1909.

(36)

(37)

PKOBLEMAS ESPECIALES M LA FLEXIÓN DE VIGAS 43

El giro correspondiente al extremo izquierdo del tramo » + 1.

producido por ios momentos Mn y Mn + 1, es

Mn+i^n + i , r¡Mr,ln + \ ,, %

+ (b>

Si no existe carga transversal en ninguno de los dos tramos

considerados, las expresiones (a) y (b) deberán ser iguales, y se

obtiene

°^‘ifn_1 + 2f e n¿ ; + P n + 1^W„

\ in +1*

+ + M n + X = 0 . (38) *n +1

Esta expresión constituye la ecuación de los tres momentos

para una viga continua con acciones axiales, si no existen cargas

transversales en los dos tramos considerados.

Si existe carga lateral, deben añadirse a las expresiones ( a ) y

(ó) los giros producidos por dicha carga. Sea, por ejemplo, el caso

de que sobre los tramos n y n 1, y en dirección hacia abajo, actúen

cargas uniformes de intensidades q„ y qn T. Los giros

correspondientes se obtendrán por la ecuación (32), y en lugar de

las expresiones ( a ) y (ó), tendríamos:

n Mnln yln qr$n / \ P n -------------- an ------- ------ Y» ---------- ; (c)

3 EI„ 6E/„ 24 EIn

Mn + Lln + i , a M„ln + j q„ + 1l^ + j j

+ + (i>

Igualando estas dos expresiones, se obtiene

*^Mn_x + 2 k n ± + ? n + l lf±l)Mn + «n+1 £±I Hf„+1 1» \ -i» ín + v

j *» + l

..Qn + ^n + i

,ofn

~ Yn — ----------------- Yn + 1 — -• ----------------------------------- (39)

41» 41j

Esta ecuación es la de los tres momentos para el caso de carga


uniforme en cada tramo. En ei caso de que las fuerzas axia


les S sean nulas, las funciones a, [3 y y valen la unidad y

volvemos a tener los resultados de la teoría elemental de vigas

continuas.

Para otra clase de carga transversal, lo único que cambia en la

ecuación (39) es su segundo miembro, que depende del giro que en

el extremo común a los dos tramos considerados produce la carga

transversal. Sea, por ejemplo, el caso de la carga trapezoidal de la

figura 31.

Dividiendo la carga en dos partes,

carga uniforme y carga triangular,

utilizaremos los términos del segundo

miembro de la ecuación (39) para

tener en cuenta la carga uniforme. A

estos términos deben añadirse los términos co-

rrespondientes a las cargas triangulares. Utilizando los resultados

del problema 2 del artículo precedente, se halla que los dos

términos que deben añadirse al segundo miembro de la ecuación

(39), en el caso de la carga de la figura 31, son

( <? »— 1 2») ^ » , . . 1\ %{Qn <ln + l)ln+i,a

■ >/. > --------------------------------------------------------- ( e )

donde a„ y (3n son los valores definidos por las expresiones (36).

Cuando actúan fuerzas concentradas sobre los tramos conside-

rados, los giros apetecidos se encuentran fácilmente por la ex-

presión general de la elástica, ecuación (29).

El cálculo de los momentos a partir de las ecuaciones de los

tres momentos puede simplificarse considerablemente empleando

tablas numéricas de las funciones a, p y y 13.

Al deducir la ecuación (39), se supuso que el momento Mn en el

apoyo enésimo tiene el mismo valor en los dos tramos adyacentes.

Hay casos, sin embargo, en los que un momento exterior se aplica

al apoyo, tal como se indica en la figura 30 (c); en estos casos hay

que distinguir entre el valor del

13 Tablas de esta clase se encuentran en el libro de A. S. Niles y J.

S. Newell, Airplane Structures, vol. 2, 1938; véase también el libro del autor, Theory oj Elastic Stability, 1936.

¿ 3* 23*

Pía. 31

46 RESISTENOTA DE MATERIALES

momento flector a la izquierda y a la derecha del apoyo. La ro-

lación entre los dos momentos es, naturalmente 14,

de donde Mí = Mn — Mo. (f)

La ecuación (39), en este caso, se reemplaza por la siguiente:

— + 2lf Mn + 2 +, lf^ M‘% + a„ +, M. +,

1» L» +1 -*» + l

--T.ff-Y (»)

Si los apoyos de una viga continua con carga axial no están en

línea recta,es preciso añadir a los segundos miembros de las

ecuaciones (39) o (40) los términos adicionales debidos a

la di

ferencia en el nivel de los tres apoyos consecutivos. Estos términos

no están influidos por la presencia de las fuerzas axiales y son los

mismos que en el caso de una viga continua elemental (véase pág.

195, Primera parte).

Problemas

1. Escribir el segando miembro de la ecuación do los tres

momentos en el caso de existir una fuerza concentrada P en el tramo

n ■+■ 1, a una distancia c* + x del apoyo n -f- 1.

Respuesta:

— Pw+icn-H _________________ fíP /sen __ Cw+1 Y ^»+l\aen Pn-fi/m + i i / + + ’Pn + J'n + i

2. Escribir el segundo miembro de la ecuación de los tres

momentos si el tramo n está cargado en la forma que indica la figura

29, página 36, y en el tramo » + 1 no existe carga.

Respuesta: Empleando la solución del problema 3, página 36, se

obtiene la siguiente expresión:

6PE ¡eospnbn j\ _ ® P / c o s P r f i n _ i S» ^cos J P»1» ^cos

3. Escribir el segundo miembro de la ecuación de los tres

momentos si la carga es la que indica la figura 32.

14 La dirección de Ma

n> indicada en la figura 30 c, se toma como positiva para el momento exterior.


6. Tirantes con carga transversal.—Si un tirante está sometido

a ia acción de fuerzas extensoias S y de una carga concen-

-2b„

wzw

FIG. 32

trada transvorsal P (fig. 33), podremos escribir la ecuación dife-

rencial de la elástica de cada porción del tirante del mismo modo

que se hizo para una pieza comprimida (art. 4). Basta cambiar el

signo de 8. En este caso, en lugar de las cantidades p2 y u2, defi-

nidas por las expresiones (17) y (23), respectivamente, se tendrá

— V2 Y — Y en logar de p y u tendremos p V— 1 = pi y u V — 1 ==

ui. Sustituyendo —S, pi y ui, en lugar de S, p y u, en las fórmulas

obtenidas para la pieza comprimida de la figura 24, se obtendrán

las aplicables al caso del tirante de la figura 33. Haciendo la

sustitución y teniendo en cuenta las conocidas relaciones sen ui =

i Sh u, cos ui = Ch u, tg ui = i Th u.

Se obtiene para el trozo izquierdo del tirante de la figura 33,

derivadas de las ecuaciones (18) y (19), las expresiones siguientes:

cos pnbn r ~ b „

VnJn

Vn!n V„

CO!

Respuesta:

r-~f

i.-

FIG. 33

(41) V =

dys

dx

d%y

dx2

»V. (42)

Shpa;.

PShpc Pe — Shnz A x, SpSh.pl SI

SShpl SI

PpShpc

' SShpl


(45)

Para ]a parte derecha del tirante, y utilizando las ecuaciones

(20) y (22), puede obtenerse fórmulas análogas. Teniendo las

elásticas para el caso de una carga aislada P, puede obtenerse

fácilmente la elástica para cualquier otra clase de carga aplicando

el método de superposición.

Sea, por ejemplo, un tirante uniformemente cargado. Apli-

cando las ecuaciones (30) y (31), se obtiene

y la flecha máxima será

donde

1

Chu~

(¿)

El giro de la elástica, en el extremo izquierdo, deducido de la

ecuación (32), es

El momento flector máximo, que en este caso acontece en el

centro de la luz, deducido de la ecuación (33), vale

8 a2Chw 8

donde

2(Ch u — I) a2 Cha

Ch l — — px 2

-f — x(l — x), 2

S y = pl Sp2 Ch

1 +

9i (u), (43) (3* 384 El

5 ql* Ch u

(y)x — I 384 El

•1 +

qla u — Tha

24 El |Ij Ma

ñ - \dxfx^ o

(44)

î(u)


Se ve que la flecha y el momento flector máximo se obtiene

multiplicando los valores correspondientes de la teoría elemental de

vigas por los factores 9 j (w) y 4q («)> que dependen del valor de la

fuerza axial extensora 8. Los valores numéricos de estos factores se

dan en la tabla III 1.

En el caso de flexión de un tirante por un par aplicado en su

extremo derecho, la elástica se deduce de la ecuación (26), de donde

Mn ¡x Shpa;\ Sh plj

Si se aplican dos pares iguales y opuestos a los extremos de un

tirante, se puede obtener la elástica por el método de super-

posición Mr ¡x ShpaA Ml — x Shp(l— x)l

_ M c ¡x ShpaA M { ,y V ~

~8 \l~ SShpl) + ~S [

Chp — x

De esta ecuación se deduce que la flecha en el centro y el giro

en el extremo izquierdo del tirante valen

El momento flector en el centro es

Mn

Ch u

En las publicaciones de A. P. Van der Fleet, mencionadas anteriormente (véase pág. 33), se

estudian diversos casos de flexión de tirantes, y también en el libro de I. G. Boobnov, Theory of Structure of Ships, vol. 2, 1914, San Petersburgo. De este último libro se ha tomado la tabla 3.

Mol* S U (46)

l Sh.pl

Mü Ch u — 1 MJ2 Chw — 1 (íí).-4 = —® ---------------------------------------- = — ----------------------------- >

2 S Ch u

—°pThw = ^- • —. 82 El u

8EI 1 20L

¿r M2Ch u ¿i

(48)

fiy\

\dx)x-o

iM)

(49)


Una vez halladas las elásticas de un tirante de extremos ar-

ticulados flexado por cargas transversales y por pares en ios

extremos, se pueden resolver fácilmente casos hiperestáticos de

flexión de tirantes, aplicando el método de superposición. Sea, por

ejemplo, el caso de un tirante cargado uniformemente, con los

extremos empotrados. Empleando las expresiones (44) y (48), los

momentos M0 en los extremos se deducen de la ecuación

ql3 u — Thií M0l Thw ----------------------- 1_ ___ _ o,

24jS7 1 „ 2 El u

3 “ _ _ _ g P u - T h u q f i 12 1 - 12 ^

- u 2 lhw o

, , , u — Thu 4>2 («) = -----------------------------------

-u 3 Thtt ó

Los valores numéricos de la función < p 2 (w) figuran en la ta-

bla III. Utilizando las expresiones (45) y (49), se obtiene el mo-

mento M v en el centro

_ q l 2 2 ( C h u —1) ql2 u — Th«

8 u2Chu 121 90, - m2Suií O

= g e ( S h . - « ) _ g

24 u2Shu 24

La flecha en el centro se obtiene mediante las ecuaciones (43)

y (48), y vale u2

■1 + . . 5 ql1 Ch u 2

|lp-

_ («j-Th.Hgh«-i) = (52)

16 El u*Shtt384

El"

de donde (50)

siendo

PROBLEM

AS

ESPECIAL

ES EN LA

FLEXIÓN

DE VIGAS

donde

')•

15 Encontrar los momentos Sectores M0 en los extremos de un

con dos

fuerzas

P, tal

como

indica la

figura 29.

24 ¡u15 uChu—■ ti'

:16 \ 2 Shw

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS

TABLA III CONSTANTES P A R A LA DETERMINACIÓN DE FLECHAS Y MOMENTOS

FLECTOSES MÁXIMOS EN TIRANTES CON CARGA TRANSVERSAL

Todas estas funciones valen la unidad para u = 0; es decir, cuando

solamente actúa la carga transversal. A medida que la fuerza

extensora aumenta, las funciones disminuyen; es decir, las fuerzas

extensoras disminuyen las flechas y los momentos Sectores en los

tirantes cargados transversalmente. Al estudiar la flexión de placas

delgadas (véase pág. ,124), haremos aplicación de la tabla anterior,

*

Problemas

u ?1 92 +1

<h>

U <Pl ?2

^2

0 1,000

1,000

1,000

1,000

1,000

6,5 0,054 0,197 0,047 0,39] 0,139 0,5 0,908 0,976 0,905 0,984 0,972

7,0 0,047 0,175 0,041 0,367 0,121 1,0 0,711 0,909 0,704 U,939 0,894

7,6 0,041 0,156 0,036 0,347 0,106 1,5 0,523 0,817 0,511 0,876 0,788 8,0 0,036 0,141 0,031 0,328 0,093 2,0 0,380 0,715 0,367 0,80

6 0,673

8,5 0,032 0,127 0,028 0,311 0 083 2,6 0,281 0,617 0,268 0,736 0,563

9,0 0,029 0,115 0,025 0,296 0,074 3,0 0,213 0,629 0,20

0 0,672 0,467

9,5 0,026 0,105 0,022

0,283 0,066 3,5 0,166 0,453 0,153 0,614 0,386 10,0 0,024 0,096 0,02

0 0,270 0,060

4,0 0,132 0,388 0,120

0,563 0,320 10,5 0,02

1 0,088 0,018 0,259 0,054

4,5 0,107 0,335 0,097 0,519 0,267 11,0 0,020

0,081 0,017 0,248 0,050 6,0 0,088 0,291 0,079 0,480 0,224

11,5 0,018 0,075 0,015 0,238 0,045 6,5 0,074 0,254 0,066 0,446 0,189 12,0 0,016 0,069 0,014 0,229 0,042

6,0 0,063 0,223 0,055 0,417

0,162 — — — — — —

46 RESISTEN CIA DE ’VTA TERT.A T ES

Solución: Losmomentos enlosextremossededucen

de la ecua

ción

P / Ch pb\ M0i Th u __

~S\ < * % ) “

3. Hallar los momentos flectores en los extremos de un tirante, que

los tiene empotrados, y sufre una carga triangular como la de la figura

28.

Idea: Emplear la solución del problema 2 de la página 35, junto

con la ecuación (46).

7. La elástica mediante series trigonométricas.—Al estudiar la

deformación de las vigas, es muy útil a menudo representar la

elástica por una serie trigonométrica L Esto tiene la ventaja de que

con una sola expresión matemática se representa la ecuación de la

curva a todo lo largo de la luz. Sea, por ejemplo, el caso de la viga con

los extremos apoyados 17 representada en la figura 34. La flecha en

cualquier punto puede representarse por

la serie siguiente: nx , 2TZX

y = ax sen j- a2 sen ------------- l l

‘¿7iX , / \ -f a3 sen — -f . . .(a)

EIQ. 34 El significado geométrico de

esta

representación analítica equivale a suponer que la elástica, como

curva, puede obtenerse superponiendo curvas sinusoidales, tales

como las (ó), (c), (d), etcétera, de la figura 34. El primer término de la

serie (a) representa la primera curva; el segundo término, la

segunda; etc. Los coeficientes ax> ct2, a3 representan las ordenadas

máximas de estas curvas sinusoidales, y los números 1, 2, 3 . . . , el

número de ondas. Determinando adecuadamente los coeficientes av

a2 ...

17 En otros casos el estudio resulta complicado desde el punto de vista

práctico.

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN BE VIGAS 47

la serie (a) puede representar cualquier elástica 18 con un grado de

exactitud que depende del número de términos que se empleen. La

determinación de estos coeficientes se hace considerando la energía

de deformación de la viga (ecuación 188, página 290, Primera parte),

dada por la ecuación

u . a p t m ' * . o,

La segunda derivada de y, deducida de (a), es

d19y n'¿ %x te2 2 izx te2 3 TCX —- = — a, — sen -------------------- a9 2Z — sen a« 32 — sen —- . . . dx2 l2 l l2 l l2 l

La ecuación (ó) se refiere al cuadrado de esta derivada, en el que

hay términos de dos clases:

n47E4 „ nnx „ rfirrfl7e4 nnx mizx

sen2 y 2 anam sen sen

l* l l* l l

Por integración directa, se ve que

H . mzx , l Cl IIT.X WTX ,

1 sen2 dx = - y / sen —- sen dx = 0,

Jo i 2 * Jo i i

donde w t » ,

Por consiguiente, en la integral (b) desaparecen los términos de

la forma an,am, y solamente quedan los que contienen cuadrados de

los coeficientes:

ü“ (1 •a" + 24(12 + 34a’ + • • •> = C“ní<- (53>

En un estudio anterior —véase ecuación ( a ) , pág. 332, Primera

parte— se vió que si un sistema elástico experimenta un pequeño

desplazamiento a partir de su posición de equilibrio, compatible con

las ligaduras, el aumento de la energía potencial del sistema es igual

al trabajo suministrado por las fuerzas ex

18 Véase Bierly, Fourier Series and Spherical Harmónica, §§ 19-24.

Véase también Osgood, Advanced Catculus, 1928, pág. 391.

2


teriores a lo largo del desplazamiento. Cuando la elástica se

representa por la serie (a), se pueden obtener desplazamientos de la

naturaleza del indicado, dando pequeñas variaciones a

los coeficientes av a2, a3 Si, en general, al coeficiente an se

le da un incremento dan, tendremos el término (an + dan) sen

en la serie (a), en lugar del an sen -y-. Los demás términos i v

no varían. Este aumento dan del coeficiente o„ representa un

desplazamiento adicional dado por la curva sinusoidal dan sen TbTZCC

, superpuesto a la elástica primitiva. A lo largo de este des-

v

plazamiento, las fuerzas exteriores trabajan. En el caso de una carga

aislada P, aplicada a la distancia c del apoyo izquierdo, el punto de

aplicación de la carga experimenta un desplazamiento

vertical dan sen y la carga realiza el trabajo

<Lan |sen P- (c)

Veamos ahora el aumento de la energía de deformación,

dada por la ecuación (53) cuando an se incrementa en dan. Será

JTT SU , Eln* . j ...

dU = — dan = n4andan. (a) 8a„ 2 13

Igualándolo al trabajo realizado (c),

El n4 . _ nizo -—— »4a. = P sen -—, 2 l3 l

de donde 2 Pl3 1 nnc

a. = ------------- sen --- • El TI* n* l

Deducido de aquí el valor de cada uno de los coeficientes de la

serie (a), la ecuación de la elástica será

2 Pl3 f TZC TZX 1 2 KC 2 nx \ y = -------- Isen—sen sen sen 1- , . .) y Eln* \ l l 2* l l I


Expresión por la que puede calcularse la ñecha para cualquier

valor de x.

Por ejemplo, la flecha en el centro cuando la carga está en

Tomando solamente el primer término de esta serie, se ob tiene

8 - - PP Eln* 48,7 El

Comparando con la ecuación (90), página 137, Primera parte, se

ve que se ha obtenido 48,7 donde allí era 48; de modo que el error que

supone emplear el primer término de la serie en lugar de la serie

completa es alrededor de 11 /2 por 100. Esta aproximación es

suficiente en la mayoría de los casos prácticos y veremos más

ejemplos en los que usando solamente el primer término de (a) se

obtiene una aproximación suficiente.

Conocida la solución para una carga aislada (ecuación 54) y

empleando el método de superposición, se pueden resolver problemas

más complejos. Sea, por ejemplo, una viga cargada de modo uniforme

e intensidad q.

Cada elemento de carga qde situado a una distancia c del apoyo

izquierdo, produce una flecha dada por la ecuación (54), poniendo P =

qde:

nizx l

Integrando esta expresión con relación a c desde e = 0 a c = l, la

flecha total será

(55)

RESISTMCIA DE MATERIALES.—T. II

nm sen

1 nnx — sen —— ■

4


Tomando solamente el primer término y refiriéndonos al

centro de la viga, se obtendrá para la flecha el valor

4 qP ElrP

'

Comparándolo con la solución exacta 5

ql* ql* S =

384157 76,8157

se ve que el error cometido al tomar solamente el primer término

es menor en este caso del x/2 Por 1Ó0. La sene trigonométrica (a) es

especialmente útil cuando la viga está sometida a la acción de una

compresión o extensión, además de una carga

transversal. En el caso de la figura 35, la articulación B se apro-

xima a la articulación fija A durante la deformación por flexión en

una cantidad igual a la diferencia entre la longitud de la elástica y

la longitud de la cuerda A B L Para curvaturas pequeñas, esta

diferencia es (véase pág. 170, Primera parte)

1 'W*, \dx}

Dado y por la serie (a), el cuadrado de su derivada

contiene términos de las formas nmn2 nnx m-nx 2 anam ------------------- cos cos • m l* l l

Integrando, se ve que

Cl „ nnx, l p / eos2 ax = / Jo l 2 J0

nnx mrzx , cos cos ax = 0. n ± m.

I l

qP

76,5 El

-Ur

Fig. 35

(56)

* nhr2 „ nnx a eos8 --------------

“ P l

PBOBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 61 Por tanto, ei valor de 1 será

7t2 ^ x = - s «*0l . (57)

4/ n -1

Para calcular los coeficientes av a2, a3 ... de las series (a),

consideraremos el trabajo realizado por las fuerzas exteriores

para un desplazamiento da„ sen desde la posición de equi-

v

librio. En el caso de la figura 35, tanto la fuerza P como las fuerzas

axiales S realizan trabajo. El incremento de A, debido al dan

experimentado por el coeficiente an, será

di = — da„ = — n2audan.

$an 21

Por consiguiente, el trabajo realizado por las fuerzas S vale

7t2

8 — n2a„dan. 21

Este trabajo debe añadirse al (c) correspondiente a la fuerza

transversal y la suma igualarse al aumento de la energía de de-

formación —ecuación (d)—. De esta manera se obtiene

D ncn , „ 7r2 , Ehz* P sen — dan -f- o — n*andan — -------------------

l 21 2 i3

De donde 2 Pl3 1 nnc

an — ------------------------------- sen -—■ • Bit* A . ÍPl l

\ EInV

Si la relación de la carga longitudinal a su valor crítico (véase

pág. 2») se representa por

SU

El Tí2

se obtiene

2 Pl3 1 vno cu = --------------------- — sen — •

Eln4, ri1 (n- — a) l Sustituyendo en la serie (a), la elástica será


2 Pls I 1 ttc tzx 1 2 7tc 2 rea; \ y = — — / sen — sen -------------------------------- sen ---- sen ------- )-...)

EW\ 1 —a l l 22 (22 —■ a) 1 l I 2 Pl3 * 1 wtcc mtz /KO,

= S ------------- -------------- sen sen (58)

EIiz* n = i n2 (n2 — a) 1 i

Comparando este resultado con la ecuación (54), correspon-

diente a) caso de que actúe solamente la carga P, se ve que la

deformación de la barra aumenta por efecto de las fuerzas de

compresión 8.

Hemos visto que el primer término de la serie (a) representa

una buena aproximación de la elástica; por consiguiente, el au-

mento de flecba producido por las fuerzas axiales variará con la

relación -—-—•

1 — a

Esta conclusión es válida también para el caso de que sean

varias las cargas transversales que actúan sobre la viga o de que

actúe una carga transversal distribuida. Representando por 80 la

flecha máxima producida cuando solamente actúan las cargas

transversales, puede suponerse, con aproximación suficiente, que

bajo la acción combinada de las fuerzas de compresión S y dichas

cargas transversales la flecha máxima es

S = (59) 1 — a

Esta expresión de la flecha máxima puede utilizarse para un

cálculo aproximado del momento flector. Sea, por ejemplo, el caso

de una

piezacon los extremos

articulados y

uniformemente cargada.

El momento flector máximo valdrá, en este caso,

aproximadamente,

- M íS8« ' mor -‘“máx = + ------------------------------------------------------- (uOJ

8 1 — a

Si la fuerza axial es extensora, en lugar de compresora, el

método empleado es válido sustituyendo — a en vez de a en la

expresión de la elástica (58). Tomando solamente el primer tér

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA ELEXTÓN T)E VTGAS 54

mino de esta expresión, la fórmula aproximada que da la

flecha en el centro será

8=-^-, (61) 1 + a

donde §0 representa la flecha producida por las cargas trans-

versales únicamente. Conviene subrayar que en el caso de fuerzas

axiales de extensión a puede ser mayor que la unidad y que el

grado de exactitud de la ecuación aproximada (61) disminuye al

aumentar a. Refiriéndonos, por ejemplo, a una carga transversal

uniformemente repartida, el error de la ecuación (61) para a = 1 es

alrededor del 0,3 por 100. Para a = 2, el error es 0,7 por 100, y

para « = 10 el error se eleva al 1,7 por 100.

En el caso de una pieza con los extremos empotrados se puede

deducir una ecuación análoga a la (61) para el cálculo aproximado

de la flecha en el centro. Dicha ecuación es

Donde 80 es la flecha en el centro producida por las cargas trans-

versales actuando solas y a tiene el mismo significado que an-

teriormente.

Más adelante veremos aplicaciones de estas ecuaciones apro-

ximadas al estudiar la deformación de placas rectangulares. El

método de las series trigonométricas puede emplearse también en

el análisis de vigas de sección variable 20.

20 E] efecto de la fuerza cortante en la deformación de las alas se

desprecia en este estudio.

4


8. Flexión de vigas en un piano principal que no es plano de

simetría. Centro de torsión.—Al analizar la flexión pura (véase

página 84, Primera parte), se encontró que el plano de la elástica

coincide con el plano de los pares Sectores siempre que dichos

pares actúen en uno de los dos planos principales de flexión. Esto

no es válido, sin embargo, en el caso de que la viga esté solicitada

a flexión por un sistema coplanar de fuerzas transversales. Si el

plano en que estas fuerzas actúan no es un plano de simetría de la

viga, la flexión viene acompañada de ordinario de una torsión de

la viga. A lo largo de nuestro análisis, veremos cómo esta torsión

puede eliminarse y establecerse una flexión simple mediante un

corrimiento adecuado del plano en que obran las fuerzas

paralelamente a sí mismo.

Comenzaremos por los casos sencillos en los que la sección de

la viga tiene un eje de simetría (eje z) y las fuerzas actúan en un

plano perpendicular a este eje (fig. 36). Sea, por ejemplo, el caso

de la figura 36 (a) y vamos a determinar la posición del plano

vertical para el que, al obrar las cargas, se produce únicamente

flexión de la viga en un plano vertical. De los estudios

realizados sobre la distribución

de las fatigas cortantes

verticales ? (véase página 105,

Primera parte), se deduce que

prácticamente la totalidad de la

fuerza cortante V la equilibran

las alas solamente. Si

consideramos las alas como dos vigas separadas cuyas secciones

tienen momentos de inercia l'z e /”, respectivamente, sus

curvaturas y sus flechas, al flexar, serán iguales si las cargas se

reparten sobre ellas en la relación l't: /" Las fuerzas cortantes en

dichas alas también estarán en la misma relación.

Esta condición se cumple si las cargas transversales obran en

el plano vertical que pasa por el punto 0 —fig. 36 (a)—, tal

que

A K 1'

donde h1 y h2 son las distancias de 0 a los centros de gravedad de

las secciones de las alas. Se ve, pues, que en el caso de alas de

espesor pequeño, el punto 0 no coincide con el centro de gravedad

G de la sección total y que se desplaza hacia el ala cuya sección

Fio. 36

h,

56 RESTRTEXCTA DE MATERTAT.ES

tiene mayor momento de inercia. En el caso límite —figura 36

(b)—, en el que desaparece una de las alas, puede suponerse con

suficiente aproximación que el punto 0 coincide con el centro de

gravedad del ala y que las cargas transversales


deben actuar en el plano vertical que pasa por este punto si se

quiere tener solamente flexión. El punto 0, que goza de esta pro-

piedad, se denomina centro de torsión. Consideremos ahora una

sección en U —fig. 36 (c)—, y vamos a determinar la posición del

plano en el que deben actuar las cargas verticales, a fin de

producir únicamente flexión con el eje z como línea neutra.

Veamos la distribución de fatigas cortantes sobre la sección en

la flexión simple. Para calcular las fatigas cortantes verticales ten

el alma, puede utilizarse el método empleado para vigas en 1 (pág.

114, Primera parte) y suponerse con suficiente aproximación que

la fuerza cortante vertical v es absorbida solamente por el alma.

En las alas existen fatigas cortan-

tes horizontales que represen-

taremos por rxz. Para encontrar el

valor de estas fatigas, separaremos

del ala un elemento mediante dos

secciones rectas a distancia dx y

un plano vertical mn m1nl paralelo

al alma (fig. 37). Si la viga flexa

con la convexidad hacia abajo, el

ala superior estará comprimida y las fuerzas de compresión N y N

+ dN que obran sobre el elemento indicado valdrán

+ — dx) N =—f ydA> y N + dN= ' ^—IjydA,

donde la integración se extiende a la porción rayada de la sección

del ala. La integral representa el momento del área rayada

respecto al eje z. La diferencia de las fuerzas N y N + dN debe ser

igual a la suma de las fatigas cortantes zzx que obran sobre la cara

mn m1n1 del elemento. Suponiendo que estas fatigas se

distribuyen uniformemente sobre la cara, y representando por t al

espesor del ala, se obtiene la ecuación siguiente, que sirve para ei

cálculo de , , dM dx C . .

x^tdx = dN = --------- — • — I ydA, dx

FIG. 37


e ~ V ~ 41 '

De donde

-u

El momento del área rayada es proporcional a la distancia u

desde el borde del ala; por consiguiente, Ta es proporcional a u.

Según se ha visto anteriormente (véase pág. 106, Primera parte),

deben actuar horizontalmente en la sección recta del ala y a lo

largo de la línea nnl unas fatigas cortantes TXZ iguales a las ~zx.

Por consiguiente, las fatigas xa no se distribuyen uniformemente

sobre la sección del ala, sino ~z proporcionalmente a la distancia

u. En la unión del ala y el alma, la distribución - de fatiga

cortante es complicada. Nosotros, en este cálculo aproximado, su-

pondremos que la ecuación (a) es válida desde u = 0 hasta u = b.

Representando por h la distancia entre los centros de gravedad de

las alas y observando que el momento de la sección

recta

bt del ala respecto al eje z es bt\, se deduce, de la ecuación (a), ¿i

La resultante R de las*fatigas cortantes xx sobre

la sección de área bt del ala es

La suma de las fatigas cortantes TXZ que actúan sobre la sec-

ción del ala inferior será, evidentemente, una fuerza igual y de

dirección opuesta. De aquí se deduce que las fatigas cortantes que

actúan sobre la sección en U se reducen a las fuerzas de la figura

38. Este sistema de fuerzas equivale estáticamente a una fuerza V

aplicada en un punto 0 a una distancia del centro del alma:

_ Rk mn

ydA. (a)

T'IG. 38

(b) = (T: zz) máx ' zx/ máx Vbh

2 /. ‘ distribuidas

Vb*h

t 4:1,

*

Vbh

2L

bt

2 ' R {c)

PBOBLEMAS especiales ex la flexióx de vigas 59

Por consiguiente, si se quiere obtener flexión simple con el eje

3 como línea neutra, es necesario que el plano vertical que

contenga las cargas transversales pase por el punto 0, denominado

centro de torsión. Para cualquier otra posición de este plano, la

flexión de la viga viene acompañada de torsión y las fatigas no

siguen la sencilla ley por la que a t es proporcional a y y, por tanto,

es independiente de la coordenada z. En el caso

de un angular (fig. 39), la fatiga cortante t en puntos a lo largo ae

mu tiene la dirección de la figura y vale 21

donde la integral representa el momento del área rayada respecto

al eje z. Estas fatigas cortantes dan una resultante de la dirección

señalada en la figura 39 (6) y de valor

3/.V2*

Una fuerza del mismo valor se obtendría para el ala inferior.

La resultante de estas dos fuerzas es igual a V y pasa por el punto

21 El problema de la determinación del centro de torsión ha sido

estudiado por diversos autores. Véanse, por ejemplo, A. A. Griffith y G. I. Taylor, Technical Reports of the Advisory Committee for Aero- nautios, Inglaterra, vol. 3, pág. 950, 1917; R. Maillart, Schweiz. Bu>tr., vol. 77, pág. 197; vol. 79, pág. 254, y vol. 83, págs. 111 y 176; C. Weber, Zeitschr. f. angew. Math u. Mech., vol. 4, 1924, pág. 334; A. Eggensch- wyler, Proc. of the Second Internat. Congress for Appl. Mech., Zurich, 1926, pág. 434. Ultimamente ha crecido la importancia del problema en el proyecto do aviones. La nota bibliográfica correspondiente figura en la publicación de P. Kuhn, Techn. Notes, Nat. Adv. Comm., núm. 691.

Fio. 39 Fio. 40


de intersección de las líneas medias de las alas 0, que en este caso

es, por consiguiente, el centro de torsión.

En el caso de una sección en Z (fig. 40), suponiendo flexión

simple en un plano vertical y procediendo como en el caso de

sección en u, encontraríamos que las fuerzas cortantes R tienen

en ambas alas la misma dirección. Su resultante pasa, por con-

siguiente, por el centro de gravedad C. Sumando vectorialmente a

esta resultante la fuerza cortante vertical V, se obtiene la di-

rección del plano inclinado en el que deben aplicarse las fuerzas

transversales para producir flexión simple de la viga en el plano

vertical. El punto C es, en este caso, el centro de torsión.

Suponiendo que las secciones analizadas pertenecen a vigas en

voladizo empotradas por un extremo y cargadas en el otro con una

fuerza concentrada P, puede deducirse que si la carga P se aplica

en el centro de torsión, produce flexión del voladizo sin torsión

alguna. Mediante el teorema de reciprocidad de los trabajos (véase

pág. 324, Primera parte), se deduce que si se aplica un par torsor

en el mismo extremo de la viga y en un plano perpendicular al eje

del voladizo, no se produce durante la torsión flecha alguna del

centro de torsión. Por tanto, durante la torsión cada sección recta

de la viga en voladizo gira con relación al eje que pasa por el

centro de torsión y es paralelo al eje de la viga.

El método expuesto para la determinación del centro de torsión

en los casos sencillos examinados puede generalizarse y

extenderse a secciones asimétricas formadas por elementos de

pequeño espesor, con tal de que dicho espesor sea lo suficiente-

mente pequeño y, por tanto, pueda admitirse con exactitud que la

distribución de fatigas cortantes a lo largo de dicho espesor es

uniforme h

. En el artículo 53 (pág. 296) se hará un estudio más detenido de

este problema.

Cuando todas las dimensiones de la sección son del mismo

orden, el problema de la determinación del centro de torsión es

PROBLEMAS ESPECÍALES E\T LA ELEXTÓX DE VTGAS 61

mucho más complicado; la solución exacta de este problema se

conoce en solamente pocos casos L

9. Anchura efectiva de alas delgadas.—La fórmula de la

flexión simple (véase ecuación 55, pág. 86, Primera parte) muestra

que las fatigas de flexión en una viga son proporcionales a la

distancia del punto considerado al eje neutro. Esta deducción es

correcta en tanto que nos refiramos

a vigas en las que

las dimensiones de la sección

recta son pequeñas comparadas

con su longitud y estudiemos

puntos a considerables distancias

de los extremos.

En las aplicaciones prácticas

se usan con frecuencia vigas con

alas anchas, para las que la

fórmula de la flexión simple no puede aplicarse con suficiente

exactitud. Sea, por ejemplo, el caso de una viga apoyada en los

extremos y cargada en su plano central xy. La viga consta de un

nervio y de un ala ancha (fig. 41). Se observa que existen fatigas

cortantes que obran entre las alas y el nervio en las superficies de

unión mn —fig. 41 (a)— y dirigidas como indica la figura 41 (ó). Se

ve que estas fatigas tienden a disminuir la deformación del nervio;

es decir, a hacerle más rígido. Al mismo tiempo producen

compresión en las alas. Considerando el trozo de ala a un lado del

nervio, como una placa rectangular sometida a la acción de

fuerzas cortantes a lo largo de un borde —fig. 41 (c)—, se ve que

las fatigas de compresión no se distribuirán uniformemente sobre

el ancho del ala y un estudio detenido muestra 22 que la

22 El estudio de la solución rigurosa, obtenida por Th. von Kar-

man, puede verse en l'heory of Elasticity, pág. 156, Í934. Véanse también

-i 1 j m

-d T~ A~~l

m 1 f

(a) t

1 >

< '//AA/A/A/S/AA 1 ‘Án 1 L ' _i—í

t t 1

( 1 X

1 TrnÍTfíí ItíTrnT

l-A.-j t

1 1 \ 1 1

{-A.-j 1 t t 1 1 1

l

Fia. 41


distribución es la que indica el área rayada, en la que la fatiga

máxima en el ala es igual a la que corresponde a las fibras de la

cara superior del nervio.

W. Metzer, Luftjahr. Forschung, vol. 4, pág. 1, 1929; K. Girk- mann, Der Stahlbau, vol. 6, pág. 98, 1933; N.Keissner, Z. angew. Math.Mech., vol. 14, pág. 312, 1934; E. Reissner, DerStahlbau, vol. 7, pág. 206, 1934; E. Chwalla, Der Stahlbau, vol. 9, pág. 73, 1936.


De esta variada distribución de la fatiga se deduce que para

aplicar a la viga de la figura 41 (a) la fórmula de la flexión simple,

debe usarse una anchura reducida 2 Xx, en lugar de la real 2 b de

las dos alas, si se quiere obtener un valor correcto para la fatiga

máxima. Esta anchura reducida se denomina corrientemente

ancho efectivo y puede calcularse si se conoce la distribución de

fatigas representada por el área rayada de la figura 41 (c). Basta

para ello igualar el área del rectángulo dibujado de trozos en la

figura al área rayada. Su valor 2 \ varía corrientemente a lo largo

de la luz de la viga; depende de las dimensiones de la viga y

también de la forma del diagrama de momentos flectores.

En el caso particular de que el ancho del ala sea muy grande

(por ejemplo, 2 b 7 l) y el diagrama de momentos flectores esté

dado por ia curva sinusoidal

M = M¡ sen (a)

la anchura reducida es constante e igual a

21x = — ,

7t(l + (JL) (3 ------------------------- (i)

donde p. es el módulo de Poisson. Para p = 0,3 se obtiene

2X* = 0,363 l. (63)

Por tanto, en este caso particular, la viga real puede susti-

tuirse por una viga en 1 equivalente de sección constante y en la

que el ancho del ala es 0,363 1. Aplicando a esta viga las


fórmulas de la flexión simple se obtiene la misma fatiga máxima y

la misma rigidez a la flexión que corresponde a la viga real.

En el caso de carga transversal cualesquiera, el diagrama de

momentos flectores puede representarse por una

serie de senos:

Mr = hMn sen

donde los coeficientes Hn pueden calcularse mediante las co-

nocidas fórmulas 23

Mn = - f Mx sen —dx. IJo l

Por ejemplo, en el caso de carga uniforme, se tiene

23 Véase artículo 7.

nnx ~T‘

(b>

(c)


qx(l — x) 2

4# Mn = -

nó

donde n — 1, 3, 5 ...

Conocidos los coeficientes Mn de la serie (b), se obtiene la

anchura efectiva mediante la solución rigurosa; la que, en el caso

de alas de gran anchura, da

ti donde 0 = ¡-r es la relación del área ti al área de la sección del

dh nervio, y

k = (x + ^ <3 ü) = 0;878 para ^ = o,3. 4

Tomando, por ejemplo, el caso de una carga uniformemente

distribuida y sustituyendo, en lugar de Mn, en la fórmula (64)f

y la fórmula (c) da (d)

Mr (64) — 4

2X, mzx T M„ sen

S n = 1, 3, 5, ...

4 + - rnz P


el valor (d), se ve que para diversos valores de ¡3 la variación del

ancho efectivo a lo largo de la luz de la viga es la indicada en la

figura 42. Se observa que en la porción central de la luz el ancho

efectivo varía muy lentamente y es, aproximadamente, el mismo

que el correspondiente a un diagrama de momentos flectores

sinusoidal (véase ecuación 63). Conocido el ancho efectivo por la

fórmula (64), la fatiga máxima y la flecha máxima se

calculan aplicando las fórmulas de

la flexión simple a la viga

equivalente.

Hemos analizado el caso en

que las alas de la viga tienen una

gran anchura. Existen también

soluciones rigurosas para el caso

de que las alas no sean muy

anchas y para el caso de una placa rectangular reforzada por un

sistema de nervios iguales y equidistantes. En todos estos casos, el

problema se reduce al cálculo de fatigas y deformaciones de la viga

equivalente 24.

10. Limitaciones del método de superposición.—Al estudiar la

flexión de vigas (véase pág. 138, Primera parte), se vió que el cálculo

de las' deformaciones puede simplificarse en alto grado utilizando el

método de superposición. Este método se aplica siempre que la

flexión de la viga no introduzca modificaciones en el modo de actuar

las fuerzas exteriores. Por ejemplo, las pequeñas flechas que las

cargas transversales producen en una viga no modifican los

diagramas de momentos flectores de estas cargas y el método de

superposición se puede aplicar de modo sucesivo. Pero si tenemos

flexión combinada con extensión o compresión axial, la deformación

producida por las cargas transversales modifica la acción de las

fuerzas axiales y estas últimas

24 Estas soluciones exactas son de aplicación en las instrucciones

para el cálculo de losas de hormigón reforzadas con nervios. En el pro-yecto de aviones la distribución variada de las fatigas en las alas anchas se tiene en cuenta mediante una teoria aproximada, cuyo análisis puede verse en las publicaciones de P. Kuhn, National Adv. Com- mittee for Aeronáutica Reporta, núin. 608, 1937; núm. 636, 1938. Véase también lí. Ebner, Lutfhahrt-Fortschuny, vol. 14, pág. 93, 1937, y volumen 15, pág. 527, 1938.


producen, además de extensión o compresión axial, una flexión

adicional de mayor o menor importancia. En estos casos (véase

artículo 4.°) existen limitaciones para el método de superposición.

Puede usarse este método únicamente con relación a las cargas

transversales, suponiendo que la fuerza axial permanece siempre

presente. Hay otros casos en los que las pequeñas deformaciones de

las vigas pueden introducir cambios conside-

rables en la acción de las fuerzas. En estos casos,

ei método de superposición falla. A conti- ^

nuación examinaremos algunos

casos de esta naturaleza. fí

Como primer ejemplo, consi- -

Fia. 43

deraremos la flexión de un voladizo AB (fig. 43), que durante la

flexión toma contacto gradualmente con una superficie cilindrica

rígida AC, que le sirve

de apoyo. La curvatura constante de esta superficie es y en A tiene

una tangente horizontal.

Se ve que mientras la curvatura de la viga en el extremo A, dada

por la fórmula

1 _ M _ Pl r~ El,

ElJ

es menor que la curvatura del apoyo, el voladizo toca a la superficie

AG en el punto A únicamente, y la. flecha § en el extremo B viene

dada por la conocida fórmula p73

S = —. (b) 3 El,

De la ecuación 1 Pl 1 , , - = — = — (c) r El, R '

puede obtenerse el valor límite de la carga P, para el que la viga

empieza a tomar contacto con la superficie cilindrica que

El la sirve de apoyo más allá del punto A. Sea Pí = -j—, este va

£ i • h-


lor límite de la carga; por consiguiente, para P > Px un trozo AD de la viga apoyará tal como se indica con la línea de trazos en la figura 43. La longitud x de la parte libre del voladizo se obtiene

estableciendo que la curvatura - en D es igual a la de la super- r

ficie sustentadora; por consiguiente,

Px

El] R

y se obtiene

Elt — w

La flecha total en el extremo B del voladizo consta de tres partes:

1.a Flecha de la parte DB de la viga como un voladizo simple. Su

valor es

= w. 3 Elt 3 P2R3 W

2.a Flecha debida al giro en D,

x{l ~ x) EIt f EIt\ Sí-~ir=Rm{l~PBr {,)

Y 3.a La flecha que representa la distancia del punto D a la tangente

horizontal en A.

„ü — x? /, EIÁ2 1 8 - ~ V L = l ! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (g)

3 2 R \ PRJ 2 R Vi"

Sumando las tres partes, se obtiene para el valor de la flecha

total * „ * . 1 (El;)2 8 = 8, +8, + 8.-» W

i -r z t s 2R 6 p2^3 \ )

Se ve ahora que cuando P > Pv la flecha no es proporcional a P.Si

además

de

P, existe otra

carga Q aplicada

en

el

extremo

B

del voladizo,

la flecha

PROBLEMAS ESPERTALES EX LA FLEXIÓN OE VTGTAS 69

total

no será igual a

la

suma de

las flechas producidas por P y por Q si ambas se consideran que

actúan solas. Por consiguiente, el método de superposición no es

válido en este caso.


Como segundo ejemplo, consideraremos el caso de una viga

uniformemente cargada con los extremos empotrados (fig. 44). Se

supone que durante la flexión la parte central de la viga se apoya

sobre una fundación horizontal rígida, de modo que a lo f

largo de dicha parte la flecha es ¿

constante e igual a 8. Se ve que

si la flecha en el centro es menor p1(, 44

que 8, estaremos en el caso ordinario de flexión de una viga de

extremos empotrados. El valor límite de la carga se obtiene de la

conocida ecuación

-i. = S. (i) 384 EIt

Si la intensidad de la carga es mayor que qv una parte de lí, viga

apoyará en la fundación en la forma indicada en la figura. En esta

parte la curvatura es nula ; por lo que deducimos que también será

nulo el momento flector en el trozo de viga CD, y la carga se

equilibra por la reacción uniformemente distribuida. En los

extremos G y D no existirá más que una fuerza cortante X. La

longitud a de los trozos de la viga que no apoyan y el valor de X

puede encontrarse considerando el trozo AC de la viga como un

voladizo solicitado por la carga uniforme y por la fuerza concentrada

X aplicada en su extremo. Observando que la sección en C no debe

girar en la deformación y que su flecha debe ser 8, y empleando las

ecuaciones (94) y (100) de la Primera parte (véanse págs. 141 y 143),

se obtiene

qaá Xa25

6EIZ 2 El,

de donde

25 Encontrar la expresión de la flecha en el centro de una viga

apoyada en dos superficies cilindricas idénticas, de radio P, y cargaba

en el centro (fig. 45).

Solución: A medida que la carga P aumenta, los puntos de con

tacto de la viga con las superficies de apoyo se mueven hacia dentro y la

luz disminuye; por consiguiente, la flecha aumenta en menor pro-

porción que lo hace la carga P.

El ángulo a, que define la posición de los puntos de contacto, se

encuentra por la condición de que en esos puntos la elástica ha de ser

c b

PROBLEMAS ESPERTALES EX LA FLEXIÓN OE VTGTAS 71

3

Calculando ahora la flecha, tendremos

qai Xa3

= S. (k) 8 El, 3 El,

RüSTSTlBlfOTA T>« MATBBIALB8,—T. II


Resolviendo las ecuaciones (j) y (k), será

a = y'ZX = ^- 8 EIzq\ (l)

Se ve inmediatamente que la reacción X no es proporcional a la

carga. El momento flector máximo en valor absoluto acontece en los

extremos empotrados y es

\Ma\=\Mt\=^-Xa, &

o sea,

M. = ^ = V2BE7J. M 6

Nuevamente se ve que el momento flector no aumenta en la

misma proporción que la carga. Es decir, el método de superposición

no puede aplicarse.

Problemas

1. Encontrar la flecha del voladizo de la figura 43, si en lugar de la

fuerza P está solicitado por una carga uniforme de intensidad q.


P(l — 2 Rol)* Rol* 48 EIt + 2

'

3. Resolver el problema anterior, suponiendo que la viga está

empotrada en los puntos A y B.

4. Resolver el problema 2, si la carga no está en el centro de la luz

A B.

6. Una viga uniformemente cargada se apoya sobre una funda

ción horizontal rígida (fig. 46). Hallar el ángulo *, que gira el extremo A,

y la longitud x, flexada cuando se aplica el momento Ma en el extremo.

Solución: La longitudx seencuentrapor la

ecuación

qx* M0x 24 El 6 El'

El ángulo de rotación en el extremo A es

Mux qx? “ 3 El 24 Eí .

CAPÍTULO II

P I E Z A S C U R V A S

11. Fatigas de flexión en barras curvas.—En el estudio que sigue

supondremos que la línea media 1 de la pieza es una curva plana y

que las secciones rectas de la barra tienen un eje de simetría en este

plano. La pieza está solicitada por fuerzas situadas en este plano de

simetría. Consideraremos primeramente el caso de una barra de

sección constante en flexión pura, producida por pares aplicados en

los extremos (fig. 47). La distri

tangente a las superficies de apoyo; por tanto, para pequeños vaio-

Conocido a, la flecha en el centro será

Fia. 46

bución de fatigas en este caso se obtiene utilizando la misma

hipótesis que en el caso de piezas rectas; es decir, que las secciones

rectas de la pieza primitivamente planas y normales a la línea

media de la barra quedan en estas condiciones después de la flexión a. Sean ab y cd dos secciones rectas de la barra infini-

1 La línea media es la línea que une los centros de gravedad de las distintas secciones de la barra.

! Esta teoría uproximada fuó desarrollada por H. Rósal, Aúnales des Mines, pág. 617, 1862, y por E. Winkler, Der Civilingenieur, vo!. 4, pág. 232, 18o8, véase también su libro Die Lehre von der Elostizüát und

FIE ZAS CURVAS 75

tamente próximas y representemos con dtp el ángulo que forman antes de la flexión. Al flexar la pieza la sección cd gira respecto a la ab. Representemos con Ad<p este ángulo de rotación. Las fibras longitudinales del lado convexo de la barra estarán comprimidas y las del lado cóncavo, extendidas. Si n — n representa la superficie neutra, la extensión de una fibra situada a la distancia 1 y de esta superficie es yAd<f y el alargamiento unitario sera

yAdy (a)

{r — y)dip

donde r representa el radio de la superficie neutra y el denominador

de la ecuación (a) es la longitud de la fibra entre las dos secciones

consideradas antes de la flexión. Suponiendo que no hay acción

lateral entre las fibras longitudinales 26, la fatiga de flexión a la

distancia y de la superficie neutra será

(t¡

(r—y)<b

Se ve que la distribución de fatigas no sigue upa ley lineal, como

en el caso de piezas rectas, sino que sigue la ley hiperbólica que

muestra la figura 47 (c). Como la suma de las fuerzas normales

distribuidas sobre la sección debe ser nula, se deduce que la línea

neutra no pasa por el centro de gravedad y está desplazada hacia el

centro de curvatura de la pieza. En el caso de una sección

rectangular, el área rayada —fig. 47 (c)— ex-

26 La teoría exacta muestra que existe cierta presión radial, pero

que no tiene efecto apreciable sobre la fatiga ox y puede, por tanto, despreciarse.

La presión lateral en dirección perpendicular al plano de curvatura puede tener importancia en el caso de ñexión de placas (véase artículo 20).


(65)

tendida debe ser igual a la comprimida, por lo que en el lado

cóncavo de la pieza actuarán fatigas de flexión más elevadas. Para

lograr la igualdad de fatigas para las fibras más alejadas de las

dos zonas es necesario utilizar formas que tengan el centro de

gravedad más próximo al lado cóncavo de la barra.

La ecuación (ó) contiene dos incógnitas: el radio r de la su-

perficie neutra y el ángulo A<¿9 que representa el desplazamiento

angular debido a la flexión. Para determinarlas, emplearemos las

dos ecuaciones de la estática. La primera ecuación expresará que

la suma de las fuerzas normales ligadas a la sección es nula. La

segunda equivaldrá a la condición de que el momento de dichas

fuerzas normales es el momento flector M. Las ecuaciones son:

(d)

La integral en ambas ecuaciones se extiende al área total de la

sección recta. La integral de la ecuación (d) se simplifica del modo

siguiente:

La primera integral del segundo miembro de (e) representa el

momento del área de la sección recta respecto a la línea neutra, y

la segunda, como indica la ecuación (c), es nula. Por consiguiente,

(/)

donde c representa la distancia de la línea

neutra al centro de gravedad de la sección.

La ecuación (d) será entonces y la ecuación (6) da

EAdy _ M

d(p Ae My

PIEZAS CURVAS 77

Las fatigas en las fibras más alejadas, que son las máximas,

valen

/ v Mh-i / V JMJln (er27)máx = -—y K)míu = ------------------------------------------------------------------------------------ (66)

Aea Aec

donde h, y h2 son las distancias de la línea neutra a las fibras más

alejadas y a y c los radios interior y exterior de la pieza. El radio r

se determina por la ecuación (c). De este cálculo veremos varios

ejemplos en el artículo siguiente.

Si la altura de la sección recta es pequeña comparada con el

radio R de la línea media de la barra, y puede despreciarse

comparada con r en las ecuaciones (c) y (d). Por consiguiente, de la

ecuación (c) se obtiene

jydA =0,

es decir, la línea neutra pasa por el centro de gravedad de la

sección. Mediante la ecuación (d),

= (h) d<p R W

Sustituyendo en la ecuación (ó)

My

Por consiguiente, en el caso de una altura relativamente pequeña, la distribución de fatigas ílectoras ax se aproxima a la

ley lineal y la ecuación empleada para piezas rectas es válida

también para piezas curvas.

De 1a ecuación (h), en el caso de piezas delgadas, se

obtiene

. 7 MRda> Mds Adro =~ = , El, El,

donde ds representa el elemento de la línea media comprendido

entre dos secciones infinitamente próximas. Esta ecuación es

análoga a la ecuación (a), (pág. 139, Primera parte), para barras

rectas, y se usa corrientemente para el cálculo de deformaciones

27 Esta hipótesis está de acuerdo con la solución exacta

correspondiente a una sección rectangular estrecha; véase Theory oj Elastictly, página 73, 1934.

(67)


(65)

en piezas curvas delgadas.

En un caso más general, cuando la pieza curva está sometí-


da a la acción de un sistema coplanario de fuerzas en el plano

de simetría de la pieza, las fuerzas que obran a uno de los lados de

cualquier sección pueden reducirse a un par y a una fuerza apli-

cados en el centro de gravedad de la sección. Las fatigas produ-

cidas por el par se obtienen del modo explicado anteriormente. La

fuerza se descompone en dos: una fuerza longitudinal N en la

dirección de la tangente a la línea media de la pieza y una fuerza

cortante V situada en el plano de la sección recta. La fuerza

longitudinal produce fatigas de extensión o compresión

uniformemente distribuidas sobre la sección recta e iguales N a —. Debido a estas fatigas, la línea media de la barra expe- A

rimenta alargamiento o contracción y el ángulo d<j> entre las dos

secciones adyacentes varía en la cantidad

La fuerza transversa] V produce fatigas cortantes y la dis-

tribución de estas fatigas sobre la sección es la misma que en las

piezas rectas b

12. Casos particulares.—Se ha visto en el artículo anterior

(ecuación 66) que las fatigas de flexión en

las piezas curvas se

calculan fácilmente

J con tal de que se

conozca la posición de la

línea neutra.

A continuación veremos varios casos

particulares del cálculo de la distancia e de

la línea neutra al centro de gravedad de la

sección.

Sección rectangular.—El valor del radio r de

la superficie neutra se determina por la

ecuación (c) del artículo anterior, de la que

[ y ±i = o. J r — y

Nds

AE

l ~R

Ajácp = (68)

Fio. 4 8

a)


(73)

Representando con v (fig. 48) el radio del elemento rayado dA, se

tiene v—r— y o y — r — v.

Sustituyendo en la ecuación (a) '{r

— v) dA r = 0,

de donde

A rdA r =

(69)

En el caso de la figura 48, A = bh, dA = bdv, y la integral se

extiende desde v — a a v — c, siendo o y c los radios interior y

exterior de la pieza curva.

Sustituyendo en la ecuación (69), tendremos

bh h

r = íe bdv la V

(70) l°gn -

a Utilizando conocidos desarrollos en serie

B +

l h log„ log„ log„

R

(b)

se tiene

R R — r —R —

1 /A\2 1 ( M4 i

3I2W 5\2i¿; 1

Una primera aproximación para e se obtiene tomando solamente

dos términos en el denominador del segundo miembro. Tendremos

PIEZAS OTTRVAS 81

1 h2

Utilizando tres términos de las series (6), se

obtiene, en segunda aproximación

(72)

Se ve fácilmente que la distancia e de la línea neutra al cen-

tro de gravedad disminuye a medida que la relación decrece.

Para valores pequeños de esta relación, la distancia e es pequeña

y puede suponerse con bastante aproximación que la distribución

de fatigas sigue una ley lineal en lugar de la hiperbólica. En la

tabla siguiente se comparan los valores obtenidos para la fatiga

máxima, suponiendo leyes de distribución lineal e hiperbólica

(ecuación 66). TABLA IV

COMPARACIÓN DE LAS DISTRIBUCIONES DE FATIGA LINEAL E HIPERBÓLICA

n

Se ve que para > 10 puede suponerse lineal la distribución de

fatigas y aplicar con suficiente aproximación las fórmulas de

piezas rectas.

Sección trapezoidal.—La longitud de una tira eiementai si-

tuada a la distancia v del eje 0-0 (fig. 49) es

6 = 6f + (&1_6i)ÍLIi?. c — a

Sustituyendo en la ecuación (69), se obtiene A A

J bdv

h* 12 R

Distribución de fatiga hiperbólica Distribución de fatiga lineal ¡ Error en am4x debido j a suponer la ley lineal

I Vmáx ttmín

M M M 3 1 Por cien!'' A R A R A R A R

i 9,2 -4,4 6 — 6 35 2 14,4 — 10,3 12 — 12 17 3 20,2 — 16,1 8 — 18 10,9 4 26,2 — 22,2 1 24

— 24 9,2

10 62,0 — 58,0

60 — 60

3,2

r — b,c — ó»a , c

iog„ - h a

(b i — bz)

PIEZAS CTTRVAS 7B

filando bl = bt = b, la ecuación anterior coincide con la ecuación

(70), correspondiente a un rectángulo. Cuando bt = 0, ee obtiene el

caso de una sección triangular.

Sección en T.—En este caso, la ecuación (69) da (fig.

50)

r = Vi + Va _ Vi + Va

a í*dv 1 a íedv ai d 1 a 1 c

M - + M - Ój logn- + óülogn- J a V J a V a d

Sección en I.—De la ecuación (69) (fig. 51), Vi

+ V2 + Va

r = ¿>1 log„ - + ó2 log„ ? -f ó3 log„ - ad g

se ve que escogiendo convenientemente las dimensiones en el caso

de secciones en T y en I, puede lograrse

situar el centro de gravedad de modo que

las ecuaciones (66) den el mismo valor

numérico para amix y amm

Este dimensionamiento es aconsejable en

materiales tales como el acero, que resisten

de igual manera a extensión y compresión.

Hasta ahora, la distancia e del centro de

gravedad a la línea neutra se ha obtenido

por la diferencia R

ve el valor de e decrece, y para, determinarle con aproximación

suficiente es preciso calcular con gran exactitud. Para salvar esta

(74)

(75)

h

r. A medida que -5 disminuir

-

f u

— C

1 . r «[ c

i—*,—• 1*

Pío. 50

—

_C fT ó

1 f,

TI

45-

1 Q

c

H

11

FIG. 51


dificultad y obtener e directamente, se emplea el método siguiente.

Sea y í la distancia de cualquier punto de la sección al eje que

pasando por su centro de gravedad es paralelo a la línea neutra. Se

tendrá yx — y -j- e, y la ecuación (a) que da la posición de la línea

neutra podrá escribirse

CiVi — e)dA _ Cjh'lA _ g í dA __ ^ J R — y\ J B — yi J R — y^

La primera integral del segundo miembro representa un

área y puede escribirse como sigue en función del área A de la

sección

VldA = mA, (d) R — Vi

donde m representa un número a determinar en cada caso par-

ticular.

La segunda integral del segundo miembro de la ecuación (c)

puede transformarse

f-AL. = L f/i +. -J>±^\dA=*-(l + m).

J R~y, Rj\ R — yj A Sustituyendo (d) y (e) en la ecuación (c), se obtiene

R de donde

e = 7 í - A L _ . (76) 1 -f- m

Para calcular m en la ecuación (dj, se desarrolla en serie el 1 le)

factor a - » , ’

—3— = ’ ( i + -,J + -1 + ■•■)•

R—yx R\ R R¡¡ I

(O

h

PIEZAS CITRVAS 77

■V\ Por tanto,

f { L + R + R + - h d A ‘ ^

1 . v, í/? m =

AR


Fea, por ejemplo, una sección rectangular A — bh,dA = bdyx y

sustituyendo en (77),

I f ! ( 1 + » . + 2 d + J

2

i (Ar + . . 7\2 Rj

m

Esta serie es muy convergente y m

puede obtenerse con gran aproximación.

Sustituyendo m en la ecuación (76), se obtiene la distancia e. En el

caso de una sección circular (fig. 52), Fio. 52

JA = - y\dyx

Sustituyendo, en la ecuación (e),

de donde, desarrollando en serie

/ h2 \2 ]/ h2

\a

U-B2/ 16 \4iü2/

y se obtiene

l t h \ * 5 / h + - ( — ) + - ( - - ) + - (78)

8\2 R! 6 4 \ 2 R!

Serie muy convergente, por la que m puede calcularse có-

modamente. Sustituyendo m en la ecuación (76), se obtiene la

posición de la línea neutra. Se observa que al calcular m por la

ecuación (e), el valor de m no cambia si todos los elementos dA se

D:\

= 1 / A \ 2 + I / l i 4 + 3 \2i?/ 5\2Rf

(/)

A

B f R2 + m) — 2 (g)

“ y\dv i i —-------- --- 2711R — — 2/i \

1 h2

2 4fí2

5 / \4

128 \4 i¿2, 1 / h

\ 2 m = - | — 4 \ 2 Ü

/

PIEZAS CITRVAS 79

multiplican por una constante, ya que tanto la integral del primer

miembro de la ecuación (e) como el área A del segundo miembro de

la misma ecuación crecen en la misma proporción. Pe aquí se

deduce que el valor (78) obtenido para m en una sec


ción circular puede utilizarse en una elipse de ejes h y hv puesto

que en este caso cada área elemental (/) puede obtenerse de la

correspondiente del círculo multiplicándola por la relación cons-

tante

h

El cálculo de la integral que figura en el primer miembro de la

ecuación (e) puede simplificarse a veces dividiendo la sección en

varias partes, integrando para cada parte y sumando los re-

sultados de las integraciones. Sea, por ejemplo, una sección en

forma de anillo circular, de diámetro exterior Ti e interior á,.

Empleando la ecuación (<7) para los círculos exterior e interior,

obtendremos para la sección anular

h ’ — h ’ f UU-W 8U B l 1

- « í + s f e ) V - - j r

De modo análogo pueden hallarse fórmulas para las secciones

de las figuras 50 y 51.

Calculado m, se halla e por la ecuación (70), y las fatigas má-

ximas por las ecuaciones (66).

Si, siguiendo el camino emprendido, sustitu’'mos y por el valor

?/j — e en la ecuación (g) (pág. 70), se obtiene

at = KíUlZZlL = /-^l- —1\, (80) Ae(R— í/j) AR \mv f

donde v es la distancia desde el punto considerado al eje que pasa

por el centro de curvatura del eje de la barra (fig. 48).

La ecuación (d) sirve de base para una determinación gráfica

de la cantidad m en los casos en que la forma de la sección no

tiene una expresión analítica sencilla. Se ve que para calcular el

área modificada de la ecuación (d), cada área elemental se

reduce en la relación -=-^1—. Esta reducción puede hacerse! R~Vx

conservando el ancho de las tiras elementales y disminuyendo su

longitud en la relación expresada (fig. 53). De este modo, se

obtiene el área rayada de la figura.

PrEZAS CURTAS 81

La diferencia entre las áreas CDF y ABO da el área modi-

ficada mA. Conocida ésta, pueden calcularse fácilmente m ye.

La teoría de las piezas curvas desarrollada se aplica al pro-

yecto de ganchos x. En la figura 54 se ve la parte que trabaja en un

gancho de sección circular constante. Se

supone que la fuerza vertical P pasa por el

centro de curvatura del eje del gancho. Las

fatigas máximas de flexión acontecen en la

sección recta per

pendicular a la carga P. Procediendo como se ha indicado en el

artículo anterior, se ve que en la sección horizontal del gancho

obran una fuerza extensora P centrada y el momento flector M

PR. Combinando las fatigas de ambas clases y utilizando la

ecuación (80) para las de flexión, se obtiene

, = *Ll3L l. A AR \mv

Aplicando esta fórmula para los puntos más alejados, en los

que í/j == di ^ se encuentra que

1 Recientemente han sido hechas investigaciones teóricas y expe-

rimentales sobre ganchos por el National Physical Laboratory de In-glaterra. Véase la publicación de H. J. Gough, H. L. Cox y D. G. Sop- with, Proc. Inst. Mech. Engrs., diciembre, 1934. La comparación de las fatigas teóricas en ganchos de sección rectangular con resultados experimentales ha sido publicada por K. Bbttcher, Forsohungaarbeiten, Heft 337, Berlín, 1931.

P (ax)m&x — ~

A

h (^z)mín — (81)

A $ m{E + 1

h


Se ve que la fatiga mayor en valor absoluto acontece en el P

intradós, es de extensión y se obtiene multiplicando la fatiga -j por ei

factor de fatiga

k = ---------------- • (82)

**■(*-1

euva magnitud depende de la relación —•

Jj Xt Utilizando para m la expresión (78), se ve que Je varía de

13,5 a 15,4 cuando la relación lo hace de 0,6 a 0,4 2 K

Problemas

1. "Determinar la relación de los valores absolutos de amáx y <imIn en una

pieza curva de sección rectangular, solicitada a flexión pura, si R = 12,5 era. y h

=> 10 cm. ^

Solución: Deducida de la ecuación (66), la relación es ~ . La dis- fl-yCt

tancia de la linea neutra al centro de gravedad, ecuación (72), es 10

I". 4 /10\* [ X 15(25)

por tanto, k, = 5 — 0,695 = 4,305 cm.; = 5 + 0,695 = 5,695 , 4,305 x 17,5

La relación anterior es ■ _ = 1,75. 5,695 X 7,5

2. Resolver el problema anterior, suponiendo circular la sección. Respuesta:

e = 0,52 cm; ^ ^ = 1,89. OmlnUjü» dd

3. Determinar las dimensiones b, y bt de la sección

en I de la figura 61, tales que y crmín tengan el mismo valor absoluto al

solicitar la pieza a flexión pura. Datos: /, = 2,5 cm., /? = 6 cm., ft = 2,5 cm., o = 7,5

cm., bt = 2,5 cm., 6, + bs = 12,5 cm.

Solución: Por las ecuaciones (66),

h, h. r — a o — r — = — o sea, --------------------------- = --------- , a c a e

1 Para = 0,6 el factor h toma su valor mínimo. ¿t Ib

= 0,695 cm. 10 X 12 X 12,5

PTEZAS CURVAS 83

de donde

_ 2a c 2 X 7,5 X 17,5

a + c 7,5 -f- 17,5

Sustituyendo en la ecuación (75),

43,75 10,5 =

K logB + 2,5 log„i? + (12,5 - bx) logn ]^5

de donde b, = 9,17 cm: b3 = 12,5 — 9,17 = 3,33 cm.

4. Determinar la dimensión b1 de la sección en T de la figura 50,

de modo que a11)áx y crmfn sean iguales en valor absoluto en el caso de

flexión pura. Datos: /, = 2,5 cm., /2 = 7,5 cm.,

6, = 2,5 cm., a = 7,5 cm.

Respuesta: 6] = 7,72 cm.

5. Determinar amáx y amín para la sección

trapecial mn del gancho de la figura 55, si P = 2,250

kg. bj = 4,06 cm., b.¿ = 0,94 cm., a — 3,12 cm., c = 12,5 cm.

Solución: De la ecuación (73),

r — 5,93 cm.

El radio de la línea media

bj + 2b, h 6,83 cm. b, + b.¿ 3

Por consiguiente, e = R — r = 0,9 cm., h — r

— o = 5,93 — 3,12 2,81 cm.,

h — c — r =12,5 — 5,93 = 6,57 cm., Ae = 21,09; M = P.R = 15,375

kilogramos cm. Las fatigas de flexión por las ecuaciones (66) son

, , 15,375 x 2,81 , , . (a*W = 21,09 x 3,12 ~ 656 kg'/0m-

, , 15,375 X 6,57 _______ _ (o,)mill 21>09 x 12>5 384 kg./cm.

A estas fatigas de flexión debe superponerse una fatiga de exten-

sión uniforme igual a

= 9b kg./cm.2. Las fatigas totales son:

<Wi = 656 -f 96 = 752 kg./cm.2.

<bn,„ = — 384 + 96 = — 288 kg./cm.2.

RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. u

= 10,5 cm.

R = « +


6. Hallar la fatiga máxima en un gancho de sección circular, si el

diámetro de la sección recta es h = 2,5 cm., el radio de la línea media B

— 2,5 cm. y P = 500 kg.

Bespuesta :

k = 13,9, cm4x = 13,9 = 1,416 kg./cm.28.

7. Hallar amáx y a1Q(n para la barra curva de sección circular, re-

presentada y solicitada como indica la figura 56, si h = 10 cm., B = 10

centímetros, e = 10 cm. y? = 2,500 kg.

Bespuesta :

am4, = 852 kg./cm.2; om,D = — 326 kg./cm.2.

8. Resolver el problema anterior, suponiendo que la sección recta

mn tiene la forma de la figura 50, con las dimensiones siguientes: o = 5

cm., d = 7,5 cm., c = 22,5 cm., bx = 10 cm., b2 = 2,5 cm., e = 10 cm. y P = 2,000 kg.

28 El caso de secciones transversales de grandes dimensiones se

estudiará en el problema 6, página 91.

PTEZAS CURVAS 85

<W = 280 kg./cm.2; omln = — 144 kg./cm.2.

9. Resolver el problema 7, suponiendo que

la sección mn es trapecial, tal como la de la

figura 49, y de dimensiones a = 5 cm., c = 10,62

cm., &! = 5 cm., b.¿ = 2,5 cm., e = 0yP= 625 kg. Bespuesta:

<W = 317 kg./cm.2; cmln = — 226 kg./cm.2.

13. Deformación de barras curvas.—Las deformaciones de una

pieza curva se calculan corrientemente por el teorema de

Castigliano L Los casos sencillos son aquellos en que las dimen-

siones de la sección recta de la barra son pequeños comparados con

el radio de curvatura de su línea media 2. Entonces el des-

plazamiento angular de dos secciones adyacentes viene dado por la

ecuación (67), análoga a la ecuación (a) (pág. 139, Primera 'parte),

relativa a piezas rectas, y la energía de deformación por flexión

vale

(83)

donde la integración se extiende a la longitud total s de la pieza.

FIG. 56

iP Bespuesta:

PIEZAS CURVAS 86

La ecuación (83) es análoga a la (187) (véase Primera parte), relativa

a vigas rectas 29 y la flecha del punto de aplicación de cualquier carga

P, que actúa sobre la barra, en la dirección

de la carga, es

óU

dP’

Como ejemplo,

estudiaremos el caso de una pieza curva de

sección uniforme, cuya línea media sea un

cuadrante (figura 57). El extremo A está

empotra- FIG. 57

do y la tangente en él es vertical y el

otro extremo está solicitado por la carga vertical P. El momento

flector en una sección general mnes M = PR cos 9. Sustituyendo en la

ecuación (83), el corrimiento vertical del punto B será

<1P Jo ’¿E1, El,), dP

29 La energía de deformación debida a las fuerzas longitudinales y

8 =

87 RESTSTmOTA T)F WATEUT AT/ES

Véase página 84.

cortantes puede despreciarse en el caso de piezas curvas delgadas.

Tt - r

El, Jo

TC

PR30 4

El'

PR3 cos31q>d<p


Si se quiere conocer el corrimiento horizontal del punto B, se

introduce la carga ficticia Q representada de trazos en la figura.

Entonces

M = PR cos 9 + QR( 1 — sen 9)

iü(l — sen 9).

El corrimiento horizontal es

dM JQ

M Rdrn. dQ

«i = T77 = [dQlQ =0

s r 2 M2Rdq> _ 1 r óQJo

2EIZ EIzJo


En la expresión de M debe hacerse Q = O, y se obtiene,

finalmente.

Anillo delgado.—Como ejemplo segimdo, consideraremos el

caso de un anillo circular delgado sometido a la acción de dos

fuerzas P iguales y opuestas, actuando en los extremos del diá-

metro vertical (fig. 58). Debido a

la simetría, basta considerar un

cuadrante del anillo —figura 58

(6)—, y puede deducirse que en la

sección mn la fuerza

extensora vale — y no existe 2

fuerza cortante. El valor del

momento M0 en esta sección es

una magnitud hiperestática que

puede encontrarse mediante el teorema de Castigliano. Por

simetría, la sección mn no gira en la deformación; es decir, el

desplazamiento correspondiente a M0 es nulo; luego

dü dM, (a)

donde U es la energía de deformación correspondiente al cua-

drante considerado. El momento flector en una sección general

mîx, definida por el ángulo 9, vale 32

32 Se toman como positivos los uioinentus que tienden a

disnnuuir la curvatura inicial de la barra.

PE3

2

El,'

si Jo PE3 eos 9(1 — sen 9)^9 =

0,


Sustituyendo estos valores en la expresión (83) de la energía

potencial y utilizando la ecuación (a), tendremos

M0 - F R( 1 u

dM dM„

M eos 9) (b)

= 1.

MEZAS CURVAS 91

R d , > dMu

rr l : ¡ £ [M. ~ ~ R ( 1 - eos 9)j Rd?,

E L de donde

P R l 9\ M0 = — 1 — -J = 0,182 PR. (84)


„ PR I 2\ M = Icos 9 — (c)

El momento flector para cualquier sección del anillo puede

calcularse por esta expresión. El momento flector máximo acontece en

el punto de aplicación de las fuerzas P. Haciendo 9 = - en la ecuación

(c), se obtiene ^ P 7?

M = ----- — = — °’318 P R - (85)

El signo menos indica que el momento flector en los puntos de

aplicación de las fuerzas P tiende a aumentar lacurvatura,

mientras que el momento M0 de la sección mntiende a dismi

nuir la curvatura del anillo. La forma del anillo después de la flexión

es la indicada de trazos en la figura.

El incremento del diámetro vertical del anillo se obtiene aplicando

el teorema de Castigliano. La energía de deformación almacenada en

la totalidad del anillo es

JJ _ A n M2Rdcp

2 El, donde M viene dado por la ecuación (c). Por consiguiente, el in-

cremento del diámetro vertical vale


Para calcular el acortamiento del diámetro horizontal en el anillo

de la figura 58, se introducen las dos fuerzas ficticias Q, iguales y

opuestas, aplicadas en los extremos del diámetro ho-rizon- tal.

Calculando el valor de

(-) \ ¿Q I Q =O

se encuentra que el acortamiento de dicho diámetro es

Anillo grueso.—Cuando las dimensiones de la sección recta de

una pieza curva no son pequeñas comparadas con el radio de su

línea media, es necesario tener en cuenta no

solamente la energía de deformación por

flexión, sino también la debida a las fuerzas

longitudinales y cortantes. El giro angular

entre dos secciones adyacentes (figura 59) vale,

en este caso (ecuación 65)

Mdíp Mds Adcp

AEe AEeR

y la energía de deformación elemental debida a la flexión es

dU, = -MMo =

La fuerza longitudinal produce un alargamiento del

elemento comprendido entre dos seccioñes adyacentes en la

dirección de

Nds la línea media de la barra igual a —— y aumenta el ángulo ¿9

Nds ^ en (ecuación 68). El trabajo suministrado por las fuerzas N

AER N2ds

durante su aplicación es Durante la aplicación de las fuer- 2AE *

zas N, los pares M realizan un trabajo negativo • i*01,

AER

consiguiente, la energía total almacenada por ei elemento durante

la aplicación de las fuerzas N es

N2ds MNds 2AE AER ' («>

0,137 (87) El,

^2_ l \ P ^ = r ,^PR3

2/ El,

Fio. 59

M2ds 2

AEeR'

(d)

MNds

dU,

PIEZAS CURVAS 93

La fuerza cortante V produce un deslizamiento de una seo- oc V ds

oión respecto de la otra, de valor -.y, , donde a es un coeficiente

iiu

que depende de la forma de la sección (véase pág. 163, Primera

parte). La energía de deformación correspondiente es

a V2ds dü 3 = --------- . (/

2AO W

Sumando (d), (e) y (/) e integrando a lo largo de la pieza, se

tiene para la energía de deformación total de la barra la expresión

siguiente:

f / M2 , JV* MN , aF2 \ , — I „—y —yy— t T1 t, “i yy) • (fifi)

2AEeR 2AE AER 2 AGI

Volvamos ahora al problema representado por la figura 57 y

consideremos la expresión completa de la energía de deformación

(ecuación 88). Tomando como positivos los sentidos indicados en la

figura 59, se obtiene

M = — PR cos <p; N = — P cos <p; V = P sen <p,

donde R es el radio de la línea media. Sustituyendo en la ecuación

(88) y aplicando el teorema de Castigliano, el corrimiento vertical

del punto B será

j, dü PR n IR eos2 © CLE \ o - — = — I I ------------------- :• — eos2 ----------- as H -----------------------sen2 ® | dm

dP AE J \ e G 7

7t PR IR aE \ ~±AE\l ~G~~ )

Si la sección de la barra es un rectángulo de anchura b y altura h,

empleando para e el valor aproximado (71) y tomando

E

* = 1,2, ^ = 2,6,

s _ y y / i 2^ |

áAE\ A* /

Cuando h es pequeño comparado con R, el segundo término del

paréntesis que representa la influencia en el corrimiento de


N y V, puede despreciarse, y se obtendría la ecuación ya conocida

(véase pág. 80).

La teoría expuesta para piezas curvas se aplica para el cálculo

de elementos de maquinaria, tales como eslabones y extremos de

barras en forma de ojo (fig. 60). En estos casos, la dificultad reside

en la determinación de la distribución de la carga

sobre la superficie de la barra curva.

Esta distribución depende del juego

existente entre el perno y la barra

curva. Una solución satisfactoria del

problema se obtiene solamente

combinando los métodos analíticos con

la investigación experimental x.

En una publicación reciente 33 se

estudia el caso —fig. 60 ( ó ) — de un ojo

de sección rectangular. En el análisis se

supone que no hay juego y que el perno es absolutamente rígido.

La fatiga máxima de extensión acontece en el intradós y en las

secciones perpendiculares al eje de la barra; su valor viene dado

por la fórmula

8F , \ ffmax — a > \9)

K rat

donde P es la fuerza extensora total transmitida por la barra, T

a es un factor numérico dependiente de la relación — de los radios

exterior e interior del ojo y t es el espesor del ojo en sen-

T tido perpendicular al plano de la figura. Para — igual a 2 y 4,

G

33 H. Reissner y Fr. Strauch, Ingenieur Archio, vol. 4, página 481,

1933.

PIEZAS CURVAS 95

los valores de a son 4,30 y 4,39, respectivamente. Los resultados

obtenidos mediante la fórmula (g) están de acuerdo con los ex-

perimentales L

Problemas

1. Determinar el corrimiento vertical del extremo B de la barra

curva de la figura 61, cuya línea media es un semicírculo y cuya sec-

ción es uniforme.

iSolución: La energía de deformación por flexión es

8. Determinar el corrimiento horizontal del extremo B en el pro-

blema anterior.

Reapuesta:

2 P1P

8 = El,

3. Determinar el incremento de la distancia existente entre los

extremos A y B de una barra delgada de

sección uniforme, compuesta de una parte semicircular CD y dos

trozos rectos AO y BD (fig. 62). Respuesta: „ 2 P [1* !+ %IR 4

rn M2Rd<p _ f

Jo ~TET;~JO ü ■■

3 re Pfí3

2 El, ’

2 El,

la flecha en el extremo es

dtl _ PR? n dP~

El, o

M2Rd<p _ fie -P21Í2( 1 - eos y)ai¿rf<p

El,

(1 — eos <p)ad<p =

O]- ' El


4. Un eslabón consta de dos trozos semicirculares y de dos trozos

rectos, y está solicitado por dos fuerzas iguales y opuestas que actúan

en la dirección del eje vertical de simetría (fig. 63). Determinar el

momento flector máximo, suponiendo que las dimensiones del eslabón

son pequeñas comparadas con el radio R.

Solución: Considerando solamente un cuarto del eslabón —

figu

ra 63 (b)—, se encontrará el momento hiperestático Mn, por la condi-

ción de que La sección en la que actúa no gira durante la

deformación. Por consiguiente, dü

= 0. dM,

Puesto que para la parte recta M = M„, y para el trozo

curvado PR

(1 — eos <p), sustituyendo en la expresión de la energía

\ = dk+ zirjo [ M a - ¥ ( 1 “ c o s 4 ! = ° *

PR34

34 21 7c R

M = M,

de deformación por flexión, se tendrá

71 dü

dM, de donde

Ma =

PIEZAS CURVAS 97

Para l = 0, esta expresión coincide con la ecuación (84), obtenida

en el caso de un anillo circular. El momento máximo acontece en ¡os

puntos de aplicación de las fuerzas P y vale

PR

5. Resolver el problema anterior, suponiendo que las

fuerzas P se aplican como indica la figura 63 (c).

Respuesta: El momento flector enlospuntos A es

P IP( 7T—2) +2 i» + Ia

2 nR+21

M,

98 6ESISTF,N-Ct> t)E MATETÍTAT.TN

Para 1=0, la ecuación coincide con la de un anillo circular. Para Pl

R = 0, M¡ — j , como en el caso de una pieza con los extremos em-

potrados.

6. Determinar el momento flector M0 y el alargamiento del diá-

metro vertical del anillo circular representado en la figura 58, supo-

niendo que la sección recta del anillo es un rectángulo de anchura b y

altura h, cuyas dimensiones no son pequeñas comparadas con el radio

R de la línea media.

Solución: Usando la ecuación (88) para la energía de

deformación,

y la ecuación (b) para el momento flector, la expresión por la que se

determina M„ es

dü (\( M N \ j

dM0 Jo \AEe AE) p’

de donde Pi?/, 2 . 2e\

Comparando este resultado con la ecuación (84) se ve que el tercer

término del paréntesis representa el efecto de la fuerza axial y de la

distribución no lineal de la fatiga. El valor del error al emplear la

ecuación aproximada (84), en lugar de la encontrada últimamente, vale

T == 1 1,52 3 h

= 0,090 0,038 0,021 0,009 H

error en % = 15,8 6,73,7 1,6

Se ve que en la mayoría de los casos puede usarse la ecuación apro-

ximada (84) paracalcular M0, y que el error esimportante solamente

cuando h seaproxima a R o es mayor que R. Elalargamiento del

diámetro vertical del anillo se obtiene por la ecuación

Empleando la ecuación (88) para U, y sustituyendo en dicha ecuación

PR P P M — M0 ¡j- (1 — cos <¡>); N = -¡r cos <p; V = — — sen 9,

¿t z z

se obtiene

. PR3 (7t 2/, e3\ , 2ef2 e\

«1 , na E e) A AEe\4 ni B !) + B M R¡

8J +4G'pÍ ‘

Comparando este valor con la ecuación (86) se ve que el efecto de las

fuerzas axial y cortante en el valor de S es corrientemente muy

pequeño *.

PIEZAS CURVAS 99

ción, pág. 493, París, 1880. Véase también H. Résal, Journal de Math. (Liouville) (3), vol. 3, 1877; M. Marbec, Bulletin de l’Association Tech- ñique Maritime, vol. 19, 1908; M. Goupil, Anuales des Ponts et Chaus- sées, vol. 2, pág. 386, 1912, y Mayer Mita, V. D. /., vol. 58, pág. 649, 1914; VY. F, Jiurkt, A al, Adv. Coin. Aeron. Techn. Notes, 444, 1933.

p(a — x)35 py2 +

<g)

(h)

Sustituyendo en la ecuación = 0, se tiene 0

( » . - ? , * + ! í , + v - o .

siendo s la longitud del cuadrante del anillo,

lx = Jo y2dS 6 Iy = í X*<la' Por consiguiente,

Si el anillo tiene la forma del eslabón de la figura 63, poniendo R =

a y l + R = b , tendremos

1

7. Determinar los momentos Héctores en un anillo delgado coil dos ejes de

simetría, sometido a la acción de una presión interior uniforme p.

Solución: Consideremos un cuadrante del anillo (fig. 64) de semi

ejes ay b. Si ilí0 representa el momento hiper-

estático en A, el momento flector en cualquier

sección O de coordenadas x e y es

3 (6 — o)36 + ( b — a ) ‘ + - a3 + 2a2(fc — a);

2

_ U P“2 4- px* 4- py2

2~ 2 + T-

M — M„ — pa(a — x) +

dü

I y = (b-a)a2 + -f-

Sustituyendo en la ecuación (h),

100 6ESISTF,N-Ct> t)E MATETÍTAT.TN

(6-o)* + \ o3 + 3a2(6 — a) + ~a(b~o)2].

El momento flector en cualquier otra

sección puede obtenerse por la ecuación (g).

En el caso de un anillo elíptico los cálculos son más complicados *.

_____________ [i 2 6- f - ( 7 c — 2 ) a[ 3

P

PTEZAS CURVAR 101

Usando las notaciones Ix + lv = cea* b, M0 = — (3pa3, y el momento en fí ífilí.

64) = M, = ypoa, los valores de a, (3 y y, para diferentes

valores de la relación son los de la tabla siguiente:

TABLA V

8. Un resorte delgado en

espiral (fig. 65) está unido en el centro a un eje C. En este eje se aplica

un par M„ para apretar elresorte.Se

equilibra mediante la fuerza horizontal P, aplicadaen el extremo A

del resorte y la reacción en el eje. Hallar la relación existente entre M„ y

el ángulo que gira el eje, conocidas todas las dimensiones del resorte. Se

supone que el ángulo de torsión es lo

suficientemente pequeño para que las

espiras no toquen entre sí.

Solución: Tomando el origen de coor

denadas en A, el momento flector en un

punto del muelle situado a la distancia y de

la fuerza P es M — Py. La deformación an-

gular o giro entre dos secciones adyacentes

en el punto considerado es, ecuación (67),

Mds Pyds 4i*-í77-T&r

El giro total de mi extremo del resorte,

respecto del otro durante la torsión, es

f" Pyds P f8 9 -J *

La integral del segundo miembro de esta ecuación rep senta el

momento de la línea media del muelle respecto al eje x. El valor de

este momento será la longitud total s del muelle multiplicada por la

CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE ANILLOS ELÍPTICOS

a b = 1

0,9 0,» 0.7 0,6

0,5 0,4 0,3

a ........... 1,571 1,663 1,795 1,982 2,273 2,736 3,559 5,327 f¡ ........... 0 0,057 0,133 0,237 0,39 0,629 1,049 1,927 V ....................

0 0,060 (',148 0,283 0,498 0,870 1,576 3,128

yds. (*)


distancia de su centro de gravedad al eje x. Esta distancia vale, apro

ximadamente, r, y de la ecuación (k) se deduce

Prs _ M0s : El, ~ EL,' (l)

Si el extremo A está unido a un eje, el momento M0, aplicado

en o, produce una reacción P en el extremo fijo A del muelle. Si el

espesor del muelle es muy pequeño, el número de espiras grande y las

espiras no se tocan entre sí, puede considerarse suficientemente

aproximada la hipótesis anterior de que la fuerza P permanece

horizontal y darse por válida 37 la ecuación (l).

9. Suponiendo que el resorte representado en la figura 65 está en

estado natural y unido a un eje en A, determinar la fatiga máxima

producida y la energía almacenada en el muelle al dar tres vueltas

completas a la espiga c. El muelle es de acero, tiene 1,25 cm. de ancho,

5/8 mm. de grueso y 3 m. de longitud.

Solución: Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación (¿), 0 2 x 10e X 1,25 x 538

de donde M0 = 3,20 kg. cm.

La energía almacenada es

2 El \ T 4 / 8 E

La fatiga máxima de flexión acontece en el punto B, donde el mo-

mento flector vale aproximadamente 2 Pr = 2 Ma, por consiguiente 3,20 x 2 x 6 X 8> x 10* _oat . . .

*■“* = ---- 1£5TX~5* --------- = 7864 kg-/Cm’

10. Un segmento cuyo perímetro exterior es circular, tiene una

sección rectangular de anchura 6 constante y

altura h variable (fig. 66). Determinar la ley de

variación de la altura h, a fin de obtener un

segmento que, cuando se monte con el émbolo en

el cilindro, produzca una presión uniforme sobre

la pared del cilindro.

iSolución: Sea r el radio del cilindro, y r + 8 el

radio exterior del segmento en su estado natural.

Escribiendo la variación de cur- ' vaturaen el perímetro exterior del segmento i lugar de la que acontece en su línea media, se obtiene una

37 En el libro de A. Castigliano, Theorie d. Biegungs-u-Toraiona

1930, y J. A. Van den Broek, Trans. A. S. M. E., vol, 53, pág. 247, 1931. Federn, Viena, 1888, puede verse un estudio más completo del problema. Véanse también E. C. Wadlow, Engineer, vol. 150, pág. 474,

 M39ds P2 [>, P2 / , , sr*\ 5M*s , Jo 2 El 2 ElJoV 2 El \r + 4/~8 E' 37,74 kg. cm.

PIEZAS CURVAS 103

solución aproximada del problema. Mediante la ecuación (67) ten-

dremos Adtp 1 1 M ds r r + S El

El momento flector M, producido en una sección general mn

del

segmento por la presión p distribuida uniformemente sobrelasuper-

ficie exterior del segmento, es

M = —2 pór2 sen2 (b) ¿i

bJi3 Si sustituimos este valor en la ecuación (a), ponemos -r~- en lugar

Sil

de I, y —a en vez de - — fqTjj (Para valores pequeños de 8), se obtiene

la ecuación siguiente, que sirve para el cálculo de h:

8 p 24 r2 m

T2~E sen 2’ de donde

fe3 = l“rsen2I- w

Para 9 = n se obtiene el valor máximo de h; representándole por he, se

tiene

, , p 24 r*

"° — E _8~’ (6)

La fatiga máxima de flexión en la sección mn es

12 pr2 sen21 o = — = M 2. (/)

De las ecuaciones (/) y (d) se deduce quela fatiga máxima de fle

xión acontece para 9 = 7t; es decir, en la sección opuesta al corte del

segmento. Escribiendo h = h0 y 9 = 71 en la ecuación (/) se obtiene

12 pr* . , ®m*ir— 5 » (9r)

donde puede calcularse h0, dados la presión p y la fatiga de trabajo. El

valor de 8 se encuentra sustituyendo h0 en la ecuación (e).

Puede verse que si en el corte del segmento se aplican tangencial-

mente dos fuerzas extensoras P, iguales y opuestas, producen en la

sección mn el momento flector

— Pr (1 — eos 9) = — 2 Pr sen2 % 2

es decir, el momento flector varía con 9 con ley análoga a la dada por la

ecuación (6). Por consiguiente, si los extremos de un anillo abierto se

juntan, y en esta forma se le da un radio exterior r, este anillo o

(a)

9G RESTSTJWf!TA DP! M.AT'F’TtTAT.T'0

segmento, al montarle, producirá una presión uniforme contra las pa-

redes del cilindro 40.

Determinar, por ejemplo, 8 y h0 para un segmento de fundición, si r =a 25 cm., at = 350 kg./cm.*, p = 0,11 kg./cm.2 y E = 10® kg./cm.*

Sustituyendo en la ecuación ( g ) , se obtiene h0

= 1,53 cm. De la ecuación (c) se deduce 8 = 0,29

cm.

11. Deducir la expresión (87), dada en la

página 86.

12. Experimentalmente se ha visto que

reforzando transversa Imente un eslabón se

aumenta considerablemente su resistencia.

Hallar el momento flector M, en los puntos de

aplicación de las cargas P, y la fuerza axial de

compresión 2H en el travesano, para el eslabón

de la figura 63.

Solución: Puesto que en el caso de

un travesaño la sección horizontal —figura 63

(6)— no se mueve horizontalmente y no gira,

las cantidades hiperestáticas y H se deducen de las ecuaciones

dU „ dZJ = 0, C’M0 de donde

— T- donde

(to -{- 2) ¡ro3 + 6 m2 + 12 (4 — x) m + 48 (x —

3)] m4 -(- 4 tito3 + 48 to* + 24 tito 24 (x* — 8)

’

12 (to + 2) [(x — 2) to + 2 (4 — x)] m4 -j- 4 xto3 -f- 48 to* -f- 24 xto + 24 (x* — 8)

l m = w

13. Hallar el momento fiector M„ y la fuerza extensora B en la

sección A del anillo circular, simétricamente cargado, representado en

la figura 67.

40 Véanse publicaciones de H. J. Gough, H. L>. Cox y D. G. ¡8op- with,

ya citadas, pág. 75.

oH

-a)

PIEZAS CURVAS 97

Respuesta:

tg a ,

DD

M„ = — -s - [1 + seo » — (w — a) tg a] , ¿ TC

14. Arco articulado en los extremos.—Sea el arco de extremos

articulados representado en la figura 68 solicitado por fuerzas

verticales y con los apoyos al mismo nivel. Las componentes

verticales de las reacciones en A y B pueden determinarse por las

ecuaciones de la estática, del mismo modo que en una viga apoyada,

y las componentes horizontales serán iguales y opuestas. El valor H

de estas componentes se denomina empuje del

arco. No puede obtenerse estáticamente; pero se determina em-

pleando el teorema de Castigliano.

En el caso de un arco rebajado los dos últimos términos de la

expresión general (88) de la energía de deformación pueden

despreciarse y para arcos de dimensiones normales puede reem-

plazarse el producto AeR por el momento de inercia lz de la sección.

La ecuación para el cálculo de H será, por consiguiente,

^ = + — ) * - o - («)

dH dH Jo \2EIt 2AJS)

El momento flector en cualquier sección mn del arco será

M = M0 — Hy, (6)

donde M0 es el momento flector correspondiente a la sección

correlativa de la dada en una viga simplemente apoyada, de la

misma luz y con la misma solicitación que el arco. El segundo

término de la integral que figura en la ecuación (a) representa la

energía de deformación debida a la compresión en dirección

tangencial y tiene importancia secundaria. Para arcos

rebajados RüSXSIiSCU Di HATLHIALAS.—1'. U

7


se obtiene una buena aproximación, suponiendo esta, compresión igual al empuje H. Sustituyendo la expresión (6) y A = 77 en la ecuación (a), se obtiene

_ P ( M ° ~ ~ Ey)yds , f'EÉí = o Jo El, Jo AE Cs M0yds

H = i?— ----------------------------------------------------------- (89) í'ytds nds_

Jo EIz Jo AE

Para un arco de sección recta constante y empleando la notación

A* = ^ > la ecuación (89) se escribe

I M0yds

# =7^ -------------------- Ji * (90)

Jo y2d3 + ¿2io * El segimdo término del denominador representa el efecto de

acortamiento de la línea media del arco, debido a la compresión

longitudinal. En muchos casos, es pequeño y puede despreciarse. Por

tanto, C M 0yds

fl=7^r m

Sea, por ejemplo, un arco parabólico con carga uniformemente

distribuida a lo largo de la luz, cuya línea media tiene por ecuación 4 fx(l — x)

y — -J-Ar0 (e)

Tendremos

Sustituyendo (c) y (d) en la ecuación (91), se obtiene

de donde

PIEZAS CURVAS 99

El empuje real H será menor que el que da la ecuación (e). A tí

Para dar idea del error posible se da este valor en la tabla VI tí

para diversas proporciones de arcos x. Para el cálculo de esta ta

bla se ha utilizado la ecuación (88), para expresión de la energía de

deformación y supuesto que para cualquier sección del arco

EIX = COS <p

donde Ag y EIa son, respectivamente, el

área de la sección y la rigidez a la flexión del arco en la clave. <p es

el ángulo que forma cada sección con el eje y y h es la altura de la

sección en la clave.

A H El valor de H en la relación se ha deducido de la ecuación (e).

tí

Se ve que el error de la ecuación (e) tiene un valor apreciable

solamente en el caso de arcos rebajados de espesor considerable.

Como los estribos del arco son fijos, las variaciones de tem-

peratura pueden producir fatigas de consideración. Para calcular el

empuje debido a un aumento de t grados en la temperatura,

supondremos móvil uno de los extremos. En este caso, la dilatación

produciría un incremento en la luz del arco de valor la.t, siendo a el

coeficiente de dilatación del material que forma el arco. El empuje se

encontrará estableciendo que su valor es el necesario para producir

una disminución de la luz igual a cdt. Mediante el teorema de

Castigliano, se obtiene

dü d r» ¡ M* N2 \ , = — I 1 ds ----- v.lt. (/)

dH Jo \2EIZ 2AE dH

TAB LA V I

/

i

i

i

l 12 8 4

h i 1 ' i i 1 1 1 1 l l 10 20 30 10 20 30 10 20 30

AH 0,1771 0,0513 0,0235 0,0837 0,0224 0,0101 0,0175 0,0044

4 0,0019

8 tí

A = COS <


Considerando solamente el efecto térmico y poniendo Mü =

0 y N = H, se deduce mediante la ecuación (/)

H =

En libros dedicados expresamente a teoría de estructuras,

pueden verse estudios más detallados de las fatigas en arcos 41,

15. Fatigas en un volante.—Debido al efecto de los brazos, la

llanta de un volante experimenta al girar, no sólo extensión,

sino también flexión. Aislemos un trozo de la llanta —figura 69 (b)—

mediante dos secciones bisectoras de ios auguios entre brazos. Sea

R — el radio de la línea media de la llanta.

. A = el área de la sección de la llanta.

A1 — el área de la sección de un brazo.

I = el momento de inercia de la sección de la llanta.

2a — el ángulo entre dos brazos consecutivos. q = el peso de la llanta

por unidad de longitud de la línea media. ql = el peso de un brazo por

unidad de longitud, oo = la velocidad angular del volante.

Por simetría en las secciones A y B, no existen fatigas cortantes y

las fuerzas internas en dichas secciones se reducen a la

41 Johnson, Bryan y Turneare, Modem Framed Structures, segunda

parte. Véase también Weyrauch, Theorie d. Elastichen Bodentrager, en E. Morscli. Schweizerische Bauzeitung, vol. 47.

' Se supone que el espesor de ia llanta es pequeño comparado con R , y

qUe se tiene en cuenta solamente la energía de flexión y tracción.

(92)

FIG. 69

MEZAS CURVAS 101

fnprzia longitudinal Nü y al momento flector M0. Siendo X la acción

ejercida por el brazo sobre la llanta, la ecuación de equilibrio del

trozo A B de la llanta es

2 iV0 sen a -(- X — 2 E42 sen a - w2 = 0, 9

de donde

N0 = ? w2i¿2 ----------- —. (a) g 2 sen a

La fuerza longitudinal N en la sección general mn es

m Ar , 9c°2-Rod a? gw2-#2 X C O S 9

N = N0 eos 9 -j- -------- 2R sen2 -t = -------------------------- --i. (o)

<7 2 g 2 sen a

El momento flector en dicha sección es

M = MÜ—NÜR(\ — eos9) + 2 sen2 - —Mn +sen2 -• (c)

g 2 sena 2

La fuerza X y el momento M0 no pueden determinarse por las

ecuaciones de la estática; pero se calculan mediante el teorema del

trabajo mínimo. La energía de deformación del trozo AB de la llanta

es 1

m + 2 rí

J„ i El J„ i 2EA

Tja fuerza extensora Nl en una sección general del brazo, situada

a la distancia r del centro de la rueda, es a

Nl = X + — (E2 — r2); 2 9

Por tanto, la energía de deformación del brazo será

ri r Nídr , \ v' =1 ¡2? (e)

42 La longitud del brazo se toma igual a ü; en ia realidad es algo

menor que R.

102 RESISTENCIA DE MATERTAT/E9

Las ecuaciones por las que se calculan M9 y X son

¿i (U\ + Ua) — 0, dM.

■J- {Ux + u2) = 0. 0 A

Sustituyendo los valores (d) y (e), se obtiene, mediante las

ecuaciones (/) y ( g ) ,

= — — (— - - - - - - - - - i) , 2 \ s e n a a /

2 qcü43R2 A = —

3 9 ~ h ( o + I A t

lumen 46, pág. 267, 1901, y H.. Brauer, Dirigiera Polytechn. Journ., página 353, 1908; véanse también J. G. Longbottom, Inst. Mech. Eng. Proc. London, pág. 43, 1924, y K. Reinhardt, Forschungsarbeiten, número 226, 1920. Un problema análogo se presenta al calcular las fatigas en los anillos de retención de los grandes turbogeneradores; véase 1£. Hcliwerin, Electrolechn. Ztschr., pág. 40, 1931.

(/)

(9)

(93)

(94)

i

PIEZAS CURVAS 103

donde

2 sen2 a \ 4

__ 1 /sen 2a a\ 1

2sen2a \ 4 2 / 2 a

En la tabla VII se dan los valores de las funciones /x y /2 para

diversos números de brazos.

Con esta tabla se determina el valor de la fuerza X mediante

la ecuación (94) y el momento flector M 0 por la ecuación (93). De

este modo, y mediante las ecuaciones (a), (b ) y (c), se determina la

fuerza longitudinal y el momento flector para cualquier sección

m n de la llanta *.

/2(«)

TABLA VII

n = 4 6 8

/ i (* ' 0,643 0,957 1,274

h (a) 0,00608 0,00169 0,00076

104 RESISTENCIA DE MATERTAT/E9

Sea por ejemplo, un volante de acero que hace 600 revoluciones

por minuto, de radio i? = 150 cm.; la sección de la llanta es

cuadrada, de 30 X 30 cm., y tiene seis brazos de sección 150 cm.2.

Considerada la llanta como anillo giratorio que puede dilatar

libremente, la fatiga de extensión que correspondería en virtud de

la fuerza centrífuga es (ecuación 115, Primera parle) a0 = 720

kg./cm.2. En el caso de seis brazos, a = 30°, /j (a) = 0,957, /2 (a) =

0,00169. La fuerza en cada brazo, ecuación (94), será

X = * ± ______________ 0.0893 . 3 0 é*L 0.00169 + 0,957 + — 9

I A,

La fuerza longitudinal en la sección que biseca el ángulo entre

brazos es, ecuación (a),

s, = 321? _ 0.0893«í¿í _ 0,911 «EE. 9 9 9

El momento flector en la misma sección (ecuación 93) es M0=

— 0,605

9

La fatiga máxima en esta sección es

= ~ ~ ^ = 750 kg./cm.*. A Z

Para la sección de la llanta situada en el eje del brazo, las

ecuaciones (6) y (c) dan

(iV) = 0,923 (M) =1,19^-^. 9 9

La fatiga máxima para esta sección es

cmáx = 845 kg./cm.* .


En este caso, el efecto de la flexión de la llanta sobre la fatiga

máxima es pequeño y el cálculo de las fatigas en dicha llanta,

considerándola como anillo giratorio libre, da resultado

satisfactorio.

16. Elástica de una barra con una línea media circular.—

En el caso de una pieza curva delgada con línea media circular, la

ecuación diferencial de la elástica es análoga a la de una pieza

recta (ecuación (a), pág. 130, Primera parte). Sea ABCD (figura 70)

la línea media de un anillo circular después de la defor

mación y representemos con u el pequeño corrimiento radial

durante la deformación. La variación de la curvatura de la línea

media durante la flexión puede estudiarse considerando un

elemento del anillo mn y el correspondiente mpiy del anillo de-

formado comprendido entre los mismos radios —fig. 70 (b)—. La

longitud inicial y la curvatura inicial del elemento mn son

ds = iMcp; ^ = i. (a) ds Rdy R v

Para deformaciones pequeñas, la curvatura del mismo ele-

mento después de la deformación puede tomarse igual a la curva-

tura del elemento m^nx> Esta última viene dada por la ecuación

1 dq A drp (b)

R¡ ds Ads

donde d<p + Adcp representa el ángulo que forman las secciones


PR3

normales en m1 y n1 de la barra deformada y ds ~ Ads la longitud

del elemento mxnv El corrimiento u se considera positivo hacia el

centro del anillo y se supone muypequeñocomparado

con el radioR. El ángulo queforman la tangente en m1

a la lí

nea media y la normal al radio mxo es El ángulo correspondiente

en la sección nx vale

du , d2u 7 1 ds. ds ds2

Por consiguiente, . , d2u , Adcp = — ds. (c)

ds2

La longitud del elemento mxnx, despreciando cantidades de

segundo orden, puede tomarse igual a (R — u) dip y, por tanto,

A ds = — ud'o = — (d)

Sustituyendo (c) y (d) en la ecuación (b), se obtiene

1 ds2 Rx

‘Mí

despreciando cantidades de orden superior, sale

= — = I / i + M + ^, Rx ds\ Rf ds2 R\ Rl ds2

de donde 1 1 _ u d2u J1~R~R2 ds2’ W

La relación que liga el cambio de curvatura con el valor del

momento flector para piezas delgadas, deducida de ia ecuación

(67), es

PIEZAS CUEVAS 107

1 1 M

El signo menos del segundo miembro se debe a que se toma el

momento flector como positivo cuando produce una disminución de

la curvatura inicial de la pieza (fig. 47). De las ecuaciones (e) y (/)

se deduce que

+ (95, da2 R2 El

La ecuación (95) es la ecuación diferencia] de la elástica co-

rrespondiente a una pieza curva delgada con línea media cir cular.

Para un valor infinitamente grande de i?, esta ecuación coincide

con la ecuación (79), Primera 'parte, correspondiente a piezas

rectas.

Como ejemplo de aplicación de la ecuación (95), considera-

remos el problema de la figura 58. El momento flector en una

sección general mínx es, ecuación (c), pág. 85:

M PR< PR ¡ 2\

= ----- | eos ® - |> 2 \ n)

y la ecuación (95) será

d2u u PR 12 ----------- == ------ 1 ------ eos da* R2 2 ElV

d2u PR312 \ — 4-u = --------- ( ----- eos®).

dep2 2 El\* }

La solución general de esta ecuación es

, _ PR3 PR3

t = A eos ® 4- B sen ® 4 ® sen ®.

EIn 4 El '

Las constantes de integración A y B se determinan por las

condiciones de simetría.

<?)


PR3

dU rv A n

— = 0, paraip = 0ypara <p = —

d<p 2

Las que se satisfacen tomando

PIEZAS .CURVAS

Por consiguiente,

PRa eos ©. 4 El

/ i _PRall 1\ . .

( U ) v = ° ~^/\n~4) ’ ( U ) < P

Estos resultados están de completo acuerdo con las ecuaciones

(86) y (87), obtenidas con anterioridad empleando el teorema de

Castigliano 44.

17. Deformación de barras con una pequeña curvatura inicial.—

Si una pieza con pequeña curvatura inicial se flexa solamente por

fuerzas transversales, pueden calcularse las flechas por el método

utilizado para una barra recta. Las condiciones, sin embargo, son

diferentes si existen fuerzas longitudinales, además de las

transversales. Una curvatura inicial pequeña cambia de gran

manera el efecto de las fuerzas longitudinales en la deformación. La

solución de este problema se simplifica utilizando las series

trigonométricas para expresar analíticamente la forma inicial de la

pieza y la elástica debida a la flexión 2.

Se supone, como anteriormente, que la pieza curva tiene un

plano de simetría en el que obran las fuerzas externas y que los

extremos de la pieza están simplemente apoyados. Sea y0 la or-

denada inicial de la línea media de la pieza medida desde la cuerda

que une los centros de gravedad de las secciones extremas e y1 las

flechas producidas por las fuerzas exteriores. Las ordenadas totales

después de la flexión son

y = yo + Vv

44 Véase la publicación del autor, Fetschrift zurrí siebzigsten Ge- burstage

A. Foppl, pág. 74.

PR3 PR3

PR3 ' 7C == __________

2 El

(a)

108 RESISTENCIA T>E M ATEPT AT.ES

La expresión analítica de la forma inicial o estado natural de la

barra es nx 2nx ,

!h — Ben b 2 sen b • • • (0)

í l

y la flecha producida por la carga será

nx 27ix

U\ == ai sen - . + «2 sen — b • • • fe) l I

En este caso puede utilizarse la ecuación (53), que da la energía

de deformación para barras rectas. Suponiendo la pieza cargada en

la forma que indica la figura 35, es necesario, al calcular el trabajo

que dan las fuerzas longitudinales S, reemplazar la cantidad X

(véase ecuación 56) por

, / r v l - ; . ( D " —2 y n = oc n — oc \

- (2E n2anbn -f 2 n2aí\, (96) 41 \ n = l ti=l I

que representa el corrimiento de uno de los extremos de la barra

hacia el otro durante la deformación.

Procediendo como en el caso de piezas rectas (pág. 51), y TbTZCC

dando a la barra una deformación virtual dan sen —j- , el trabajo de

las fuerzas 8 para este corrimiento será „ ¿(Xj — Xu) , 0 n 2 7t2 8 ---- — da„ = 8 (an + bn)dan.

can 21

El trabajo realizado por la carga P es

P sen dan l

y el incremento de la energía de deformación, deducido de la

ecuación (53), vale EIni 4 A ——

n*andan.

2l3

La ecuación para el cálculo de an será

EIn45 , , „ TITZC 7 , fIr¿%2 , , ,

45

Vx = —: ------------

1 — a

FIEZAS CURVAS 109

, ,

dan = 1 sen dan -4- S — (an 4- b,.) dan, 2 ¿s L 2¿ .

Las ordenadas totales de la línea media después de la flexión son

TZX

xb sen — 1 , TZX b TZX

V*=yx + Ve = — ---------------- V b sen — = --------- sen —. (98) 1 — a l 1 — a L

Debido a las fuerzas S de compresión axial, las ordenadas

de ia línea media aumentan en la relación -—; es decir, que I — x


de donde 2 PP sen ^ + Sn*TzV.2bn

l

a* ~~ EITZH* — Sn*rPP

Sustituyendo en la expresión (c) y empleando la notación

SP --= a, EIv*

(7re T Z X 2nc 2 T Z X

sen — sen — sen sen ------------------- ti, l l

— + +

+ « ■ - - - - ( 9 7 )

El primer

término del

segundo miembro de la ecuación (97) representa la deformación de

una pieza recta (véase ecuación 58), mientras que el segundo

expresa la deformación adicional debido a la curvatura inicial.

Sea, por ejemplo, una barra de curvatura inicial yn= b 7Z X

sen ~j . La flecha en el centro de su cuerda es igual a 6. Si actuasen

solamente las fuerzas longitudinales (P = 0), la deformación en

dicha sección central producida por aquellas fuerzas se obtendría

mediante la ecuación (97), haciendo P = 0; b1 = 6; b<¡ — ó3 = • • •

=0. Por consiguiente, , T Z X

a o sen —

FIEZAS CURVAS 111

el aumento de las ordenadas depende del valor « de la relación entre

la fuerza longitudinal y la carga crítica. Si en lugar de fuerzas de

compresión actúan fuerzas longitudinales extensoras sobre la barra,

basta sustituir — a en vez de a en las ecuaciones anteriores. 7VCC

En el caso particular y Q — b sen las ordenadas de la lí- l

nea media, después de la deformación, serán

b y = — sen — • (99)

1 + a 1

Se ve que la fuerza longitudinal extensora disminuye las or-

denadas iniciales. Tomando, por ejemplo, a = 1, es decir, suponiendo

que la fuerza longitudinal extensora es igual ai valor crítico, se

tiene

1 , 7X X

y = - o sen —> 2 l

es decir, en este caso la fuerza longitudinal reduce a la mitad las

ordenadas iniciales de la barra.

18. Flexión de tubos curvos.—Al analizar la distribución de las

fatigas de flexión en piezas curvas (artículo 11), se supuso que la

forma de las secciones rectas permanece invariable. Tal suposición

está justificada para piezas macizas, puesto que los pequeños

desplazamientos que acontecen en el plano de la sección, debidos a

la contracción y expansión transversal, no tienen efecto apreciable

en la distribución de las fatigas. El fenó- meno es muy diferente

cuando se flexan tubos delgados. La experiencia prueba que los

tubos curvos de pared delgada solicitados a flexión son más flexibles

que lo que se desprende de aplicar la teoría corriente de barras

curvas 46. En este caso, es necesario considerar el cambio de forma

de la sección durante la flexión 47. Consideremos un elemento

comprendido entre dos

46 Multitud de trabajos experimentales sobre flexibilidad de tubos a

flexión han sido realizados por A. Bartlin, V. U. /., vol. 54, pág. 45, 1910, y Forschungsarbeiten, núm. 96. Véanse también W. Hovgaard, Journal of Maíh. and Phys. Mass. Institute oj Technology, vol. 7, 1928, y A. M. Wahl, Trans. Amar. Soc. Mech. Eng., vol. 49, 1927.

47 Este problema para tubos de sección circular fué analizado por Til. Karman, V. D. I., vol. 55, pág. 1889, 1911. El caso de tubos cui-

112 RESISTENCIA DE MATERT V DES

secciones adyacentes de un tubo curvo (fig. 71) flexado por pares

de la dirección indicada. Puesto que tanto las fuerzas extensoras del

lado convexo del tubo como las compresoras del lado cóncavo tienen

resultantes hacia la línea neutra, las secciones rectas

primitivamente circulares se convierten en elípticas. Esta

flexibilidad de las secciones afecta a la deformación de las fibras

longitudinales del tubo. La fibra exterior ab toma la posición a1ó1

después de la flexión; representemos su desplazamiento hacia el eje

neutro con 8. El alargamiento total de la fibra es alb1 — ab = albl — axex — (ab — a^). (a)

El ángulo que forman las secciones ac y bd se representa por

d<p; su variación en virtud de la flexión, por Adrp; el radio de la

línea media, por R, y el radio de la superficie media del d

tubo, por a. Se supone que la relación — es lo suficientemen-

R

te pequeña para que pueda suponerse que la línea neutra pasa por

el centro de gravedad de la sección recta. De la figura se deduce

axbx — axex = (a — 8) Ad<p^ aAdtp 48.

El alargamiento total de la fibra ab, dado por la ecuación (a), es

aAdrp — Sdqj y

el alargamiento unitario

aAd<p — 8d<p a Adqp 8

(R -f- a)d<f, R -f- a d cp R -j- a

El primer término del segundo miembro de esta ecuación re-

presenta la deformación de la fibra debida al giro de la sección bd

respecto a la ac. Este alargamiento es el que hemos considerado en

la flexión de piezas macizas. El segundo término de dicho segundo

miembro de la ecuación (ó) representa el efecto de la flexibilidad de

la sección. Se ve que este efecto puede tener considerable

importancia. Sea, por ejemplo, tí -f a = 150 cm. y

á 1 f 8 =s 0,05 cin. Tendremos 7J = y la fatiga corres-

tí -f- a 3000

pondiente para un tubo de acero de E = 2,1 X lü6 kg./cm.2 valdrá 700

kg./cm.2. Por consiguiente, un ligero aplastamiento de la sección

produce una disminución considerable en la fatiga correspondiente

48 El corrimiento 8 se supone muy pequeño comparado con el radio

a.

PIEZAS CURVAS 113

a la fibra más alejada ab. La misma conclusión

se deduciría para la fibra cd del lado cóncavo. Si el momento flector

cambia de dirección, se origina un cambio de signo en las fatigas

normales y, por consecuencia, en lugar de un aplastamiento del

tubo en dirección radial, acontece un aplastamiento de dirección

perpendicular al plano de la figura 71, y la fibra ab, debido a este

aplastamiento se desplaza hacia afuera. Mediante ün razonamiento

análogo al expuesto, se vería que nuevamente el aplastamiento del

tubo produce una disminución de la fatiga en las fibras más

alejadas de la línea neutra. Se deduce, por consiguiente, que las

fibras del tubo más alejadas de la línea neutra no alcanzan la fatiga

que indica la teoría ordinaria de la flexión. Acontece igual que si

hubiese disminuido el momento de inercia de la sección. En lugar

de la ecuación (67) deducida para piezas macizas, puede emplearse

la siguiente cuando se quieren calcular deformaciones de tubos

delgados:

A d<? = MRd9 (100)

* LEI,

114 RESISTENCIA DE MATERT V DES

donde I: es utv factor numérico menor que la unidad y cuyo valor

depende dei aplastamiento. En función de las dimensiones del tubo,

puede calcularse por la fórmula aproximada siguiente x: 9

ife = 1 io+12g)’ COI)

donde t es el espesor del tubo. Se ve que el efecto del aplasta- tü

miento depende, por consiguiente, del valor de la relación •

El estudio realizado por Karman muestra que la distribución Jtyf ?/

de fatigas normales no sigue la sencilla ley 2 a = , en la que y ¿Z

representa la distancia a la línea neutra, sino que debe emplearse

la ecuación siguiente:

" ~ w, Y

donde 6

La fatiga máxima, deducida de (c), es

®ináx ~ ^1 _’

(1^2)

2 tz

donde d es el diámetro exterior del tubo y

Je —: ^ 1 3¿V3|

un factor numérico que depende de las dimensiones del tubo. En la

tabla VHI se dan algunos valores de kv

&XSISTES0IA DI MATEBIAIJIS.—1. 11 8

(c)

TABLA VIII

t R

^=°>3 0,6 1,0

¿i = 1,98

t - - i .. ■ i,—, 1,30 0,88

1 Véase la publicación de Th. Karman, ya citada, pág. 110. 8 Se supone que R es grande comparado con o, y que la distribución lineal de fatigas da resultados suficientemente exactos.

PIEZAS CITRVAS 115

tH Se ve que cuando —¿ es pequeño, la fatiga máxima real es

Cb

muy superior a la que se obtiene por la teoría corriente, despre-

ciando el aplastamiento de la sección.

Una teoría análoga a la expuesta ha sido desarrollada para el

caso de un tubo de sección rectangular L En el caso de que el tubo

delgado tenga sección cuadrada, el coeficiente le de la ecuación (100)

depende del valor de la relación b*

n = ------- , RH*

donde t es el espesor de la pared; R, el radio de la línea media del

tubo, y b, la longitud del lado de la sección. El valor de k es

k _ 1 + 0,0270 a ~ 1 + 0,0656»

Por ejemplo, si — = 0,1 y ^ = 50, se obtiene n = 25, y R *

por la ecuación (103), k = 0,63. La fatiga máxima en tubos de

sección rectangular aumenta en la misma proporción que la fle-

xibilidad; es decir, que en el ejemplo anterior el aplastamiento de la

sección aumenta la fatiga máxima en un 60

por 100, aproximadamente.

Si la sección de una pieza curva tiene

alas de anchura considerable, nuevamente

tiene importancia práctica la distorsión de

la sección. Este problema se presenta, por

ejemplo, al estudiar las fatigas de flexión en

un ángulo de un pórtico con sección en I —

fig. 72 (a)—. Considerando un elemento del

pórtico entre dos secciones consecutivas mn y m1a1, se ve que las

fatigas longitudinales de flexión o en las alas dan componentes en

dirección radial que tienden a flexar las alas —fig. 72 (b)—. De esta

flexión se origina una disminución de la fatiga longitudinal de

flexión a en los trozos de las alas a distancia considerable del alma.

Para tener en cuenta este hecho se utiliza un ancho efectivo ab del

ala al emplear la fórmu

(103)


la (75) para la sección en I. El valor del factor a depende, como es

natural, déla flexibilidad de las alas, cuyo valor puede expresarse

por la cantidad (d)

donde t es el espesor del ala y r su radio de

curvatura. Para el ala del intradós, r — a, y para el ala exterior, r =

c. Los cálculos muestran que si (3 < 0,65, la flexión de las alas puede

despreciarse y se puede aplicar directamente la teoría desarrollada

en el artículo 11. Para valores mayores de fü se emplea la fórmula

(«)

que da 49 el ancho efectivo de un ala.

Sea, por ejemplo, el ancho de un ala, ó = 15 cm.; el radio

correspondiente, r = 20 cm., y el espesor, t = 2,5 cm. Por la fórmula

(d) se obtiene (3 = 2,80, y la anchura efectiva del ala, 0,35 X 15 =

5,25 cm.

19. Flexión de una barra curva fuera del plano de curvatura

inicial.—En lo anteriormente expuesto se ha supuesto siempre que

la flexión de la pieza curva acontecía en su plano inicial de

curvatura. Hay casos, sin embargo, en los que las fuerzas que

solicitan una barra curva no obran en el plano de la línea media de

la barra 50.

49 Para deducir esta fórmula, véase la tesis doctoral de Otto Stein-

hardt, Darmstadt, 1938. Los- experimentos realizados por Steinhardt están de acuerdo con la fórmula.

50 Varios problemas de este género han sido analizados por I. Stutz, Zeitschrift. d. Ósterr. Arch. v. Ing. Ver., pág. 682, 1904; H. Müller Bres- lau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, 2.a ed., pág. 258, 1913, y 4.a ed., pág. 265, y B. G. Kannenberg, Der Eisenbau, pág. 329, 1913. Ei caso de un anillo circular apoyado en varios puntos y solicitado por fuerzas perpendiculares al plano del anillo, ha sido analizado por E. Düsterbehn, Der Eisenbau, pág. 73, 1920, y por G. Unold, Fors- chungsarbeiten, núm. 255, Berlín, 1922. El mismo problema ha sido es-tudiado por C. B. Biezeuo, utilizando el método del trabajo mínimo (De lngenieur, 1927, y Zeitschrift. f. angew. Math. u. Mech,., vol. 8, página 237, 1928). La aplicación de las series trigonométricas al mismo caso ha sido expuesta por C. B. Biezeno y J. J. Koch, Zeitsehr. f. angew. Math. u. Mech., vol. 16, pág. 321, 1936. El problema tiene importancia práctica en el proyecto de tuberías para conducción de vapor. La bibliografía correspondiente figura en la publicación de H. E. May- rose, Journal of Ayylled Meehanics, Trans. A. S. M. E., vol. 4, pági-

PIEZAS CITRVAS 117

En este caso, es necesario considerar la deformación de la barra

en dos planos perpendiculares y también su torsión. Un ejemplo

sencillo de este género se ve en la figura 73 (a), en

la que un trozo de anillo circular horizontal, empotrado en A,

está

solicitado por una fuerza vertical P

aplicada en el extremo B l.

Considerando una sección general

de la barra D y tomando los ejes

coordenados como indican las figuras

73 (ó) y 73 (c) 2, se ve que los momentos

de la fuerza exterior P respecto a

dichos ejes son

Mediante estas expresiones se

calculan fácilmente las fatigas de

flexión y torsión para cualquier sección

de la pieza. Para el cálculo

de la flecha en el extremo B aplicaremos el teorema de Castigliano.

Suponiendo que las dimensiones de la sección recta de la pieza son

pequeñas comparadas con el radio R y aplicando las fórmulas de las

barras rectas (véanse págs. 285 y 289, Primera parte), la expresión

de la energía de deformación será, en nuestro caso,

tb)

donde O representa la rigidez a la torsión de la pieza 3. La flecha

pedida será, por consiguiente,

na 89, 1937. Véase también el libro de A. H. Gibson y E. G. Ritchie, A Study of the Circular-Aro Bow-Oirder, Londres, 1914.

1 Este problema fue estudiado por Saint-Venant, Comptes Ren- dus, vol. 17, París, 1843.

* Se ha supuesto que el eje horizontal x y el vertical y son los ejes de simetría de la sección, y que el eje z es tangente a la línea media del anillo en D.

3 El cálculo de C, para formas diversas de la sección transversal, se verá en el capítulo VL

0

B

Fio. 73

Mx — —PE sen (a—<p), Mv = 0,

■PIEZAS CURVAS 118

Poniendo, en vez de U, la expresión (ó) v observando que

c>M.r „ . . ¿M, = R [1 — eos (a ■— rp)], óP

dP

se obtiene

7Z

Eu el caso particular, a — será Z

EIX /3 tc (?-)}

Si la sección del anillo es circular, G = GIp = 2(7/x;

tomando P = 2,6 tí, se tiene

PP3

EL!

Como ejemplo de casos hiperestáticos, consideraremos

una pieza semicircular horizontal con los extremos empotrados y

cargada en su sección central —figura 74 (a).

Teniendo en cuenta solamente las

pequeñas deformaciones verticales de

la pieza, operamos con suficiente

aproximación, pues los corrimientos

horizontales, que despreciamos, son

cantidades de orden superior respecto

de las primeras. No hay, por

consiguiente, flexión del anillo en su

plano y no existirán momentos ni

fuerzas en

este plano en los extremos A y B. Considerando el extremo em-

potrado B, se deduce de las condiciones de equilibrio que en él

actuará una reacción vertical — y el momento Mx0 Z

bién existirá el momento Mz0, que impide girar a la

sección extrema B alrededor del eje z0% El valor de este momento

no pue-

■ R sen (a — <p) y

¡3 p|

* Jo | PR? É l sen2 (a 8 = ■ cos (« — ?)]2'd?. (104)

(e) ¿7

(105)

FIG. 74

PR . Tam

PIEZAS CURVAS 119

de determinarse por la estática; lo encontraremos aplicando el

principio del trabajo mínimo. De este modo, tendremos

— = 0. (d) éMt0

Para obtener la energía de deformación de la pieza, repre-

sentaremos los momentos aplicados en el extremo B por los PR

vectores —y y Mz0, tal como indica la figura 74 (6). Por tanto,

los momentos Mx y Mz, en la sección general D, serán

™ PR PR Mx = coscp — iue0sen9 sen<p, (e)

2 2

PR PR Mz = -- sen <p + M,0 eos © ------------ (1-— eos <p), (/)

2 2

y la expresión de la energía de deformación es

ü=2 Í l^- +^*)Rd9. (g) Jo \2EI, 20/

Sustituyendo este valor en la ecuación (d) y observando que

dMx ¿Mz — sen ©, = eos ©

dMz0 se obtiene

•K i n t P R , , ,P R \ ,

I i —- sen2 <p -f- Mz, sen2 ¡p sen <p eos <p ( d tp Pl* J o \ 2 2 /

7T

1 /*2 rPR PR i — I I — sentp COS9 -j- üfZ0cos2® ----------- (1 —coscp) eos ©d © = 0,

CJ0 L 2 2 J

de donde Mz, = ™ —1 j = — 0,182 PR.(106)

El signo menos indica que la dirección de Mz, es opuesta a la que

representa la figura 74 (a). Conocido Mz{¡, se calcula el momento

flector y el torsor para cualquier sección mediante las expresiones (e)

y (/).


La flecha máxima acontece, evidentemente, bajo la carga y se

obtiene con facilidad mediante el teorema de Castigliano:

8 = — • (h) óP

Sustituyendo la expresión (g) en lugar de U, y observando que dMx R

- ------ =— (eos MZ R ..

= — (sen <p -f eos 9 — 1), (*) óP 2

Al calcular las derivadas parciales (i), no se ha terftdo en

cuenta el hecho de que el momento torsor Mz0 no es una cantidad

independiente, sino que es una función de P, tal como indica la

expresión (106).

Al tomar esto en consideración, el segundo miembro de la

ecuación (h) deberá escribirse en la forma

*ü *ü_ ,

dP sMl0 dP

Pero como el segundo término de esta expresión es nulo, en virtud

de la ecuación (d), el cálculo realizado para hallar el valor de Ó

resulta correcto.

Problemas

1. Una pieza curva con eje circular y abertura « = ~ (fig. 73)

está solicitada por un par torsor Mz = T, aplicado en el extremo B.

Hallar la flecha vertical del punto B.

¡¡■expuesta: Suponiendo EIX : G — 1,3,

se obtiene

PR3 (2_0,363,(í-I)+f[,2-0.363,g + í)

+ * — 4 + 0,363jj =0,514^1. (107)

8 = 2EIX

2 I 2 EIr

PIEZAS CURVAS 121

2. Resolver el problema anterior, suponiendo aplicado en el ex-

tremo B un par flector Mx = Ma en el plano vertical tangente a la línea

media en B.

Respuesta:

,M„Ra 8 = 1.150

KIr

3. Una pieza semicircular, con la línea media en un plano hori-

zontal, está empotrada en A y B, y cargada simétricamente con las

fuerzas P en G y D (fig. 7o). Hallar los mo-

*//, __________ *•' ///* mentos torsores Mz(¡ en los

empotramientos.

Respuesta:

|PIi g — eos ¡3 — ¡

4. Res

olver el problema anterior para el caso de una carga

vertical uniforme de intensidad q, distribuida sobre la longitud total

de la pieza.

Respuesta: =-0,32ÍR>.

5. La barra semicircular horizontal de la

figura 75 está cargada del modo indicado en el problema anterior y,

además, apoyada en la sección central P. Hallar la reacción vertical de

dicho apoyo F. Respuesta: N = 2 Rg.

>).

M„

CAPÍTULO III

PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS

20. Flexión de una placa en superficie cilindrica.—Supon-

gamos que una placa rectangular de espesor uniforme h se flexa

en forma de superficie cilindrica 51 (figura 76).

En este caso basta considerar una tira de

anchura unidad, tal como A B, como una viga

de sección rectangular y luz l. De la condición

de continuidad de la placa se deduce que la

sección transversal de la tira no sufre la

distorsión indicada en la figura 77 (6), página

85,

Primera parte. Por consiguiente, una fibra longitudinal de la tira,

tal como ss (fig. 77), sufre, no solamente la fatiga extensora

longitudinal ax, sino otra fatiga <sz de direc

ción transversal tal que impida la contracción lateral de la fibra.

Supondremos como anteriormente (véase pág. 84, Primera parte),

51 Una flexión de esta naturaleza se presenta en el caso de placas

rectangulares largas, si las fuerzas que actúan no varían a lo largo de la placa y se considera únicamente un trozo de la placa a suficiente distancia de los extremos.


que las secciones de la tira permanecen planas durante la flexión.

De esto se deduce que los alargamientos unitarios en las

direcciones x y z son

Las fatigas correspondientes en las direcciones x y z se obtienen

mediante las fórmulas del estado elástico doble (véanse ecuaciones

38, pág. 50, Primera parte), SzE Ey [iezE pJSy

- — — - • ------------------ a, = ------------ —

1 —¡r2 (1— ¡x2)r 1 —(X2 (1 — íxa) r

Procediendo como en el caso de flexión de una viga y calculando

el momento flector en una sección general de la tira, se tiene h h

* + S Z7» /*+ ó

M = f 2 axydy = ------------ - ------------- f

h " ~ 12(1 — y?)r 2

de donde

1 M r~ D siendo

D = ------- — ---------------------------------- (109) 12(1 —p2)

Esta cantidad se denomina rigidez a la flexión de una placa y

sustituye al valor Elz, utilizado en el estudio de vigas. Comparando

la ecuación (108) para una tira con la ecuación (56),

Primera parte, correspondiente a M ¡*i— ¿

Ti una rága, se ve que la rigidez de ■■■■■ J' ^\a la tira en la

placa es mayor que si

1/ yestuviese aislada

y que la relación

FIG. 78 de lasrigideces es 1: (1 —

p2).

Por vía experimental, se ha

visto que en el caso de flexión de una tira delgada aislada de

considerable anchura b, se presenta la distorsión de las secciones

únicamente en las proximidades de los bordes —fig. 78 (6)— y que

la parte central de la tira aa se flexa en forma cilindrica puede, por

tanto, aplicarse la ecuación (108) en el cálculo de las deformaciones

de la pletina, que será más rígida de lo que indican las fórmulas

(108)

'Cr

PLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 123

corrientes de vigas.

124 RESISTENCTA DE MATERIALES

1 + a = x . (/)

Para deformaciones pequeñas de la tira AB (fig. 77), la cur-

vatura * puede reemplazarse por su valor aproximado ~ y la

ecuación diferencial de la elásticade la tira es

D^y= — M. (110) dx2 '

El estudio de la flexión de una placa que, deformada, es una

superficie cilindrica, requiere la integración de esta ecuación. Un

caso particular de este tipo de flexión, cuando la carga está uni-

formemente distribuida, se estudia en el artículo siguiente.

21. Flexión de una placa rectangular de gran longitud, cargada

uniformemente.—Si una placa rectangular cuya longitud es grande

comparada con su ancho, está uniformemente cargada, puede

suponerse que en la región central, donde la flecha y las fatigas

son máximas, la superficie elástica es, aproximadamente,

cilindrica y que puede emplearse la ecuación (110) para su cálculo

L Resolveremos este importante problema 2 para dos condiciones

en los bordes: 1.° Los bordes de la placa están apoyados y pueden

girar libremente durante la flexión, y 2.° Los bordes están

empotrados. En ambos casos se supone que no hay corrimientos de

los bordes en el plano de la placa. Con esta hipótesis, una tira

elemental tal como la AB (fig. 76) está en las mismas condiciones

que una varilla con carga uniforme (véase artículo 6.°) y fuerzas

tensoras 8. El valor de las fuerzas S se encuentra estableciendo

que el alargamiento de la tira es igual a la diferencia entre la

longitud de su elástica y la longitud l de la cuerda AB (fig. 76).

Bordes simplemente apoyados.—En este caso se obtiene nn

valor bastante aproximado para S, suponiendo que ia elástica es

una curva

í nx / *

y = o sen —, (a)

donde 8

representa

la

flecha

en el centro. Empleando

la


ecuación

(56),

página

50,

el

alargamiento de

la línea

de

centros de

gravedad de la tira es

1 /W<b= 2 Jo \dx)

Tomando para la flecha en el centro el valor aproximado de la

ecuación (59), se tiene

8 - - A-. (O 1 + a

de donde S0 = JL^ y x = S:8er = ~-, (111)

384 D Dn*

sustituyendo en la ecuación (6), se obtiene

X (d) 41(1 + a)2

La contracción lateral de la tira en el plano de la placa durante

la flexión se supone nula; por tanto, y en virtud de las ecuaciones

(109) y (111), el alargamiento de la línea media de la tira producido

por las fuerzas 8 es

, Slll — u2) e2«P A = ------------------------------------= --------------- • (e)

Eh 121

Igualando (d) y (e), se obtiene la ecuación siguiente para a y,

por tanto, para determinar 8:

382 a(l + «)2 = -TT* (H2)

Si se da la carga qy las

dimensiones de la placa, se conocerá

el segundomiembrode la ecuación (112). Suresolución se sim

plifica poniendo


«a 2 3So ¡r3 —

a:2 = —-

es decir, la cantidad x es tal que se conoce la diferencia entre su

cubo y su cuadrado, por lo que puede averiguarse con facilidad en

una tabla apropiada y después deducirse a por la relación (/). La

flecha y fatigas de la tira AB se calculan empleando la tabla dada

para varillas (véase pág. 45). Para emplear esta tabla es necesario

recordar que, de las ecuaciones (23) y (111),

u = - = - Va. 1113) 2 2

Sea, porejemplo, una placa de aceroE = 2 X10® kg./cm.2,

de dimensiones l =108,5 cm. y h — 1 cm., cargada uniforme

mente a razón de q = 1 kg./cm.2.

La ecuación (112) será

a(l + a)2 = 290, (g) de donde

a = 5,97 y u = - Va = 3,83. 2

La fatiga de extensión

producida por la fuerza longitudi-

nal 8 es , _ S a.SCf 7.tt2D ~ h ~ ~h ~hP~

y el momento flector máximo en el centro de la lira, de la ecuación

(45), vale d»i(«¿). (h)

O

Empleando la tabla III, mencionada anteriormente, se en-

cuentra por interpolación, para u = 3,83, (u) = 0,131. Esto

muestra que por la acción de la fuerza longitudinal S, el momento

flector ha disminuido en gran parte y vale alrededor del 13 por 100,

del que correspondería a la carga transversal aislada. Empleando

la ecuación (h),

Entonces la ecuación será

913 kg. por cm.2


La fatiga máxima correspondiente a la flexión es

6 Mmix 6 x 1 9 3 1 1 K O , ax = ----------- = ----------------= 1,158 kg. por cm.2.

á2 l2

Superponiendo las dos clases de fatiga, se obtiene la fatiga

máxima

CTmáx = sí + «á = 913 + 1,158 = 2,071 kg. por cm.2.

Puede verse que, debido a la acción de la fuerza longitudinal, la

fatiga máxima no crece proporcionalmente a la intensidad de la

carga. Por ejemplo, supongamos, en el caso anterior, que sea q = 2

kg. por cm.2. De (g):

a(l + a)2 = 290 X 4 = 1,160, de donde

a = 9,85; u = 4,93.

La fatiga de extensión producida por la fuerza longitudinal S es a'x — - — 1,505 kg. por cm.2 h

(u) para u = 4,93 vale 0,082; luego

= = 6 x 2 X ÍO^2 = 1

45Q cm2

á2 8 X l2

La fatiga máxima total será g„„iv = GÍ -f- a"x — 1.505 +

1.450 = 2.955 kg. por cm.2.

Dicho de otro modo, debido a la acción de las fuerzas lon-

gitudinales 8, las fatigas aumentan menos rápidamente que la

carga. Cuando en nuestro caso la carga se duplica, la fatiga máxima

aumenta solamente en un 42 por 100.

Bordes empotrados.—En el caso de bordes empotrados, la

ecuación (a) se sustituye por la ecuación 52

S / 2 n x\ y = - 11 — eos , U 2l l )

52 Véanse las publicaciones del autor mencionadas anteriormente

página 46.

(Je)


la cual satisface a la condición de bordes empotrados, ya que la

flecha y y el giro son nulos para x = 0 y x = l.

Sustituyendo (Je) en la ecuación (b), el alargamiento de la

línea media de la tira es

2 J0 \dx) 41

Para la flecha en el centro emplearemos la ecuación aproximada

(62)

s _ So

y entre (l) y (e) deduciremos la siguiente ecuación para a:

a\2 38?, ■ M - S -

(‘ + í) - '• se obtiene

x? — x2 = - — • (m) 4 h2

En el ejemplo numérico anterior, con q = 1 kg. por

centímetro cuadrado, la ecuación (m) será

x? — x2 — 2,90

de donde

x = 1,849 y « = 3,40.

Por consiguiente, la fuerza extensora es menor que en el caso de

bordes apoyados que antes hemos considerado en la relación

y obtenemos 0,97

O 4A o' = —— X 913 = 520 kg. por cm.2.

5,97

Para el cálculo de las fatigas de flexión se emplea la tabla III de

la página 45. En nuestro caso, u — ^ Va = 2,89, y la tabla,

Y poniendo


por interpolación, da <i2 = 0,686, = 0,488. El momento flec

tor en cada borde empotrado es

M = — 0,686 — = — 674 kg. cm. 12

La fatiga máxima por flexión será

a'í — 4045 kg. por cm.2.

La fatiga máxima total es 53

ffmáx 54= ax + = 520 -f- 4045 = 4.565 kg. por em.z.

Comparando estas fatigas con las obtenidas anteriormente

para la misma placa con los bordes apoyados, se observará que al

empotrar los bordes aumenta la fatiga máxima. Este resultado se

explica del modo siguiente: Debido a estar los bordes empotrados,

la flecha de la placa es menor y, por tanto, la fuerza longitudinal 8

y su efecto sobre el momento flector se amortiguan. En el caso de

bordes apoyados, el momento flector máximo era solamente 0,131

del producido por la carga transversal sola. Pero en el caso de

bordes empotrados, el momento flector en estos bordes es 0,686

del que produce la carga transversal aislada; es decir, el efecto de

la fuerza longitudinal se acusa más en el caso de bordes apoyados.

Este método aproximado puede utilizarse en el cálculo de las

fatigas en las planchas del casco de un barco sometidas a la

presión hidrostática.

La fatiga máxima depende, evidentemente, de la intensidad

• de la carga q y de la relación La magnitud de esta fatiga para el

caso de bordes apoyados y diversos valores de la relación j, viene

dada mediante curvas2, en la figura 79. Se ve que a

tí

causa de las fuerzas de extensión 8, que aumentan con la carga, la

fatiga máxima no es proporcional a q; para valores grandes de q

esta fatiga no varía mucho con el espesor de la placa.

53 Véase el artículo del autor en el libro Festschrifl zurn Siebzigsten

Oeburtstage Auguet Fóppl, pág. 74, Berlín, 1923.

fiESISTESOIA I» MATlltlAMS.—T. II

54 Estas curvas están tomadas del estudio de S. Way, presentado a la reunión de Mecánica aplicada, A. S. M. E., New Haven, junio 1932.


En la figura 80 se dan las curvas de fatiga máxima para el caso

de placas con los bordes empotrados. Se ve que para pequeños

valores de la intensidad de la carga q, cuando el efecto de la fuerza

axial en las flechas de la tira es pequeño, la fatiga máxima crece,

aproximadamente, en la misma proporción que q.

Para valores mayores de q, la relación entre la carga y la fatiga

máxima no es lineal.

22. Deformación de placas rectangulares que tienen una pequeña

curvatura cilindrica inicial h—En este problema pueden utilizarse los

resultados anteriormente obtenidos para la flexión de vigas con una

pequeña curvatura inicial (pág. 109). Los bordes de la placa se

suponen apoyados y los ejes coordenados y la tira elemental se

toman tal como indica la figura 76. Sea

7T3J

2/o=6 sen (a) ¥

»

en s

pJ&GSS de tmp/em*v?

¿cero coz? fe apoydo /os ¿wdr-

- ih5^

lTI I 1 i l 1

^ í i ' ’ L

jé

X Ih'-.'lúO.'

•N Ih 8

'! 11 i 0'

jé

/

r

( JP*/<3C

ion ene/* ra-w/M

,

ror*¿

3.500

J 2JS00

7 00

0.7 2J

Carga an Á'g./cm*

Fio. 79

|

«5 t.voo

1SÓ fiESISTEUCÍA t>E MATERTARE9

la flecha inicial de la placa, cuya flecha máxima en el centro es b. Si

se la aplica una carga uniforme q, se produce una deformación

adicional acompañada de una extensión de la superficie media 1 de

la placa.

Sea, como anteriormente, 8 la fuerza extensora para la

Grrya m /(gs./c*»*

Fio. 80

tira AB de ancho de unidad y a la relación de esta fuerza a la

carga crítica 8a = —p-. La flecha adicional producida por la carga q

es 80 TZX a.b TZX

a.b TZX

sen — < 1 + a í

El primer término del segundo miembro

representa la expresión aproximada de la flecha en urna tira de

línea media recta, usado anteriormente para placas delgadas; el

segundo miembro representa el efecto de la curvatura inicial —

véase ecuación (d), página 109.

sen 1 -1- a l

Vi

PLACAS Y EITVOLVENTES DELGADAS 131

1 ■+ a = x;

Sumando (a) y (6), se obtiene la flecha total

, nx S„ nx <xó nx 5+8n nx , . y=y0 + yi=bBen — +:—sen-— sen— = - °sen— ... (c) í 1+a I 1 + a t 1+a l

La magnitud de a se determina considerando el alargamiento

de la tira AB. Con el mismo razonamiento del artículo anterior, se

obtiene para este alargamiento la expresión

í=i rm’dx-1- rm'ix. 2 J0\dx) 2 \dxf

Sustituyendo (a) y (c) en esta expresión e integrando, se

obtiene ¡b 8n\2

41

Igualando este valor a la extensión producida por la fuerza

longitudinal S —ecuación (e), pág. 124—, tendremos

\(b + M* H - 4¿ L\ 1 + a/ J 12/

o bien

(115)

Si 5 = 0, esta expresión se reduce a la ecuación (112) para la

placa delgada plana.

Sea, por ejemplo, una placa de acero de las dimensiones del

artículo anterior:

l = 108,5 cm., 5 = 1 cm., 2=1 kg. por cm.2

y supongamos 6=1 cm. Tendremos

5 ol:^ 8„ = ____ — = 9,85 cm., 0 384 £

y la ecuación (115) da

«(1 + a)2 = 353,2 — 3 (1 + a)2. (d)

Haremos, como anteriormente,

Sustituyendo, será


+ 2 a;2 = 353,2,

de donde

x = 6,45, a =5,45.

La fatiga de extensión producida por la fuerza longitudinal S

es S 0C7C 2D .

o* = — = --------- = 833 kg. por cm.2. h hl2 5 *

Esta fatiga es algo menor que la fatiga correspondiente para la

placa plana (véase pág. 125). Al calcular las fatigas por flexión,

debe tenerse en cuenta que la flecha dada por la ecuación (6)

consta de dos partes. La primera tiene la forma de la

correspondiente a una placa plana, y la segunda <x6 TZX

sen —, 1 -f- oc l

representa el efecto de la curvatura inicial. La fatiga máxima por

flexión correspondiente a la primera parte de la flecha para

a = 5,45; u = - Va = 3,67 y = 0,142 (tabla III, pág. 45), 2

es 1.250 kg. por cm.2. El momento flector correspondiente a la

segunda parte de la flecha es _ d2 I ab TZZ\ cuz2bD TZX , .

—D—| ---------------- sen — 1 = --------------- sen—• (e) dx2 \ 1 + a l } (1 + a) l2 l

Este momento tiene signo negativo y la fatiga máxima de

compresión que le corresponde es 6 oc7z2bD .

-------------------- = — 775 kg./cm.2. h2 (1 -{- a) i2

La unión de esta fatiga a la a' calculada anteriormente v a la

fatiga de 1.250 kg./cm.2 obtenida considerando a la placa como

plana, da la fatiga total ax = 833 -j- 1.250 — 775 = 1.308 kg. por cm.2.

Comparando este resultado con el deducido anteriormente para

una placa plana, se ve que ahora las fuerzas extensoras ¿J

SOD algo más pequeñas y que la fatiga de flexión en el centro es

mucho menor, debido al signo negativo del momento (e). Por efecto

de la curvatura inicial, la fatiga total se ha reducido desde el valor

de 2.071 kg. por cm.2, al de 1.308 kg. por cm.2. En nuestro caso, la


flecha inicial ha sido igual al espesor de la placa. Aumentando la

flecha inicial, puede reducirse en mayor grado la fatiga máxima.

23. Flexión pura en dos direcciones rectangulares.—Consi-

deremos primeramente una placa rectangular flexada por mo-

mentos distribuidos uniformemente a lo largo de sus bordes (figu-

ra 81). representa el momento flector por unidad de longi

tud en los bordes paralelos al eje y, y M2 es el momento por unidad

de longitud en los bordes paralelos al eje x.

El plano equidistante de las caras de la placa denominado

plano medio le tomaremos por plano xy, y el eje z, perpendicular a

este plano, le orientaremos hacia abajo. Consideremos un

elemento de la placa (fig. 82) aislado mediante dos pares de planos

paralelos a los xz e yz. La flexión pura de la placa se basa en la

hipótesis de que durante la flexión las caras laterales del elemento

permanecen planas y giran alrededor de las lineas neutras n-n. Si el sentido de los momentos es el de la figura 81, la parte

superior del elemento queda comprimida y la inferior extendida.

El plano medio n-n no experimenta deformación alguna durante la

flexión y es, por tanto, la superficie neutra. Sean

las curvaturas de dicha superficie neutra en secciones paralelas a

los planos zx y zy, respectivamente; ios alargamientos unita

FIG. 81 Fia. 82


rios en las direcciones x e y de una hoja elemental abcd situada a

la distancia z de la superficie neutra, por analogía al caso de una

viga (pág. 85, Primera parte), serán

s* = p % = («) r\ ' 2

Mediante las ecuaciones (38) (pág. 50, Primera parte), las fati-

gas correspondientes valen

^=-r1”2(1 + íx1)’

1 — ¡J.2 \rj r2l Ez

,, . , , (c)

( Í + , 1 ) . V2 rj

Estas fatigas son proporcionales a la distancia z

a la superficie neutra. Los momentos de las fuerzas internas que

obran sobre las caras igualados a los momentos exteriores, dan las

siguientes ecuaciones:

axzdydz = Mxdyf (d) h

üyzdxdz = M2dx. (e) h

2

Sustituyendo, en vez de ax y ay, las expresiones (b) y (c), y

teniendo en cuenta que

E r i -t2L

Siendo D la rigidez a la flexión de la placa

(ecuación 109), se tiene D(I + |i-) = Jfp

(116)

Vi rJ

Z ) ( - + f x ± ) = (117)

[X2

h + 2

I

£

n 12(1 —¡x2 2


Vi rj

expresiones análogas a la ecuación (56) (pág. 87, Primara parte),

correspondiente a la flexión pura de una barra recta.


Llamando w a las flechas de la placa, aproximadamente

tendremos 1 éhv 1 _ ¿hjo

r, óx2 r9 ¿'y2 r j w*, t g

Sustituyendo en (116) y (117), sale

\ x2 o y *

i2w . óho\

¡iho , ¿¿w\

D ( ^ + ^ - s ) = J Í -

Análogas a la ecuación (79) (pág. 130, Primera parte), que da la

ecuación diferencial de la elástica de una pieza recta. En el caso

particular de que M1 = M2 = M, la curvatura de la elástica de la

placa en dos direcciones perpendiculares es la misma y dicha

elástica es, por tanto, esférica. La curvatura de esa superficie

esférica deducida de la ecuación (116) es

M

D( 1 + ¡x)

Esta elástica, en forma de superficie esférica, corresponde a

una placa plana de cualquier forma, si está solicitada por un mo-

mento flector M uniformemente distribuido a lo largo de su borde.

Hasta ahora hemos supuesto que la superficie media de la

placa no experimenta deformación alguna; es decir, es una su-

perficie neutra. Esta condición puede satisfacerse únicamente de

modo riguroso si la elástica de la placa es una

superficie desarrollable: por ejemplo, la

superficie cilindrica del artículo anterior.

Para superficies no desarrollables solamente

es una aproximación, y para que resulte

suficiente es preciso que la flecha w de la

placa sea pequeña comparada con el espesor

h. Para ver esto, consideremos la

flexión de una placa circular producida por pares M repartidos

uniformemente a lo largo de su borde. De lo expuesto se deduce

que la elástica es una esfera de radio dado por la ecuación (120).

(118)

(119)

1 (120)


Sea AOB (fig. 83)la sección diametral de la placa flexada; a, su


radio exterior, y 5, la flecha en el centro. Supongamos primera-

mente que no hay deformación en el plano medio de la placa en

sentido transversal; se tendrá

En este caso, la flexión de la placa viene forzosamente acompa-

ñada de deformación en sentido circunferencial. El valor de esta

deformación en el borde de la placa es

a — aí r 9 — r sen 9 r 9

Para una flecha 8 pequeña, el ángulo 9 es

pequeño y puede escribirse

con suficiente aproximación, teniéndose

(f) Ahora bien,

Este valor representa el límite superior de la deformación

circunferencial en el borde. Se ha obtenido suponiendo nula la

deformación transversal. En realidad, existe cierta deformación

transversal y la deformación circunferencial verdadera es menor

que la dada por la ecuación (k) 55.

La teoría expuesta de la flexión de placas desprecia por com

55 Si las flechas no son pequeñas, y se considera la deformación de

la superficie inedia, se ve que en el caso do flexión pura de una placa circular de radio a =» 2 Mi la fatiga circunferencial de compresión en el bordo de la superficie media vale el 18 por 100 de la fatiga máxima por flexión cuando ia flecha en el centro es igual a seis décimos del espesor de la placa. Véase la publicación del autor en Memoirs of the Institute of Ways of Oommunication, San Petersburgo, 1915. Véase tam-bién Theory of Platea and Shella, 1940.

e a

6

e S_

3r (h)

de donde


pleto la deformación en el plano medio y considera solamente la

deformación dada por las ecuaciones (a), cuyo valor máximo

en el ejemplo expuesto sería Se deduce, por tanto, que la

deformación dada por (k) puede despreciarse y considerar como

neutra la superficie media cuando — sea pequeño comparado h con —; es decir, si la flecha 8 es pequeña comparada con el

espesor h de la placa. Solamente en esta hipótesis los resultados

que después obtendremos para casos concretos pueden utilizarse

con la aproximación deseada.

24. Fatigas de origen térmico en las placas.—La ecuación (120)

del artículo anterior se utiliza mucho para el cálculo de fatigas

debidas a un calentamiento irregular de una placa. Sea t la

diferencia de temperatura entre las caras superior e inferior de

una placa y a el coeficiente de dilatación lineal del material que la

forma. Suponiendo que la variación de temperatura a lo largo del

espesor de la placa sigue una ley lineal, las dilataciones

correspondientes también la seguirán, y si el borde de la placa

está libre, la elástica que tomará la placa será una superficie

esférica 56. La diferencia entre la dilatación imitaría

máxima y la dilatación en la superficie media es ^ y la cur- ¿i

vatui'a debida a esta dilatación variada la dará la ecuación

orí h

T ~ 2V

de donde ai

r ( n i )

Esta flexión de la placa no produce fatiga alguna con tal de

que el borde de la placa esté libre y que la flecha sea pequeña

comparada con el espesor.

Si, por el contrario, el borde de la placa está empotrado, el

calentamiento producirá momentos flectores a lo largo del borde.

56 Se supone que las flechas son pequeñas comparadas con el espe-

sor A de la placa.


El valor de este momento deberá eliminar la curvatura debida al

calentamiento irregular dada por la ecuación (121), para de este

modo satisfacer la condición de empotramiento. De las ecuaciones

(121) y (120), se obtiene para valor del momento por unidad de

longitud en el borde empotrado:

y.t(\ -j- [L)D h

Puesto que M obra sobre una sección rectangular de ancho

unidad y altura h, la fatiga máxima correspondiente será

Esta fatiga es proporcional al coeficiente de dilatación a, a la

diferencia de temperatura t57 entre las dos caras de la placa y al

módulo de elasticidad. La diferencia de temperatura t crece al

aumentar el espesor de la placa y, por consiguiente, las fatigas de

origen térmico son mayores en las placas gruesas que en las

delgadas. Conviene hacer notar que la ecuación (122), deducida

para placas planas, es válida también con suficiente aproximación

para chapas de forma esférica y cilindrica (véase pág. 267).

25. Flexión

de placas circulares cargadas simétricamente

respecto del centro ®. — En este caso, la

superficie elástica es simétrica respecto al

eje perpendicular a la placa en su centro, y

para estudiar las fatigas y deformaciones

basta considerar una seo- ción diametral

que pase por dicho eje. La figura 84

representa esa sección después de la deformación con su eje de

simetría oz. Sea w la flecha de la placa en un

57 t representa la diferencia de temperatura entre las dos caras de

la placa, y no entre los líquidos o gases en contacto con dichas caras. Esta última, debido al cambio brusco de temperatura en la superficie de la placa, puede ser mucho mayor que í.

M

6 M

h2 (122) ■)máx

h3 6a£(l + \i)D <xt E ~~ 2

1 — fX

FIG. 84


punto cualquiera maciones,

representa el eiro de la superficie elástica en dicho punto. La

curvatura de la placa en la sección diametral xz es

1 dhjo d© , . — = ------------- = (a)

r, dx2 dx

Para determinar el radio de curvatura r2 en dirección perpen-

dicular al plano xz, es necesario observar que después de la defor-

mación las secciones planas tales como nm, forman una superficie

cónica de vértice B, punto de intersección de nm con el eje oz. Por

tanto, AB es el valor del radio r% y de la figura se deduce

1 © - = ‘ - - (b) r2 x

Suponiendo que las relaciones establecidas entre curvaturas y

momentos flectores para el caso de flexión pura de una placa

(artículo 23) son válidas para el problema que nos ocupa, y sus-

tituyendo las expresiones (a) y (b) en las ecuaciones (116) y (117),

se V

obtiene - ------- ~CAJ&%zZ2r\- -----------

M1 = Dp + n (123) "La, ¿LJllT~r \dx xl

J,,_I>(? + |1|?). (124, ! ------------ \x dxI — "

Fio. 85

Igual que anteriormente Mx y M2 representan momentos

flectores por unidad de longitud, Mx, a lo largo de secciones

circunferenciales tales como mn, y M2, a lo largo de secciones

diametrales xz. Las ecuaciones (123) y (124) contienen solamente

una variable, <p, que se determina estableciendo el equilibrio de

un elemento de la placa abcd (fig. 85), separado mediante dos

secciones cilindricas ab y cd, y dos secciones diametrales ao y bo.

El par que obra sobre la cara cd del elemento es

MxxdQ. (c)

dw

dx


El par correspondiente en la cara ab es

(M1 + —58 dx) (x + dx)d%. (d) dx

Los pares sobre las caras ad y be valen cada uno M2dx y su

resultante en el plano xz es

M2dxdQ (e)

Además de estos pares, tendremos en las caras ab y cd las

fuerzas cortantes V x. Si V representa la fuerza cortante por

unidad de longitud, la total correspondiente a la cara cd del ele-

mento es VxdQ. Despreciando cantidades de orden superior, la

fuerza cortante sobre la cara ab tendrá el mismo valor. Estas dos

fuerzas dan un par en el plano xz igual a

VxdMx. (/)

Sumando los momentos (c), (d), (e) y (/), con sus signos, la

ecuación de equilibrio del elemento abed es

(Mx + dx) (x + dx)dQ — MxxdQ — M2dxdQ + VxdxdQ = 0, dx

de donde, despreciando cantidades de orden superior, se obtiene

M1 + d^x- Jf2 + Vx=0. (g)

dx

Sustituyendo, en vez de M í y M2, en la ecuación (g), los valores

(123) y (124), se obtiene

+ = (125)

dx2 x dx x2 D

En cada caso particular de carga simétrica sobre placa cir-

cular, se determina la fuerza cortante V mediante las ecuaciones

de la estática, y después, usando la ecuación (125), el giro 9 y la

flecha w de la placa. Sea, por ejemplo, una placa circular solicitada

por una carga uniforme de intensidad q y una fuerza concentrada

P aplicada en el centro. Cortando la placa por una su

58 Se deduce por simetría que sobre las caras be y ad del elemento

no actúa fuerza cortante alguna.


perficie cilindrica de eje oz y radio ox, la fuerza cortante V por

unidad de longitud se hallará estableciendo el equilibrio de la

parte interna de la placa. La carga exterior que actúa sobre dicho

trozo es P + rzx2q. Esta carga será igual a la resultante de las

fuerzas cortantes distribuidas sobre la sección cilindrica, y, por

tanto, 2nxV = P -f nx2q,

de donde

F = — -f —. (126) 2 2toc


d‘¿(p 1 dcp 9 1f qx

dx2 xdx x2 D

j^ri d

dx

\x dx J D \ 2 2 TZX/

de donde, integrando

- j (*?) = ~ y. i~- + ~ log„ x\ -f Gv (h)

xdx D \ 4 2 7t /

siendo O, una constante de integración. Integrando (h), se obtiene qx4 P [x2 logn x x2 •A/y — - 1 — - —

o sea,

’“=-£>-8-S(2")g-I-1, + ^ + T <I2,)

Siendo O, una segunda constante de integración. Para de-

formaciones pequeñas (fig. 84),

dw

y sustituyendo en (127),

( f + £ )

)ÍÜ?£LÍ_Í\ + C1?! + C, 16Z> 2 tzD \ 2 4/ 1 2 *


64 D 32 D

de donde, integrando,

qx* , Px2 G,x2 w = nñ + ¿r~¿( l o£n X~ ^--------------------------- 2 !°g« * + C¡¡- f128)

64 A> 8 7ZJU 4

Las constantes de integración Gv C2 y C3 se determinan, en

cada caso particular, por las condiciones en el borde de la placa.

En todo lo expuesto se ha admitido que la superficie media de

la placa es una superficie neutra; es decir, que no existe de-

formación en ese plano. Esta hipótesis es válida solamente si el

borde de la placa está libre de tensiones en la superficie media de

la placa y si las flechas son pequeñas comparadas con el espesor

de la placa.

26. Placa circular cargada uniformemente.—Borde empotra-

do.—El giro y la flecha se obtienen haciendo P = 0 en las ecua-

ciones (127) y (128). Al estar el borde empotrado, 9 = 0 para x = a y

para x = 0, siendo a el radio exterior de la placa, obteniéndose de

este modo las ecuaciones siguientes

derivadas de la (127):

(i l — -=0,

y sustituyendo estos valores en la ecuación (127), se obtiene

9 = -q—(a* — x2). (129) 16 D

Las flechas se calculan mediante la ecuación(128).Poniendo

en esta ecuación P = 0 y los valores (ct) delasconstantes C,

y C2, tendremos qx4 qa2x2

w — ------------------- - -- \- GV (o) 64 D 32 D *

qx3 Gl x

16 D 2 ~~ x j

' qx? C-jX

.16 D 2 Xi

') ■ / % =0

de donde C2 = 0 y G. = 9—, (a)

2 1 8 D


Puesto que en el borde la flecha es nula tendremos

f f ° ‘ + o 1 = o ,


64 D 32 D

de donde

64 D

Sustituyendo en la ecuación (ó) se tiene

w = (a2 — x2)2. (130) 64 D

La flecha máxima, correspondiente al centro de la placa, vale

*=*£. (131) 64 D

Esta flecha es s/8 de la flecha de una tira (fig. 76) empotrada en

los extremos y de longitud igual al diámetro de la placa. Los

momentos flectores se obtienen por las ecuaciones (123)

y (124), sustituyendo en ellas, en vez de 9, el valor (129). Se

obtiene J/1 = -^[a2(l + (x)-x2(3 + p)], (c)

lo

[a2 (1 + p) — x2 (1 + 3 g)]. (d) 16

En el borde (x = a), estas ecuaciones dan o o

En el centro (x = 0),

Ml=M3 = í-±Pqa*. (/) 10

La fatiga máxima acontece en el borde y su valor es

, , _ 6 g o 2^3?a2 Mmáx - ¿2 g 4

Borde simplemente apoyado.—Utilizaremos para resolver este

caso el método de superposición. Se ha visto —ecuación (e)— que

en el caso de borde empotrado existen en él momentos ne- 2

gativos de valor Mx = — — —fig. 86 (a)—. Si este caso se 8

147 RESISTENCIA BE MATERIALES

1 16 qa\

combina con la flexión pura de la figura 86 (b), con objeto de eli-

minar el momento flector del borde, tendremos la flexión de una

placa con el borde simplemente apoyado. La deformación debida

a la flexión pura se obtiene por la

ecuación (120). Sustituyendo en esta

ecuación

*■ 8.0(1 + fi)

La flecha correspondiente en el centro de un casquete esférico

es (véase pág. 90, Primera parte)

a2 qa4,

2r 160(1 + (i)*

Sumando esta flecha a la (131), obtendremos la flecha total

Para fi = 0,3 esta flecha es unas cuatro veces mayor que la que

corresponde a borde empotrado.

Para el cálculo de los momentos flectores es necesario super-

poner a los momentos (c) y (d), encontrados para el caso de borde

empotrado, el momento constante

qa% 8

Se obtiene

î = 4(3 + ^(a2-a:^ 16

= -£[«*(3 + (z)-â + 3,1)]. ib

El momento flector máximo acontece en el centro y vale

Fia. 86

\M, se tiene

8

PLACAS Y ENVOI/VWTES DELGADAS 148

La fatiga máxima correspondiente es

Para comparar las fatigas de flexión ax y <t„ en la cara inferior

de la placa, según que el borde esté empotrado o apoyado, se ha

representado en la figura 87 la variación de estas fatigas a lo

largo del radio de la placa. Midiendo las ordenadas desde el eje

horizontal que pasa por el punto 0, se obtienen las fatigas para

el caso de borde empotrado. Añadiendo a estas fatigas el valor

constante es decir, midiendo las ordenadas desde el eie 4/r J

horizontal que pasa por el punto O j de la figura 87, se obtienen

las fatigas para una placa simplemente apoyada. Se observará

que la distribución de fatigas en el caso de borde empotrado es

más favorable.

Hasta ahora hemos despreciado el efecto de la fuerza cortante

en la deformación. Cuando el espesor de la placa es maycr de lo

corriente, comparado con su radio, esta influencia puede ser

considerable y debe tenerse en cuenta L La flecha adicional por

cortadura se encuentra de modo análogo a lo hecho para

qa2 ~h2 (134)

8

6üfj 3(3 + (X)

á2

10

149 ■RESISTENCIA DE MATERIALES

(136)

vigas (artículo 39, Primera parte). En el caso de carga uniforme, la

fuerza cortante (ecuación 126) es

Si se supone sobre el espesor de la placa la misma distribución

de fatiga cortante que en el caso de una barra de sección

rectangular, la fatiga es máxima en la superficie media y su valor

a una distancia x del centro de la placa es

_ 3 F _ 3 qx 2

h 4 h La distorsión correspondiente será

T 3 qx y ~G~ iOh

y la flecha adicional debida a esa distorsión en el elemento abcd

(figura 85) es

Sumando estas flechas a lo largo del radio de la placa v te-

niendo en cuenta que en el borde la flecha es nula, se obtiene

Uniéndola a la flecha (130) debida a ios momentos flectores, se

tendrá la flecha total

o, utilizando la ecuación (109),

La flecha en el centro es



En el caso de placas gruesas, el segundo término del parén-

tesis, que representa el efecto de la fatiga cortante, puede ser de

importancia práctica.

La teoría expuesta sobre placas circulares está basada en que

las flechas son pequeñas comparadas con el espesor. Para flechas

grandes debe tenerse en cuenta la deformación de la superficie

media. De este modo puede verse que para grandes flechas la

placa resulta más rígida de lo que indica la teoría expuesta 59 y las

flechas no son proporcionales a la carga. En el caso de una placa

circular cargada uniformemente y con el borde empotrado, la

flecha puede calcularse por la ecuación siguiente a:

que está de acuerdo con los resultados experimentales. En las

aplicaciones se emplean a veces placas muy delgadas. En estos

casos, las fatigas de flexión son pequeñas comparadas con las co-

rrespondientes a la deformación de la superficie media y la placa

puede considerarse como una membrana sin rigidez a la flexión s.

La flecha en el centro de una membrana circular cargada

uniformemente viene dada por la ecuación

(138)

El mismo resultado se obtiene despreciando 8 en la ecuación

(137) frente al término 860. Los experimentos realizados con

membranas están de acuerdo con la ecuación (138) 61.

En el caso de una placa circular uniformemente cargada, de

espesor variable, la variación del espesor con la distancia radial

puede expresarse con suficiente exactitud por la ecuación fie»

e 6a’

59 Véase la publicación del autor, ya citada, pág. 133. Véase tam-

bién Theory of Piales and Shells, 1940. ’ Véase H. Hencky, Zeitschr. f. Math. u. Physik., vol. 63, página 311,

1915. 61 Bruno Eck, Zeitschr. ). angew. Math. und Mech., vol. 7, página 498,

1927. Para información y diagramas, véase Techn. Notes, 738, 1939, en Nat. Adv. Cotnm. Aeron.

h


donde — es la relación entre el espesor a la distancia x y el es- n0

pesor h0 en el centro, y p una constante. La forma de ia sección

diametral de la placa para diversos valores de la constante 8 se ve

en la figura 88. La fatiga máxima por flexión aT en dirección

radial a la distancia x del centro, viene dada por ia expresión

3aa2 °x = ÍT*

donde y es un factor que varía con la distancia radial x. Los valores de este factor 62 para una placa con el borde em-

62 Estos valores están tomados del trabajo de O. Piehler, Die Bieguny

Kreiwymmeirischer Dlutten von Veranderlicher Dicke, Berlín, 1928.

Fia. 88

Fia. 89


pofrrado vienen dados por las curvas de la figura 89. Para borde

simplemente apoyado, las curvas son las de la figura 90.

27. Placa circular cargada en el centro.—Borde empotrado. En

este caso liaremos q = 0, en la ecuación (127), y se obtiene . CjX 0„ = -—-(2 log„ « — 1) + -r- + —■ onD 2 x

Las constantes de integración Gx y C2 se hallan

estableciendo que <p es nulo en el borde empotrado y en el

centro de la placa. Por consiguiente,

+ T + TL = 0'

Como (x logw x)x=0 = 0, los valores de las constantes, deducidos

de las ecuaciones (ó), serán

Gi = - — (2logn a— 1); 4 nD

y la ecuación (a) quedará de

la forma 9

Sustituyendo los valores (c) de las constantes y haciendo

FIG. 90

*-

(a)

(6)

C2 = 0, (c)

Px , o 4nD

x (d)


q = 0 en la ecuación (128), se obtiene para la superficie elástica la

expresión iv = / log„x — -1] + C3. (e)

8tZD\ a 2/

La constante C3 se calculapor la condición de que la flecha Pa%

es nula en el borde empotrado y su valor resulta Os =

Sustituyéndolo en la ecuación (e), se obtiene

P/Ü T P «>= — l0g»' + 7 ^ r W

SnD a 16 nD

La flecha en el centro de la placa es 8 \&izD

Esta flecha es cuatro veces mayor que la que produciría una

carga del mismo valor distribuida uniformemente (ecuación 131).

Los momentos Sectores se calculan por las expresiones (123) y

(124), utilizando la ecuación (d):

^,= — [ (1 + 1* ) log„ - - l ] ,

4tc 1 x J

„ P f„ , , a il/2

(?)

”1(1 + ?) l°gn ---- !*]• (h)

4 7T [ x \

En el borde (x = a) estos momentos son

P P

Ml ------------ ; M% = — jx —, (140) 4 71 471

y las fatigas máximas correspondientes,

3 P 3 ^ P = - • —> <rM = — --------------------------------- (141)

2 uá2 2 7zh2

Comparando estos valores con la ecuación (132), se ve que una

carga concentrada produce en la placa circular con borde empotrado

(139)


fatigas dobles que las que origina otra del mismo valor distribuida

uniformemente sobre la placa.

En el centro de la placa, las ecuaciones (g) y (h) dan valo


res infinitos para los momentos flectores y fatigas. Este resultado se

debe a la suposición hecha de concentración de la carga en dicho

punto 63. Si se supone que la carga está distribuida sobre un pequeño

círculo, las fatigas son finitas (véase página 154).

Para determinar las dimensiones apropiadas de una placa

circular cargada en el centro, podemos limitamos al cálculo de la

fatiga extensora máxima por flexión en la cara inferior de la placa.

Ya se ha dicho que las ecuaciones (g) y (h) no sirven para ello y,

mediante estudios más detallados 2, se ha visto que la fórmula

apropiada para el cálculo de la fatiga mencionada es

^ i1 + [J.) (o,485 log^ + 0,52j (142)

aunque la fatiga de compresión en la cara superior de la placa puede

ser varias veces este valor cuando la concentración de la carga es

muy acusada, dado su carácter de fatiga muy localizada no Bupone

peligro desde el punto de vista de la resistencia de la placa. La

fluencia local en el caso de un material dúctil no afecta a la

deformación general de la placa si las fatigas en su cara inferior

quedan por debajo del límite de seguridad. La resistencia a la

compresión en un material quebradizo es varias veces mayor que su

resistencia a extensión de modo que las placas formadas por

materiales de esta clase responden también a las condiciones de

seguridad si las fatigas en la cara inferior de la placa quedan por

debajo del límite de seguridad.

Borde apoyado.—La deformación de una placa apoyada se

obtiene por el método de superposición. A las flechas (/), corres-

pondientes al caso de borde empotrado, se superponen las pro-

p ducidas en la placa por los momentos Mx = -—, distribuidos

4TC

uniformemente a lo largo del borde, y de este modo se obtienen

63 Las fatigas locales en el punto de aplicación de una carga con-

centrada han sido estudiadas por ri. Hencky, Der Spannungszustand in reohteckigen Platten, Darmstadt, pág. 54, 1913. Véase también A. Na- dai, Elastische Platten, pág. 97, 1925.

* Este caso está desarrollado cu Theory oj Plates and Shells, página 75, 1 El efecto de las fatigas cortantes que produciría discontinuidad en

el giro para la circunferencia x = b se desprecia en este caso; véase la publicación de G. A. Garabedian, J. de l'École Polytechnique, 2.* serie, C, núm. 26, 1927.


las correspondientes al caso de borde apoyado. La curvatura p

producida por ios momentos M1 = — (ecuación 120; es 4r7T

1 P

r 4tt(1 + \L)D y la flecha

correspondiente en el centro será * a2 Pa2 6 i= =

2r 8tt(1 -f- fx)D

Añadiendo este valor a la ecuación (139) se obtiene como flecha

correspondiente al centro de la placa con borde apoyado,

8 = W + _ ^ _ ^ x Ü J í . (143) 16tcD 8tc(1 + [i.)ü 16tcD 1 -f- p

Esta flecha es alrededor de 2,5 veces mayor que la corres-

pondiente al caso de placa empotrada.

Las expresiones de los momentos flectores se encuentran

P añadiendo — a los momentos (g) y (h) obtenidos en el caso

de borde empotrado. La fatiga máxima extensora se obtiene 6 P añadiendo —— a la dada por la fórmula (142).

47Cft*

28. Placa circular cargada concéntricamente.—Comenzaremos

por el caso en que la carga está distribuida uniformemente

sobre una circunferencia de radio b (figu- .-I

ra 91). En este caso, estudiaremos por

separado la parte de placa anterior a esta 91

circunferencia y la exterior. Para

ambos

trozos se utiliza la ecuación general (128),

haciendo g = 0 en los dos y P = 0 en el trozo interior. Las constantes

arbitrarias se calculan de modo que satisfagan a las condiciones de

continuidad en la circunferencia x = b 64. Representando por P la

carga total, se obtienen los resultados siguientes *:

64 Véase la nota al artículo 45 de la traducción, debida a St. Venant,

del libro de Clebsch, Theorie der Elasticilát festcr Kórper, París.


Borde empotrado.—Para el trozo interior (x < ó),

v> - f- (*2 + b2) logn~ + (x2—b2) + ^(l + (a2— ¡r2)]. (a) 87rZ>L b 2\ a2/ J

Para el trozo exterior (x > b),

w = —[— (x2 + ó2) log« - + ¡1 + (a2 — x2)]. (b) 87tZ>L x 2\ a2! J

Borde apoyado.—Para el trozo interior (x < b),

w = [— (x2 + 6») logB ^ + (x2 — 62) 8nD L b

l

2(1 +(<)<•• 1 Para el trozo

exterior (x > 6), [_ (a;2 + ¿2) iogB ® + (3±J¿) a2 - H ~j¿) W (a2 _ _ ^.2)1 {d]

87cP|_ * 2 (1 + (r)a2 J

Utilizando estas ecuaciones y el método de superposición,

pueden resolverse casos variados de Dlaca circular careada si-'Af*- c ~*t*~ e “d v,

métricamente. ------------------------------------------------------------------------------- (¡

---------------------------------------------------------------------- MIUIWIHIIWIHHimil

Sea, por ejemplo, el caso de ¿

la figura 92, en el que la carga pIO, 92

está distribuida uniformemente

sobre la parte interna de la placa definida por la circunferencia

de radio c. Poniendo en la ecuación (a) 2 nbqdb en lugar de P, la

flecha producida en el centro de la placa por el anillo elemental de

carga señalado en la figura será

dw = — b2 log„ ^ — b2 + l(a2+

ó2)j bdb. (e)

La flecha producida por la carga total es S = fo^ = áP Jo [~62^ l~b2 +^(a2 + fc2)]bdb

o I c4, a 3 o^2! = ~r logn C4 -1 ------------------------- . (144)

1D[ 4 c 16 4 |

)


Si c — a, esta ecuación coincide con la ecuación (131), co-

rrespondiente a una placa uniformemente cargada. Poniendo en la

ecuación (144), c = 0 y nc2q = P, se obtiene la ecuación (139), que da

la flecha para una carga concentrada. Para determinar los

momentos flectores y fatigas en el centro de la placa, tomaremos la

derivada segunda con relación a a; de la expresión (a). Haciendo x =

0 y P = 2 nbqdb en esta derivada, la curvatura en el centro,

producida por la carga anular elemental (fig. 92) será

La curvatura en el centro producida por la carga total es

& _ - L £ ( _ ! b g . í + 1_ 3« \dx2lx^0 4 D %

+ (145) 1 \ c 4 a2'

El momento flector correspondiente en el centro,

en virtud de las ecuaciones (118) y (119), es

.. ,,,, , .d'Mv i + u „a, c2 \ = + -■■ qc2 l o g „ - + — ) dx2 4 \ c 4 a2!

Representando por P la carga total nc2q, y calculando las

fatigas máximas por flexión en el centro, se obtiene

Mmi* = K)más = l (i + fi) (log» - -f —J. (147) 2 h2 \ c 4a2l

O bien

(°T)mái = (CTi/)máx = “ (1 + !*■)“, (l°g»~ + ' “) • (148) 2 nh,2 \ c 4 a2/

Disminuyendo el radio c del círculo sobre el que está distribuida

la carga, nos aproximamos al caso de carga concentrada. Las fatigas

en el centro aumentan a medida que c disminuye; pero son finitas

mientras lo es c.

29. Deformación de una-placa circular que tiene un agujero en su

centro y está cargada simétricamente.—Flexión por pares.—Sean Mla

y Mu los momentos flectores por unidad de longitud en los bordes

exterior e interior, respectivamente —figu

4 D\

(146)


ra 93 (a)—. Para este caso, P — q = 0, en las ecuaciones (127) y

(128), y se tiene G, x G, --- +-

C2 logn h ^3-

(a)

(b) w ■

Las constantes arbitrarias se determinan por las condiciones en los

bordes. Sustituyendo (a) en la ecuación (123), se obtiene ci + ^)

Haciendo r = a y después x = 6, se obtienen las ecuaciones

siguientes para determinar Gx y C2:

(1 + \L)D(UZ —- 62)

La constante G3 se determina considerando la deformación

de la placa. Supongamos, por ejemplo, que la placa está apoya-

da en el borde exterior; la flecha

en ese borde será nula y C3 se

calculará mediante la expresión

siguiente, deducida de (ó): Cxaz

La superficie elástica de la placa se o b t i e n e

sustituyendo Fio. 93

Gv C2 y C3 en la ecuación (b).

Como segundo ejemplo, consideremos el caso de flexión de la placa

por los pares Mla, cuando el borde interno está empotrado —fig. 93

(6)—. Las constantes arbitrarias Gx y C2 de la ecuación (a) se

determinan por las condiciones



] =

(4)j = de donde

1&>

0.

M,

(C)

D ^ ( l + p ) -

b*Mlb)_

- % a - a2

Sa- n M

C, (d)


Tendremos, por tanto, de las ecuaciones (a) y (c)

M + -7^ = 0, +

de donde 2 a2M.

10

ZW1 + (i) + 63(1 — (x)]

Z)[a2(l + + — {*)]

Sustituyendo en (a) y (c),

a2M,0 9 =

X>[«2(1 + ia) H- 62(1 — n)]

a2M — [ i + | 1y .

Flexión para una carga uniformemente

distribuida a lo largo de los bordes interno y externo.—Si la flexión

está originada por

una carga uniformemente distribuida a lo largo de los bordes —fig.

94 (a)—, g = 0 y ? e s igual a la carga total sobre el borde interno.

Estos valores se sustituyen en las ecuaciones (127) y (128), y de la

ecuación (127) se deduce

Pa: ... , C.x C2 <P = — — (2 log„ *— 1) + + -S, oní) 2x

Las constantes arbitrarias Ct y C\ se determinan por las

ia D’

( e)

( /)

a2(l + (i) + 62(1

fr,;.Vr uw/%v/Á 1 (0)

Fio. 94

(9)


condiciones en los bordes. Por ejemplo, si la placa está empotrada

en los bordes —fig. 94 (6)—, las constantes se encuentran por ser 9

= 0 para x = a y x = b. Entonces, de la ecuación (g) se deduce POj _ , , (y -mCt . C2 A

__ <2 log.a-U + J - + - = , ) ,

_ « p b g . t - D + a í + a . o . 8 TZD 2 ó

La expresión de 9 se obtiene una vez calculados los valores C, y

C» sustituyéndolos en la ecuación (g). Los momentos flectores

pueden calcularse entonces mediante las ecuaciones (123) y (124).

En el caso de una carga uniformemente distribuida —figura 95

(a)—, la fuerza cortante F en un punto a la distancia x del centro es F = — nq(x3 — ó2) = —

2 -KX 2 2 a:

Esta cantidad debe sustituirse en la ecuación (125), y las

ecuaciones (127) y (128) son entonces

qx3 qb3x . . C.x C’2

,= -M U t ~x

7rF)~b'^-(loSn^~í)~~' — G2]ognx+Cs. 641) 8X> 4

Para determinar las constantes arbitrarias, se utilizan las

condiciones en los bordes. Por ejemplo, si la placa tiene los bordes

empotrados, las ecuaciones que determinan Oj y Cz son qa3 qab2 Câ C2

-b+M{2log65a-1)+h + «=*

qb3 qb3 Cjb C2 + ~ (2 iogn b — 1) -f -L +-2 = 0.

16 D 8D 2 b

Mediante la combinación de soluciones estudiadas en este

articulo pueden resolverse problemas prácticos tales como la

65 Problemas variados de este género pueden verse en la obra de

M. Ensslin, Dinglers Polytech. Journal, 1903 y 1904. Véase también Pfleiderer, Forschungsarbeiten, núm. 97, 1911. Diversos experimentos realizados con émbolos se describen en el artículo de C. Codron, Revue de Mécanique, vol. 13, pág. 340, 1903. M. Schilhansl ha estudiado las placas circulares reforzadas con nervios; véanse Zeiíschrif. /. angew. Mathem. und Mech., vol. 6, pág. 434, 1926, y F. D. /., vol. 71, página 1154, 1927. Un estudio completo de las placas circulares puede verse en Theory of Platea and Shells, 1940.

* Véase la publicación de A. M. Wahl y G. Lobo, Trans. A. S. M. E.. vol. 52. 1929.


flexión de los émbolos de las máquinas de vapor y la flexión de las

aletas 1 de los cilindros y tubos. Por ejemplo, combinando los casos

de las figuras 94 (6) y 95 (a), se obtiene una solución

aproximada del problema de la flexión de un pistón —figura 95

( ó ) — por la acción de la presión del vapor 2.

En la figura 96 se ven varios casos de importancia práctica 3.

Caso 3

Wmax

Fia. 96


ED todos ellos la fatiga máxima viene dada por una fórmula

dd tÍP° qa* , JfcP ^máx ” ^ “T” 0 ^máx “ ‘7T’ (149)

h*

según que la carga esté distribuida uniformemente sobre la su-

perficie o concentrada a lo largo del borde. Los valores numéricos

del factor k, calculado para diversos valores de la relación ^ y para

= 0,3 se dan en la tabla IX.

Las flechas máximas en los mismos casos se calculan por fór-

mulas del tipo qa* , Pa*

W’mAx = O W’máx = • (1®0) An8 Eh3

Los coeficientes ¡c1 figuran también en la tabla IX.

30. Flexión de placas rectangulares.—La teoría de flexión de

placas rectangulares es más complicada que la de las placas

circulares, y solamente daremos los resultados finales concer-

nientes a momentos flectores y deformaciones 1. Para obtener estos

resultados, se supone que las flechas son pequeñas comparadas con

el espesor de la placa y que durante la flexión los bordes pueden

desplazarse libremente en el plano de la placa; es decir, no hay

fatigáis en el plano medio de la placa.

TABLA IX COEFICIENTES k V DE LAS ECUACIONES (149 Y 150), PARA LOS OCHO CASOS DE LA

FIGURA 96

« b

1,25 1,6 2 8 4 5

Caso k kx k k t k kx k

k

*

1 1,10 0,341 1,26 0,519 1,48 0,672 1,88 0,734 2,17 0,724 2,34 0,704 2 0,66 0,202 1,19 0,491 2,04 0,902 3,34 1,2

20 4,30 1,300 5,10 1,310

S 0,135 0,00231 0,410 0,0183 1,04 0,0938 2,15 0,293 2,99 0,448 3,69 0,564 4 0,1

22 0,00343 0,336 0,0313 0,74 0,1250 1,21 0,291 1,45 0,417 1,59 0,402

6 0,090 0,00077 0,273 0,0062 0,71 0,0329 1,54 0,110 2,23 0,179 2,80 0,234 6 0,115 0,00129 0,220 0,0064 0,405 0,0237 0 703 0,062 0,933 0,092 1,13 0,114 7 0,592 0,184 0,976 0,414 1,440 0,664 1,380 0,824 2,08 0,830 2,19 0,813 8

0,227 0,00510 0,428 0,0249 0,753 0,0877 1,205 0,209 1,514 0,293 1,745 0,350

1 El análisis completo de la flexión de placas rectangulares puede Verse en Theory of Platea and, Shells, 1940.


Placa apoyada en los bordes.—En el caso de una carga q uni-

formemente distribuida, la flecha máxima acontece en el centro de

la placa (fig. 97) y su valor es

8 = *^, (151) Eh*

siendo a el lado más corto de la placa; h, el espesor de la misma, y

a, un factor numérico que depende de la relación b¡a. Como

anteriormente, llamaremos Mt y a los momentos flectores por

unidad de longitud en las secciones paralelas a

los ejes y y x, respectivamente. Los momentos

flectores máximos acontecen en el centro de la

placa y valen

(î)máx = = M®2. (152)

lr donde y ps son factores numéricos que

Fio. 97 dependen de la relación ^. Los valores de

los coeficientes a, y (32 figuran en la tabla X. Se han calcula

do suponiendo que el coeficiente de Poisson es igual a 0,3.

TABLA X CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE PLACAS RECTANGULARES CARGADAS

UNIFORMEMENTE CUYO BORDE ESTÁ APOYADO

ó 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,0 1,7

a * Pi *=

0,0443 0,0479 0,0479

0,0530 0,0553 0,0494

0,0616 0,0626 0,0501

0,0697 0,0693 0,0504

0,0770 0,0753 0,0506

0,0843 0,0812 0,0500

0,0906 0,0862 0,0493

0,0964 0,0908 0,0486

b = 1,8 1,9 2,0 3,0 4,0 5,0 oc

a = Pi = Ps ^

0,1017 0,0948 0,0479

0,1064 0,0985 0,0471

0,1106 0,1017 0,0464

0,1336 0,1189 0,0404

0,1400 0,1235 0,0384

0,1416 0,1246 0,0375

0,1422 0,1250 0,0375

De la tabla expuesta se deduce que si ^ > 3, la flecha máxima y el

momento flector máximo no se diferencian de modo apreciable de

los que corresponden al caso - = ce. Esto indica



que en una placa rectangular larga > 3j el efecto de los lados

cortos puede despreciarse y aplicar para su cálculo con aproxi-

mación suficiente las fórmulas obtenidas en los artículos 20, 21 y

22, para la deformación en forma de superficie cilindrica.

Placa con el borde empotrado.—La flecha máxima acontece en el

centro de la placa y puede expresarse por la misma ecuación (151)

utilizada para una placa con el borde apoyado. El momento flector

máximo en valor numérico se presenta en el centro de los lados

largos y viene dado por la ecuación

- Pga*. (153)

En la tabla XI, que sigue, se dan diversos valores de los

coeficientes « y p.

Se ve que el hecho de empotrar el borde disminuye conside-

rablemente la flecha máxima y que sobre la fatiga máxima por

flexión el efecto no se acentúa tanto. La fmpotnatb

flecha máxima y el momento flector máxi- ¿ ^

mo para ~ = 2 casi coinciden con los que

se obtienen para -*»«. Pueden, por tan- •*" “ ° Fio. 98

to, utilizarse los resultados del artículo 21

correspondientes a la flexión en forma de superficie cilindrica para

el cálculo de placas rectangulares con el borde empotrado cuando - 7

2. a

Placa con dos lados opuestos apoyados, un tercer lado empotrado

y d cuarto lado libre (fig. 98). En este caso, y para sarga

uniformemente distribuida, la flecha máxima acontece &SSI8TBV0IA DI MAmiALIS.—T. II II

en el punto medio A del lado libre. Esta flecha puede calcula por

la ecuación 8 = a • (154)

Ehs

TABLA XI

CONSTANTES PARA PLACAS RECTANGULARES UNIFORME MENTE CARGADAS CON EL BORDE

5

O

3 5

O

a b ~ 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 oc

0 =* 0,0138 0,0199 0,0240

0,0264 0,0277 0,0284 P- 0,0513 0,0665 0,075

7 0,0806 0,0829 0,0833


Los valores del factor numérico a se dan a continuación. El

momento flector máximo M1 acontece también en ei punto ¿l y su

valor es

Wmfa = Pi?a2. (155)

El momento flector máximo M2 corresponde al punto 8, medio

del lado empotrado, y viene dado por la ecuación

( ^ ) má x = - ( 15 6)

En la tabla XIT, que a continuación se inserta, íiguran diversos

valores de ios coeficientes y (3a.

TABLA XII

De estos valores se deduce que cuando es grande a comparada

con b, la tira central AB está, aproximadamente, en las condiciones

de un voladizo empotrado en B y cargado uniformemente.

Placa cargada uniformemente y apoyada en varios puntos

equidistantes (fig. 99).—En este caso puede obtenerse una buena

aproximación para la fatiga máxima y para la distribución de

fatigas en las proximidades de un apoyo, procediendo del modo

siguiente: Un trozo de la placa alrededor del apoyo, limitado por

una circunferencia de radio a = 0,22c (siendo c la distancia entre

apoyos), se considera como una placa circular apoyada en su borde

externo y cargada en el interno con la carga P = qc* dirigida hacia

arriba y solicitada, además, por una carga uni

CONSTANTES PARA PLACAS RECTANGULARES CARGADAS UNIFORMEMENTE CON LOS

BORDES EN LAS CONDICIONES QUE INDICA LA FIGURA 98

a 0

1 1 2 1 b * 3 2 3

a = 1,37 1,03 0,635 0,360 0,123 Pi = 0 0,0078 0,0293 0,0558 0,0972 P2 = 0,500 0,428 0,319 0,227 0.119


formemente distribuida de intensidad q dirigida, hacia abajo —

figura 99 (b)— h El problema puede resolverse mediante los

métodos explicados en el artículo 29. También ha sido estudiado

por H. M. Wester- gaard 2 la flexión de placas

rectangulares sobre fundación elástica para su

aplicación al estudio de fatigas en carreteras de

hormigón.

31. Depósitos de pared delgada sometidos a

presión interior.—El estudio lo reduciremos al

caso de depósitos en forma de superficies de

revolución sometidos a una presión interior de

valor p simétricamente distribuida con relación

al eje de revolución 0-0 (fig. 100). No es necesario

que la presión p sea constante para todo el

depósito; pero sí que varíe de modo continuo. Si

el espesor de la pared es pequeño comparado con

sus radios de curvatura y no existen

discontinuidades bruscas en la forma del meridia no, pueden

calcularse las fatigas en la pared del depósito des-

Pío. 100

preciando su flexión y suponiendo que las fatigas extensoras en

dicha pared se reparten uniformemente a lo largo del espe

1 Véase la publicación de H. M. Westergaard y A. ¡álater, l'ro- ceedings of the Amer. Concrete Inst., vol. 17, 1921. Véase también \ • Lewe, Die strenge Lósung dea Pilzdeeken problema, Berlín, 1922.

* Véase su publicación en Ingenioren, Copenhague, Dinamarca, página 513, 1923, y también en Public líoada, voJ. 7, pág. 25, 1926.

+ + + + +

+JS + -b-

+ -b “b + -b

-b -b + -b

H— a -* Fio. 99


sor *. Los valores de las fatigas se calculan fácilmente por las

ecuaciones de la estática.

Consideremos un elemento mnsq, separado de la pared del

depósito por dos secciones meridianas tales como mn y sq y por dos

secciones normales a las meridianas ms y nq. Por simetría, se

deduce que sobre las caras de este elemento actúan solamente

fatigas normales.

Sea

<jj La fatiga de extensión en dirección del meridiano.

at La fatiga de extensión en dirección de la sección normal.

h El espesor uniforme de la pared.

dsl La dimensión del elemento en dirección del meridiano.

dst La dimensión del elemento en dirección de la sección normal,

fj El radio de curvatura en la dirección meridiana.

ra El radio de curvatura de la sección normal al meridiano.

Las fuerzas totales de extensión que obran sobre las caras del

elemento son ha1ds% y ha,2ds1. Las fuerzas hds2a1 que obran sobre

las caras ms y nq del elemento dan una componente en dirección

normal al mismo igual a —véase fig. 100 (b)

hds2a1dQ1 = (a) ri

Del mismo modo, las fuerzas extensoras de los lados mn y sq

tienen una componente normal

Msl(j2d02 = (6) r¡¡

La soma de estas componentes normales estáen equilibrio

con la presiónnormal sobre el elemento. Por tanto,

hojdsjdsz + AffgdMg, = pd3ids¿¡ (c)

ri r% o sea,

— + ~ (157)

1 Las paredes que no resisten a flexión se denominan algunas veces «membranas», y las fatigas calculadas despreciando la flexión, «fatigas de membrana». Se supone que las fuerzas exteriores, distribuidas de modo uniforme a lo largo del borde de la pared, son tangentes a los meridianos.


A continuación se exponen algunas aplicaciones de esta

ecuación.

Depósito esférico.—En este caso, fj = r2 = r y ox = <j2 = a. La

ecuación (157) da pr

o — —— ‘2 h

Depósito cónico.—Consideremos un depósito cónico que contiene

un líquido (fig. 101). En este caso, la curvatura del meridiano es —

= 0 y la fatiga cr2, a lo largo de la ri

sección normal, debida a la presión del líquido se

calcula por la ecuación (157). La presión interna

en los puntos m — n a distancia d — y de la

superficie del líquido es p = y(d— y),

siendo y el peso por unidad de volumen del líquido. El radio de

curvatura ra en dichos puntos es

, _ ytg* r2 * eos a

Sustituyendo en la ecuación (157), se deduce eos

a y(d — y)

C2 -------- = , y tg a h

de donde — y) y tg *

cós a

El valor máximo de esta fatiga acontece en los puntos donde

y (d — y) es máximo; es decir, a d

V = ~2

y la fatiga correspondiente es

, , vd2 tg a (<Ia)máx ~ ~r ■ (e)

4h eos a

La fatiga <r, al nivel m-n se calcula igualando la suma de las

componentes verticales de las fuerzas extensoras dirigidas según

(d)

172 RÉSISTÉNOTA DÉ MATÉTÍTAT.E^

los meridianos que sufre la pared al peso del volumen de líquido

tmons (fig. 101). Por tanto, 2 ny tg <xha1 cos a = ny2 tg2 a — y ^ yjy,

de donde

yt g'

2 fe cos a 3

Esta fatiga es máxima para y = - d. Sustituyendo en la ecuación

(/), tendremos (n\ = 3 ¿2y tgQ[ 1 16 fe cosa'

Las ecuaciones (d) y (/) resuelven por completo el problema

cuando se desprecian las fatigas de flexión en las paredes del

depósito.

En el caso de un depósito cilindrico de diámetro d, sometido a

una presión uniforme p, encontraríamos, según ya se vió (página 41,

Primera parte), „ - V*1- „ - Va G| f íTn *“ *

1 4fe 2A

Problemas

1. El depósito de la figura 102 contiene un liquido basta el nive’

indicado.

Determinar las fatigas máximas o, y a, en

las partes cilindrica

(t>¡

y esférica, y la fuerza compresora en el anillo de refuerzo mn.

Solución: El peso del líquidoexistente en

eldepósito es

ti 1 3/

(/)

(?)

-í

PLAGAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 173

Para la parte cilindrica del depósito,

01 “ ra = const

En la parte esférica la fatiga máxima se presenta en el punto más

bajo del fondo, donde la presión del líquido es

ydi-R 2 h

li» fuerza extensora en la parte esférica del depósito, por unidad de 1

. La componente radial de esta 2 tzr sen a

tuerza, que es la compresora del anillo —fig. 102 (ó)—, vale

¿cotg a,

y la fuerza de la compresión en la sección recta del anillo será, por

tanto,

Q cotg a.

Esta solución corresponde a la hipótesis de que las paredes del de-

pósito son membranas y no trabajan a flexión. Para el cálculo de la

fatiga de compresión en el anillo deben añadirse a la sección del

mismo las partes adyacentes cilindrica y esférica de la

pared.

2. Determinar las fatigas en los puntos mn de un

depósito cilindrico, con fondo semiesférico, lleno de

líquido hasta el nivel señalado (fig. 103).

Solución: De la ecuación (157) se deduce, para

todo punto de la parte esférica situado a

distancia *

-de ia superficie del líquido, que

yx

h'

Puesto que las fuerzas meridianas a lo largo de la sección mn equi-

libran a.1 peso del volumen del líquido smont, se tiene como segunda

ecuación - sen66 a\

(b) yRfd — R R 1

2 + 3 eos2

y la ecuación (a) da

yR /<! — R I¡ sen3 a + 3 sen a eos2 a — 1

h \ 2 3 eos2 a

66 Encontrar en la figura 104 la relación que debe existir entre el

diámetro exterior del depósito, el diámetro del anillo-soporte mn y la

dyr :~TT

Q longitud del anillo mn, es

FIG. 103 (a)

o - yR( - 7, {

n3

a\ a

)

174 RESISTEHC5IA DE MATERIALES

altura d del liquido para que el anillo mn sufra únicamente una acción

vertical. La parte central del fondo del depósito es una superficie esfé-

rica de ángulo en el centro jj. El mis-

mo ángulo corresponde a la parte cónica

mminn1.

Idea: La relación necesaria puede

encontrarse estableciendo que las accio-

nes ejercidas sobre el anillo por el fondo

esférico y la superficie cónica lateral,

indinadas ambas a 45°, den componente

horizontal nula. De ello se deduce que el

volumen de líquido representado en la

figura por el área rayada debe ser igual al

volumen mnst.

4. Determinar las fatigas máxi- mas en el depósito de la figura 102,

siendo R = 3 m., r = 2,40 m., d = 6 m., y = 1000 kg./m.8 y h = 1,25 cm.

5. Determinar las fatigas ct cr2 en la pared de una superficie tórica

sometida a una presión interna p (fig. 105).

Solución: La condición de equilibrio respecto a fuerzas vertica

les del trozo mnmjHj, separado del depósito por una superficie cilin-

drica vertical de radio a y por la superficie oónica «KWij, da

jc(ra — oa)p — cji Znr sen a = 0, de donde

p(ra —a2) 1 2 rh sen a

La fatiga at puede calcularse después por la fórmula (157).

6. Determinar la fatiga máxima en la pared del recipiente de la

figura 105, si o = 3 m., 6 = 3,6 m., h = 6,25 mm. y p = 4 kg./cm.a.

32. Fatigas locales de flexión en depósitos de pared delgada.—En

lo anteriormente expuesto se ha despreciado la fle

FIG. 104

PLAGAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 175

xión de la pared del depósito y calculando solamente las fatigas

denominadas fatigas de membrana. Los corrimientos debidos a las

fatigas de membrana originan una flexión de la pared y, por tanto,

fatigas de flexión que en algunos casos pueden ser de importancia

práctica. Este defecto se acusa en los puntos de cambio brusco de la

curvatura del meridiano. Cuando el meridiano está formado por

curvas no tangentes, se dispone un anillo de refuerzo en la forma

que indica la figura 102, a fin de evitar la flexión acusada de la

pared del depósito. También pueden ser elevadas las fatigas en los

puntos de unión, aunque las curvas que

forman el meridiano sean tangentes.

Las fatigas adicionales en esos puntos

se denominan fatigas por

discontinuidad.

El método de cálculo lo expondremos

considerando el caso sencillo

de un depósito cilindrico con cabezas

semiesféricas sometido a una presión interna uniforme (fig. 106).

Considerando primero las fatigas de membrana, tendremos

para la parte cilindrica, siendo r el radio del cilindro y de las cabe-

zas semiesféricas y h el espesor de la pared. En el trozo

esférico,

c, = a9 = a —

Las deformaciones radiales

correspondientes en las partes cilindrica y

esférica son

(1-p)

respectivamente.

Si supusiésemos separadas las partes cilindrica y esférica de la

pared -fig. 106 (b)—, la diferencia de los radios debida a las fatigas

de membrana sería

á = (6) 2 hE

Fia. 106

pr

2 ti

pr <J9 ——9

2 Ti

(a)

pr

2

h

pr*

2hE

176 RESTSTENOTA T>E MATERIALES

En la realidad, la cabeza y la parte cilindrica están unidas por

la acción de las fuerzas cortantes P0 y momentos flectores M0 —

figura 106 (6)—, por unidad de longitud de la circunferencia de la

superficie media del depósito. Esta solicitación produce flexión en

las zonas próximas. Para analizar la flexión en la parte cilindrica,

puesto que la deformación es simétrica con relación al eje, basta

considerar la flexión de una tira

elemental (figura 107) y la flecha de

esta tira será radial. Supondremos,

para simplificar, que el ancho de la

tira es la unidad. Representando por

y el desplazamiento radial de una

sección cualquiera * * y

11 de la tira, - será la deformación Fig. 107 r

unitaria de compresión en di-

rección circunferencial originada en el cilindro por el acortamiento

y en el radio. La fatiga de compresión correspondiente

es —. Por consiguiente, cuando la tira flexa hacia el eje del

cilindro, se producen unas fuerzas compresoras T —fig. 107 (c)—,

cuyo valor por unidad de longitud de la tira es

T-Í>h.

Puesto que el ángulo 0 es igual a -, estas fuerzas dan una

resultante radial 67

Eyh e _ Eyh r r2

que se opone a la deformación de la tira. Estas fuerzas reacti-

vas están distribuidas a lo largo de la tira y son proporcionales

a y, por lo que la tira está, respecto a la flexión, en las mismas

condiciones que una viga sobre fundación elástica (art. i), siendo

, Eli k = — •

67 ¡áe supone que 0 es un ángulo pequeño.

(c)

(d)

P f j A OAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 177

Como la deformación transversal de la tira está impedida por las

tiras adyacentes, de modo análogo a lo visto en placas (página

122), deberá usarse la expresión

z ) = m 12(1 — p2)

en lugar de la rigidez a la flexión. La ecuación diferencial de la

elástica de la tira será, por consiguiente (véase ecuación 1), „ dfiy Eh D — = y.

dx4 r2

introduciendo, como anteriormente, la notación

■ <>»>

ia elástica de la tira será (véase ecuación 11, pág. 13)

g—(3* y ZWb [ P °

eos $x— (3-Mn( cos $x — sen $x)~). (é)

Es, portanto, una curva oscilatoria con fuerteamortigua

miento, de longitud de onda

(/) P r 3( i —p*)

cuyo valor es pequeño comparado con r, si h lo es.

i )e lo expuesto se deduce que la flexión producida tiene un

carácter local y que su efecto sobre las fatigas es sólo apreciable en

una zona estrecha alrededor de la junta. Esta zona, en la parte

correspondiente a la cabeza es, aproximadamente, cilindrica y, por

tanto, la ecuación (e) puede servir también para el cálculo de las

deformaciones y fatigas correspondientes a la cabeza semiesférica

L


Cuando la pared cilindrica y la cabeza esférica tienen el mismo

espesor, las flechas y los giros producidos en los bordes de dichas

partes por las fuerzas P0 son iguales. Las condiciones de

continuidad en la junta se satisfacen si M0 = 0 y P0 tiene el valor

necesario para que la flecha en el borde cilindrico sea ^

¿i

Haciendo M0 = 0 y x = 0 en la ecuación (e), la fórmula para obtener

Pft será P0 s

2 ¡33Z> 2

P0= -= JL. f159) 2MUpr68 8^

Conocido P0, la flecha y el momento flector para

cualquier sección de la tira puede calcularse por la

ecuación (e). Las fatigas de discontinuidad correspondientes deben

añadirse a las de membrana dadas por las ecuaciones (a). Si la

cabeza y la parte cilindrica del depósito tienen diferente espesor,

además de la fuerza cortante P0, existirá en la junta un momento

flector M0. Estas dos cantidades se calculan estableciendo: 1.° Que

la suma de las flechas correspondientes a las partes esférica y

cilindrica sea igual a 8 —fig. 106 (b)—. 2.° Que los ángulos de giro

en los dos bordes sean iguales.

El método expuesto se emplea también en el caso de que las

cabezas no tengan forma esférica L Si el espesor de la pared de los

depósitos no es pequeño, las fatigas de flexión adquieren una

importancia primordial y es necesario un estudio más detenido de

la distribución de fatigas *.

* Véase Theory of Platea and SheUs, 1940.

de donde

FLACAS Y ENVOLVENTES DELGADAS 179

ii>

Problemas

1. Determinar las fatigas de discontinuidad en el depósito de la

figura 106, ai p — 12 kg./cm.8, r = 62,5 cm., h - 12,5 rom., p = 0,3.

Solución: De la ecuación (158), ¡3 = 0,146 ero.-1, y por la ecua

ción (159),

12 P» “8^0046 = 10’3kg‘1)01 Cm'

El momento flector en la tira elemental es

y utilizando la ecuación (e) y sustituyendo

se obtiene Af = — ^ e—P* sen fia:.

El momento máximo en valor absoluto corresponde a P* = y es

A£míix = 56,75 kg. cm. La fatiga máxima correspondiente es

—= 87,2 kg./cm.».

Esta fatiga debe añadirse a la fatiga de membrana,

O! = |£ = 12 X 25 = 300 kg./cm.».

La flexión de la tira produce también fatigas circunferenciales,

que pueden dividirse en dos grupos: 1.°, fatigas que impiden la

distorsión de la sección de la tira (véase pág. 122) (el valor máximo de

estas fatigas en una sección cualquiera es ± ~rv~)> y 2.°, fatigas de

valor —

ti T

debidas al acortamiento de la circunferencia.

Sustituyendo en las expresiones anteriores los valores de Af e y, la

fatiga por discontinuidad que debe añadirse a la fatiga de membrana

tjj será

— -°P e—p* eos 8* + e-P* sen 8* 2fi*Dr ‘ pá*

6 (iP —:~ * e~P* (sen ¡3*— 1,83 cos pr).


El valor máximo de esta fatiga se obtiene fácilmente. Es pela fatiga

circunferencial de una membrana, pr

cuyo valor es ~ = 600 kg./m.L

2. Una membrana cilindrica enlazada a dos discos

macizos gira alrededor del eje 0-0 (figura 108) con velocidad periférica

v. Determinar las fatigas de flexión locales en la membrana si se

supone empotrada a lo largo de los bordes mn y m¡nt.

Solución: Si separamos la membrana de los discos,

el incremento

del radio de la membrana, debido a la fuerza centrífuga, será —véase

ecuación (15), Primera parte— - 1 — E l incremento del radio de ios dia- gl4

eos sería —véase ecuación (223)

1 — ¡r x v3r

4 gE'

La diferencia de estas dos cantidades es

3 + (X yv*r

4 gE'

Aplicando el método del problema anterior, y considerando una

tira de anchura unidad, se encuentra la fuerza cortante P0 y el

momento flector en el borde mn mediante las ecuaciones (11) y (12).

Supondremos los discos suficientemente rígidos, comparados con la

membrana, a fin de despreciar la deformación que en ellos producen

las fuerzas P„ y los pares Mu. Las ecuaciones para el cálculo de P„ y Mü

son

í2_(pq-Pmo) = í.

^5(P0-2W = 0,

de donde P0 = 4 8psD; M, = 2 S(3aD.

Conocidas estas cantidades, las flechas y las fatigas de flexión se cal-

culan por expresiones análogas a la ecuación (11).

3. Determinar la fatiga flectora máxima en

la membrana del problema anterior, si r — 65 cm.,

h=¡ 12 mm., v — 150 m./seg. y el material es acero.

4.

Determinar las fatigas producidas en una tubería por un anillo

delgado que actúa zuncha- EIG. 109 do

(fig. 109).

Solución: Considerando una tira longitudinal de anchura unidad,

y representando por P la acción mutua entre anillo y tubería por uai-

queño comparado con

T r

FIG. 108


do69! de longitud del perímetro de la tubería, podemos estudiar la tira

como una viga sobre fundación elástica solicitada por la carga con-

centrada P (art. 1). El acortamiento del radio de la tubería, debido a P

P Pr* —ecuación (8)—, es sxvjv ® alargamiento del radio del anillo es 1 -^-=,

opáU A.£i donde A es el área de la sección del anillo. Representando por 8 el juego

del zunchado puede escribirse

4. S

o utilizando la ecuación (158) y tomando p = 0,3,

3 Plr\ 2 Pr*

“■643®© +3S-8- <’>

P se determina por esta ecuación, y el momento flector máximo en la

tira por la ecuación (9) a. La fatiga máxima por flexión en la tira es

_3P i/ r*h*

° 2 h* V 3(1 —p2)'

Este método se aplica también al caso de un tubo cilindrico con

anillo de refuerzo, sometidos ambos a una presión uniforme externa e

interna. Si la distancia entre anillos es lo suficientemente grande

para que el efecto de las deformaciones producidas por cada uno

pueda despreciarse al estudiar las de los demás, puede obtenerse P

mediante la

ecuación (g), sustituyendo 8 por jL-. Esta cantidad representa la mo-

dificación del radio de la tubería, debido a la presión uniforme *.

5. Resolver el problema anterior, suponiendo que la longitud l de

la tubería no es grande y que el anillo está situado en el centro de

dicha longitud.

Idea: Para calcular la presión P por unidad de longitud de

anillo

se utilizan los resultados del problema correspondiente a la figura 13,

página 19. La flecha producida eq la tubería por las fuerzas P es

Pp Ch pZ + eos pZ -f- 2 P Ch pZ + eos pZ -f- 2 2 k

Sh pZ + sen p! 8 pSh pZ + sen pZ La ecuación para el cálculo de P es, por consiguiente,

P Ch ¡3/ 4- eos p? + 2 Pr* 03ñ «¡v, «7 í.™ 07 r Tv?

69 La dimensión del anillo en sentido radial se supone pequeña

comparada con r. * Un ejemplo de esta clase de cálculos puede verse en la publica-

ción de G. Cook, en Engineering, vol. 116, pág. 479, 1923. Véanse tam-bién R. Lorenz, V. D. I., vol. 52, pág. 1706, 1908; M. Wesphal, V. D. I., vol. 41, pág. 1036, 1897.


8 03Z> Shpi + senpi AE

Hallar P para una tubería de acero si r = 62,5 cm., h = 12,5 mm., { =

125 cm., A =25 cm.* y 8 = 1 70/t mm.

6. Una tubería cilindrica, con los bordes simplemente apoyados,

está sometida a una presión interna uniforme p. Hallar la fatiga de

flexión y la flecha en el centro de la tubería (fig. 110). Las dimensiones

son iguales a las del problema anterior.

Idea: Por los resultados del problema representado en la figura

20,

página 26, la flecha y el momento flector por unidad de longitud en la

circunferencia de la sección central c — o son

7. Resolver el problema anterior, suponiendo que los bordes de

la tubería están empotrados de modo perfecto.

Idea: Emplear los resultadosdelproblemarepresentado en la

figura 21, página 26.

8. Una tubería circular de acero está reforzada por anillos espa-

ciados a distancia l —fig. 111 (o)— y sometida a una presión interna p.

Hallar la presión P producida por unidad de longitud en la cir-

cunferencia interna de un anillo. Hallar la fatiga máxima por flexión

en la tubería.

Solución: Consideremos primeramente el trozo de tubería com

prendido entre dos anillos 1, bajo la acción de fuerzas oortantes Vt —

figura 111 (6)— y momentos flectores Mt —fig. 111 (c)—, por unidad

70 La anchura del anillo se supone despreciable al lado de la dis-

tancia l entre anillos.

Fio. 110 Fio. 111


de longitud en la circunferencia de la tubería. Considerando una tira

longitudinal de anchura unidad como una viga sobre fundación elás-

tica, y utilizando los resultados de la figura 12, página 18, y

figura 18,

página 25, seencuentra para la flecha y el giro en el extremo

izquierdo

de la tira, en el caso de la figura 111 (6),

1 _ _ 2V°Pr2 Ch pl + cos [31 Eh Sh pZ + sen fil’ ( )

IdwA _ 2FoPar2 Sh pZ— sen pZ ...

\ lhí}^~~Eh~ Sh pZ + senil?' W

Para el mismo extremo, en el caso de la figura 111 (c) se obtiene

, , 2-MopVSh pZ — sen pi

W'-o ~ Eh~ Sh pZ + senpí’

ldw2\ 4M„PV Ch pZ — cos pZ

175-Eh Sh pZ + sen pi' W

Por definición de P se deduce que

r.--J

Sustituyendo en la ecuación (i), y observando que en latubería

—figura 111(o)-— la tangente a la tira debe ser paralela aleje dela tu

bería, se obtiene

(£) -•

de donde

jt __ P Sh pZ — sen pZ tn 0 “ ip Ch pZ - eos pZ ‘ ( )

Para calcular P supondremos primeramente que los anillos son

absolutamente rígidos. En este caso, la flecha que en la tubería produ-

cirían las fuerzas P en el sitio de los anillos debería ser igual a la dila-

tación radial que tendría la tubería sin la presencia de los anillos

de refuerzo. La ecuación para el cálculo de P es, por consiguiente,

(«hU + (Û = ^

o

Ppr2 Ch pZ 4- eos GZ Ppr2 (Sh pZ — sen PZ)J _prs .

Eh ' SlTPZ + sen pZ “ 2Eh (ShpZ + señpZ) (Chpl — cos pZ) ~ Eh

En cada caso particular se resolverá fácilmente esta ecuación en

P, y sustituyendo el valor de P en la expresión (Z) se obtiene el valor

del momento flector Mg.

RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. II 12

m +


Para tener en cuenta la dilatación de los anillos de refuerzo basta

observar que las fuerzas P producen un aumento del radio interior

del anillo igual a -rj,, donde A es el area de la sección recta del anillo.

A.ÍL

La flecha de la tubería disminuye, por tanto, en esa cantidad. Por con-

siguiente, para obtener P basta en este caso

escribir

pr2 Pr8 É h ~~ A E

fpf 2 en lugar de ~r en la ecuación (m).

Íí/h 9. Hallar

el momento flector M„ y la fuerza cortante

V0 por unidad de longitud en la

circunferencia de fondo del tanque

cilindrico, lleno de líquido, de la figura 112. ixavw ouli. . — ^ iu., — 7,80

m., h = 35 cm., y = 1.16 kg./dm.a y p => 0,25.

10. Resolver el problema 5, suponiendo que el anillo está zun-

chado en el extremo izquierdo de la tubería. Se despreciará la resis-

tencia del anillo a la torsión.

Idea: Utilícese el resultado obtenido para el problema represen-

tado en la figura 22, página 26.

33. Fatigas térmicas en envolventes cilindricas.—Si una en-

volvente cilindrica con los bordes libres experimenta un cambio

uniforme de temperatura, no se producen fatigas de origen

térmico. Pero si los bordes están apoyados o empotrados, la di-

latación libre de la envolvente está impedida y acontecen fatigas

locales de flexión en los bordes. Supongamos, por ejemplo, que los

bordes de una tubería cilindrica de gran longitud estén

empotrados. En este caso, al variar la temperatura de modo

uniforme, las fuerzas cortantes y momentos flectores en los bordes

pueden obtenerse como indica el problema 2 del artículo anterior.

Basta sustituir 8 por raí, que representa el aumento radial de la

envolvente, debido a la expansión térmica. Si la longitud de la

tubería no es grande y es preciso estudiar simultáneamente ambos

extremos, las fuerzas cortantes y los momentos flectores se

determinan mediante los resultados obtenidos en el problema 8

del artículo anterior.

Consideremos ahora el caso en que la temperatura varía en

dirección radial. Sean í, y í2 las temperaturas uniformes de las


paredes cilindricas interior y exterior de la tubería y supongamos

la variación de la temperatura con el espesor lineal. En este caso,

para puntos situados a gran distancia de los extremos de la

envolvente, no hay flexión y las fatigas pueden calcularse por la

ecuación (122) (pág. 138), obtenida para una placa con borde

empotrado. La fatiga flectora máxima será

a£(q—i2) , , = 2(1 —pl) ‘ (a)

Se ha supuesto t1 > t2. Por consiguiente, la fatiga extensora

actuará sobre la superficie exterior de la envolvente.

Cerca de los extremos de la envolvente existe alguna flexión y

las fatigas térmicas totales se obtienen superponiendo las (a) con

las fatigas debidas a dicha flexión. Consideremos, por ejemplo, las

fatigas en el extremo libre de una tubería cilindrica larga. Para

calcular las fatigas en este caso, observaremos que en el borde las

fatigas representadas por la ecuación (a) se traducen en momentos

M0 distribuidos

uniformemente —figura 113 (o)-

valor — t2)h2

M0 = 12 (1 - p)

Para obtener un borde libre, es necesario

superponer otros momentos del mismo

valor, pero de dirección opuesta —figura

113 (ó)—. Por consiguiente, las fatigas

térmicas en el borde libre se obtienen

superponiendo a las fatigas (a) las fatigas

producidas por los

momentos representados en la figura 113 (b). Estas últimas fati-

gas pueden obtenerse fácilmente considerando la flexión de una

tira elemental y empleando la solución (11) (pág. 13). Se obtiene

e~P*(cos fix — sen ¡3a;),

donde (3 viene dado por la ecuación (158). La flecha máxima co-

rresponde ai borde libre (a; = 0), y es

M9 2$2D

de

FIG. 113

(b)

(c) y

(d) y


Las fatigas circunferenciales correspondientes son

—°- - = Vl=^. (e) 2p2D r 2V3(1 — p)

El momento flector que obra sobre el extremo de la tira ele-

mental viene dado por la expresión (ó). Losmomentos flectores

que impiden ladistorsión de las secciones rectas de la tira du

rante la flexión son ,, aE^ — t2)h2 ,

íiM0 = ¡i—-A . (/)

12(1 —(i)

La fatiga térmica máxima actúa sobre la superficie exterior de

la tubería en dirección circunferencial y consta de tres partes:

1. a, fatigas (a); 2.a. fatigas (e), y 3.a, fatigas producidas por ios

momentos (/). Por consiguiente,

(160) 2(1 — f i ) L V3 j

Para u. = 0,3 esta fatiga es, aproximadamente, un 25 por 100

mayor que la fatiga (a) correspondiente a puntos a gran distancia

de los extremos. Se deduce, por consiguiente, que si acontece la

rotura de una envolvente de material quebradizo, tal como vidrio,

debido a una diferencia de temperatura tl —12, comenzará en el

borde y tendrá dirección axial. De un modo análogo pueden

calcularse las fatigas correspondientes a los casos en que el borde

está empotrado o apoyado x.

Problemas

1. Hallar las fatigas de origen térmico producidas en una larga

tubería de acero con los extremos empotrados. Datos: r = 60 cm., h = 12

mm., ¡i = 0,3; el coeficiente de dilatación, a = 126 X 10~7,

y el aumento uniforme de la temperatura de la tubería, 55° ^ G, E = 2,1

x 10* kg./cm.a.

PLACAS Y ENVOLVENTES BELDABAS 187

Solución: Con los datos de referencia se encuentra

|3 = 0,152 cm.-71, D = 332 x 103 kg. cm.

La dilatación libre del radio de la tubería debida a la elevación de

temperatura es

8 = ar(í — í0) = 126 x 60 x 55 ^ X 10-7 = 42 X 10-8 cm. 18

Sustituyendo en las ecuaciones del problema 2, del artículo ante-

rior, encontramos la fuerza cortante y el momento flector por unidad

de longitud sobre la circunferencia del extremo empotrado, P0 = 48p3D = 195 kg./cm. Mü = 28p72£> = 641 kg.

Conocidos los valores de P0 y M0, se pueden hallar fácilmente las

fatigas de dirección circunferencial y axial correspondientes al

extremo empotrado.

2. Resolver el problema anterior, suponiendo que los extremos

están simplemente apoyados.

3. Un tubo de acero de dimensiones iguales a las del estudiado

en el problema 1 tiene sus superficies interior y exterior a las

temperaturas í, y t-2, respectivamente. Hallar la fatiga máxima en el

tubo s¡ q — q = 55° ~¿ C, y los extremos están libres.

1 O

Respuesta: cmáx = 1312 kg./cm.2.

4. Resolver el problema anterior, suponiendo que se hubiesen

empotrado los extremos del tubo cuando éste tuviese una temperatura uniforme igual a Ííjtli?.

34. Torsión de un anillo circular por un par distribuido

uniformemente a lo largo de su línea media.—Se presentan casos en

los que un anillo circular de sección constante está solicitado a

torsión por un par distribuido uniformemente sobre su línea media 1. Considerando medio anillo —fig. 114 (a)— como un cuerpo libre,

de su equilibrio se deduce, al tomar momentos respecto al

diámetro ox que en las secciones m y n debe existir un momento

flector de valor

M = Mta, (a)

71 Varios ejemplos de este tipo pueden verse en la publicación de

C. II. Kent, Trans. Am. Soc. Mech. Eng., vol. 53, pág. 167, 1931. El caso de un gradiente de temperatura en dirección axial puede verse en Theory oj Piales and Shells, pág. 48. en los anillos. Un caso análogo se presenta al analizar las fatigas.


siendo a el radio de la línea media y Mt el momento torsor por

unidad de longitud de dicha línea media. Consideremos ahora la

deformación del anillo. Por simetría se deduce que durante la

torsión cada sección gira en su propio plano el mismo ángulo 0 que

supondremos pequeño 73. Sea C el

centro de rotación —figura 114 (ó)— y

B un punto de la sección a distancia p

de G. Debido a la rotación de la sección,

el punto B describe un arco pequeño

]1B¡ = p0. Por ello, la

fibra anular

perpendicular a la sección

en el punto B aumenta su

radio en B2B1. Si tomamos

los ejes coordenados tal como se indica,

tendremos, por la semejanza de los

triángulos BBXB% y BDC,

tiy. (b)

Veamos primeramente el caso en que las dimensiones de la

sección del anillo son pequeñas comparadas con el radio a de su

línea media. Entonces el radio f,e todas las fibras circulares del

anillo puede tomarse igual a a sin gran error }' el alargamiento

unitario de la fibra que pasa por B, debido al desplazamiento dado

por la ecuación (b) es a

Si no bay presión la teral entre las fibras anulares, la fatiga

debida a este alargamiento s es EQy on

c =—(d) a

Ahora bien, para el equilibrio del semianillo, la suma de todas

las fuerzas normales ligadas a la sección del anillo debe ser nula y

el momento de las mismas fuerzas respecto al eje x debe igualar a

73 La discusión general de este problema, cuando 0 no es

pequeño, ha sido realizada por R. Grammel, Zeitschr. /. nnyew. Malh. u. Mech., vol. 3, pág. 429, 1923, y vol. 7, pág. 19S, 1927.

y

<«)


M —véase ecuación (a).

Si con dA representamos un elemento de área de dicha t-eo-

ción, las ecuaciones de equilibrio son

(EJydA = o; fW Ja a JA a

dA = M, fe)


La primera de estas ecuaciones muestra que el O de G de la

sección debe estar sobre el eje x, y de la segunda se deduce . Ma Mta2 „ , 0= = —, (161

Eh EIX

donde Tt es el momento de inercia de la sección del anillo respecto al

eje x. Sustituyendo en la ecuación (d), encontramos M ,ay „ .

a = (162) ‘ X

es decir, la distribución de fatigas normales sobre la sección del

anillo es la misma que en el caso de flexión deuna barra recta;

la fatiga es proporcional a la distancia de la fibra considerada al eje

neutro a; y la fatiga máxima acontece en los puntos más

alejados de dicho eje.

Como segundo ejemplo, consideraremos un anillo de

sección rectangular (figura 115), cuyo ancho b no es

peque- fig. 115

ño comparado con el radio a de la línea

media. Sean c y d los radios interior y exterior del anillo, respec-

tivamente, y r el radio general correspondiente a una fibra. Su-

pondremos, como anteriormente, que la deformación del anillo

consiste en una rotación de su sección 74 de un valor angular 0. El

alargamiento unitario de la fibra de radio r y la fatiga corres-

pondiente son c-t»; (/)

r r

La ecuación de equilibrio, análoga a la segunda

de las ecuaciones (e), será

U l

E integrando, EQh\ d

74 La posible distorsión de la sección se desprecia en este estudio. El

error correspondiente es pequeño con tal de que d/c < 1,5. Véase A. M. Wahi, Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., 1929.

Ij -Jy

dE%yidrdy ^ ^


de donde

12 M 12 M.a e = -------------- - = ----------------------------------- (163)

Eh3 loge “ Eh3 log, - c c

Sustituyendo en la segunda de las ecuaciones (/), tenemos

12 My a = ------- : ------ .

h'¿r loge -c

La fatiga máxima acontece en los ángulos interiores del anillo,

donde r — c e y =

¿i

_ 6 M __ 6 Mta ^máx j— J (164)

Wc log, - h2c loge -

Si b es pequeño, la ecuación (163) puede ponerse fácilmente

en la forma(161). Hagamos d = a + ^ y c = a — entonces, Z z

o -f- log, - = loge aá log, (1 + -) .

c b \ al

Para valores pequeños de la relación el último logaritmo vale,

aproximadamente, Sustituyendo dicho valor en la ecuación (163), se

obtiene la ecuación (161).

Estos resultados pueden utilizarse para calcular las fatigas que se

producen en la unión de una tubería y una brida 1 por las fuerzas B

(fig. 116). R es la fuerza por unidad de longitud en la circunferencia

interior del tubo. La fuerza por unidad de lon-

Rc

gitud en la circunferencia exterior de la aleta es Por la

1 Otro método para el cálculo de estas fatigas ha sido dado por 13. O. Waters, Journal Appl. Mech., vol. 59, pág. 161, 1937. Véanse también J. D. Mattimore, N. O. Smitli Petersen y H. C. Bell, Tratui. A. S. M. E., vol. 60,


pág. 297, 1938,


acción de dichas fuerzas, la sección recta de la brida gira el ángulo 0

y la pared de la tubería flexa como indica la figura 116 (ó) con línea

de puntos. Sean M0 y P0 el momento flector y la fuerza cortante en la

unión por unidad de longitud de la circunferencia

interior de la tubería. El valor de dichas

cantidades puede encontrarse de la condición de

continuidad en la unión de tubería y brida. Como

ordinariamente la brida es muy rígida en el plano

perpendicular al eje de la tubería, el corrimiento

radial producido en la brida por las fuerzas P0 es

despreciable y la flecha en el extremo de la tubería

puede considerarse nula. El giro en el extremo de

la tube- Fio. 116

ría es igual a 0; es decir, al ángulo de rotación de

la sección recta de la brida. Utilizando las ecuaciones (11) y (12) se

obtienen las ecuaciones siguientes para el cálculo de Pa y M0:

— ( P 0 — pjf0) = o, 2 ¡33Z> 0 0

(P0 — 2(JJf0) = 0. 2 p2D

De la primera de estas ecuaciones se deduce

(g) Por consiguiente,

M0 = 2 ffD0 y P0 = 2 ¡52Z)0.

Para una tubería de espesor hx y radio interior c, 3 viene dado 75 por la ecuación (158)

-A2). í cVi'l

75 Si el espesor de la tubería es pequeño, puede despreciarse la

diferencia entre el radio de su superficie interior y el de su superficie media.

(h)

(*)


El momento torsor por unidad de longitud de línea media de la

brida, producido por las fuerzas de la figura, es

Sustituyendo en la ecuación (163), se obtiene el ángulo 0, y por

la primera de las ecuaciones (h),

12 c M0 = 2¡iD. ------- —-

Eha logf - c

M0 = R(d—c)

Mediante las ecuaciones (165) y (gr), pueden calcularse las

cantidades M0 y P0 conocidas las dimensiones de la tubería, el

módulo de Poisson y las fuerzas R. Pueden, por consiguiente,

siguiendo el método expuesto en el artículo 32, calcularse las

fatigas por flexión en la tubería.

Problemas

1. Determinar el momento flector M0 y la fuerza cortante P0 en la

tubería de la figura 116, si d, = 15 cm., c = 7,95 cm., h = 3,45 cm., hx =

1,95 cm., e- = 0,3, E => 2,1 X 106 kg./cm.2.

Solución: Por la ecuación (k),

P = 0,327 cm.-»

loge - = 0,635; ^ = 0,564. C A

Sustituyendo en la ecuación (165), se tiene

M0 = 0,459 R(d — c); Pü = [iM0 = 0A5R(d - c).

La fatiga fleetora máxima en la tubería sera

6 ¿M0

R(d^c)—M0—P0h-1 = ~\R(d—C)

2j a|_

-ifo-Jf * ¿l

p2(ci — c)

Eh\ se obtiene

12(1 —¡i2)’ Reemplazando D por su valor

(165) 1


2. Hallar la expresión de la pequeña flecha correspondiente al

anillo cónico de la figura 117, que representa un elemento de un re-

sorte Belleville. R es la carga por unidad de longitud en el borde inte-

rior del anillo.

S.olución: Tómense, como anteriormente, las coordenadas x e y,

con el origen en el centro de rotación G. El alargamiento unitario y la

fatiga, para una fibra de radio r, vienen dados por las ecuaciones (/).

Del equilibrio de medio anillo se deduce

(m)

La posición del centro de rotación G se determina por la prime-

ra Ue estas ecuaciones. Sea a el radio en el punto G, y supongamos

que el ángulo (3 del cono es lo suficientemente pequeño para que

pueda tomarse sen (3 = ¡3, cos ( 3 = 1 . Tomando los ejes x-¡ e yv para-

lelos a-los lados de la sección rectangular, y teniendo en cuenta que y

=3/, -I- (32:, => y% + ¡3 (r — o), la primera de las ecuaciones (m) se

escribirá |"yi + P(r —a) drdyx = Efiflh jr — a loge

0

- d

FIG. 117 h + 5

2


de donde

(n)

La segunda de las ecuaciones (m) será

m [í2 '°gec ----- 2o(d—c) -j-aHog^jj -= Rc(d-c),

d — o

a

_ J C 2


y sustituyendo el valor (n), obtenido para a, la flecha del borde superior del

cono, respecto del inferior, será

S - 6(d — c)

Esta expresión nos da 8, si se conocen las dimensiones del anillo, e)

módulo de elasticidad del material y la carga R. El procedimiento seguido

desprecia el efecto de la variación de ¡i, debida al giro 0

(P) Rc(d— c)

CAPÍTULO III

PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS76

35. Pandeo lateral de barras comprimidas por debajo del límite de

elasticidad.—El estudio de la compresión y flexión simultáneas de

piezas rectas (pág. 238, Primera parte) mostró que existe un cierto

valor de la carga compresora denominado carga crítica, para el que

puede producirse una gran flecha, aunque la carga transversal sea

muy pequeña. Para una pieza prismática con ios extremos

articulados la carga crítica es

p "2EI / i p"=—¡yr- <“>

Experimentalmente, se ve que cuando la fuerza compresora de

una pieza, esbelta 77 se aproxima a este valor, comienza a curvarse

la pieza, y esta deformación lateral aumenta con tal rapidez al

crecer la fuerza compresora, que una carga igual a la crítica es

corrientemente suficiente para producir el colapso completo de la

estructura. Por consiguiente, la carga crítica debe considerarse

como carga de rotura para columnas esbeltas.

De la expresión (a) se deduce que la carga crítica no depende

de la resistencia del material, sino solamente de las dimensiones de

la pieza y del módulo de elasticidad del material. Dos piezas

igualmente esbeltas, una de acero de alta resistencia y la otra de

acero corriente, pandean para el mismo valor de la fuerza

76 Para grandes flechas debe considerarse la variación del ángulo p. En

dichos casos la flecha deja de ser proporcional a la carga. Véase la publicación de W. A. Brecht y A. M. Wahl, Journal Appl. Mech. Trans. A. S. M. E., vol. 52, pág. 52, 1930. Véanse también las publicaciones de J. O. Almen y A. Laszlo, Trans. Am. Soc. Mech. Engrs., vol. 58, pág. 305, 1936, y Siegfried Gross, V. D. 1., vol. 79, página 865, 1935.

77 Cuando la pieza no es suficientemente esbelta, el pandeo acontece para una fatiga de compresión superior al límite de proporcionalidad. Este caso puede verse en Theory of Elastic Stability, página 166, 1936.


compresora, aunque el material sea muy diferente en los dos casos.

Por la ecuación (a) se ve que puede aumentarse la resistencia al

pandeo de una pieza incrementando I, lo que puede lograrse sin

modificar el área de la sección recta, distribuyendo el material tan

lejos como sea posible de los ejes principales de la sección. Por esto,

las secciones tubulares son más económicas que las macizas para

piezas comprimidas. Disminuyendo el espesor de la pared y

aumentando las dimensiones transversales se aumenta la

estabilidad de estas formas tubulares. Existe, sin embargo, un límite

inferior del espesor de la pared para el que la pared resulta

inestable por sí misma, y en lugar de pandear la pieza como un todo,

se presenta el pandeo de sus elementos longitudinales, lo que

origina la abolladura de la pared.

De todo lo expuesto se deduce que el pandeo de las piezas

comprimidas, es decir, su estabilidad elástica, es un problema de

gran importancia práctica, especialmente en aquellas estructuras

para las que las dimensiones de las secciones se han ido

disminuyendo por el empleo de materiales cada vez más resistentes

y el deseo de quitar peso. En muchos casos, el colapso

de una estructura debe atribuirse a

inestabilidad elástica y no a falta de

resistencia por parte del material.

En la discusión anterior (pági- 233,

Primera parte), el valor de la carga crítica

se obtuvo considerando la acción

simultánea de fuerzas compresoras y

flectoras. Se obtiene el mismo resultado

suponiendo que la pieza está solicitada

únicamente por una carga compresora aplicada axialmente x.

Consideremos el caso de una viga prismática esbelta empotrada en

su extremo inferior y cargada axialmente en el superior (fig. 118). Si

la. can* ga P es menor que su valor crítico, la pieza conserva la

forma recta y sufre solamente compresión axial. La forma recta es

estable en el equilibrio elástico; es decir, si se aplica una fuerza

lateral y se produce una flecha pequeña, esta flecha desaparece

cuando se quita la fuerza lateral y la pieza recobra la forma recta.

Aumentando P de modo gradual, se llega a un estado para el que la

forma recta de equilibrio es inestable y una ligera fuerza lateral

FIG.118

PANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CÁSCARAS 191

produce una flecha que no desaparece al desaparecer la causa que

la produce. La carga crítica se define ahora como la carga axial

necesaria para que la pieza tome una forma ligeramente flexada —

fig. 118 (b)—.


Esta carga se calcula mediante la ecuación diferencial de la

elástica (ecuación 79, Primera parte). Los ejes se toman como

indica la figura 118 (b). Por consiguiente, el momento en la sección

mn es P (8 — y) y la ecuación de la elástica es 78

Como es natural, al estar libre el extremo superior, el pandeo se

presentará en el plano de menor rigidez a la flexión, la que

denominaremos El. Sea ^

* - T i w La ecuación (b) será

^ + P79y = P2 S. (&')


y = S -f Gx eos px + C2 sen px, (d)

donde 01 y C2 son constantes que deben satisfacer a las condiciones

en el extremo empotrado

(</)*=o = 0; = 0. \dxjx=o

78 Para la deformación indicada en la figura 118 (6) ^ es positivo,

por lo que debe ponerse signo positivo en el segundo miembro de la ecuación (6).


pl = (2n + 1) ™ ¿i

donde n es nn número entero. El valor menor de pl y, por con-

siguiente, de P, que satisface a la ecuación (/), se obtiene haciendo n

= 0. Por tanto, mediante la ecuación (c),

de donde

Este es el valor de la carga crítica para la pieza de la figura 118

(a)\ es decir, el valor menor de la carga para el que la barra puede

tomar forma curva por flexión.

Con n = 1, n = 2 . .., la ecuación (/) nos da

Las elásticas correspondientes se ven en las figuras 118 (c) y 118

(d). Para obtener la indicada en la figura 118 (c) es necesaria una

fuerza nueve veces mayor que la carga crítica, y para la

representada en 118 (d) es preciso que sea veinticinco veces mayor.

Estas formas de pandeo son inestables y no tienen interés, ya que la

estructura sufre el colapso cuando la carga alcanza el valor (166).

La carga crítica para algunos otros casos se obtiene fácilmente

mediante la solución supuesta. Por ejemplo, en el caso

(/)

(e)

9EPr2 P =

4 ¿2

25 Ehz2 412~

FALDEO DE BARBAS, PLACAS Y CÁSCARAS 193

de una pieza con los extremos articulados (fig. 119), es evidente, por

simetría, que cada mitad de la pieza está en las mismas condiciones

que la barra completa de la figura 118. Por consiguiente, la carga

crítica para este caso se obtiene escribien- 7

do - en lugar de l, en la ecuación (166), se obtiene

= ( 1 6 7 )

El caso de una pieza con los extremos articulados es muy

frecuente en las aplicaciones prácticas y se denomina caso

fundamental de pandeo de una barra prismática. En el caso

de una pieza con los extremos empotrados (fig. 120) existen

momentos de Fig. 119 reacción sobre los extremos durante el

pandeo. La combinación de la fuerza compresora y dichos

momentos equivale a aplicar excéntricamente la fuerza compresora

P (figura 120). Los puntos de intersección de la linea de acción de P

con la elástica lo son de inflexión para ésta, ya que en ellos el

momento es nulo. Estos puntos y el punto medio de la pieza dividen

a la barra en cuatro trozos, cada uno de los cuales está en las

mismas condiciones que la barra de la figura 118. Por consiguiente,

la carga crítica para una pieza con los extremos empotrados se

deduce de la ecuación (166), l poniendo - en lugar de l, se obtiene 4

_ ájz 2E 1 cr~~ P

En todo lo expuesto se supone que la pieza es

muy esbelta y que la fatiga, cuando se produce el

pandeo, queda por debajo del limite de proporcionalidad.

Solamente en estas condiciones puede aplicarse- la

ecuación (ó). Para establecer el límite de aplicación de las

expresiones anteriores que dan las cargas 'críticas,

consideraremos el caso fundamental (figura 119).

Dividiendo la ecuación (167) por el área A de la seo*

ción de la pieza, y llamando k — j j L al menor radio de

giro,

&E8ISTEK01A DE UATBEIABES—T. U

(168)

13

194 RESISTENCTA DE MATERIALES

se obtiene como valor crítico de la fatiga de compresión la expresión

P /£\a

^ = *2E (j)- <169>

Esta ecuación es aplicable mientras sea inferior al límite de

proporcionalidad. Conocido este límite y también el módulo E del

material, puede calcularse fácilmente el valor límite de la

relación 7 (el cual caracteriza la esbeltez de la pieza) para cada k

caso particular.

Procediendo del mismo modo en los casos de las figuras 118 y

120, se encuentra

.c„=n*E^‘- (170) /Í-V (171)

La fórmula del caso fundamental (169) puede emplearse tam-

bién en otros casos si se usa una longitud reducida l1 en lugar de la

longitud de la pieza. En el caso de una barra prismática con un

extremo empotrado y el otro libre, la longitud reducida es el doble

de la real Zx = 21. En el caso de una barra prismática con los dos

extremos empotrados, la longitud reducida es la

mitad de la real l1 — ^ l. La ecuación que da la fatiga crítica ¿i

puede, por consiguiente, ponerse en la forma

k\2 OT,/¿\2 acr = ÊÍ^\ =7^r), (172)

\$ll Vv

donde (3 depende de las condiciones de apoyo de los extremos y se

denomina corrientemente coeficiente de longitud.

Cuando estudiamos el proyecto de columnas (pág. 243, Primera

parte), se consideró el caso de una columna con los extremos

articulados. Todo lo allí expuesto puede aplicarse a columnas con

otras condiciones en los extremos, con tal de emplear la longitud

reducida lv en lugar de la longitud real l. En cada caso particular,

el proyecto de una columna se reduce a determinar el valor

apropiado del coeficiente de longitud.


Hallando las constantes Cx y C2, por la primera y tercera de

estas ecuaciones, y sustituyendo en la segunda, se tiene

tg pl = pl.

Para resolver esta ecuación trigonométrica se emplea el mé-

todo gráfico. En la figura 122 tenemos las curvas que dan tg pl como

función de pl. Dichas curvas tienen por asíntotas las verti- TU 3 7U cales pl = , puesto que para estos valores de pl, tg pl

L ¿i

se hace infinito. Las raíces de la ecuación (?) se obtienen como

intersección de las curvas indicadas con la línea recta y — pl. La

menor de las raíces así obtenidas es

pl = 4,493.

Como ejemplo de cálculo de este coeficiente, consideraremos

el caso de una pieza comprimida axialmente que tiene empotra-

do el extremo inferior y articulado el superior (fig. 121). El valor

crítico de la carga compresora es aquel para el que la pieza

puede tomar una forma ligeramente curva por fle-

xión. Se ve que en este caso, durante el pandeo, se

produce una reacción lateral Q, y la ecuación dife-

rencial de la elástica será

EIp>=-Pt, + Q(l. dx2 x). (9)

La solución general de esta ecuación con la notación

(c) es

y = Gx eos px + C2 sen px -f — (l — x). (h) FIG. 121

Para determinar las constantes Gx y C2, y la reacción desconocida Q, se

tienen las siguientes condiciones en los extremos:

Í-) \dx/x=o

(y)*-o = 0, (y)x=i = 0,

Utilizando el valor de y dado por (h), se tiene

C1 + 1=0, Q Cx eos pl -j- C2 sen pl = 0, pC 2 —- = 0.

(;i)

(173)


Por consiguiente,

20,162?/ re ZEI

(0,7Z)>

Es decir, la carga crítica es la misma que para una pieza

con los extremos articulados y de

longitud Zj = 0,7 L.

Como ejemplo segundo, con-

sideraremos una viga sobre tres

apoyos comprimida axialmente por las

fuerzas P (fig. 123). Para calcular el

valor crítico de la fuer- PL za

compresora, utilizaremos su de-

3 P X"*

FIG. 123

finición y supondremos que Pcr es la fuerza para la que la viga

puede tomar una forma ligeramente curva por flexión. Como

consecuencia del pandeo, aparecerá un momento flector M2 en el

apoyo central x, para cuyo cálculo podemos utilizar la ecuación (38),

obtenida para vigas continuas. Como en nuestro caso, los extremos

están articulados J/1=J/3=0, y la ecuación (38) será

(¡>i ‘f + fe ’f) = »• ti)

Esta ecuación queda satisfecha y el pandeo de la pieza es

posible si

& £ + ( > . £ = « • t i ) 1! 12

Per = V2EI l2

P l

PANDEO DE BARRAS. PLACAS Y CÁSCARAS 197

donde j3t y ¡32 son —véanse expresiones (36), pág. 37

a Z f — --------------------------------- 1 p2 =■-■ -------------------------- 3 í— -------------------------------------------- 1 (k) l.(2w1)80 2 iq tg 2 ux\ l(2 m2)2 2 w2 tg 2

u.J

- I / — - (l) 2 I EL, 1 2 I El, " 2 I EL,

Si se conocen las dimensiones de la viga, puede determinarse n j

: u2 por las expresiones (l) y la relación [i,: [32 por la ecuación (j),

que da

h = (m}

P s h h

Utilizando ahora una tabla numérica de la función ¡3, se puede

con facilidad resolver esta ecuación para valores apropiados de ux y

u2, y obtener, mediante las expresiones (l), el valor crítico de P.

Sea, por ejemplo, I, = /2 = I y l2 = 2 lx. Por tanto,

u 2 = 2«, y ~ = —2- (») P -2

Para resolver esta ecuación es necesario encontrar un valor 2 u

x de la variable 2 u tal que cuando le dupliquemos la función ¡3

cambiede signo y reduzca su valor numérico a lamitad del que

tenía para el valor 2 ux. Utilizando la tabla de valoresnuméricos

de (3 *, se encuentra fácilmente que esta condición queda satisfecha

si 2 u,= 1,93.

Por consiguiente, por las ecuaciones (l)

1,932EL 3,72 EL 14,9 El

Se ve que el valor de la carga crítica queda comprendido entre

los dos valores —S-- y que, por separado, corres-

í j í 2 ponderían a los tramos, si cada uno se considerase independien- teniente con los extremos articulados. La estabilidad del tramo corto se ha reducido por la influencia del tramo más largo, mientras que la estabilidad de este último ha aumentado.

Stability.

' i > .. [p

u.


Al deducir la ecuación (e) para la elástica, dejamos indeter-

minada la flecha máxima S; es decir, para la carga crítica la barra

puede tener una flecha pequeña cualesquiera.

Esta indeterminación proviene de utilizar la expresión apro-

ximada para la curvatura, en lugar de la expresión exacta

d?y

dx81 FSíF

La solución de la ecuación diferencial exacta correspondiente a

la elástica se ha encontrado para varios casos 82 y muestra que no

existe en la flecha la indeterminación obtenida anteriormente. Por

ejemplo, para una pieza con los extremos articulados, la flecha

máxima puede representarse por la ecuación 2

(174)

lo que muestra que la flecha aumenta muy rápidamente para

valores de la carga superiores a la crítica. Suponiendo, por ejemplo,

una carga superior en el 1 por 100 a la Pcr, se vería, por la ecuación

(174), que la flecha es alrededor del 9 por 100 de la longitud l de la

barra 83.

La relación entre la carga y la flecha puede representarse

gráficamente tal como indica la figura 124 por la curva OAB, en la

que la carga se toma en ordenadas y la flecha en abscisas. Cuando la

carga es menor que P„, la flecha es nula. Por encima de este límite,

la flecha aumenta rápidamente con la

* Véase R. v. Mises, Zeitschr. f. Angew. Math. u. Mech. vol. 4, (1924),

pág. 435. Véase también O. Domke, Die Bautechnik, vol. 4, (1926), pág. 747, y R. W. Burges, Phys. Rev. (1917).

82 Cuando comienza la fluencia, la curva AB no es válida y el pandeo va siguiendo la curva de trazos BG (fig. 124).

83 Se supone que la deformación permanece por debajo del limite de proporcionalidad.

RAKTVTCO T>R BARRAS, BBACAS Y CÁSCARAS 199

carga ’. En los ensayos de pandeo, la relación entre la flecha y la

carga depende en alto grado de la exactitud con que se ha centrado

la carga, así como del grado de

enderezamiento y homogeneidad

de la barra. La curva carga-flecha

es corrientemente análoga a la

curva OD de la figura 124. Debido

a inexactitudes de una u otra cla-

se, la flecha comienza para cargas

pequeñas, pero progresa

lentamente mientras que el valor

de la carga está lejos del de

la carga crítica, y lo hace muy rápidamente cuando la carga se

aproxima a dicho valor crítico. Cuanto más cuidadosamente se

prepara la barra y cuanto más cuidadosamente se carga, más se

aproxima la curva obtenida a la teórica OAB 84.

Problemas

1. / Una barra de acero de sección rectangular 2,4 X 4,8 cm., con los

extremos articulados, se comprime axialmente. Determinar la longitud

mínima para la que puede aplicarse la ecuación (167), si E = 2,1 X 10®

kg./cm.2, y el límite de proporcionalidad es 2,100 kg./cm.85. Determinar el

valor de la fatiga crítica si la longitud es 144 cm. 2 4

Solución: El radio de giro mínimo es k — — c m . ; la longitud mínima

deducida de la ecuación (169) es ^ ^

240 t =* 100 k = ------ = 69,4 cm.

2 V3

La fatiga crítica para l = 144 cm. —ecuación (169)- es aer = re86

x 2,1 x 106 x yo-^rqjp = 479)5 kg-/cm-a-

84 Una coincidencia casi absoluta entre los valores experimentales

y los teóricos ha sido obtenida por Th. v. Karman, Forschungsarbei- ten, núm. 81, Berlín, 1910; véase también K. Memmler, Proceedings


2. Resolver el problema anterior, suponiendo una barra de sección

circular de 2,4 cm. de diámetro con los extremos empotrados.

Respuesta: Longitud mínima = 120 centí

metros. Para l = 144 cm., acr — 1456 kg./cm.a.

3. Determinar la carga compresora crítica

correspondiente a una I standard de 175 cm. de

longitud y 16 cm. de altura, de extremos articulados.

4. Resolver el problema 1, suponiendo que uno

de los extremos de la barra está empotrado y el otro

articulado, tal como indica la figura 121.

5. Determinar el valor crítico de las fuerzas P,

que comprimen las barras verticales del cuadro

representado en la figura 125.

Solución: El pandeo produce los momentos

de reacción M0, que se oponen al libre giro de las

piezas verticales. La ecuación diferencial de la elástica de una barra vertical

es


M y =(7j eos px + C.¿ sen px +

Las constantes de integración y M0 se determinarán por las condiciones

siguientes, basadas en la forma simétrica del cuadro (fig. 125):

M0l i

(2/)*=o 0; \ ai)xJ_ °í (a¿)a_# 0 2 ElC

Utilizando la expresión general de y, sale

Ct + ^=r = — Oip sen ^ + C> eos j = 0; C2p =

De donde se obtiene la ecuación trascendente siguiente, que sirve para

determinar p, y, por tanto, la carga crítica

tgí+2

o, empleando la notación (c),

pl I h pl tg \ + Ix l 2 °*

Cuando y y es grande, es decir, cuando la resistencia de las barras 1 pl

horizontales del cuadro al pandeo de las verticales es pequeña, tg (o)

PANDEO DE BARBAS, PLACAS Y CÁSCARAS 201

es un número negativo de gran valor absoluto, y ^ se aproxima

a La carga crítica se aproxima entonces al valor — o b t e n i - 2 I

do anteriormente para una barra con los extremos articulados —ecuación

(167)—.

Cuando ^ • y es pequeño, es decir, cuando la resistencia de las ba- li l

rras horizontales del cuadro al pandeo de las barras verticales es muy

grande, tg ~ es un número negativo de pequeño valor absoluto, y ^ se

aproxima a n. Entonces la caiga crítica se aproxima al valor , obtenido

anteriormente —ecuación (168)— para una barra con

V

los extremos empotrados.

En el caso de un cuadro de forma cuadrada, con todas las barras de la

misma sección, l — lu I = i y, la ecuación que determina la carga crítica es

de donde

gr = 2,029.

16,47 El

tz2EI (077741)2

La longitud reducida es, por consiguiente, en este caso, = 0,774 l.

6. Resolver el problema anterior, suponiendo que además de las

fuerzas verticales P existen dos pares de fuerzas horizontales Q, que

comprimen las barras horizontales del cuadro.

Idea: Puesto que las barras horizontales están comprimidas, el

ángulo representado por 0 en la figura 125 es a

_ Mgl\ tg u 2

Eli u ’

donde 2 Ql\

u ~ 4Eli'

La ecuación para el cálculo del valor crítico de P se obtiene po- X i w ido en lugar de Ilt en la ecuación (o) del problema anterior.

7. Una barra con los extremos articulados AB (fig. 126) está comprimida por las fuerzas Pi y P„. Hallar el valor crítico de la fuerza Px + Pt, si (Px + Pi) : Pi = m, It : i, ==> n, ^ = r.

87 Se deduce mediante la ecuación (48), sustituyendo ui en lugar de u.

/n nnÁ i\287 tP)


li

Solución: Suponiendo que la pieza pandea en la forma que indica

la figura 126 con línea de puntos, se producirán durante el pandeo

S-P * reaccioneshorizontales Q — . Lasecuaciones di-

% ferenciales de los trozos superior e inferior de laelás-

tica son

. WT d*V l - P « Sf>2 (1 rrí

^z E I l~dx*~~ P l V í r{ l ~x ) > ^ ' (r)

h <s F* Empleando las notaciones

~El\~P*’ Eli P*’ 'Eli 2=:^’ EIt ~P*’ W A _____

y se obtiene como solución de las ecuaciones (r):

§ ^ j/i = Ci sen -pix + Ci cos pi* — j ~ (l — x)

l px

Vi = Ga sen pg» + 04 cos paa; + ~ z. f í*3

Las constantes de integración se

obtienen por las condiciones en los extremos de los dos trozos de la pieza

que pandea:

(2/i)x”í = O- (í/i)*—fe = 8, — §> (2/*)a-=0 “O*

De aquí se deduce

r __________ 8(p?Z + plM r _ c . , 1 p|l(sen pxli — tg piZ cos pi¿2) ’ * 1

c *(p¡l~plh) c 0 Ci~ plisen p3h’ *

Sustituyendo estos valores en la ecuación de continuidad

ldyi\ = ityA \dx) x = i t

\dx! x = i t

se obtiene la siguiente ecuación trascendente, que sirve para el cálculo de

las cargas críticas

8 TI l.

P-P

< 'i

FIG. 126

PATOJO DE BABEAS, FLACAS Y CISCABAS 203

la <Mia? puede resolverse en cada caso particular por tanteos, o bien

representando gráficamente ambos miembros de la ecuación y determinando

los puntos de intersección de las dos curvas. Sea, por ejemplo, l¡ => ¿2, =

I2 =I y Pt = P2; se obtiene

TZ iEI (P¡ + P2)CT = (0,87 Z)a*

8. Hallar la carga crítica para una columna empotrada en su base y libre

en la cabeza, formada por dos trozos prismáticos de momentos de inercia Ix e

12 (fig. 127).

Soltición: Si 8 es la flecha en la cabeza durante el pandeo, las

ecuaciones diferenciales para los dos trozos de elástica son

-re -»» .

Haciendo uso de las notaciones (s), Jas soluciones de estas

ecuaciones son

y1 $ + C eos P\X + D sen pxx, y2 = 8(1 — eos %>iX).

Las constantes de integración se obtienen por las condiciones

(l/dz-í = (yi)x—h ~ (yúx=h, lo que da

8 + (7 eos pil + D sen pxl = 8,

8 4- C eos pih + D sen pih = 8(1 — eos p2l2), de donde

eos p2l2 eos pil C = — D tg pil,

Puesto que los dos trozos de la elástica tienen la misma tangente para x =

1%, se tiene la ecuación

8p2 sen p2l2 = — Cpl sen pil2 + Dpx eos pxl2.

Poniendo en lugar de C y D los valores anteriores se obtiene finalmente la

ecuación siguiente, que sirve para obtener Pcr;

Pl tg pxlx tg Pth “ — •

P»

En ei caso particular de que

11 ÍP

FIG. 127

sen pili


**•(!)/

l-V—=* 2 f El 4

y _*EI *«■ -~4¡r‘

Valor igual a la carga crítica obtenida para una columna de sección

constante.

36. Método de la energía para el cálculo de la carga crítica x.—La

fórmula de Euler, dada en el artículo 35, se dedujo resolviendo la

ecuación diferencial de la elástica de la pieza comprimida con

ciertas condiciones en los extremos. Hay casos en los que esta

ecuación es complicada y la solución exacta difícil de encontrar. Se

puede emplear entonces un método aproximado, basado en la

consideración de la energía del sistema. Como ejemplo, vamos a

examinar el caso de una columna empotrada en su base y con una

carga axial en la cabeza —fig. 118 (a) y (6)—. La forma recta para el

equilibrio elástico de la pieza comprimida es estable si la fuerza

compresora P es pequeña; pero se hace inestable desde que P

alcanza su valor crítico y comienza el pandeo. Este valor crítico de

P puede hallarse comparando la energía del sistema en los dos

casos: 1.° Cuando la barra está comprimida únicamente, y 2.°

Cuando está comprimida y flexada. La energía de de formación en

la barra flexada es mayor que en la forma recta comprimida, debido

a que debe añadirse la energía de flexión a la energía de

compresión, que puede considerarse constante para deformaciones

pequeñas. Consideremos ahora la energía potencial de la carga P: la

deformación de la barra viene acompañada de un descenso del

punto de aplicación de la carga P, por lo que la energía potencial de

ésta disminuye. Sea U la energía potencial de flexión y U1 la

disminución de la energía potencial de la carga. Si í/x es menor que

U, la deformación de la barra viene acompañada de un aumento en

la energía potencial del sistema; esto indica que

se obtiene p El

PANDEO DE BABEAS, PLACAS Y CÁSCABAS 205

será necesario aplicar alguna fuerza lateral adicional para producir

la flexión. En este caso, la forma recta es de equilibrio estable. Por

el contrario, cuando U1> U, la deformación de la pieza viene

acompañada de una disminución de la energía potencial del sistema

y la flexión acontecerá sin necesidad de aplicar fuerza lateral

alguna; es decir, la forma recta lo es de equilibrio inestable. El valor

crítico de la fuerza compresora se obtiene, por consiguiente, cuando (175)

Para calcular el valor de la carga crítica mediante esta ecua-

ción, es preciso obtener las expresiones de U y Uv La elástica de la

barrabajo la acción de una fuerza compresora igual a la

carga crítica= ^j, ecuación (e) (pág. 192), es

y= sji—cos^j. (a)

Con este valor para y, la energía de deformación por flexión

será

rr 1 T.T C88 t&VV J S27T* U — -El I ~ dx=-—El. (b

2 Jo \dx2] 64 (3

El descenso del punto de aplicación de la carga durante la fle-

xión es (véase pág. 50)

fW<i*=ÜIÍ. (c)

2 Jo \dx) 16 l Por consiguiente,

ü1=px = ?JL£. (d) 1 161

Sustituyendo (b) y (d) en la ecuación fundamental (175), se

tiene

El TI2, ~4¡2’

que coincide con la ecuación (166) obtenida anteriormente.

En este caso se conocía la elástica (a), y por la ecuación (175)

hemos obtenido el valor exacto de la carga crítica. En los casos en

que se desconoce la elástica puede obtenerse un valor aproximado

de la carga crítica suponiendo que la elástica responde a la

ecuación de una curva apropiada (una cualquiera que satis

88 Véanse las publicaciones del autor en los boletines del Instituto

Politécnico de Kiew, 1910, y Annales des Ponls et Chaussées, París, 1913.

Per =


faga a las condiciones en los extremos) y procediendo como an-

teriormente.

Para ver qué aproximación puede obtenerse por este método,

consideraremos nuevamente el problema anterior. Supongamos, por

ejemplo, que en el caso de la figura 118 (6), la elástica es la misma

que la de una ménsula con una carga transversal Q concentrada en

su extremo. Por la ecuación (97), Primera

parte, y —W-FT? (3i — x). Sustituyendo este valor en la expre- o Mil

sión (6) de la energía U de deformación por flexión, y en la expresión

(d) de Uly

Comparando este resultado con la fórmula exacta (166), se ve

que el error del valor aproximado es alrededor del 1 por 100.

Este error puede reducirse

considerablemente y obtenerse una aproximación

mejor si se toma para la

energía de deformación

la expresión se tiene

ü P282 171

2 El 35

La disminución de la energía potencial de la carga P es

P QW 3 P 8*

P C7, = PX = - 2


Sustituyendo en esta expresión

2 El 15

3 Z

TANDEO DE BARRAS, PLACAS Y CASCARAS 207

Sustituyendo en la ecuación (175), se obtiene

P*8* 17 Z SP S2 2

El 35_ 5 i’ de donde

Pe,= — • — = 2,4706 17 Z2 Z2 El valor exacto es

7T2 El P7 Pw = --------------- = 2,4674 -------

4 P Z2

Por consiguiente, el error de la solución aproximada es sola-

mente el 0,13 por 100. Utilizando la ecuación (e) en lugar de la (6), se

introduce en los cálculos la flecha y de la curva escogida en

lugar de la derivada -=-|. Como y viene dada por la curva es- y/2

cogida con mucha más aproximación que , el segundo método de

cálculo da un resultado mucho más aproximado para P„.

El método de la energía da corrientemente buenas aproxi-

maciones con tal de que se escoja la curva acertadamente. Algunas

veces el resultado es aceptable, aunque hayamos hecho una

hipótesis grosera sobre la forma de la curva. Por ejemplo,

supongamos que la elástica, en el caso que examinamos, sea una

parábola de ecuación Sx2 y =

—— Z2

Por consiguiente,

f ‘ M V * = P ‘ » ( ' I l * ' i b w . r w 8 Jo 2 El 2 El Jo \

P¡

2 J„ \ixl Sustituyendo en la ecuación (175), P282 _8 = 2 S2

J

20á RESISTENCIA Í>E MATERIALES

be ve que con la curva parabólica supuesta se obtiene también

una buena aproximación, a pesar de que la curva ha sido muy mal

escogida. Tiene la curvatura casi constante a lo largo de la longitud

de la pieza, mientras que en la curva real la curvatura es

proporcional al momento flector, y este último es nulo en la cabeza

y máximo en la base de la barra.

Aplicando el método de la energía con una curva apropiada que

satisfaga las condiciones en los extremos, se obtiene siempre un

valor para la carga crítica mayor que el verdadero. Esto se debe a

que la elástica real que toma la barra al pandear es la que

corresponde a la menor resistencia de la barra.

En la mayoría de los casos la curva escogida será diferente de

esta curva de resistencia mínima y obtendremos valores por

¿exceso para las cargas críticas.

Problemas

1. Resolver el problema representado en la figura 121, suponiendo que

la elástica tiene la forma de la que corresponde a una viga cargada

uniformemente, con un extremo empotrado y ei otro articulado.

2. Resolver, por el método de la energía, eJ problema 7 del artículo

anterior (pág. 201), suponiendo í, = l7 = jj*

Solución: Suponiendo que la elástica es una sinusoide,

el momento flector en los dos trozos de la curva ea

Af,= P^q-—*(!—*).

M2 = ( P , +

La energía de deformación por flexión es

M\dx

o

'§ M\dx _ 8*

2 El2 ~ 2 El

rT i jxi \UX u ~ j i ¡nh; 2


La disminución de la energía potencial debida al descenso de los puntos de

aplicación de las cargas Pt y Pa, es

Tj _ £} /*V^ 12 dx 4- — [ 89* l ^ 8 d x - — > P + - p )

1_ 2 J [ d x + 2 J ( d x 4 1 V 1+ 2 o o

Sustituyendo en la ecuación (175) y utilizando las notaciones ya

establecidas, se obtiene

(Pl + P 2 )cr (** ( m + !) V 1 (176)

. m / m — Ia 8. r 1 , —1\* 8w — 1

m + — [ ----------------- „ (m— 1)+ n — + — --------------------------- -f 6 \ m / tt2 ' i m 6' m /

3. Resolver el problema 8 del artículo anterior por el método de la

energía.

Respuesta: Suponiendo la elástica

se obtiene

. + 7 y T ~ 1 sen -~ l l ij n 11 ) I

37. Pandeo de barras prismáticas solicitadas por fuerzas axiales

uniformemente distribuidas.—Suponiendo que bajo la acción de

la carga axial uniforme acón- T~ — tece un ligero pandeo

(fig. 128), puede obtenerse el valor crítico de la carga

integrando la ecuación diferencial de la elástica. En este

caso la ecuación no es tan sencilla como en los anteriores y su in-

tegración requiere el empleo de las funciones de Bessel1.

Una solución aproximada se encuentra por el método de

la energía. Tomemos como expresión de la elástica la

curva y = s | 1 — cos^J (a)

que, como sabemos, es la verdadera elástica correspondiente al caso

de pandeo por una carga compresora concentrada en la

89 Véase Theory of Elastic StabiUty, pág. 115.

RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n 14

7r m

P T-a Plj _________________________ 1 ________________________________ /, nn\ 41* k l1I2 1 ít ,\ *h’

si n.

rV

’f’—

Fig. 128


cabeza de la pieza. El momento flector debido a la parte de carga

anterior a la sección mn y correspondiente a esta sección es

M = j q(r¡ — y)d\.

Poniendo en vez de y el valor (a) y escribiendo 7)

= 811 — cos

se obtiene, después de integrar con relación a Jf =

Ss[(!-*) eos íí - _ Sen

Sustituyendo este valor en la expresión de la energía de de-

formación por flexión, se obtiene rl MUx _ 8 2q2l3 11 9 32\ J o 2 E I ~ ' 2 E I \ 6 ñ 2 ~ W ' ( )

Para calcular la disminución de la energía

potencial de la carga distribuida, durante el pandeo, observaremos

que, debido a la inclinación del elemento de la elástica

correspondiente a la sección mn, la parte superior de la carga

experimenta un desplazamiento hacia abajo igual a

* _ ix „ 1 (dJ\\ 2 \dx)

y la reducción correspondiente de la energía potencial es

1 ¡dy\ 2 x)dx.

2 \dxj

La disminución total de la energía potencial de la carga du-

rante el pandeo será

Sustituyendo las expresiones (6) y (c) en la ecuación (175), se

obtiene 8 2q2l3 / I 9 32\ _ Tt282g /I 1 \

2 El \6 7t2 ir3/ 8 \4 7c2/ de donde

7,89 El = —-—

U =


La solución exacta para este caso es

7,83 El 7i ¿ E l (Ql)cr = '1,122 l)2

Por consiguiente, el error de nuestra solución aproximada es

menor que el 1 por 100.

Problema

I. Una barra prismática, con los extremos articulados

(fig. 129), está solicitada por una carga uniformemente

distribuida de intensidad q y por una fuerza compresora

axial P. Hallar el valor crítico de P, suponiendo para la

elástica la ecuación

. nx y = o sen -j •

Respuesta:

38. Pandeo de barras de sección variable.—Sea

la pieza de sección variable simétrica con relación a su centro y con

dos planos axiales de simetría de la figura 130.

La parte central es de sección uniforme con un momento de inercia

J0. Hacia los extremos, la sección varía y su momento de inercia

sigue la ley Fio. 129

(a)

donde xy a son distancias tomadas desde un cierto punto fijo

(figura 130) y m un número que depende del tipo de

columna.

Cuando la parte central es un cilindro macizo y los

extremos conos macizos, 1 varía con la cuarta

potencia de x y m = 4

en la ecuación (a).

Cuan- Fig 130 d° Ia columna tiene un espesor constante en

dirección perpendicular al plano de la figura 130, los

momentos de inercia I respecto a ejes paralelos al plano

de la figura son proporcionales a x, y ni = 1 en la

ecuación (a). Cuan

Í178) l2

ql 2*

v? El P„ = P+ql

/ = /


do la columna está formada por cuatro angulares triangulados,

como indica la figura 131, el área de la sección permanece constante

e 1 puede tomarse proporcional a x2. Por tanto, m = 2 en la ecuación

( a ) . Los cáloulos realizados para m — 1, 2, 3, 4 muestran 90 que la

carga crítica por debajo del límite elástico puede representarse por

la ecuación Tp T

^ = «-=5. (179)

donde a es un factor numérico que depende de las relaciones y,

I ' /M m e —, siendo = I0 el momento de inercia en las secciones

extremas. Suponiendo articulados los extremos de la columna a

viene dado por la tabla que a continuación se expone. Puede

verse que a medida que la relación y o la y1 se aproximan a la o

unidad, el factor a tiende a n2 y la ecuación (179) tiende a la (167),

que corresponde a una pieza prismática.

Como ejemplo de aplicación de la tabla XIII, consideraremos una

pieza de madera de 187,2 cm. de longitud y sección rectangular. El

espesor de la pieza permanece constante e igual a 1,8 cm. El

ancho varía, de acuerdo con una ley lineal,

y es 9,6 cm., en el centro, y 5,76 cm. en los extremos. De

terminar PCT si E = 8,4 x 101 kg./cm.2. En este caso,

- = 0, m — \ y ll = ÍÜiZ® = 0.6.

I /„ 9,6

De la tabla xra se deduce a = 8,60, y la carga crítica,

deducida de la ecuación (179), es

r]"’! Pcr = 8,60*^-*-1- X 9’6 X .Lg3 = 96,4 kgs.

: i 12 x 187,22 _#Al

Fig. 131 Como segundo ejemplo, consideraremos la columna piramidal

de la figura 131, cuya sección cuadrada está formada por cuatro

angulares de 8,4 x 8,4 x 0,9 cm. El ancho exterior de la columna en

los extremos es 28,8 cm., y en el centro,

90 Véase A. Dinnik, Westnilc Ingenerov, Rusia, 1927. La tabla numérica

de la página siguiente se' ha tomado de esta publicación.


49,2 cm. La longitud de la columna es 18,72 m. Determinar la carga

crítica para esta columna, tomando para su acero E — 2,1 X 106

kg./cm.2, y suponiendo que las horizontales y diagonales de enlace

son lo suficientemente rígidas para que se pueda aplicar la

ecuación (179), obtenida para barras macizas. El área de la sección

recta es A = 57,14 cm.2; /j — 8590 cm.4; 10 -- 28540 cm.4. Tomando y1' = 0,3,

aproximadamente, m = 2, y - = 0, se en- i o *

cuentra mediante interpolación en la tabla precedente a Por consiguiente,

mediante la ecuación (179),

v _ 2,1 X 10s X 28540 ' A nnn ,

P„ = 7 x — ------------------------------ = 120.000 kgs. 18722

7.

TABLA XIII C O EFI C I EN T E « D E L A EC UA C I Ó N ( 1 7 9)

r - L I . h — se* i

0 0,2 0,4 0,6 0,8 I

0, 1

m = 1 m = 2 m

= 3 m — 4

6, 48

5, 40

5, 01

4, 81

7, 58

6, 67

6, 32

6, 11

8, 68

8, 08

7, 84

7, 68

9, 46

9, 25

9, 14

9, 08

9, 82

9, 79

9. 77

9. 77

7T2

m = 1 7, 01 7, 99 8, 91 9, 63 9, 82

m = 2 6, 37 7, 49 8, 61 9, 44 9, 81

0, 2 m = 3 6, 14 7, 31 8, 49 9, 39 9, 81 7t2 m = 4

6, 02 7, 20 8, 42 9, 38 9, 80

m = 1 7, 87 8, 60 9, 19 9, 70 9, 84

n A m = 2 7, 61 8, 42 9, 15 9, 63 9, 84

U. 4 i m = 3 . 7 , 52 8, 38 9, 10 9, 63 9, 84

m = 4 7, 48 8, 33 9, 10 9, 62 9, 84

m = 1 8, 60 9, 12 9, 55 9, 74 9, 85

0, 6 | m = 2 8, 51 9, 03 9, 48 9, 74 9, 85

- | m = 3 8, 50 9, 02 9, 47 9, 74 9, 85

m = 4 8, 47 9, 01 9, 45 9, 74 9, 85

m = ^ 9, 27 9, 54 9, 69 9, 83 9, 86

0, 8 | m = 2 9, 24 9, 50 9, 69 9, 82 9, 86

w = 3 9, 23 9, 50 9, 69 9, 81 9, 86

w i = 4 9, 23 9, 49 9, 69 9, 81 9, 86

I

TC* T72 7C2 n 2 T : 2 7l2



39. Efecto de la fuerza cortante en la carga crítica. -Para obtener

la carga crítica se ha empleadol a ecuación diferencial de la elástica

(véase pág. 191), que desprecia la influencia de la fuerza cortante en

la deformación. Cuando acontece el pandeo, las secciones

de la pieza dejan de ser perpendiculares a la fuerza

compresora y se presentan, por tanto, fuerzas cortantes. El

efecto de estas fuerzas puede hallarse mediante el método

de la energía desarrollado en el artículo 36. Para emplear

este método, debe añadirse la energía de deformación por

cortadura a ¡a energía por flexión al calcular la energía de

deformación U debida al pandeo. Sea AB (fig. 132) una

pieza maciza con los extremos articulados, pandeada por la

acción de la fuerza compresora P. Los valores del momento

flector y de la fuerza cortante en la sección mn son

M = Pv: F = P ^ . (a) dx

Según resultados anteriores (véase artículo 66, Primera parte),

la energía potencial almacenada en un elemento de la barra es

M2dx , aV2dx dU= =-H 1 ib)

2E\ 20A w

donde A es el área de la sección recta, y

a, un coeficiente que depende de la forma de la sección, y tal que

aF ■7=—. es el valor de la distorsión en la línea neutra (artícu- OA

lo 39, Primera parte).

El corrimiento de la sección mv respecto a m Anx, debido a aF esta distorsión, es dx, y el segundo término del segundo

nrembro de (6) representa la energía potencial por cortadura

almacenada en el elemento. Mediante {a) y (b), la energía alma-

cenada en la pieza durante el pandeo es

ü = r ? v ^ + (e) J o 2 El J o 20A\dxj w


La disminución de la energía potencial de la carga P será

u'=l4Mdx- w

Suponiendo que la elástica de la pieza pandeada es una curva

sinusoidal, * TZX

y = 8 sen —» (e) il

y poniendo este valor en (c) y (d), se tiene

u = + (/) áEl 4 GA l* 1

Pir2 U, = 8 2—•

1 4 1

Sustituyendo en la ecuación (175), obtendremos p 7i2El 1

12 i + (g) GA 12

Comparando esteresultado con la fórmula de Eider (167),

se ve que, debido a laacción de la fuerza cortante, iacarga crí

tica disminuye en ia relación 1

. El air2* (180)

' + GA T

Sea TU2/?/ „ GA

= P¿ — = P¿ ' (h)

?2 a

la ecuación (g) se escribe

P =P 1 A Af ~ ■*

' \ + P . (18D

P *

Para piezas macizas Pd es muy grande, comparada con Pe> y el

efecto de la fuerza cortante puede despreciarse. En el caso de piezas

entramadas, especialmente cuando sólo se usan mon


tantes —figura 134 (a)—, Pd puede ser del mismo orden que Pe, en

cuyo caso no puede despreciarse el efecto de la fuerza cortante. A

continuación examinaremos estos casos.

40. Pandeo de piezas entramadas \—Las piezas entramadas se

usan con gran frecuencia en las estructuras de acero. Su capacidad

de resistencia es siempre menor que la de una columna maciza que

tuviese la misma área en la sección recta y

la misma esbeltez Depende, en gran parte, de los detalles

de unión, tales como pletinas de unión, diagonales y montantes.

Esta pérdida de resistencia se debe principalmente a que en el caso

de columnas entramadas las fuerzas cortantes producen un ef cto

mucho mayor en las deformaciones que en el caso de piezas

macizas. Para calcular el efecto de la fuerza cortante sobre la carga

crítica, puede adaptarse la ecuación (181), deducida para piezas

macizas, al caso de piezas entramadas.

Sea, como anteriormente, Pe la carga crítica

obtenida por la ecuación (167); Pd tiene, en el

caso de piezas macizas, un

V significado físico sencillo, puesto que -p-

representa el giro adicional y que en la

deformación producen las fuerzas cortantes. Pd,

en el caso de piezas entramadas, tiene un

significado análogo, con tal de que el número

de tramos sea grande.

Para determinar Pd en cualquier caso

particular, debe, por consiguiente, analizarse el

corrimiento lateral producido por la fuerza

cortante.

Consideremos el tramo de la pieza triangulada

representado en la figura 133 (a). El corrimiento debido a la

cortadura es el debido al alargamiento y contracción de las

diagonales y montantes en cada tramo —figura 133 (b)—.

Suponiendo articulados los nudos, el alargamiento de la diagonal

producido por la fuerza cortante V es

/ 1> /

A v

0 / / '1 /7 - 1 1 / 7

/V

/

r i i

V N

FIG.133

0


Va ___________ sen v eos vEAd ’

V donde 9 es el ángulo entre el montante y la diagonal; —— es

a ^ la fuerza extensora en la diagonal; es la longitud de la diasen 9

gonal, y Ad es el área de la sección recta de dos diagonales. El corrimiento lateral correspondiente —fig. 133 (6)— es

------------------------------------------ (a) sen 9 eos2 <pEAd

El acortamiento del montante y el corrimiento transversal co-

rrespondiente —fig. 133 (c)— es

8, = -^. (6)

b es la longitud del montante. Ab es el área de la sección recta de dos montantes.

El corrimiento angular producido por la fuerza cortante V,

deducido de (a) y (6), es 8X + S, V , Vb

Y = -i = -------------------------------------------------------- 1 •

a sen 9 eos2 9EAb aEAb

V

Empleando la definición anterior ^- = y, se obtiene Ed

1 1 + 6

Pd sen cp eos2 9EAd aEAb

Sustituyendo en 1a ecuación (181),

P„ = (182) “ ! + = * / i + _ u

l2 \sen 9 eos2 9EAd aEA-J

Si las áreas Ad y Ab son muy pequeñas comparadas con el área de

la sección de las U —fig. 133 (a)—, la carga crítica (182) puede ser

considerablemente menor que la obtenida por la fórmula de Euler

(107).


La ecuación (182) puede emplearse también en el caso de la

figura 133 (d), si se mide el ángulo <p como indica la figura y se su-

prime el término correspondiente a la deformación del montante.

En el caso de una pieza entramada que sólo tiene montantes —

figura 134 (a)—, para obtener el corrimiento lateral

debido a la fuerza cortante V debemos

considerar la deformación de un

elemento de la pieza separado por las

secciones mv y mín1. Suponiendo que

las elásticas de las U tienen puntos de

inflexión en dichas secciones, el estado

de flexión será el que indica la figura

134 (b) 91. La deformación consta de dos

partes: el corrimiento 8X, debido a la

flexión del montante, y el corrimiento

82> debido a ia flexión de las U. En los

extremos del montante actúan los pa-

V& res — y el ángulo 0, que giran dichos extremos del montante es z (véase ecuaciones (103) y (104), Primera parte),

Va b Va b Vab fi =

2 3 EIa 2 6E/2 12 EI2

donde b es la longitud de los montantes y EI2 su rigidez a la flexión.

El corrimiento lateral 8, producido por esta flexión de los montantes

es

a, = e2 = -™ 2 24 Eh

91 Las fuerzas extensoras y compresoras que obran sobre las ba

(c)


El corrimiento 8a puede calcularse por la fórmula de la ménsula

Va3 (d)

2 3 EIj 48 EIt


El corrimiento angular total producido por la fuerza cortante V

es ^ _ Sj + 82 _ V u b _|_ P®2

f 12 El 2 24Elx

2

y puesto que ~ = y, se obtiene Jr

1 ab a2

Pd 12 EI2 2á El* y la

ecuación (181, que da la carga

crítica, será Ehc2 1 12 i _f_ / a6 i ®2 \ (183^

EITZ2

donde, como anteriormente, representa la carga crítica

calculada por la fórmula de Euler. Se ve que cuando la rigidez a la

flexión de los montantes es pequeña, la carga crítica real es mucho

menor que el valor dado por la fórmula de Euler.

De las ecuaciones (182) y (183) se deduce que para el cálculo de

cargas críticas en columnas entramadas debe reemplazarse ja

longitud real por una longitud reducida, que en el caso de columnas

trianguladas (fig. 133) se calcula por la expresión

i - i V i \ n 2 E I i 92 i 1 \ l2 \sen 9 eos2 9EAa aEAb}

y en el caso de una columna con sólo montantes (fig. 134), por ia

ecuación

+ 5W / _ 2» _ + _ £ I 1 I \ 1 2 EI2 24 ElJ

Calculada la longitud reducida de una columna entramada, la

tatiga de trabajo se calcula como para una columna maciza

de esbeltez igual a Si el proyecto se realiza por el método de

las inexactitudes supuestas (véase artículo 56, Prim,era parte), el

procedimiento propuesto da un coeficiente de seguridad que

92 Este estudio puede examinarse con detalle en la publicación de D. H.

Young, Proc. Am. Soc. Civil. Eng., diciembre 1934, y otra del mismo autor en Pub. Inlern. Assoc. Bridge and Structural Éng., volumen 2, pág. 480, Zurich, 1934. Véase también Theory of Elastic Stabi• lity, pág. 197.

/ aó a2 \

(12 EI2 2AEIJ


resulta algo más elevado para la columna entramada. En el pro-

yecto de columnas entramadas es de gran importancia práctica

dimensionar de modo adecuado las barras de enlace. Como base

para determinar las fatigas en dichos detalles, deberá suponerse

cierta excentricidad en la aplicación de las fuerzas compresoras

para el proyecto de columnas cortas h Si la excentricidad en los dos

extremos es igual a e, pero tiene sentido contrario en cada uno, las

fuerzas compresoras P forman un par de valor 2 Pe, el cual produce

en los extremos de la pieza fuerzas cortantes:

V = --p- (184)

El valor máximo de V se obtiene poniendo, en vez de P, en esta

ecuación, la carga máxima que puede solicitar a la columna. La

excentricidad e se toma corrientemente como fracción del g

radio r del núcleo; por ejemplo, - = 0,3. Las piezas de enlace

deberán proyectarse de modo que las fatigas máximas producidas

en ellas por Fmáx no sobrepasen el punto de fluencia.

En el caso de una pieza comprimida que forma parte de una

estructura con nudos rígidos, se producen momentos flectores de

alguna entidad en los extremos de la pieza al cargar la estructura.

Si por medio del cálculo de las fatigas secundarias se determinan

los valores Mx y M2 de dichos momentos, se conoce-

M M rán las excentricidades ex = y e2 = con que se aplican

las fuerzas compresoras P y el valor de su suma algebraica deberá

ponerse en la ecuación (184), en lugar de 2e.

41. Pandeo de anillos circulares y tubos bajo presión externa.

Pandeo de un anillo circular.—Se sabe perfectamente- que un anillo

circular o un tubo pueden perder la estabilidad de su forma y

abollarse por la acción única de una presión exterior, y si la rigidez

a la flexión del anillo es insuficiente, tal colapso puede presentarse

para fatigas muy por debajo del límite de


elasticidad del material. Este fenómeno debe tenerse en

cuenta en problemas tales como el proyecto de tubos

sometidos a presión externa y el de anillos de refuerzo para

submarinos.

La presión para la que la forma circular resulta inestable y

para la que se produce la abolladura, se denomina presión

crítica.

Su valor se obtendrá empleando la ecuación general (95) (página

106) de la elástica. Supongamos que bajo una presión

exterior, el anillo (fig. 135) se ha abollado en forma elíptica, tal

como se indica con líneas de puntos. Representemos con

q, la presión externa por unidad de longitud, de línea media: R, el

radio de la línea media del anillo; u, el corrimiento radial durante

la abolladura; u0, el corrimiento radial para la sección A; M0, el momento flector en la sección A;

N0=q(R — u0), la fuerza longitudinal compresora en la sección A.

El momento flector en una sección cualquiera B del anillo

abollado es _______ ________

M = M0 -1- qA O AD — - ÁBK (a)

En el triángulo AOR,

Puesto que u es pequeño comparado con R, los términos

en u2 6 UQ pueden despreciarse, y queda

1 ÁB% — AX)AD = R(un — u).

2

Sustituyendo este valor en la ecuación (a), se obtiene


M = M0 — qR(u0 — u).

La ecuación (95) (pág. 106) da

d2u R2

+ u = — — [(Jf0 — qR(u0 — «)] aq>¿

El o

dH l s(l I qB3\ ,b)

d^+ \ + El) ( )


n i n i — MÜR2 + qR3u9 .

u= C. sen p© + CL cos p© ----------------------------- - ------ 2, (c)

x 2 - r r 2 trr El + qR*

dondey <72 son constantes a determinarpor las condiciones

en las secciones A y F del anillo abollado, y

p‘ = 1+w (d)

Por simetría, se deduce que

(*) =0; /*) =0. (.) wp/cp-o xdcp/c

Por la primera de estas condiciones se obtiene C1 = 0, y de la

segunda, sen — = 0. (/)

2

La menor de las raíces de esta ecuación es

®7C

t— = 7C

2

o p = 2.

PARDEO DP PARRAS. PLACAS Y CX SO ARAS 225

Sustituyendo este valor en (d), se obtiene el valor de la presión

crítica 93 3 El

(185) R94

Las otras raíces de la ecuación (/), tales como — 2iz, ^ —

37t, etc., corresponden a un número mayor de ondas en el anillo

abollado y dan valores mayores para la presión q. La figura 135 (b)

muestra la forma abollada para ~ = 2n. Estos

¿i

altos grados de abolladura interesan al estudiar la estabilidad de

tubos cilindricos cortos con los extremos ondulados.

Abolladura de un arco circular.—Si un arco circular con los

extremos articulados se somete a una presión uniforme, puede

abollarse tal como se indica con

línea de puntos en la figura 136. El

valor crítico de la presión depende

del valor del ángulo a y puede

calcularse por la ecuación 95

asa,

El problema de la abolladura

de un anillo en dirección per-

pendicular a su plano también ha sido resuelto 3.

Abolladura de tubos circulares.—La teoría de la abolladura

desarrollada anteriormente para un anillo circular puede em-

plearse también en el caso de un tubo circular largo sometido

93 Este problema fué resuelto por M. Bresse, Cours de Méccmique

Appliquée, primera parte, pág. 334, París, 1866. 94 Véase E. L. Nicolai, Zeitschrif. f. angew. Math. u. Mech., vol. 3, pág.

227, 1923. Véase también la publicación del autor, Zeitschr. /. angew. Math. u. Mech., vol. 2, pág. 358, 1923.

95 Véase la publicación del autor sobre Estabilidad de los sistemas elásticos, en Boletín del Instituto Politécnico de Kiew, 1910. Traducción francesa, Anuales des Ponts et Ohaussées, 1913. Véanse también E. Hurl- brink, Schiffbau, vol. 9, pág. 640, 1907-1908; E. Chwalla y C. F. Koll- brunner, Der Stahlbau, 1937 y 1938, y el libro reciente de A. N. Dinnik, Pandeo de piezas, Moscú, 1939.

Qcr


a una presión externa uniforme. Consideremos un anillo elemental

separado del tubo por dos secciones rectas separadas poi ia unidad.

El momento de inercia de la sección de este anillo es

1 h3 1 = - - - - - 9

12

donde h, representa el espesor de la pared del tubo. Como la sección

del anillo no se distorsiona al íiexar, deberemos tomar

E

1 --- fJL2

en lugar de E. La ecuación (185), que da la presión crítica, será en

este caso Eh3

Ver ------------------------------------------------------- (187) 4(1 — ¡x2)E3

Esta ecuación puede usarse mientras que la fatiga de com-

presión correspondiente en el tubo sea menor que el límite de

proporcionalidad del material. Por encima del límite elástico, la

verdadera presión crítica será menor que la dada por la ecuación

(187), y debe emplearse esta otra ecuación x:

h an Ver =

R l +4^1 ( 1 8 8 ) E ’’h96

donde Gf, representa el punto de fluencia del material a compresión.

A medida que se reduce el espesor, la presión crítica se

Eh aproxima al valor límite — l i g e r a m e n t e menor que el dado

por la ecuación (187), y en todos los casos su valor es menor que hcm ——; es decir, menor que la presión correspondiente al punto

de fluencia 2. El colapso de tubos bajo una presión externa uniforme

depende mucho de las diversas imperfecciones que pue

96 Diversos experimentos de colapso de tubos cortos por presión exterior

han sido descritos por G. Cook, Phil. Mag., pág. 51, 1914. Del mismo autor puede verso en Erit. Assoc. Bep. (Birmingham, 1913) una nota bibliográfica sobre este problema.

PANDEO DE BABEAS, PLACAS Y CÁSCABAS 227

den presentar. La más importante es una elipticidad inicial cuyo

valor límite para cada clase de tubo es de ordinario bien conocida

por numerosas medidas de comprobación. Es conveniente, por

tanto, tener una fórmula en la que dicha elipticidad aparezca de

modo explícito. Para obtener una fórmula tal97, supondremos que la

desviación de la forma inicial del tubo, desde la forma circular,

representada en la figura 137 con línea de

trazos, viene dada por la ecuación

= u0 eos 2cp,

donde u0 es la desviación radial inicial

máxima, que supondremos pequeña

comparada con R, y <p es el ángulo en el

centro medido, como indica la figura. La

forma inicial del tubo está indicada con

línea llena en la figura 137. Si a este tubo no

circular se le aplica una presión exterior, se deformará. Repre-

sentando el corrimiento radial, debido a la deformación por u2 y

considerando un anillo elemental de anchura unidad, se deduce

mediante la ecuación (95),

<Pu. , (6) ■p Ha = MR98

dep2 2 D

donde

D = 12(1— (jt2)

es la rigidez a la flexión del anillo elemental. En cuanto al momento

flector M, vemos que, debido a la presión p, la curvatura disminuye

en los trozos A B y GD del anillo elemental; por lo que M será en

ellos positivo, mientras que en los trozos restantes del anillo el

momento es negativo. En los puntos A, B, G y D el momento flector

es nulo, y la acción mutua entre las partes del anillo elemental viene

dada por las fuerzas S tangentes a la circunferencia de trazos que

representa la forma ideal del tubo 2.

97 Véase la publicación del autor, Trans. A. S. M. E., Journal of Applied

Mechanics, vol. 1. pág. 173, 1933. 98 La acción de las fuerzas S sobre el trozo AB del anillo se indica en la

figura.

&E818TMM01A DJt MATERIALES.—X. IX

(a)

15

Eh*


Esta circunferencia puede considerarse como curva funicular de la

presión exterior uniforme p. La fuerza compresora a lo largo de esta

curva permanece constante e igual a S = plí. Por tanto, el momento

flector en cualquier sección puede obtenerse multiplicando 8 por la

desviación radial total ul -J- u2 de dicha sección. Por consiguiente,

M — pR(u2 + u0 eos 2<p), (c)

y la ecuación (6) será

+ m2 = — ^-pR*(u2 -f eos 2<p) acp2

D

o

d2u2 . /, . R3 R3\ 1 1 + V ~D I = _ D pR3u° C0S %q>' dep2

La solución de esta ecuación que satisface las condiciones de

continuidad en los puntos A, B, C y D es

u2 = —- eos 29, H 89)

Per — P

donde p^ viene dada por la fórmula (187). Se ve que en los puntos A,

B, G y D el corrimiento u2 y su segunda derivada se anulan. Por

consiguiente, los momentos flectores en esos puntos son nulos, como

se había supuesto anteriormente. El momento flector máximo

acontece para 9 = 0 y 9 = 7t, donde

\ Pcr—Pl i_JL ' '

Per rp

Se ve que para pequeños valores de la relación — la modifí- Per

cación de la elipticidad del tubo puede despreciarse, y que el

momento flector máximo se obtiene multiplicando la fuerza com-

presora S = pR por la desviación inicial íí0. Si la relación — Per

no es pequeña, debe considerarse la modificación de la elipticidad

inicial y calcularse ü/máx mediante la ecuación (190). La fatiga

máxima de compresión se obtiene sumando a la fatiga máxima de

compresión debida al momento flector máximo Mm4X la fatiga

producida por la fuerza compresora pR,

De este modo se encuentra

(


pR t 6 pRu0 1

h h2 p (d)

Ver

El valor peligroso de la presión p es aquel para el que comienza

la fluencia del material. Representando dicho valor por Vn y

poniendo aF en lugar de se tiene

pF¡R 6 pF¡Ru0 1 °bi — —; ------- r -

h h2 1 — pF, (e)

Ver

de donde puede deducirse el valor de la presión peligrosa pFl,

conocidos aFl y la desviación inicial uQ. Utilizando las notaciones

— = m v — = n, (/) h R K

la ecuación (e) para el cálculo de pFl será

P$7 — I ~ + (1 + 6 mn)pCJ.l pFl -1—FJP-- = 0. (191) L m J m

Mediante esta ecuación pueden trazarse curvas que den la fatiga

compresora media VFI~J¿ como función de jr para diversos valores

de la relación y para diversos valores de aFl. Con tales curvas y un

coeficiente de seguridad apropiado, puede calcularse fácilmente el

espesor de pared apropiado para una tubería.

Conviene observar que la presión pFl, así determinada, es menor

que la presión para la que acontece el colapso completo del tubo;

utilizando pFt, tedremos, por consiguiente, mayor seguridad.

En el estudio realizado se ha supuesto que la longitud l del tubo

es grande comparada con su radio; es decir, 4 > 20. Para tubos coitos,

si los extremos están empotrados o apoya


dos, el valor de pcr es mayor que el dado por la ecuación (187) y

depende de la relación La teoría de la abolladura de esta

clase de tubos es más difícil 99, puesto que el tubo se divide durante

la abolladura en varias ondas a lo largo de la circunferencia y el

número de ondas depende de la relación 4 8.

n

El problema de la abolladura de tubos cerrados en los extremos

y sometidos a presión uniforme en ambas caras extremas y en la

superficie lateral 100 también ha sido resuelto 101.

42. Pandeo de plaeas rectangulares.—El problema del pandeo de

placas rectangulares comprimidas es de gran importancia

99 Para estudiar este problema, véase el libro del autor Theory of Elastic

Stability, pág. 445. 8 Este problema se presenta al estudiar la estabilidad de un submarino.

101 Véase la publicación de R. v. Mises en Festschrift von Pro]. A.


práctica al examinar la estabilidad elástica por compresión de

piezas con secciones compuestas (cajón, simple o doble T, etc.), tan

frecuentes en las estructuras de acero (fig. 138). El colapso de tales

piezas acontece generalmente por pandeo del alma o caras laterales

de las piezas, en lugar de deberse al pandeo del conjunto. Por

ejemplo, en los casos de la figura 138 puede presentarse el pandeo

de las planchas tal como se indica con líneas de trazos, si el espesor

de las planchas no se escoge adecuadamente. Como la longitud de la

pieza comprimida es generalmente grande, comparada con las

dimensiones de su sección, el problema se reduce a estudiar el

pandeo de una placa larga comprimida (fig. 139). Los lados cortos de

la placa pueden considerarse simplemente apoyados; las

condiciones en los otros dos bordes dependen de la forma de la

sección de la pieza. Por ejemplo, en una sección de cajón —fig. 138

(c)—, de forma

FIG. 139

'T'

(a)

Ce)

Fio. 138

r i

M


cuadrada, en la que todas las planchas tengan el mismo es-

pesor, la tendencia a pandear es igual para todas y cada cara puede

considerarse como una placa rectangular comprimida con los

cuatro bordes simplemente apoyados. En los casos de las figuras

138 (a) y 138 ( ó ) , los bordes inferiores de las almas verticales están

libres y los superiores empotrados elásticamente h

La solución rigurosa del problema del pandeo para condiciones

diversas en los bordes longitudinales de una placa, tal como la de la

figura 139, se ha encontrado 102. Nosotros daremos solamente los

valores de las fatigas críticas deducidas de dichas soluciones.

Placa rectangular apoyada en los cuatro lados.—Una placa de

este tipo sometida a compresión uniforme en la dirección del eje x

(fig. 139) pandea, subdividiéndose en cuadrados o rectángulos casi

cuadrados.

El vaior crítico de la fatiga viene dado por la ecuación 103

(192)

(193)

h es el espesor de la placa; b, su ancho, y

102 Véase Theory of Elastic Stability, 1936.

103 La solución de este problema se debe a G. H. Bryan; véase London Math. Soc. Proc., vol. XXII, pág. 54, 1891. Otros casos de pandeo de placas rectangulares se han estudiado por el autor. Véanse las publicaciones del mismo: 1.°, sobre la estabilidad de placas comprimidas, Bull. of the Polyt. Int. in. Kiev, 1907; 2.°, Z. f. Mathematik und Physilc, vol. 58, 1910; 3.°, Der Eisenbau. vol. 12, 1921: Proceedings Arm. Soc. C. E., vol. 55, pág. 855, 1929. Véase también H. Reissner, Zentralbl. d. Bauverw., pág. 93, Berlín, 1909.

12 62(1 — fjt2) *


(a)


representa un coeficiente que depende del valor de la relación j.

m es el número entero de ondas en que la placa se divide al

pandear. Debe escogerse de modo que (3 sea mínimo V En la tabla

XIV se dan diversos valores de este coeficiente.

TABLA XIV

Para placas largas ¡3= 4 da siempre una buena

aproximación. Los valores de dados poi la tabla anterior están

calculados en la hipótesis de que E = 2,1 x 10® kg./cm.104,

(x = 0,3 l\ = 0,01. La fatiga crítica para cualquier otro valor

de la relación ^ puede hallarse multiplicando los valores de ia

tabla por 104 •

Sea, por ejemplo, una placa larga de acero, cuyo punto de

fluencia es 2.800 kg./cm.2. Y supongamos que se desee determinar el

valor de la relación ^ para el que la fatiga crítica es igual a la fatiga

de fluencia. Supongamos ¡3 = 4. Por la tabla XIV,

á2

aCT = 7 63 X 104 - = 2800 kg./cm.2,

de donde

b - = 52,2.

______________________________ h Para valores mayores de» la relación ^ el colapso acontece

por pandeo para una fatiga menor que el punto de fluencia del

material. TABLA XV

a = m¿>, es decir, cuando la placa se subdivide al pandear en cua

CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN PLACAS RECTANGULARES SIMPLEMENTE APOYADAS

a b~

0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,7 3

P = 8,41 5,14

4,20 4,00

4,13

4,47

4,20

4,04

4,00

4,04

4,13 4,04

4.00

acr 1,596

980 798 763 784 847 798 770 763 770 784 770 763


En este caso, para determinar la fatiga de trabajo se toma como

referencia la fatiga crítica y no el punto de fluencia.

Tres bordes de la flaca apoyados y el cuarto libre.—Si uno de los

bordes longitudinales tal como y = b (véase fig. 139) está libre, la

ecuación (192) puede emplearse para calcular la fatiga compresora

crítica, tomando el coeficiente £¿ de la tabla XV.

Dos lados opuestos simplemente apoyados, el tercero empotrado y

el cuarto libre.—Los bordes a; = 0ya; = ade la figura 139, se

consideran simplemente apoyados y el borde y — 0 empotrado.

Puede emplearse la ecuación (192). Los valores del coeficiente ¡3

vienen dados por la tabla XVI.

TABLA XVT

Para valores mayores de la relación -, una buena aproximación

es ¡3 = 1,33.

CONSTANTE S PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA CORRESPONDIENTE A UNA PLACA RECTANGULAR CON TRES BORDES APOYADOS Y EL CUARTO

( y = b ) LIBRE

a b = 0,5 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0

P =

c: ... .

4,40 1,440

1,135

0,952 0,835 0,755 0,698 0,610 0,564

0,516

0,506

CONSTANTE (3 PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN UNA PLACA RECTANGULAR CON DOS BORDES OPUESTOS SIMPLEMENTE APOYADOS, EL TERCERO EMPOTRADO Y EL CUARTO

( y = b ) LIBRE

a b = 1,0 1,1 1,2 1,3 1,1 1.5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3

P = 1,70

1,56

1,47

1.41

1,36

1,34

1,33

1,33

1,34

1,36

1,38

1,45

1,47

1,41

1,36

1,34

236 RESISTENCIA DE MATERIA!,ES

Dos bordes opuestos simplemente apoyados y otros dos empo-

trados 105.—Los bordes a; — 0 y as — a se consideran simplemente

apoyados. Los valores correspondientes del coeficiente [3, en ia

ecuación (192), vienen dados por la tabla siguiente:

TABLA XVII

Placa rectangular apoyada en los cuatro bordes y solicitada

por fatigas cortantes uniformemente

i—|—* distribuidas a lo largo de las mismas

1 b (figura 140).—El valor crítico de la

t | fatiga cortante que produce la abo

lladura de la placa es

Tcr = (194)

Los valores del coeficiente numérico 3 figuran en la tabla

siguiente:

TABLA XVIII

Esta tabla puede utilizarse para escoger el espesor del alma en

una viga compuesta. Cerca de los apoyos la fuerza cortante

105 Este caso se presenta cuando dos de las caras opuestas de la pieza de

la figura 138 c son muy rígidas y solamente las otras dos pueden pandear.

CONSTANTE (3 PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN UNA PLACA RECTANGULAR QUE TIENE DOS BORDES OPUESTOS SIMPLEMENTE APOYADOS Y LOS OTROS DOS

EMPOTRADOS

©•

i e

II

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,1

3 = 9,44

7,69

7,05

7.U0

7,29 7,83

7,69

7,05

7,00

7,29

7,05

7,00

FIG. 140

CONSTANTE 3 PARA EL CÁLCULO DE LA FATIGA CRÍTICA EN UNA PLACA RECTANGULAR APOYADA EN LOS CUATRO BORDES Y SOMETIDA A UNA

CORTADURA UNIFORME

a i 1,2

b = 1,4 1,5 1,6 1,8

2,0 2,5 3 oc

0 = 9,42 8,0 7,3 7,1 7,0 6,8 6,6 6,3 6,1 5,4


es el factor más impor tante. Por consiguiente, la parte de alma

situada entre dos refuerzos puede considerarse como una placa

rectangular de bordes apoyados solicitada únicamente por fatiga

cortante. Por ejemplo: si la distancia entre refuerzos es 1,44 m., E =

2,1 X 106 kg./cm.2 y ¡i = 0,3, se obtienen los valores siguientes para la

fatiga crítica en kg./cm.2, correspondiente a planchas de espesor h y

altura b h

TABLA XIX

El espesor necesario para las placas de acero utilizadas en

piezas de secciones compuestas (fig. 138) se obtiene mediante las

tablas XIV a XIX. Si las caras de. la sección —fig. 138 (c)—- se

consideran como placas rectangulares simplemente apoyadas, la

fatiga crítica será

-* • (e) acr = 4 ae =

3 62 1

h Tomando, por ejemplo, ^ = 0,01, se halla

acr = 763 kg./cm.a.

Esta fatiga queda muy por debajo del límite de proporcio-

nalidad del acero. Si los bordes longitudinales de la misma placa se

suponen empotrados, se encuentra

7 <rc, = 7 ae = - x 763 = 1,337 kg./cm.2.

4

En los casos (a) y (b) (fig. 138), las placas verticales pueden

considerarse como placas largas empotradas 2 a lo largo del borde

superior y libres en el borde inferior. La fatiga crítica es, por

consiguiente, , 1,33 7r2 h2 E

acr = 1,33 (d)

12 ¿>2 1 — fi2

106 Esta hipótesis da un límite superior para la fatiga crítica. La

verdadera fatiga crítica es algo menor, debido a que el cosido del borde superior no es absolutamente rígido.

1 Este problema se examina en Theory of Elastic Stability. página 385, 1936.

b U = 0,y cm. h = 1,05 cm. h 106= 1,2

cm. k — 1,35 cm.

1,44 m. 700 950 1240 1570

2,016 •> 540 735 960 1220

2,88 » 490 665 870 1100


De nuevo la estabilidad de la placa depende de la relación

Suponiendo que el punto de fluencia del acero es 2.100 kg./cm.2,

el valor de para el que aer alcanzaría dicho punto, deducido de (d),

es

b l/ 1,33 ti2 v 2,1 x 106 k ~ V 12 x 2,100

0,91 ~

Por tanto, si ^ > 35, la fatiga crítica resulta menor que el

punto de fluencia del material. Esta circunstancia debe tenerse en

cuenta al fijar el coeficiente de trabajo La estabilidad de la placa

puede aumentarse reforzando el borde libre.

En todos los casos se ha supuesto que la fatiga crítica era

inferior al límite de proporcionalidad. Para fatigas que sobrepasen

este límite las ecuaciones expuestas dan valores exagerados para la

fatiga crítica L

43. Pandeo de vigas sin apoyos laterales.—Es bien sabido que si

no existen apoyos laterales, las vigas en I cargadas en el mismo

plano del alma pueden no ser suficientemente estables en dirección

transversal. Si la carga alcanza un cierto límite crítico, la viga

pandea lateralmente y cargas superiores causan su colapso 2. Este

límite puede determinarse por el método de la energía.

I

PANDEO DE BARBAS, PLACAS Y CÁSCARAS 239

Como ejemplo, consideraremos una viga AB (fig. 141) de sección

rectangular estrecha sometida a una carga concentrada P que actúa

en la sección central y en el plano longitudinal vertical de simetría.

Si esta fuerza es pequeña, la deformación de la viga acontece

solamente en el plano vertical y esta forma plana de flexión resulta

estable. Si deformamos la viga lateralmente por la acción de una

fuerza, esta deformación desaparece al quitar la fuerza y la viga

recobra su forma inicial. Si aumentamos P, se llega a un valor

límite, para el que la forma plana de flexión resulta inestable. La

viga pandea entonces lateralmente

y pueden presentarse deformaciones grandes con incrementos muy

pequeños de la carga. Este valor límite de P se denomina carga

crítica. Se determina considerando la energía potencial del sistema.

Cualquier deformación lateral de la viga viene acompañada de un

aumento de la energía de deformación. Después de un pequeño

pandeo lateral, tendremos no solamente energía de deformación por

flexión en el plano vertical, que supondremos invariable, sino

también energía de deformación por flexión en dirección lateral y

energía de deformación por torsión. Al mismo tiempo, la energía

potencial de la carga disminuye, debido a que el pandeo viene

acompañado de un descenso de su punto de aplicación.

Representemos con Ul la disminución de la energía potencial de la

carga; con U, la energía de deformación debida a la flexión en

dirección lateral, y con U2 la debida a la torsión. Por consiguiente,

la carga crítica se determina por la ecuación (175) (pág. 205), que

en este caso es

U+U2=Ul

(a)


Ahora debemos calcular las cantidades que intervienen en esta

ecuación. El momento flector en el plano vertical para cualquier

sección a distancia x del apoyo izquierdo (véase fig. 141) PX

es En el pandeo lateral, debemos considerar el momento ¿\

flector respecto al eje Zx —fig. 141 (c)—. Este momento es

±CC(D igual a —, siendo 9 el pequeño ángulo de torsión, variable

a lo largo de la longitud de la viga. Por tanto, para una deformación

lateral pequeña 1 tendremos la ecuación diferencial siguiente: d*y Px

EI Z -? = -------------------9. (6

dx* 2

La energía de deformación por flexión correspondiente es

U = EIZ fl p)2 dx = P x\Hx. (c) Jo \dx*l 4 El'Jo

La energía de deformación por torsión es (véase ecuación 210,

Primara ¡jarte)

U2=c£(^J2dx, (d)

donde C es la rigidez a la torsión de una sección rectangular

(ecuación 156, Primera parte). Veamos ahora el descenso del punto

de aplicación de la carga P.Tomemos dos

elementos dx

de la viga,simétricamente situados —fig. 141 (b) y (c)—, y

con

sideremos solamente el efecto de la flexión en el plano xyx de estos

dos elementos.

La deformación angular debida a esta flexión es igual a (Ptf — ckd2 ^X' ômo esta flexi°n acontece en ei plano xyv Inclinado

un ángulo 9 respecto al horizontal —fig. 141 (c)—, se origina un

(P'U descenso de la carga P igual a — xcp dx.

1 En este caso es válido tomar como valor déla curvatura, en J <Py. dxi vez de

dx*

El descenso total de P debido a la flexión, de todos los elementos

de la viga por el pandeo, será

» i107 d'¿y

107 Un estudio más detenido del problema muestra que el error de


6 — — | x<p —— dx,

J o dx108 o, mediante la ecuación (ó),

S = —f x2(p2dx. 2 El t J0

Por consiguiente,

U. = PB— ^ f r'2cf)2dx. (e) 2 El, J

Sustituyendo (c), (d) y (e), en la ecuación (a), se tiene

iE i- cH(í P2 x ________ ' .

' f\ cr (*L •> '

/ x2y2dx

Tomando para valor de <p una función de x escogida de modo

apropiado y tal que satisfaga a las condiciones en los límites, se

deducirá de la ecuación (/) un valor aproximado de la carga crítica.

Supongamos, por ejemplo, que

nx cp = a sen —

( c r ) 21

Esta función es nula en los extremos de la viga, para los que el

ángulo de torsión es nulo, y máxima en ei centro (x = l).

Sustituyendo (g) en la ecuación (/), se tiene 1

P ^-A^lLí. (195) (21)2

El valor crítico de la carga depende, pues, del producto de las

rigideces a torsión y flexión de la viga.

Hemos supuesto que la carga P se aplicaba en ei centro de

esta solución aproximada es de 11/2 por 100. Por consiguiente, la ecuación (196) es válida para las aplicaciones.


gravedad de la sección central de la viga. Si eJ punto de aplica-

ción está a una distancia a de dicho punto, el segundo miembro de la

ecuación (195) debe multiplicarse por

Si la carga está distribuida uniformemente a lo largo del eje de

la viga (fig. 141), su valor crítico es

._ A 28,3 \JCEIZ „no. (2ql)er = —-— -------------------------------------------- (196)

(2 1)2

Para una ménsula de luz Z cargada en el centro del extremo

libre, la carga crítica es

(197) Z 109

En el caso de una viga en I, las ecuaciones que dan la carga

crítica tienen la forma obtenida anteriormente parauna viga

de sección rectangular estrecha, excepto que el factor numérico del

numerador del segundo miembro no es constante, sino que depende

del valor de la expresión 2

mAhj

Por ejemplo: Si una viga en I está apoyada como indica la figura

141 y cargada de modo uniforme a lo largo de su eje, el valor crítico

de la carga total es

{2ql\.r = ^GEíz.. (198) (2 Z)2

Los valores del coeficiente p en función de los que toma a se dan

en la tabla siguiente: TABLA XX

109 La rigidez a la torsión C, para vigas en I, se examinará en el artículo

51, pág. 280.


Se ve que a medida que a crece, la constante ¡3 se aproxima al

valor correspondiente a una viga de sección rectangular. En la

tercera línea se dan los valores de la fatiga flectora crítica

correspondiente, suponiendo que la cantidad

Y=f;(^r=° 110-

~ es la relación de las rigideces a la flexión lateral y vertical, y —. ly ¿i

la relación entre la altura de la viga y su luz. Si la viga tiene otras

dimensiones, la fatiga crítica se obtiene multiplicando las

cantidades de la tercera línea por el número 10111 y.

La cuarta y quinta línea de dicha tabla dan la fatiga crítica

cuando la carga se aplica sobre el ala superior o sobre la inferior de

la viga, respectivamente. Todos los cálculos están hechos su-

poniendo el material perfectamente elástico 1. Sea, por ejemplo, una viga de las dimensiones siguientes:

Longitud 21 — 5,76 m.

Altura h = 57,6 cm.

Ancho del ala b = 16,8 cm.

Espesor del alma Sj = 1,2cm.

Espesor medio de las alas 8 = 2,09 cm.

Área de la sección A = 134,2 cm.2.

Rigidez EIV = 69250 E kg./cm.3.

» EIZ = 1417 E kg./cm.2.

110 Si se quiere estudiar con más detalle este problema, véanse la

Die Kipp-Stabüitátgerader Trager, Berlín, 1939.

FATIGAS CRÍTICAS EN FUNCIÓN DE LA CONSTANTE «, PARA y = 0,0001 F E = 2,1 X 106 KG./CM.2, CARGA UNIFORME (FATIGAS EN KG./CM.2)

a = 0,1 1 2 4 6 8 12

6 = 143,0 53,0 * 42,6 36,3 33,8 32,6 31,5

G c r — 595 695 790 950 1.090 1.210 1.420

a 'cr ~ 385 475 565 720 855 965 1.175

cr = 925 1.015 1.105

1.260 1.400 1.505 1.715

« = 16 20 32 50 70 90 100

30,5 30,1 29,4 29,0 28,8 28,6 28,6

°l”f = 1.610 1.765 2.185 2.700 3.170 3.570 3.760

® cr = 1.360 1.510 1.930 2.450 2.910 3,320 3.500 ®"cr = 1.905

2.060 2.470 2.980 3.445 3.855 4.030


Mediante la ecuación (256) (pág. 280)

O 683 + ~h^ = 135 G.

Por la ecuación (h), suponiendo E = 2,6 O,

a = 3,67,

y de la ecuación (k) 1417

y = ---------- — ------------- = 205 X 10~8. 69,250 X 100

La tabla XX da, por interpolación, para cu — 3 67,

aCT = 790 + - (950— 790) x 1,67 = 924 kg./cm.2. 2

Esta es la fatiga crítica para y = 0,0001.

La fatiga crítica en el ejemplo considerado será

924*y -104 = 1.883 kg./cm.2.

La carga correspondiente a esta fatiga debe considerarse como

la de rotura de la viga. Este resultado numérico muestra que el

pandeo lateral puede acontecer para fatigas muy alejadas de la

fatiga de rotura del material a compresión directa y hasta menores

que el límite de elasticidad. Para determinar la fatiga de trabajo,

debe tomarse como base la fatiga crítica y no el punto de fluencia.

Por ejemplo, con un coeficiente de seguridad 3, la fatiga de trabajo

sería 1883/3 = 628 kg./cm.2.

CAPÍTULO V

DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE UN EJE

44. Cilindro de pared gruesa.—Si un cilindro circular cuya pared

tiene un espesor constante está sometido a la acción de unas

presiones, interna y externa, uniformemente distribuidas, la

deformación que se produce es simétrica alrededor del eje dei

cilindro y no varía a lo largo de su longitud. Consideraremos

un anillo separado del cilindro mediante dos planos perpendiculares

a su eje y separados por la unidad de distancia (fig. 142). Por

simetría, en las caras de un elemento de este anillo mnm1nl (figura

142) separado por dos planos axiales y dos superficies cilindricas

concéntricas, no existen fatigas cortantes. Sea o, la fatiga tangencial

normal a las caras mm1 y nn1 del elemento, y a, la fatiga radial

normal en la cara mn. Esta fatiga es función

del radio r y varía en ^ dr cuando r varía en dr. La fatiga radial en la

cara m1n1 es, por tanto,

RESISTENCIA DE MATERIALES.—X. L1

Fio.142

10

242 ■RESISTW-NTCTA DE MATERTAEES

(199)

Sumando las proyecciones de las fuerzas que actúan sobre el

elemento en dirección de la bisectriz del ángulo dcp, se

obtiene la ecuación de equilibrio siguiente h

arrd<p + atdrd<p— (ar -\ r dr\ (r -f dr)dcp = 0, \ dr I

O bien, despreciando cantidades de orden superior,

(b)

Esta ecuación contiene dos incógnitas: las fatigas a, y ar. Es

necesario, pues, otra ecuación, y se obtiene considerando la

deformación del cilindro. La deformación es simétrica respecto al

eje y consiste en un corrimiento radial de todos los puntos de la

pared del cilindro. Este corrimiento es constante en dirección

circunferencial, pero varía a lo largo del radio; es decir, es una

función del radio. Representando con u al corrimiento de la

superficie cilindrica de radio r, el corrimiento para la superficie de

radio r -(- dr será

Por consiguiente, un elemento tal como experimenta

en sentido radial un alargamiento total ^ dr y su alargamiento

unitario en dicha dirección es

El alargamiento unitario del mismo elemento en dirección

tangencial es iguai al alargamiento unitario del radio correspon-

diente; es decir, u

(d) r

Mediante las ecuaciones (38) (pág. 50, Primera parte}, las ex-

presiones de las fatigas en función de la deformación son

(a)

DEFORMAOTONES STMÉTRTCA? ALREDEDOR DE UN EJE 243

1 El peso del elemento se desprecia en este estudio.

244 RESISTENCIA DE MATEP.TAT.ES

DEFORMAOTONES STMÉTRTCA? ALREDEDOR DE UN EJE 245

Las fatigas normales a, y es. dependen, por consiguiente, del

corrimiento u. Sustituyendo las expresiones (199} en xa ecuación

(6}, se obtiene la ecuación siguiente en u: d2u , 1 du u , , 1 ------------------------ — o. (e) dr2 r dr ra


u = Gxr -f (/) r

lo que puede comprobarse sustituyendo. Las constantes Cx y C2 se

determinan por las condiciones en las superficies interior y exte-

rior del cilindro en las que las presiones, es decir, las fatigas nor-

males <sr, son conocidas. Sustituyendo (/) en las ecuaciones (199), se

obtiene F r i __ i = — [ o l ( 112 + l í ) - c a— í 1 } ( i )

= [ c ' ( 1 + 1 * > + '7/ }

Si p,- y p0 representan las presiones interna y externa,

respectivamente, las condiciones en las superficies exterior e

interior del

cilindro son . . , . (a r ) r« b = — p0 y {ar)r = a = —p i . (I )

El signo del segundo miembro de cada ecuación es negativo,

debido a que se toman como positivas las fatigas normales de ex-

tensión. Sustituyendo la expresión (h) de ar en las ecuaciones (/), se

obtienen dos ecuaciones para determinar las constantes C\ y Ca, y,

de ellas, C = 1 ~ Ia a*Vi ~ bW Q = 1 + iiaWjPi — y0)

1 E ó2 — a2 2 E b2 — a2

Con estos valores de las constantes, las ecuaciones (h) y (k) que

dan las fatigas normales esr y at serán 1

a2Pi — b2p0 (Pi — Po)«262

~ b2 — a2 r2(b2 — a2) ■

20Q)

c = a‘¿Pl ~~ b¿Po 4. (P< ~ Pe)a3fc2

Cí 62 — a2 r\b2 — a2)

112 Esta solución fué dada por primera vez por Lamé y Clapeyron,

Mémoire sur l’équilibre intérieur des corps solides homo yenes, Mémovres présentés por divers savants, vol. 4, 1833.

( k )


Conviene observar que ia suma de las dos fatigas permanece constante, de modo que la

deformación de todos los elementos en la dirección del eje dei cilindro es ia misma, y las

secciones rectas del cilindro permanecen planas después de la deformación.

Consideremos el caso particular p0 = 0, es decir, el cilindro sometido únicamente a

presión interna. Las ecuaciones (200) serán

(201)

(202)

Estas ecuaciones muestran que or es siempre una fatiga de compresión, mientras que at

es una extensión. Esta última es máxima en ia superficie interior del eilindro, donde

(cft)máx es siempre numéricamente mayor que la presión interna y se aproxima a ella según

crece b. El valor mínimo de ot acontece en la superficie exterior del cilindro. La relación

(<*«) máx ^ a2 + b2

(at)mlu 2 a2

aumenta al aumentar el espesor de la pared del cilindro. Si el espesor es pequeño, no hay gran

diferencia entre los valores máximo y mínimo de at. Si, por ejemplo, b — 1, 1 a, (at)máX excede

a (cr{)niíu en un 10 x/2 por 100. Se ve, por consiguiente, que no se comete grave error

suponiendo que la fatiga ac se distribuye uniformemente a lo largo del espesor de ia pared.

Y, empleando la ecuación

que coincide con la de la página 166, dada para cilindros delgados. La fatiga cortante es

máxima en ia supeificie in tenor del cilindro, donde

DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TEST E.TE 247

Cuando actúa solamente sobre el cilindro una presión exterior,

Pi = 0, y las ecuaciones (200) dan

P°b'! '¡ -“!)■ (204) ó2 — a2

— ¡SKI

En este caso a, y at son ambas fatigas de compresión, y at ei

siempre numéricamente mayor <rr. La fatiga compresora máxima

acontece en la superficie interior dei cilindro, donde

(2o«) o2 — a2

Debe subrayarse que cuando la relación - aumenta, esta f&-

a

tiga compresora máxima tiende a un valor doble que el de la

presión exterior que actúa sobre el cilindro.

Consideremos ahora la deformación del cilindro. Sustituyendo

las expresiones (m) de las constantes arbitrarias en la ecuación (/),

tenemos

u = 1 ~ E °LEÍ ~ÜE? , i 1 + t* a2b2(p% pp) E b2 — a2 ' E (b2 — a")r

Esta ecuación da el corrimiento radial de cualquier pumo de la

pared dei cilindro. En el caso particular de un cilindro sometido

solamente a presión interna, p0 = 0, y el corrimiento radial en la

superficie interior, deducido de la ecuación (207), es api a2 + b2 , \ = ~ ----------------- : t u ■ E \b2 — a2

Cuando el cilindro está sometido a presión externa

solamente, Pi — 0, y el corrimiento radial en la superficie exterior

es

El signo menos indica que el corrimiento es hacia el eje del

cilindro.

45. Fatigas producidas por zunchado.—Si se necesita originar

una presión de contacto entre una polea y un eje o entre

(208)

248 RJCSTSTTWCTA or ATATEBTAT.KS

p(b2 4- c2)

dos anillos montados uno dentro de otro, corrientemente se haee el

radio interno de la parte externa menor que el radio exterior de la

parte interna y se monta el conjunto después de calentar

previamente la parte externa. Al enfriarse, se produce una presión

entre las dos partes denominada presión de zunchado. El valor de

esta presión y las fatigas producidas por ella se calculan fácilmente

por las ecuaciones del artículo anterior. Supongamos, por ejemplo,

que el radio exterior del cilindro interno, en estado natural, exceda

al radio interior del cilindro externo (figura 143) en ia cantidad 8.

Después del montaje, se produce

una presión p entre ambos cilindros; su valor se encuentra es-

tableciendo que el incremento del radio interno del cilindro ex-

terno más la disminución de! radio externo del cilindro interno,

producidos por p, debe ser igual a 8. Por consiguiente, mediante las

ecuaciones (208) y (209),

Conocido p, las ecuaciones (201) y (202) dan las fatigas en el

cilindro externo, y las ecuaciones (204) y (205), las fatigas en el

cilindro interno. Las fatigas que ordinariamente intervienen en un

proyecto son la de la superficie interna del cilindro externo. Dichas

fatigas son

Z9V0

- 736 Fio. 143

de donde

(210) a¿

#\C2__¿>2 7 #U2 —«2 7

E8 (62 — a2) (c2 —62)

2 ó2(c2 V =

DEEORM A OTONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTNT EJE 249

La fatiga cortante máxima en esta superficie es ^vease ecuación

n, página 244) ,

pe* Tmáx —

C2 — 62

o, sustituyendo el valor (210) de p,

j£8c2(62 —a2) 2 b3(c2 — a2)

En el caso particular de un eje macizo y un volante, se tiene a —

ó; por lo que

1,2 M\ p = ---------- (c2 — o2), 2 6c2

En Tmáx “ 26

es decir, la fatiga cortante máxima es la misma que en

una vari-

lia que experimentase mi alargamiento unitario igual a ^ •

La discusión anterior supone que ambos cilindros tienen la

misma longitud. En el caso de un volante y un eje (fig. 144), las

partes del eje exteriores al volante se oponen a la compresión, y por

ello resulta un aumento de presión sobre los bordes del volante, tal

como indican las áreas rayadas L Si un cilindro

zunchado, como el de la figura 143 se somete a

presión interna, las fatigas que se producen por

esta presión son las correspondientes a un

cilindro único con un espesor de pared igual a c

— a. Estas fatigas se superponen a las fatigas de

zunchado. El zunchado produce una fatiga

tangencial de compresión en la superficie

interna del cilindro, cuyo efecto es reducir la fatiga

En la publicación de A. Huggenberger, Technische Blátt.er. Schweiz. Lokomotiv. und Maschinenfabrik, Winterthur, 1926, pueden verse resultados experimentales sobre fatigas de zunchado. Uno de los últimos estudios sobre este tema puede verse en la publicación de W. Jamcki, Schweiz. Bauz.. vol. 88, pág. 93, 1926, y vol. 90, pág. 127, 1927. Véanse también J. W. Baugher, Trans. A. S. M. E., vol. 52, 1930, y O. J. Horger y C. W. Nelson, Journal oj Appl. Mech., vol. 4, pág. 183, 1937, y vol. 5, pág. 32, 1938.

(211) 'tmáx —

(212)

(213)

M

ymrn|

FIG. 144


máxima extensora en este punto producida por la presión interna,

con lo que se obtiene una distribución más favorable de fatigas que

en el caso de un tubo único (véase problema 2, pág. 248). Debido a

esto, se emplean cilindros zunchados compuestos de varios tubos

en los ca -os de presiones internas muy elevadas, como acontece en

los cañones.

Una distribución de fatigas análoga a la descrita en el caso de

cilindros zunchados puede obtenerse con un solo tubo aplicándole

una elevada presión interna tal, que produzca una deformación

permanente en la parte interior del tubo. Ai dejar de actuar esta

presión, quedan fatigas residuales en el tubo debidas a la

deformación permanente, de modo que la parte interna de él queda

comprimida, y la externa, extendida 113.

Problemas

1. Determinar las fatigas tangenciales en las superficies interna y

externa, y en el centro de la pared de un cilindro cuyo radio interior es 10 cm. y

el exterior 20 cm., sometido a una presión interna Pi = 2400 kg./cm.114.

Respuesta: Por la ecuación (202),

(<*í)>=iocm. = 3,500 kg./cm.2.

(®í)r=u 5 om. = 2.200 kg./cm.2; (at)r^20CU). 1.600 kg. /cm*.

2. Determinar las fatigas en un cilindro zunchado (fig. 143) sometido a

una presión interior = 2,100 kg./cm.2, si a = 9,6 cm., b = 14,4 cm., c = 19,2 cm. y

el zunchado S = 0,012 cm.

Solución. Determinaremos primeramente las fatigas iniciales debidas al

zunchado. Por la ecuación (210),

113 Un estudio más detenido de este tema puede verse en el ar

tículo 71.


2,1 X 106 x 0,01 2 (14,42 — 9,62) (19,22— 14,42) 14,4

x 2 x 14,42 (19,22 — 973a)

Las fatigas tangenciales producidas por esta presión en el cilindro interno —

ecuación (205)— son

2 pb2 2 x 283 X 14.42

62â2 l4^2—7,62

(°i )

= 283 kg./cm.2. V =

= —1.020 kg./cm.2. (aí)/--^D,6 cm. —

DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 249

La distribución de las fatigas iniciales o¿, a lo largo del espesor de la pared, sé

representa en la figura 143 (6) por las líneas de trazos mn y Las fatigas

producidas por la presión interior son las mismas

que en el problema anterior y están representadas en la figura por la línea de

puntos ss. Superponiendo las dos distribuciones de fatigas indicadas se obtiene la

distribución representada por el área rayada. Se ve que, debido a las fatigas de

montaje, la fatiga máxima cuando e! cilindro está sometido a la presión interior se

reduce de 3.500 a 2.940 kg./cm.*.

3. Hallar en la figura 143 las fatigas de zunchado ot, en puntos de la pared

para los que r = 14,4 cm. y r — 24 cm., si a => 9,6 cm., b = 19,2 cm., c = 28,8 cm. El

factor de zunchado

| = 0,001 y £7=2,1 x 10® kg./cm.®.

Respuesta:

Las fatigas en el cümdro exterior —ecuación (202)— son

= 1.015 kg./cm.*.

— — 945 kg./cm.a.

= 962 kg./cm.®.

(at)r=14.4 cu.

(aí)r= 24 cm.

r=l4.4 cni.

4. Hallar la‘presión uniforme p entre el eje y el volante de la figura 144, si

el radio del eje es 14,0 cm. y el radio exterior del volante 28,0 cm. La diferencia

inicial de los diámetros de volante y eje es 0,028 cm. Tómese E ■— 2,1 X 10®

kg./cm.*.

46. Disco giratorio de espesor uniforme.—Cuando un disco

circular gira alrededor del eje de simetría perpendicular al disco, las

fuerzas de inercia originan fatigas que toman valores considerables a

altas velocidades. Estas fatigas están distribuidas simétricamente

respecto al eje de rotación y pueden calcularse por el método expuesto

en el artículo 44. Se supone que las fatigas no varían a lo largo del

espesor del disco y que este espesor es igual a la unidad. Las ecuaciones

de equilibrio de un elemento tal como mnm1n1 (fig. 142), se deduce

sumando a las fuerzas consideradas en el artículo 44 la fuerza de

inercia correspondiente al elemento


Donde y es el peso por unidad de volumen y ÍÜ la velocidad angular del

disco. El resto de la notación es la empleada en ei artículo 44. La

ecuación de equilibrio es ahora

da, vío2r2 „ at-af — r- = 0. (b)

dr g

Escribiendo, en lugar de estas fatigas, sus expresiones en función

del corrimiento u (ecuaciones 199, pág. 242), se obtiene la ecuación

siguiente:

^ + (2H) dr2 r dr r2 gE

La solución general de esta ecuación se obtiene añadiendo

cualquier solución particular a la solución general de la ecuación

homogénea correspondiente —véase ecuación (/), pág. 24h—. Una

solución particular es

gE s

Por consiguiente, mediante la notación

^ = (1-^)1^, (c) gE

La solución general de la ecuación (214) es

U = —N- + C,r + % (d) 8 r

donde, como anteriormente, y C2 son constantes a determinar de modo

que satisfagan las condiciones en los bordes del disco. Para un disco

con un orificio en el centro (fig. 142), y sobre el que no actúan fuerzas

en sus bordes, dichas condiciones son (®r)r-a = (»r)r-6 = °- (e)

La expresión general de ar se obtiene sustituyendo el valor (d) en

la primera de las ecuaciones (199) (pág. 242), lo que da

[- Nr'‘+ (1 - </>

DEFORMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE UN F.TE 251

Las ecuaciones que expresan las condiciones (e) serán ahora

_ L±Jf Na? + (l + - (1 - \i)C21 = 0,

8 a? . >

(9) _ 1±+ Nb* + (1 + jx)6\ - (1 - ii)C21 = 0,

8 o® de donde

a = -!+-£. (aa + ¿2)^; c„ = JL±JLa2ftaj\r. $) 8(1 + { i ) 8( 1— f i )

La expresión general de u se obtiene poniendo estos valores en la

ecuación (d). Sustituyendo dicha expresión de u en las ecuaciones

(199) (pág. 242), tendremos

g ENÍa* +b*~ r* — —( 2 1 5 )

8(1 - fx2) \ r* I

a, = 3+P EN [a2 + 62 _ Ltlif r2 + a^8\. (216)

8(1 — ¡x2) \ 3 + g r* ! K ' Reemplazando N por su valor —ecuación (c)— y poniendo

a r U - = a; - = x; bu> = v. (k) 6 b

Las ecuaciones (215) y (216) se escribirán

yv2 3 + }x / a2\ cr = ------------------- (1 + a2 — x2 ), g 8 \ W

r£ i+j. / _ i+^j, ^ «y ff 8 \3 + p. xV

Se ve que la fatiga radial ar se anula en los bordes, donde x = 1 ó x =

a, y que es positiva para cualquier otro valor de x, así como que es

máxima en los puntos

x = Va. =

es decir, donde

r — Vab (l)

Para este valor de r, la. ecuación (217) da

= — 11^ (1 — a)2. (219)

9 8

(217)

la

V

252 TtBSTSTENCIA DE MATERTAT/TCS

La fatiga tangencial at es máxima en ei borde interior del disco, donde x = a. Por la

ecuación (218) se obtiene

Se ve que (^mAx es siempre mayor que ( C^máX115

En la figura 145 se. han llevado en ordenadas los valores de los paréntesis de las

ecuaciones (217) y (218), tomando ios de x

como abscisas; las líneas llenas corresponden a! caso a es

4'

decir, el radio interior igual a la cuarta parte del

radio exterior. Las líneas de trazos representan

los valores del paréntesis de la ecuación (218)

para otros valores de a. La ecuación (220) muestra

que la fatiga (c7t)máx en el borde interior varía

respecto a a según una ley parabólica. Está

representada en ¡a figura 145 por la curva mn.

Conviene hacer notar que cuando el radio

interior es muy pequeño (es decir, a tiende hacia

cero), existe un salto brusco en la fatiga at

próximo al orificio. Lo pone de manifiesto la curva

rnpq, en la que ^ __ yr2 3 + p

(221) 9

En el otro caso extremo, cuando el radio interior se aproxima al exterior, a

tiende, hacia la unidad y ia ecuación (220) da

(®t)máx —

Este valor coincide con la ecuación (15), primera parte, obtenida para un anillo que gira.

Puede verse que, en el caso del disco con un agujero en el centro, la fatiga máxima varía poco

con el radio del agujero; el valor para un anillo muy delgado es

115 La distribución de fatigue en discos gruesos se analiza en Theory oí

tilasticity, pág. 319.

(2 2 0 ) (Pi) máx — \ 3 + n /

yl>2 3 + (X g 4 \ 3 + p

(of, i/máx

DEEORMAOTO'N'ES SIMÉTRICA^ ALREDEDOR DR UN EJE 253

solamente un 20 por 100 mayor que el correspondiente al caso de un

agujero muy pequeño.

En el caso de un disco macizo u = 0 para r = 0; por lo que la

constante C2 de la solución general (d) debe tomarse igual a cero. La

constante C, se encuentra por la condición de que ar debe ser nula

en el bor de exterior del disco. Por tanto, de la segunda de las

ecuaciones (</),

c _ (TO) 8(1 + (x:

Este valor de Gx y el nulo de C2 se introducen en la expresión

general del corrimiento u —ecuación (d)— y se sustituye en ias

ecuaciones (199) (pág. 242). De esta forma se obtiene

,222,

g 8 \ 3 + q /

T

donde, como anteriormente, x = Las dos fatigas son siempre

positivas y aumentan al disminuir x; es decir, según nos

aproximamos ai centro. En el centro, x = 0, y yv¿ 3 4- a

(CT£/máx “ (°r)máx ~ ~ 116 (224) 9 8

Comparando este valor con la ecuación (221), se ve que, debido a

la concentración de fatiga, la que corresponde al borde de un

agujero central pequeño es el doble de la correspondiente ai centro

de un disco macizo. La variación de la fatiga a, a lo largo del radio

de un disco macizo viene representada en la figura 145 por la línea

de trazos pxpq.

Las ecuaciones obtenidas anteriormente para discos que gi ran

se emplean también para el caso de cilindros relativamente largos

como en el caso de rotores de máquinas eléctricas. En gran número

116 Esta cuestión ha sido estudiada por C. Honegger, Brown Bo- wery C.

Mitteilungen, noviembre 1919. 8 Las fatigas residuales en discos giratorios, debidas a la fluencia del

material, han sido estudiadas por A. Nadai y L. N. Donnell; véase Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., Applied Mechanics División, 1928. Véanse también Mech., vol. 4, pág. 331, 1924, y F. LaszJo, ZeUschr. j. angew, Math. u. Mech., vol. 5, pág. 281, 1925.

DEEORMAOTO'N'ES SIMÉTRICA^ ALREDEDOR DR UN EJE 254

de máquinas la velocidad periférica es muy grande. Lo expuesto

muestra que las fatigas producidas por las

255 RESISTENCIA DE MATERTAEES

fuerzas de inercia son proporcionales al cuadrado de la velo-

cidad periférica y, por consiguiente, juegan un papel principal en

tales casos. Por consiguiente, para un material de resistencia dada

y fijada la velocidad angular del rotor, existe un límite definido

para el diámetro del rotor, del cual es peligroso pasar. Al fijar la

fatiga de trabajo en tales rotores es preciso tener en cuenta que la

mayoría de las veces existen defectos del material en el centro, que

es precisamente el lugar donde se producen las fatigas máximas a

causa de las fuerzas de inercia. Para eliminar dudas, es corriente

practicar un agujero central a lo largo del eje del rotor. La fatiga

máxima se duplica, debido al agujero; pero esto se compensa por la

posibilidad de investigar.

256 ■RESTST'TCIcrTA T>TH MATTiTÍTAT^TCS

También es frecuente someter el rotor a un cierto exceso de

velocidad 1 antes de ponerle en servicio, de modo que las fatigas

alrededor del agujero sobrepasen el punto de fluencia del material.

Al parar el rotor, las fatigas no desaparecen por completo, debido a

la deformación permanente del material próximo al agujero. La

parte interna del rotor queda comprimida por la exterior, y la

exterior extendida por la interior 2. El estado de fatigas iniciales es

análogo al de un cilindro de pared gruesa sometido a sobrepresión

interior (pág. 248). Las fatigas residuales producidas en el agujero

son de sentido opuesto a las que originan las fuerzas de inercia, por

lo que se favorece la distribución final de fatigas en el rotor 3.

Conviene notar que las ecuaciones obtenidas para las fatigas

(véanse ecuaciones 217 y 218) contienen solamente a v y a las

relaciones a y a : ; por consiguiente, para un material y una

velocidad periférica dados, las fatigas son iguales en puntos

análogamente situados de rotores geométricamente semejantes.

Esta propiedad puede simplificar el cálculo de fatigas en discos

geométricamente semejantes. También puede usarse para

establecer la resistencia de grandes rotores mediante el ensayo de

modelos.

En el estudio anterior se ha supuesto que los bordes de los

discos están libres de fuerzas exteriores. Si existen fuerzas de ex-

tensión o compresión distribuidas uniformemente a lo largo de los

bordes del disco, las fatigas que originan se encuentran por la

teoría del cilindro de pared gruesa (artículo 44). Dichas fatigas

(véase ecuación 200) pueden escribirse en Ja forma siguiente:

n a. — k ,

r2 (»)

7 I n

® H—r> * 2

donde Je y n son constantes que dependen de las dimensiones del

disco y del valor de las fuerzas exteriores que actúan en los bordes.

Las fatigas (n) se superpondrán a las dadas por las ecuaciones (217)

y (218), y las fatigas totales pueden representarse en la forma D ar = A -j- - PjtoV2,

D (225)

nEFO-RMACTONES STMÍíTRTCAS AIjEEDEDOR DE TFNT EJE 257

at = A ---------------(3cú2r2, r2

donde

(226) 9 8 g 8

y A y B son constantes que se calculan, en cada caso particular

mediante las ecuaciones (200), (217) y (218). Empleando La notación 8 = o. -f- Bi(ú2r2,

l ft 2 2 (22?)

t = <3t + pC0V2

y w = (228)

r2

las ecuaciones (225) serán

8 — A + Bw\ t = A — Bw. (229)

Si se conocen s y t para un punto del disco, pueden obtenerse con

facilidad para otro punto mediante el método gráfico si-

258 ■RESTST'TCIcrTA T>TH MATTiTÍTAT^TCS

guíente *: Sean «1 y t1 los valores de * y t para el puní.

(véase fig. 146). Los valores s2 y í2 de s y t para otro punto

w = w2, se obtienen por la intersección de la vertical que pasa por w2 con las líneas

rectas svs2 y ítí2, cuyo punto de intersección está en el eje vertical de coordenadas (w = 0) y

que forman án- n gulos iguales con este eje. Estas líneas representan gráficamente Jas

ecuaciones (229). Tienen común la ordenada A correspondiente al eje w = 0 e iguales y

opuestos los coeficientes angulares (i B). Esta construcción gráfica es de aplicación corriente

para el cálculo de fatigas en discos giratorios de espesor variable, como veremos más

adelante.

f.O w

Problemas

w,

2n x 40 Jr=40 <7

1 por 2 je x

x 40 g

1. Determinar (as fatigas debidas a las fuerzas centrífugas en un

rotor de 65 cm. de radio exterior y 10 cm. de radio interior. La parte

exterior de] rotor tiene practicadas ranuras de 25 cm. de profundidad

para practicar e) devanado (fig. 147). El rotor es de acero y gira a

1.800 revoluciones por minuto. El peso de los arrollamientos alojados en

las ranuras es equivalente al del material quitado.

Solución: Debido a las ranuras radiales, la

parte de rotor comprendida entre los radios exte-

rior y ei de 40 cm. no sufre fatiga tangencial. La

fuerza centrífuga debida a este anillo giratorio se

transmite, en forma de fatiga extensora radial,

sobre Ja superficie del cilindro da 40 cm. de radio.

El valor de esta fatiga es

Pa =

'■65

1

Con y = 7,8 kg./dm.3 y q = 981 cm./seg.a se obtiene pn — 586 kilogramos por cm.!.

1 Este método ha sido desarrollado por R. Grammel, Dingl&rc Puiytechnical Jourruil, vol. 338, pag. 217, 1923.

nEFO-RMACTONES STMÍíTRTCAS AIjEEDEDOR DE TFNT EJE 259

T>EEOTtMACTOXE8 SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE TIN EJE 251

La tátiga tangencial máxima en el borde interno producida por la fatiga

extensora p0, detfticida de la ecuación (206), es

La fatiga tangencial máxima en el mismo borde, debida a la masa existente

entre los radios de 10 cm. y 40 cm., calculada por la ecuación (220) como disco

giratorio, es a" = 446 kg./cm.2. La fatiga circunferencial máxima en el borde

interno es, por consiguiente,

(<*iW = a'i + °¡ = 1256 + 446 « 1,700 kg./cm.2.

2. Un anillo de acero se zuncha sobre un disco

de fundición (figura 143). Determinar el cambio que producen en la presión de

zunchado las fuerzas de inercia si el conjunto gira a 3.600 revoluciones por mi-

nuto: a = 2,4 cm., 6 = 12 cm., c = 24 cm., Ea = 2,1 X 10a kg./cm.*, E, = 11,2 X 105

kg./cm.2, = 7,8 kg./dm.s, yf = 7,05 kg./dm.3.

Snlueixin Sea pu el aumento de presión entre anillo y disco. Las constantes

arbitrarias de la ecuación (/) para el anillo exterior se determinan por las

ecuaciones [- nr m2 +(1 + v)Gl - a ¿1“ ~ Po-

Ai aplicar las ecuaciones (/) en el disco interior llamaremos G', O, y N' a las

constantes definidas por la ecuación (c), y obtendremos como ecuaciones para

determinar G{ y C'2,

[ - 4P N'b2 +(1 + M ~(1 ~ P] - ~ Po’ T~r^ [~ N'a2 + ( 1 + ~( 1 “

M ¿] ~ °‘

De las ecuaciones (p) y (r) pueden deducirse las cuatro constantes C,, 0,,,

G[ y G'it como funciones de pu. El valor de p„ puede averiguarse entonces

estableciendo que en la superficie de contacto son iguales los corrimientos

radiales del disco y del anillo. Empleando la ecuación (d), la expresión que

determina p() será

(«)

Los cálculos numéricos se dejan a cargo del lector.

3. Hallar la variación que experimenta la presión p, calculada en el

problema 4 del artículo anterior, si el conjunto eje-polea giran a 1.800

revoluciones por minuto, y = 7,8 kg./dm.8, E = 2,1 X 106 kg./cm.2.

RESISTENCIA DE MATERIALES.- T. II

= 1,256 km./cm.2.

(:V)

(r)

17


47. Disco giratorio de espesor variable.—En el caso de un disco

de espesor variable, el problema de determinación de fatigas es más

complicado 1. Nosotros expondremos un método aproximado de

resolución de este problema, basado en sustituir el perfil dado por

un sistema de discos de espesor uniforme (fig. 148) *. Las fatigas

para cada disco se calculan por las ecuaciones dadas en el artículo

46. Es necesario considerar las solicitaciones en las superficies de

separación de los discos; es decir, en las secciones tales como 2, 3, 4

(fig. 148), donde se producen cambios bruscos en las fatigas. Si y e y -

+- Ay representan los espesores del disco en los lados opuestos de la

sección considerada, la variación A<rr correspondiente de la fatiga

radial ar se encuentra por la ecuación

<*ry = (°r + A<rr) (y + Ay),

suponiendo, como anteriormente, que las fatigas se distribuyen

uniformemente según el espesor del disco. Por consiguiente,

----------------------------- °r> («)

y + Ai/

La variación A<rt de la fatiga tangencial en la misma sección

puede hallarse estableciendo que el alargamiento circunferencial

unitario debe ser igual a ambos lados de la sección. Por consi-

guiente,

at — po, = (at + Aut) — ja (a, -f A®,),

de donde

_____________ Acrt = piAcrr.

1 La ecuación general correspondiente a este caso, junto con un estudio sobre los diferentes métodos de resolverla, puede verse en el bien conocido libro de A. Stodola, Dampf und Oasturbinen, 6.a edición, págs. 312-340, 1924. H. M. Martin ha estudiado un disco de perfil cónico; véase Engineering, vol. 115, pág. 1, 1923. El mismo problema ha sido tratado por B. Hodkinson, Engineering, vol. 116, pá-gina 274, 1923, y por A. Fischer, Zeitschrift. d. Oesterr. Ing. u. Arch. Vefeines, vol. 74, pág. 46, 1922. Véase también el libro de I. Malkin, Festigkeitsberechnung rotierender Scheiben, Berlín, 1935.

* Este método fué desarrollado por M. Donath, Die Berechnung rotierender Scheiben und Ringe, 1912, Berlín. Ha sido explicado en inglés por H. HearJe, en Engineering, vol. 106, pág. 131, 1918. Otros desarrollos del método se deben a R. Grammel, ya citado, pág. 251, y el ejemplo numérico que damos está tomado de su publicación. Véanse también el trabajo de M. G. Driessen, Trans. Anier. Soc. Mech. Eng., 1928, Sección de Mecánica aplicada; R. Grammel, Ing. Arch., vol. 7, pág. 136, 1936; R. G. Olsson, Ing. Arch., vol. 8, págs. 270 y 373, 1937; A. Held, Ing. Arch., vol. 10, pág. 339, 1939.


(230)

Las ecuaciones (226), (227), (228) y

(230), unidas a la solución gráfica

dada en la figura 146, bastan para el cálculo

de un disco de espesor variable.

Sea, por ejemplo, el disco de la figura 148, que gira a una velocidad

de 3.000 revoluciones por minuto. Todas las dimen

siones figuran en la tabla XXI. Se supone que las fuerzas cen-

trífugas aplicadas en el borde exterior (por ejemplo, las fuerzas

debidas a los álabes, en el caso de un rotor de turbina) son fales que

en ei borde exterior

(ar)j = 100 kg./cm.2.

También se ha supuesto que ¡i = 0,3 y y = 7,8 kg./dm.3. Con estos

datos y los de la figura 148 se han llenado las ocho primeras

columnas de la tabla anterior.

Comenzaremos el cálculo de fatigas por el borde exterior del

disco, donde se conoce (ar)i- El valor de ia fatiga tangencial (a,)-¡ se

desconoce generalmente y puede atribuírsele un valor arbi-

Aa =

A t = Actí = fjiA>“.

Pe las ecuaciones (227),

ry em*

FIG. 143


trario para comenzar. La hipótesis más sencilla es escoger (at)„ de

« 6 I ©i

CD t> TÍ 6

23

700

651

602 00

00 US 6

02

| 665

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09 N

°* i ¡i

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00 ID pH O

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1

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1

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1

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1 O*

1

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1

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©q ce O

1 8 ce O*

1

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2.36

0,946

1,42

2.36

3,31 4,49

6,62 9,46

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CD* PH

©q Tí* PH

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PH Tí 05*

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CG * © gg

ro .2 o

<N ce Tí ID CD r- 00 05

TA

BL

A X

XI

.

— C

álc

ulo

de f

ati

ga

s en

roto

res


modo que sean iguales s y t (véase ecuación 227), en cuyo caso,

= (»r)i + Pi«2í*f — pwVf,

o, empleando los números de la quinta y sexta columnas de la tabla, (<rt)i = 100 + 813 - 468 = 445 k g . / c m * .

Por las ecuaciones (227),

s í = (a t) l + í^to2»"2 = 100 -j- 813 = 913 kg./cm.2.

¿i — (°í)i + fltó2rf = 445 + 468 = 913 kg./cm.2.

Como Sj = tx, las líneas rectas s y t coinciden en la construcción

expuesta en la figura 146. En la figura 149, s y t se toman

en ordenadas, y w = ^ en abscisas, y las líneas de referencia

vienen representadas por la línea a-a, paralela al eje w. La longitud

de esta línea, correspondiente a la distancia radial 1-2 del disco (fig.

149) se determina por los números de la cuarta columna de la tabla.

De esta forma, obtenemos para la sección 2 (fig. 148), ó‘2 = t2 — 913 kg./cm.2.

De donde, mediante las ecuaciones (227),

(ar)2 = s2 — ¡3-,co2rl = 91 3 — 659 = 254 kg. /cm.2.

(a t)2 = #2 — 0co2r¡ = 913 — 380 = 533 kg./cm.2.

En la sección 2 se presenta un cambio brusco del espesor del

disco. Para tenerlo en cuenta se emplean las ecuaciones (230) junto

con los números de la octava columna de la tabla. Tendremos

(As)2 = (Aa,X = ( ---------------- —or) = l’B X 254 = 381 kg./cm.a. y + &y

(At),¿ = (Aat)s = p. (As)2 = 0,3 X 381 = 114,3 kg./cm.2.

Estas cantidades se añaden a la ordenada del punto a en la

figura 149, obteniéndose los puntos 6 y c; las líneas 66 y cc se trazan

tal como se explicó en la figura 146. De este modo se encuentran s3 y

í3 para la sección 3. Repitiendo el proceso ex


puesto, se encuentran los resultados correspondientes a la seo- eión

3, y así sucesivamente. De esta forma, pueden calcularse todos los

valores que figuran en las columnas novena a duodécima de la tabla

anterior (líneas superiores).

Como la fatiga (crj,, en la periferia del disco, se escogió de modo

arbitrario, generalmente no quedarán satisfechas las condiciones en

el borde interior y la fatiga (aja obtenida no será

Fia. 149

igual a la fatiga real que actúa sobre dicho borde. Para satisfacer

dicha condición en el borde interior, se efectúa un cálculo

complementario. Suponemos (cr,)! = 0, &> = 0, y tomamos un valor

arbitrario para (<it)j —en los cálculos se ha tomado (atj j igual a 50

kg./cm.2—, y se obtiene la distribución de fatigas del mismo modo

que anteriormente. Para este caso, de las ecuaciones (227), 3 = ar y t

= at.

Los resultados de estos cálculos se dan en las columnas novena

a duodécima, en las líneas inferiores y las construcciones

correspondientes se ven en la figura 149 (líneas t' y $'). La solución

que satisface al estado real de solicitación de) borde interior del

disco se obtiene combinando las dos distribuciones

V cm 1

/.vio s.t

1.260

Y ff

/.OSO

<>

Ó 8 ¡io.

63o

Vio

no.

A 0'

7

1 y V'

V

b~rtr

. 9 Ht


de fatigas del modo siguiente: Sean (or)0 y (crr)9' las fatigas radiales

en el borde interior del disco, obtenidas en el primero y segundo

cálculos, respectivamente, y (crr)° la fatiga real en el borde interior.

La solución real se obtiene superponiendo a la distribución de

fatigas del primer caso las del segundo, multiplicadas por

(<by

Los resultados de estos cálculos para el caso de que la fatiga

radial en el borde interno sea nula figuran en las dos últimas

columnas de la tabla anterior y se representan gráficamente por las

dos curvas de la figura 148.

48. Fatigas térmicas en un cilindro hueco de gran longitud.—

Cuando la pared de un cilindro no se calienta de modo uniforme,

sus elementos no se dilatan igualmente, y por esta causa se originan

fatigas. En el estudio siguiente supondremos que la temperatura se

distribuye simétricamente respecto al eje del cilindro; es, por

consiguiente, simétrica alrededor del eje, y podremos utilizar el

método desarrollado en el artículo 44. Separaremos del cilindro un

anillo mediante dos secciones perpendiculares al eje a la unidad de

distancia. Durante la deformación, puede suponerse que dichas

secciones permanecen planas, si las tomamos a distancia suficiente

de los extremos del cilindro 117, ya que los alargamientos unitarios

en la dirección del eje son constantes. Llamemos eje z al eje del

cilindro y representemos con w el corrimiento en ia dirección del

eje z, conservando en cuanto al resto la notación del artículo 44 y

figura 142.

117 En los extremos las fatigas en la dirección del eje del cilindro son

nulas, y la distribución de fatigas es rnás complicada.

Las fatigas medias en las secciones donde el espesor cambia

bruscamente pueden calcularse del modo siguiente;


Los alargamientos unitarios en las tres direcciones perpendiculares

son dw

z> — — — const. dz

du , . e, = —, (a)

dr

u Z, =

r

Estos alargamientos pueden escribirse como funciones de las

fatigas at, ar, GZ y de la dilatación térmica. Sea a el

coeficiente

de dilatación lineal y t el incrementodetemperatura, variable

con la distancia radial r. Las ecuaciones (43) (véase pág. 62, Primera

parte) serán E2 — ~ G^ ^

Zf = -= ^ (d¿ + <J<) + «í, (&)

E E

tt=<E~Ei<yz +

Representando por A la dilatación cúbica,

A = zz + zr + £j = ------------ ——- (g z -¡- ar -j- CTj) -J- 3aí. (c)

E

Con este valor y’las ecuaciones (b) se encuentra E ¡x .,

crtE

(s¿ H A) 1 + (X 1 — - 2¡x 1 —2 ¡ x

E . tx . . y.tE -

ct — (zr d ------------------------- A) — -------------- 1 ------------------------------------- (d)

1 + ¡x 1 — 2(1 1 — 2 ( 1

E [ x .. <xtE G = ------------- (g + —^— A ---------------------

1 + [x 1 — 2¡x l — 2(i

Estos valores se sustituyen en la ecuación de equilibrio del

elemento mnmln1 de la figura 142 —ecuación (6), pág. 242,

y se obtiene, después de emplearlas ecuaciones (a),


d'¿U 1 du U 1 + (X dt ,nni\ _|_ — — rrr ----------------- a —’ • (It 31 ) dr2 r dr r2 1 — p dr

Esta ecuación determina el corrimiento u para cualquier dis-

tribución particular de la temperatura. Puede escribirse en la

forma d H d , ,1 1 + p dt (ru) = ------------------------ a — dr\_rdr J 1 — p dr

integrando respecto a r, da

— (ru) = ——-aír -(- 2 Cxr. dr 1 — p

integrandopor segunda vez, se obtiene la solución

u — \ í atrdr + C\r -f C2 -» (/) r 1 — p Ja r

donde Cx y C2 son constantes de integración a determinar, de modo

que se satisfagan las condiciones reales en las superficies del

cilindro. Si estas superficies se suponen sin solicitación, Gx y C2 se

determinan por las condiciones

(°v)r = a = 0; (or),-6 =0. (g)

La expresión general de ar se obtiene sustituyendo en la se-

gunda de las ecuaciones (d) zr y zt por ^ y respectivamente, y dando

a u el valor de la ecuación (/), será

= —- /— - Coitrdr + —2 + —L A (h) l-fp\ 1 —p r2 Ja 1 —2p r2 1—2p /

Por las ecuaciones (g), se obtiene


Sustituyendo estos valores en la expresión (h), se obtiene el

valor general de

f yjrdr + — --------- — ■ f" <úrdr\ (232) 1 — fx r2 J„ r2(b2 — a2} }a J

La expresión general de <ytse obtiene de la ecuación de

equili

brio (e) y es E n r r2 4-a2 p 1 I xtrdr-i ! |atrdr—atl. (233) I - P L r2Jn r2(b2~ a2) Ja J

Conocida la

distribución de la temperatura a lo largo del espesor de la pared, se

pueden calcular fácilmente las integrales que figuran en las

ecuaciones (232) y (233), y obtener ar y at.

Consideremos el caso de un cilindro de pared delgada, en el que

la temperatura de la superficie interior es lt y en ia superficie

exterior es nula 118. Para paredes delgadas, la distribución

estacionaria de temperatura es prácticamente lineal; por

canto,

- ■ ( ' - a

118 Cualquier estado de temperatura en las superficies del cilindro puede

obtenerse super poniendo al que se estudia un calentamiento o enfriamiento uniforme, que, como sabemos, no produce fatigas.

E

dar E TI P , . *"■ « j ( - = o f + r — = dr

(234)


Sustituyendo este valor en las ecuaciones (232) y (233), e inte-

grando, se obtiene ó3 — a31

= Ecfii \r °3 /l

3(1 — fi) (b — a)[ r2 \ r2j

To . ®3 /, , a2\ b3 — a3l i — ---------------------------- 12r -f- ---------- (1 -f- — 1 I- (236) 3(1—p) (b — o)[ r2 \ r2) b2—a21

Las fatigas tangenciales en las superficies interior y exterior son

„ / \ / o o ^ — a \

(Pt)r —a == --------------------------- ----------------------- 3a — 2 ,

3(1 — p) (6 — a) \ b2 — a2)

, , Ext i r , a3 I a2\b3 — a3l

3(1 — p ) ( & — o ) ! / £ “ ( + b ’ 2) t > '

— a 2 ] '

Estas ecuaciones pueden representarse en forma sencilla, me-

diante la notación - = 1 + m a ) a

í 2 35)

b2 — a2

EOLL a, =

DEFORMACIONES SIMETRICAS ALREDEDOR DE TTN EJE 268

dónele m es una cantidad pequeña, en el caso de un cilindro del-

gado. Dichas ecuaciones serán

En el caso de una pared muy delgada, el segundo término de los

paréntesis de estas ecuaciones es despreciable y las ecuaciones

coinciden con las obtenidas al estudiar el calentamiento no

uniforme de una placa (véase ecuación 122).

Cuando la pared no es de pequeño espesor, la distribución es-

tacionaria de temperatura no es una función lineal de r, pero puede

representarse por la expresión

(239)

El máximo de at acontece en la superficie interior o en la exterior

del cilindro. Sustituyendo en la ecuación última, r=aj

r— b.

Eati

2(1 - p j l o g , - a

(at)r - 6 —

2(1 — t O l o g , - a

TTasta ahora sólo nos hemos ocupado de ar y at, y se ha visto que no

dependen del alargamiento unitario e2 en la dirección del

(®*)r = *

(»*)» - « = ■

a Con esta expresión de t, las ecuaciones (232) y (233) son

(®í)r-a

DEFORMA OTONES ‘UTVlETRTCAS ALREDEDOR DE TTN EJE 269

eje del cilindro, o puede calcularse por la primera de las ecua-

d/ZC TJt ciones (d). Sustituyendo zr — -j-, st = dando a u el valor (/)

y a las constantes arbitrarias el de las ecuaciones (k), se ve que la

expresión general de contiene el alargamiento unitario s. en

dirección del eje del cilindro. Si suponemos que el cilindro puede

dilatar libremente, el valor de ez se calcula estableciendo que la

suma de las fuerzas normales distribuidas sobre la sección del

cilindro perpendicular al eje z es nula. Efectuado este cálculo, se

obtiene, finalmente,como valor de a2, la expresión

siguiente:

Ea.l% /. „. b 2 a? . b\ = ---------------------------- l — 2 loge - — ----------- loge - . -------------------------- (244)

o / i m r 6 a — a? a 2 (1 — p) logg -

a

Puede verse que en las superficies interior y exterior del ci-

lindro la fatiga az es igual a at. Un estudio más detallado del

problema de las fatigas térmicas en cilindros ha sido realizado por

C. H. Lees L Para el cálculo rápido de fatigas, según las ecuaciones

(240), (241) y (244), ha construido unos gráficos L. H. Barker 2.

En el caso de un disco de espesor uniforme sin agujero en el

centro, suponiendo el espesor pequeño comparado con el radio b

del disco, las fatigas radial y tangencial vienen dadas por las ex-

presiones siguientes: 1 fb i fr OLE l — I trdr / trdr

= aE I — í 4- - f trdr 4- — I trdr 1 • (n)

1ó 2 J o r 2 ' 119

119 Un estudio sobre las fatigas térmicas en cilindros sobre los que la

temperatura varía a lo largo del eje ha sido realizado por A. Stodola, ya citado, Appendix, pág. 253. Véase también G. Eichelberg, For- schungsarbeiten, núms. 220 y 263, 1923. Para fatigas térmicas en discos, véase H. Quednau, V. D. /., vol. 72, pág. 522, 1928. El mismo problema se estudia en Theory of Elasticity, pág. 366, 1934.

Véanse R. Zulzer, Temperature Variation and Heat Stresses in Diesel Engines, en Engineering, vol. 121,- pág. 447, 1926; A. Nágel, The. Transfer of Heat in Reciprocating Engines, en Engineering, volumen 127, pág. 282, 1929, y W. Nusselt, V. D. vol. 70, pág. 468, 1926; J. N. Goodier, Journal

( m )


En cada caso particular, conocida la temperatura t como

función de r, pueden practicarse las integraciones y obtener fácil-

mente las fatigas térmicas.

Las fatigas de origen térmico tienen gran importancia práo-

tica, especialmente en el caso de cilindros gruesos tales como

rotores de turbinas de vapor, ejes pesados o grandes discos.

Appl. Mech., vol. 4, pág. 33 A, 1937.

DEFORMA OTONES ‘UTVlETRTCAS ALREDEDOR DE TTN EJE 271

Ed todos estos casos, el calentamiento o enfriamiento debe hacerse

de modo gradual para reducir el gradiente de la temperatura en

dirección radial h Las fatigas térmicas tienen también importancia

en ios motores Diesel 2.

Problema

1. Determinar las fatigas térmicas en un cilindro para el que . Tld 2o = 9 mm., 2b = 3 cm., , = 43, si la temperatura interior es

i (X

= — Io C. y la temperatura exterior es cero.

Solución. Por las ecuaciones (242) y (243),

(®t)r - a -= (az)r -= a = 29 kg./cm.120,

(°í)r-é “ (a*)r = ¿> = — 13,5 kg./cm.*.

£11 máximo de csr —ecuación (240)— acontece para r = 7,2 mm. y

vale 6 kg./cm.*. La distribución de las fatigas a lo largo del espesor de la pared

se ve en la figura 150.

120 L. H. Barker, Engineering, vol. 124, pág. 443, 1927. El ejemplo

numérico dado a continuación está tomado de esta publicación.

I

C A P Í T U L O VI

TORSION

49. Ejes de sección no circular.—El problema de la torsión

de ejes circulares ha sido ya examinado (véace pág. 254, Pri-

mera parte), y allí se dieron fórmulas para determi-

nar la fatiga máxima y el ángulo de torsión. Tam-

bién se yió la torsión de ejes de sección rectangular.

Existen, sin embargo, otras formas de sección para

las que interesa resolver los problemas de distri-

bución de fatigas y conocimiento del ángulo de

torsión. A continuación se dan los resultados co-

rrespondientes a formas de interés práctico.

Sección elíptica 1.—La fatiga cortante máxima acontece en

los extremos del eje menor (fig. 1 5 1 ) , y e s

1 6 Mt Tm¡ix —

7ib2h

la sección (véase Apéndice, Primera parte, pág. 339), yi = es el área

de la sección.

Triángulo equilátero.—La fatiga cortante máxima acontece

1 La solución de este problema y de los siguientes se debe a Saint Venant, Mém. des Savants étrangers, vol. 14, 1855. La obtención de las fórmulas dadas puede verse en Theory oj Elasticity (véase pág. 234).

JA

— 6 —,

FIG. 151

(245)

FIG. 152

E l ángulo de torsión por unidad de longitud es 4 7

6 (246) A*G

donde Ip — (bh3 -f b3h) es el momento polar de inercia de

iróá 4

TORSIÓN 271

en el centro de los lados (puntos m de la figura 152) y puede calcu-

larse por la expresión oo M W - (247)

o6

El ángulo de torsión por unidad de longitud es

0 = - jf| = 4-6-;2 M*. (248) 0,0 Glv b*G

Hexágono regular 121.—Para este caso,

T“ " ¡¡¿bz (249)

M e = fil , (250)

0,133 AcPG

donde <J eR el diámetro del círculo inscrito y A el área de la

sección.

Octógono regular a.—Para este caso,

Tmáx = —^ ------------------------------------------- (251) 0,223 Ad

M 0 =----------------------------------------------------- (252)

0,13 Ad122G

donde A y d tienen el mismo significado que anteriormente.

Trapecio 123.—En el caso de un trapecio isósceles pueden ob-

tenerse unos valores aproximados para la fatiga máxima y el ángulo

de torsión reemplazando el trapecio por un rectángulo

«equivalente», obtenido como indica con líneas de trazos la

figura 153. Desde el G de G del trapecio se trazan las

perpendiculares BG y CD a los lados laterales y después se

trazan las verticales que pasan por B y D. Fia. 153

Las ecuaciones (155) y (156) dadas en la Primera parte (véase pág.

262), aplicadas a la sección rectangular obtenida, dan,

aproximadamente, los valores de Tn»** y 6 correspondientes al

trapecio de la figura 153.

121 Véase C. Weber, Die Lehre von der Drehungsfestigkeit, Berlín, 1921. 122 Véase C. Weber, ref. 2. 8 Véase C. Weber, ref. 2.


Para cualquier eje macizo (no tubular) se obtiene un valor

aproximado del ángulo de torsión reemplazando la sección por otra

elíptica «equivalente» de la misma área A y del mismo momento

polar de inercia /p. Por consiguiente, el valor aproximado de 0 viene

dado por la fórmula (246).

50. Analogía de la membrana \—Esta analogía establece ciertas

relaciones entre la superficie elástica de una membrana

uniformemente cargada y la distribución de fatigas en una pieza

sometida a torsión. Supongamos una membrana homogénea del

mismo contorno que la pieza solicitada a torsión, sometida a una

extensión uniforme a lo largo del borde y solicitada por una presión

transversal uniforme. Puede verse que la ecuación diferencial de la

elástica 124 de esta membrana tiene la misma forma que la ecuación

que determina la distribución de fatigas sobre la sección recta de la

pieza solicitada a torsión. Si S es la fuerza extensora por unidad de

longitud sobre el contorno de la membrana; p, la presión

transversal por unidad de área, y 0 el ángulo de torsión de la pieza

por unidad de longitud, las dos ecuaciones mencionadas son

idénticas si

? = 2 OQ. (a) S

Cumplida esta condición, son válidas las siguientes relaciones

entre la superficie de la membrana y las fatigas cortantes de la

torsión: 1.° La tangente a una línea de nivel en cualquier punto de

la membrana deformada da la dirección de la fatiga cortante en el

punto correspondiente de la sección de la pieza sometida a torsión.

2.° La pendiente máxima de la membrana en cualquier punto es

igual al valor de 1a, fatiga cortante en el punto correspondiente de

la pieza. 3.° El doble del volumen comprendido entre la superficie

deformada de la membrana y el plano de su contorno es igual al

momento torsor quesoüeita a la pieza.

* Se supone que las deformaciones son pequeñas.

TORSIÓN 273

Todas estas correspondencias pueden probarse fácilmente en el

caso de un eje circular. Sea (fig. 154) una membrana circular

estirada uniformemente por las fuerzas 8 y cargada con la presión

uniforme p que actúa hacia arriba. Considerando un trozo

concéntrico mn de radio r —fig. 154 (a)—, se observa que la acción

total sobre este trozo es nr2p. Esta presión se equilibra por las

fuerzas extensoras 8 distribuidas uniformemente a lo largo del

círculo de radio r y de dirección tangente a la membrana deformada.

Representando con w las flechas de la membrana, se tiene

nr2p = — 2 izrS — dr

V

Sustituyendo en esta ecuación el valor de ~ dado por la

fórmula (a), se obtiene

( o )

El segundo miembro de esta ecuación es la conocida expresión

de la fatiga en un eje circular sometido a torsión —véase ecuación

(ó), pág. 256, Primera parte—. Por tanto,

la pendiente de la membrana deformada

nos da el valor buscado de la fatiga a

torsión.

La pendiente máxima de la membrana

en cada punto acontece en dirección del

meridiano, y la fatiga de torsión tiene en

cada punto dirección perpendicular al

radio. Para determinar el momento

torsor que producen las fatigas dadas

por la ecuación (c), calcularemos el volu-

men comprendido entre la membrana deformada —fig. 154 (a)— y el

plano del contorno AB. La integración de la ecuación (c) da para

elástica de la membrana:

ñ,

RESISTENCIA di MATERIALES.—T. II

dw

dr pr

2S'

(b)

dr

18


y el volumen buscado es

V = fa 2 7zrdrw = GQ — = - GQIP. Jo 4 2

Comparando este valor con la fórmula del momento torsor

(véase ecuación 147, Primera parte), se deduce que en la analogía

de la membrana el doble del volumen da el valor del momento

torsor. Quedan, por consiguiente, fácilmente probadas las tres

propiedades de la analogía en el caso de un eje circular.

Para otros tipos de sección la forma de la superficie deformada

de la membrana es fácil de imaginar y, por tanto, se de-

ducen fácilmente propiedades cualitativas referentes a la distri-

bución de las fatigas en la torsión. Por ejemplo, en una sección

rectangular —fig. 155 (a)—, la superficie deformada de la membrana

es como la representada por sus curvas de nivel. La fatiga es

inversamente proporcional a la distancia entre dichas líneas; por

tanto, es mayor donde las líneas están más apretadas. La fatiga

máxima acontece en los puntos m-m, para los que la pendiente de la

membrana es máxima. En los ángulos a, b, c, d la superficie de la

membrana coincide con el plano del contorno abcd; la pendiente

de dicha superficie es nula y, por tanto, la fatiga cortante en esos

puntos también lo es.

Consideremos ahora una sección rectangular estrecha —figura 155

(6)—. La elástica de la membrana en las partes algo ale*

FIG. 155

M CO

TORSIÓN 275

jadas de los lados cortos del rectángulo puede considerarse cilindrica.

Con esta hipótesis, cada tira mm de la superficie se comporta como una

cuerda cargada uniformemente y su flecha máxima viene dada por la

ecuación

pe*

8~S 8 (b)

o,utilizando la ecuación (a),

8 = -G9. 4 (c)

La fatiga máxima es igual a la pendiente en los puntos m-m.

Esta pendiente es 4 - para una curva parabólica. Por tanto, c

— = cCQ. (d) Tmáx

El momento torsor es dos veces el volumen comprendido por la

membrana. Despreciando el efecto de los lados cortos del rectángulo en

la deformación de la membrana y calculando el volumen como un

cilindro parabólico de longitud b, se tiene

- bc3GQ. 3

Mt— 2 ■ -Sbc 3 (e) CM.

De donde Mt

0 = (253) rndx

bc3G

Sustituyendo en la ecuación (<i), se obtiene - —

EL. (254) C,

Fio. 156

kiuax

- be2

Estas fórmulas coinciden con las ecuaciones (155) y (156), dadas en

la Primera parte (véase pág. 262), si suponemos el rectángulo de sección

muy estrecha.

Si en lugar de un rectángulo estrecho tenemos un trapecio estrecho

(fig. 156), se puede obtener una solución aproximada suponiendo que la

elástica de la membrana en las partes algo alejadas de los lados cortos

es una superficie cónica. El doble


del volumen correspondiente a un elemento mm de la sección se

obtiene por la ecuación (e) y es

- GQc3dx, (/) 3

donde c es el ancho variable de la sección dado por la ecuación

, C2 C1 c = ci + *■ (9)

o

Sustituyendo este valor en la expresión (/), e integrando, se ob-

tiene n ] ¡>eo M,= I 3 aêHx = 72" <c‘ + c*)<í¡ +

El ángulo de torsión es, por tanto,

M 0 = ----------------------------------------------------------------- (255)

¿¿(Cx + c2) (cf + c¡)0

Cuando = c2 = c, esta expresión coincide con la fórmula (253),

correspondiente al rectángulo estrecho.

En casos más complicados, para los que la forma de la elástica

de la membrana no puede obtenerse fácilmente de modo analítico,

puede investigarse experimentalmente utilizando una película de

jabón por membrana y midiendo la pendiente de su elástica por

métodos ópticos. Para ello se emplea el aparato que muestra la

figura 157 125. Una placa de aluminio con dos orificios, uno circular y

el otro de la forma en estudio, está sujeta entre las dos mitades de

una caja de fundición A. La parte inferior de la caja está apoyada

por tornillos nivelantes. Introduciendo aire mediante una bomba en

la parte inferior de la caja, se produce la deformación de las

películas de jabón que cubren los mencionados orificios. El trazado

de las líneas de nivel de las superficies de las películas de jabón se

realiza mediante el tornillo B que pasa a través de un orificio

practicado en una lámina de cristal suficientemente grande para

cubrir por completo la caja en cualquier posición. El extremo

inferior del tornillo está provisto de una punta de acero duro, cuya

distancia a la lámina de cristal se gradúa mediante el tornillo. La

punta se aproxima a la película, moviendo la lámina de cristal hasta

que al distorsionarse la imagen de la película se acusa el contacto.

125 Véase la publicación de G. I. Taylor y A. A. Griffith, ya citada, pág.

272.

TORSIÓN 277

Este contacto

se refiere a una hoja de papel unida a la tapa E que puede girar

alrededor de un eje horizontal situado a la misma altura que la

punta de una aguja de acero D. Para referir cualquier posición del

tomillo, basta picarla en el papel, girándole hasta que tome contacto

con la aguja D. Cuando la punta ha tocado a la película en varios

puntos, se unen las referencias del papel por una

Fig 157


línea seguida, que será una línea de nivel. Actuando sobre el tornillo

B, pueden repetirse las operaciones y trazarse cuantas líneas de

nivel se juzguen precisas. Trazadas dichas líneas, puede obtenerse

el volumen de la membrana y el momento torsor equivalente. Las

pendientes y las fatigas correspondientes se obtienen midiendo las

distancias entre líneas de nivel sucesivas. Mejores resultados se

obtienen midiendo las pendientes por la desviación que, al

reflejarse, experimenta un rayo de luz que incide sobre la superficie

de la película. Para establecer la relación entre la pendiente y la

fatiga, se comparan las dos películas

que cubren los dos orificios y que han

sido sometidas a la misma presión de

aire. Como ambas películas tienen la

misma relación

los ejes correspondientes tienen

valores iguales de (?0 —véase ecuación

(a)—. Por consiguiente, midiendo las

pendientes de las dos películas de

jabón, se pueden comparar las fatigas

en el eje de sección dada con las del

circular de diámetro conocido siempre

que tengan el mismo ángulo de torsión

0 por unidad de longitud v el mismo módulo transversal O. La

relación correspondiente n entre los momentos torsores está

determinada por la relación entre los volúmenes comprendidos por

las películas de jabón y el plano de la placa. Esta relación da,

evidentemente, la relación entre las rigideces a la torsión de los dos

ejes. La figura 158 representa las líneas de nivel obtenidas para un

trozo de viga en I (larguero de madera de un avión). Dado el

agrupa- miento de líneas de nivel en los ángulos entrantes y en el

centro de la cara superior, se deduce que en estos puntos se

producen fatigas cortantes elevadas. Las partes restantes del ala

están solicitadas muy ligeramente. La fatiga máxima en la parte

central del alma es prácticamente constante a lo largo de su

longitud e igual a la correspondiente a una sección rectangular

estrecha para el mismo ángulo de torsión.

TORSIÓN 279

51. Torsión de perfiles laminados.—Las ecuaciones (253) y (254).

deducidas para una sección rectangular estrecha, pueden aplicarse

en forma de solución aproximada para otros tipos de secciones

estrechas. Por ejemplo, en el caso de las secciones de espesor

constante representadas en la figura 159 (a) y (b), el ángulo de

torsión se obtiene por la ecuación (253), escribiendo en esta

ecuación, en lugar de b, el desarrollo de la línea media; es decir, b =

9r, en el caso de la figura 159 (a), y b — 2a, — c, en el de la figura 159

(b). La fatiga máxima para la primera de las dos secciones se

obtendrá por la ecuación (254). Para el angular —figura 159 (ó)—, la

fatiga máxima acontece en el án-

guio entrante. Esta fatiga máxima se obtiene multiplicando la fatiga

dada por la ecuación (254) por un factor mayor que la unidad; el

valor de este factor se analizará más adelante (véase artículo 60,

pág. 334).

Todo esto se deduce de la analogía de la membrana expuesta en

el artículo anterior. El lector habrá adivinado que si el espesor c de

la sección representada en la figura 159 (a) es pequeño comparado

con el radio r, la curva parabólica de la figura 155 (b), que define la

elástica de la película, es válida con aproximación suficiente x. En

este caso, la pendiente máxima de la película y la fatiga máxima

correspondiente para la sección de la figura 159 (a) serán,

aproximadamente, las mismas que en el caso de un rectángulo

estrecho.

En el caso de una sección en U —fig. 159 (c)—, el ángulo de

torsión se obtiene subdividiendo la sección en los tres rectángu-

FIG. 159


126 La elástica en este caso no es cilindrica; pero si c es pequeño,

comparado con r, la curvatura de la película en dirección tangencial es pequeña, comparada con la de dirección radial, y puede despreciarse.

(blCf + 2 b2c\)G

Para calcular las fatigas correspondientes al centro de los lados b2

de las alas, basta, tal como se deduce de las ecuaciones (253) y (254),

multiplicar 0 por c2G. Tendremos

los mostrados en la figura y sustituyendo en la ecuación (253) ÓjCj -j- 2

b2c3, en lugar de be3. Por consiguiente,

3 Mt (256)

T = --------------------- : ---------------------------------------------------------- (257)

6xcf + 2 b2c%

Estás mismas ecuaciones son válidas como solución aproximada

para vigas en I 126 con alas de espesor constante —figura 160 (a)—.

En el caso de vigas en I con alas en pendientes —fig. 160 (ó)—,

representando con ca el espesor del ala en los bordes y con c8 el espesor

máximo del ala, definido por la ecuación

c3 = c2 + \ h tg a,

y empleando la ecuación (255) para las alas, se ve que el ángulo de

torsión 0 se deduce de la ecuación (256), sustituyendo en ella la

b,

_____ if” I t

3 Mtc2

1 La fatiga máxima acontece en los ángulos entrantes y se estudiará detalladamente más adelante (véase art. 60, pág. 329).

e =

cantidad - (c2 + c3) (c| + c*),

en lugar de c3.

L

a fatiga máxima acon-

tece, de ordinario, en los

acuerdos y tiene un carác-

ter local. Su valor se exami-

nará en el artículo 60. Tam-

bién pueden presentarse

fatigas crecidas en los pun-

tos m de la figura 160 (ó) (centro de la superficie externa de las

alas). Esta última fatiga se obtiene multiplicando el ángulo de

torsión 0 por czG, siendo c3 el espesor máximo del ala.

Debe notarse que para obtener la ecuación (256) se usó la

fórmula correspondiente a un rectángulo estrecho y que despre-

1. r

TT"'|' ' i

C,

b, H

i 1

(o)

FIG. 160

b, -C.

(b)

TORSIÓN 281


ciamos por completo la influencia de los lados cortos del rectángulo de

la figura 155 sobre el valor del volumen determinado por la película de

jabón. Debido a la presencia de los lados cortos, el volumen disminuirá

en alguna cantidad. Al mismo tiempo, en los ángulos de la sección en U

—fig. 159 (c)—, donde se enlazan dos rectángulos, la deformación

adicional aumentará en algo el volumen. Estos dos factores,

despreciados al obtener la ecua ción (256), actúan en sentido

contrario, por lo que tienden a neutralizar sus efectos, resultando la

ecuación (256) suficientemente aproximada, en especial para secciones

delgadas 127.

Para el caso de torsión de perfiles laminados en I y U cuyo espesor

no es pequeño y varía a lo largo del ancbo del ala, se ha encontrado

otra fórmula para la rigidez a la torsión, cuyos resultados están de

completo acuerdo con ios experimentales 128.

Problemas

1. Hallar la relación entre los ángulos de

torsión correspondientes a un tubo delgado y a uno

hendido de iguales dimensiones geométricas (fig. 161), bajo la acción de igual

momento torsor.

Solución: Usando las ecuaciones (151), Primera parte, y (253) se ob

tiene, respectivamente,

6 = 32 M,

nd129 1

0! =

2 M 2

La relación de los ángulos de torsión es

6 2 (d — d0)* 0, ~ 3 d2 + d20

127 La torsión de piezas tubulares fué estudiada por R. Bredt, F. D. /., vol.

40, pág. 815, 1896. Véase también T. Prescott, Phil. Mag., vol. 60, 1920. 128 Los ensayos básicos para la obtención de esta fórmula han sido

tion, vol. 9, 1935.

i—4>—H

O

3 Mt

O

TORSIÓN 283

Para tubos muy delgados (d2 + d\) » 2d2, y la relación de los án- gulos de

torsión es

2. Determinar el ángulo de torsión por centímetro en una □ —figura 159 (c)—

, si Mt = 20,000 kg. cm., ó, = 25 cm., = 9 cm., Oj =a 1 cm., c2 = 1,5 cm., 6 = 9 X 105

kg./cmA Solución:

3 X 20.00° 0 = (25 x I3 + 18 X 1,5^) X 9 X 106 = 0’00°77 radlane8/Cm-

3. Determinar la relación entre las fatigas cortantes máximas en los tubos del

problema 1, si los momentos torsores son iguales para ambos tubos.

4. Determinar la rigidez a la torsión C para la viga en I, considerada en la

página 280, si la pendiente de las alas se toma en consideración del modo explicado

en la página 280.

52. Torsión de tubos delgados.—Para estudiar la torsión de piezas

tubulares delgadas, puede utilizarse nuevamente la analogía de la

membrana en este caso, los contornos exterior e interior de la sección

deben colocarse en diferentes planos horizontales, tales como m-m y n-

n (fig. 162). Si el espesor del tubo es pequeño, la

curvatura de la membrana puede despreciarse; es

decir, las líneas mn pueden suponerse rectas. La

pendiente de la membrana es, por tanto,

constante a lo largo del espesor de la pared g

e igual a -, donde 8 es la diferencia de ni-

tb

vel entre los dos contornos y h el espesor del tubo, variable a lo largo

de la línea media de la sección. La analogía de la membra-_ na indica

que en este caso las fatigas cortantes se distribuyen uniformemente

sobre el espesor de la pared y vienen dadas por la pendiente t = (a )

n

La fatiga a lo largo de la línea media es, por consiguiente, inver-

samente proporcional al espesor de la pared. El volumen com


prendido entre las superficies mm y nn se calcula mediante la línea

media de la sección anular, indicada de trazos en la figura. Si A es el

área encerrada por esta línea, el volumen mmnn es y, por la analogía

de la membrana, se obtiene

Mt = 2A§. (b)

De las ecuaciones (a) y (b) sale

M,

(258) 2 Ah

Esta ecuación es válida si el espesor de las piezas tubulares

solicitadas a torsión es pequeño, la variación del espesor no es brusca

y no existen ángulos entrantes.

El ángulo de torsión 0 por unidad de longitud correspondiente a

una pieza tubular puede calcularse mediante la energía de

deformación por torsión. La energía de deformación por unidad de

longitud será

u. r** Jo 2(?

donde s es la longitud de la línea media de la sección anular re-

presentada en la figura 162 con línea de trazos. Sustituyendo el valor

de T (ecuación 258) en esta expresión e igualando la energía de

deformación al trabajo suministrado por el momento torsor, se obtiene

ML í'- = lMte, (c) 8A 2 Gj f í h 2

de donde f* Í? = r xds. (259)

4 A2Gj0 h 2AGjo

En el caso de un tubo de espesor uniforme, T es constante y la

ecuación (259) será G = (260)

2 AG

Mediante esta ecuación se calcula fácilmente el ángulo de torsión,

dadas las dimensiones de la sección y determinada T por la fórmula

(258).

La ecuación (259), obtenida considerando la energía de de-

T =

0 =

TORSIÓN 285

formación de la pieza tubular, puede obtenerse también por la

analogía de la membrana. Considerando el equilibrio del plano n-n

de la figura 162, se deduce que la presión pA 130 que actúa sobre este

plano se equilibra por las fuerzas extensoras que actúan sobre la

membrana. La fuerza extensora Sds que actúa sobre un elemento ds

del contorno tiene una pequeña pendiente igual a T; por tanto, la

componente vertical de esta fuerza es tSds y la condición de

equilibrio del plano n-n es

pA — / zSds

Observando que la tensión S en la membrana es constante OQ

y que 20% —véase ecuación (a), artículo 50—, se deduce de la

ecuación (d):

P = l fSrds=2Ge.

S A j o

Resolviendo en 0 esta ecuación, se obtiene la fórmula (259),

encontrada anteriormente.

Algunas veces se desean calcular las fatigas de torsión en una

pieza tubular con paredes intermedias —fig. 163 (a)—.

El contorno de la sección está formado en este caso por tres curvas

cerradas. Aplicando la analogía de la membrana, las tres curvas

quedarán colocadas en tres planos horizontales

diferentes nn, pp y mm, tal como indica la figu-

ra 163 (b). La película de jabón que* enlaza

estas tres curvas forma una superficie estrecha, cuya sección

está representada por las líneas mn, np y pm.

Supondremos nuevamente que los espesores de pared

hv h2 y h% son pequeños y despreciaremos la curvatura

de la membrana en dirección normal a los contornos; es decir,

supondre

130 En el caso de piezas de pared delgada, puede considerarse el área A,

limitada por la línea de trazos, en lugar de) área del plano n-n.

(d)

A A

~h, h s -h,

(a)

P\l m * ♦ m (b)

FIG. 163


mos rectas las líneas mn, np y pm. En este caso las pendientes de la

membrana que dan las fatigas en la pared de la pieza tubular son

El valor del momento torsor que produce estas fatigas se obtiene

duplicando el volumen del espacio mnnppm de la figura 163 (b). Si

representamos las áreas limitadas por las líneas de trazos en la figura

163 (a) por Aí y A2, este momento torsor es

Mt=2(A18, +4&), (g)

mediante las ecuaciones (e) se obtiene

Mt — 2 A1h^r1 + 2 A2h2x2. (h)

Aplicando la ecuación (259) a las dos curvas cerradas indicadas de

trazos en la figura 163 (a) se obtienen nuevas ecuaciones necesarias

para la resolución del problema. Suponiendo que el trozo BGD de

pared tiene un espesor constante hl y que los trozos DEB y DB tienen

unos espesores constantes h2 y h3, respectivamente, la ecuación (259)

será

Vi + Va = 2 GBA1, (i)

"Va T3®3 = ^ GQA,,. (j)

Las longitudes s1# s2 y sa se miden a lo largo de las líneas de trazos

BGD, DEB y DB, respectivamente. Al aplicar la integral (259) a las

curvas cerradas BGDB y DE BD, se recorre el trozo DB de longitud s3

en dos direcciones opuestas. Por ello los segundos términos de los

primeros miembros de las ecuaciones (i) y (?) tienen signos contrarios.

El ángulo de torsión 0 que interviene en los segundos miembros de

las ecuaciones (i) y (j) es el mismo, como ángulo de torsión

correspondiente a la pieza tubular entera. Las cuatro ecuaciones (/),

(h), (i) y (j) contienen las cuatro incógnitas t x , t 2 , t 3 y 0, que pueden

calcularse fácilmente. Eliminando 0, se obtiene para las fatigas

cortantes las fórmulas siguientes:

^ __ KS2^-1 + + ^2) > ,

131 Las pequeñas fatigas, correspondientes al cambio de pendiente de la

membrana a lo largo del espesor del alma, se desprecian.

1

L 131 «r

¡ i¡

V 2 1 h2

S1 ---- _ hlxl — h2x,

5^

co

1

h3

TORSIÓN 287

M

1 1 2 [AxA3s2.áf + hJi^sÂ132 + \h2s2(Ax + A 2 ) 2 ]

T = Mt ----------------------- + At) ----------------------------------------------- , (¿) 2 [h.Jizs2A2 + h^sÂl + hlh2s2{A1 + A2)2]

„ h,svA.—AoS.^4,, , .

t, = M, ---------------------------- —— ---------- —— ------------------------------- (m) 2 [hxhzs2Ax + ^2^3,si^Í + ^M3(4, + -42)2]

Si la pared DB de la sección de la figura 163 (a) es el plano de

simetría de la sección, tendremos sx = s2, Aj = A, y At= A2,

y la ecuación (m) da r3 = 0. En este caso, el momento torsor lo absorbe

por completo la pared exterior del tubo y el alma queda sin solicitar x.

Para obtener el ángulo de torsión de la pieza tubular, sus-

tituiremos los valores calculados para las fatigas en las ecuaciones (i)

o (j).

Vemos, pues, que la torsión de una pieza tubular, tal como la

representada en la figura 163, puede resolverse fácilmente, con

suficiente aproximación, si el espesor de la pared es pequeño

comparado con las dimensiones generales de la sección.

; 53. Torsión de piezas de pared delgada en las que algunas secciones no

pueden alabear libremente.—En el estudio realizado sobre torsión de

vigas en I y U (pág. 280), se ha supuesto que el momento torsor se

aplica en los extremos de la pieza y que todas las secciones tienen

libertad completa para alabear. Hay casos, sin embargo, en que una o

varias secciones están obligadas a permanecer planas, y el problema

que ahora tratamos de resolver consiste en averiguar de qué modo este

alabeamiento impedido influye sobre el ángulo de torsión y la distri-

bución de fatigas. Para piezas sin alas, tales como secciones elípticas o

rectangulares, dicha restricción solamente produce un efecto

despreciable sobre el ángulo de torsión 2, siempre que las

132 Para examinar esta cuestión, véase Theory of Elasticity, página 273.

TORSIÓN 288

dimensiones de la sección de la pieza sean pequeñas comparadas con

su longitud. Con vigas en I o en U y otras piezas de pared delgada, la

restricción de alabeamiento de algunas secciones durante la torsión

viene acompañada de flexión en las alas y

puede influir considerablemente en el ángulo de torsión, según el valor

de la rigidez de las alas. Como caso sencillo, consideraremos una viga

en I solicitada a torsión por un par aplicado en su sección central y

apoyada 1 en los extremos (fig. 164). Por simetría, la sección mn debe

permanecer plana durante la tor

sión y la rotación de esta sección respecto a las secciones extremas

viene acompañada de flexión de las alas. El par torsor en el extremo

queda equilibrado en cualquier sección parcialmente por las fatigas

cortantes debidas a torsión y en parte por las fatigas cortantes debidas

a la flexión de las alas 2. La figura 165 (a) representa la mitad de la viga

de la figura 164. La sección cen-

1 Los apoyos se suponen tales que los extremos de la viga no pueden girar alrededor de un eje longitudinal, pero pueden alabear libremente.

8 Véanse la publicación del autor, Bull. Pólyt. Inst. St. Peters- burg, 1905-1906, y Ztschr. f. Math. u. Phys., vol. 58, pág. 361, 1910. Véanse también K. Huber, Dissertation München., 1922, y C. Weber, Ztschr. /. angew. Math. u. Mech., vol. 6, pág. 85, 1926. Otros estudios de este problema, para diversas formas de piezas de pared delgada.

tral mn permanece plana por simetría y podemos considerar la media

viga como empotrada en ella y solicitada en el otro extremo por el

momento torsor. Sea 9 el ángulo de torsión para una

FIG. 164

TORSIÓN 289

(i)

dtp sección general de la viga. ^ = 0 será el ángulo de torsión por

unidad de longitud de la viga. La parte M\ del momento torsor que

equilibran las fatigas cortantes debidas a la torsión se determina por

la ecuación

M\ = Cd, (a)

donde C es la rigidez a la torsión de la barra (véase pág. 263, Primera

parte). Para determinar la parte del momento torsor M" equilibrado

por las fuerzas cortantes en las alas, debidas a la flexión,

examinaremos la flexión de un ala —fig. 165 (c)—.

Representando por h la distancia entre los centros de gravedad en

las alas —fig. 165 (b)—, la flecha para una sección del ala superior es

Y, diferenciando, se obtiene

d3z h dstp ______ h d2 6 .

dx3 2 dx3 2 dx2

Si representamos con D la rigideza la flexión de un ala en

el plano xz y observamos que 2 es positiva —fig. 165 (c)—, la expresión

de la fuerza cortante en el ala debida a la flexión será

— (d) dx dx3 2 dx2

Considerando V en su dirección positiva —fig. 165 (c)—, tendremos Dh2 d2Q

M'¡ = — Vh = -------------------------------------------------- le) 2 dx2

y el momento torsor total es

Dh2 d2 fi Mt = M't + M"t (261)

_____________________________________________ 2 dx2

han sido realizados por A. Ostenfeld, Laboratorium /. Baustatik d. techn. Hochschule, Kopenhagen, Mitteilung, núm. 6, 1931. El caso da piezas tubulares de sección rectangular ha sido estudiado por H. Reiss- ner, Zeitschr. f. Flugtechnik u. Motorluftschiffahrt, vol. 17, pág. 385, 1926, y vol. 18, pág. 153, 1927.


En nuestro caso, M, es constante a lo largo de la longitud l de la

viga, y ia solución general de la ecuación (261J es

donde

Dh* 2(7"

Como la rigidez a la flexión D y la rigidez a la torsión G se

miden en las mismas unidades (kg. x cm.2), la ecuación (g) muestra

que a tiene las dimensiones de una longitud y depende de las

proporciones de la viga.

Conocido 0, pueden calcularse, mediante las ecuaciones (a) y

(e), las partes M¡ y del momento torsor total Mt. Para la sección

empotrada x — 0, 0 = 0, y por la ecuación (a), M't — 0. Por

consiguiente, en este punto la totalidad del momento torsor se

equilibra con el momento de las fuerzas cortantes debidas

M a la flexión de las alas, que valen V = --------------

En ei otro extremo x = l, y por la ecuación (/),

0 = G

Si la longitud de la viga es grande comparada con las dimensiones

de la sección, l es grande comparada con a, y el segundo término del

paréntesis de la ecuación (h) resulta despreciable;

por tanto, 0 se aproxima al valor

La ecuación (d) da la fuerza cortante en las alas, y de ella

se deduce que el momento flector en el ala es

Dhdti 2 dx RESISTENCIA DE MATERIAL ES.—T. II

(f) 1 —

l\ ' Ch

V = ¥J o

(<7)

(h) Cb

Mt

G ‘

M 19

TORSIÓN 291

(i)

poniendo, en vez de 0, su valor (/) y utilizando la notación (<7),

\ai \ar

El momento ñector en el extremo empotrado será

Cuando I es varias veces mayor que a, Th - tiende hacia la a

unidad y puede escribirse

-^máx —

l - x\ Sh

Dh Mt M = — -- 2 aC (?)

i1— S h / L l f ) \ a I a \ a I

Ch i1] h Ch 11 = - M,

m

aMt

h (D

es decir, que el momento flector máximo en el ala es el mismo que

correspondería a una ménsula de longitud a, oargada en el extremo

con la fuer- M za ~. Para una viga muy corta l es peque-

ño comparado con a, Th (-) tiende a - y la

ecuación (k) sería Mt / *

■^máx = ~ (m) h

zi

2*8 -084

— 1.30

1-T-

Fig. 1(56 Sea, por ejemplo, una viga standard en I

de 28,8 cm. de altura, cuya sección tiene la forma

aproximada representada en la figura 166, constituida por tres

rectángulos de áreas equivalentes a las de las alas y el alma Mediante la


C= - (26,2 x 0,843 + 2 X 12 x 1,303) G = 22,96 G. (n) 3

El valor de D se obtiene 2 tomando la mitad del momento de inercia de

la sección standard alrededor del eje vertical y

1 Mejor aproximación para el valor de C puede obtenerse teniendo en cuenta la pendiente de las alas del modo indicado en la página 276.

* El momento de inercia de la sección del alma se desprecia en este cálculo.

292 RESISTETEOTA OE MATERIALES

Por consiguiente si la viga está cargada como indica la figura

164, el momento flector máximo en el ala, por la ecuación (l), es,

aproximadamente, el triple del momento torsor Mt, con tal

de que la viga sea lo suficientemente larga para que Th /-j tienda l \a' n\

a 1 Por ejemplo: Si - = 2, l aproximadamente 6h, Th (-)

o>

\(l

J

— 0,96 y el error del cálculo precedente es el 4 por 100.

Para calcular el ángulo de torsión <p se utiliza la ecuación (/).

Recordando que 6 = integrando la ecuación (/) y determinando la

constante de integración por la condición <p = 0 cuando x, = 0, se

obtiene

El segundo término del paréntesis representa el efecto de la flexión de

las alas sobre el ángulo de torsión. Para vigas largas,

Th. (^) « 1 y la ecuación (q) es

a).

■ El efecto de la flexión de las alas sobre el ángulo de torsión

equivale, por consiguiente, a disminuir la longitud l en la cantidad a.

El método desarrollado para un momento torsor constante puede

aplicarse también cuando varía a lo largo de la longitud

157,1’ E, y por la ecua-

157,6 x 2,6 22,96 x

2

= 2,99 h. (o)

multiplicando por E. Por tanto, D ción

(g), ( _____

a = h \ ¡ r c ~ h ]

«Sh Mt

C (! a

«Th x + (P) l\

Ch

Haciendo x

extremo será

l en esta ecuación, el ángulo de torsión en el M,

[' _ “Th (á) (?)*-! (2)

G

(r)

TORSIÓN 293

de la viga. Basta sustituir en la ecuación (261), en lugar de M„ su valor

en función de x.

En el estudio realizado sobre torsión de vigas en I (fig. 165), se ha

deducido por simetría que las secciones giran alrededor del eje de la

viga. Por consiguiente, sólo se ha considerado la flexión de las alas. Se

ve también que esta flexión no interfiere con la torsión del alma,

puesto que en los puntos de unión del alma y las alas las fatigas

(lectoras en las alas son nulas. En el caso de secciones asimétricas o

con un solo eje de simetría, el problema es más complicado, puesto que

durante la torsión se producirá, no sólo flexión de las alas, sino

también del alma.

Como ejemplo de esta naturaleza consideraremos la torsión de una

sección en LI (fig. 167). Se vió anteriormente (pág. 53), que en este caso

cada sección gira alrededor dél centro de torsión O situado sobre el eje

horizontal de simetría a una distancia (página 56)

(«) e =

Uz

del plano central del alma. De ello se deduce que las flechas de las alas

y del alma en sus planos respectivos son

V = c<p,

donde 9 es, como anteriormente, el ángulo de torsión. Se ha su-

puesto que el espesor de las alas y del alma son pequeños; de modo que

las fatigas debidas a la flexión de estas partes en direcciones

perpendiculares a sus superficies pueden despreciarse. En tal caso, la

acción entre el ala superior y el alma está representada solamente por

las fatigas cortantes (t1¿)0 mostradas en

L,1 h V

(o) 7 - > 1

Fio. 167

(t)

294 RESISTETEOTA OE MATERIALES

la figura 168. Estas fatigas producen flexión y compresión del ala.

Si 8 es el valor de !a fuerza compresora en el ala a la distancia x del

extremo empotrado, se tiene

_ dS ^xz) 0 — ~

dx

El valor de la fuerza S se determina ahora por la condición de

que la deformación zx en dirección longitudinal en la unión del

alma y el ala es igual para ambas partes. Calculando las cur-

T h

& Fio. 16S

vaturas de las elásticas por las expresiones (t), se encuentra que

esta condición está representada por la ecuación _ dcp h h dhp b 8

~ 6 dx2 ' 2 ~ 2 dx2 2 ~btE

De donde, mediante la expresión (s), y con la notación

tji3 bth?

12 2 se obtiene

Teniendo esta expresión de S, puede calcularse fácilmente las

fatigas cortantes en el alma y las alas y también la parte M"t del

momento torsor equilibrado por estas fatigas. Comenzaremos por

las fatigas cortantes en el alma. Tomando dos secciones adyacentes

mn y m,», —fig. 169 (a)—, y considerando como de ordinario el

equilibrio del elemento rayado, se obtiene la ecuación dS 7 , dM Q t,.J,dx dx +

J" i'T:zz\dx. S= /

(«)

EblhHtx

48/, d2

cp

dx2

8 (»)

dx = 0

295 RESISTENCIA BE MATERIALES

donde Q es el momento respecto al eje z de la parte rayada de

£ ^

la sección del alma —fig. 169 (b)—, /' = es él momento de inercia de

la sección del alma respecto al eje z y M es el mo-

■i£

mentó flector en el alma tomado positivo, si produce extensión en el

borde superior e igual a

M = E/le — = Sh. dx2

La expresión para las fatigas n;xy será, por tanto,

dS /. Qh\ d&_ L Qh\

txdx \ I'J

Observando que la variación de Q, a lo largo de la altura de

la sección sigue ley parabólica, se ve que la distribución de

es tal como indica el área *■y

rayada de la figura 169 (c) y que

la fuerza cortante resultante en

el alma es nula. Esta última

conclusión era de esperar, ya

que las fuerzas cortantes en el

alma y en las dos alas deben contrarrestar

la parte M”del momento torsor y ello es posible solamente si la

fuerza cortante totalen el alma es nula y las fuerzas cortantes

en las dos alas forman un par.

Para calcular las fatigas cortantes TXÍ en el ala —fig. 170 (a)—,

'■xv

z m

m, 1 t

tr.^dx t ■

—r z *

f b

1

n — dx— n. 60

FIG. 170


observaremos que en una sección mn actúan una fuerza compresora

& y un momento flector 133

u = D*2. • * w dx* 2

Considerando el equilibrio del elemento rayado situado entre

dos secciones adyacentes, se tiene

• b— + = 0 dx b dx /,

donde Qx e I x deben calcularse para el ala del mismo modoque Q

e /' parael alma. Poniendo, en lugar de M, su expresión (w),

tendremos 1 dSb — z E <¿3<p hQx

= t dx b t dx3 2

Los dos términos del segundo miembro de esta ecuación están

representados en la figura 170 (ó) por las áreas rayadas de un

triángulo y de un segmento parabólico, respectivamente. La suma

de estas dos áreas, multiplicadas por t, da la fuerza cortante total en

el ala *.

T7 bdS „ htb3 d3m V = ---------- 1- E ---------- L

2 dx 24 dx?

Sustituyendo 8 por su expresión (v), y teniendo en cuenta que

b = se obtiene

F & ^ / 1+ W * e (x)

24 \ 4 ijdx*

Por consiguiente, el momento torsor equilibrado por las fuerzas

cortantes en las alas es

= - Vh = - ^ (l + *?. (y) 2 \ 41J dx*

Esta expresión es la que se debeusar en lugar de la (e), ob

tenida en el caso de una viga en I, para el cálculo del ángulo de

torsión de la sección en U de la figura 167. Por consiguiente,

133 D =<= representa, como anteriormente, la rigidez a la flexión

14

del ala en su plano. a La dirección positiva de V es la indicada en la figura 165 (c).

TORSIÓN 297

todas las conclusiones obtenidas para la viga en I son válidas para

una sección enU, si la cantidad a2, dada por la expresión (g), se

sustituye por la cantidad

at = D»í i 20\ ilj

El método empleado para estudiar la torsión de una ü simétrica

(fig. 167) puede aplicarse también en el caso más general de una

sección en U asimétrica (fig. 171). Comenzaremos por determinar el

centro de torsión 0. Suponiendo que la U está empotrada en un

extremo y cargada en el otro, R de tal modo que acontece la

flexión sin tor-

sión en el plano del alma, encontraríamos del h modo

ordinario (véase pág. 56) las fuerzas

cortantes Rv R2 y V, que actúan sobre las alas y el alma de la

U. La resultante de estas fuerzas debe pasar por el centro

de torsión O y* (véase artículo 8). Se obtiene otra

línea que

FIG. 171 pasa por dicho punto, suponiendo que

la U

se flexa en el plano horizontal y calculando

nuevamente las tres fuerzas que corresponden a las alas y el alma.

El punto de intersección de la resultante de estas tres últimas

fuerzas con la resultante anteriormente determinada de las fuerzas

i?1# R2 y V es el centro de torsión 0 de la sección asimétrica.

Conocido este centro y procediendo como anteriormente —véanse

ecuaciones (t)—, expresaríamos las elásticas de las alas y del alma

en función del ángulo de torsión cp. Las fuerzas xSj y S.¿ de

extensión y compresión en las alas se determinan después por las

condiciones de que en las uniones la deformación longitudinal es la

misma para el alma y el ala adyacente. Calculadas las fuerzas 85 y

S2, se encuentra la distribución de fatigas cortantes, como en el caso

ya examinado de U simétrica, y puede comprobarse 134 que la fuerza

cortante total en el alma es nula y que las fuerzas cortantes R en las

dos alas dan un par que equilibra la parte M" del momento torsor.

134 El desarrollo de los cálculos puede verse en la publicacióo de A.

Osleníeld, ya citada, pág. 283.

t-

JÍ1 O'

TORSIÓN 298

Problemas

1. Una ménsula de sección en Z (fig. 172) está empotrada en un extremo, y

sometida a torsión por la acción de un par Mt aplicado en el otro extremo. Hallar

el ángulo de torsión y el momento flector máximo en las alas.

Solución: En este caso el centro de torsión coincide con el centro

de gravedad C de la sección. No habrá, por tanto, flexión del alma. Las fuerzas S

son en este caso idénticas para ambas alas, y la distribu-

1~ fc~Tl

" í I *>,——! FIG. 173

ción de fatigas cortantes tal como

representa la tigura 172 (6). La fuerza

cortante en el alma es nula, y las fuerzas cortantes V en las alas, iguales y opuestas, serán Eb3ht / i —— I 2

3 bl

12 V

El par que forman vale M" = - Vh 2 bt + htx) dr?

c?3q> — Dh? (2 — , ,

\ 2 bt ht x ] dx 3

donde D es la rigidez a la flexión de un ala. El ángulo de torsión y el momento

flector máximo en las alas se calculan por las ecuaciones (k) y ( l ) , en las que,

en este caso,

a* _ D h*Í2 - 3 bt G \ 2bt + htx

2. Resolver el problema anterior, suponiendo que la sección tiene la forma

representada en la figura 173.

Bespvesta: Las fuerzas cortantes en las alas son ,d\

V = ± Dd dx3

donde Et, b3

D =

12 h — d b\tx El momento torsor MI, equilibrado por ia flexión de las alas, es

FIG. 172

* — d

1

r

0

i1*'

3 bt

TORSION 299

El valor de a, que debe sustituirse en las ecuaciones (k ) y (l ) , es

, Ddh a“ =

~0~'

3. Resolver el problema 1 para las secciones representadas en

la figura 174.

Respuesta: En ambos casos el cen

tro de torsión 0 está en la unión de las alas. La

rotación alrededor de este punto no produce

flexión alguna de las alas en su plano, y la

totalidad del momento torsor es absorbida

exclusivamente por fatigas de torsión.

54. Pandeo por torsión de piezas comprimidas de pared del* gada.

— Del estudio realizado en el artículo 51 se

deduce que la rigidez a la torsión C en secciones

abiertas de pared delgada disminuye con el cubo

del espesor de la pared, mientras que las

rigideces a la flexión disminuyen en proporción

menor. Por consiguiente, una pieza de pared

delgada es más flexible a torsión que a flexión. Si

una pieza de esta clase se somete a una

compresión axial, puede acontecer un pandeo

por torsión 135 para una carga menor que la de

Euler, estudiada en el artículo 35. El valor

aproximado de la carga para el que acontece este

colapso por torsión puede obtenerse fácilmente

empleando en cada caso una ecuación,

equivalente a la ecuación (261) del artículo

anterior, que define la torsión de una pieza de

pared delgada en la que está impedido el

alabeamien- to de una sección. Como ejemplo,

consideraremos una columna con sección en L1, empotrada en la

base y cargada axialmente en

135 El pandeo por torsión fue estudiado por H. Wagner, Technische

Huchschule, Danzig, 25.° aniversario, 1904-1929. Véanse también H. Wagner y W. Pretschner, Luftfahrtforschung, vol. 11, pág. 174, 1934, y R. Kappus, Luftfahrtforschung, vol. 14, pág. 444, 1937. La traducción inglesa de esta última publicación puede verse en Tech. Mem., núm. 851, 1938; Nat. Adv. Com. Acrn. Para ensayos sobre pandeo por torsión, véase la publicación de A. tí. Niles, Tech. Notes, número 733, 1939; Nat. Adv. Gom. Aern.

FIG. 175


la cabeza —fig. 175 (a)—. Si la columna pandea lateralmente, como

se indica en la figura con línea de trazos, la fuerza com-

presora vertical P da para cada sección una componente P ■—

que actúa en el plano de la sección y pasa por su centro de gra-

vedad. La acciónde esta fuerza p uede reemplazarse por la acción

flectora de una fuerza igual que pase por el centro de torsión O —

fig. 175 (ó)—- y por el momento torsor

ilf, - cP^ = c2P^? = c2PB, (a) dx dx

donde c representa la distancia del centro de torsión 0 al centro de

gravedad de la sección y <p es el ángulo de torsión. Si la fuerza

compresora P esvarias veces menorque la carga de Euler

para elpandeo de la columna en el plano xyla acciónflectora

mencionada anteriormente puede despreciarse y considerar sola-

mente la torsión L En este caso puede aplicarse la ecuación (261).

Escribiendo, en lugar de Mt, la expresión (a), y en vez de M¡ la

expresión {y), obtenida para una sección en LJ, se obtiene

<A«)=ce—— 5 +^3) — 2 \ 4 Ijdx*

o d2 6

+ m = o (t) dx2

donde

* = (c)

fKD

Como el extremo inferior de la columna está empotrado y en el

superior no actúa momento flector sobre las alas, las condiciones en

los extremos que ha de satisfacer 0 son

(9),-»= 0, (“) =0- (<*)

3UU RESISTENCIA DE MATEETAT/ES

Para satisfacer la primera de estas condiciones, tomaremos la

solución de ia ecuación (6) en la forma siguiente.

0 — A sen kx. (e)

Esta solución satisfará también a la segunda de Jas condiciones

(d) si hacemos

71 & = *=-■ ( / )

2 21

Poniendo, en vez de k2, su valor (c), se obtiene

£ . ^ _ 2 / 1 + « + £ (262) U2 2c2 \ 4ij c2

El primer término del segundo miembro de esta,

ecuación se debe a la resistencia local a la flexión en

el extremo empotrado, y el segundo, independiente de la longitud l,

se debe a la resistencia a la torsión.

Si en lugar de una L! tuviésemos una sección abierta de pared

delgada de otra forma, bastaría cambiar el primer término de la

expresión (262), tal como se indicó en el artículo precedente. En el

caso particular de una sección en T o de un angular (figura 174), el

centro de torsión coincide con el punto de unión de las alas y no

existe flexión de las alas en sus planos respectivos durante la

torsión. Por ello, el primer término de la expresión (262) se anula, y

se tiene 3 J ~

Per = -• (263) c2

Debe notarse que en el estudio del artículo anterior se ha

supuesto muy pequeño el espesor de las alas y que se ha despre-

ciado la rigidez a la flexión de las mismas en dirección perpen-

dicular a ellas. Si esta rigidez se toma en consideración, aparece un

término adicional en el segundo miembro de la ecuación (263), cuyo

valor para un angular de lados iguales es

7t2 2 btzE

12(1 —(i2) 412

y expresa la suma de las cargas de Euler correspondientes a las dos

alas. Disminuye rápidamente al aumentar la longitud l por lo que la

expresión (263) da resultados satisfactorios en colum-

Per = 4 l2

TORSIÓN 301

(264)

Se ve que el primer término del segundo miembro disminuye a

medida que la longitud l aumenta, de modo que para piezas re-

lativamente largas la estabilidad está prácticamente controlada por

el segundo término de la expresión (264).

La fórmula se ha obtenido suponiendo que las secciones ter-

minales de la pieza pueden alabear libremente. Si alguna ligadura

impide este libre alabeamiento de las secciones extremas, se

originará un aumento en el primer término de la ecuación (264).

Si los extremos están empotrados, debe ponerse ^ en

lugar de l,

en la fórmula (264), y se obtendría para este caso

(265)

obtenida para la carga crítica, si se desprecia la resistencia a la

flexión, puede deducirse por el examen de la energía. Como du-

ñas largas 1. Conocido el valor de la carga crítica a la torsión

para una columna con un extremo empotrado y el otro libre,

se puede obtener fácilmente la correspondiente a una pieza

con los

lugar de l. De esta forma se obtiene, deducida de la ecuación (262), la

expresión siguiente para una LJ con los extremos articulados:

Es interesante notar que la fórmula


rante la torsión las secciones giran alrededor de su centro de torsión,

la línea media de la pieza se transforma en una hélice cuya tangente

forma un ángulo 0c con la forma recta inicial del eje de la pieza. Debido

a este ángulo, las fuerzas compresoras P 02c2¿

recorren un camino ——. Igualando el trabajo correspondiente ¿i

a la energía de deformación por torsión, se tiene

2 2

de donde G

Cr 2

55. Fatigas secundarias en la torsión.—Al estudiar la torsión de ejes

circulares (artículo 58, Primera parte), se supone ordinariamente que

la distancia entre dos secciones cualesquiera de

un eje no cambia durante la torsión. Veremos

a hora que esta hipótesis es muy acertada

para materiales tales como el acero, en los

que la distorsión durante la torsión es muy

pequeña. Pero para un material como la

goma la distorsión máxima durante la torsión

Fin. 176 puede ser considerable.

Entonces debe

tomarse en consideración la variación de

distancias entre las secciones del eje si deseamos obtener valores

correctos para las fatigas. Lo mismo sucede al someter a torsión piezas

de acero de sección rectangular estrecha o secciones de pared delgada,

tales como las representadas en la figura 159.

Examinaremos primeramente un eje macizo circular y su-

pondremos por ahora que la distancia entre dos secciones consecutivas

(fig. 176) no varía durante la torsión. Si y es la distorsión en la

superficie del eje, el alargamiento de la fibra longitudinal ac se deduce

del triángulo accx del modo siguiente:

\ = a C ‘ ( l + 2 4 cos y

ac ac =

TORST <“)N 303

Expresando y en función del ángulo de torsión por unidad de

longitud 6, se tiene ;

2 (2 ) 1 y el alargamiento unitario de ia fibra ac es

tMi=?£lZüa = lr. = _136W*=-1^. (a)

ac, 2 8 2 O1

La fatiga de extensión correspondiente es

F — E T¡Ímax ^max ®máx ■“ ,,,,

2 O y

Para otra fibra a distancia r del eje, la distorsión es ^ r y la fatiga

extensora es -

9. r\2 2 f2

T2

<¿ / d2 £2

La hipótesis hecha de que la distancia entre las secciones es

invariable durante la torsión, lleva, sin embargo, a la conclusión de que

debe aplicarse una fuerza extensora longitudinal en los extremos de la

pieza, tal que produzca las fatigas extensoras (b), a fin de que su

longitud no varíe.

Si no se aplica esta fuerza, sino solamente un momento torsor, la

torsión viene acompañada de un acortamiento del eje. Sea e0 el

acortamiento unitario correspondiente. Entonces, en lugar de la

ecuación (6), se obtiene

( C )

d2 O2

e„ se determina estableciendo que en la distribución de fatigas (c) la

fuerza longitudinal total debe ser nula. Dividiendo la sección en anillos

elementales y sumando las fuerzas correspondientes a las fatigas (c), se

obtiene 1

Jj 2 rzradr = — e0#Jrdr

7MPE h%aáx — | __o

4 \4Ga

136 be supone que los cosenos de los ángulos que forman las fibras $ el eje de

ia barra pueden tomarse iguales a la unidad.

(

(266)


1 ruax

4G2

y la distribución de fatigas de la ecuación (c) será

i& r 2

en- La fatiga máxima acontece en la superficie exterior,

donde

r = Í ’ y e B n ^

En el centro de la sección se obtiene una fatiga compresora del

mismo valor.

Interesa notar que la fatiga es proporcional a xVáxi por io por lo

que la importancia de esta fatiga aumenta al crecer Tmax, es decir, con

el crecimiento del ángulo de torsión. Para materiales como el acero

TmáX es siempre muy pequeña comparada con G, y el valor de nmáx es,

por consiguiente, pequeño comparado con Tmáx y puede despreciarse.

En otros materiales, tales como goma, Tmáx puede ser del mismo orden

que G, crmáX ya no será pequeña comparada con xm4X y deberá tomarse

en consideración.

Si, en lugar de una sección circular, tenemos una rectangular

estrecha, puede verse 137 que aun para materiales como el acero, las

fatigas a pueden tener el mismo orden de magnitud que xm4X. Si el lado

largo de la sección b es grande, comparado con el corto c, el

alargamiento máximo de la fibra más alejada, debido únicamente a la

torsión, se deduce de ia ecuación (a), sustituyendo d por b, y es

®mix = ~ Q*.

8

Para otra fibra a distancia y del eje. el alargamiento es £máx |•

Combinando este alargamiento con ia contracción unitaria e0, se

obtienen

G 2y 2 2

137 Véase la publicación de Buckley, Phil. Mag., pág. 778, 1914. Véase

asimismo C. Weber, Die Lehre der Verdrehungsfestigkeif, Berlín, 1921, y también su publicación en A. Foeppl. Festschrift, Berlín, 1924

de donde

4 CP

TORSIÓN 305

La fatiga extensora correspondiente es

<7 = E - t<1). (d)

La constante s0 sedetermina igual que

anteriormente, estableciendo que es nula la

fuerza extensora total; por tanto,

j\ mdy =eE J\ (f~E")iy =cB (i T¡ ~ =0> 2

de donde 02 b2

t o = — • —, 2 12

y, sustituyendo en (á),

/ 2 fe2\ ^

r - iJ - ( e )

2

La fatiga extensora máxima para la fibra más alejada es

E%2b2 íis

= — (/) 1 Z

La fatiga compresora máxima en el centro (y — 0) es

EW

<W = --------- —— { g ) 24

Para comparar estas fatigas con TmáX, utilizaremos las ecuaciones

(253) y (254). En una sección rectangular muy estrecha se tiene

0 = T-HÉÍ. (h) cG

Sustituyendo este valor en las expresiones (/) y (g), será

Axínáx rr — _____________ Ó2 /OfiíU T"“ 7^7*' °m" ---------------------------------------------------------------------- <268>

Se ve que cuando - es un número grande, las fatigas cmA% c

y Omm pueden no ser pequeñas comparadas con Tmáx- La distribución

de las fatigas —véase ecuación (e)— está representada1

1 Esta distribución de fatigas se establece a alguna distancia de los extremos. Cerca de los extremos la distribución de fatigas es más

RESISTENCIA DA MATEBIAISS.—x. II 20

306 RESISTEN OIA DE MATERIALES

complicada que la expresión (e) y tal que, al Hogar a las secciones extremas, éstas aparezcan libres de fatigas normales. Este tipo de distribución de fatigas se estudia en Theory of Elasticity, pág. 152.

en la figura 177. Estas fatigas tienen la dirección de las fibras

longitudinales de la pletina sometida a torsión y están inclinadas con

relación a su eje un ángulo Qy. Sus proyecciones sobre un plano

perpendicular al eje de la pieza son

•*-T ( - 3 ) -

( k )

La componente (1c) de la fatiga a correspondiente al ele-

mento cdy de la sección da un momento, respecto

al eje de la pieza, igual a

™ La _ m

2 \ 12,

Fio. 177

cydy.

Por consiguiente, el momento torsor resultante de las

fatigas a es

A EB138 i

J_» 2 V

Ecb*

360

n ) cydy 03. r

Combinando este momento torsor con el debido a las

fatigas cortantes y determinado por i a ecuación (253), se obtiene para

el momento torsor total la expresión siguiente:

W(l + - L - - 0a\. (269) \ 120 O c2 /

Mt = - bc3OQ EcbW - bc30 3 360

TOBSIÓN 307

Puede verse que en el caso de una sección rectangular muy

estrecha y deformada, hasta un ángulo de torsión relativamente

grande, las fatigas a pueden absorber una parte importante del

momento torsor, ya que esta porción representada por el segundo

miembro de la ecuación (269) varía con 03, mientras que la parte que

equilibran las fatigas cortantes x dependen sólo de 9. Dado el valor del

momento torsor, el ángulo de torsión correspondiente se calcula por la

ecuación (269). La fatiga cortante máxima Tmáx se deduce de la

ecuación (h) y amiK y omín por las


ecuaciones (268). Sea, por ejemplo, b = 9,6 cm., c = 0,12 cm.,

^ = 2,6, O = 8,05 X 10s kg./cm.2 y Mt = 1/3 be2 x 1,050 kilo- (jf

gramos-cm. Si se desprecian las fatigas normales <r, la ecuación (254)

da Tmáx = 1,050 kg./cm.2, y de la ecuación (253) se o b cieñe 6 — = 0,0109.

cQ

Tomando en consideración las fatigas longitudinales y usando la


0,0109 = 6(1 + 12,79 02),

de donde 8 = 0,00683

Se ve, por consiguiente, que para un importante ángulo de torsión

las fatigas normales en una pletina metálica son del mismo orden que

las fatigas cortantes T y no pueden despreciarse al calcular el ángulo

de torsión.

De lo expuesto se deduce que una tensión uniforme longitudinal

tiene gran influencia sobre el ángulo de torsión de una pletina.

Supongamos, por ejemplo, que se aplica a la pletina considerada una

fatiga extensora uniforme cr0. En este caso, la ecuación para el cálculo

de e0 es

Tmáx— 8 • c• 6r = 660 kg./cm.2;

y el momento torsor correspondiente es

TORSIÓN 309

Para la expresión dei momento torsor total, en lugar de la

ecuación (269), se obtiene

1 Mt = - bc*GQ /l + — - - 92 + - 3 \ 120 G

c2 4 G

Se ve que cuando - es un número grande (es decir, en el

c

caso de una pletina delgada), la fatiga extensora puede reducir

considerablemente el ángulo de

torsión 0.

’ 56. Resorte helicoidal de es

piras abiertas.—En el estudio rea-

lizado sobre resortes helicoidales

(véase pág. 263, Primera parte) se

supuso que el ángulo que formaban

las espiras y el plano perpendicular al

eje de la hélice era muy pequeño. Al

despreciar este ángulo, la

deformación era solamente una

torsión. En los resortes de espiras

abiertas, el ángulo no es pequeño y la

deformación producida por las

fuerzas axiales P consta de torsión y

flexión (figura 178). En cualquier

punto A la tangente a la hélice media

del resorte no es perpendicular a la

fuerza P y esta fuerza produce en la sección A torsión y flexión

alrededor del eje nv Descompondremos P en sus dos componentes P

eos ay P sen a, perpendicular y paralela, respectivamente, a la

tangente en A. En esta sección, la componente P eos a produce el

momento torsor M, — PR eos a, (a)

donde R es el radio de la hélice, y la componente P sen a produce el

momento flector

M = PR sen a. (b)

La fatiga máxima combinada es (v. pág. 270, Primera parte)

<W = ~(M + VM^+W) = (1 + sen a), (271) raí3 jtd3

b2\

(270)


donde d es el diámetro del alambre. La fatiga cortante máxima es 1

Tffi4x = ^ V^2 + Mf = 1- -. (272)

7ids izd

Consideremos ahora ia deformación del resorte suponiendo que está sujeto por su

extremo superior y cargado axialmente con la fuerza P en su extremo inferior. Un elemento ds

comprendido entre Ay la sección adyacente, por la acción del momento torsor Mt, se

deforma en el ángulo

7 PR cos a 7 .. dep= — ds. (c)

(xlp

Debido a esta torsión, la parte inferior del resorte gira alrededor de la tangente en A el

ángulo d<p. Esta pequeña rotación está representada en la figura por el vector n de dirección

tangencial, cuyo sentido se toma de tal modo que entre el sentido del vector y el sentido de la

rotación exista la misma relación que entre el desplazamiento y la rotación de un sacacorchos.

La pequeña rotación n se descompone en dos: 1.° Una rotación n cos a alrededor de un eje

horizontal, y 2.° Una rotación n sen a alrededor de un eje vertical. La última rotación no

produce descenso delextremo

B del resorte, por lo quepuede no considerarse ahora. El descenso del extremo B del resorte debido a la

rotación n cos a se examina de modo análogo a como se hizo en el caso de un resorte de

espiras cerradas. Debido a esta rotación, el punto B corre a Bx —fig.

178 (c)—, y tenemos jBif, = ÁBn

cos a. Lacomponente vertical de este corrimiento es

D BB„ = BBi • -=r = Rn cos a. (d)

2 AB

La flecha total del extremo B debida a la torsión, deducida de la ecuación (d), será re

Sj = I Rn cos a, (e) J a

1 Si el diámetro del alambre no es muy pequeño comparado con el diámetro 2R de la hélice, el valor hallado debe multiplicarse por un factor de corrección, que para a < 20° puede tomarse igual al correspondiente a un resorte de espiras cerradas (Primera parte, pág. 2/2). Un estudio más detenido de este problema ha sido realizado por O. Gohner, V. D. I., vol. 76, pág. 269, 1932.

TORSIÓN 311

donde la integración se toma a io largo de la longitud del resorte

desde el extremo inferior B al superior fijo C.

La flecha debida a la flexión puede calcularse de modo análogo.

La deformación angular debida a la flexión del elemento da por el

momento M (ecuación b) es

, PR sen a , *Pi = --------- ——ds. (f)

til

La rotación correspondiente de la parte inferior del resorte está

representada en la figura por el vector nv JDei mismo modo que

anteriormente se vería que sólo su componente horizontal nx sen a

contribuye al corrimiento vertical del extremo B y que el valor de

este corrimiento es

re ^2 = I Rni sen <*• (ff)

J B

Sumando (e) y (g) se obtiene la flecha total de B,

re

8 = Si + 82 = R I (n eos sen a). J B

Poniendo, en vezde n y nv sus valores(c) y (/), se obtiene

8 = PR¿ fC I da JB \ GIP El j

como la expresión entre paréntesis es constante, representando por

a la longitud completa del alambre del resorte, se

tiene

8 = PR*S + S^\. \ Grlp El I

Si el diámetro d del alambre no es pequeño 2R, la

rigidez a la torsión GIV, que figura en la debe

multiplicarse por el factor de corrección

(273)

comparado con

ecuación (273),


TORSIÓN 313

El mismo factor puede usarse también para un resorte de

sección cuadrada L

Las ecuaciones (271). (272) y (273) resuelven por completo el

problema referente a un resorte helicoidal de espiras abiertas

sometido a la acción de una fuerza axial 139.

La extensión del resorte viene acompañada de rotación del

extremo B respecto al eje vertical de la hélice. Para determinar esta

rotación, consideremos nuevamente la deformación del elemento ds

de la figura 178 (a). Debido a la torsión de este elemento, la porción

inferior del resorte girará un ángulo 140: M,ds

n sen a = sen a. OI„

Debido a la flexión del mismo elemento de valor angular n1 —

figura 178 (a)—, la rotación de la parte inferior del resorte respecto

al eje vertical es Mds

— n, eos a = eos a. 1 El

Por consiguiente, la rotación total alrededor del eje de la hélice

de la parte inferior del resorte debido a la deformación de un

elemento ds es , ¡M. sen a M eos /7, ds f— í— - ------------- —— I • Qi) OIP El

La suma de todas estas rotaciones elementales da el

ángulo cp, que gira el extremo B con

relación al otro extremo fijo G:

¡Mt sen ce Mooaoc\ ^ <p = «s I ----------------------------- ) = sPR sen a eos a —1, (274) GIV El

donde s es la longitud total del alambre del resorte.

En el caso de que el alambre tenga otra forma de sección, debe

sustituirse en la ecuación (274) GIP por el valor correspondiente G

de la rigidez a la torsión.

139 La teoría de los resortes helicoidales fué desarrollada por St. Ve-

nant; véase G. B., vol. 17, pág. 1020, 1843. Una serie de casos particulares han sido estudiados por Thompson y Tait, Nat. Pliil., segunda parte, pág. 139; I. Perry, Applied Mechantes, pág. 613, New-York, 1907, y G. W. Shearer, Engineering, vol. 93, pág. 206, 1912.

* ¡Se supone el alambre de sección circular.

-I -

«( - - - )■ w, EII


Torsión axial.—Supongamos que el vector AD representa el

momento torsor Mz

aplicadoenel extremo B del resorte (figura 179). Sobre el elemento ds en A actuarán los momentos flec

tor y torsor M Mz cos a, Mt = Mz sen a.

La rotación del extremo B del resorte alrededor del eje z debida

a la deformación del elemento ds es

ds I sen a 4 ---------- ---- cos a QIP El

, /sen2 a , eos2 a ds M, I ------------- f- 01.

La rotación total del extremo B del resorte

respecto al eje z producida por el momento torsor Mz

es /sen2 a , cos2a\

= SM, —— + —- • (275) , OIv ' El I

Como la fuerza extensora P produce la rotación

<p en el extremo B del resorte, puede deducirse,

según el teorema de la reciprocidad (página 324,

Primera parte), el alargamiento 8 que el momento

torsor Mz producirá en el resorte. El valor de 8 se deducirá de la

ecuación

jPS = Mzcp, de donde

Flexión axial.—A veces es necesario considerar la flexión pura

de un resorte helicoidal en su plano axial (fig. 180). Sea Mb,

representado por el vector AB —fig. 180 (b)— el valor de los pares

flectores en el plano yz. Considerando un elemento ds del resorte en

un punto A, definido por el ángulo 0, se puede resolver el vector AB

en dos componentes: AC = Mb cos 0 y AD = Mb sen 0. La primera

componente representa un par en el plano tangente a la superficie

cilindrica de radio R, el cual produce flexión del alambre en este

plano. La segunda componente representa un par que actúa en el

plano axial del resorte y que

El

1

GL

1

El (276)

M 8 = —- <p = MaSR sen a cos a

TORSIÓN 315

puede resolverse en el torsor, Mb sen 0 eos a, y en el momento

flector en el plano de la espira, Mb sen 0 sen a. Por consiguiente, el

elemento ds experimenta flexión por un momento flector com-

binado igual a

V Mb eos2 0 -}- M\ sen2 0 sen2 a, (?)

y torsión por un par igual a Mb sen 0 eos a. La energía de defor-

mación del elemento, suponiéndole de sección circular, es

ir7 7 fMI (eos2 0 + sen2 0 sen2 a) . dU = ífe — ------------------------------------------ - -f

L 2 El

M\ sen2 0 eos2 al 2GTP ]'

BdQ Sustituyendo ds = ——, e integrando desde 0 = 0 a 0 = 21m, eos oc

donde n es el número de espiras, se tiene

iznR \M|(1 4- sen2 a) Jf|cos2a]

eos a L 2 El 2 OIv

La deformación angular de un extremo del resorte respecto

del otro es -, donde l es la longitud del resorte —fig. 180 (a)—, P determinada por la expresión

, 2 izRn l = s sen a = sen a,

eos a

y o el radio de curvatura de la elástica. Igualando el trabajo

suministrado por los pares Mb a la energía de deformación (l), se

obtiene

Mb 2

de donde 1 fl 4- sen2 oc eos2 a"|

(D

l_

P U,

TlJf


Por consiguiente, la cantidad

sen a B

eos2 a YoK

1 -|- sen2 a

2EÍ (W)

(278) 1 +

U 2 El 2 El

Al estudiar la flexión de un

resorte helicoi-

dal por una carga transversal (fig. 181), debe-

mos considerar, no solamente las deformaciones producidas por

los momentos flectores, sino también las producidas por la fuer-

za cortante. Suponiendo que el extremo 0 del resorte está fijo y

que a es pequeño, la flecha S, en el extremo superior A, produ-

cida por el momento flector, puede obtenerse

por la fórmula corriente para la ménsula, es-

cribiendo, en vez de la rigidez a la flexión, el

valor (278). Por consiguiente,

~ •( 1+ :~V M

3 2 Eli \ 2 0)

Para estudiar el efecto de la fuerza cortante en las flechas,

examinaremos ia distorsión de una espira en su plano 1 producida por

la fuerza cortante V (fig. 182). El momento flector producido por V en

cualquier punto A es VR sen 0, y la energía de deformación

correspondiente a una espira es

’2Tt M* Rd§ F2 R3 7t

debe tomarse como rigidez a la flexión en el caso de flexión axial

de un resorte helicoidal de sección circular. Si el ángulo a es

pequeño, podemos suponer con aproximación

suficiente que sen2 a = 0 y eos2 a — 1. Sustitu-

yendo también sen a = -, puede representarse

la rigidez a la flexión de un resorte helicoidal por la

fórmula 2 Eli 1

- i :

E

2 0

B

El ángulo a se supone pequeño MI este estudio.

TORSTÓTT 317

El corrimiento correspondiente es, por tanto,

SU izVRs

¿>V El

Dividiendo este corrimiento por el paso h de la hélice, se obtiene

ia pendiente adicional y de la elástica producida por la acción de la

fuerza cortante:

_ e _ 71 VR3n Y ~

~h~~ Elf'

OíV Esta expresión debe usarse en lugar de la —^ usada para el

estudio de las deformaciones producidas en vigas macizas por la

fuerza cortante (véase artículo 39, Primera parte), cuando sea preciso

adaptar aquellas fórmulas al cálculo de flechas transversales en

resortes helicoidales. En el caso representado en la figura 181, la

fuerza cortante es constante a lo largo de l e igual a P; por

consiguiente, la flecha por cortadura será

nnPR3 S2 = Yl = (p)

Sumando las expresiones (n) y (p), y suponiendo a = 2 ~Rn, se

obtiene

8 = 8I + Í , = =™5 1 2 3 El

U + J L + 1**). (279, \ 2 OP I

El último término del paréntesis representa el efecto de la

fuerza cortante. Esdespreciable si el radio R de la hélice es pe

queño comparado con la longitud l 141.

141 El pandeo de resortes helicoidales, comprimidos axialmente, puede

verse en Theory oj Elastic Stability, pág. ltío.

CAPITULO vn

CONCENTRACION DE FATIGAS

57. Concentración de fatigas en piezas extendidas o comprimidas.—

Al analizar la extensión o compresión simple se supuso que la pieza

tenía forma prismática. Por consiguiente, al aplicar las fuerzas

axialmente, las fatigas se distribuirán de modo uniforme sobre la

sección. En el caso de una pieza de sección variable, también se

supuso que la distribución de fatigas era uniforme (véase fig. 14,

Primera 'parte)', pero esto es solamente una aproximación que da

buenos resultados cuando la variación de la sección es gradual. Los

cambios bruscos de sección originan grandes irregularidades en la

distribución de fatigas. Estas irregularidades

tienen importancia especial en el proyecto de

órganos maquinales solicitados por fuerzas

externas variables y a fatiga alterna. La

distribución irregular de fatigas origina que en

ciertos puntos la fatiga es muy distinta de la

media y que bajo la acción de fatigas variables

se produzcan con facilidad fisuras en dichos

puntos. La mayor parte de las roturas de

órganos de máquinas en servicio debe atribuirse al desarrollo de

tales fisuras.

Para fijar las ideas respecto a la distribución de fatigas en una

pieza de sección variable sometida a extensión consideraremos una

cuña simétrica de espesor constante h, cargada del modo

representado en la figura 183. En este caso, se conoce la solución

exacta del problema 142, que es una extensión radial sim-

142 Véase la publicación de A. Mesnager, Anuales des Ponts et Chema- sées,

1901. Véase también 1. 11. Michell, London Math. Soc. Proc., vo-

CONCENTRACIÓN DE FATIGAS 319

pie El valor de esta fatiga de extensión radial en un punto A viene

dado por la ecuación P eos 6

a, — k > (a)

hr

donde B es el ángulo que forman el eje a; y el radio O A, r es la

distancia desde A al punto O y k = ----------------- —^ ----------- es un factor

a -f- | sen 2 a que depende del ángulo 2a de la cuña. ¿

La distribución de fatigas normales ax sobre cualquier sección

mn perpendicular al eje de simetría de la cuña no es uniforme.

Utilizando la ecuación (17) (véase pág. 35, Primera parte)

v naciendo r = —--k en la ecuación anterior (a), se tiene J eos 0

2 o kP eos4 0 ax = ar eos2 0 = -------- (6) ah

Se ve que la fatiga normal es máxima en el centro de la sección (0

=0) y mínima para 0 = a. La diferencia entre las fatigas máxima y

mínima crece al aumentar el ángulo a. Para a = 10°, esta diferencia es

alrededor del 6 por 100 de la fatiga media obtenida dividiendo P por

el área de la sección mn. En el caso de una pieza cónica se obtienen

análogas consecuencias. Se ve que la distribución de fatigas

normales sobre una sección es tanto más uniforme cuanto más

pequeño es el ángulo del cono.

El estudio realizado muestra que la hipótesis de distribución

uniforme de fatigas normales sobre la sección de una pieza no

prismática da resultados satisfactorios si la variación de sección a lo

largo de la barra no es rápida.

Las condiciones, sin embargo, son muy diferentes cuando existen

cambios bruscos en la sección. La distribución de las fatigas en el

lugar de ia variación está muy lejos de ser uniforme y los resultados

obtenidos con la hipótesis de distribución uniforme de fatigas son

completamente falsos.

En los dos artículos que siguen se estudiarán varios ejemplos de

cambios bruscos de sección.

lumen 32, 1900, y vol. 34, 1902. Este problema puede verse asimismo en Theory o) Elasticity, pág. 93, 1934.


58. Fatigas en una placa con un agujero circular.—Si en

una placa sometida a una fatiga extensora uniforme a se practica un

agujero circular pequeño 1, se produce en los puntos nn —figura 184

(o)— una gran concentración de fatiga. La teoría exacta2 muestra que

la fatiga extensora en estos puntos es igual a 3a. Se ve también que

esta concentración de fatiga tiene un carácter muy local y está

limitada a ia vecindad del agujero. Si trazamos una circunferencia

concéntrica con el agujero y de un radio c relativamente grande, tal

como indica con línea de

trazos la figura 184 (a), puede suponerse que el estado de

fatigas en esta circunferencia no viene afectado por la

presencia del agujero. Consideremos

—figura 184 (6)— un anillo circular

separado de la placa por una

superficie cilindrica circular de radio

c. En cada punto de la superficie

exterior de este anillo aplicaremos

fatigas dirigidas verticalmente y de

valor a sen <p; es decir, iguales a la

fatiga correspondiente en el área elemental A de

la placa (véase ecuación 16, Primera parte). Por consiguiente, las

fatigas en el interior del anillo serán, aproximadamente, las mismas

que en el trozo de placa limitada por el círculo de radio c —fig. 184

(a)—. De este modo el problema de la distribución de fatigas en las

proximidades del agujero queda reducido al de calcular dicha

distribución en un anillo circular de sección rectangular solicitado

por fuerzas verticales conocidas de intensidad a sen 9 distribuidas de

modo continuo sobre su contorno exterior 3.

Este último problema puede resolverse por el método estudiado

en la página 84. Considerando un cuadrante del anillo, las fatigas

ligadas a la sección mn pueden reducirse a una fuerza

143 El espesor de la placa se supone igual a la unidad.

,143%

- h i i r 1 n \ \

\ J n

/ y

— C

3— 1

i i i . i

(cú

-te1

(ti) Fio. 184

CONO ENTR A CTÓX DE FATIGAS 321

extensora longitudinal N0 aplicada en el C. de G. de la sección y a

un par flector M{). La fuerza longitudinal se determina por las

condiciones de la estática y es

N0 — <re (a)

El momento ikf0 es estáticamente indeterminado v se calcula por

el teorema del trabajo mínimo. Se emplea la ecuación (88) (página

87), como expresión de la energía de deformación y en ella la fuerza

longitudinal y el momento flector para la sección general del anillo

caracterizada por el ángulo f 2 Ndq>

d M n ~ Jo AEe j0 AE

De donde, después de integrar,

2crc2ri 3 h i 1 \ ere . R . 1

M0 = ----------- 1 ------ tc -------- 1 -------- tuH ----------- ----- ( i r — 2) . c

0 rr L 8 2c\ 4 / 4c 2c

J

R es el radio de la línea media y e la distancia a la línea neutra desde

el C. de G. de la sección.

La fatiga en el punto n de la sección mn del anillo consta de dos

partes: 1.a La fatiga extensora producida por la fuerza longitudinal

N o e igual a N0 ac

"‘"T“T w y 2.a La fatiga de flexión producida por M0, cuyo valor (ecuación tí tí)

es lh Mn e, M()hA = \2 / = Mo [1__2e]

2 Aea Aea 2 ea\ h

donde a es el radio del agujero.

La distancia e se calcula por la ecuación (70) para diversos

ac

- 0.

(«)


c valores de la relación y después ar y c2 se determinan por las

Cb

ecuaciones (d) y (e). La fatiga máxima es

® máx = d

Los resultados de estos cálculos se dan en la tabla siguiente:

Comparando los números de la última línea de la tabla anterior con

la solución exacta para un agujero pequeño crmax — 3a,

£

se ve que para 5 < - < 8, los resultados del cálculo aproximado están

de completo acuerdo con la solución exacta. Cuan- do - < 5, el agujero

no puede considerarse como muy pequeño,

Cb

por lo que tiene una influencia apreciable en la distribución de

fatigas sobre la circunferencia de radio c —fig. 184 (a)— y la hipótesis

establecida sobre la solicitación en el borde exterior del anillo —fig.

184 (b)— no es suficientemente exacta. La dis-

crepancia con la teoría exacta para ^ > 8 se debe a la exactitud

insuficiente de la teoría elemental de piezas curvas cuando el radio

interior es muy pequeño comparado con el exterior.

Para un punto cualquiera de la sección mn —fig. 184 (¿>)—, a

distancia r del centro del agujero, la fatiga normal es

TABLA XXII

c a ~

3 4 & 6 8 10

2 e 0, 17 9 6 0, 22 3 8 0. 25 7 4 0, 28 3 8 0, 32 3 9 0, 35 3 6 h

® i 1, 50 1, 33 1, 25 1, 20 1, 14 1. 11

a

o r 2 2, 33 1, 93 1, 83 1, 83 1, 95 2, 19 a

O Vi , 3, 83 3. 26 3, 08 3, 03 3, 09 3, 30

a

CONCENTRACIÓN DE FATTOAS 323

donde a es la fatiga extensora uniforme aplicada en los extremos de

la placa. Esta distribución de fatigas se representa en la figura 184 (a)

por las áreas rayadas. Se ve que la concentración de fatigas está muy

localizada en este caso en los puntos n.

La fatiga disminuye rápidamente a medida que r aumenta, y para

un punto situado a una distancia del borde del agujero igual al radio

del mismo, es decir, para r — 2a, de la expre-

7

sión (/), se deduce que la fatiga normal es 1 — a. o A

También disminuye rápidamente la fatiga al crecer c p —figu-

ra 184 (b)—, y para c p = —, es decir, para la sección paralela a

las fatigas o aplicadas, la fatiga normal

ligada al borde del agujero es una

compresión de valor igual a la fatiga

extensora or aplicada en los extremos

de la placa.

Si, en lugar de extensión, tenemos

compresión de la placa —figura 185

(a)—, basta cambiar el signo a las fatigas

obtenidas en el estudio anterior y

deduciremos que en los puntos n existe

una fatiga compresora de valor 3a y una extensora de valor a en los

puntos m. En el caso de un material quebradizo, tal como el vidrio,

fuerte en compresión y débil atracción, la grieta se produce

generalmente en los puntos m del modo que indica la figura 185 (6).

Conocida la distribución de fatigas para la extensión o compresión

simple de la placa y empleando el método de superposición, se puede

obtener con facilidad la que corresponde a los casos de extensión o

compresión combinadas en dos direcciones perpendiculares. Por

ejemplo, en el caso de la figura 186 a, se ve que la fatiga tangencial en

los puntos n es 3ay — ax y que en los puntos m la fatiga es 3ux — c„. En

el caso particular de fatiga cortante pura se tiene a x = — a y = a

y en los puntos n la fatiga es — 4 a, mientras que vale 4- 4 a en los

puntos m; por tanto, en este caso la fatiga maxima es cua-

RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. II 21

I I I H I I H

l-'l 1 i M t f (a) ( tí

Fio.185

RESISTENCIA RE Af ATERÍA!,ES

tro veces mayor que la fatiga aplicada en los bordes de la placa. Este estado de solicitación se presenta en la torsión de un tubo circular de pared delgada con un pequeño agujero circular —figura 186 b—. Si el momento torsor aplicado tiene la dirección in-

dícada en la figura, la fatiga máxima

extensora cuatro veces mayor que las fatigas cortantes aplicadas en

los extremos se presenta en el borde del agujero en los puntos que

llevan signo más. En los puntos señalados con signo

menos 1er existe una fatiga compresora del mismo

valor. El método aproximado empleado para el cálculo

de fatigas en las proximidades de un agujero circular

puede emplearse también en el caso de un agujero con

reborde (fig. 187). Este

cálculo realizado 144 para j = 11, = 0,01, dados 11 u Of

c valores siguientes para omáx : a en función de -;

a

4 a

FIG. 187 — = 2,56 2,53 2,56 <T

En el caso estudiado, —— varía ligeramente con por O Cb

lo que los cálculos restantes se han realizado solamente para = = 5 . La

influencia del área de la sección recta del reborde

a

144 La resolución de este problema se debe al autor; Journal of the

Franklin lnstitute, vol. 197. pág. 505, 1924. Se supone efectiva la totalidad de la sección del reboide.

FIG. 186 b

6

CO-NTOENTRACIÓN DE FATIGAS 323

sobre Omáx puede estudiarse haciendo variar la dimensión 6. Si A i —

2¿ta representa la disminución de sección de la placa debida al

agujero y A2 = (b — ít) t el área del reborde, la relación en función de

varía del modo siguiente: cAa

^ = 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 ¿i

--= 2,53 2,17 1,90 1,69 1,53

Los números anteriores pueden emplearse también en el caso de

otras formas do reborde, con tal de que la dimensión t en dirección

radial pueda considerarse pequeña comparada con el radio a del

agujero.

59. Otros casos de concentración de fatigas en piezas extendidas.—

Existen pocos casos para los que,

como en el de un agujero circular,

puede resolverse teóricamente el problema de la concentración de

fatiga. En la mayoría de ellos los datos que post emos referentes a las

fatigas máximas en los puntos de cam-

bio brusco de sección se han obtenido experimentalmente L En

lo que sigue daremos únicamente los resultados finales de las

investigaciones teóricas o experi-

mentales que puedan tener

aplicación práctica.

En el caso de un pequeño

agujero elíptico en una placa 145 ■—figura 188 (a)—, la fatiga máxima

acontece en los extremos del eje horizontal del agujero y viene dada

por la ecuación

_ „ ( l + 2 “ ) .

145 Véase G. Kolosoff, Dissertation, San Petersburgo, 1910; véanse también

O. E. Inglis, Engineering, vol. 95, pág. 415, 1911, y Trans. lnst. of Naval Architects, 1913.

tJJ H I . ) H

TrmiiiTmn .ca

i K m rr-rn ¿a)

FIG.188

(a)


donde a es la fatiga extensora aplicada en los extremos de la placa.

Esta fatiga aumenta con la relación^, de modo que un agujero

muy estrecho perpendicular a la dirección de la tensión produce

una concentración de fatiga muy elevada. Esto explica la tendencia

a producirse fisuras perpendiculares a la dirección de las fuerzas.

Esta tendencia puede limitarse, una vez localizada

la fisura, practicando agujeros en los extremos de la fisura para

eliminar los ángulos bruscos que producen la elevada concen-

tración de fatigas.

Las gargantas semicirculares en una placa sometida a exten-

sión —fig. 188 (ó)— producen también una gran concentración de

fatiga. Experimentalmente 146, se ve que en los puntos m y n las

fatigas son alrededor de tres veces las fatigas aplicadas en los

extremos de la placa, si el radio de la garganta r es muy pequeño

comparado con el ancho d de la sección mínima. En general, la

fatiga máxima en los puntos m y w e s una función de la Y

relación La relación entre la fatiga máxima y la fatiga media

146 Véase M. M. Frocht, Journal of Applied Mechanvcs, vol. 2, página 67,

1935.

FIG. 189

conoetctractón de fatigas 325

en la sección mínima, tal como la sección mn, se denomina co-rrientemente factor de concentración de fatiga y se representa

por k. Los valores de k para diversos valores de la relación^ vienen

dados en la figura 189 por la curva II 147. En la misma

figura se dan también los factores de concentración de fatiga para el

caso de un agujero circular (curva I) y para el caso de curvas de

acuerdo (curva III). En la figura 190 se da más información referente

a concentración de fatiga en acuerdos.

En la figura 191 se dan los factores k para gargantas de diversa

147 Las curvas dadas en la discusión que sigue están tomadas del artículo

de M. M. Frocht, Journal oj Applied Mechanics, vol. 2, página 67. 1935.


altura con el fondo circular. Se ve que los factores de concentración

de fatiga son mayores en gargantas profundas que T

para gargantas semicirculares del mismo

El caso de una placa de gran anchura con gargantas hiperbólicas

(fig. 192) puede resolverse teóricamente L La solución muestra que el

factor de concentración de fatiga (es decir, la

relación de la fatiga máxima en los puntos m y n a la fatiga extensora

media sobre la sección mn) puede representarse por ia fórmula

aproximada siguiente 148:

k = ]/o,8^ + 1,2 — 0,1 (b)

donde d es el ancho de la sección mínima y r es el radio de curvatura

en el fondo de la garganta. Los valores de k obtenidos por esta

fórmula están también de acuerdo con los resultados

obtenidos experimentalmente para ranuras con garganta = 4:j

semicircular en el fondo (fig. 191).

148 El móduiO de Poisson se toma igual a 0,3 en las fórmulas (ó),

(c) y {d).


Supongamos ahora que la figura 192 representa una sección axial

de un cilindro circular de gran diámetro con ranuras en garganta de

perfil hiperbólico sometido a extensión axial. La fatiga extensora

máxima acontece nuevamente en el fondo de la garganta y el vaior

del factor de concentración de fatiga es 149

k = ]/ 0,5 -r -f 0,85 + 0,08. (c)

Comparando esta fórmula con la (b), se ve que en el caso de un

cilindro con garganta la concentración de fatiga es menor que en el

caso de una placa. Más adelante examinaremos con más detalle esta

comparación (véase artículo 62).

En el caso de un cilindro extendido que tiene una cavidad

elipsoidal en el eje, del que la figura 188 (a) puede considerarse como

una sección axial, la fatiga extensora máxima acontece en los puntos

m. Su valor está dado por

la fórmula aproximada

siguiente:

donde a es la fatiga de

extensión aplicada uniformemente en los extremos del

cilindro y r es el radio de curvatura de la elipse en los

puntos m.

La probeta de hormigón que se utiliza para los ensayos a

tracción (fig. 193) es otro ejemplo de una pieza

extendida con cambio brusco da sección. Ex-

perimentalmente se ha visto que la fatiga máxima

acontece en los puntos my n, y que esta fatiga es 1,75

veces la fatiga media sobre la sección mn.

La figura 194 representa un enlace a cola de FIG. 193 milano muy

utilizado en máquinas eléctricas para unir los polos magnéticos al

borde del rotor. La fuerza centrífuga que actúa sobre el polo produce

grandes fatigas de extensión sobre la sección mn. La distribución de

estas fatigas se ve en la figura 194 (6) 150. Debido al cambio brusco de

sección, se produce en los puntos myn una gran concentración de fatiga. Las fatigas

extensoras ax vienen acompañadas de fatigas ay de dirección lateral. La distribución de estas

149 H. Neuber, ya citado, pág. 320. 150 Véase la publicación de E. G. Coker, Journal of the Pranklin Inst., vol.

199, pág. 289, 1925. Cabezas en T, de aplicación frecuente en maquinaria, han sido ensayadas por M. Hetényi, Journal of Applied Mechanics, vol. 6, pág. 151, 1939,

1/0,8® + 0,05 + 0,7sJ (d)


fatigas a lo largo de la sección mn se ve en la figura 194 (b) y su distribución a lo largo del

plano vertical de simetría en la figura 194 (a).


Todas estas deducciones respecto de la distribución de fatigas están hechas a base de que

la fatiga máxima sea inferior al límite de proporcionalidad del material. Pasado este límite, la

distribución de fatigas depende de la ductibilidad del material. Un material dúctil puede

someterse a una deformación consi

derable, pasada la fluencia sin gran aumento de fatiga. Debido a esto, la distribución de fatigas,

pasado el punto de fluencia, se aproxima cada vez más a una distribución uniforme a medida que

la deformación aumenta. Esto explica por qué con materiales dúctiles los orificios y cuellos no

rebajan la fatiga de rotura, cuando las piezas se ensayan estáticamente. Por el contrario, al

ensayar probetas de acero dulce con ranuras se obtiene un cierto aumento en la fatiga de rotura,

debido a que las gargantas evitan la formación del cuello en la sección de rotura de la probeta

(véase pág. 423).

En el caso de un material quebradizo, tal como vidrio, la concentración de fatiga permanece

hasta la rotura. Esto origina un importante debilitamiento, que se comprueba por disminución de

la fatiga de rotura en una barra de material quebradizo con entalladuras. Es interesante subrayar

que las fisuras muy finas en la superficie de una probeta de vidrio no producen debilitamiento,

aunque la concentración de fatiga en el

330 RESISTENCIA T)E MATERT4T.ES

fondo do la fisura sea muy grande 151. La explicación de este fenómeno se atribuye a la

constitución natural del vidrio corriente. Dadas las diversas fisuras internas microscópicas que

presenta, vna. pequeña fisura superficial adicional no influye sobre la resistencia de la probeta.

La discusión anterior prueba que el uso de cuellos y ángulos entrantes en el proyecto de

piezas es un problema delicado. En el caso de un acero dúctil, la concentración de fatiga no es

peligrosa con tal de que no existan fatigas alternas. Por ejemplo, en el caso de la figura 194, las

fatigas pueden llegar a ocasionar la fluencia en los puntos m y n\ pero esta fluencia no es

peligrosa, ya que la estructura está solicitada por una fuerza constante. En el caso de un

material quebradizo, los puntos en que se manifiesta la concentración de fatiga son puntos

débiles y deben eliminarse o reducir la concentración de fatiga empleando acuerdos de gran

radio.

En piezas solicitadas por fatigas alternas, el efecto de la concentración de fatiga debe

tenerse siempre en cuenta. En los puntos en que aquélla se produce se presentan con facilidad

fisuras, aunque el material sea dúctil (véase artículo 80).

60. Concentración de fatiga en torsión.—Al estudiar

la torsión de barras de secciones diversas (véanse artículos 50 y 51), se

dijo que los ángulos entrantes u otras irregularidades en la FM. 195 línea

de contorno de la sección originaban una alta concentración de fatiga.

Los orificios longitudinales producen un efecto análogo.

Como primer ejemplo, consideraremos el caso de un agujero circular pequeño en un eje

circular sometido a torsión 152 (fig. 195). Para examinar este problema es muy útil la analogía

hidrodinámica 8. El problema de la torsión de barras de sección uniforme es matemáticamente

idéntico al del movimiento de un flúido sin viscosidad que se mueve con velocidad angular

constante dentro de una pared cilindrica de la misma sección que la barra. La velocidad de

circulación del flúido en cualquier punto representa la fatiga cortante en dicho punto de la

sección de la barra cuando ésta se somete a torsión. El efecto de un pequeño agujero en un eje

de sección circular es análogo al de introducir un cilindro fijo del mismo tamaño en la corriente

del modelo hidrodinámico. Un cilindro tal cambia grandemente la velocidad del flúido en sus

proximidades. Las velocidades en los puntos frontal y posterior son nulas mientras que en los

puntos laterales m y n se duplican. Una pequeña garganta semicircular en la superficie

paralela al eje del cilindro (fig. 195) produce el mismo efecto. La fatiga cortante en las

proximidades del punto m será, aproximadamente, doble de la calculada para puntos de la

superficie del eje alejados de la garganta.

151 Este fenómeno ha sido estudiado por A. A. Griffith, Phil. Trans. (A),

vol. 221, pág. 163, 1920. 152 Este caso fué estudiado por J. Larmour, Phil. Mag., vol. 33


La misma analogía hidrodinámica explica el efecto de un agujero de forma elíptica o de una

garganta de sección semi- elíptica. Si uno de los ejes a de la elipse tiene dirección radial y el otro

eje es b, las fatigas en los bordes del agujero para los extremos del eje a crecen en la relación

J^l + : 1. La fati

ga máxima depende, por tanto, de la relación El efecto

de un agujero elíptico sobre la fatiga es mayor cuando el eje mayor de la elipse tiene dirección

radial que cuando está dirigido circunferencialmente. Esto explica el por qué una fisura de

dirección radial debilita extraordinariamente la resistencia de un eje.

En el caso de un alojamiento de chaveta con ángulos bruscos (fig. 196), la

analogía hidrodinámica indica velocidad nula para el flúido circulante FIG.

196 en los ángulos exteriores (puntos m-m); por tanto, la fatiga cortante, en

el caso de torsión, será nula en dichos puntos. En n-n, vértices de los

ángulos entrantes, la velocidad del flúido es teóricamente infinita. Al someter

a tor-

analogía, véase la publicación de J. P. Den Hartog y J. G. Me. Givern, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 40, 1936,

332 RESISTENCIA T)E MATERT4T.ES

sión al eje, la fatiga cortante en los puntos n-n será también infinita, lo que indica que un momento torsor pequeño producirá deformación permanente en dichos puntos. Esta concentra-ción de fatiga puede reducirse redondeando los ángulos n-n.

Los experimentos realizados 153 con un eje hueco de diámetro exterior 10 pulgadas,

diámetro interior 5,8 pulgadas, altura de la chaveta 1 pulgada, ancho de la misma 2,5 pulgadas, y

radio del acuerdo en los ángulos r, muestran que la fatiga máxima en los ángulos redondeados

es igual a la fatiga máxima en un eje análogo sin chaveta, multiplicada por el factor k de la tabla

siguiente:

TABLA XXIII

Se ve que la concentración de fatiga puede disminuirse en alto grado aumentando el radio

en los ángulos n.

La pérdida de resistencia de un eje por la concentración de fatiga debida a agujeros y

gargantas depende, sobre todo, de que el material sea o no dúctil, y pueden aplicarse a este caso

las conclusiones del artículo anterior.

Si una pieza tubular tiene ángulos entrantes se presenta en ellos una concentración de

fatiga que depende del radio de los ángulos. El valor aproximado de esta fatiga máxima puede

obtenerse por la analogía de la membrana. Consideremos el caso sencillo de un tubo de espesor

constante y supongamos que el acuerdo está limitado por dos

circunferencias concéntricas (fig. 197), de centro O y radios ri y ra.

La superficie de la membrana en la sección mn puede suponerse que

es una superficie de revolución de eje perpendicular al plano de la

figura en O 154. Se ha visto que la pendiente de la membrana en un

punto M es numéricamente igual a la fatiga cortante. En la

153 Véase The, Mechanical Properties of Fluids, trabajos de varios, página

245; D. Van Nostrand Co., New-York, 1924. * Esta hipótesis es aceptable con tal de que r< no sea pequeño comparado

con r„.

r pulg. = 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 k = 5,4 3,4 2,7 2,3 2,1 2,0 1,9


figura 198, que muestra una sección meridiana por mn, las curvaturas principales de la

membrana en este punto son

Sea T0 la fatiga cortante media deducida de la ecuación (258). Mediante la ecuación (259) se

tiene

dx 2GQ =

A

donde s es la longitud de la línea media de la sección de la pieza tubular.

La solución general de la ecuación (6) es

G x0sr X — b r 2 A

La constante de integración C se obtiene por la condición 155,

xdr = xJi.

155 Esta condición se deduce de la analogía hidrodinámica (página 330).

Si un flúido circula por un canal cuya forma es la sección recta de una pieza tubular, la cantidad de flúido que pasa por cada sección del canal debe permanecer constante.

ck

p

d

a

dx

dr

^ + I = ü f o . dr r

para la sección perpendicular al meridiano. La ecuación

de equilibrio de ia membrana —ecuación (157)— es

dx t p

dr r S

o utilizando la ecuación (a), art. 50,

( d )

para el meridiano (se toma un elemento de meridiano

ds igual a dr), y

1_

R,

X

r

(b) , + ' dr r

(c)

f Jn

CONCENTRACIÓN- DE FATIGAS 334

(280)

En los ángulos entrantes r = r4, y por sustitución, se puede calcular la concentración de

fatiga en dichos ángulos 156. Sea, por ejemplo, un tubo cuadrado de dimensiones exteriores 10

X 10 centímetros, de un espesor h = 1 cm. y radios en los ángulos = 0,5 cm., ra = 1,5 cm. (fig.

199):

A = 9 x 9 — l157 (4 — 7r) = 80,14 cm.2,

5 = 9 x 4 — 1(8 — 2tc) = 36 — 1,72 = 34,28 cm.

La fatiga media t0 viene dada por la ecuación (258). La fatiga en los ángulos, por la ecua- ción (280), será

t = 1,54 T0.

El factor de concentración de fatiga es en

este caso 1,54. Se ve que este factor aumenta al

dismi- ^

nuir el radio interior La ecuación (280) es válida también para

el caso de que solamente se redondee la parte interior del ángulo —

fig. 199 (6)—. Para ello se supone ra = h -f- tal como se indica en la figura con línea de trazos.

En el caso de perfiles laminados —figs. 159 (b) y 159 (c)— (página 279), la fatiga máxima

acontece en los ángulos entrantes. Su valor se obtiene multiplicando la fatiga calculada por

156 Esta ecuación ha sido dada por C. Weber en su publicación, ya

citada, pag. 304.

Sustituyendo el valor (c) de T, se tiene

X fai

FIG. 199


las fórmulas (254) o (257) (véase pág. 280) por el factor de con-

centración de fatiga que da la expresión siguiente 158:

k= 1,74'j/? (281)

donde c es el espesor del ala y r el radio del acuerdo.

61. Eje circular de diámetro variable 159.—Si el diámetro de un

eje varía gradualmente según su longitud, puede aplicarse con

suficiente exactitud la ecuación (149) (véase pág. 257, Primera

parte). Pero si el cambio de diámetro es brusco (fig. 200),

se presenta una gran concentración de fatiga

en los puntos m — m, en que comienza el

acuerdo. El valor de la fatiga máxima depende

de las relaciones ^ y ^, don-

FIG. 200 de p es el radio del

acuerdo, y d y D son

los diámetros de los dos trozos cilindricos

del eje. Esta fatiga local, no peligrosa para el caso de carga

constante de un material dúctil, puede debilitar al eje en el caso de

fatiga variable, circunstancia corriente en cigüeñales y ejes

propulsores en general. Muchos casos de rotura en servicio se han

originado por esta causa. El cálculo teórico de la fatiga máxima en

el acuerdo es demasiado complicado 160 y puede sustituirse por un

método experimental. Se usa para ello una analogía entre la

distribución de fatiga en un eje sometido a torsión y la distribución

del potencial eléctrico en una placa 161.

158 E. Trefftz, Z. angew. Math. Mech., vol. 2, pág. 263, 1922. La ecuación

(281) se obtiene para un ángulo —fig. 159 (h)—■ con alas de igual espesor. En el caso de dos espesores diferentes y c2 —fig. 159 (c)—, se emplea el mayor de ellos al aplicar la ecuación (281). Un estudio más profundo de este problema ha sido dado por H. M. Westergaard y R. D. Mindlm, Amer. Soc. C. E. Proceedings, pág. 509, 1935.

* La solución general de este problema se debe a J. H. Michell, Proc. London Math. Soc., vol. 31, 1899, y A. Fóppl, Sitzungsber. d. Bayer. Akad. d. Wis3&nsch., vol. 35, pág. 249, 1905. El caso de la figura 200 ha sido estudiado por A. Fóppl; véase V. D. I., pág. 1032, 1906. Una bibliografía completa sobre este problema puede verse en Theory of Elasticity, pág. 276, 1934.

160 Este cálculo ha sido realizado por F. A. Willers mediante un método de integración aproximada; Zeitschr. f. Math. u. Phys., volumen 55, pág. 225, 1907. Véase también R. Sonntag, Dissertation, Mün- chen, 1926.

161 Esta analogía ha sido desarrollada por L. S. Jacobsen; véase Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., vol. 47, pág. 619, 1926.

336 RESISTENCIA DE MATERTARES

Comenzaremos estudiando la analogía en un eje circular de

diámetro constante. Imaginemos al eje dividido en tubos ele-

mentales, de modo que cada tubo absorba igual porción del

momento torsor total Mt. Por ejemplo, en la figura 201 el eje se ha

dividido en cinco trozos, cada uno de los cuales equilibra ^ Mt. Estos

tubos se denominan tubos de igual momento,

y las líneas correspondientes en una sección diametral del eje,

líneas de igual momento. Sea A Mt el torsor por tubo, y supon

gamos que el espesor de cada tubo es pequeño. El ángulo de torsión

por unidad de longitud es el mismo para todos los tubos y vale

donde r es el radio medio del tubo y h su espesor. Puesto que LM, y

0 1 son iguales para todos los tubos, su espesor variará en razón

inversa del cubo del radio medio. La fatiga cortante media en un

tubo es —ecuación (258)

En la figura 201 se ve un segundo sistema de líneas. Estas líneas

son normales a las líneas de igual momento y se denominan líneas

equiangulares. Corresponden a secciones del eje producidas por las

denominadas superficies equiangulares, determi-

0 es el ángulo de torsión para un eje macizo.

A M, 6 - (a)

GIP G2nrah

A M,

A Mtr

”77

Ailf,

2 T =

CONCENTRACIÓN DE PATICAS 337

nadas de modo que el ángulo de torsión entre dos superficies equiangulares consecutivas es

constante a lo largo del eje. Sea A<p este ángulo. En nuestro caso particular las superficies

equiangulares son planos equidistantes. Sea a la distancia entre ellos. En un punto a distancia

r del eje la distorsión vale

Acp • r Y = —

a y la fatiga correspondiente,

£A ?-r T ------------------------------------------------------------------ (C)

a

Los dos sistemas de líneas ortogonales, de igual momento e igual ángulo, dividen la

sección longitudinal del árbol en los rectángulos de la figura, cuyas dimensiones pueden servir

para comparar las fatigas cortantes en los puntos correspondientes del árbol. Utilizando la

ecuación (ó), y comparando las fatigas cortantes Tj y T2 a las distancias rx y rz,

respectivamente, tenemos

- 'CÉ*. (d) t2 r\hl

mediante la ecuación (c), de modo análogo,

r2a,

En nuestro caso, a, = a2 = a. Por la ecuación (d) se ve que la relación de fatigas depende

de la relación de distancias

hx

entre las líneas de igual momento, mientras que por la ecuación (e) dicha relación depende de

las de distancias entre líneas

. , ^2 equianguiares

ax

Sea ahora, el eje de diámetro variable de la figura 200. Las irregularidades en la

distribución de fatiga, producidas por los acuerdos, tienen un carácter local. A suficiente

distancia de la unión la distribución de fatiga es prácticamente igual a la correspondiente a un

árbol de sección constante y puede, por tanto, construirse con facilidad en una sección

longitudinal del árbol los dos sistemas de líneas anteriormente descritos (figu


ra 202). En las proximidades de la sección de acuerdo la distribución de fatigas es más

complicada, y las líneas equiangulares v de igual momento se curvan. El estudio del problema

muestra 162 que, aun curvadas, estas líneas siguen siendo ortogonales y dividen a la sección

longitudinal en rectángulos curvilíneos, tales como los de áreas rayadas. Las ecuaciones (d) y

(e), obtenidas para un árbol de sección constante, son también válidas si h y a son las

dimensiones tomadas en el centro de cada rectángulo curvilíneo. Por consiguiente, las dos

familias de líneas dan una representación completa de la distribución de fatigas en el árbol.

Considerando, por ejemplo; las líneas de igual

momento y mediante la ecuación (d), se ve que las

fatigas crecen al disminuir el radio y el espesor de los

tubos de igual momento. De la figura se deduce que la

fatiga es máxima en los acuerdos, sitio donde el

espesor h de los tubos de igual momento es menor. A

la misma conclusión se llega examinando las líneas

equiangulares. De la figura se deduce que la distancia

a entre dichas líneas al llegar a los acuerdos es muy

pequeña; por consiguiente, por las ecuaciones (d) y

(e) se puede determinar la relación de la fatiga máxima

en el acuerdo con la fatiga en cualquier otro punto,

con tal de haber trazado las líneas equiangulares y de

igual momento.

La analogía eléctrica anteriormente mencionada

permite medir las distancias a entre líneas equiangulares. Estas distancias se miden en la

superficie del árbol de menor diámetro d, primero en un punto apartado de la sección de

discontinuidad y después en el acuerdo. La relación de estas dos distancias da —véase

ecuación (e)— el factor por el que se debe multiplicar la fatiga calculada por la fórmula usual

para obtener la fatiga máxima

162 Véase la publicación de F. A. Willers, ya citada, pág. 334. Resistencia de

materiales.—T. II 2-¿

CONCENTR A OTÓN DE FATIGAS 339

en el acuerdo. Para estudiar la analogía eléctrica comenzaremos con el caso de una placa

rectangular de espesor uniforme (figura 203). Si los extremos de la placa se mantienen a

diferencia de potencial constante, atravesará la placa una corriente eléctrica uniformemente

distribuida sobre su sección recta. Dividiendo el flujo eléctrico en partes iguales se obtiene un

sistema de líneas de corriente equidistantes. El sistema de líneas equipotenciales es

perpendicular a él.

Con una placa homogénea de sección uniforme la caída de potencial será uniforme a lo

largo de la dirección de la corriente y las líneas verticales equidistantes. Para que estos dos

sis-

temas de líneas sean análogos a los de la figura 201, el espesor de la placa debe variar como

el cubo de la distancia r, tal como indica la figura 204 (b). La distancia entre las líneas

de corriente será inversamente proporcional 1 al cubo de r, y la distancia entre las líneas

equipotenciales verticales será constante como anteriormente. De esta forma obtendremos el

mismo sistema de familias ortogonales de la figura 201. El borde O - O de la placa

corresponde al eje del árbol. Las líneas equipotenciales se corresponden con las líneas

equiangulares, y las líneas de corriente con las líneas de igual momento en el problema de

torsión. Se ha visto 2 que esta analogía es válida para el caso de una placa de dos anchos

diferentes, cuyo espesor varía como el cubo de la distancia r (fig. 205). De esta forma es

posible investigar la concentración de fatiga en el acuerdo de un árbol sometido a torsión

mediante un método eléctrico. Se mantiene una diferencia de potencial constante en los

extremos de la placa y se mide el

1 Se supone que el flujo por unidad de área de la sección recta es constante en dicha sección.

* Véase la publicación de L. S. Jacobsen, ya citada, pág. 334.

/

¿«Mf

f/ujo

FIG. 203

(°)

O

FIG 204


gradiente del potencial a lo largo del borde mnp. Las distancias ar y a2, entre las líneas

equipotenciales, en un punto alejado m

y en el acuerdo n, se obtienen fácilmente, y la relación — de

estas distancias da el factor de concentración de fatiga para el acuerdo en n.

Se han realizado experimentos con un modelo de acero de 60 cm. de largo, 15 cm. de

ancho en el extremo mayor y 2,5 centímetros de espesor máximo en el borde pq. El gradiente

del potencial a lo largo del borde mnpq del modelo se determinó mediante un galvanómetro

muy sensible, cuyos terminales es-

M

FIG. 205

taban conectados con dos agujas aisladas,

alojadas en un bloque y separadas por 2 mm. Tocando en la placa con las agujas, el galvanómetro

da la caída de potencial para la distancia que separa la punta de las agujas. Moviendo las agujas a

lo largo del acuerdo es fácil encontrar el lugar donde el gradiente del potencial es máximo y medir

su valor. La relación de este máximo al gradiente del potencial, en un punto alejado m (figura 205),

da el valor del factor de concentración de fatiga k en la ecuación

16 Mt (282)

El resultado de estos ensayos para un caso particular puede verse en la figura

206, donde el gradiente del potencial medido en cada punto está representado por la longitud de la

normal al borde de la placa en este punto.

De dicha figura se deduce que el factor de concentración de fatiga es 1,54. Los valores de

este factor obtenidos para árboles de distintas proporciones se ven en la figura 207, en la

FIG. 206

a ,

d

1

k Tmáx

2p

341 RESISTENCIA CE MATERIALES

que se han llevado en abscisas las relaciones del radio del acuerdo al radio menor del árbol, y

en ordenadas al factor k. Cada curva corresponde a un valor de la relación

62. Concentración de fatiga en flexión.—Las fórmulas que dan las fatigas

flexoras y cortantes para una viga prismática se aplican también frecuentemente al caso de vigas

de sección recta variable. Para dar una idea de la seguridad de este método de cálculo

consideraremos la flexión de una ménsula en forma de cuña (fig. 208). La solución exacta de este

problema 163 muestra que el estado elástico, en un punto cualquiera A de la viga, es

163 Véase I. II. Michell, Proceedinys oj the London Math. ¿>oc., volumen 32,

I90U.

FIG. 207


nna extensión o compresión simple en la dilección radial A O y

que su valor es

P eos 0 9

rb ( a )

¿ y.

a = a, sen*

sen 2 0 = 2 bh h2 2a

donde

bh\

12 ’ /* = M =

una constante que depende del valor del

ángulo de la cuña.

Mediante las ecuaciones (17)

y (18) (pág. 35, Primera parte), las componentes normal y tangencial de la fatiga ligada a

un plano perpendicular al eje x, serán

donde r es la distancia O A; b, el espesor de la cuña; 0, el ángulo

que forma el radio A O y la di-

rección de la fuerza P, y

2

q My 4 tg3 a sen4 0

Iz 3(2a — sen 2a)’

e n P 1 6^2 t g 3 a sen4 6

- sen 2 a

Px.

sen 2a

11 k =

(b)

Para a = 5o, 10°, 15° y 20° el factor p toma los valores 1,00, 0,970, 0,947 y 0,906,

respectivamente. Se ve que la fatiga normal máxima ax —ecuación (c)— tiene,

aproximadamente, el mismo valor que el correspondiente a la fórmula usual con tal

ximas para 0 = ^ -j- a. Calculadas mediante las ecuaciones (ó), se obtiene Mh P

(or*)mdx — P T~T> (Tj/¿)ináx = 3(3 - (c) 21. bh

7T En el plano neutro de la cuña, 0 = - y la fatiga normal y

z

tangencial son nulas. Las fatigas normal y tangencial son má

4 tg3 a eos4 a P — - • ----------- — --------- •

3 2 a — sen 2 a

donde


en los puntos más alejados de la línea neutra, lo que está en franca contradicción con los

resultados obtenidos para piezas prismáticas (pág. 105, Primera parte). En la mayoría de

los casos las fatigas tangenciales no tienen gran importancia y sólo se consideran las fatigas

flectoras normales; por ello la fórmula que da la fatiga flectora máxima para vigas prismáticas

puede utilizarse con suficiente aproximación en el caso de piezas de sección recta variable,

con tal de que la variación de la sección no sea demasiado rápida.

En los cambios bruscos de sección se presenta una perturbación en la distribución de

fatigas, y en las secciones correspondientes la fatiga máxima es mucho mayor que la que da la

fórmula de la viga prismática. La representaremos por la expresión

(d)

donde a es la fatiga en el punto considerado obtenido por la fórmula de la viga prismática, y k

el factor de concentración de fatiga. Solamente en pocos casos puede obtenerse este factor

mediante las ecuaciones de la teoría de la elasticidad L

La placa de gran ancho con gargantas hiperbólicas (figura 192) es uno de los casos para

los que se tiene solución exacta de la distribución de fatiga. Esta solución muestra que, en

el caso de flexión pura de la placa por pares que actúan en su plano medio, las fatigas

máximas acontecen en los puntos m y n, y el factor de concentración de fatiga de la expresión

(d) puede representarse por la fórmula aproximada siguiente:

donde d es el ancho mínimo de la placa y r el radio de curva' tura en el vértice de la garganta.

de que a sea pequeño. Para a = 20°, el error correspondiente, dado el valor que alcanza [3, es

alrededor de un 10 por 100. La fatiga cortante máxima, dada por la segunda de las fórmulas (c),

lea


En el caso de un eje circular con garganta hiperbólica, del que la figura 192 puede

representar una sección longitudinal, el factor de concentración de fatiga en el caso de flexión

pura es

¿ + j ) [ i - ( i - + 164+ 165+ " ]

donde

* -» [i +1) + (i + M j/^M + - m

l + Ur + l

d es el diámetro de la sección recta mínima y r el menor de los radios de curvatura en el fondo

de la garganta. Para valores

d grandes de la relación —, la expresión (/) puede sustituirse, con

¿ÁT

aproximación suficiente, por la fórmula

3 1 <h)

La mayoría de los datos conocidos sobre el valor del coefi-

ciente k, de la ecuación (d), se han obtenido por vía experimental mediante los métodos de la

fotoelasticidad x. Los factores de concentración de fatiga en flexión pura de placas con gargan-

tas semicirculares y con acuerdos en forma de cuadrantes de círculo (D = d + 2r), pueden

verse en la figura 209. La figura 210 da los valores de k correspondientes a diversos valores

de la relación Lafigura

211 muestra los factores de concentración de fatiga, enflexión

pura, para gargantas de alturava

riable.

Las curvas de la figura 212 sirven para comparar los factores de concentración de fatiga

en la extensión y flexión de placas y ejes circulares 166. Las curvas 1 y 2 dan los factores de

concentración de fatiga para una placa con garganta hiperbólica y

164 Las curvas que se exponen a continuación están tomadas del ar

R. E. Peterson y A. M. Wuhl, Journal of Applied Mechantes, vol. 3, página 15, 193tí. tículo de M. M. Frocht, ya citado, pág. 324.

(/)


para un eje circular con garganta hiperbólica, sometidos a extensión y calculados por las

fórmulas (b) y (c) del artículo 59.

Las curvas 3 y 4 dan los valores correspondientes del factor de concentración de fatiga para

las mismas piezas cuando están

solicitadas a flexión pura. Su cálculo se ha realizado por las fórmulas (e) y (/) (pág. 342). Se ve

por dichas ourvas que los iac-


tores ele concentración de fatiga son más elevados para placas que para ejes circulares,

acentuándose la diferencia en el caso

de extensión. En flexión pura, caso más frecuente en la práctica, la düerencia es pequeña:

alrededor del 6 u 8 por 100 para

v 36

< 18

«5

o

u

V/ «* y / I \ i »

* *¡1OA W. ~V* , ** . re/ácian r . rémo tmmmo tro te enfaf/mctor* o éCperao

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F*h» ofés he o* * /foxt op jy

V- ® Acuerdo p/éño é F/error (Césob) % *2 \r frséyZs Foto */*s/icos *

«0


gargantas de dimensiones corrientes. Las curvas de trazos (5) y (6) de la figura 212 se han

deducido de las curvas de las figuras 191 y 211, extrapolando estas curvas para valores mayores

de la relación Se ve que las curvas (5) y (6) están de acuerdo

con las curvas (1) y (3), correspondientes a cuellos hiperbólicos,

T

para relaciones ^ comprendidas entre 0,15 y 0,50. Esto indica

que en el caso de cuellos el factor de concentración de fatiga de-

V ■

■

pende principalmente del valor ^ y poco de la forma general del cuello.

La curva de trazos (7) se deduce de las curvas de la figura 210 y representa los factores de

concentración de fatiga en

los acuerdos de una placa solicitada a flexión pura para ~ — 2.

(h

Se ve que ei factor de concentración de fatiga es algo menor en el caso de acuerdos que en el de

ranuras (curvas 4 y 6) para ei

mismo valor

a

Los laboratorios de investigación de la Westinghouse han realizado 1 multitud de experiencias

para determinar experimentalmente el valor del factor de concentración de fatiga en

1 K. E. Peterson y A. M. YVahi, ya citado, (pág. 343). acuerdos para — 1,5. Los valores de estos factores obtenidos

midiendo directamente la deformación en los acuerdos se dan por puntos en la figura 213. En la


misma figura se dan, mediante las curvas 1 y 2 167, los resultados obtenidos por métodos foto-

elásticos sobre modelos de poco espesor para ^ = 2 y ~ — 1,5.

De estos experimentos se deduce que el factor de concentración de fatiga para ejes circulares está

de acuerdo con los valores que se obtienen por fotoelasticidad.

63. Investigación de la concentración de fatiga con mode los.—Ya se ha

dicho que la solución teórica completa en un problema de distribución de fatiga por discontinuidad

de la sección se conoce solamente en pocos y sencillos casos, tales como orificios cilindricos o

elípticos y cuellos hiperbólicos. En la mayoría de los casos los datos que se poseen referentes a la

concentración de fatiga se han obtenido experimentalmente. Para ello se mide, a veces, la

deformación en la sección de discontinuidad mediante extensómetros ultrasensibles 168. La

dificultad reside en el carácter altamente local de la distribución de fatiga en el sitio en cuestión. Es

necesario una gran amplificación para obtener resultados satisfactorios 169.

Puede obtenerse una estimación grosera del factor de concentración de tensión cargando las

probetas o modelos de estructuras con cargas crecientes, hasta provocar la fluencia en los puntos

de fatiga máxima. Esta fluencia puede observarse claramente en probetas de acero dulce, con la

superficie bien pulimentada. La figura 214 es una fotografía de las líneas de fluencia en una pletina

de acero dulce. Estas líneas de fluencia (líneas de Lueder) (véase pág. 417) aparecen primeramente

en

los sitios donde acontece la fatiga máxima. La distribución de estas líneas da una valiosa

información con referencia a las fatigas en los sitios de discontinuidad de la sección b

La figura 215 muestra las líneas de Lueder en el acuerdo para un modelo de acero dulce (fig. 190),

de dimensiones

167 Estas curvas se han construido con los datos de la figura 210.

* Véanse E. Preuss, V. D. I., vol. 56, pág. 1349, 1912, y vol. 57, página 664, 1913, y Forschungsarbeiten, núm. 134, 1913. Véanse también Th. Wyss, Proc. Intern. Gongress por Applied Mechanics, pág. 354, 1924, y su Dissertation, Zurich, 1923; F. Rótscher y J. Crumbiegel, V. D. I., vol. 76, pág. 508, 1932.

169 En diversos casos se han utilizado modelos de goma para aumentar las deformaciones en la sección de discontinuidad; véanse las publicaciones de A. Stodola, F. D. I., vol. 51, pág. 1272, 1907; Hum- mel, Schweizerische Bauzeitung, pág. 143, 1924; L. Chitty y A. J. S. Pip- pard, Proc. Roy. Soc., vol. 156, pág. 518, 1936.


r D \ -g s= 0,157 y — 2,5. La línea arranca del punto del acuerdo

para el que el experimento fotoelástico indicaba la concentración máxima de fatiga. El factor de

concentración de fatiga dado por la curva de la figura 190 es 1,85. De acuerdo con esto, la fluen-

cia debe comenzar en la parte más débil, cuando la fatiga media de extensión en la parte- más

estrecha del modelo es solamente

—de la necesaria para producir líneas de Lueder en una l,oO

barra prismática (fig. 214) del mismo material. Experimental

FIG. 214 Fio. 215

CONOENTRACIÓN T)E FATIGAS 350

mente se vi6 que lá carga necesaria para producir fluencia en el

acuerdo fué de la correspondiente a la pieza prismática.

La figura 216 representa las líneas de Lueder en el borde de un orificio circular practicado en una

plancha de acero dulce. De nuevo se presentan las líneas aproximadamente en los puntos de

concentración máxima de fatiga. La fatiga media en las sec-

ciones extremas de la placa, cuando se presentó la fluencia, fué

de la necesaria para producir fluencia en una plancha de

sección constante.

En ambos casos, la fluencia en el lugar de fatiga máxima acontece para una fatiga media mayor

que la indicada por los verdaderos factores de concentración de fatiga. Este fenómeno se explica

por el hecho de que la pequeña región donde la fatiga es máxima está rodeada por otras donde las

fatigas no sobrepasan el límite de proporcionalidad. De este modo se evita el deslizamiento

indicado en la figura 214, a lo largo de superficies perpendiculares al plano de la figura e inclinadas

45° respecto a la dirección de la tensión. En los casos de las figuras 215 y 216, las líneas de Lueder

aparecen en las superficies pulidas de las placas en dirección perpendicular a la fatiga máxima

extensora, lo que indica que el deslizamiento acontece a lo largo de planos que pasan por esas

líneas y forman 45° con el plano de las placas. En estos casos, el espesor de la placa es un factor

muy importante. Este espesor debe ser muy pequeño comparado con el radio de los orificios o

acuerdos para obtener líneas bien marcadas. Como la superficie de deslizamiento que comienza en

los puntos de fatiga máxima debe propagarse a través de una región menos solicitada, se explica1

el retardo con que aparecen las líneas de Lueder. En el caso anterior del orificio circular,'el ancho de

la placa fué 15 cm. y el diámetro del orificio 2,5 cm., mientras que el espesor de la placa fué 3 mm.

FIG. 216


solamente. Cuando se ensayan modelos en los que el espesor y el diámetro del orificio, son del

mismo orden, es imposible acusar ninguna variación substancial, debida a la concentración de

fatiga, sobre el valor de la carga que produce las líneas de Lueder. Otra razón justificativa del

retraso con que aparecen las líneas de Lúe- der es el hecho de tener que producirse una cierta

cantidad de deformación permanente antes de que dichas líneas resulten visibles.

El método de las líneas Lueder para investigar los puntos débiles de las estructuras no está

ligado a ningún tipo particular de problema y presenta la ventaja sobre el método fotoelástico,

descrito en el artículo siguiente, de ser aplicable a problemas de tres dimensiones. Para hacer

visible la fluencia del material en el caso de ser rugosa la superficie, se recubre ésta con una

pintura quebradiza. Este método se ha usado para investigar fatigas en cabezas de calderas 2 y en

piezas comprimidas de sección compuesta 3.


Cortando las probetas y tratando químicamente, por un procedimiento especial, las superficies

nuevas, es posible determinar las regiones interiores de la probeta en las que se había presentado

la fluencia a causa de la concentración de fatiga170.

64. Método fotoelástico para la medida de fatigas.—Existen muchos

problemas de distribución de fatigas en los que la deformación es esencialmente paralela a un

plano. Estos problemas se denominan problemas de dos dimensiones y son, por ejemplo: la

flexión de vigas de sección rectangular estrecha; la flexión de jácenas, arcos, dientes de

engranajes y, en general, placas de cualquier forma y espesor constante solicitados por fuerzas o

pares en el plano de la placa. Estas formas pueden ser tales que hagan muy difícil el estudio

analítico del problema, y para estos casos el método fotoelástico ha dado resultados muy aprecia

bles. Para ello se utilizan modelos semejantes a la placa constituidos de material transparente tal

como vidrio, celuloide o bakelita. Estos materiales,

sometidos a una solicitación externa, presentan el bien

conocido fenómeno de la doble refracción, y cuando un

rayo de luz polarizada pasa a través de un modelo de esta

naturaleza sometido a fatiga, se obtiene una imagen

coloreada, de la que puede deducirse 1a distribución de

fatigas .171

En la figura 217, abcd representa una placa

transparente de espesor uniforme y O el punto de

intersección con la placa de un

170 Véase la publicación de A. Fry, Kruppsche Monashefte, 1921, y también

Stahl u. Eisen, 1921. 171 El fenómeno de la doble refracción, debido a la solicitación, fué

descubierto por D. Brewster, Phil. Trans. Roy. Soc., 1816. Después fué estudiado por F. E. Neumann, Berlín Abh., 1841, y por J. C. Maxwell, Edinburgh Roy. Soc. Trans., vol. 20, 1853, y sus Scientific Papers, vol. 1, pág. 30. La aplicación de este fenómeno a los problemas de ingeniería comenzó con C. Wilson, Phil. Mag., serie 5, vol. 32, 1891, y ha sido desarrollado más tarde por A. Mesnager, Annales des Ponts et Ohaussées, 1901 y 1913, y E. G. Coker, General Electric Co. Magazine,

"1920, y Journal of Franfclin Institute, 1925. Un estudio más completo del método fotoelástico puede verse en la publicación de Henry Favre, Schweizerische Bauzeitung, vol. 20, pág. 291, 1927; véase también su disertación Sur une nouvelle méthode optique de determination des ten- sions intérieures, París, 1929. El uso de luz monocromática ha sido introducido por E. Tuzi, Inst. Phys. und Chem. Research, vol. 8, página 247, 1928.


rayo de luz polarizada perpendicular a ia placa. OA representa el plano de vibración de la luz y la

longitud OA — a la amplitud de esta vibración. Si consideramos una vibración armónica simple

podrá representarse por la expresión

s — a eos pt, (a)

donde p es proporcional a la frecuencia de la vibración que depende del color de la luz.

Supongamos que en los bordes de la placa se aplican las fatigas de diferente magnitud ax y

ay. Debido a la diferencia de las fatigas, las propiedades ópticas de la placa son diferentes en las

dos direcciones perpendiculares. Sean vx y vy las velocidades de la luz en los planos ox y oy,

respectivamente. Descomponiendo la vibración simple en el plano OA, en dos componentes de

amplitudes O B — a eos ay Oü — a sen a en los planos ox y oy, respectivamente, sus

ecuaciones serán

x = a cos a cos pt; y = a sen a eos pt. (b)

Siendo Ti el espesor de la placa, los tiempos necesarios para que las vibraciones

componentes atraviesen la placa son

h ' h

* i= - y <a = -» - > ) % Vv *

y las vibraciones (b) después de atravesar la placa vendrán dadas por las ecuaciones

xx — a cos a cos p(t— t x ) ; yx = a sen a cos p(t — t 2 ) . (d)

Estas componentes tienen una diferencia de fase p(t2 — tx), debido a la diferencia de

velocidades. Experimentalmente se ha visto que la diferencia de velocidades de la luz es

proporcional a la diferencia de fatigas; por consiguiente,

h li h{vx — vb)_h{vx — vy) _ 1t_ ,-v L — L= ---------------------------------- — » ----------------------- r—= *(<V— av) (e)

¿ A * 41 31 . . 3 1

% vx v<¿v.u

donde v es la velocidad de la luz cuando las fatigas son nulas, y k un factor numérico que depende

de las propiedades físicas del material de la placa. Se ve que puede medirse la diferencia entre las

dos fatigas principales encontrando la diferencia de fase de las dos vibraciones. Para ello se coloca

un prisma de Nicol (analizador) detrás de la placa, de modo que permita el paso de las vi braciones

solamente en el plano mn perpendicular al plano O A. Los componentes (d) de la vibración, al

pasar a través del a

prisma, tienen por amplitudes OBx = OB sen a — - sen 2 a y

a OG, = OG eos a = - sen 2 a. La vibración resultante en el pía-

no mn sera

ct¿ ct - sen 2a eos p(t — sen 2a eos p(t— t2) 2 2

a sen 2 a sen p ——-] sen plt — ——1 . (/)


Vibración armónica simple de amplitud proporcional a

f t sen p — - — E s decir, la intensidad de la luz es una función de

li

la diferencia de fase p{tx -— í2). Si las fatigas ctx y ay son iguales, t% y t2 también lo serán; la

amplitud de la vibración resultante (/) es nula y tenemos oscuridad. Habrá oscuridad también siem-

pre que la diferencia de fatigas sea tal que

= 'nn, (g)

donde n es un número entero. La intensidad máxima de luz se obtiene cuando la diferencia de las

fatigas es tal que

t, -—I., sen p— = 4 - 1 .

2

Supongamos que en lugar del elemento abed (fig. 2 i 7) se tenga una tira de material

transparente sometida a extensión. Aumentando gradualmente la fatiga extensora, se obtiene sobre

la pantalla una imagen oscura de la tira cada vez que la ecuación (g) queda satisfecha. De este

modo se puede establecer experimentalmente para un material dado y un cierto espesor la fatiga

correspondiente a un intervalo entre dos imágenes oscuras del modelo. Por ejemplo, para una placa

de «Fenolita» de 1 mm. de espesor, esta fatiga resultó 172 113,4 kg./cm.173. Por consiguiente, para

una placa de 1 cm. de espesor la fatiga correspondiente será 113,4 : 10 = 11,34 kg./cm.2. Con este

dato se puede determinar la fatiga en una tira a extensión contando el número de veces que la tira

ha dado imagen oscura durante su carga gradual. Si se ensaya una placa a flexión pura, se obtiene

una imagen como la de la figura 218. Las franjas oscuras paralelas indican que en el trozo de placa

situado a considerable distancia de los puntos de aplicación de las cargas la distribución de fatiga

es igual en todas las secciones rectas. Contando el número de franjas se puede determinar el valor

de las fatigas atribuyendo a la diferencia de fatigas entre dos franjas el valor de la diferencia de

fatigas entre dos imágenes oscuras en exten-

sión simple. Observando la imagen de la placa al aplicar gradualmente ia carga, se ve cómo el

número de franjas negras crece al aumentar la carga. Las nuevas franjas aparecen siempre por los

bordes superior e inferior de la placa y se mueven gradualmente hacia el plano neutro, apretándose

172 Z. Tuzi, Sci. Papera. Inst. Phys. Chem. Research, vol. 12, página 247,

Tokio, 1929. RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. II 23

Fig. 218


todas las franjas cada Vez más. La fatiga en cualquier punto puede obtenerse contando el número

de franjas que han pasado por este punto.

Este método (es decir, contar el número de franjas oscuras que pasa por un determinado

punto) puede emplearse también en cualquier distribución plana de fatigas. Este número, tal como

hemos visto anteriormente, da la diferencia entre las dos fatigas principales en el punto. Para

determinar por completo las fatigas en cada punto, es preciso además encontrar las direcciones de

las fatigas principales y su suma. La ecuación (/) muestra que la intensidad de la luz que atraviesa

el analizador es proporcional a sen 2a, siendo a el ángulo que forma el plano de polarización y el

plano de una de las fatigas principales (figura 217). Si estos dos planos coinciden, sen 2a es nulo y

se obtiene un punto oscuro en la pantalla. Por consiguiente, exami


nado un modelo transparente solicitado a la luz polarizada, se observarán, además de las

franjas obscuras a que antes nos hemos referido, líneas negras que unen puntos para los que la

dirección de una de las fatigas principales coincide con el plano de polarización. Girando los

nicoles, polarizador y analizador, y trazando en la imagen las, líneas negras obtenidas para diver-

sas posiciones del plano de polarización, se obtiene la familia de curvas denominadas líneas

isoclinas que unen puntos en los que las fatigas principales tienen la misma dirección. Conocidas

estas líneas, se pueden trazar las familias de curvas que en cada punto son tangentes a las

direcciones de las fatigas principales. Estas otras curvas se denominan trayectorias de las fatigas

principales (véase pág. 116, Primera parte). Vemos, pues, que las direcciones de las fatigas

principales en cada punto de la placa pueden obtenerse experimentalmente.

La suma de las fatigas principales puede obtenerse también

experimentalmente, midiendo la variación Ah en el espesor h de la placa, debido a las fatigas ax y

au 174 y empleando la conocida relación = ^ K + (h

Mi

Conociendo la diferencia entre las dos fatigas principales por el ensayo fotoelástico y su suma

174 Este método ha sido ideado por A. Mesnager, ya citado, pág. 351. El

éxtensómetro necesario fué desarrollado y usado por A. M. Wahl; véase la publicación de R. E. Peterson y A. M. Wahl, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 1, 1935.

FIG. 219

OO'N'OÜKTRACIÓN" DB FATIGAS 357

por la expresión (h), puede fácilmente calcularse el valor de dichas fatigas principales. Las franjas

obtenidas en una placa con acuerdos sometida a flexión pura se ven en la figura 219. Como estas

franjas se aprietan en los acuerdos, se deduce que en estos puntos se presenta una concentración

de fatiga.

En todo lo expuesto acerca del método fotoelástico para el estudio de la distribución de

fatigas se harsupuesto que se trataba de problemas de dos dimensiones. En la actualidad se Reali-

zan con éxito estudios conducentes a su empleo en casos de tres dimensiones175.

65. Fatigas en el punto de aplicación de una carga.—Al estudiar una cuña

simétrica sometida a extensión (véase pág. 317), se indicó que el estado elástico en este punto

consistía en una extensión simple de dirección radial. Si hacemos el ángulo 2a de la cuña igual a TU

y cambiamos la extensión por compresión, se obtiene el caso de una carga concentrada

presionando normalmente sobre el borde de una placa infinita (fig. 220). Un elemento tal como el

representado en el punto A experimenta una compresión simple de dirección radial y la fatiga

compresora, por la ecuación (a) (pág. 317), es , P eos 0 ■

a — k ------------------------------------------------------------------ (a) hr

donde r es la distancia radial al punto de aplicación de la carga y h al espesor de la placa. El factor

k se determina por la condi-

175 Véase la publicación de M. Hetényi, Journal of Appl. Mech., vol. 5, pág.

149, 1938. Véase también R, Weller, Journal Applied Phys., vol. 10, pág. 266, 1939.


ciór rlo que las fatigas ar distribuidas sobre la semicircunferencia de la figura equilibren a la carga

P. Por consiguiente, 7t

2h ¡ ct. cos 0rd0 — P. Jo

Poniendo, en vez de ar su valor (a), tenemos

i2. TZ

y la expresión (a) será

2 P cos 0 <T, — - -- - b¡r

Si se considera un plano horizontal mn situado a distancia d

(283)

hr TZ TZ

del borde de la placa (fig. 220), la componente normal de la compresión que obra sobre este

plano es 2P eos3 0 2P eos4 0 .

(284) <rr eos2 0 hd

Se ve que la presión disminuye rápidamente a medida que aumenta el ángulo 0. También

puede observarse que dicha presión aumenta al disminuir la distancia d. Conocidas las fatigas

que produce la acción de una carga concentrada P y mediante el método de superposición,

puede discutirse fácilmente el caso de que actúen varias cargas 1. .

Si en el centro de una viga rectangular, de sección recta, estrecha, de altura d, actúa una

carga concentrada, las fatigas de

Véase Theory of Elaaticity, pág. 82.

OO'N'OÜKTRACIÓN" DB FATIGAS 359

flexión se superponen a las fatigas dadas por la expresión (283), y por ello se complica la

distribución de fatiga resultante en las proximidades del punto de aplicación de la carga. La

imagen fotoelástica de esta distribución de fatigas se ve en la figura 221. Se observa que la

perturbación producida en la distribución de fatiga tiene un marcado carácter local.

Si se considera una sección de la viga alejada de la carga (por ejemplo, a la mitad de la

altura de la viga), la distribución de fatigas en esta sección es aproximadamente la que da la

fórmula para la flexión de vigas. El número de franjas disminuye al aumentar la distancia a la

carga de la sección que se considera,

puesto que el momento flector disminuye a medida que nos acercamos a los apoyos de la

viga.

Hallando la resultante de las componentes horizontales de las presiones radiales

harrd% para cada mitad de la circunferencia de la figura 220(a), se ve que la fuerza concentrada P produce una acción de empuje representada en la figura 220 (6), de

P valor—. En el caso de una viga de altura d y espesor h (fig. 221),

^ til estas fuerzas actúan a la distancia - del eje de la viga y producen

A

en la sección recta central no solamente las fatigas de extensión

= <6> Tídh

sino también fatigas flectoras dadas por la expresión

< = - ? ? • M 2tc L,

Pd

donde — es el momento flector producido por las fuerzas ho- p rizontales -, y es la distancia al eje de la viga tomada positiva

FIG. 221


hdz hacia abajo e 1, = es el momento de inercia de la sección.

12

Superponiendo las fatigas (b) y (c) a las ordinarias de flexión, se encuentra para la fatiga en la

fibra más alejada de la sección central de la viga el valor Pl 6 . P 3P _ Pl Tzdh 4 hd176 ( 2>TÚ\ hd2 tc dh

El segundo término del paréntesis representa la acción del

«empuje» de la carga P. Se ve que en el caso de vigas cortas esta acción tiene un valor

considerable. Los ensayos fotoelás- ticos están de completo acuerdo con la expresión (d)x.

El estudio realizado de la distribución de fatigas en el punto de aplicación de una carga

concentrada puede aplicarse también si, en vez de una placa (fig. 220), se trata de un cuerpo

con una cara plana solicitado por una carga concentrada 2.

66. Fatigas de contacto entre bolas y rodillos.-—Si dos cuerpos elásticos

(por ejemplo, dos bolas) se comprimen, se forma una pequeña

superficie de contacto como resultado de la deformación. Las

presiones distribuidas sobre esta superficie se denominan

presiones de contacto. Su valor y las fatigas producidas en los

cuerpos pueden calcularse mediante las ecuaciones de la teoría de

la elasticidad 177.

Aquí daremos únicamente los resultados finales de dicho estudio.

En el caso de

dos bolas comprimidas por las fuerzas P (figura 222), las

presiones se distribuyen sobre un pequeño círculo de contacto mn, cuyo radio viene dado por

la ecuación

176 Este problema fué estudiado por J. Boussinesq;

véase su libro Application des Potentiels, París, 1885. Véase también Theory of Elas- ticity, pág. 328, 1934. -

177 Este problema fué resuelto por H. Herz, Gesammelte Werke, volumen 1, 1895. El estudio de este problema y su bibliografía puede verse en Theory of Elaslicity, pág. 339.

(d) i =

CONCENTRACIÓN DE EATICAS 361

a — 0,

(285)


En ella, E1 y E2 son los módulos de las dos bolas, y dl y d2 los diámetros

correspondientes. La presión máxima acontece en el centro del círculo de contacto y viene

dada por la ecuación

jPmáx — -• (286)

na2

Debido a la deformación local, los centros de las bolas se acercan en

> ' ' 7 7 í : / " ( , 1 , • , ' / ü ; i)- <287)

Cuando los diámetros de las bolas y los módulos de elasticidad son iguales, las

ecuaciones anteriores son

\[Pd -\lAPE2 iVÜP* “ = 0'88 y p»“* = 0'62l/ -¿i-; X=1'84y|íd- <288>

Cuando una bola de diámetro d se comprime contra un cuerpo elástico que tiene una

superficie plana, las fórmulas a aplicarse obtienen haciendo dx = d, d2 — oc, en las

ecuaciones (285) a (287). Suponiendo — E2 = E, se tendrá

nfpd / PE2 -l/T2 a ~ 0,88 |/ pmáx = 0,62 [/ — X = i,54 y —• (289)

En el caso de una bola sobre garganta esférica (fig. 223), debe cambiarse el signo de d2 en

las ecuaciones (285)-(287).

Para EX~E2 = E, serán

(L-idn Q t\ W W I / 1 ¿

Es interesante notar que en los casos correspondientes a las ecuaciones (288) y (289) la

fatiga máxima de compresión en el centro de la superficie de contacto depende del valor de la

rela- P ción por tanto, la fatiga máxima permanece constante si

dicha relación no varía. Esto justifica el procedimiento práctico de dimensional una bola fijando

un valor de carga por centi

°-88VL; (290)


metro cuadrado para la sección diametral de la misma. Como el material en el centro de la

superficie de contacto tiene impedida su expansión lateral y está comprimido por todos los

lados, puede experimentar presiones muy altas (véase artículo 83). Experimentalmente 178, se

ha visto que la fuerza compresora P, admisible para el caso de comprimir una bola contra un

plano, siendo el material acero duró al crisol, puede expresarse por la ecuación

Pm&x = 55d179,

donde d se mide en centímetros y P en kilogramos. Sustituyendo en la segunda de las

ecuaciones (289), se encuentra pmáx igual, aproximadamente, a 37.500 kg./cm.180.

En el caso general de comprimir dos cuerpos del mismo módulo E, sean - y 4, las

curvaturas principales de uno de los ri ri II

cuerpos en el punto de contacto y — y — las del otro 2. La su- r 2 r 2

perficie de contacto es una elipse cuyos semiejes vienen dados por las expresiones

iVPin , . i8/ Pm :

= “ y 6 = 13 F ir (291)

siendo P ía fuerza compresora y

4 4 E m = ------------------------------------ —; n— ----------------------- — •

1 + 1+1 + I 3(1 ~+2)

Las constantes oc y (3 se deducen de la tabla XXIV para cada caso particular. El ángulo 6

que figura en la primera columna de la tabla se calcula por la ecuación

eos 0 = —, (a) A

178 Véanse Stribeck, F. F. /., pág. 73, 1901; Schwinning, F. D. /., pág. 332,

1901, y A. Bauschiicher, F. D. I., pág. 1185, 1908. 179 Las curvaturas principales son la máxima y mínima y corres

ponden a planos en ángulo recto. La curvatura de un cuerpo se consi

a


181 Resultados de ensayos con rodillos de acero pueden

verse en las publicaciones de W. M. Wilson, Univ. of Illinois, Engr. Exp. Sta. Bull., 162, 1927; 191, 1929; 263, 1934. Véase también V. P. Jensen, lowa Engr. Exp. Sta., Bull. 138, 1937. Las fatigas alternas en rodillos se analizarán en el artículo 80.

donde

A~-• 5 = ^]/(Í-~)2+ (I-I) + 2(i—i) (--4) eos 2? (b) m 2 V \r2 rj \r2 rj Vj rj \r2 rj T v

9 es el ángulo que forman los planos que contienen las curva

turas — y ^

TABLA XXIV CONSTANTES PARA EL CÁLCULO DE LOS SEMIEJES DE LA ELIPSE

DE CONTACTO

0 grados

a P 0

grados

a 3

20 3,778 0,408 60 1,486 0,717

30 2,731 0,493 65 1,378 0,759 35' 2,397 0,530 70 1,284

0,802

40 2,136 0,567 75 1,202 0,846

45 1,926 0,604 80 1,128 0,893

50 1,754 0,641 85 1,061 0,944

55 1,611 0,678 90 1,000 1,000

El valor de la presión máxima en el centro de la superficie

de contacto es Pmáx = -• (292)

7c ab

En el caso de compresión de rodillos (fig. 224), el área de

contacto es un rectángulo estrecho cuya an-

chura b viene dada por la ecuación 181 b

!P' d,xd2 (1 i). (*> 2,15 +

2 dl -j- d2 \EX É2

donde P' es la fuerza compresora por unidad de longitud del

rodillo. La presión máxima acontece en el centro del rectán

gulo de contacto y vale

Prnáx “ 5,59 , d x -j- d 2 1

2 P (294) -L + i-

Et ^ E2


Veuse A. Foppl, Technische Mechanilc, vol. 5, pág. 351, 1907.


Se ve que la fatiga máxima permanece constante si P' varía en la misma proporción que

d. Por ello, en la práctica se dimen- siona el rodillo a base del área de su sección diametral. La

fuerza compresora de seguridad P' por unidad de longitud, en el caso comente de rodillos de

acero para puentes, se obtiene por la ecuación P' — 55d.

d se mide en centímetros y P' en kg./cm. Sustituyendo en la ecuación (296), se ve que la

presión máxima es alrededor de 6.100 kg./cm.2 L Problemas

En el caso particular de que los módulos de ambos rodillos sean iguales ___

E (d1 + d2)

En el caso de un rodillo sobre un plano, tomaremos igual a infinito uno de los diámetros y las

ecuaciones (293) y (294) serán

Pmáx 0,59 P'd^ dfj -f- d2

d \(^¿ P'E 6 = 2,15 (295)

¡P'E

d ‘

IP’d.

E ’ 6 = 2,15 0,59 (296) Pmkn

de contacto G,

1 2/5

JL^ 10

1,875 4 X 2 X 10®

~ 3 X 0 , 9 1 ;

= 0,567; 2B = 0,3. 7.057

1. Determinar la presión máxima en la superficie para el

rodamiento de bolas de la figura 225. El diámetro de las bolas

es d = 37,5 mm.; el radio de las gargantas, 25 mm.; el

diámetro de la rodadura exterior, 20 cm., y la fuerza

compresora en una bola,

P = 2,500 kg.

Solución: Con la notación de la página 361, 37 5

r1 — r'x = — 18,75 mm.; r2 = — 25 mm.; O

Gr2 = — 100 mm.

4 = 7,057;

1,875

2 A =

+

m

n


Sustituyendo en la ecuación (a) (pág. 361),

eos9 = °>529; 6 = 58°

U,0o7

Por la tabla XXIV, y mediante interpolación, a = 1,536, ¡3 =0,701.

Los semiejes de la elipse de contacto —ecuación (291)— son

a = 1,536 ^ , r c ; ; ^ - == 0,283 cm.

,, A mi 1/2500 x 7,057 X 3 x 0,91 10ft

6 °’701 V —rx2inó¡—“ = °’129 cin* Mediante ia ecuación (292) se obtiene

2p¡00 Puifo = 1,5—^- = 32.600 kg./cm.2.

Esta fatiga tan elevada puede resistirla el acero duro, debido a que en el

centro de la elipse de contacto el material está comprimido no sólo en

dirección de la fuerza P, sino también en todas las direcciones laterales.

2. Determinar la superficie de contacto y la presión máxima entre dos

cilindros circulares cuyos ejes son perpendiculares entre sí. Este problema

se presenta, por ejemplo, al estudiar las presiones de contacto dé una rueda

de llanta cilindrica con un carril b

Solución: Sean rx y rt los radios de los cilindros. Con la notación de la

página 361,

1 o 182 n * 4 4 E jj-0; p - D ;

~ “T

. 1/1 , 1\ ■ 1 / 1 , 1 2~ 1/1 1\ 2Vri r2)’ 2 \ r\ r\ rxr2

2 rxra)* '

El signo debe escogerse de modo que B sea positiva. Por la ecuación (a), 1 _ _ 1

eos 0 = ± — ---- —• I+A rx r2

182 Este problema va tomando cada vez más importancia por el aumento

que la carga por eje experimenta en las locomotoras modernas. Su estudio puede verse en la publicación de H. Fromm, F. D. I,, vol. 73, pág. 957, 1929.

'2500 X 7,057 X 3 X 0,91 4 x 2 x 106


Conocido 0 , los semiejes de la elipse de contacto se calculan por las

ecuaciones (291), y la presión máxima por ia (292).

En el caso particular de dos cilindros de igual radio, cos 0 = 0, y por la

tabla de la página 362 se deduce que la superficie de contacto tiene un

perímetro circular.

3. Hallar la presión máxima entre una rueda con llanta cilindrica, de

radio rx = 40 cm., y un carril con una cabeza de radio ra = 30 centímetros, si

P = 500 kg. y el módulo de Poisson ¡a ,= 0,25,

67. Flexión pura de vigas cuyo material no sigue la ley de

Hoocke.—-Los ensayos realizados con vigas cuyo material no sigue la ley de Hoocke han

mostrado que durante la flexión pura las secciones rectas de la viga permanecen planas, origi-

nándose, por tanto, alargamientos o contracciones en las fibras

longitudinales proporcionales a sus distancias a la superficie neutra. Suponiendo que entre la

deformación y fatiga existe, durante la flexión, la misma relación que en los casos de extensión

y compresión simple, es fácil calcular las fatigas producidas en una viga por un momento

flector de valor dado x. Comenzaremos por una viga de sección rectangular (fig. 226) y supon-

1 Esta teoría ha sido desarrollada por Saint Venant en sus notas sobre el libro de Navier Résumé des lecons..., 3.a edición, pág. 173, 1864. Véanse también la publicación de Eugen Mayer, Physik. Zeitschr 1907, y Dissertation, por H. Herbert, Góttingen, 1909.

DEFORMACIONES PLÁSTICAS 367

dremos que el radio de curvatura de la superficie neutra producido por los momentos M es

igual a r. En este caso, el alargamiento unitario en una fibra a distancia y de la superficie

neutra es

y (a)

r

Representando por h1 y h2 las distancias desde las caras inferior y superior de la viga al eje neutro* los alargamientos en

las fibras más alejadas serán

htn ... *1=7» £2 = — 7* (¿)

Se ve que el alargamiento o contracción de cualquier fibra se obtiene fácilmente con tal de que

se conozca la posición de la

línea neutra; es decir, la relación ~ y el radio de curvatura r. - * 2

Estos dos valores pueden deducirse de las ecuaciones de la estática:

- I <sdA = b Icdy — 0, (c)

JA J—h 2

f oydA■— b f aydy — M. (d) JA J—a2

La primera de estas ecuaciones establece que 1a, suma de las fuerzas normales ligadas a

la sección recta de la viga es nula, ya que dichas fuerzas equivalen a un par. La segunda indica

que el momento de las mismas fuerzas respecto al eje neutro es igual al momento flector M.

Mediante la ecuación (a), tenemos

y — rz, dy = rdz. (e)

Sustituyendo en la ecuación (c), se obtiene

adz — 0. {/)

Para determinar la posición del eje neutro, para la que adz es nula,

se emplea la curva AOB de la figura 227, que representa el diagrama de ensayo a tracción-

compresión del

/a. rsi Qdy = r /

“ ^ 2 mJ£ 2


material de la viga. Sea A la suma de los valores absolutos del máximo alargamiento y de la

contracción máxima, tendremos

r (S) r r

Para resolver la ecuación (/), se marca una longitud A sobre el eje horizontal de la figura 227, de

modo que sean iguales las

áreas rayadas de la figura. Se obtienen así las deformaciones e, y s, en las fibras más alejadas,

y las ecuaciones (ó) dan

^1—^1 Ji2 s2

Con lo que se

determina la posición de la línea neutra. Teniendo en cuenta que los

alargamientos s son proporcionales a las distancias desde el eje neutro, se

deduce que la curva AOB representa también la Fig. 227distribución de fatigas

flectoras a

lo largo de la altura de la viga, si sustituimos A por

h. Para el cálculo del radio; r se usa la ecuación (d). Sustituyendo y y dy por sus

expresiones (e), la ecuación (d) tomará la forma

br* fS'asds = M.

Js,

h Por la ecuación (g), r = y por ello la ecuación (i) puede

escribirse del modo siguiente:

bh* i'i2 rs» , , r — . _ . _ I azdz — M. 12 r A3 Js¡¡

Comparando este resultado con la conocida ecuación

P ... M

correspondiente a la flexión de vigas cuyo material sigue la ley de Hooke, se deduce que,

pasado ei límite de proporcionalidad

€ {h)

/

(*)

(?)

(*>


J !a curvatura producida por un momento M puede calcularse

por la ecuación ■ El

= (297)

donde Er es el módulo reducido definido por la expresión

1 2 /*6' Er — / azdz. (298)

^3J s,

La integral de esta expresión representa el momento con relación ai eje vertical que pasa por el

origen O del área rayada en

la figura 227. Como las ordenadas de la curva representan fatigas y las abscisas deformaciones

unitarias, la integral, y también Er, tienen como dimensiones kg./cm.2; es decir, las mismas que

el módulo E. El valor de Er para un material dado (es decir, para una curva dada) es una

función de A o de -. Tomando

r

valores diversos de A y empleando la figura 227 del modo explicado, se determina para cada

valor de A los alargamientos máximos s-,^ y s2, y por ia expresión (298), el valor correspon-

diente de Er. De esta forma se obtiene una curva que representa Er como función de A — En la

figura 228 se ve dicha

curva para un acero de módulo E — 2 X 106 kg./cm.2 y límite de proporcionalidad 2.000

kg./cm.2. En este caso, para A < 0,002, RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n 24


ET permanece constante e igual a E. Con dicha curva, el momento correspondiente a una

curvatura dada se calcula fácilmente por la ecuación (297) y puede dibujarse la curva de la

figura 229, que da el momento M como una función de A. Para valores pequeños de A el

material sigue la ley de Hooke y la curvatura es proporcional al momento flector M,

obteniéndose la línea recta OC. Pasado el límite de proporcionalidad, el gradiente del cambio

de curvatura aumenta continuamente a medida que aumenta el momento. Si en lugar de un

rectángulo se

trata de otra forma simétrica de sección, el

ancho b de la sección es variable, y las

ecuaciones (c) y ( d ) deben escribirse en ia forma siguiente:

Sea, por ejemplo, una sección en T (fig. 230). Representando por s' la deformación lineal

en la unión del alma y del ala, las ecuaciones (l) y (m) pueden escribirse en la forma siguiente:

Se ve que en este caso deben ampliarse las ordenadas de la curva de ensayo a extensión en la

parte correspondiente al ala

¡ I

I h

~r c

h. 1

----- 6, ----- -

FIG. 23O

riG. 229

il)

baydy

bazdz = M. (m)

chi re I bady = r I badz = 0,

•/ S2

•f Je,

1:

f

(/;

cdz “j~

azdz +

(n)

br2 (o) T czdz ! = M. z' b I

adz == 0, b

£l K


en la relación -L Para determinar la posición del eje neutro se o

procede cómo en el caso anterior. Se usa el diagrama de ensayo a tracción-compresión (fig.

231) y se marca sobre el eje horizon-

h

tal una posición de la longitud supuesta A = - tal que las dos

áreas rayadas sean numéricamente iguales. De este modo se obtienen las deformaciones s, y

e2 en las fibras más alejadas. La deformación unitaria V, en la unión del alma y el ala, viene

dada por la expresión S ' C

”~Á~' h

donde c es el canto del ala (fig. 230). Habiendo determinado, mediante los tanteos necesarios,

la posición de la línea neutra, y observando que la expresión entre paréntesis de la ecuación

(o) representa el momento de las áreas rayadas en la

figura 231, respecto ál eje vertical que pasa por O, se

puede calcular fácilmente mediante la ecuación (o), el

momento M correspondiente al

valor supuesto de A = ^ . De este

modo puede trazarse una curva semejante a la de la

figura 229 para una viga en T. Si la sección fuese una

doble T, se trataría el caso de modo análogo.

En los anteriores ejemplos se ha fig. 231

usado el diagrama del ensayo a tracción-compresión

AOB para determinar la posición de la línea neutra y el

valor del radio de curvatura r. Si se conociese la

expresión analítica de la curva AOB, dichas cantidades

podrían obtenerse mediante el cálculo sin necesidad del

método gráfico expuesto en las figuras.227 y 231. Saint Venant183 usó este procedimiento,

viendo que en la flexión más allá del límite

183 Ya citado, pág. 366.


v _ E%V\

de proporcionalidad la distribución de fatigas extensoras v compresoras a lo largo de la altura

de la viga puede representarse por las ecuaciones siguientes:

donde ?r0 y cj¿, asi como a y b, son ciertas constantes que, unidas a los exponentes m y n,

definen las curvas de distribución de fatiga mostradas en la figura 232. Para valores pequeños

de y e yv puede suponerse que

a

a

donde Ex y E2 son los módulos del material para una extensión

o compresión muy pequeña. Si los dos módulos del

material son iguales, las dos curvas dadas por. las

ecuaciones (p) tienen una tangente común en la línea

neutra y se cumple ,

q0m _ a0n

a b

Empleando las ecuaciones (p) en las expresiones

del equilibrio (c) y (d), puede calcularse en cada caso

particular la posición de la línea neutra y el radio de

curvatura. Tomemos, por ejemplo, m=n~ 1. Utilizando las

expresiones (q), se obtiene de las ecuaciones (p)

<*o

(V) Mi b

*n |l— (l

i-a

(-?)■

b ’

<y0nyx <j0nrs y a =

i _

o) a

y las ecuaciones (p) dan a0my

o0mrt

1

a

G0nr ^- = E, (q) y

Por consiguiente,

a0mr

■DEFORMACIONES ELÁSTICAS 373

Es el caso en que el material de la viga sigue la ley de Hooke; pero el módulo en tracción

es distinto del módulo para la compresión. Sustituyendo las expresiones (s) en la ecuación (c),

y suponiendo que la viga tiene una sección rectangular, se obtiene

Exhf = E,h¡, que, junto

con la ecuación hx + h2 = h, da

E-ih1 bhx 2 ^ _ bh3

12 r (v^ + V®2

h\/E1 K

\'El + \jE% \/E1 + yjE2 Por la ecuación (d) se encuentra

h^/E2

áExE2

M

(299)

FIG. 233

Er 'bjK + MKf

Este módulo se usa a veces para el cálculo del

pandeo plástico de una columna comprimida 1.

Como segundo ejemplo, supongamos que las

curvas fatiga-deformación son iguales para la tracción

y compresión; por consiguiente, m = n, a — b y cj0 =

CTq en las ecuaciones (p). Suponiendo también que a

— b me-

diante la ecuación (d), tendremos, para una viga

rectangular,

bh2 3m(m-(-3)

(300) 6 2 (m-f-2 )

La línea neutra, en este caso, pasa por el centro de gravedad de la sección. Las curvas que dan

la distribución de fatigas para

En este caso, la curvatura se obtiene por la ecuación (297),

empleando para el módulo reducido el

valor AEXE?

M=, >max

1 Theory of Elastíc Stability, pág. 156.


2 r

valores diversos del exponente m son las de la figura 233. Al aumentar

el valor de rn, el momento tiende al valor ¿ 3 bh2 iu ---- 1 *

2 má 6

En el caso de un acero corriente con un punto de fluencia pronunciado,

la deformación del material durante la fluencia

• (trozo horizontal en B)—fig. 2 (a),

página 7, Prime/ra parte— puede

alcanzar unas diez o quince veces el

valor del alargamiento elástico.

Puede suponerse también, para el

acero, que el punto de fluencia es el

mismo en tracción y compresión. Por

consiguiente, el diagrama de ensayo

a tracción-compresión puede

representarse por las líneas rectas de

la figura 234. En una viga

rectangular, las deformaciones en las

fibras más alejadas ex y s2 son

siempre iguales durante la flexión

más allá del

punto de fluencia, y la ecuación (i) da

br2qn(e? — \ ef7) = M, 3

es el alargamiento elástico para la fatiga de

MJ

fluencia. Si sn es pequeño comparado con e1? puede despreciarse el

segundo término del paréntesis de la ecuación (t), y se obtiene

brH\am = M. (u)

La distribución de fatigas sobre la sección de la viga está en este

caso representada por dos rectángulos, y el momento flector

correspondiente tiene el valor m

4

h

donde

FIG. 234

-Fl

M, {V ) ult

obtenido sustituyendo en la ecuación (u).


Representando por MFl el valor del momento flector para el que la fatiga en las fibras más

alejadas alcanza el punto de

6MF¿ y la ecuación (v) es 3

(301)

Para el valor Mu]t del momento flector todas las fibras de la

viga experimentan la fluencia, y esta fluencia continúa sin au-

mento del momento resistente, en tanto que la relación fatiga-

deformación venga dada por el diagra-

ma de la figura 234.

Este fenómeno terminará cuando el

fortalecimiento del material por la defor-

mación sea apreciable; pero entonces la

curvatura de la viga, debido a la defor-

mación plástica, será mayor de la permi-

tida en estructuras permanentes y por

ello el valor (v) del momento flector debe

considerarse como un valor final o límite.

Aplicando el mismo razonamiento al caso de una viga en do-

ble T (fig. 235), y suponiendo que para el valor final del momento

flector la fatiga en todas las fibras es igual a aFli se obtiene

-Mui, = i h h l + b W - h D l

Como en los casos corrientes la diferencia entre h y Ti1 es relativamente pequeña, se ve

por las expresiones (302) y (w) que la relación ilfult: MF¡ es mucho más pequeña para las vigas

en doble T que para las vigas rectangulares. Por ello, un incremento relativamente pequeño del

momento sobre el valor Mm puede llevar a la viga a una condición crítica x.

1 Se ha supuesto en el estudio realizado que la viga ha flexado en el plano de su máxima rigidez, y que el pandeo lateral del ala comprimida está impedido.

El valor del momento para el que comienza la fluencia se obtiene multiplicando aFl por el

momento resistente de la sección, obteniéndose

utl = j Pié-t + . (w)

fluencia, se tiene oF¡ bh*

Mu]t M Fi•

(302)


68. Flexión plástica de vigas por cargas transversales.—

En el caso de flexión de vigas por cargas transversales se desprecia la acción de la fuerza cortante

sobre la deformación 184 y se supone que la relación entre el momento flector y la curvatura está

representada por la ecuación (297), obtenida para la flexión pura. Puede aplicarse, por consiguiente,

el método de la viga conjugada (véase pág. 146, Primera parte) para el cálculo de

deformaciones plásticas. Es preciso notar que en este caso la rigidez a la flexión no es constante,

sino que varía con la magnitud del momento flector. Para establecer la relación entre estas dos

cantidades, se usa la curva de la figura 229 en el caso de vigas

rectangulares. Para cualquier valor

^ _______________________________ de A = - , la ordenada AB da el

momento flector correspondiente, y la ordenada ÁG

representa el momento que tendríamos si el material siguiese

la ley de Hooke. Por ~ t1jx E.IA consiguiente,

FlG '236 AB: A~C = Er : E.

De este modo se obtiene para cada valor supuesto del mo-

El mentó flector la relación -~y entre la rigidez a la flexión redu-

El

cida y a la rigidez inicial de la viga. Representando esta relación por p, puede trazarse por puntos la

curva de la figura 236. Para puntualizar el modo de emplear esta curva en el cálculo de

deformaciones, consideraremos el caso de una viga simplemente aboyada y cargada en su centro

(fig. 237). El diagrama del momento flector, en este caso, es el triángulo AGB. Sea M9 el valor del

momento flector hasta el que el material sigue la ley de Hooke. En este caso, el trozo mn de la viga

está solicitado más allá del límite de proporcionalidad y para el cálculo de deformaciones debemos

usar, en lugar de la rigidez a la flexión inicial, una rigidez a la flexión variable a lo largo de dicho

trozo. Proee-

184 El efecto de la fuerza cortante ha sido estudiado por A. Eichin- ger, Final

Report, Second Congress International Assoc. Bridge and Structur. Engng., Berlín, 1938.


diendo como en el caso de vigas de sección variable (véase página 201, Primera parte),

dividiremos las ordenadas del diagrama del momento flector por el valor correspondiente de ¡3, to-

mado de la figura 236. De esta forma se obtiene el diagrama modificado AJDEFB. Considerando

el área de este diagrama modificado como una carga ficticia y procediendo como ordinariamente, se

obtiene la flecha en cualquier sección de la viga, dividiendo por El el momento flector producido en

ella por la carga ficticia.

Hemos examinado solamente el caso de una viga rectangular; pero el método es aplicable en

otros casos, con tal de tener

trazada la curva del factor (3 correspondiente, análoga a la de la figura 236. Esta curva puede

trazarse mediante el método indicado en la figura 231, o calcularse sus ordenadas, si se conoce de

modo analítico —ecuaciones (p) del artículo anterior o análogas— la relación fatiga-deformación

en el período plástico.

En el caso de un material como el acero, que tiene un punto de fluencia’ acentuado, la fluencia

comienza por las fibras de la sección más alejadas de la línea neutra al alcanzar el momento flector

máximo el valor Mn, mientras que el resto de la viga continúa trabajando elásticamente. Dibujando

un diagrama carga-flecha máxima para una viga de esta naturaleza y sección rectangular, se ve que

la forma de este diagrama es muy distinta de la del diagrama fatiga-deformación en el ensayo de ex-

tensión del acero. Cuando comienza la fluencia del material en el diagrama carga-flecha, se

manifiesta solamente una pequeña desviación de la línea recta, acusándose una curvatura aprecia-

ble en el diagrama cuando la carga tiene un valor mucho más alto y la fluencia afecta a una gran

porción del materia] de la viga. El aumento de esta curvatura del diagrama carga-flecha y el valor de

la deformación permanente correspondiente dependen de la magnitud del alargamiento plástico del

material en el punto de fluencia del diagrama tracción-compresión. Supongamos, por ejemplo, que

el alargamiento plástico en el punto de fluencia es 1 V2 Por 100; es decir, alrededor de quince

veces el alargamiento elástico en el límite de proporcionalidad del acero corriente. Si las fibras

exteriores de la viga experimentan esta fluencia acentuada, la distribución de fatigas se representa,

aproximadamente, por dos rectángulos y el momento flector correspondiente (ecuación 301) será,

aproximadamente, vez y media mayor que el momento Mm, para el que comienza la fluencia. La

curvatura, en este caso —ecuación (g) del artículo anterior—,será 1 _ A __ (M)3


r h h

Esta curvatura acentuada acontece únicamente en las partes de la viga para las que el

momento flector se aproxima al valor 1 x/2 MFt. Existe una tendencia a concentrarse la deformación

en la sección de momento flector máximo y la elástica, pasado el punto de fluencia, tiene forma

diferente de la que corresponde a fatigas elásticas. En el caso de flexión de una viga por una carga

concentrada en su sección central (fig. 237), la fluencia acontece principalmente en su parte central,

por lo que allí resulta una curvatura considerable, mientras que las partes restantes de la viga flexan

sólo ligeramente.

Si, en lugar de una viga de sección rectangular, tenemos una sección en doble T, el efecto del

alargamiento plástico en el punto de fluencia sobre el diagrama carga-flecha será mucho más

acentuado. Es natural que así ocurra, ya que el material está concentrado en las alas de la viga y,

por tanto, un número mayor de fibras entra en fluencia de modo simultáneo en la sección de

momento flector máximo. Esta fluencia del material origina, finalmente, el pandeo de las alas x. Por

consiguiente, la carga máxima que puede aguantar una viga en doble T es

1 Theory of Elastic StabilUy, pág. 273.

sólo ligeramente superior a la carga que inicia la fluencia en las alas. De aquí se deduce que

cuando se toma la carga que inicia la fluencia como base para determinar la fatiga de trabajo en

una viga, el factor de seguridad extra que tenemos hasta la carga que inutiliza la viga depende de la

forma de la sección recta. En el caso de una viga de sección rectangular, el factor de seguridad

extra es mucho mayor que en el caso de una viga en doble T. Esta diferencia, generalmente, no se

tiene en cuenta al proyectar estructuras, y las vigas, cualquiera que sea la forma de su sección, se

dimensionan tomando como base la fatiga de fluencia x.

En nuestro estudio de la flexión de vigas por cargas transversales se ha supuesto que el

problema era estáticamente determinado, por lo que la construcción del diagrama del momento

flector se hizo sin considerar la deformación de la viga. En los casos hiperestáticos, el problema es

más complejo, puesto que, pasando el límite de proporcionalidad, las fuerzas y momentos

hiperestáticos no son proporcionales a las cargas que actúan y no puede aplicarse el método de

superposición. Sin embargo, a veces puede simplificarse el problema por consideraciones de si-

metría. Suponiendo, por ejemplo, que los extremos de la viga de la figura 237 están empotrados, se

deduce, de la simetría, que el momento flector es nulo a un cuarto de la luz a partir de cada apoyo,

y la elástica está formada por cuatro trozos idénticos que pueden obtenerse estudiando una

ménsula cargada en su extremo. En el caso de una viga con carga uniformemente repartida y con

los extremos empotrados, se deduce por simetría que los momentos en los apoyos son iguales. El

valor de estos momentos se obtiene por el método de las aproximaciones sucesivas. Se atribuye

un valor a dichos momentos y se construye el diagrama modificado del momento flector, tal como

hicimos en el caso de la figura 237. El valor exacto de los momentos es evidentemente aquel para

el cual la carga ficticia total, representada por el área del diagrama modificado, es nula.

Se deduce de lo expuesto que en la flexión más allá del límite de proporcionalidad resulta

complicado el cálculo de fuerzas


1 En la-página 380 analizaremos otro modo de proyectar vigas.


y momentos hiperestáticos. En el caso de materiales (por ejemplo, acero corriente) que tienen un

marcado punto de fluencia, puede simplificarse mucho el cálculo si nos limitamos a considerar el

estado de carga para el que la estructura alcanza el estado crítico y fluye sin aumento de la carga.

Sea, por ejemplo, una viga uniformemente cargada con los extremos empotrados, y supongamos

que la intensidad de la carga crece gradualmente.

Para un valor determinado de esta carga los momentos hiperestáticos en los extremos alcanzan el

valor Mm y comienza la fluencia del material en dichos puntos. El

diagrama correspondiente del momento flector, en la hipótesis de

ser aplicable la ley de Hooke hasta el punto de fluencia, será el de

la figura 238 (a). Si seguimos incrementando la carga, llegaremos

a un estado para el que los momentos hiperestáticos valdrán Jfult.

Este estado de carga no es todavía el crítico de fluencia para la

viga, ya que el momento en el centro es menor que el valor Jfult.

Al aumentar nuevamente la carga, la fluencia del material en los

extremos hace que los momentos en esos puntos no cambien de

valor y que las nuevas deformaciones acontezcan como en el

caso de una viga simplemente apoyada x. La condición crítica se

alcanza finalmente cuando el momento flector en el centro es

igual a El correspondiente diagrama del momento flector se ve en la figura 238 (ó). Para esta carga,

la flexión local en los extremos y centro continúa sin aumento ulterior de aquélla y acontece una

deformación plástica considerable, hasta que el endurecimiento o recobro del material detiene la

fluencia.

Ya vimos el modo (pág. 375) de calcular ilfult para una sección dada. Conociendo ese valor,

puede construirse fácilmente el diagrama del momento flector en el estado crítico y determinar el

valor.crítico de la carga. Por ejemplo, en el caso de una carga

FIG. 238


uniformemente repartida —fig. 238 (6)— se encuentra el valor crítico de la intensidad de la

carga por la ecuación

^■=-2 ¿rult. 8

La intensidad de la carga para la que

comienza la fluencia —figura 238 (a)— será

= i - M„ T'

8 2

Por tanto,

(]cT Á i/ult

qpt 3 M$i

Se ve que la relación

ÍFl

depende de la forma de la sección recta de la viga. Para sección rectangular,

esta relación es igual a 2.

En el caso de una viga empotrada en sus extremos solicitada por otro tipo de carga o también

vigas con otras condiciones de apoyo o vigas continuas el estudio se realizaría de modo análogo;

por ejemplo, en la figura 239 se da el diagrama del momento flector en el estado crítico para una

viga empotrada en el extremo izquierdo, simplemente apoyada en el derecho y cargada

en el punto G, cuya abscisa derecha es

ó

La construcción del diagrama es sencilla, si se tiene en cuenta que en el estado crítico los

momentos flectores en A y G son iguales a M^. El valor crítico de la carga para el que acontece

fluencia en A y C, sin aumento ulterior de la solicitación, es

1 185 Mult. 3

En la figura 240 se ve el diagrama del momento flector para el estado crítico de una

viga continua uniformemente cargada. El valor de qcr y la distancia c que define la

posición de la sección crítica C se obtiene por las condiciones; 1.a El momento flector

185 El endurecimiento o recobro del material se desprecia en este estudio.

FIG. 239

PJ


en C es un máximo, y 2.a Su valor, así como el valor del momento en B, es

igual a i¥ult, lo que da

Mult

2 l

5crl -¥ult® J\J C — — = M ujt.

2 2 l

De estas ecuaciones se deduce c = l (V2 — l), qcr ■■

Z2 (3 — 2 V2)

La exposición de estos ejemplos permite apreciar que el

cálculo de las cargas críticas puede aplicarse fácilmente en varios casos particulares de vigas

hiperestáticas.

Estos cálculos son ordinariamente más sencillos que los necesarios para determinar los

valores de las cargas para los que comienza la fluencia 186.

Ya se indicó que bajo la acción de las cargas críticas las estructuras de acero experimentan

una deformación considerable prohibitiva en servicio normal; por consiguiente, al proyectar deben

considerarse dichas cargas críticas y determinar la carga de trabajo, dividiendo el valor de la carga

crítica por un coeficiente de seguridad apropiado. Este procedimiento es el lógico de cálculo para

estructuras de acero sometidas a cargas permanentes, puesto que entonces el colapso por fatiga

alterna no existe y solamente debe considerarse el colapso por fluencia del metal 2.

186 M, Grüning, Handbuch. /. Bauing Bd. IV, Der Eisebau, 1929; Grüning-

Kulka, Die Bautechnik, pág. 274, 1928.

q_crC = 0.

2 M, ult


69. Fatigas residuales en la flexión plástica.—Si se flexa una viga pasado el

límite elástico, al descargarla no desaparece por completo la deformación. Las fibras con

deformación permanente impiden recobrar su longitud inicial a las deformadas elásticamente y por

ello se producen fatigas residuales. Para determinar su distribución sobre la sección,

consideraremos primero el caso sencillo de una viga rectangular para la que la distribución de

fatigas en flexión más allá del punto de fluencia puede representarse por los rectángulos ohlm y

oprn —fig. 241 (a)—. Suponemos también que ei material deformado por encima del punto de

fluencia, al ser descargado sigue la ley de Hooke durante la descarga, tal como se indica en la

figura 241 (b) con línea de trazos. De esta hipótesis se deduce que las fatigas flectoras a restar,

cuando

se descarga la viga, siguen la ley lineal que

indica en la figura 241 (a) la línea mxnx. La

diferencia entre las dos distribuciones de fatiga,

la rectangular de carga y la triangular de

descarga —área rayada de la figura 241 (a)—

representa las fatigas residuales al descargar.

Los signos de estas fatigas indicados en la

figura corresponden a flexión por un momento positivo.

El signo de estas fatigas que indica , la figura corresponden al caso en que la flexión inicial

produce convexidad hacia abajo. Puesto que tanto la distribución rectangular de fatigas como la

triangular representan un momento flector del mismo valor, se deduce que el momento respecto al

eje pok del triángulo ommx es igual al momento respecto al mismo eje del rectángulo oklm. Por

consiguiente, la fatiga representada en la

determinar cargas críticas han sido hechos por Maier-Leibnitz, Die Bautechnik, 1928, y por K. Girkmann, Die Bautechnik, 1932. Un estudio teórico de la flexión de vigas pasado el punto de fluencia puede verse en Bauingenieur, J. Fritsche, 1930 y 1931. La combinación de flexión con compresión ha sido estudiada por K. Girkmann, Sitzungsber. AJx'ad. Wis-s. Wien. Abt., 11.a, vol. 140, 1931. El proyecto de vigas a base de las cargas críticas ha sido discutido por J. A. Van den Broek, 'Brans. A. S. G. É., vol. 105, pág. 638, 1940.

m

°5#>

X m, . . <r

P Á

74-

1 11 /

+

-A

P187' 0 k

/ °yf i 1 i /

a r n (a) (b) ^

FIG.241


figura por la longitud mmx debe ser igual a 1 - aFl y las tensio- z

nes residuales de tracción y compresión para las fibras más alejadas

después de descargar la viga valen ~ aFl. Las fatigas re-

siduales en las fibras próximas a la línea neutra son más elevadas y

valen, aproximadamente, aFl. Puede verse que la distribución de fatigas

representada en la figura por las áreas rayadas

equivale a dos pares iguales y opuestos de valor aFl que se

equilibran entre sí. La existencia de estas fatigas residuales se ve

experimentalmente cortando la viga a lo largo de su plano neutro. Cada

mitad de la viga toma entonces una cierta curvatura. Si una viga con

las fatigas residuales indicadas en la figura 241 (a) se flexa nuevamente

por momentos del mismo valor y del mismo sentido que los del ensayo

anterior, las fatigas producidas por dichos momentos y representadas

por la línea recta m1n1 se superpondrán a las fatigas residuales dadas

por las áreas rayadas, y la distribución de fatigas resultante veifdrá

representada por los rectángulos olclm y onrp. La fatiga resultante

máxima es am y no se producirá fluencia alguna dei material durante

esta segunda flexión. Por consiguiente, las fatigas residuales que

produce la primera flexión tiene por efecto aumentar el momento

flector que puede contrarrestar elásticamente la bárra con tal de que

no se cambie el sentido de la flexión. Este fenómeno de incremento de

la capacidad elástica de una estructura mediante una carga preliminar

y el desarrollo de fatigas residuales apropiadas se usa con frecuencia

en la práctica. Más adelante se estudiarán algunos casos particulares

(véase artículo 74).

En el caso más general de flexión inelástica de una viga rectangular, la

distribución de fatigas viene dada por una curva tal como la n1om1 de

la figura 242 (a). Suponiendo nuevamente que durante la descarga el

material de la viga sigue la ley de Hooke, se ve que las fatigas

residuales producidas por la plasticidad se distribuyen como indican

las áreas rayadas de la figura. Si la curva nxomx se determina del modo

expuesto en el artículo 67, el yalor de las fatigas residuales en cada

fibra puede obte


nerse fácilmente. Si se desconoce la curva n-fim^ la distribución de

fatigas residuales puede investigarse experimentalmente cortando de

la viga láminas paralelas al plano neutro y midiendo después de cada

corte la deformación elástica de la viga.

Supongamos que la fatiga residual en la cara inferior de la viga es

una extensión de valor <y. Al quitar la lámina de espesor A, indicada

en la figura 242 (ó), se produce evidentemente la misma deformación

en el resto de la viga que la que producirían dos fuerzas iguales y

opuestas abA aplicadas como indi-

can las flechas de trazos de la figura. El eje de la viga tomará un

alargamiento y una curvatura dados por las fórmulas

cbA (h — A) 12 cbAh (a) 2 Eb (h —r- A)3

Se ve que si se mide la curvatura d puede deducirse fácilmente,

mediante la ecuación (a), el valor de la fatiga residual de extensión a,

correspondiente a la fibra más alejada. La determinación de la fatiga

residual aa correspondiente a una fibra mn situada a la distancia a de

la cara superior de la viga —figura 242 (b)— es más complicada.

Cortando lámina tras lámina, llegaremos a separar la mn y podremos

determinar la fatiga en ella mediante una ecuación análoga a la (a).

Esta fatiga, sin embargo, tendrá un valor a'a diferente de la fatiga

residual aa, puesto que el corte sucesivo de láminas produce cambios

en las fa- EbTi \r

— b

2 El


H.ESISTEHOIA DE MATERIALES. X. II 25


tigas del trozo de viga que queda. Es evidente, por tanto, la necesidad de investigar estos cambios para determinar la fatiga residual aa. Supongamos que por separación sucesiva de láminas se alcanzan las fibras indicadas con líneas de puntos en la figura 242 (b), situadas a la distancia 2z de la cara superior de la viga. Si separamos una nueva lámina de espesor A, la fatiga <j'z en ella se obtiene por la ecuación

¿ (1 ) =^ , donde I,= b±2z? W El, 12

o sea,

d\rlm- (i)

bzA

La separación de esta última lámina producirá en la fibra

mn una fatiga directa de valor

(c) 2 bz

y una fatiga flectora

,bzA(a — z)

Las fórmulas (c) y (d) nos dan el cambio que experimenta la

fatiga en nuestra fibra mn al quitar una lámina. Considerando ahora el

efecto producido por la separación de todas las láminas cuando 2z

varía de A a a, se tendrá

y ¿ A | V S g f e A ( a — . 2)

2z I , ’ W

donde az para cada tira se calcula por la fórmula (6), sustituyendo

en ella los valores correspondientes de d j^j. La fatiga residual

buscada oa correspondiente a la fibra mn se obtiene restando la

cantidad (e) de la fatiga cr,' encontrada, poniendo a en vez de 2z en la

fórmula (b). Por consiguiente,

f

<T, =

(d)


Este método de determinación experimental de fatigas residuales

longitudinales puede también aplicarse en cualquier otro caso dé

deformación plástica longitudinal (véase artículo 71)'. Ha sido

aplicado, por ejemplo, para determinar las fatigas residuales en tubos

de latón estirados en frío 188. En este caso, la separación de láminas de

metal se realizó por procedimientos químicos., Las variaciones de

curvatura se determinaron ópticamente. De esta forma se obtuvo una

información completa referente a fatigas residuales en tubos

estirados en frío, de gran importancia para la elección de técnica

apropiada en la fabricación de tubos.

70. Torsión plástica.—Empezaremos examinando la torsión de ejes

circulares. Supondremos que pasado el límite de elasticidad, las

secciones rectas del eje continúan planas y que sus radios

permanecen rectos 189. En este caso, la dis-

torsión y a distancia r del centro del eje se

determina por la misma fórmula que en la

torsión por debajo del límite de elasticidad

(véase pág. 254, Primera parte):

Y = r6, (a)

donde 0 es el ángulo de torsión del eje por

unidad de longitud. Para encontrar el valor del

torsor necesario para producir la torsión 0 es

indispensable conocer la relación entre la distorsión y y la fatiga

cortante t pasado el límite de proporcionalidad. Supongamos que el

diagrama de la figura 243 da esa relación 190. Si a es el radio exterior

del eje, la distorsión

188 Este método fué desarrollado por N. N. Dawidenkow, Journal of

Techn. Phys., vol. 1, Leningrado, 1931, y Zeitschrift für Metallkunde, vol. 24, pág. 25, 1932. Véase también la tesis doctoral de C. G. Ander- son, University of Michigan, 1935. Otro método aconsejable para la determinación de fatigas residuales en perfiles laminados en I y U ha sido desarrollado por J. Mathar, Archín für des Éisenhüttenwesen, volumen 6, pág. 277, 1932-33.

* Esta teoría fue desarrollada por Saint-Venant, Journal de Ma- thematiques, vol. 16, pág. 373, 1871. Véanse también I. Todhunter y K. Pearson, History of the Theory of Elasticity, vol. 2, primera parte, pág. 170; A. Nadai, Plasticity, pág. 126, 1931.

190 Este diagrama puede obtenerse exper ¡mentalmente ensayando a torsión tubos delgados. Para eliminar 1a, posibilidad de pandeo el espesor de la pared se reduce a un pequeño valor, exclusivamente de modo local, practicando un cuello circunferencial de forma rectangular en un tubo más grueso.

____ •

m

i-Tdi

A

L-g'.rd — \~df n '

—— ad ■ —

FIG. 243


máxima correspondiente será la ordenada mn del diagrama de la figura

243. De esta misma forma puede fácilmente obtener* se, mediante el

diagrama, la fatiga cortante correspondiente a cualquier distancia r

del centro.El momento torsor M, que debe aplicarse para producir la

torsión supuesta 6 se obtiene por la ecuación de la estática:

J 2nr2drr — Mt. (b)

Sustituyendo en esta ecuación los siguientes valores sacados de ia

ecuación (a),

r = —> dr =—> 0 6

se obtiene

~ 'f2^dy = Mt. (c)

La integral del primer miembro de esta ecuación tiene una

interpretación geométrica sencilla; representa el momento de inercia

con relación al eje vertical or del área omno de la figura 243. Después

de calcular este momento de inercia para un valor dado de ad, se

obtiene fácilmente el torsor correspondiente por la ecuación (c). Puede

dibujarse, por consiguiente, una curva que representela relación entre

Mt y 0, conocido el diagrama de

la figura 243. Como las abscisas de la figura 243 son proporcio

nales a las distancias radiales, la curva om representa también a escala

la distribución de fatiga cortante a lo largo de un radio del eje. Si

durante la torsión el material sigue de modo continuo la ley de Hooke,

se tiene t = y G — rQG, y la ecuación (b) da

2 TirUr = QGIP = Mt, (d)

que no es otra cosa sino la conocida fórmula de torsión por debajo del

límite de elasticidad.

Si el material del eje tiene un punto de fluencia pronunciado, la

parte curvilínea del diagrama de ia figura 243 puede reemplazarse por

la línea horizontal de ordenada ~m. Por consiguiente, para un ángulo de

torsión considerable, la distribución de fatiga cortante a lo largo de un.

radio del eje se aproxima


a una distribución uniforme. El valor correspondiente del torsor se

denomina Se obtiene poniendo vFi en lugar de t,

en la ecuación (b), lo que da /n,. 2 na3 . . (^)mt — ~ t f i - (e)

O

Cuando el momento torsor alcanza este valor, el eje sigue

deformándose sin ulterior aumento del torsor hasta que comienza el

endurecimiento del material. A fin de compararle con este valor, puede

calcularse el momento torsor (M,)Ft, para el que comienza la fluencia.

Se utiliza la ecuación (d), poniendo en ella el valor de 0 para el que

comienza la fluencia. Este valor se obtiene mediante la ecuación (a),

haciendo r — a y y = YF4> 1° 4ue da

a _Y m Uf JFl aQ

Por consiguiente, de la ecuación (d),

iza?

(M t ) F l ^Q n GI p =~^ P Dividiendo (e) por (/’, se obtiene MtUt: (Mt)n = i

Si después de aplicar el momento torsor {Mt)m se descarga el eje,

quedan en él fatigas residuales. El valor de estas fatigas puede

obtenerse repitiendo el mismo razonamiento

que se aplicó en el caso de flexión (pág. 383).

Supongamos que las ordenadas de la línea

horizontal mn de la figura 244 representan

las fatigas cortantes TFI producidas por el

momento uniformemente distribuidas sobre

el radio del eje. Al descargar el eje el

material sigue la ley de Hooke y las fatigas de descarga siguen la ley

lineal indicada en la figura 244 por la línea mxnv La diferencia entre las

dos distribuciones de fatiga representa las fatigas que quedan en el eje

después de la descarga. El valor de la ordenada n-^p, representada por

rmáx, se encuentra en virtud de que las dos distribuciones de fatigas, la

a

(/)

FIG. 244


rectangular y la triangular, representan al mismo torsor MaXt, Para la

distribución rectangular de fatigas, el torsor viene dado por la fórmula

(e).

La expresión del torsor correspondiente a la distribución

triangular de fatigas se obtiene sustituyendo Tm(u en vez de vFi) en la

fórmula (/) 2 izas 7ta3 —— = __ TmAXj OZj

^máx ” 1 " ó

Se ve, por tanto, que las fatigas de torsión residuales en la

superficie del eje valen - Tfi. En las proximidades del centro, esta fatiga

vale Tfi.

La distribución de las fatigas residuales por torsión puede

investigarse experimentalmente. Para ello es precisó separar capas

delgadas del metal del eje de modo sucesivo y medir, después de haber

quitado cada una el ángulo de torsión del eje L

Si el material del eje tiene un punto de fluencia pronunciado, puede

emplearse con ventaja para el estudio de la torsión plástica la analogía

de la membrana (véase página 272). Cuando el

valor del torsor es algo mayor que (Mt)Fl, la parte

exterior del eje está en condición de fluencia,

mientras que la interior queda deformada elás-

ticamente. Para utilizar la analogía de la

membrana en este caso, es necesario emplear,

además de la membrana, un cono rígido ACB (fig.

245), cuya pendiente representa a escala apropiada

la fatiga de Fig. 245 fluencia Tfi. Si sobre la membrana actúa

una presión p pequeña,

también lo serán las flechas y la superficie cónica

no modifica la libre deformación de la membrana. Por consiguiente, su

superficie define la distribución de fatigas en el caso de torsión

elástica, tal y como se vió anteriormente (pág. 272). Al aumentar la

presión, las flechas de la membrana también aumentan y, finalmente,

la parte exterior de la membrana comienza a tomar contacto con el

cono rígido del modo que indica la figura 245.


Este estado corresponde a la torsión plástica.

La parte exterior de la membrana, en contacto con el cono, tiene la

pendiente constante correspondiente a la fatiga de fluencia TjP¿. La

parte interior mn corresponde a la interior del eje que queda en

condición elástica. El doble del volumen comprendido entre la

membrana y el plano de su contorno AB continúa representando el

momento torsor. De aquí se deduce que el doble del volumen del cono

da el valor de 7¥ult. Como la pendiente del cono es -cFl, su altura será

axFt, y el doble de su volumen, 2 . . s Tza¿axFi, cuyo valor coincide con el de la expresión (e).

ó

El mismo método puede emplearse también en el caso de ejes de

sección recta no circular, y es muy útil para determinar las partes del

eje en las que comienza la fluencia. Examinaremos como ejemplo un

eje rectangular. Al estudiar la torsión plástica de este eje, debe usarse

la membrana junto con una superficie rígida en forma de tolva (fig.

246), que tenga en todos sus puntos una pendiente constante que a

cierta escala representa la fatiga de fluencia T f / .

E S evidente que la membrana, deformada con una

presión uniforme creciente, toca a la tolva

primeramente en los puntos c y d, medios de los

lados más largos del rectángulo. En estos puntos

comienza la fluencia, y para presiones mayores

algunas partes de la membrana coincidirán con

la tolva, tal como se indica en la figura con áreas

rayadas. Estas áreas Fig. 246

definen las zonas donde el material fluye.

En el resto del eje se tiene únicamente deformación elástica. Si todavía

aumentamos la presión sobre la membrana, crecen las partes en

contacto con la tolva y, por tanto, las regiones de deformación plástica.

El doble del volumen determinado por la tolva y el plano AB da el valor

de Mlút para el eje rectangular.

Si una bárra rectangular de hierro forjado se ensaya a tor


sión plástica, las zonas de fluencia se ponen de manifiesto lavando con

agua fuerte la sección. Después del lavado aparecen en las regiones

plásticas de la sección líneas paralelas oscuras de la dirección que

indica la figura 246. Estas líneas indican los planos paralelos al eje del

árbol a lo largo de los que acontece el corrimiento del metal producido

por la fluencia x.

71. Deformación plástica de cilindros de pared gruesa sometidos a presión

interior 191,—Al estudiar la deformación elástica de un cilindro de pared

gruesa, por la acción de una presión interna p (véase pág. 244), se vió

que las fatigas tangencial y radial a la distancia r del centro del

cilindro venían dadas por las fórmulas _ a2p /1 b2\ a2p t b2\ b2 — a2\ üt~bâ2\ ^/’

donde a y b son, respectivamente, los radios interior y

exterior del cilindro. La fatiga tangencial máxima de extensión y la

compresión radial máxima acontecen en la superficie interior del

cilindro. En esta superficie actúa también la fatiga cortante máxima.

Su valor es

Aumentando gradualmente la presión interior se alcanza un estado

elástico para el que comienza la fluencia del material de la superficie

interior. Ello acontece cuando la fatiga cortante máxima (ó) alcanza el

valor de la fatiga de fluencia xFí 192. Sustituyendo este valor en la

fórmula (ó), se ve que la presión para la que comienza la fluencia es b2 — a2

Pm — 'tFi—77~" (c) b¿

página 29, 1931, pueden verse interesantes fotografías correspondientes a diversas formas de ejes sometidos a torsión.

8 La deformación plástica de Cilindros gruesos sometidos a presión

(a)


Suponiendo, por ejemplo, b = 2a, el valor de la presión será pFl =

0,750 xFi. Si seguimos aumentando la presión, la deformación plástica

penetra más y más en la pared del cilindro; y, finalmente, para una

cierta presión, que llamaremos pult> la totalidad de la pared del cilindro

se encuentra en estado de fluencia acusado, lo que significa que la

fluencia acontece por la acción de una fatiga cortante constante tFl.

Esto nos da para eada punto de la región en deformación plástica la

ecuación

2 L = P ' ( < * > L

Considerando el equilibrio de un elemento de la pared (figura 142),

puede obtenerse otra ecuación para determinar at y ar. Dicha ecuación

(véase pág. 242) es da, '

at — ar-~r^ = 0. (e) dr

Sustituyendo el valor de at -— ar, dado por la ecuación (d), se

obtiene

d<5r 2 Tpi

dr r

La integración de esta ecuación da

ar = 2 logft r + G. (g)

La constante de integración C se obtiene por la condición

de que en la superficie exterior del cilindro, es decir, para r — b, la

fatiga radial ar es nula. Tendremos 0 = 2XFI logn 'b.-jr G, G — — 2Tf¡ logw b.

Sustituyendo este valor de la constante de integración C en la

ecuación (g) se obtiene

ar = 2TFI logra y (303)

Para la superficie interior del cilindro esta expresión da

K)r-« = 2 XF 1 logra y (304)

y la presiónnecesaria para que la pared entera delcilindro al

cance el estado plástico es

(/)


Suponiendo nuevamente 6 = 2a, se encuentra Pult = 2TJ7 iogn 2 =

0,693 (2t^).

Conocida la expresión (303) para las fatigas radiales, las fatigas

tangenciales se obtienen mediante la ecuación (d); serán

Gt — 2t.p7 |l -j- logre ~J"

Si b = 2a, esta expresión da

(o*)r-« = 2tn |l + logre = 0,307 (2x^), (<rt)r-b = 2t«.

La distribución de fatigas ar y at a lo largo del espesor de la pared,

para el caso particular b = 2a, está representada en

la figura 247 por las curvas mln y st, respectivamente. Si después de

llevar el material del cilindro al estado plástico hacemos desaparecer

la presión interior, quedan fatigas residuales en la pared del cilindro;

estas fatigas pueden calcularse fácilmente si suponemos que durante la

descarga el material del cilindro sigue la ley de Hooke. En este caso, las

fatigas que desaparecen durante la descarga del cilindro vienen dadas

por las ecuaciones (a), escribiendo p^ en lugar de p. Dichas fatigas,

para el caso particular b = 2 a, vienen dadas en la figura 247 por las

curvas ¿qfj y mkn. Las áreas rayadas representan, por tanto, las fatigas

residuales en la pared del cilindro. Se ve que a causa de la deformación

plástica se producen fatigas tan-

(305)


vencíales considerables en ia pared del cilindro 193. Si ahora hacemos

nuevamente la presión interior igual a pult, las fatigas tangenciales

producidas por esta presión, y dadas por la curva s^, se superpondrán

a las fatigas residuales representadas por las áreas rayadas, y la

distribución de fatigas resultantes corresponderá a la curva st. La

fatiga resultante máxima es 2^, y no se producirá fluencia durante esta

segunda aplicación de la presión interior. Por consiguiente, las fatigas

residuales producidas por la dilatación plástica del cilindro aumentan

la presión que pueden sufrir elásticamente. Este fenómeno se utiliza a

veces en la fabricación de cañones que deben sufrir grandes presiones

interiores 194.

Hemos supuesto, en el estudio realizado, que la presión interna

aplicada es tal que la fluencia alcanza a todo el material del cilindro;

pero el método puede aplicarse sin dificultad a los casos en que

solamente la parte interna del cilindro está en estado de fluencia,

mientras que la parte exterior sufre deformación elástica. Supongamos

que se aplica una presión p', mayor que pFl, pero menor que pult, y sea c

el radio de la capa cilindrica que separa la región plástica de la

elástica. Entre dichas regiones existirá una presión radial que

llamaremos X. El valor de esta presión puede encontrarse estudiando la

parte exterior, elástica, de la pared. La fatiga cortante máxima Tm¿x, en

este trozo, se deduce de la ecuación (ó), escribiendo c en lugar de a, y X

en lugar de p\ será Z6a

TmáX“>_c2-

Como lasuperficie r—c separa la parte

elástica de la plástica, lafatigaTmáx será

exactamente igual axFl.Laecuación

que determina la presión X es, por consiguiente,

Xb2 /J¡\ i? <4)

y se obtiene

193 Se supone que esta fatiga de compresión es menor que la fatiga de

fluencia, y que no acontece fluencia alguna durante la descarga. El caso de que durante la descarga existe fluencia ha sido estudiado por L. B. Turner, ya citado, pág. 392.

194 La descripción de este método puede verse en el libro de L. Jacob, Résistance et Construction des Boliches á Feu Autofretage, París. Véase también S. J. Brown, United States Naval Institute Proceedings, volumen 46, pág. 1941, 1920.


Conocida esta presión, pueden calcularse fácilmente las fatigas en

cualquier punto de la región elástica de la pared mediante ecuaciones

análogas a las {a)195.

Para el cálculo de fatigas en la zona plástica se emplea la ecuación

(g). La constante de integración C se encuentra estableciendo que para

r = c, ar — —X; lo que da

— X = 2tj7 logn c -(- G, C — —X—2Xp¡ logra ('/-

Sustituyendo este valor de C en la ecuación (g), y empleando la

expresión (i), se obtiene

o, = 2-rFI log„ - — —-b ——• (306) c ó2

Haciendo r igual al radio interior a del cilindro se encuentra el

valor p', de la presión que debe emplearse para producir fluencia en la

pared basta la capa de radio r == c. Dicba presión será = + '307)

c o2

Suponiendo, como en ejemplos anteriores, b = 2a y que, además, c —

1,5a, se encuentra mediante la ecuación (307) que V’ = 0,624 '(2r>,).

La distribución de la fatiga tangencial at se obtiene mediante la

ecuación (d), que da f ó2 + c2 Cí = 2tí¡>¿ -j- ar = 2 Tpi

logre - + Tfz—— ------------------------------------------------------ (308) C 0a

Para r —

c, el primer término del segundo miembro es nulo,

y el valor deat es igual al valor de la fatiga tangencial produ

cida por la presión X en la zona elástica adyacente de la pared. Las

ecuaciones (306) y (308) nos dan las fatigas producidas en la zona

interior de la pared cilindrica, cuya deformación es plástica. Para la

zona exterior, elástica, pueden utilizarse ecuaciones análogas a las (a).

De esta forma queda resuelto completamente el problema de

la distribución de fatigas en el caso de un cilindro que experimenta

parcialmente deformación plástica.

Si después de la fluencia parcial de la pared desaparece la pre-

sión p’, quedarán fatigas residuales. La zona interna de la pared,

para la que la deformación fué plástica, no recobra su diámetro

inicial y sufre presión por parte de la zona elástica de la pared. La

distribución de fatigas en este caso es análoga a la que produce el

195 Se escribirá c en lugar de o, y X en vez de p.


zunchado de tubos (véase art. 45). Para calcular estas fatigas se

procede exactamente igual que en el caso expuesto en la figura 247.

Todos los cálculos se basan en la hipótesis de que, pasado el .

punto de fluencia, el material se deforma sin aumento de fatigas. Si

esto no ocurre, no pueden calcularse las fatigas residuales del modo

expuesto y debe recurrirse a determinaciones experimentales. Puede

usarse un método análogo al empleado para determinar fatigas

residuales de flexión. Se separan capas de metal de modo sucesivo,

procediendo del interior al exterior, y se determina después de

quitar cada una la deformación producida en sentido axial y

circunferencial sobre la superficie exterior del cilindro. De tales

medidas pueden deducirse las fatigas residuales.

Las fatigas residuales en cilindros pueden proceder no sólo de

deformaciones plásticas, sino deberse a enfriamientos no uniformes

o a cambios de volumen del metal durante la recristalización en los

tratamientos térmicos. A veces estas fatigas tienen una importancia

primordial, como, por ejemplo, en el forjado de grandes piezas, y se

han desarrollado diversos métodos para determinarlos Á

CAPÍTULO IX

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

72. Ensayos de tracción.—El método más corriente de ensayo de

propiedades mecánicas de metales es el de tracción 196. Se emplean

probetas de sección circular o rectangular, y para hacer comparables

los resultados obtenidos en diversos ensayo^ se han establecido para

las probetas dimensiones standard. Por ejemplo, si la probeta es de

sección circular, sus dimensiones standard son: diámetro, x/a pulgada, y

longitud útil, 2 pulgadas; de modo que

-= 4 ó 1= 4,51 VT. d ~,p

donde A = es el área de la sección de la probeta.

196 Las primeras investigaciones de esta clase fueron hechas por N.

Kalakoutzky, San Petersburgo, 1887. Véase también N. Kalakoutzky, Investigation into the Internal Stressin Cast Iron and Steel, London, 1888. La solución completa del problema ha sido dada por G. Sachs, Zeitschr. f. Melallkunde, vol. 19, pág. 352, 1927, y Zeitschr. Ver. Deutsch. Ing., vol. 71, pág. 1511, 1927. Estas dos publicaciones contienen una bibliografía completa del asunto. Adelantos posteriores en los métodos de determinación de fatigas residuales en tubos se deben a N. N. Dawidenkow, Journal of Technical Physics, vol. 1, San Petersburgo, 1931. Véase también G. Sachs, Trans. of the A. S. M. E., pág. 821, 1939. La bibliografía referente a deformación plástica de metales y fatigas residuales puede verse en Handbuch der Metallphysik, volumen 3, primera parte, por G. Sachs/ Leipzig, 1937.

■PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 399

En la Europa Central se emplean dos tipos distintos de probeta

circular: 1.°, una probeta larga, para la que l = 10 d! = 11,3 V2, y 2.°, una

probeta corta, en la que 1= 5d = 5,65 VA. En el caso de probetas de

sección rectangular se acostumbra a tomar la misma relación entre la

longitud y el área de la sección recta, que en el caso de probetas

circulares 2. La longitud de la parte cilindrica de la probeta es algo

mayor que la longitud útil y, por lo menos, igual a l + d. Las cabezas de

la probeta tienen mayor sección para evitar que la probeta rompa por

las secciones en que la sujetan las tenazas de las máquinas de ensayo,

debido a las irregularidades locales de la distribución

de fatigas. El tipo largo de probetas cilindricas se ve en la figura 248

(a), que también muestra el modo de sujeción de la probeta a fin de

asegurar la aplicación axial de la carga. En la figura 248 (b) se ve una

probeta rectangular de pequeño espesor.

Las máquinas de ensayos a tracción llevan

corrientemente un dispositivo que

automáticamente traza el diagrama que

representa la relación entre la carga P y el

alargamiento 8 de la probeta. De este

diagrama se deducen características muy

importantes del material. En la figura 249,

por ejemplo, se ven una serie de diagramas

para aceros al carbono, con diversos porcen-

tajes de carbono. De ellos se deduce que, a

medida que el porcentaje en carbono

aumenta, la resistencia del acero crece; pero

que, al mismo tiempo, el alargamiento hasta

la rotura disminuye; es decir, el material

pierde duetili- pIG. 249

dad. La resistencia y la ductilidad son ,

las dos características importantes deducidas del ensayo a tracción 197.

197 Una bibliografía completa sobre ensayos a tracción puede verse en los

libros de G. Sachs, Der Zugversuch, Leipzig, 1926,” y Mechanische Technologie der Metalle, Leipzig, 1925. Estos libros dan a conocer procedimientos modernos


Para definir la resistencia de un material se determinan

de investigar las propiedades mecánicas de ios materiales. Véase también la publicación de C. W. Mac Gregor, en el Annual Meeting of Am. Soc. Test. Mat., 1940,

401 RESISTENCIA RE M ATERI ARE S

el límite de proporcionalidad, el punto de fluencia y la carga de rotura

(véase pág. 6, Primera 'parte).

Para fijar el límite de proporcionalidad es necesario utilizar

extensómetros muy sensibles, que puedan descubrir la menor

desviación de la proporcionalidad en el diagrama del ensayo a

tracción. Para dar mayor uniformidad a los resultados se toma

frecuentemente, como base para fijar el límite de proporcionalidad,

una cierta cantidad de deformación permanente o una cierta

desviación de la proporcionalidad. El Congreso internacional para el

ensayo de materiales, celebrado en Bruselas (1906), definió el límite de

proporcionalidad como la fatiga extensora, para la que la deformación

permanente es 0,001 por 100. Modernamente se tiende a aumentar este

valor, limitando la deformación permanente en 0,01 por 100 198.

El punto de fluencia es una característica muy importante para

materiales tales como el acero. Para esta fatiga la probeta

alarga una cantidad considerable (en el caso del acero dulce más del I

por 100), sin aumentar la carga. A

veces la fluencia viene acompañada

de undes censo brusco de la carga, y el

diagrama de tracción tiene unafor- ma

tal como la de la figura 250. i'Tu.

En este caso los

valores de la

carg

a en a y b, límites superior e inferior, divididos por el

área de la sección primitiva de la pieza,

se denominan puntos de fluencia superior e inferior, respectiva

mente. La posición del punto superior de fluencia varía mucho con la

velocidad del ensayo, la forma de la probeta y la forma de su sección

recta a. El punto inferior de fluencia se considera corrientemente como

una verdadera característica del material y puede servir de base para

determinar las fatigas de trabajo x. Debido a la gran deformación del

material en el punto de fluencia no es necesario emplear

extensómetros sensibles para determinarle. Puede determinarse con

los más sencillos instrumentos o deducirse directamente del diagrama

del ensayo. Para el acero al carbono corriente la fatiga en el punto de

198 El primero que señaló la importancia del punto inferior de fluencia fué C.

Bach. Véase F. D. I., vol. 58, pág. 1040, 1904, y F. D. I., vol. 59, pág. 615, 1905.

RESISTENCIA DH MATERIALES.—T. II


fluencia oscila entre el 55 y el 60 por 100 de la de rotura. El acero de

construcción, con el 1 por 100 de Si, tiene una fatiga de fluencia del 70

al 80 por 100 de la de rotura, que suele ser igual a la del acero al

carbono. Este valor elevado de la fatiga de fluencia justifica la práctica

corriente de emplear fatigas de trabajo más altas para esta clase de

acero.


Existen materiales que no tienen un punto de fluencia acentuado;

en estos casos se considera a veces como fatiga de fluencia aquella

para la que la deformación permanente (alargamiento plástico)

alcanza el valor 0,2 por 100. Debe tenerse en cuenta que el punto de

fluencia, definido de esta manera no representa una característica

física definida del material, y que su posición depende de la

deformación permanente arbitrariamente escogida. En el caso de un

acero de construcción con fluencia, ésta es corrientemente mayor que

0,2 por 100, y el prnto de fluencia real coincide con el definido por la

deformación permanente límite de 0,2 por 100.

La fatiga de rotura se define corrientemente como cociente entre la

carga máxima alcanzada antes de romperse la probeta, punto c de la

figura 250, y el área inicial de la sección recta. Esta cantidad sirve

frecuentemente de base para determinar la fatiga de trabajo.

E! área definida por el diagrama del ensayo Oacde (fig. 250)

representa el trabajo necesario para producir la rotura. Esta cantidad

se utiliza a veces como una de las características del material. Depende

no, sólo de la resistencia, sino también de la ductilidad del material.

La ductilidad de un material está caracterizada por el alar-

gamiento de la longitud útil de la probeta durante un ensayo a

26


tracción y por la reducción del área de la sección recta al acontecer la

rotura.

En la primera parte del alargamiento plástico de a a c, en el

diagrama (fig. 250) la probeta alarga uniformemente en toda su

longitud, y este alargamiento uniforme viene acompañado de una

contracción lateral uniforme, de tal modo que el volumen de la probeta

permanece prácticamente constante h En el punto c la fuerza

extensora alcanza un máximo, y los alargamientos posteriores de la

probeta se consiguen con disminución de la carga. En esta zona

la deformación plástica se localiza, comienza a formarse el

cuello y la probeta toma la forma indicada en la figura 251. Es

difícil determinar con exactitud el momento en que comienza a

formarse el cuelloy discriminar el valor de la deformación

uniforme y el de los alargamientos en el cuello. Se acostumbra,

por consiguiente, a medir el alargamiento Fig. 251 total de la

longitud cuando la probeta se rompe. El alargamiento se define

como la relación entre este alargamiento total de la longitud útil y su

valor inicial. En la práctica se da en tanto por ciento. Si l es la longitud

útil primitiva y 8 el alargamiento total, el alargamiento en la rotura

será

£ = - - 1 0 0 . (a) l

Este alargamiento se toma corrientemente como medida de la

ductilidad de un material. El alargamiento así obtenido depende de las

dimensiones de la probeta. El incremento de la longitud útil, debido al

cuello, es una gran parte del incremento total-y es prácticamente el

mismo para probetas cortas y largas. Con acero, el alargamiento

obtenido para probetas de l — 5d es corrientemente 1,22 mayor que el

obtenido para probetas del mismo material y 2 = lOd. También se ve

experimentalmente que la deformación local en el cuello depende en

alto grado de la forma de la sección recta; por tanto, dicha forma afecta

al alargamiento de la probeta. Esto indica que solamente pueden


obtenerse resultados comparables, respecto al alargamiento, em-

pleando probetas geométricamente semejantes.

La contracción en área de la sección de rotura se expresa

corrientemente en tanto por ciento del área de la sección recta

primitiva; será

q = AfCZ.4l . 100, (b)

donde A0 es el área de la sección recta primitiva, y A x el área final

de la sección de rotura.

Suponiendo que la deformación longitudinal se distribuye

uniformemente sobre la sección de rotura, y que el volumen del

material es constante, puede determinarse el alargamiento unitario

e en esta sección mediante la ecuación

Ax (1 + Sj) — Án,

de donde

An .

A, o, mediante la ecuación (b),

Si = 100 — q

Esta cantidad se denomina a veces 199 alargamiento efectivo. Cf'l

que el alargamiento s

tabla de las páginas 494-495 se dan algunos

resultados de ensayos estáticos para varios aceros.

Para definir la fatiga de fluencia y la de rotura se usa

corrientemente el área primitiva de la sección de la

probeta. La curva Oabcd de las figuras 250 y 252 se

ha obtenido de este modo. Esta curva representa las

fatigas verdaderas únicamente mientras la

deformación es pequeña. Para

199 La pequeña deformación elástica, durante la que el volumen cambia,

puede despreciarse frente a la comparativamente grande deformación plástica.

(C)

Es corrientemente mucho mayor

y. En la v

FIG. 252


deformaciones mayores debe tenerse en cuenta la reducción del área

de la sección para encontrar la fatiga verdadera. La curva bc'd' de la

figura 252 se obtiene multiplicando las ordenará das de la curva Oabcd por la relación -A, entre el área inicial

y el área A, que en cada momento del ensayo tiene la sección recta de

la probeta. De esta curva se deduce que, aunque la carga disminuye

desde el punto c, la fatiga verdadera continúa aumentando y alcanza

su valor máximo en el momento de la rotura.

La relación entre a y e, representada por la curva bc'd', es el verdadero

diagrama del ensayo a tracción y tiene un signifi

cado físico definido mientra» que la pieza «e deforma uniformemente.

Después de la formación del cuello el alargamiento no se distribuye

uniformemente a lo largo de la probeta, y la canti- 8 dad s — j carece de significado físico sencillo. Para estudiar

v

esta parte del diagrama de tracción se ha visto la gran utilidad de

trazar curvas cuyas coordenadas son la fatiga verdadera y i©

contracción en área q —ecuación (b)200 —. En la figura 253

puede verse una curva de esta clase correspondiente a un acero

dulce (0,05 por 100 de carbono) L Elpunto A de esta curva

corresponde a la iniciación del cuello a, y el trozo AB representa

200 Véase la publicación de F. Kórber y W. Rohland, Mitteilungen K. W.

Institute, vol. 5. pág. 37, 1924.


todo el proceso. Se ve que la fatiga verdadera crece hasta el

momento de la rotura. Más adelante se verán algunas aplicaciones

de esta clase de curvas 3.

73. Ensayo de compresión.—-

La prueba de compresión se utiliza principalmente para ensayar

materiales quebradizos, tales como piedras, hormigón y fundición.

Para piedras y hormigón se utilizan corrientemente probetas .. .

.. —

cúbicas. Al comprimirlas entre las

superficies planas de la máquina de 1

ensayos se supone corrientemente

que la fuerza compresora se distri-

buye uniformemente sobre la sec- J

ción. La distribución real de fatigas ",i

es mucho más complicada, aunque

las superficies estén en contacto -

perfecto. Debido al rozamiento " ^ JT "

entre las superficies de contacto de Fia .25i

la probeta y la cabeza compresora

de ia máquina, la expansión lateral que acompaña a la compresión

está impedida en estas superficies, y el material de esta región en

situación más favorable. Consecuencia de ello es que el tipo de

rotura que acontece al ensayar a compresión probetas cúbicas de

hormigón es el que se ve en el fotograbado de la figura 254. El

material en contacto con la máquina resiste mientras que salta el de

las caras laterales. Para obtener la verdadera resistencia a

compresión de un material tal como hormigón, debe eliminarse o

reducirse al mínimo la influencia del rozamiento entre las

superficies de contacto. A este efecto, se recubren di-


chas superficies con parafina 201. De esta forma se reduce mucho

la carga de rotura y el modo de fallar la probeta es completa-

mente diferente; una probeta cúbica se rompe gubdividiéndose en

láminas paralelas a una de las caras laterales. Otro método de eliminar el efecto de las fuerzas de rezamien-

to consiste en el empleo de probetas prismáticas cuya altura en la

dirección de la compresión es varias veces mayor que las dimensiones

laterales. La parte central del prisma está solicitada,

aproximadamente, a compresión uniforme 202. Un método interesante

de producir compresión uniforme en probetas cilindri

201 Véase la publicación de P. Ludwik, Bruchgefahr und Material■

prüfungsanstalt, Zurich, 1928. 202 Puede verse que, en diagramas tales como el OAB, la tangente AC, en

el punto A, representativo de la iniciación del cuello, corta a la ordenada q = 100 por 100 a una altura 2 oA.


cas, usado por el Kaiser Wilhelm Instituto203, se

indica en la fígu • ra 255. Las partes de la máquina

de ensayo en contacto con la probeta cilindrica y los extremos de dicha

probeta son superficies cónicas de ángulo a igual al de rozamiento. La

influencia

del rozamiento se compensa con el efecto de cuña y

resulta una compresión uniforme. Los ensayos de compresión con ma-

teriales tales como hormigón, piedra y fundición muestran que

estos materiales tienen un límite de proporcionalidad muy bajo í. Pasado

el límite de proporcionalidad, la deformación aumenta

más rápidamente y el diagrama tiene la forma que indica la figura 256. A

veces conviene dar al diagrama una expresión ana

203 En la publicación de C. W. Mac Gregor, The Annual Meeting A. S. T. M.,

1940, puede verse una bibliografía completa referente al estudio de diagramas de ensayos a tracción,.

cr

O' FIG. 256

FIG. 255

PROPIEDADES MECÁNICAS DE DOS M ATERI ADES 410

lítica. Para estos casos, C. Bach propuso 204 ia ley exponencial dada por la

ecuación

donde n es un número que depende de las propiedades del material.

Bach encontró los valores n = 1,09 para el cemento puro y n ~ 1,13 para el

granito.

Los ensayos a compresión con materiales dúctiles muestran que ia forma

del diagrama depende en alto grado de las dimen

siones de la probeta. A medida que disminuye la dimensión en sentido de

la compresión, el efecto del rozamiento en las cabezas es más y más

importante y el diagrama se endereza. La figura 257 muestra los

resultados de ensayos a compresión 205 con cilindros de cobre para

diversas relaciones ^ del diámetro a la

altura de la probeta. En los ensayos a compresión de materiales

dúctiles,momo, por ejemplo, cobre, rara vez se produce rotura.

La compresión viene acompañada de una expansión lateral y el cilindro

comprimido toma, por último, ia forma de un disco.

74. Endurecimiento por deformación.—Bien conocido es el fenómeno de

que la deformación plástica hace más resistentes a los materiales

dúctiles, tales como acero dulce, cobre y aluminio. Su resistencia

204 Véase C. Bach, ElaMicitat u. FestigJceit, 5.a edición, pág. 67, Berlín, 1905. 205 Véase G. Sachs, Grundbegriffe der Mechanischen Technologie der Metalle,

pág. 36, Leipzig, 1925, í Véase Ewing, Strenght of Materials, pág. 35, 1914.


aumenta y al mismo tiempo disminuye su ductilidad; es decir, el

alargamiento en un ensayo a tracción. Este endurecimiento, efecto de la

deformación plástica, se acusa

también en una elevación del punto de fluencia cuando el material

dúctil se ha deformado más allá del valor inicial de dicho punto. En la

figura 258 se ve el diagrama de un ensayo a tracción con acero dulce206.

Después de deformar la barra hasta el punto G, se descargó. Durante

esta descarga, el material siguió aproximadamente una ley lineal, línea

CD del diagrama. Al cargar de nuevo la barra, se obtiene la línea DF a lo

largo de la que el material siguió, aproximadamente, la ley de Hooke. En

el punto F, correspondiente al G de la carga anterior, la curva cambia

bruscamente de carácter y sigue el trozo FG, que puede considerarse

una prolongación de la curva BG. Este ie-

206 Westinghouse Elec. Mfg. Co. Research Laboratory. » I. Muir, Phil. Trans. Roy. Soc., 1899.


nómeno es la elevación del punto de fluencia producido por deformación

del material. Si se deja transcurrir un intervalo de tiempo (varios días,

por ejemplo) entre la descarga y la nueva carga, puede obtenerse un

punto de fluencia más elevado todavía, indicado por la línea de trazos en

F'. La figura 259 muestra los resultados de ensayos a tracción con

fundición de aluminio L El límite de proporcionalidad inicial del

material fué 392 kilogramos/cm.2. Después de deformar la probeta basta

un 2 por 100, el límite de proporcionalidad al recargar se elevó a 1.400

kg./cm.2.

Investigaciones más completas han

mostrado que el tiempo transcurrido

entre la descarga y nueva carga tiene

gran influencia sobre la forma del

diagrama en la recarga. Si la recarga

sigue inmediatamente a la descarga, se

ha podido ver con determinaciones muy

cuidadosas que desde fati- 0 gas muy

bajas acontecen desvia- Fig. 260

ciones de la ley lineal y que el límite de

proporcionalidad ha descendido en alto

grado. Pero si se deja transcurrir un intervalo de tiempo considerable

entre descarga y recarga, el material recobra por completo sus propieda-

des elásticas. La figura 260 muestra las curvas obtenidas por Ewing para

un acero dulce. Si la carga se hace diez minutos después de ia descarga,

el material no sigue la ley de Hooke; realizada al cabo de cinco días, el

material había recobrado parcialmente su elasticidad, y al cabo de

veintiún días la recuperación fué completa.

Experimentalmente, se ve que si el material se somete a un

tratamiento térmico suave, por ejemplo, un baño a 100° C„ recobra sus

propiedades elásticas en mucho menos tiempo. En la figura 261 se ven

los resultados encontrados por I. Muir 2 con una barra de acero. El

ensayo inicial a tracción está representado por la curva A. La curva B

representa la recarga de la


misma barra diez minutos después de descargarla. Puede apreciarse una

desviación considerable de La ley de Hooke. La curva G es el diagrama

obtenido con la misma barra después de una segunda descarga y de un

tratamiento térmico a 100° C. durante cuatro minutos. Puede verse que

después de este tratamiento el material ha recobrado por completo sus

propiedades elásticas.

El fenómeno de endurecimiento por deformación plástica se

presenta en muchos procesos tecnológicos, tales como laminado

de barras o estirado de tubos y alambres a baja temperatura, cortado de

planchas con tijeras y punzonado de agujeros. En todos estos casos, la

parte del material que experimenta deformación plástica se endurece y

su ductilidad se reduce en alto grado207. Para eliminar este efecto

perjudicial, se acostumbra a dar al material un recocido, con lo que se

restablece su ductibilidad inicial208.

A veces, el endurecimiento por deformación de materiales dúctiles

tiene aplicaciones en fabricación.

Es corriente someter a una deformación plástica a las cadenas y

cables de las máquinas de elevación, a fin de eliminar deformaciones

perjudiciales en servicio.

Los cilindros de las prensas hidráulicas se someten a veces a una

presión interior inicial tal que produzca deformación permanente en las

paredes. El endurecimiento por deformación y las fatigas residuales

producidas evitan deformaciones permanentes en servicio. La

deformación plástica del material se emplea también a veces en la

207 Un estudio general sobre las propiedades de los metales trabajados en frío

puede verse en la publicación de Z. Jeffries y R. S. Archer, Chemical and Metallurgical Eng., vol. 27, pág. 747, 1922. Véase también G. Masing y M. Pobanyi, Kaltreckung und Verfestigung, Sprin* ger, Berlín, 1923.

208 Véase la publicación de Bees, Iron and Steel Inst. Journal, 1923.


fabricación de cañones (véase página 248). Deformado el metal en la

pared de un cañón más allá del punto de fluencia inicial, y después

sometiéndole a un tratamiento térmico suave, se mejoran las

propiedades elásticas del material; al mismo tiempo, las fatigas iniciales

producidas, combinadas con las que produce la explosión, dan una

distribución de fatigas más favorable. Los discos de turbinas y los

rotores, en general, se someten a veces a un proceso análogo. Hacién-

dolos girar por encima de la velocidad de régimen, se obtiene una

deformación plástica alrededor del agujero central que además de elevar

el punto de fluencia del material en esa zona produce fatigas iniciales de

sentido conveniente x.

Los ventiladores de aluminio fundido se someten a veces a este

proceso para prevenir que en servicio puedan desprenderse de su eje. Al

montar las ruedas de las locomotoras sobre sus ejes, se procura producir

a veces una importante deformación plástica en sus cubos, lo que, según

se ha visto, produce efectos favorables.

Las delgas de los conmutadores en maquinaria eléctrica se hacen de

cobre trabajado en frío por estiramiento, a fin de darle la resistencia

requerida.

Al utilizar la deformación plástica en esta forma, a fin de elevar el

punto de fluencia y mejorar las propiedades elásticas de una estructura,

es necesario tener en cuenta: 1.° Que el endurecimiento desaparece al

someterla a temperaturas de recocido, y 2.° Que la deformación del

metal en una cierta dirección le robustece para tracciones en dicha

dirección, pues no mejora proporcionalmente las propiedades mecánicas

para compresio-

nes en la dirección citada209. Este fenómeno se ve claramente en la

figura 262, que representa diversos ensayos con cobre electrolítico

210. La curva (a) muestra las propiedades del cobre normalizado por

un recocido. El límite de proporcionalidad y el punto de fluencia 211

en este estado son muy bajos. Este material no puede emplearse en

estructuras sometidas a la acción de fati

209 Véase la publicación de W. Müller, Forschungsarbeiten, número 211, 1918.

Véase también G. Sachs, ya citado, pág. 400. a Westinghouse Elec. Mfg. Co. Research Laboratory. 211 El punto de fluencia se define como el punto en que el alargamiento o

acortamiento unitario es el 0,2 por 100.


gas apreciables. La curva (b) representa los ensayos a tracción y

compresión del mismo material después de dar a la barra un

alargamiento del 15 por 100. El límite de proporcionalidad y el

punto de fluencia se han elevado, considerablemente y en especial

a tracción. Las curvas (e) y (d) corresponden a ensayos después de

un alargamiento del 20 y del 25 por 100, respectivamente. Se ve que

las propiedades mecánicas mejoran todavía

especialmente en tracción. Al mismo tiempo, el límite de pro-

porcionalidad a compresión desciende algo. La curva (e) representa

ensayos a tracción y compresión con una barra estirada a través de una

hilera con una reducción de un 15 por 100 en el área de la sección.

En este proceso de estirado el material está sometido, no sólo a

tracción longitudinal, sino a compresión lateral. A este hecho debe

atribuirse la diferencia entre las curvas (b) y (e). Aunque en ambos casos

la barra sufre la misma reducción en área, el material pasado por la

hilera tiene mejores propiedades mecánicas a compresión que el

sometido a estiramiento en una máquina de ensayos. -

El hecho de que un metal estirado en cierta dirección no mejora las

propiedades mecánicas a compresión en la misma proporción que lo

hace a tracción, debe tenerse en cuenta en los casos en que el material

está sometido a fatiga alterna (véase artículo 78).

Debe también tenerse en cuenta que, aunque el endurecimiento por

deformación eleva el punto de fluencia de un material, no afecta en el


mismo grado a la carga de rotura, que seguramente es invariable. Al

mismo tiempo, el alargamiento y el coeficiente de reducción en área en

el momento de la rotura se reducen considerablemente, debido al

endurecimiento por deformación. Las curvas que representan la fatiga

verdadera en función de la contracción en área q (pág. 404) son muy

útiles para estudiar el efecto del endurecimiento por deformación. En la

figura 263 pueden verse varias curvas de este género obtenidas con

cobre estirado L La línea inferior representa el ensayo a tracción del

alambre de cobre en su estado inicial. Las otras curvas representan

ensayos a tracción del mismo alambre después de diversos grados de

estirado. La cantidad de trabajo en frío se indica por la reducción del

diámetro, cuyo valor para cada caso se da en milímetros. Los puntos A

señalan la iniciación del cuello y los puntos B el momento de la rotura.

Entre A y B, los diagramas son líneas rectas que se cortan prolongadas

en el punto común G. Estas curvas indican que el trabajo en frío no

afecta a la fatiga verdadera de rotura y solamente afecta de modo ligero

a la fatiga verdadera de iniciación del cuello. Por el contrario, afecta

considerablemente al alargamiento y contracción en área del material.

Como final de este estudio, debe notarse el que existen fundamentos

1 para afirmar que cuando un material ha experimen

tado fluencia en algún punto es en esta zona mucho más sensible a las

acciones químicas y tiene tendencia a corroerse a lo largo de las

superficies de deslizamiento. Este fenómeno tiene particular

importancia en el caso de calderas u otros depósitos sometidos

conjuntamente a fatigas y acción química.

75. Endurecimiento por deformación y fatigas residuales.— Para estudiar

las causas del endurecimiento por deformación de los metales, es


necesario considerar su estructura cristalina. Una probeta metálica es

un conglomerado dé cristales de tamaño tan pequeño que un centímetro

cúbico contiene millones de ellos. Para examinar la deformación plástica

de tales materiales cristalinos es muy útil investigar las propiedades

mecánicas de un cristal simple. En los últimos años se han desarrollado

métodos de preparación de grandes cristales simples a fin de hacer

posible el ensayo a tracción de probetas de gran tamaño formadas por

un cristal único 212. Los ensayos a tracción con probetas tales muestran

que las propiedades mecánicas de los cristales dependen en alto grado

de la dirección de la tensión con respecto a las direcciones de los ejes del

cristal. En el caso del cobre, por ejemplo, la relación entre la resistencia

máxima a tracción y su valor mínimo es 3 : 1 213. La deformación plástica

de estas pro-

betas consiste en un deslizamiento en cierta dirección a lo largo de

ciertos planos cristalográficos, tal como indica esquemática* mente la

figura 264 8. El comienzo del deslizamiento depende del valor de la fatiga

cortante a lo largo de dichos planos y en la dirección del deslizamiento y

es independiente de la fatiga normal que actúa sobre el mismo plano. A

medida que continúa el alargamiento de la probeta, aumenta el número

de planos a lo largo de los que acontece el deslizamiento y

paralelamente la fatiga cortante que obra sobre dichos planos. Este

aumento de fatiga necesario para que continúe la deformación de la

probeta representa el endurecimiento por deformación de un cristal

212 El desarrollo de métodos para producir grandes cristales se debe a los

trabajos de H. C. Carpenter y C. F. Elam, Proc, Roy. Soc., vol. 100 A, pág. 329, 1921; P. W. Bridgman, Proc. Ámer. Acad. Se., vol. 60, pág. 306, 1925; C. A. Edwards y Pfeil, Jour. Iron and Steel Inst., vol. 109, pág. 129, 1924. Los primeros grandes cristales de cobre se obtuvieron por J. Czochralski, F. D. I., pág. 536, 1923.

213 Véase J. Czochralski, Moderne Metallkunde, pág. 206, Ber

Fm. 264


simple. Debido al tipo de deslizamiento que indica la figura 264 (6), un

cristal simple de material dúctil y sección circular se deforma afectando

su sección forma elíptica, y cuando se rompe, lo hace tomando la sección

de rotura forma de cuña, en lugar de forma cónica. En el caso de

cristales simples de materiales quebradizos, tales como sal gema, la

deformación debida a la acción del deslizamiento anteriormente

descrita es muy pequeña y la rotura acontece como resultado de

sobrepasar la cohesión sobre un plano de cierta dirección

cristalográfica; es decir, cuando la fatiga normal extensora ligada a este

plano alcanza un cierto límite crítico.

Los materiales cristalinos, tales como los metales empleados en la

industria, son conglomerados de cristales muy pequeños, que solamente

pueden verse con microscopios especiales sobre una superficie

finamente pulimentada y atacada de modo especial. En una probeta

corriente estos cristales están colocados al azar y las características

dadas por un ensayo a tracción representan las propiedades mecánicas

medias en diversas direcciones de un cristal simple 214. Debido al

pequeño tamaño y gran número de los cristales, estos valores son

corrientemente independientes de la dirección en que la probeta se

corte de un bloque de material2, y dicho material puede considerarse

como isótropo en el cálculo de fatigas y deformaciones de estructuras.

Observando microscópicamente la deformación de los cris-

214 El material intercristalino no se tiene en cuenta en este estudio.

Experimentalmente se ha visto que los planos de deslizamiento y. rotura acontecen siempre a través de los cristales y no entre ellos.

a El trabajo en frío puede producir, en cierto modo, modificación en la orientación de los cristales según una dirección. Las propiedades mecánicas a tracción de una probeta dependerán de la orientación de la probeta respecto a la dirección del trabajo en frío. La bibliografía sobre este asunto puede verse en la publicación de G. Sachs, O. Bauer y E. Goler, Zeitschrif f. Metallkunde, vol. 20, pág. 202, 1928. Véase también la publicación de W, Kósfer, Bericht nr. 23, d. Eidg. Mate- rial'prüfungsanstalt, Zurich, 1927.


tales individuales que forman una probeta durante un ensayo a tracción,

se ve que la deformación de estos cristales en el conjunto es de la misma

naturaleza que en el caso de ensayar ún cristal simple. En cada cristal

simple, el deslizamiento es del tipo indicado en la figura 264 y comienza

cuando la fatiga extensora en la probeta alcanza un cierto valor que

depende de la orientación de este cristal respecto a la dirección de la

tracción. Sobre la superficie pulimentada, este deslizamiento se conoce

por líneas microscópicas denominadas bandas de deslizamiento. Este

deslizamiento termina en el contorno del cristal; en los cristales vecinos,

los planos de deslizamiento pueden tener otra dirección y comenzar el

deslizamiento cuando la fatiga en la probeta alcanza un valor diferente.

Se atribuye generalmente a estos deslizamientos en los cristales

colocados desfavorablemente respecto a la fatiga extensora en la

probeta las pequeñas desviaciones respecto a la ley de Hooke y las

pequeñas deformaciones permanentes que acontecen para fatigas

extensoras bajas en materiales que en general siguen la ley de Hooke.

Cuando el material tiene un acusado punto de fluencia y la fatiga exten-

sora en la probeta alcanza dicho punto, se presenta una amplia

deformación. Esta deformación consiste en el deslizamiento de grandes

zonas de la probeta a lo largo de planos inclinados a 45° con su eje; es

decir, a lo largo de los planos, para lo que la fatiga cortante es máxima.

Estos planos de deslizamiento se manifiestan en primer lugar en los

puntos de concentración de fatiga; por ejemplo, cerca de los acuerdos, en

las cabezas de la probeta, y se extienden gradualmente a lo largo de su

longitud 215. Si se pule con cuidado la superficie de una probeta, los

planos de deslizamiento se marcan en la superficie mediante líneas fácil-

mente reconocibles (véase fig. 214). Estas líneas fueron observadas

primeramente por Lueder, y se denominan líneas de Lueder 2. Debido a

la deformación indicada, los cristales individuales experimentan

endurecimiento por deformación, y si la probeta se descarga y carga de

nuevo, se verá que el punto de fluencia se ha elevado. .

215 Se supone que el material tiene un pronunciado punto de fluen- c'a, y que

durante la fluencia puede acontecer una gran deformación sin aumento de fatiga.

27


Existe otro hecho de importancia. Como algunos cristales simples

pueden sufrir una deformación permanente durante un ensayo a

tracción, mientras que los cristales próximos, más favorablemente

orientados, solamente deforman elásticamente, se deduce que al

descargar podrán quedar en la probeta algunas fatigas residuales en los

cristales simples. Los cristales cuya deformación fué permanente no

recobran por completo su forma primitiva y, como resultado de ello,

ejercen efecto de cuña sobre los cristales próximos. La posibilidad de

fatigas de este tipo

puede verse mediante el sistema de tres barras de la figura 265.

Supondremos que las tres barras son de igual sección recta y del mismo

material. Se ve que por la acción de la carga P la fatiga en la barra

central es mayor que en las barras inclinadas (véase pág. 18, primera

parte)", es decir, igual que los cristales anteriormente mencionados, este

elemento del sistema está peor orientado que los otros. Si la carga se

aumenta gradualmente, esta barra será la primera en alcanzar el punto

de fluencia. La línea recta OA —fig. 265 (ó)—representa el diagrama de

deformación carga para este sistema, mientras las deformaciones son

elásticas. En A, la barra vertical comienza a fluir, y cuando la carga

aumenta será contrarrestada únicamente por las barras inclinadas x.

Por consiguiente, pasado A, los aumentos de carga producen mayores

incrementos de flecha que cuando estaban las tres barras en

condiciones elásticas y el diagrama seguirá una línea tal como la AB. Si,

una vez alcanzado B, se descarga gradualmente el sistema, la

deformación, debido al comportamiento elástico de las tres barras, sigue

la ley lineal representada por la línea recta BG, paralela a la O A.

Cuando la carga desaparece por completo, permanece la flecha OG y,

por consiguiente, existen fatigas de extensión en las barras inclinadas y

de compresión en la barra vertical después de la descarga. Estas fatigas

residuales se deben a la deformación plástica de la barra central. Si se

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FIG. 265

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vuelve a cargar el sistema, el diagrama deformación carga seguirá la

línea CB y el punto de fluencia del sistema se habrá elevado hasta el

punto B correspondiente a la carga inicial. Si, después de la descarga, se

carga el sistema con una fuerza vertical dirigida hacia arriba, las fatigas

de compresión que se producen en las barras se superpondrán a las

fatigas residuales. Como la barra vertical tiene de antemano una com-

presión inicial, una fuerza en D —fig. 265 (ó)—menor que la

correspondiente al punto A bastará para ocasionar la fluencia de la

barra central, suponiendo que el punto de fluencia del material a

compresión sea el mismo que a tracción. Se deduce, por tanto, que una

carga previa eleva el punto de fluencia del material en la dirección de la

carga, pero al mismo tiempo le hace descender para una dirección

opuesta. Este estudio explica por qué una barra endurecida por

deformación tiene un punto de fluencia más alto a tracción que a

compresión (véase pág. 412).

Las fatigas residuales producidas por alargamiento uniforme de un

material cristalino tienen un carácter muy localizado. Se presentan en

regiones microscópicas alrededor de los cristales que han

experimentado deformación plástica y para fatigas medias en la probeta

relativamente bajas. En los procesos de estirado y laminado se producen

a veces fatigas residuales de carácter menos local. Al estirar, por

ejemplo, una barra a través de una hilera, se deforma en mayor grado el

metal de la zona exterior que el de la central. Las barras estiradas

tienen, por consiguiente, importantes fatigas residuales de extensión en

la superficie y de compresión en el centro. En una lámina de cobre de

sección rectangular estrecha la distribución de estas fatigas a cierta

distancia de los extremos es, aproximadamente, la que indica la figura

266 (a). Si la lámina se corta a lo largo, flexará en la forma que indica la

figura 266 (6).

Midiendo esta flexión, se ha visto que la fatiga residual máxima

producida por el estirado de barras de cobre es del orden del punto de

fluencia del material h Estas fatigas tienen gran importancia práctica.

Originan un alabeamiento perjudicial al

tornear.216, y a ellas deben atribuirse las fisuras que se presentan en

8 La primera investigación sistemática de estas fatigas fué realizada por

Heun. Véanse Zeitschr. f. Metallographie, vol. 1, 1910; Stahl und Eisen, vol. 31, pág. 760, 1911; Mitteilungen MateHálprüf. Ámt., vol. 35, pág. 1, 1917; Naturwiss.,


aleaciones de cobre trabajadas en frío y sin normalizar posteriormente

217.

76. Tipos de rotura218.—En el artículo anterior se han examinado dos

tipos de rotura para probetas constituidas por un cristal simple. Si el

cristal es de un material dúctil, antes de la rotura se presenta una

deformación plástica consistente en un deslizamiento a lo largo de

ciertos planos y la sección transversal del cristal se reduce

considerablemente. En este caso, la resistencia del cristal depende

principalmente de la resistencia al deslizamiento. En el caso de un

cristal de material quebradizo, la rotura acontece sin reducción

apreciable de la sección y se debe a haberse sobrepasado las fuerzas de

cohesión en un cierto plano cristalográfico. En este caso, la resistencia

depende prin- eipalmente de la resistencia a la separación. Estos dos

tipos de rotura (rotura por deslizamiento y rotura por separación) se

presentan también en los materiales cristalinos formados como

agregado de pequeños cristales. En los casos de materiales tales como

fundición, la fractura acontece sin deformación plástica apreciable y en

una sección perpendicular a la dirección de la tensión. Esta rotura es del

tipo de «por separación». Si la probeta es de un material dúctil, tal como

acero dulce, la deformación plástica es importante y se presenta la

reducción del área de la sección transversal, debida al deslizamiento a lo

largo de planos inclinados a 45° con el eje de la probeta, antes de que

acontezca la rotura. Esta rotura es del tipo «por deslizamiento». Del

estudio de estas dos clases de rotura ha surgido la teoría 219 de que la

resistencia de un material depende de dos características: la resistencia

del material a la separación y la resistencia al deslizamiento. Si la

resistencia al deslizamiento es mayor que la resistencia a la separación,

tenemos un material quebradizo, y la rotura acontece sin deformación

apreciable, al sobrepasarse las fuerzas de cohesión. Si la resistencia a la

separación es mayor que la resistencia al deslizamiento, tenemos un

material dúctil. Primeramente se presenta el deslizamiento a lo largo de

planos inclinados y la rotura acontece después de una reducción

considerable en el área de la sección, cuando, debido al endurecimiento

por deformación y a la reducción en área indicada, la resistencia al

deslizamiento puede ser mayor que la resistencia a la separación.

La relación entre la resistencia a la separación y la resistencia al

vol. 9, pág. 321, 1921.

8 Véase The Failure of Metals under Internal and Prolonged Stress, publicada por Faraday Soc., London, 1921. Véase también G. Masing, Zeitschr. /. Metallkunde, pág. 257, 1924.

218 Una bibliografía completa sobre este tema puede verse en la publicación de P. Ludwik, Bruchgefahr und Materialprüfung, Diskus- sionsbericht nr. 35, der Eidg. Materialprüjungsanstalt, Zurich, 1928. Véase también P. Ludwik, Forschungsarbeiten, núm. 295, Berlín, 1927.

219 Véase P. Ludwik, ya citado, pág. 420.


deslizamiento no permanece constante para el mismo material. Depende

en alto grado de la velocidad de deformación y de la temperatura a que

se efectúa el ensayo. La resistencia al deslizamiento crece a medida que

aumenta la velocidad de deformación y desciende la temperatura. La

resistencia a la separación no varía en el mismo grado por estas causas.

Esto explica el por qué una barra de cinc puede flexar como material

dúctil si la carga se aplica muy lentamente, mientras que la misma barra

rompe sin deformación plástica si la carga se aplica con

r


gran rapidez1. Otro ejemplo es el asfalto. Puede fluir por su propio peso,

al cabo del tiempo; pero se comporta como quebradizo para fuerzas

rápidamente aplicadas. En ambos casos, la resistencia al deslizamiento

era menor que la resistencia a la separación para deformaciones lentas y

los materiales se comportaban como dúctiles. Para altas velocidades de

deformación, la relación entre las resistencias de los dos tipos se invierte

y ambos materiales se comportan como quebradizos.

El tipo de rotura depende también del modo de cargar la pieza. Si el

tipo de carga impide la rotura por separación, puede obtenerse una

deformación plástica considerable en cuerpos considerados

corrientemente quebradizos. Esto explica la deformación plástica de

rocas sometidas a grandes presiones por todas sus caras 2. Del mismo

modo, un material dúctil puede romper en la forma que lo hacen los

quebradizos, si las condiciones son tales que el deslizamiento está

impedido. Este último caso tiene gran importancia práctica y vale la

pena examinar más detalladamente las condiciones en las que puede

presentarse esta fractura quebradiza. La experiencia muestra que estas

fracturas se deben a veces a las fatigas residuales por el trabajo en frío o

a las fatigas térmicas, y se atribuyen a una de las dos causas siguientes:

1.a A un estado elástico triple, y 2.a A un deslizamiento impedido.

La ductilidad de los materiales se determina corrientemente por un

ensayo a extensión simple.

En este ensayo es constante la relación entre la fatiga extensora

máxima y la cortante máxima e igual a dos. En estas condiciones se

sobrepasa primeramente la resistencia al deslizamiento y se produce la

rotura del tipo «por deslizamiento». Supongamos ahora un estado

elástico triple tal como el representado en la figura 51 de la Primera

parte por los círculos de

Mohr. La fatiga cortante máxima es en este caso —■ ■——, y si

c2 es igual, aproximadamente, a ax, la fatiga extensora máxima puede ser

muchas veces mayor que la fatiga cortante máxima.


Puede, por tanto, acontecer la rotura por sobrepasarse las fuerzas de

cohesión en el plano sobre el que actúa la fatiga extensora máxima, sin

que se presente deslizamiento alguno. Esta rotura no está acompañada

de deformación plástica apreciable y pertenece al tipo de rotura

quebradiza, aunque el material se haya

comportado como muy dúctil en el ensayo

a extensión simple. La figura 26 7

representa el comienzo de la rotura en el

cuello de una probeta formada por un

material dúctil y sometido a extensión

simple 220. En la parte central de la

sección del cuello el estado elástico es

triple. Debido a la fluencia los elementos

de esa zona experimentan, aparte de

la tensión axial, otras de dirección radial.

Esto origina roturas de tipo quebradizo

en el centro de la sección, tal como indica la figura. Al mismo tiempo

continúa la fluencia por deslizamiento del material próximo a la

superficie, y, finalmente, se presenta la rotura por deslizamiento

en toda la parte externa de la sección. La influencia de la forma

de la probeta sobre el tipo de rotura se ve fácilmente ensayando a

tracción probetas con cuellos tales como la de la figura 268. Debido a la

presencia de las partes de mayor diámetro D, está impedido el

deslizamiento a lo largo de planos a 45° en el estrechamiento y, por

tanto, limitada la reducción en área de la sección del cuello durante el

ensayo a tracción. Esta acción aumenta, como es natural, a

medida que disminuye la longitud 8 del cuello. En la tabla si-

guiente se dan los resultados de ensayos de este tipo para

dos materiales diferentes a: 1.° Acero al carbono con un limite de

proporcionalidad de 4.400 kg./cm.2; punto de fluencia, 5.100 ki-

logramos/em.2; fatiga de rotura, 8.000 kg./cm.2; alargamiento, 26 l/2 por

100, y contracción en área, 55 por 100. 2.° Acero al níquel cromo con un

límite de proporcionalidad de 6.000 kg./cm.2; punto de fluencia, 6.500

kg./cm.2; fatiga de rotura, 8.500 kg./cm.2; alargamiento, 27 por 100, y

contracción en área, 69 por 100. Estos datos corresponden a ensayos

ordinarios de tracción con probetas cilindricas de x/2 pulgada de diáme-

tro y 2 pulgadas de longitud útil; las fatigas están referidas aJ área de la

sección primitiva. Las probetas del tipo de la figu-

220 En este ensayo el material fué aluminio; véase P. Ludwik, V. D. vol. 71,

1927.

FIG. 267

-W ci

\P Fig.

268


1 , , ' ~ , 1 , , . 1 , g pulga-

La tabla muestra que én todos los casos la carga de rotura fué mayor

para las probetas con cuellos que para las probetas cilindricas. En las

probetas con estrechamientos la contracción en área es pequeña y la

fractura es del tipo correspondiente a materiales quebradizos. La fatiga

verdadera de rotura fué mayor en las probetas cilindricas que en las que

tenían cuellos, debido a que la rotura de las probetas cilindricas

acontece después de una gran deformación plástica; por ello nace

endurecimiento por

- pulgada, L = 1 - pulgada y a ra 268 tienen d = da, pulgada,

^ pulgada

TABLA XXV

FATIGA DE ROTURA PARA PROBETAS CILÍNDRIOAS CON OTTETXOS

Fatiga de rotura

Fatiga de rotura

8 o

8

Área inicial Área re-ducida

0 a 0 U o

8

Área inicial Área re-ducida

-s cS O 08

¿puig.

13.000 kg./cm.a 14.000 ® 0 JT 'tí ¿Pdg.

15.000 kg./cma

18.800

1 «!

1 16 * 13.100 » 14.000

'3 O ÍH ® O

1

16 * 1 8 *

14.500 » 18.400

1 8" *

11.200 » 12.500

12.200 » 16.000

Pro

n

beta nor-ial .........

8000 » 18.000 Pro

n

beta nor-ial ......... 8.500

27.500


deformación y se aumenta, no sólo la resistencia al deslizamiento, sino

también la resistencia a la separación.

Efecto análogo al de la garganta estrecha de la figura 268 pueden

producir las cavidades debidas a forja y fundiciones. Las fatigas

térmicas y residuales pueden combinarse con el efecto de concentración

de fatiga en la cavidad y producir fisuras y hasta roturas con las

características de fractura quebradiza, aunque el material se haya

comportado como dúctil en el ensayo a tracción simple.

La combinación de estas formas de probeta con una gran velocidad

en la aplicación de la carga puede producir un efecto todavía más

acentuado. Tal es el caso de choque en probetas con cuellos. Otro tipo de

rotura de materiales dúctiles sin deformación plástica apreciable es el

originado por fatiga alterna. Es un caso de gran importancia práctica y

se examinará en artículo aparte (véase pág. 431).

77. Tiempo de efecto e histéresis.—La experiencia muestra que cuando

una carga extensora se aplica a una barra no se produce

inmediatamente el alargamiento correspondiente de modo completo.

Durante una cantidad considerable de tiempo la barra continúa

alargando lentamente. Este «tiempo de efecto» depende del material de

la barra y del valor de la fatiga. En el caso de una probeta formada por

un cristal simple cargado por debajo del límite de proporcionalidad, el

tiempo de efecto es muy pequeño y se explica su existencia por con-

sideraciones termodinámicas y eléctricas. Supongamos que la barra se

carga rápidamente en la forma que indica el trozo O A del diagrama (fig.

269). Fig. 269 El proceso de alargamiento puede considerarse adiabático;

viene acompañado de un descenso en la temperatura de la barra debido

al aumento de su volumen. La barra se calienta gradualmente hasta su

temperatura inicial, y por ello alarga la cantidad adicional AB sin

cambio de carga. Cuando se descarga rápidamente se obtiene la línea

recta BC del diagrama. En G, y debido a la disminución de volumen

ocasionado por la descarga, la barra tiene una temperatura mayor que la

inicial, y al cabo del tiempo, por enfriamiento, acorta la cantidad 00.

Aunque las deformaciones AB y 00 son muy pequeñas, se ve que puede

existir un cierto tiempo de efecto, debido a causas térmicas, en el caso de

una sustancia elástica solicitada por debajo del límite de

proporcionalidad 1.

Análogo efecto puede producirse, bajo ciertas condiciones, por

causas eléctricas 2. En el caso de materiales heterogéneos, como los del

comercio, el tiempo de efecto es mucho mayor. No puede explicarse

únicamente por causas térmicas, y se atribuye corrientemente a la

continuación de la deformación por desliza


miento a través de cristales orientados desfavorablemente. El tiempo de

efecto en la descarga se explica por el deslizamiento que producen las

fatigas residuales a través de cristales desfavorablemente orientados y

que se prolonga hasta algún tiempo después de desaparecer la carga.

Para estudiar el tiempo de efecto debe distinguirse, entre los

metales, los de un punto bajo de fusión, como plomo o cinc, de los que lo

tienen mucho más alto, como el acero o el cobre 3. Los ensayos muestran

que los diagramas a tracción o compresión, de los metales del primer

grupo, dependen en alto grado de la velocidad con que se hacen los

experimentos. En la figura 270

1 W. Thomson, Quarterly Journal of Math., 1865. 8 Véase A. F. Joffe, The Physics of Crystals, New-York, 1928. 8 Estos metales a temperaturas próximas a sus puntos de fusión tienen las

características de los primeros, a la temperatura ambiente (véase pág. 461).

pueden verse varios diagramas de compresión para plomo a diferentes

velocidades de carga 221. En dichos diagramas se usan como coordenadas

el acortamiento unitario (en tanto por ciento) y la fatiga verdadera de

compresión En las curvas se indican las velocidades de acortamiento en

tanto por ciento por segundo. Si la velocidad de compresión unitaria es

0,0003 por ÍOO por segundo, la carga permanece prácticamente

constante después de lograrse un acortamiento unitario del 10 por 100.

El gran efecto de la velocidad de acortamiento sobre estos metales

221 Véase la publicación de E. Siebel y A. Pomp, Mitteilungen K. W. Institut,

vol. 10, pág. 63, 1928, .


se explica por su recristalización a la temperatura ambiente. El efecto de

endurecimiento que acompaña a la deformación plástica desaparece por

recristalización si el proceso de carga se lleva con la suficiente lentitud.

En el caso de metales con alto punto de fusión la velocidad 'me un

efecto más reducido. La figura 271 representa varios .gramas

correspondientes a compresión de acero. Los números tienen igual

significado que en el caso anterior. Se ve que el efecto más importante

de la velocidad es variar la posición del punto de fluencia inferior. Para

grandes velocidades de carga el punto de fluencia del acero dulce es un

30 por 100 mayor, aproximadamente, que su valor a pequeña velocidad

de ensayo. Este


fenómeno tiene importancia en el ensayo al choque de metales y explica

por qué los ensayos dinámicos requieren más trabajo que los estáticos

en probetas del mismo material. El estudio realizado sobre el tiempo de

efecto muestra que, aun en el casó ideal de un cristal simple (fig. 269),

existen diferencias entre la curva que representa la carga de la probeta

y la curva de descarga, lo que indica que en un ciclo completo de carga y

descarga se pierde cierta cantidad de energía. En la figura 269 el área

OA BD representa el trabajo realizado en el proceso de carga (véase pág.

274, Primera parle)-, el área BGD, el trabajo recuperado en la descarga,

y, por consiguiente, el área OABC representa el trabajo perdido por

ciclo. Esta cantidad es muy pequeña, y puede eliminarse si el proceso de

carga y descarga se lleva tan rápidamente que no se realicen cambios

apreciables de calor. Este estado se presenta, por ejemplo, en las

vibraciones de alta frecuencia producidas en un cristal simple. La pér-

dida de energía debida a causas eléctricas puede eliminarse, como en el

caso de un cristal de cuarzo, escogiendo una cierta dirección

cristalográfica para la tracción y compresión V Esta propiedad se aplica

extensamente en la generación y sostenimiento de vibraciones

eléctricas. Debido a la pequeñísima cantidad de energía perdida, los

osciladores de cuarzo presentan un efecto de resonancia muy acusado

para altas frecuencias.

Si una probeta formada por un cristal simple se

deforma por encima del límite de proporcionalidad

basta que se presenta el e deslizamiento, y entonces se

descarga y car- Fig. 272 ga nuevamente, se obtiene un

diagrama, deformación-fatiga, como el representado

en la figura 272. Después de repetir la carga y descarga

puede llegarse 2 a un estado tal para el que no se

origina variación apreciable en la deformación

permanente en G. El ciclo ABCD será


entonces «elástico». La energía perdida durante cada ciclo, y re-

presentada por el área A BGD, es corrientemente mayor que la

examinada en la figura 269, y no puede justificarse de modo completo

por las causas térmicas y eléctricas anteriormente mencionadas. El lazo

A BGD se obtiene también con materiales amorfos, como el vidrio. Este

fenómeno se denomina histéresis elástica. Para materiales cristalinos

puede explicarse, en parte, del modo expuesto anteriormente (véase pág.

426);. pero se desconoce todavía la explicación completa del fenómeno

222.

Las áreas de los ciclos de histéresis representan la energía perdida

por ciclo, y tienen interés práctico porque este valor de la energía

determina las propiedades de amortiguamiento del material. Los

ensayos y medidas realizados con acero por Ro- wett 223 muestran que

esta energía aumenta como el cubo de la fatiga máxima durante cada

ciclo. Este tema ha sido estudiado también por B. Hopkinson 224, y más

recientemente por O. Eóppl 225. Los ciclos de histéresis pueden

estudiarse mediante ei modelo de la figura 273 226. Consta de una barra

fija Ay dos bloques móviles de madera B y G, que pueden deslizar a lo

largo de la varilla de acero unida a A. El bloque B desliza libremente,

mientras que el G, unido al B por el resorte helicoidal, se mueve

venciendo un rozamiento reglable. La figura 273 (b) representa la

relación entre la fuerza P, aplicada al bloque B, y el desplazamiento de

este bloque. En m se sobrepasa el rozamiento del bloque C, y continúa el

deslizamiento sin aumento de la carga. La figura 273 (c) representa ej

ciclo obtenido, aplicando una carga, primero en una dirección y después

en la contraria. Otros de los fenómenos que se presentan en tracción y

compresión, tales como la desviación de la ley lineal en el límite de

proporcionalidad, la fluencia, los ciclos de histéresis, las fatigas

residuales, etc., se pueden estudiar con un modelo formado por varios

análogos al de la figura 273, dispuestos paralelamente y cuyos bloques B

forman uno solo. Cada unidad representa un cristal de una probeta que

está formada por varios. El que un

222 Véase la teoría de histéresis por Bennewitz, Physikál. Zeitschr., vol. 21,

pág. 703, 1920, y vol. 25, pág. 417, 1924. Un modelo mecánico muy interesante para poner de manifiesto el tiempo de efecto y la his- tóresis se debe a L. Prandtl; véase Zeitschr. /. angew. Math. u. Mecha- nik, vol. 8, pág. 85, 1928.

8 Rowett, Proc. Boy. Soc., vol. 89, pág. 528, 1913. 8 B. Hopkinson y G. T. Williams, Proc. Roy. Soc. (A), vol. 87, 1912.

225 O. Foppl y E. Becker, Porschungsarbeiten, núm, 304, 1928. Véanse también Beports of the International Gongress of Applied Mechamos, Zurich, 1926, y Mitteilungen des Wohler-Instituís, Braunsch- weig, Heft, 30, 1937. Para bibliografía sobre histéresis véase Fromm, Handbuch Phys. and Techn. Mech., vol. 4, pág. 436, 1931.


bloque individual G empiece a deslizar representa la fluencia de un

cristal individual. Ajustando el rozamiento en los bloques G, se pueden

obtener diagramas de diversos tipos. Cuando el rozamiento de los

bloques individuales es muy diferente, existe una gran diferencia entre

el límite de proporcionalidad y el punto de fluencia, tal como indica la

figura 273 (d). Igualando los rozamientos se obtiene un diagrama que,

como el de la figura 273 (ó), presenta un bien definido punto de fluencia.

Si el rozamiento de los bloques individuales G difiere, el deslizamiento

comenzará para cada uno en posiciones diferentes de B, y después de la

descarga quedarán algunas fuerzas en los resortes que representan las

fatigas residuales producidas por deformación en probetas de varios

cristales.

78. La fatiga alterna en los metales K— Los órganos de las máquinas

están solicitados frecuentemente a fatigas variables, y es muy

importante conocer la resistencia de los materiales en estas condiciones

2. Bien conocido es el fenómeno de que, por cargas y descargas repetidas

o por fatiga alterna, se produce la rotura para una fatiga menor que la

de rotura del material, obtenida en el ensayo estático, y que el valor de

aquella fatiga disminuye a medida que el número de ciclos aumenta. El

ensayo de un material en esta forma se denomina «ensayo a fatiga

variable».

Si amáx y <Jmín son, respectivamente, los valores máximo y mínimo


dé la fatiga variable, su diferencia algébrica

■ = 'bnáx min (®)

se denomina «recorrido de fatiga». El ciclo queda definido si se dan la

fatiga máxima y el recorrido. La fatiga media es

~ ~ (^máx "1" CTmíii)' (Ó) A

En el caso particular de fatiga alterna <rmiu = — crmáx, E = 2amáx, om =

0. Un ciclo de fatiga variable puede obtenerse superponiendo a un ciclo

de fatiga alterna una fatiga constante igual a la media. Los valores

máximo y mínimo de la fatiga variable serán

, K _ E . ^máx — am "r. _ > ^mín — \c)

A A

Existen varios métodos para aplicar la carga en un ensayo a fatiga

variable. La probeta puede someterse a tracción y compresión, á flexión,

a torsión, o a algunas combinaciones de estas solicitaciones. Lo más

sencillo es la flexión alterna 1. En la figura 274 puede verse una forma

corriente de voladizo para ensayos de fatiga variable 2. La sección de la

probeta varía a lo largo de su longitud, de modo que la fatiga máxima

acontece entre las secciones mn y m-$ix, y es prácticamente constante

entre ellas. El efecto de la concentración de fatiga se elimina empleando

un gran radio para el acuerdo y aumentando la sección de la pieza en

sus proximidades. La carga P se dirige siempre hacia abajo en tanto la

probeta gira. La fatiga cambia, por

consiguiente, de signo cada media revolución y el número de ciclos es

igual al número de revoluciones de la máquina. El ensayo es a fatiga

alterna, la fatiga media es nula y el recorrido igual a dos veces ermáx-

Tomando diversas probetas y ensayándolas con varias cargas P, puede

trazarse una curva como la de la figura 275. En ella amáx se representa

como función del número de ciclos n, necesarios para producir la rotura.

La curva de la figura corresponde a un acero dulce. Al principio cmáX dis-

minuye rápidamente con el crecer de n; pero más allá de los cuatro o

cinco millones de ciclos no existe cambio apreciable en cmáx, y la curva

se aproxima asintóticamente a la línea horizontal cm4X = 2.100 kg./cm.2

Esta fatiga se denomina límite de tolerancia del material ensayado a

fatiga alterna. En la práctica, las abscisas de la curva de la figura 275

FIG. 274


son el logaritmo de n. De este modo se estudia mejor la parte de la curva

que define el limite de tolerancia.

Existe una gran diferencia entre el modo de romper las probetas de

acero dulce, ensayadas estáticamente, y las que se ensayan a fatiga

alterna. En el primer caso, antes de la rotura se produce una gran

fluencia, y en la sección de rotura se aprecian fibras muy estiradas

debido a la gran deformac'ón de los cristales. La rotura por fatiga

alterna es muy distinta. Se produce una fisura, debido a un defecto local

del material o a concentra-

ción de fatiga por cambio brusco de sección, y, una vez formada, se

extiende por la acción de la fatiga alterna hasta que, por la

reducción progresiva de la sección, acontece la rotura súbita. En la

sección de rotura se aprecian dos zonas, una debida al avance

gradual de la fisura y la otra a la rotura súbita. Esta última es

análoga a la de rotura por tracción de una probeta con una ranura

estrecha (véase pág. 423), en la que la forma impide el deslizamiento,

y la rotura acontece por sobrepasarse las fuerzas de cohesión; esta

fractura es del tipo quebradizo, tal como la de la fundición, aunque

el materia] sea dúctil. En el caso de probetas tipo cantilever (fig.

274), la fatiga máxima acontece en las fibras exteriores; la fisura

salta corrientemente en la superficie y se extiende hacia el centro En

las piezas que presentan concentración de fatiga debida a acuerdos,

gargantas o agujeros, la fisura aparece corrientemente en la parte

más RESISTENCIA DE MATERIALES.—T. n

Ó JO

*8

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 433

castigada y se extiende alrededor de este punto como centro; en este caso la sección de rotura presenta anillos concéntricos con relación al punto en que comenzó la fisura. Esta rotura por fatiga alterna constituye un tipo de rotura característico en órganos de máquina.

W. Fairbairn fué el primero que estableció, a base de un gran

número de experimentos con vigas de hierro forjado 227, que existe

una fatiga límite, aplicable con seguridad un número infinito de

veces. Esta hipótesis, después de un gran número de ensayos a, ha

sido aceptada con generalidad, y hoy se admite que para la mayoría

de los metales existe un recorrido de fatiga que puede ser resistido

sin rotura un número infinito de ciclos.

Experimentalmente se ha visto que para aleaciones de hierro el

límite de tolerancia puede establecerse con suficiente aproximación

a base de 6 a 10 millones de ciclos 228. El problema de fijar el número

de ciclos necesario para establecer el límite de tolerancia es de gran

importancia práctica.

De lo expuesto se deduce que la determinación del limite de

tolerancia para un cierto material requiere mucho tiempo y un

considerable número de ensayos. Sería, por consiguiente, muy

interesante establecer relaciones entre dicho límite y las otras

propiedades mecánicas que se deducen del ensayo estático. A pesar

del gran número de datos acumulados no ha sido posible establecer

esta correlación 229. Como una aproximación grosera puede tomarse,

en el caso de aleaciones férricas, para el límite de tolerancia en

fatiga alterna, el valor 0,40 a 0,55 de la fatiga de rotura obtenida en el

ensayo a tracción. Cuando se trata de materiales pertenecientes a un

grupo, tales como aceros al carbono, cuyas propiedades mecánicas

son conocidas perfectamente, la estimación anterior es suficiente. Si

esta aproximación se juzga errónea, se recurre a la determinación

directa del límite de tolerancia. En la tabla de las páginas 494 y 495

se dan algunos resultados de ensayos a fatiga alterna con aceros.

En la mayoría de los casos los ensayos a fatiga variable se

disponen de modo que solamente se determina el límite de tolerancia

para fatiga alterna (crniáx = — tfmín), mientras que las condiciones

de trabajo en muchas piezas son de fatiga variable, pero no alterna.

Es necesario, pues, conocer el límite de tolerancia para dicha fatiga

variable.

A. Wohler ha sido el primer investigador que de un modo

sistemático ha estudiado el fenómeno de fatiga variable L De sus

227 Véase W. Fairbairn, Phil. Trans. Roy. Soc., 1864. 8 Véase H. F. Moore y J. B. Kommers, Bulletin, núm. 131, Eng. Expt. Stat.

University of Illinois, U. S. A. * Véase el libro de H. J. Gough, ya citado, pág. 431. Véanse también sus

publicaciones, ya citadas, pág. 431.


experimentos se deduce que el recorrido de fatiga R, necesario para

producir la rotura, disminuye n medida que la fatiga media om

aumenta. A base de estos trabajos y de los de Bau- schinger 230, W.

Gerber ha propuesto 231 una ley parabólica para expresar la

dependencia entre el recorrido de fatiga R y la fatiga media crm. En

la figura 276 se dan varias curvas parabólicas, en las que la fatiga

media y el recorrido de fatiga se expresan como fracciones de la

fatiga de rotura. El recorrido es máximo cuando la fatiga es alterna

(crm — 0), y tiende hacia cero cuando la fatiga media tiende a la

fatiga de rotura. Si se conocen el límite de tolerancia para fatiga

alterna y la fatiga de rotura, puede calcularse, mediante dichas

curvas, el límite de tolerancia para cualquier fatiga variable. Otras

investigaciones más recientes muestran que no existe ley fija que

relacione la fatiga media y el recorrido de fatiga 232. Por ejemplo,

hay materiales 233 para los que la relación real entre R y orm está

mejor representada que por las parábolas por las líneas rectas

indicadas de trazos, en la figura 276. Las líneas rectas O A y OB de la

figura, cuya pendiente es igual a 2, determinan la región OAB, en la

que la fatiga cambia de signo durante un ciclo. Fuera de esta región

la fatiga variable es siempre tracción o compresión. Los resultados

experimentales para la región AOB quedan de ordinario entre las

parábolas y las líneas rectas correspondientes L Cuando la fatiga es

siempre tracción o compresión, los recorridos B, obtenidos por

ensayos, caen algunas veces no sólo

a J. Bauschinger, Mitteilungen d. Meohanischtechnisehen Laborato- riums

in München, núms. 13 y 25. ® W. Gerber, Zeitschr. d. Bayerischen Arch. und Ing.-Vereins, 1874.

Véase también el libro de Unwin, Elemente of Machine Design, vol. 1, cap. 2. 232 En el caso de acero dulce, W. Masón encontró para esta relación el valor

0,50; Proc. Inst. Mech. Engrs., pág. 121, London, 1917. H. F. Moore y T. M. Jasper encontraron como valor medio de esta relación 0,56; Bulletin, núm. 136, Eng. Expt. Sia. University of Illinois. Me. Adam encontró que esta relación variaba entre 0,55 y 0,68 para un gran número de materiales; Proc. Amer. Soc. Test. Mat., volumen 23, 1923.

1 K. Hohenemser y W. Prager, Metallwirtschaft, vol. 12, pág. 342, 1933; para la descripción de la máquina empleada en estos experimentos, véase la publicación de E. Lehr y W. Prager, en Forschung., volumen 4, 1933. H. J. Gough, ya citado, pág. 431. Véanse también sus publicaciones, ya citadas, pág. 431.


por debajo de las parábolas de Gerber, sino también por debajo de

las líneas rectas.

Todos los resultados analizados hasta ahora se obtuvieron de

ensayos a tracción-compresión, o de ensayos por flexión, y en ambos

el estado elástico es una solicitación axial única. En la práctica

abundan los problemas de combinación de fatigas, y es muy

interesante conocer el límite de tolerancia en tales condiciones. El

caso más sencillo es el cortante puro, que corresponde a los ejes

sometidos a torsión. Se han hecho numerosos ensayos a torsión

variable, y de ellos se ha deducido el limite de tolerancia. De estos

ensayos se ha visto que la relación entre el límite de tolerancia por

cortadura y el de tracción-compresión vale alrededor de 0,50, o un

poco menos de este valor a.

Combinando torsión alterna con tensión axial constante se ve 1

que el límite de tolerancia en cortadura ? puede deducirse de la

ecuación CT*

2i + 'T = 1 («) T « ®nl t .

donde t6 es el límite de tolerancia para torsión alterna sin tensión

axial, a es la fatiga axial aplicada y cult la fatiga de rotura del

material a tracción.

La combinación de flexión alterna con torsión alterna obrando

en fase ha sido estudiada por H. J. Gough y H. V. Pollard 2. Variando

la relación entre el momento flector máximo y el momento torsor

máximo, se vió qué en el caso de acero dulce al carbono y de acero

cromo-níquel los valores límites de las fatigas o y t, por flexión y

cortante, respectivamente, están ligados por la ecuación Ga T2

i, (b) ■ t2

donde Ge es el límite de tolerancia por flexión y t, el límite de

tolerancia por torsión.

En el caso de materiales quebradizos, tales como fundición, los

mismos experimentos han mostrado que la acción de la fatiga


variable depende solamente del valor de la fatiga principa] máxima,

y que la rotura acontece cuando estemáximo se

aproxima alvalor dél límite de tolerancia, hallado, mediante

el en

sayo corriente, con el cantilever giratorio.

79. Diversos factores que afectan al límite de tolerancia.— Como

complemento del estudio general expuesto en el artículo anterior

vamos a examinar ahora los diversos factores que pueden afectar a

los resultados obtenidos en los ensayos a fatiga variable.

Efecto del trabajo en frío sobre el límite de tolerancia.—Al es-

tudiar el estirado, hilado y laminado de los metales dúctiles a la

temperatura ambiente se señaló (véase art. 74) que, debido a ese

trabajo en frío, el material se hace más resistente, el punto de

fluencia se eleva y la fatiga de rotura aumenta algo. Por tanto, es

lógico esperar que el trabajo en frío afecte también al límite de

tolerancia del material. Ensayando probetas de acero sometidas a

estirado en frío 234 se ha visto que una pequeña deformación produce

un ligero aumento del límite de tolerancia. Aumentando

ulteriormente el trabajo en frío puede llegarse a un punto en el que

se presenta un descenso del límite de tolerancia, debido ai exceso de

trabajo 235. Se puede mejorar un material trabajado en frío

sometiéndole después a un tratamiento térmico suave, metiéndole,

por ejemplo, en agua hirviendo durante algún tiempo.

Sobrecarga previa y carga lenta.—Se han realizado experi-

mentos en los que a la probeta se la ha sometido a un cierto número

de ciclos de fatiga alterna, superior al límite de tolerancia, antes de

proceder al ensayo corriente por fatiga alterna. Tal sobrecarga de

las probetas muestra que existe un número límite de ciclos de

sobrecarga, función del valor máximo de la fatiga empleada, por

debajo del cual el límite de tolerancia no está influido por la

sobrecarga; pero pasado aquél el límite de tolerancia disminuye.

Representando gráficamente la fatiga máxima de los ciclos de

sobrecarga en función del número limite de estos ciclos, se obtiene

una curva de deterioro 236 del material ensayado. El área definida

por debajo de esta curva representa los diversos grados de

sobrecarga que no perjudican al material. La curva de deterioro

tiene importancia práctica cuando se estudian órganos de máquina

que trabajan normalmente a fatiga alterna por debajo del límite de

tolerancia, pero sujetos de vez en cuando a ciclos de sobrecarga. Si

234 H. F. Moore y J. B. Kommers, Bull., núm. 124, Univ. of Illinois

Eng. Exper. Sta., 1921, y O. J. Horger, Trans. A. S. M. E., vol. 57 A, pág. 128, 1935. Moore, en sus experimentos, utilizó acero al carbono con 0,18 por 100 de C y unas deformaciones del 8 y 18 por 100. Hor


se conoce el valor de la sobrecarga, puede determinarse fácilmente,

mediante la curva de deterioro, el número de ciclos que sin

perjuicio puede sufrir la pieza 237.

Llevando el ensayo a fatiga alterna hasta una carga muy próxima

y por debajo del límite de tolerancia, y aumentando después la carga

por incrementos muy pequeños, puede obtenerse una elevación del

límite de tolerancia. Este fenómeno se denomina efecto de «carga

lenta». La cantidad que de esta forma puede elevarse el límite de

tolerancia depende del material238. Para acero dulce esta cantidad

es, a veces, el 30 por 100 del límite de tolerancia primitivo, mientras

que para el cobre el límite de tolerancia no se modifica de modo

apreciable por la carga lenta.

Efecto de frecuencia.—El efecto de la frecuencia de los ciclos en

los ensayos a fatiga alterna se ha estudiado también; pero no se ha

obtenido efecto apreciable hasta frecuencias del orden de 5.000 por

minuto. Para frecuencias más altas se ha encontrado un pequeño

crecimiento del límite de tolerancia con la frecuencia. C. F. Jenkin

239 ha realizado experimentos muy interesantes de esta clase.

Aumentando la frecuencia hasta 1.000.000 de ciclos por minuto

encontró para esta alta frecuencia aumentos del límite de tolerancia

de más de un 30 por 100 para materiales como el aluminio. Para

obtener frecuencias tan altas Jenkin empleó pequeñas probetas y las

sometió a vibraciones forzadas. G. N. Krouse 240, empleando una

máquina giratoria especial, realizó ensayos hasta 30.000 ciclos por

minuto. A esta velocidad, y para aluminio y latón, obtuvo un

incremento del 8 por 100 para el límite de tolerancia.

Efecto de la temperatura.—En el estudio realizado se ha supuesto

que los ensayos se habían realizado a la temperatura ambiente. Hay

casos, sin embargo, en los que las estructuras y

237 B. F. Langer sugirió una fórmula para calcular el número de ciclos que

con sobrecargas de diversas intensidades puede soportar un órgano de máquina antes de su rotura. Véase Journal of Applied Mechantes, vol. 4, pág. A-160, 1937.

238 H. F. Moore y T. M. Jasper, Bull., núm. 142, Univ. of Illinois, Eng. Expt. Sta., 1924; J. B. Kommers, Eng. News Record, 1932.

239 0. F. Jenkin, Proc. Roy. Soc., vol. 109 A, pág. 119, 1925, y C. F. Jenkin y'G. D. Lehmann, Proc. Roy. Soc., vol. 125 A, 1929,

♦ G. Ñ.' Krouse, Proc. A. S. T. M., vol. 34, 1934,


los órganos de máquina están sometidos a fatiga alterna y bajas

temperaturas; por ejemplo, en el caso de aviones, o, por el contrario,

a altas temperaturas, como en las turbinas de vapor y en los motores

de combustión interna. De aquí se deduce la importancia dé realizar

ensayos de fatiga alterna en bajas y altas temperaturas. Ensayos

realizados 241 a*+ 20° y — 40° C. con metal Monel, acero puro, acero al

níquel y acero al cromo molib- deno muestran en todos los casos

algún aumento del límite de tolerancia al disminuir la temperatura.

Con otros materiales, las consecuencias son análogas 242. Los ensayos

de fatiga alterna a elevadas temperaturas realizados con aceros de

diversas clases en máquinas giratorias 243 y en máquinas de fatiga

directa alternativa 244 indican que hasta 300° C. o 400° C. no es

grande el efecto de la temperatura sobre el límite de tolerancia. El

máximo se obtiene corrientemente para los 300° C. o 400° C.,

mientras que a los 100° C. o 200° C. el límite de tolerancia es algo

menor que a la temperatura ambiente. Experimentalmente, «e ha

visto que las curvas a — n no se aproximan a sus asíntotas tan rá-

pidamente como a la temperatura ordinaria y que se requieren más

de 10245 ciclos para determinar el valor del límite de tolerancia.

También tiene gran importancia práctica la acción simultánea de

la corrosión y la fatiga alterna. Haigh 246, en 1917, publicó los

resultados obtenidos en ensayos muy interesantes-realizados con

latones. En ellos encontró un descenso del límite de tolerancia

cuando la probeta sometida a fatiga alterna lo era también a la

acción de agua salada, amoníaco o ácido clorhídrico. Me. Adam 247

realizó notables progresos en esta clase de investigaciones,

estudiando el efecto de la corrosión y la fatiga alterna en di versos

metales y aleaciones. Estos ensayos probaron que en ia mayoría de

los casos una fuerte corrosión anterior al ensayo a fatiga alterna es

mucho menos perjudicial que una corrosión ligera que obre

simultáneamente. Ensayos realizados con aceros al carbono con

diversos porcentajes de éste, y cuyos límites de tolerancia para

fatiga alterna 248 variaban entre 1.600 kg./cm.249 y 3.200 kg./cm.2, han

241 H. W. Russell y W. A. Welcker, Proc. A. S. T. M„ vol. 31, pá- gina 122,

1931. a W. D. Boone y H. B. Wishart, Proc. A. S. T. M., vol. 35, 1935.

* H. F. Moore y T. M. Jasper, Bull., núm. 152, Univ. of Illinois Engr. Expt. Sta., 1925, y H. F. Moore, S. W. Lyon y N. P. Inglis, Bull., núm. 164, Univ. of Illinois Engr. Expt. Sta., 1927.

244 H. J. Tapsell y J. Bradley, Journal Inst. Met., vol. 35, 1926. Trans. Amer. Soc. Steel Treating, vol. 2, 1927; Proc. Amer. Soc. Test. Matls., vol. 27, 1927; Proc. International Congress for Testing Materials, vol. 1, pág. 305, Amgfcerdam, 1928,

247 D. J. Me. Adam, Proc. Amer. Soc. Test. Matls., vol. 26, 1926; 248 Determinado por ensayos en aire. 8 Me. Adam, Proc. International Congress at Amsterdam, vol. 1, pág. 308,


mostrado que si las probetas se someten durante el ensayo a la

acción de agua dulce, los límites de tolerancia disminuyen en alto

grado y en dichos ensayos variaron entre 1.300 kg./cm.2 y 1.600

kg./cm.2. Estos límites de tolerancia reducidos se denominan límites

de tolerancia a corrosión. Experimentalmente se ha visto que

ensayando en aire el límite de tolerancia aumenta aproximadamente

en la misma proporción que la fatiga de rotura del acero que se

ensaya. Los resultados obtenidos ensayando en agua dulce son

bastante diferentes. El limite de tolerancia a corrosión del acero con

más del 0,25 por 100 de carbono no puede aumentarse e incluso des-

ciende con los tratamientos térmicos 2. Se ha visto también que

añadiendo cromo en cantidad suficiente para aumentar la re-

sistencia ordinaria a corrosión del acero, el límite de tolerancia a

corrosión puede elevarse considerablemente sobre el de los aceros al

carbono o al níquel250.

Los ensayos a fatiga alterna en atmósfera de vapor 251 de-

muestran que el vapor seco no afecta al límite de tolerancia; pero, si

el vapor contiene aire o agua, el límite de tolerancia desciende. Los

experimentos en el vacío 8 acusan para el acero un límite de

tolerancia análogo al obtenido en ensayos al aire; pero los latones y

el cobre acusan un incremento de dicho limite del orden de un 16 por

100 y un 14 por 100, respectivamente.

Muchas roturas de piezas en servicio son originadas por la

combinación de corrosión y fatiga alterna: ejes propulsores de

barcos; bielas de los refrigeradores por agua en los motores marinos

de aceite pesado; alabes de turbinas; resortes de locomotoras;

varillas de las bombas de extracción en pozos, calderas y tubos de

recalentadores, y tantos otros. En muchos casos, las roturas por

corrosión y fatiga alterna se eliminan introduciendo materiales

resistentes a la corrosión. Los experimentos de Me. Adam con

aceros resistentes a la corrosión muestran que estos aceros dan

resultados muy satisfactorios en los ensayos a corrosión y fatiga

alterna combinadas. Experimentos más recientes realizados con

bronces especiales 252 muestran que el bronce fosforoso y el

aluminoso, ensayados en condiciones de corrosión extrema, tienen

una resistencia notable a la co rosión-fatiga alterna, superior

incluso a la de los mejores aceros.

1928.

250 Véase Me. Adam, Trans. Am. Soc. Mech. Engrs.; Applied Mech. Divis., 1928.

251 Véase T. S, Fuller, Trans. Amer. Soc. Steel Treat., vol. 19, pá 252 H. j. Gough y D. G. Sopwith, Journal Inst. Met., vol. 60, página 143,

1937.


Para eliminar las roturas por corrosión-fatiga alterna se ha

empleado con diverso éxito barnices protectores 253 y trabajar en

frío la superficie de la pieza 254.

Efectos de las fatigas residuales.—Durante los tratamientos ,

térmicos de los órganos de máquinas, y al soldar las estructuras, se

producen de ordinario fatigas residuales considerables, cuyo efecto

sobre el límite de tolerancia es necesario conocer. Los experimentos

realizados en la máquina giratoria con probeta de acero templado 255

muestran que, al aplicar los ciclos de fatiga alterna, las fatigas

iniciales se reducen a menos de la cuarta parte de su valor primitivo

y que el efecto de dichas fatigas sobre el límite de tolerancia es

despreciable. Análogas conclusiones se obtuvieron ensayando a

fatiga alterna vigas en I soldadas 256.

También se ha estudiado el efecto de superficie pulida sobre el

límite de tolerancia. Se han realizado ensayos con acero al carbono

de 0,49 por 100; fatiga de rotura, 7.500 kg./cm.a, y límite de

tolerancia corriente, 3.700 kg./cm.2. Tomando 100 para el valor del

límite de tolerancia en probetas finamente pulidas, los resultados

obtenidos para diversos grados de pulido fueron x: pulido con

polvos, 89; pulido uniforme al torno, 84, y pulido basto al tomo, 81.

Los ensayos con acero al 0,02 por 100 de C dan para los dos últimos

tipos de pulido 92 y 88, respectivamente. Experimentos análogos se

han realizado por W. N. Tilomas 257, con acero al 0,33 por 100 de G y

por W. Zander 258. En las tablas de las páginas 494 y 495 pueden

verse los resultados obtenidos en ensayos estáticos y a fatiga

alterna con aceros muy utilizados.

* D. G. Sopwith y H. J. Gough, Journal of the Iron and Steel Inst.,

1937.. 8 O. Fóppl, O. Behrens und Th. Dusold, Zeitschr. f . Metállkunde, vol. 25,

1933. 255 Véanse H. Bühlér y H. Buchholtz, Stáhl u. Eisen, vol. 53, pá-

1933. 257 W. N. Thomas, Engineering, vol. 116, pág. 483, 1923. En la publicación

de S. Way, ref. 111, pág. 455, pueden verse métodos de investigación sobre rugosidad de superficies.

258 W. Zander, Dissertation, Technische Hochsohule Braunschweig, 1928.


80. Fatiga variable y concentración de fatiga.—Al estudiar la

concentración de fatiga producida por variación brusca de la

sección en barras y ejes (véase capítulo VII), se indicó que tal

concentración es especialmente peligrosa en el caso de fatiga

variable. En los órganos de máquinas, la concentración de fatiga se

presenta en los acuerdos, gargantas, agujeros, asientos de chavetas,

etc., y la experiencia ha mostrado que la mayor parte de las fisuras

originadas por fatigas alternas nacen en esos puntos donde existe la

concentración de fatiga. La figura 277 representa,259 la rotura de ejes

circulares con orificios transversales, también circulares, sometidos

a torsión alterna. La fatiga

máxima, en este caso, acontece a 45° con el eje del árbol (véase

259 Véase la publicación de A. Thum, Forsehung, vol. 9, pág. 57, 1938.

FIG. 277

Fio. 278


página 322). En estos puntos comienzan las fisuras y se extien-

den gradualmente, según una hélice, en la dirección de una de las

fatigas principales. La figura 278 representa la rotura por torsión

alterna deí eje de un gran motor llevado a causa de una maniobra

desafortunada a velocidades próximas a la de resonancia 260. La

fisura comenzó en el asiento de la chaveta, donde existía

concentración de fatiga, y se desenvolvió gradualmente a lo largo de

una hélice. La fisura helicoidal correspondiente a la segunda fatiga

principal puede apreciarse también en la

260 Esta figura y las tres siguientes están tomadas de la publicación de R.

E. Peterson, presentada a la conferencia sobre «Strenght of Materials Problems in Industry», Mass. Inst. Techn., julio 1937. El mecanismo de propagación de las fisuras ha sido estudiado en la publicación de R. E. Peterson, Journal of Appl. Mech., vol. 1, pág. 157, 1933.

Fic. 279


fotografía. La figura 279 representa la rotura por torsión del eje de

un generador tipo Diesel. La alta concentración de fatiga en los

acuerdos de pequeños radios originó fisuras en diversas direcciones

helicoidales, que, en conjunto, producen la impresión de una muela.

En la figura 280 se ven las fisuras producidas por fatiga variable y

gradualmente desarrolladas en la base de los dientes de una rueda

de engranaje. El origen de las fisuras se debe a la alta concentración

de fatiga producida por la flexión de los dientes como ménsulas.

Einalmente, la figura 281 representa una rotura típica a fatiga

alterna correspondiente a un resorte helicoidal robusto. La fisura

nacida en el lado interior, tal como señala la teoría (véase pág. 263,

Primera parte), sigue la dirección de una de las fatigas principales.

Todos estos casos muestran claramente la acción perjudicial de la

concentración de fatiga e indican que este factor debe estudiarse

cui-

Fio. 280


dadosamente al proyectar los órganos de máquinas. Los ensayos a

fatiga alterna realizados con probetas que presentan fuertes

cambios de sección han mostrado una redacción de resistencia

debido a la concentración de fatiga; pero esta reducción fué de

ordinario mucho menor que lo que debía esperarse, dado el valor

calculado del factor de concentración de fatiga. Por ejemplo, en el

caso de planchas de acero con agujeros circulares pequeños

sometidos a extensión, el factor de concentración sabemos es 3

(véase pág. 318); debe esperarse, por consiguiente, que la carga de

extensión-compresión que produce la rotura por fatiga alterna sea

tres veces menor que para probetas sin agujeros. Sin embargo, la

experiencia muestra que la reducción en este caso es pequeña

comparada con el efecto calculado 261. Para explicar esta anomalía y

dar a los proyectistas la información necesaria, R. E. Peterson

realizó en el laboratorio de investigaciones de la Westinghouse x, y

en una máquina especial, una larga serie de ensayos con probetas

tipo Cantilever geométricamente semejantes, de diámetros variables

entre 0,1 y 3 pulgadas, con un acuerdo o con un orificio circular

transversal y de diferentes materiales 2.

261 B. P. Haigh y J. S. Wilson, Engineering, vol. 115, pág. 446, 1923

FIG. 281


Los resultados de estos ensayos para probetas con acuerdos se

ven en la figura 282. Se fian tomado en abscisas los diámetros

menores de las probetas y en ordenadas las relaciones kj entre los

límites de tolerancia para probetas normales y los correspondientes

a las probetas con concentración de fatiga. Para probetas con

orificios transversales los resultados fueron análogos. Las líneas

horizontales de la figura 282 dan los valores de los factores de

concentración de fatiga obtenidos por medida directa de la

deformación en los puntos de concentración de fatiga. Estos valores

se representan por kt y se denominan valores teóricos de la

concentración de fatiga. Si la resistencia de las probetas a fatiga

alterna dependiese solamente del valor máximo de la fatiga, kt sería

igual a kf.

De estos ensayos, ít. E. Peterson ha sacado las conclusiones

siguientes:

a) En algunos casos, los resultados obtenidos por fatiga alterna

están completamente de acuerdo con los valores teóricos kt de la

concentración de fatiga. Esta conclusión es de gran importancia

práctica, por estar muy extendida la idea, basada

lumen 1, págs. 79 y 167, 1933, y R. E. Peterson y A. M. Wahl, Trans.

263 La descripción de la máquina puede verse en la publicación de R. E. Peterson, Proc. Am. Soc, Test. Mat., vol. 29, pág. 371, 1929.

TABLA DE MATERIALES EMPLEADOS BE LOS ENSAYOS

Acero

Composición química

Fl Rotura

Alarga miento en°/«

C Mn Si S Ph Ni Cr Mo lib./pul.2

lib./pul.262

Corriente 1 al carbono.

0,45 0,79 0,18 0,03 0,013 .— — — 32-500 76.000 32

Ni — Mo263.. 0,52 0,68

0,19 ' — 0,014 2,96 —' 0,38 45.500 97.000 26

Ni — Cr *>... 0,54 0,65 — — — 1,38 0,64 ' —

91.000 120.000 24

1 Normalizado: 1560° F., enfriado al aire. * Normalizado y recocido: 1750° F., enfriado al aire; 1460° F., enfriado al aire; 1160° F., enfriado al horno. 3 Templado y recocido: 1475° F., templado al aceite; 1200° F., enfriado al horno.


en anteriores experimentos, de que kf es siempre mucho menor que

kt.

b) Los límites de tolerancia para aleaciones de acero y para

aceros al carbono templados están muy próximos a los valores

teóricos que corresponderían a los ensayos de fatiga alterna con

aceros al carbono sin templar.

c) Al disminuir el tamaño de la probeta, la reducción de

resistencia a la fatiga alterna debida a acuerdos o agujeros es

menor, y para acuerdos o agujeros muy pequeños la reducción es

relativamente pequeña.


Otro modo de representar los resultados de este tipo de ensayos

se consigue introduciendo la cantidad

-*L kt — 1

Esta cantidad se denomina a veces índice de sensibilidad. A me-

dida de que kf se aproxima al valor kt, q tiende hacia la unidad,

y cuando la concentración de fatiga tiene solamente una pequeña

influencia sobre la resistencia a fatiga alterna, kf vale,

aproximadamente la unidad y q tiende hacia cero. Con los datos de

la figura 282, y llevando en ordenadas los valores de q, se han

obtenido las curvas de la figura 283. Se ve que el índice de sen-

sibilidad no es constante. Depende de la clase de material y del

tamaño de las probetas. En el caso de aleaciones de acero y para

probetas grandes, g se aproxima a la unidad, mientras que para un

material ordinario (acero al 0,45 por 100 de carbono) tiende a un

valor más bajo í. Para probetas con agujeros transversales se

obtienen curvas análogas. De lo expuesto se deduce que puede

emplearse el valor teórico kt de la concentración de fatiga cuando se

proyectan órganos de máquina de gran tamaño, y en el caso de

aceros de grano fino, tales como aceros especiales y aceros al

carbono tratados térmicamente. En el caso de dimensiones pequeñas

y materiales bastos, debe emplearse el valor despejado de la

29

(a)

§ 06

S I

1

----- --------- —

✓ í —o(e.iS)

’i5óíJ

-a(o.o6)

fs (o.n)f ftorj

I m/

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x e.vt %CAcere (formalizado) m tti-Me Acero/Atortn*/i'zadeJ • »»*£*• Acetettamp/ado yesnrado

....... ..... ;..L. _

/•«

as

FIG. 283


ecuación (a), o sea,


kf — q(kt 1) -f- 1.

Los valores de q, obtenidos experimentalmente y representados

para el caso de acuerdos por las líneas llenas de la figura 283,

pueden servir de guía para escoger valores apropiados de kf en otros

casos de concentración de fatiga.

Para explicar el efecto del tamaño en los ensayos a fatiga

alterna, es necesario tener en cuenta el tamaño del grano en los

materiales cristalinos. Al referimos a probetas geométricamente

semejantes del mismo material, naturalmente que la estructura

metalográfica no es geométricamente semejante, y este hecho afecta

a los ensayos a fatiga alterna. Si se considera la zona en que se

concentra la fatiga, no es igual que en dicha región existan

únicamente algunos granos ó que, por el contrario, existan varios

millares. Las relaciones entre el índice de sensibilidad y el tamaño

del grano de los materiales empleados en los ensayos a fatiga

variable han sido estudiadas en una publicación reciente de R. E.

Peterson x.

Se ve que el problema de reducir el efecto perjudicial de la

concentración de fatiga es de gran importancia para los proyectistas

y puede conseguirse en parte empleando ciertas normas al

proyectar. Por ejemplo, evitar los ángulos bruscos, introduciendo

acuerdos de radios grandes, proyectar los cambios de sección

bruscos de modo escalonado, mediante oportunas gargantas, etc.

Todas estas precauciones no bastan, sin embargo, para eliminar las

roturas por fatiga variable. Como ejemplo importante de esta clase,

consideraremos las roturas típicas que acontecen en el asiento de las

ruedas de locomotora y ejes de los vagones, en las ruedas o cojinetes

de los ejes de automóvil, en las largas varillas de los taladros de las

máquinas perforadoras de

x Véase Stephen Timoshenko Anniversary Volume, pág. 179, 1938.


pozos, etc. Todos estos casos de piezas comprimidas sujetas a la

acción de fatigas variables han sido causa continua de roturas.

Considerando, por ejemplo, el caso del cubo de una rueda mon

tada a presión sobre el eje —fig. 284 (a)—, se ve que se produce una

gran concentración de fatiga en los ángulos m y n. Al rodar el eje, se

presenta la fatiga alterna en los puntos m y n,

y, finalmente, puede acontecer la rotura en dicha sección, tal como

indica la figura 285. La concentración de fatiga puede reducirse

aumentando la sección en los asientos e introduciendo acuerdos, tal

como indica la figura 284 (ó). Se obtiene una mejora ulterior

introduciendo la garganta a —fig. 284 (b)—. Á pesar de todas estas

mejoras, la experiencia muestra que el montaje del cubo sobre el eje

—fig. 284 (a)— reduce su resistencia a la fatiga alterna a la mitad de

su resistencia inicial, mientras que los cambios introducidos en la

figura 284 (6) elevan la resistencia a ese tipo de solicitación sólo en

FIG. 285


un 20 por 100, aproximadamente. Para mejorar la pieza y eliminar

las roturas por variación de fatiga, se ha ideado trabajar en frío la

superficie del eje en la región de concentración de fatiga. Los

primeros experimentos 264 con superficies trabajadas en frío se

realizaron con probetas pequeñas, y a fin de completar la

información para las aplicaciones se han multiplicado los ensayos,

empleando grandes probetas. Tres tipos de ensayos a fatiga variable

se han realizado por O. J. Horger en el laboratorio de la Universidad

de Michigán 265, y pueden verse esquemáticamente en la figura 286.

Las propiedades de los materiales empleados en estos ensayos son

las de la tabla siguiente:

264 La mejora de la resistencia a la fatiga variable mediante el trabajo en

frío de la superficie fué introducido por O. Fóppl, Stahl u. Eisen, vol. 49, pág. 575, 1929. Se aplicó en diversos ensayos a fatiga variable, realizados en el Wóhler-Institut. Véase Mitteilungen d. Wohler, vols. 1 al 37, 1929-40. Véanse también A. Thum y F. Wunderlich, Mitteilungen d. Materialprüfungsanstalt, Techn. Hochsch. Darmstadc, volumen 5, 1934, y R. Kühnel, Stahl u. Eisen, vol. 110, pág. 39, 1932.

265 La descripción de estos experimentos puede verse en las publicaciones de O. J. Horger, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 128 A, 1935, y O. J. Horger y J. L. Maulbetsch, Journal of Appl. Mech., volumen 3, pág. 91 A, 1936. El trabajo debido a los laboratorios de investigación de la Westinghouse se describe en la publicación de R. E. Peterson y A. M. Walfi, Journal of Appl. Mech., vol. 2, pág. 1 A, 1935.

MATERIALES EMPLEADOS EN LOS ENSAYOS DE LA FIGURA 286

Acero

Composición química

Fl Rotura

Alarga-miento en %

c Mn Ph S Si Cr Ni iib./pulg

.! lib./pulg.2

S. A. E. 1 1045 ........

0,47 0,72 0,015 0,034 0,23 0,03

0,05 47.800 88.800 32

2,75 por 100 de níquel 2,

0,24 0,86 0,021

0,021

. 0,24

— 2,79 86.300 111.000 23

1 Normalizado, 1620° F., y recocido 1115° F. 1 Templado, 1475" F., y revenido 1150° F.


Los límites de tolerancia obtenidos para el acero S. A. E. y para el

acero al níquel, mediante los ensayos a fatiga alterna, con la probeta

corriente en Cantilever, fueron 34.000 libras/pulgada2 y 48.000

libras/pulgada2, respectivamente. En los ensayos tipo A (fig. 286),

después de apretar el manguito el límite de tolerancia para el acero

S. A. E., se redujo a 15.000 libras/pul-

n m

gada2. En los ensayos de los tipos B y G se encontraron los valores

12.000 libras/pulgada2 y 14.000 libras/pulgada2, respectivamente,

para el límite de tolerancia. Estos resultados muestran que, debido

a la presión de ajuste, la resistencia a la fatiga alterna se redujo a

menos de la mitad de su valor inicial. Con las probetas de acero al

níquel, los resultados fueron análogos. Para mejorar la resistencia

a la fatiga alterna, se trabajó en frío la superficie del resto de las

probetas antes de montar sobre ellas los manguitos o cubos

mediante el dispositivo de la

Manguito ajustado a pres/op

Cngmeto 4/*xtedl

*pr#s/dn

Acoplamiento ekisdco Vmotor transmisor

Typo&

J> Pueda ab

a presión a

A A •&

Atopfamfeoto e/ao- — A ticcy meter iraaS-*ypO/{ fiittor

D Pueda ajusfada a pres/pn

d/a

}* —

Símbolos; &•' Situación de /a rotura m: Extremo Cargado n,p : Situación de tos cop/ne/es da apoyo

FIG. 286

Typo C


figura 287. Se habilitó un torno para este trabajo en frío por rodillos,

sujetando la probeta entre las puntas del torno y el dispositivo de los

rodillos sobre una corredera fijada al carro del torno. Para obtener una

superficie suficientemente lisa después del trabajo con los rodillos, se

emplearon los engranajes capaces de suministrar más de 40 pasos por

pulgada. Se vió, mediante dichos ensayos, que la resistencia a la fatiga

alterna para las probetas de acero S. A. E. aumenta por el trabajo en frío

a más de dos veces su resistencia inicial.

Con las probetas de acero al níquel los

resultados fueron análogos.

Ultimamente, y para investigar el

efecto del trabajo en frío sobre la

resistencia a la fatiga alterna de un modo

directo, se han construido grandes máqui-

nas de ensayo especiales, en las que pueden

ensayarse a tamaño natural ejes de

locomotora. La figura 288 representa 'una de

estas máquinas 266. La disposición general de

la máquina es análoga a la utilizada en los

ensayos del tipo C (fig. 286) e igual a la uti-

lizada por Wohler en sus famosos ensayos de

ejes a fatiga alterna.

Otro caso de rotura por fatiga alterna bajo la acción de una gran

concentración de fatiga es el de rodillos y engranajes bajo la acción de

presiones de contacto repetidas durante el giro. Si consideramos dos

rodillos comprimidos por las fuerzas P (figura 289), se puede calcular la

fatiga compresora máxima en la superficie de contacto mediante las

fórmulas del artículo 66. En el caso de una superficie idealmente lisa esta

fatiga calculada es la fatiga verdadera y la resistencia a la fatiga variable

de la superficie de los rodillos para un material dado dependerá del valor

de esta fatiga. En la realidad, la superficie del rodillo tendrá diversos

grados de aspereza, dependientes del grado de pulido de

266 Hasta el presente se han construido tres máquinas de este tipo en el

laboratorio de investigación de Timken Koller Bearing Company, Cantón Ohío).

Jp/tCéC/Ó/t í- de /& presión torada


la misma. En la figura 290 se ven en forma ampliada diversos grados de

pulido \ La rugosidad de la superficie afecta, como es

natural, a la distribución de la presión en la superficie de contacto de

los rodillos de la figura 289, y, como resultado de la

sobretensión en los puntos de irregularidades más

desfavorables, se originan las fisuraá-por fatiga variable

antes que en el caso de rodillos lisos. Se deduce, por tanto,

que la resistencia de los rodillos a la fatiga variable

depende del grado de rugosidad de su superficie.

Experimentalmente, se ve que si la superficie de los

rodillos ensayados a fatiga variable se lubrica, na- fig. 289

cen fisuras superficiales que originan picaduras u hoyos. Estas

picaduras, que aparecen, a veces, en condiciones normales de servicio

en rodillos y engranajes, son muy perjudi- cíales y su origen ha sido

objeto de diversos estudios L Se ha visto que los orígenes de las

picaduras son de naturaleza hidrodinámica. Las picaduras penetran

oblicuamente en el metal; tienen, aproximadamente, la forma de una

superficie cónica que eorta a la de la pieza, según una curva parabólica,

o V, cuyo vórtice está en la parte que durante la rotación entra primera-

FIG. 288


mente en contacto. La figura 291 representa la fotografía ampliada de un

rodillo, y en ella se señala con una flecha el punto de comienzo de una

picadura. Se comprende que el aceite que penetra en una de estas

picaduras queda depositado en ella y es comprimido fuertemente al

pasar por la región cargada. La alta presión que se produce en el aceite

produce elevadas fatigas extensoras y la picadura se extiende. Esta

teoría explica por qué es necesaria la presencia del aceite para que se

produzcan picaduras y por qué disminuyendo su presión se detiene el

avanóe de las mismas. Para compararlos metales según su resistencia a

la picadura, se han realizado ensayos a fatiga variable con pares de ro-

dillos (fig. 2S9). Uno de los rodillos tenía un diámetro de 1,576 pulgadas,

y el otro, 1,500 pulgadas. Su longitud era 0,500 pulgadas. Los rodillos se

prepararon con su superficie finamente pulida, estando sus

irregularidades comprendidas entre 0,0001 pulgadas y 0,00018 pulgadas.

La velocidad de rotación varió entre 300 y 500 revoluciones por minuto,

y la lubricación se realizó con un aceite de máquinas de viscosidad 700-

900 segundos Saybolt, a la temperatura del ensayo. La fatiga compresora

máxima, dada por la ecuación (295) (pág. 363), y calculada para la carga

compresora suficiente para originar, al menos, una picadura por

pulgada

3?IG. 290


cuadrada de superficie de ensayo en 10 millones de ciclos, se ha definido

como el «límite de picadura» del material. Como la picadura es una

rotura por fatiga variable, es lógico pensar que la resistencia a la

picadura aumenta proporcionalmente a la dureza. Experimentalmente,

se ha visto que esta hipótesis está del lado de la seguridad.

En el caso de engranajes construidos con el mismo material que los

rodillos examinados anteriormente, las condiciones en a superficie de

contacto de los dientes son algo diferentes de las que se tienen en el caso

de rodillos, La principal diferencia es que la rodadura viene

acompañada de deslizamiento. Esta diferencia de condiciones origina un

aumento del límite de picadura.

81. Propiedades mecánicas de los metales a temperaturas elevadas.—

Acontece en muchas estructuras el que diversas partes de ellas están

sometidas a la acción simultánea de fatigas y

FIG. 291


altas temperaturas. Estas condiciones se encuentran, por ejemplo, en las

instalaciones de potencia y en las industrias químicas. Debido a las

tendencias modernas, consistentes en aumentar la temperatura del

vapor1 en las instalaciones de potencia, se ha trabajado mucho para

investigar la resistencia de los materiales a temperaturas elevadas 2.

Experimentalmente, se ha visto que

el punto de fluencia y la fatiga de rotura de ios metales están muy

afectados por la temperatura. En la figura 292 pueden verse varios

diagramas de tracción a diversas temperaturas para un acero al

carbono corriente 267. Hasta los 250° C., la fatiga de rotura aumenta;

pero, pasada esta temperatura, cae rápidamente. También, a

medida que la temperatura aumenta, el punto de fluencia se

acentúa menos y a 300° C. no se distingue sobre el

267 Véase la memoria del trabajo realizado por R. B. Wilhelm en el

laboratorio de investigación de la Westinghouse; Proa. Amer. ¿loe. Test. Matls., vol. 24, segunda parte, pág. 151, 1924.


diagrama. En la figura 293 pueden verse ampliados los primeros

trozos de los diagramas representados en la figura 292. Se deduce,

observando estas nuevas curvas, que el límite de proporcionalidad

del acero disminuye a medida qué aumenta la temperatura. Al

mismo tiempo, disminuye la pendiente de los trozos rectos de los

diagramas y, por tanto, el módulo de elasticidad del acero.

Todos los resultados obtenidos en los ensayos anteriores están

resumidos en la figura 294; de la que se deduce que, si bien la

resistencia del material disminuye cuando la temperatura aumenta,

su ductilidad, caracterizada por el alargamiento y la contracción en

área, aumenta.

Ensayos realizados a elevada temperatura han puesto de ma-

nifiesto que los resultados dependen mucho de la duración del ensayo a

tracción. Cuando la duración aumenta, la carga necesaria para que la

rotura acontezca es menor.


En la figura 295 se exponen tres diagramas para el mismo acero que

anteriormente a 500° C. y con duraciones de ensayo de seis, setenta y

doscientos cuarenta minutos, respectivamente. De aquí se deduce que los

datos obtenidos por los ensayos corrientes (duración, quince a veinte

minutos) y representados en

la figura 291, son aplicables solamente cuando las cargas actúan un

tiempo corto 268.

268 Esta figura y las tres siguientes están tomadas de las publicaciones de Me.

Vetty; véanse Mechanical Engineering, pág. 149, 1934, y Proc. Am. Soc. Test.


Para cargas que actúen por un período largo de tiempo a elevada

temperatura (como, por ejemplo, el peso de una estructura o la

presión del vapor en las instalaciones de potencia) es necesario tener

una información complementaria que tenga en cuenta el tiempo de

efecto. Experimentalmente, se ha visto

que en tales casos se presenta una deformación continua de

nominada «arrastre», que es el factor más importante que debe

considerarse al proyectar. A pesar de los muchos trabajos realizados

269 y de los muchos más actualmente en curso, no se

Mat., vol. 34, 1938.

269 Véanse las publicaciones.de J. H. S. Dickenson, Journal of Iron and Steel Inst., vol. 106, pág. 103, 1922; H. J. French y W. A. Tucker, Technologic Papers Bureau of Standards, núm. 296, 1925; T. D. Lynch, N. L. Mochel y P. G. Me. Vetty, Proc. Amer. Soc. Test. Matls., vol. 25, segunda parte, 1925; H. J. Tapsel y J. Bradley, Engineering, volumen 120, págs. 614 y 746, 1925, y Journal Inst. of Metals, vol. 35, página 75, 1926; P. G. Me. Vetty y JST. L. Mochel, Trans. Amer. Soc. Steel Treating, vol. 11, pág. 73, 1926; A. E. White y C. L. Clark, Trans. Amer. Soc. Mech. Eng., vol. 48, pág. 1075, 1926; H. J. Tapsell y W. J. Olénshaw, Dept. of Scientific and Industrial Research Eng. Re-search, Repport, núm. 1, 1927. Bibliografía más completa de investí-


puede considerar completamente esclarecido el comportamiento de los

metales cargados de modo prolongado a elevada temperatura.

En los experimentos de este género se estudia el alargamiento

gradual de los materiales por tracción prolongada. Las probetas,

mantenidas a una temperatura elevada, se someten a una carga

constante y se investiga el arrastre

progresivo que esta carga produce.

Los resultados de estos ex-

perimentos para una temperatura

dada y varios valores de la carga

pueden representarse, como se ha

hecho en la figura 296, por curvas de

tiempo- deformación L La curva de

arrastre A tiene una forma típica

para una fatiga relativamente alta.

Después de aplicar la carga, se

presenta el arrastre con velocidad

decreciente.

Fig. 296 Elpunto a es deinflexión y la

ve

locidad de arrastre aumenta hasta

que la probeta ensayada rompe. La curva B, correspondiente a una carga

menor, tiene una forma análoga. Debido a las menores velocidades de

arrastre, la rotura tarda más en producirse. Disminuyendo más y más la

carga, se obtienen las curvas G, D, E, F y G. Al disminuir la fatiga, va

creciendo el tiempo necesario para obtener el punto de inflexión en la

curva de arrastre. Para determinar los puntos de inflexión en curvas

tales como F y G, se requerirían tiempos sumamente grandes. Se ve que,

al disminuir la fatiga la curva de arrastre es esencialmente una linea

recta. Las fatigas de trabajo utilizadas en la práctica son menores que

las correspondientes a la curva G. Por consiguiente, la hipótesis de que

la curva de arrastre es una línea recta, tiene la aproximación suficiente

que requieren las aplicaciones. La pendiente de esta línea da la

«velocidad mínima de arrastre» para una fatiga y una temperatura

determinadas. El valor de esta velocidad de arrastre disminuye a medida

que lo hace la fatiga; pero no se tiene la certeza de que alcance un valor

nulo; es decir, de que exista una fatiga límite para la que la probeta

puede resistir indefinidamente la acción de la fatiga y de la temperatura


elevada. Al estudiar el arrastre progresivo de probetas sometidas á trac-

ción bajo carga constante y alta temperatura, deben tenerse presente

dos fenómenos: 1.® El endurecimiento del material, debido a la

deformación plástica, y 2.° La desaparición de este endurecimiento o

«recocido» del material debido a la acción prolongada de la alta

temperatura. El mecanismo de la fluencia a temperatura elevada es el

mismo que a la temperatura ambiente. La deformación plástica se debe

al deslizamiento del metal. El deslizamiento viene acompañado de un

aumento de la resistencia al deslizamiento, representado por el

endurecimiento por deformación (pág. 414).


La velocidad para la que el efecto del endurecimiento por

deformación desaparece depende de la temperatura. Hemos visto (pág.

410) que dicho efecto podría eliminarse en corto tiempo por una

normalización del metal a una temperatura elevada dependiente de la

naturaleza del metal. El mismo resultado se obtiene para temperaturas

más bajas que actúen un período largo. Por ejemplo x, al investigar la

normalización del cobre trabajado en frío, se ve que la normalización

producida en doce minutos a 300° C., puede obtenerse en 10,4 días a 200°

C. o, teóricamente, en 300 años a 100° C. Las curvas de arrastre de la

figura 296 muestran que al empezar la extensión la velocidad de arrastre

disminuye gradualmente. Esto se debe al endurecimiento por

deformación. En el punto de inflexión se establece una velocidad

constante, debido al equilibrio entre el endureci-


270 Véase Pilling y Halliwell, Proc. Amer. Soe. Test. Matls., volumen 25, 1925.

Véase también R. W. Bailey, Journal Inst. of Metáis, vol, 35, 1926.

ds

dt - at va + ce

miento y la normalización por recocido; esto es, el endureci-

miento por deformación que produce el arrastra se contrarresta

continuamente con el efecto de recocido a alta temperatura y

el arrastre continúa con una velocidad constante dependiente

de los valores de fatiga y temperatura.

El proyecto de elementos sometidos a la'acción simultánea

de fatiga y temperatura elevada debe basarse en la fijación de

un cierto valor para su vida y para

la deformación permanente admisi-

ble. Con este criterio se escogen las

fatigas de trabajo, variables con el

tipo de la estructura. El objeto de los

ensayos de larga duración con alta

temperatura es suministrar al pro-

yectista la información necesaria res-

pecto a las deformaciones permanen-

tes antes mencionadas debidas al

arrastre.

La duración de

los ensayos de

laboratorio no excede eorrientemen-

Ttcmpo t- H»rjS te de algunos miles de horas, y para

FIG. 297 deducir la deformación por arrastre

durante la vida de una estructura se

extrapola en los resultados obtenidos. Experimentalmente se

ha deducido queparadiversos tipos de acero el exceso de la ve-

locidad dearrastre(fig. 296) sobre la velocidad mínima, en el

primer trozo de las curvas de arrastre, disminuye geométrica-

mente cuando el tiempo aumenta aritméticamente. Llamando s

al alargamiento inelástico total correspondiente a un tiempo t; v,

a la velocidad de arrastre correspondiente, y v0, a la velocidad

de arrastre mínima, la expresión de v será 270

(a)

donde c, v0 y a son valores constantes que se deducen de las cur-

1 Véase referencia 1, pág. 462. Un estudio comparativo de los méto- dos de extrapolación puede verse en la publicación de J. Marin, Proc. Am. Soc. Test. Mat., vol. 37, pág. 258, 1937.



vas de arrastre. Sea, por ejemplo, un metal cuyas curvas de arrastre

para diversos valores de la fatiga y una temperatura constante 850°

F. sean las de la figura 297. Midiendo la pendiente en cinco puntos

de cada una de dichas curvas, se obtienen cinco valores de la

velocidad de arrastre para cada fatiga correspondientes a cinco

valores diferentes de t, y puede, por tanto, construirse las curvas de

la figura 298. Las asíntotas horizontales de estas

curvas nos dan, evidentemente,

los valores de v0 para las fatigas

aplicadas. Llevando ahora en

coordenadas sobre la misma figura los

valores de l°gn (v — vo) y del tiempo, se

obtiene un sistema de líneas paralelas

inclinadas, lo que comprueba la

exactitud de la expresión (a).

De estas líneas se deducen los valores

de las constantes

c y a, midiendo las ordenadas de las

líneas para t = 0 y su pendiente. El

alargamiento plástico se obtiene

integrando la ecuación (a), lo que da

(b)a

donde s0 es una constante.

Aplicando esta ecuación para un valor particular de t y co-

nocido el alargamiento plástico correspondiente por la figura 297,

puede calcularse el valor de s0. Utilizando la ecuación (ó), después

de haber determinado todas sus constantes, pueden trazarse las

curvas de la figura 299. Conocido este sistema de curvas para un

material y una temperatura definidos, puede escoger fácilmente el

proyectista la fatiga de trabajo apropiada si se fija la vida de la

estructura y la deformación plástica admisible.

En lo expuesto anteriormente hemos supuesto que la defor-

mación plástica venía acompañada de endurecimiento por de-

RESISTEJTOIA BE MATERLAXES.—T. II

íf /eoxio'T

\ 4/eacton 4 aso‘r, vsv'c.

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•i»-5.SOM* l _ Vi -2jíí»«r’

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¿OO' icoo 9000 Tfcfftp* i*- hor&s

Fig. 298

-at

80


formación. La experiencia muestra que al aumentar la temperatura,

el endurecimiento por deformación se acusa cada vez menos. La

temperatura máxima para la que todavía se observa

endurecimiento por deformación varía con el material, y,

tratándose de aceros, con su

composición. Por ejemplo, con acero

dulce al carbono (0,17 C.) y una fatiga

de 2.200 libras/pulgada2, no se

observó 271 endurecimiento por

deformación a 647° C. En estas

condiciones, la curva de arrastre

tiene la forma que indica la figura

300; es decir, la velocidad de arrastre

crece continuamente con el tiempo.

Es interesante señalar que las dos

clases de curvas de arrastre (figuras

296 y 300) corresponden a dos tipos

distintos de rotura. Cuando existe

endurecimiento por deformación, la

fluencia en cierto punto de la probeta

aumenta la resistencia en dicho punto y el deslizamiento próximo

acontece en alguna otra dirección. Como consecuencia de esto, el

alargamiento es uniforme y la probeta conserva la forma cilindrica

hasta la iniciación del cuello. Si, por el contrario, no existe

endurecimiento por deformación, la

fluencia local que acontece en la sección

más débil se extiende hacia los

extremos de probeta de modo

amortiguado, por lo que los dos extremos

de la probeta tienen forma cóniea desde

los extremos hasta la sección de rotura.

Por la acción prolongada de la temperatura elevada se presenta en

el metal una transformación metalográfica de natura

271 Véase el libro de H. J. Tapsell,' ya citado, pág. 462.

to*m¡

Peformjc/on PfáJtic*

FIG. 299

T.0%


leza tal que reduce la resistencia del acero al arrastre. Este efecto

se acentúa en los casos de acero con gran porcentaje de carbono.

Para reducir esta transformación estructural, es necesario tratar

térmicamente dé modo adecuado a la pieza, a fin de asegurar la

estabilidad metalográfica x.

La mayoría de los datos referentes a la resistencia de los

metales a temperaturas elevadas se han obtenido en ensayos a

tracción simple. El campo de esta resistencia bajo fatigas com-

binadas está casi inexplorado. Bailey ha realizado algunos ensayos

interesantes con plomo 272, a fin de obtener alguna información

acerca del arrastre del acero. Dicho metal tiene un punto bajo de

fusión y el fenómeno de arrastre lo presenta a la temperatura

ordinaria. Los experimentos con fatigas combinadas son mucho más

sencillos a esta temperatura y arrojan luz sobre el comportamiento

del acero solicitado por las mismas fatigas combinadas y sometido a

temperatura elevada.

E. L. Everett 273 ha realizado ensayos de arrastre por torsión a

temperatura elevada con tubos delgados de acero en la Universidad

de Michigán. Este tipo de ensayo tiene ventajas comparado con el

comente a tracción, ya que la deformación plástica por torsión no

afecta a las dimensiones de la sección de la probeta y los pequeños

cambios de volumen debidos a la fluctuación de la temperatura y a

la transformación metalográfica no influyen sobre el ángulo de

torsión.

Antes de terminar el anáfisis que estamos efectuando, conviene

subrayar que el arrastre progresivo puede producir una

redistribución de fatigas en aquellas partes sometidas simultá-

neamente a las fatigas y a las temperaturas elevadas. En los puntos

de gran concentración de fatiga, la velocidad de arrastre es mayor

y, por consiguiente, el arrastre originará una distribución de fatiga

más favorable. Algunos ejemplos de este género han sido estudiados

por Bailey274.

272 Véase la publicación presentada en la World Power Conference, Tokio,

1929. 273 Transa Am. Soc. Mech. Engrs., vol. 53, pág. 117, 1931.

274 R. W. Bailey, Inst. Mech. Eng., 1927; Engineering, vol. 124, pág. 44, 1927; vol. 129, 1930; Inst. Mech. Engrs., 1935. Véanse también C. E. Soderberg, Journal Appl. Mech., vol. 1, pág. 131, 1933;


82. Diversas teorías de la rotura K—Las propiedades mecánicas

de los materiales han sido principalmente estudiadas rompiendo

probetas en máquinas de ensayos mediante solicitaciones a fatiga

simple. La mayor parte de nuestra información referente a

resistencia de metales procede de los ensayos a tracción simple. La

resistencia de materiales quebradizos, tales como piedra u

hormigón, ha sido estudiada por ensayos a compresión y también se

tiene cierta cantidad de información con referencia a la resistencia

por cortadura de los materiales. La resistencia de los materiales en

condiciones más complicadas de fatiga se ha investigado solamente

en casos excepcionales. Por ello, y para tener una base conducente

a fijar las fatigas de trabajo en los casos de fatigas combinadas, tan

frecuentes en la práctica, se han ideado diversas teorías de

resistencia. El objeto de estas teorías es establecer leyes en virtud

de las que se pueda, partiendo del comportamiento de un material

en los ensayos a tracción o compresión simple, predecir las

condiciones de rotura bajo

cualquier clase de fatiga combi-

nada. Rotura significa, en este caso,

fluencia o rotura real, según lo que

pueda acontecer primero.

FIG. 301

En el caso más general, el es

tado de solicitación de un elemento

del cuerpo elástico está definido por el valor de las tres fatigas

principales: ax, ay y az (fig. 301). Nosotros supondremos que entre los

valores algebraicos de las fatigas principales acontece

o x >a y > c z , (a)

siendo positivas las tracciones y negativas las compresiones.


(310)

La teoría más antigua, denominada «teoría de la fatiga máxima»275,

toma la fatiga máxima como criterio de resistencia y supone que, en

el caso de materiales dúctiles, la fluencia comienza en un elemento tal como el de la figura 301, cuando la fatiga

máxima iguala a la fatiga en el punto de fluencia del material,

cuando sé ensayó a tracción simple, o cuando la fatiga mínima

iguala a la fatiga en el punto de fluencia del material, cuando se

ensayó a compresión simple. Esta hipótesis da como condiciones de

fluencia

(309)

donde es el punto de fluencia a tracción simple y aFl el de

compresión simple. Existen muchas pruebas en contra de esta

teoría. Hemos visto, por ejemplo (fig. 214), que, en el caso de extensión simple, el deslizamiento acontece a lo largo de planos

inclinados respecto al eje de la probeta; es decir, planos para los

que la fatiga normal no es máxima. Se sabe también que un cuerpo

homogéneo e isótropo, poco resistente a compresión simple, puede

sufrir grandes presiones hidrostáticas sin fluencia. Esto indica que

el valor de la fatiga máxima extensora o compresora no basta para

definir la condición de fluencia.

Otra teoría de resistencia, atribuida corrientemente a Saint-

Venant, es la denominada «teoría de la deformación máxima». En

esta teoría se supone que la fluencia de un material dúctil acontece

cuando la deformación máxima (alargamiento) iguala a la

deformación para la que se presenta la fluencia en el caso dé

tracción simple o cuando la deformación mínima (acortamiento)

iguala a la deformación unitaria en compresión simple. Es decir,

cuando en virtud de las ecuaciones

(43), Primera 'parte, se verifica

o

275 Una exposición de estas teorías puede verse en las publicaciones de H.

M. Westergaard, Jour. Franklin Inst., 1920; A. J. Becker, Bull., núm. 85, Eng. Expt. Stat. TJniversity of Illinois; F. Schleicher, Zeitsch- rift f. angew. Math. u. Mech., vol. 5, pág. 199, 1925; A. Nadai, Journal Appl. Mech., vol. 1, pág. 111, 1933.


También existen casos en contradicción con esta teoría. Por

ejemplo, cuando una placa se somete a tracción en dos direcciones

perpendiculares, la teoría de la deformación máxima implicaría un

punto de fluencia mayor que el del caso de tracción simple, ya que

el alargamiento en cualquiera de las dos direcciones está

contrarrestado en parte por la tracción de dirección perpendicular.

Esta conclusión está en contradicción con los experimentos h Los

ensayos con probetas sometidas a presión hidrostática dan

resultados también en desacuerdo con esta teoría.

Mucho más de acuerdo con los experimentos (al menos con

materiales dúctiles para los que aF i sea igual a aFl) está la «teoría

del esfuerzo cortante máximo». Esta teoría supone que la fluencia

comienza cuando la fatiga cortante máxima iguala a la fatiga

cortante máxima que acontece en el punto de fluencia del ensayo a

tracción simple. Como la fatiga cortante máxima es igual a la

semidiferencia entre las fatigas principales máxima y mínima, la

condición de fluencia será a

i (311)

En el proyecto de maquinaria se emplea actualmente esta teoría

para materiales dúctiles. Su aplicación está de acuerdo con los

experimentos y resulta muy sencilla 276.

276 La comparación de las diversas teorías de resistencia, desde el

punto.de vista del proyecto de maquinaria dado por J. Marin, puede verse en Product Engineering, mayo 1937.


La cantidad de energía de deformación almacenada por unidad

de volumen del material también se ha propuesto como base para

determinar el comienzo de la fluencia 277. Utilizando la ecuación

general (192) (pág. 301, Primera parte) e igualando la energía

correspondiente al caso de la figura 301 con la que en el punto de

fluencia corresponde a tracción simple, se tiene

W = 2E + + ^ ~~ E ^x<Jv + GyGz + ^ = ff ^312^

Para comparar las diversas teorías de resistencia, conside-

raremos, por ejemplo, el caso de cortadura pura.. En este caso, la

fatiga compresora máxima es igual a la fatiga extensora máxima y a

la fatiga cortante máxima (artículo 16, Primera 'parte). Por tanto,

Suponiendo que el material tenga el mismo punto de fluencia a

tracción y a compresión, las condiciones de fluencia que establecen

las diversas teorías son

por las ecuaciones (309) por las ecuaciones (310)

por la ecuación (311)

La ecuación (312) da, para este caso,

w _ ’°S(278 +. I1) _

E 2 E

de donde

T _ qj>* y/^r+j)

Tomando p = 0,3, caso del acero, se tiene: t = aFl, para la teoría de

la fatiga máxima; t = 0,77 aFl, para la teoría de la deformación

máxima; t = 0,50 aFli para la teoría de la fatiga cortante máxima; t =

0,62 am, para la teoría de la energía de deformación máxima.

Puede verse que la diferencia entre los resultados que dan las

277 El primero que estableció esta teoría fué Beltrami, Bendiconti, pág.

704, 1885; Math. Annálen, pág. 94, 1903; véanse también Girtler, Sitzungsberichte d. Wiener Alead., vol. 116, 11.a, pág. 509, 1907, y B. P. Haigh, Engineering, vol. 109, pág. 158, 1920, y Brit. Aasoe. for the Adv. of Science, Reports, Edinburgh, 1921.

278 En la publicación de Roth, Zeitschr. f. Math. u. Phys., vol. 48, 1902, puede verse la comparación de las diversas teorías de resistencia en varios problemas de proyecto.

GFI

aFi

T

1

T — — <3Fl li .


diversas teorías en este caso particular 1 es muy considerable.


Si, por ejemplo, se trata de un eje circular solicitado a torsión y

suponemos un coeficiente de seguridad n; es decir, crm4X = —,

/íb

por la ecuación (149), Primera parte, para las diversas teorías de

resistencia se obtendrán los diámetros siguientes;

y—* r 0.62

o bien

1 : 1,09 : 1,26 : 1,17.

La figura 902 compara gráficamente las cuatro teorías expuestas

'para el caso de un estado elástico doble (<J, = 0) 279 y

on = aFl. Las líneas de la figura representan los valores de ax y ay,

para los que comienza la fluencia según las diversas teorías. La

teoría de la fatiga máxima está representada por el cuadrado 1234.

Las longitudes OA y OB representan los puntos de fluencia en

tracción simple para las direcciones % e y, respectivamente. Del

mismo modo, A' y B' corresponden a la compresión simple. El punto

1 representa tracciones iguales en las dos direcciones

perpendiculares e iguales a la del punto de fluencia en tracción

279 Véanse las publicaciones de A. J. Beeker, ya citada, pág. 468, y

B. P. Haigh, ya citada, pág. 470.

FIG. 302


simple. La teoría de la fatiga máxima establece que no existe

fluencia para ningún punto interior al cuadrado 1234. La teoría de

la deformación máxima está representada por el, rombo 5678. Como

la tracción en una dirección reduce la deformación en una dirección

perpendicular, las dos tensiones iguales correspondientes a la teoría

de la deformación máxima pueden tener valores mayores en la

fluencia (valor representado por el punto 5) que los

correspondientes a la teoría de la fatiga máxima (punto 1). Si las dos

fatigas principales son iguales y de signo contrario, la teoría de la

deformación máxima (puntos 6 y 8) indica que la fluencia comienza

para valores menores que los correspondientes a la teoría de la

fatiga máxima. La teoría de la fatiga cortante máxima está

representada por el hexágono irregular AlBA'ZB' A. Este hexágono

coincide con la teoría de la fatiga máxima cuando las dos fatigas

principales son del mismo signo; pero la diferencia entre las dos

teorías es considerable cuando las fatigas principales tienen signos

opuestos. La ecuación (312) correspondiente a la teoría de la energía

de deformación máxima se reduce en los problemas de dos dimen-

siones a

al + O» ~ 2 [X<5xGy — oj,.

Representando gráficamente esta ecuación, se obtiene la

elipse.de la figura 302, cuya área representa todos los puntos para

los que, según la teoría de la energía de deformación máxima, no

acontece la fluencia.

El primero en desarrollar la teoría de la energía de deformación

máxima fué Huber 1. Para poner esta teoría de acuerdo con el hecho

de que los materiales puedan experimentar grandes presiones

hidrostáticas sin fluencia, Huber propuso que, cuando

la fatiga media ^ (ax -f- oy -J- <Jz) es una compresión, se dividiese la

energía de deformación en dos partes: una, debida a la variación de

volumen, y otra, a la distorsión, y que se considerase solamente esta

segunda parte.


\i°x + ^ + at) = p O

y la ecuación (45), primera parte, para la variación unitaria de

volumen A, la energía de deformación debida al cambio devolu- men

es pA 3(1 — 2 fi) 1 — 2 JJ.


w, = — = —— - — p¿ = ——— (a,_ + + crz) 2 2 E 6 E

Restando esta expresión de la energía total w (ecuación 312), se

encuentra para la energía de distorsión

w<L = w — wí = [(<**— <b/)280 + (»,~°z)2 + (S — oz)2]. (313)

t) Mi

En el caso p < 0, Huber propuso usar wz, en lugar de la energía

total w, como condición de fluencia.

Aplicándolo también al caso de cortadura pura y al de extensión

simple, tendremos, mediante la ecuación (313):

Para fatiga cortante pura (ax — — az = r; oy = 0),

E

Y para tracción (<JX = cr; ay — GZ — 0),

280 B E

La condición de fluencia en cortadura pura es (1

+ ¡Í.)T2 _ (1 -f g)cr|^

E B E de donde 1

T = -^=<yFl= 0,557 rsm. (314) __________________________ V3

1 Los recientes experimentos de W. Lode, Zeitschrift f . Physik, vol. 36, pág. 913, 1926; Forschungsarbeiten, núm. 303, 1928, y de M. Ros y A. Eichinger, Material prüfungsanstalt dyde É. T. H., Zu- rich, 1926, Diskussion, Berichte, núm. 28, 1928, y núm. 34, 1929, están en mejor acuerdo con esta teoría de la energía de deformación máxima que con la teoría de la fatiga cortante máxima; pero en la mayoría de los casos la diferencia entre las dos teorías es pequeña, lo que no hace práctico introducir la teoría de la energía máxima en el proyecto de maquinaria. Posteriores desarrollos de esta teoría pueden verse en la publicación de F. Schleicher, ya citado, pág. 468. Véase también W. von Burzynsky, Sweiz. Bauz., vol. 94, 1929.


La teoría de la fatiga cortante máxima ha sido desarrollada por

O. Mohr 281. En. su estudio ha introducido sus conocidos círculos

(artículo 18, Primera parte). En esta representación, las com-

ponentes normal y tangencial de la fatiga ligada a un plano cual-

quiera vienen dadas por las coordenadas

de un punto del área rayada (fig. 303). Los

puntos pertenecientes a una misma vertí-

o cal, como la MN, representan fatigas

ligadas a planos, para los que la

componente normal es constante y

únicamente varía la componente

cortante. De todos estos planos, el más

débil, natu- FIG. 303

raímente, es el que corresponde

al punto N, perteneciente al círculo exterior. Repitiendo el razo-

namiento con puntos pertenecientes a otra vertical, se llega final-

mente a la conclusión de que el plano más débil será uno de los que

su estado elástico corresponde a los puntos del círculo exte-

281 O. Mohr, V. D. I., vol. 44, pág. 1524, 1900. Véase también su

AbhcmcUungen ans dem Gebiet d. technischen Mechanilc, segunda edición, pág. 192, Berlín, 1914,


rior ANC. Por consiguiente, basta el círculo exterior para deter-

minar las condiciones de fatiga para las que comienza la fluencia.

En la figura 304 la longitud O A representa el punto de fluencia a

tracción simple, y el círculo de diámetro OA la condición de fluen

FIG. 304

M,


cia en extensión simple. Análogamente, el círculo de diámetro OG

corresponde a ia fluencia en compresión simple, y el círculo de

diámetro DB, a la fluencia en estado cortante puro. Si, experi-

mentalmente, para un material dado se obtienen círculos de este

género, pueden trazarse sus envolventes, que en el caso actual son

las líneas MN y MtNv Mohr ha supuesto que cualquier estado elástico

para el que pueda acontecer la fluencia debe estar representado por

un círculo tangente a dichas envolventes. Supongamos, por ejemplo,

que las envolventes MN y MÍN1 se reemplazan por líneas rectas (fig.

305). De este modo, se puede calcular

fácilmente la condición de fluencia en el caso de cortadura pura, si

se conocen las condiciones límites a tracción simple (ax = aFl) y a

compresión simple {az = a'Fl). De la figura se deduce

OF = FG= FH = -GH = - L K = - gg-Hük eos <p. 2 2 2 2

La fatiga que produce fluencia en cortadura pura, radio OD del

círculo de centro O y tangente a MN, es

xFl = OD = OF eos 9 ~ ^ — an) cos2 ?• («)

El ángulo <p se deduoe del triángulo KLP, de donde

Sustituyendo en (a),

~n — —r CT.FZ Up;

cuando aFl~—a'n, la ecuación (c) coincide con la teoría de la fatiga

cortante máxima.


Aplicando la ecuación (c) a la fundición 282 y suponiendo que la

fatiga de rotura a compresión es cuatro veces mayor que la de

rotura a tracción, se halla para la fatiga de rotura por cor-

4cr283

tadura el valor xr = = 0,8 ar = 0,8 de la fatiga de rotura

a tracción. r

Este resultado está de acuerdo con los experimentos realizados

por C. Bach con cilindros huecos de fundición2. Th. v. Kar- man 284 y

R. Boker 1 han realizado experimentos muy detallados con mármol y

con piedra arenisca.

83. Fatigas de trabajo.—La elección de los coeficientes de

seguridad al proyectar estructuras y órganos de máquinas es un

problema muy delicado y de la mayor importancia práctica. Si el

coeficiente se toma demasiado bajo, las fatigas de trabajo serán inuy

elevadas y la estructura trabajará en malas condiciones; si, por el

contrario, las fatigas de trabajo son demasiado bajas, la estructura

resultará innecesariamente pesada y antieconómica. Para analizar

los diversos factores que deben considerarse al elegir las fatigas de

trabajo, vamos a considerar el sencillo caso de una barra prismática

sometida a extensión simple. Supongamos que se toma el punto de

fluencia del material como base para fijar la fatiga de trabajo. La

sección A que debe tener la pieza se deduce de la ecuación

- = r - ' w n A

Se ve que el área de la sección depende del valor de la carga

exterior P, del punto de fluencia del material aFl y del coeficiente de

seguridad n. Como es natural, el valor de este coeficiente depende

de la exactitud con que se conozcan los otros valores que

intervienen en la ecuación (a); es decir, la carga exterior y las

propiedades mecánicas del material, y de la exactitud con que la

ecuación (a) represente la fatiga máxima.

Hay casos en los que las fuerzas exteriores se conocen con gran

aproximación. Se conoce exactamente, por ejemplo, la presión

282 En el caso de un material quebradizo, la teoría anterior se aplica a la

fatiga de rotura en lugar de a la fatiga en el punto de fluencia. a C. Bach, Elastizitat und Festigkeit, 7.a edición, pág. 362. 284 Th. v. Karman, Forschungsarbeiten, núm. 118; véase también V . D .

I . , vol. 55, 1911.


hidrostática sobre una pieza, conocida la altura del agua. Lo mismo

sucede con las fuerzas centrífugas que actúan sobre un rotor de

velocidad angular definida. Pero en la mayoría de los casos sólo se

conocen las fuerzas de modo aproximado y el caso de carga más

desfavorable para una estructura se estima únicamente a base de

una larga experiencia. Sea, por ejemplo, el proyecto de un puente.

El peso del puente y el peso del tren que lo atraviesa pueden

conocerse con suficiente exactitud; pero al proyectar el puente

deben tenerse en cuenta los efectos dinámicos. Debido a la

vibración vertical de las masas, la presión de las ruedas de la

locomotora sobre el carril no es constante y la presión máxima es

mayor que la presión estática. Bajo la acción de las cargas móviles y

variables, el puente entra en vibración, y en estas condiciones el

problema de determinar los esfuerzos en los elementos del puente

es extremadamente complejo. Otro tipo de fuerza que obra sobre el

puente y no se conoce con exactitud es la presión del viento. El

valor de las fuerzas expresadas se estima a base de la experiencia

adquirida con estructuras ya existentes.

Del análisis expuesto se deduce que si la ecuación (a) representa

la condición de seguridad para una barra de puente, la fuerza P no

se conoce con exactitud y solamente se estima de modo aproximado.

La precisión con la que se haga esta estimación afectará al valor del

coeficiente de seguridad.

El valor de aFl tampoco es una cantidad exactamente conocida.

Varía en cierto grado para el mismo material y esta variación

depende de la homogeneidad del material. Como es natural, el

coeficiente de seguridad puede tomarse mucho más bajo en el caso

de materiales homogéneos, tales como el acero, que en el de

materiales que no lo son, como la madera o la piedra.

También es necesario tener en cuenta la aproximación propia

de la fórmula al escoger el coeficiente de seguridad. La ecuación (a)

se puede considerar muy aproximada para el cálculo de fatigas en

probetas sometidas a ensayos de tracción (véase figura 248), a causa

de las precauciones especiales que se toman para aplicar

centralmente la carga y para que se distribuya uniformemente

sobre la sección más débil. Pero volviendo a considerar como

ejemplo la barra de un puente, se ve que la ecuación (a) es sólo una

grosera aproximación basada en la hipótesis corriente de que en los

nudos el enlace de barras es una articulación ideal. El estado real


de fatiga en dichas barras es muy distinto de la extensión simple.

Debido a la rigidez de los nudos, la barra experimenta flexión,

además del esfuerzo directo. Las fatigas por flexión son a veces de

valor considerable, y si no se toman en consideración y se utiliza la

ecuación (a) para determinar el área de la sección recta de la pieza,

debe compensarse la inexactitud que en este caso tiene la ecuación

(a) aumentando el coeficiente de seguridad.

De este estudio se deduce las dificultades de establecer unas

normas definidas referentes al valor del coeficiente de seguridad y

cómo este factor depende y dependerá siempre de la experiencia y

buen juicio del proyectista.

En el estudio que sigue se supone que las fuerzas se establecen

con arreglo a los datos suministrados por las últimas realizaciones

y que se conocen las propiedades mecánicas del material.

Comenzaremos el examen de cómo los diversos estados de fatiga

influyen sobre el modo de escoger las fatigas de trabajo,

considerando aquellos casos en que las fatigas permanecen cons-

tantes; tales, por ejemplo, los de estructuras sometidas únicamente

a cargas estáticas o máquinas que giran a velocidad constante. La

primera cuestión a resolver es si se toma en la determinación de la

fatiga de trabajo el punto de fluencia o la fatiga de rotura como

fatiga límite. En el caso de materiales dúctiles, tales como el acero

de construcción, parece lógico tomar el punto de fluencia como base

para determinar las fatigas de trabajo, debido a que las

deformaciones considerables que acontecen por la fluencia son rara

vez admisibles en las estructuras utilizadas en ingeniería. En el

caso de materiales quebradizos, tales como fundición u hormigón,

las fatigas de trabajo se fijan como fracción de la fatiga de rotura.

Conocido el punto de fluencia aFi de un material dúctilx, la fatiga

de trabajo a tracción o compresión es

(j — CUH, ln v

'

donde n es el coeficiente de seguridad. En las estructuras corrientes

este coeficiente se toma igual a 2. Si se considera el caso de carga

más desfavorable, el coeficiente baja corrientemente a 1,5 285. Debe

285 A veces los cálculos se realizan para dos estados de carga diferentes^

1.°, el estado de carga normal; 2.°, el de condiciones limites, para el que se toman las condiciones posibles de carga más desfavorables. Para este


significarse que cuando la carga es estática y el material dúctil, la

concentración de fatiga debida a agujeros o ángulos entrantes no se

considera de ordinario y que la fatiga máxima se calcula por

ecuaciones sencillas, tales como la (a) para esfuerzos directos, para

torsión (ecuación 149, Primera parte) y para flexión (ecuación 58,

Primera parte).

Una vez establecidas las fatigas de trabajo para extensión y

compresión simples, las correspondientes a otros estados elásticos

se determinan corrientemente por la teoría 286 de la máxima fatiga

cortante (pág. 470), para la que

■,, = 5 = 123. (C)

2 2 n

Este valor es el que se utiliza en los casos de fatigas combinadas; es

decir, que la estructura se proyecta de modo que

= Tt = l ^ n , ( d ) 2 2 n

segundo caso se toma un coeficiente de seguridad más bajo.

286 La aplicación para el proyecto de las otras teorías ha sido estudiado por J. Marin, Product Engineering, mayo 1937.


donde rsx y c, son, respectivamente, las fatigas principales máxima y

mínima, por lo que ei primer miembro de la ecuación (d) representa

la fatiga cortante máxima. En el caso particular de flexión y torsión

combinadas sobre un eje circular (art. 62, Primera 'parte)y tenemos

= X/ = 16 V-M2 + M2, 2 7C#

de donde

d = ]/16 V TZTt

En el caso de materiales quebradizos, las fatigas de trabajo a

tracción y compresión son

- ^ (¿> nl %i

donde cr, es la fatiga de rotura a tracción, o/ la fatiga de rotura a

compresión y n1 el factor de seguridad. Para"materiales tales como

hormigón o fundición este coeficiente se toma relativamente

elevado, oscilando, según los casos, entre 4 y 8.

Una vez fijadas las fatigas de trabajo a tracción y compresión,

pueden obtenerse para otro tipo de solicitación mediante la teoría

de Mohr, expuesta en la página 475. La teoría de la fatiga máxima

(pág. 469) se emplea corrientemente en el caso de materiales

quebradizos; es decir, se determinan las dimensiones de modo que

la fatiga extensora máxima no sea mayor que la fatiga de trabajo a

tracción simple, y que la fatiga compresora máxima no sobrepase a

la fatiga de trabajo a compresión; Debe subrayarse que para

materiales quebradizos la concentración de fatiga debe tenerse en

cuenta (véase cap. VII) al calcular las fatigas máximas de extensión

y compresión.

Se ha supuesto en la exposición anterior que puede aplicarse el

principio de superposición, lo que significa que la fatiga máxima es

proporcional a la carga. Por consiguiente, el coeficiente de

seguridad n, que se emplea en la determinación de las fatigas de

trabajo, es aplicable a las cargas exteriores, y puede estable- Resistencia de materiales.—T. II

31


cerse que la fluencia de la estructuré comienza para una carga igual a n veces la carga normal de la

estructura. Si el principio de superposición no es válido, la fatiga máxima no es proporcional a la

carga, y és necesario aplicar el coeficiente de seguridad a la carga y determinar las dimensiones de

la estructura de modo que la fluencia acontezca solamente si las cargas que actúan se hacen n veces

mayores. La aplicación de este método al caso de fatigas ñectoras y directas se lia estudiado en el

artículo 4 (véase pág. 34) Este método se aconseja también en el proyecto de columnas por el

procedimiento de las inexactitudes supuestas (véase pág. 248, Primera parte).

Al estudiar la deformación plástica de estructuras se señaló que,

en lugar de aplicar el coeficiente de seguridad a la carga para la que

acontece la fluencia, podrá tomarse respecto a la carga de rotura.

En el artículo 68 se han visto algunas aplicaciones de este último

método de proyecto. Algunas veces, como, por ejemplo, en el

proyecto de aviones, se aplican ambos métodos y se usan dos

coeficientes de seguridad distintos: uno respecto a la carga hasta

que la fluencia no acontece, y otro respecto a la carga capaz de

producir el colapso completó de la estructura.

En el caso de fatigas variables el problema de la selección de

fatigas de trabajo es más complicado, puesto que las fatigas

producidas por causas dinámicas, tales como vibraciones y choque,

se conocen corrientemente con mucha menos aproximación que las

fatigas producidas estáticamente; y, por otra parte, las propiedades

de los materiales por la acción de fatigas variables no han sido

estudiadas aún de modo completo. Los ensayos a fatiga alterna son

la base general de la determinación de fatigas de trabajo para este

caso. Si de un material dado se han obtenido, mediante ensayos, los

datos suficientes para construir curvas empíricas, tales como las

parábolas de Gerber, o líneas rectas como las de la figura 276,

pueden determinarse mediante ellas las fatigas de trabajo. En

muchos casos se carece de esa información completa, y las fatigas

de trabajo se escogen conocidos el límite de tolerancia para fatiga

alterna (<rmáX = — Omin) y el punto de fluencia para tracción simple

aFí.

A continuación expondremos un método aplicado con éxito en el

proyecto de órganos de máquina x. Sea, primero, el caso de una

fatiga directa variable, que puede considerarse como la

superposición de una fatiga constante media, y de una fatiga

alterna, dadas por las fórmulas

G’máx “t - CTmíi\ ®máx ^¡aín —

Tomando am como abscisa y oa como ordenada, una fatiga

variable cualquiera vendrá representada por un punto en el plano


am, aa de la figura 306.

A representa el punto de fluencia en un ensayo estático (<sa = 0),

y B el límite de tolerancia para fatiga alterna (ow = 0).

La hipótesis consiste en suponer que para otros casos de fatiga

variable las condiciones límites de fatiga 287 están representadas por

los diversos puntos de la línea recta AB. Esta hipótesis, teniendo en

cuenta el estudio realizado en la página 436, es evidente que da

seguridad al compararla con las parábolas de Ger- ber y con las

líneas rectas de la figura 276. Si se dividen OA y OB por «1

coeficiente de seguridad, se obtienen puntos que

1930; Journal of Appl. Mech., vol. 1, pág. 131, 1933. Véase también


21

determinan la línea recta GD, paralela a la AB, representativa dé las

condiciones seguras de trabajo. Mediante esta línea pueden

determinarse fácilmente los valores de trabajo de am y aa

para cualquier valor de la relación —. Por ejemplo, en las Gm

condiciones de trabajo correspondientes al punto G se tiene cm = OF, aa

— FG, y por los triángulos semejantes GFG y DOG se deduce

Ga O5 (/)

' > 2l'l _ aFl * . n

de donde

-*-■?«» (315) n Ge api

= n ---------------- 'Vt'5 a‘ “ í ---------- • (316) ^ 6 m l -j- ^ ^

(5q G m

Se ve que para un valor dado de — las fatigas de trabajo Gm

ca Y Gm se obtienen por las ecuaciones (316), si se conocen, mediante

ensayos, los valores de ae y GFI y se fija el valor adecuado del coeficiente

de seguridad n. Supongamos, por ejemplo, que una barra de acero,

para la que aF¡ sea 2,900 kg./cm.8 y ae — 2,100 kg./cm.8, se somete a

fatigas repetidas que varíer entre 0 y cmáx- En este caso

_ _ ' °niáx _________________ Gm i Ga = ------ — > — = 1,

2 Ca

y para n — 2, las ecuaciones (316) dan

2.100 1

= 609 kg./cm.8;

om = ._J— = 609 kg./cm.8. 2 29

1 -f-

1 — 29


Por consiguiente,

®máx == ®m == 1*218 kg./cm.2.

En la discusión anterior se ha supuesto que se trataba de una pieza

prismática y que la fatiga directa se obtenía dividiendo la fuerza axial

por el área de la sección recta de la barra. Si la forma de la barra

origina concentración de fatiga en algunos puntos, caso de acuerdos o

agujeros, esta concentración debe tenerse en cuenta al escoger las

fatigas admisibles. La práctica muestra que una buena norma de

proyecto es considerar la concentración de fatiga solamente en la

parte variable de la fatiga, y despreciarla en el cálculo de la fatiga

media constante 288.

Empleando los símbolos am y o„ para los valores nominales de las

fatigas (despreciando la concentración de fatiga), y representando por

Je el factor de concentración de fatiga, que solamente aplicamos a la

fatiga alterna, se obtiene, al sustituir kaa en iugar de aa en las

ecuaciones (315) y (316),

(317) n ae uFl

_ _ 1 _ __<*Fl 1 /oí o\ Ga ~ -------------------------------------------- ■ »am = — (318)

kn 1 _[_ ^n i ají kaa

o*g

Considerando nuevamente la pieza del ejemplo anterior, y

suponiendo que presenta una concentración local de fatiga k = 2, se

obtiene ^ 2.100 1 a = : ---------------------------- 2 x 2 , , 2 1 1 + 2y X ' 2 .

385 kg./cm.a. 2 1 + — X 2

21

®máx == "f" == 770 kg./cm.2.

288 Véase R. E. Peterson, Proceedinge Am. Soc. Test. Mat., volumen 37,

Í937.

— 385 kg./cm.2.

29 X 2

2.900 1


Las ecuaciones (318) se aplican también en los casos de flexión.

Supongamos, por ejemplo, que un eje de acero, para el que opl —

2,900 kg./cm.2 y ae = 2,100 kg./cm.2, sea flexado por su propio peso

mientras gira. En este caso Gm = 0, y si n — 2 y k — 1,7, tendremos

Ge 2.100 N 1, 9 Ga = — = r—= 618 kg./cm 2, fe 1,7 x 2

cuyo valor es en este caso la fatiga normal máxima admisible por

flexión. Como el límite de tolerancia por cortadura vale

aproximadamente, en la mayoría de los casos, la mitad de límite de

tolerancia para fatiga directa alterna (véase pág. 436) puede

suponerse que la teoría de la fatiga cortante máxima, ex puesta

para el caso de fatiga constante, es válida cuando 1í rotura

acontece por fatiga variable 289.

Por consiguiente, en los casos de cortadura pura, llamandc Ta y

xm a las partes alterna y constante de la fatiga y k al faetoj de

concentración de tensión mediante las ecuaciones (318), se deduce

. - 3 ------- ----------- 1 __ (3i9)

2 kn ! 3 3» ’ *“2 n 1 | an

toa

Gp¡ kxa oe tw

Supongamos, por ejemplo, que un eje del material conside rado

anteriormente esté solicitado por un torsor variable ta

que Tmín = ^ Tmáx, y que sus dimensiones son tales que el factc

Ji

de concentración de fatiga en los acuerdos sea (véase pág. 31' k =*=

1,7. En este caso

_ ^máx H~ înín 3 _ ^ _ Tniáx"^mín ^ _ 'Imáx > 'I’a — 'Iraax* 2 4 2 4

Tomando un coeficiente de seguridad n = 2, la ecuación (31! nos

da 2-100 1 ' - 1 * * 1 2

— = 135 kg./cm.2. 2 X 1,7 X 2 - , 21 3

289 La aplicación de las diversas teorías de resistencia a las fatig

variables ha sido estudiada por J. Marin, Journal Appl. Mech., vol. página 55, 1937,


1 H x — 29 1.7

i. ■= — = 406 kg./cm.3.

1 H— x --- 21 3

*máx = + x« = 540 kg./cm,2.

La ecuación (319) puede utilizarse también para el estado elástico

triple representado en la figura 301, con tal de que permanezca

invariable el plano de fatiga cortante máxima al variar las fatigas

principales 290. En este caso

_ lGx — _ . JGx — <M Lnáx — I “ J Tmítt —I I

\ " /máx> > " / mía

y las cantidades

Tmáx -j- Tmjn ^mix ' Tmfn

se determinan mediante las ecuaciones (319).

A veces se presentan casos más complicados en los que no

solamente varía el valor de la fatiga cortante máxima, sino también el

plano del cuerpo en el que dicho cambio acontece. El caso más sencillo

de este tipo corresponde a flexión y torsión combinadas. En este caso

el valor nominal de la fatiga cortante máxima es —véase ecuación

(161), pág. 270, Primera parte.

to1, = (g) KCo

donde M y Mt son los valores máximos de los momentos flector y torsor,

respectivamente. Para calcular el diámetro d mediante

esta ecuación, se escribe en lugar de xmáx, como en el caso 2 w.

de solicitación estática, y se tiene en cuenta la variación de fatigas,

multiplicando M y Mt por ciertos factores numéricos m y mv por lo que

la ecuación (g) será -i_____________________________

290 Este estado se presenta, por ejemplo, en el caso de flexión alterna,

combinada con torsión también alterna, si los momentos flector y torsor están en fase.


^ \/(mM)2 + (320) 2 n 7xdz

Los valores de m y m1 dependen de los valores relativos de los

momentos M y Mt y de su fluctuación. Una fórmula satisfactoria se

obtiene escogiendo los valores de m y mv de modo que se satisfagan las

dos condiciones extremas: 1.°, cuando Mt — 0, y se tenga flexión

variable, y 2.°, cuando M — 0, y tengamos torsión variable. Para estas

dos condiciones extremas las ecuaciones (320) dan

= -16 mM, (h)

2 n izd3

Gn = ü mM (i)

2 n nd3 1 W

La primera de estas ecuaciones corresponde a la flexión variable, y

la segunda a la torsión variable. Ambos casos han sido ya examinados

y basta calcular los factores m y mv de modo que las ecuaciones (h) e (i)

coincidan Con las ecuaciones (318) y (319).

Sean Mm y Ma el valor medio y el valor alterno correspondientes al

valor variable del momento flector M, de modo que

■ ‘ . M- Mm + Ma

(j'

Los valores nominales de las fatigas correspondientes soi

32 Mm 32 Ma •X™ —

Tzd3 v " nd3

y /3 Jf = ¿f, + Jf.'= ^

32

Sustituyendo este valor de M en la ecuación (h) se obtiene

“ = m(aM + aa)


Si no hay concentración de fatiga esta ecuación debe coincidir

con ia ecuación (315). Por consiguiente,

+ aa) _ + ^

G p i G e O # }

1 _(- —

1 + O...

Conocidos Gfi, ae y la relación G~ , el factor m se calcula ^ m

fácilmente por la ecuación (n). Si existe concentración de fatiga, la

ecuación (1) debe coincidir con la (317) y se tiene

1 +

m =• ------------ — ---------------------------------------- (o) , n-0'1

Haciendo lo mismo con el torsor variable dado por la ecuación

{%), ootenemos

1 + T"

:«! = -------------------- (p) i + °-

^m

donde 1:, es el factor de concentración de tensión para la torsión,

generalmente distinto del factor k para la flexión.

Una vez calculados los factores m y m1 mediante las ecuaciones

(o) y (p), se fija el diámetro necesario por la ecuación (320).

Como ejemplo del modo de llevar los cálculos consideraremos un

eje del mismo material de los ejemplos anteriores, solicitado por un

momento flector alterno de módulo M 1 y por un torsor variable tal

que Mt — (Mt)m (1 ± 0,1). Supondremos que las dimensiones de los

acuerdos son tales que el factor de concentración de fatiga en

flexión 291 es k = 1 , 7 , y el de torsión k1 = 1,7 2 también. Mediante las

291 En este sentido, publicaciones tales como Technical Reporta, British

Engine, Boiler El. Insurance Go., son de la mayor importancia práctica.

JL


ecuaciones (o) y (p), sustituyendo a m = 0 y = 0,1 Tm, se obtiene


m — k ~ = 1,7 x 1,4 = 2,38; m1 = -1±i>7 X 292’4 x Q?1 & i 13 - - 1 -f 0,1

El diámetro del eje se obtiene sustituyendo estos valores en la

ecuación (320).

En el estudio realizado se ha supuesto que las dimensiones se

determinan únicamente por consideraciones de resistencia.

Existen, sin embargo, a veces requisitos adicionales que es ne-

cesario considerar al proyectar. La limitación de las deformaciones

es muchas veces la base que sirve para el cálculo de las

dimensiones. La deformación tiene importancia extraordinaria en

los casos en que se considera la vibración del sistema. Con fre-

cuencia se limita la flecha de las vigas y estructuras. En los ejes es

corriente limitar el ángulo de torsión por unidad de longitud.

Cuando las estructuras están sometidas a la acción de una

temperatura elevada, el proyecto se basa en una estimación de la

vida de la estructura y de la deformación que se considera

admisible. Las fatigas de trabajo se fijan de modo que la distorsión

de la estructura durante su vida no exceda de un límite .fijado en

relación con el tipo de la estructura (véase art. 81).

De todo lo expuesto se deduce que el problema de fijar las

fatigas de trabajo es a la vez un problema importante y difícil. Al

escoger el coeficiente de seguridad n el proyectista debe guiarse

siempre por la experiencia pasada.

El estudio realizado a fin de comparar las fatigas de trabaj< en

estados elásticos diversos no debe tomarse en el sentido d

reemplazar al empleo de la experiencia, sino como un auxilio ei la

interpretación de esta experiencia y como medio de obtene un

proyecto igualmente robusto en todas sus partes. Puede uti fizarse

también para la comparación de proyectos diferentes 1 para la

estimación de la resistencia de estructuras realizadas. E estudio de

las roturas en uso y la investigación de sus causas a la luz de las

anteriores consideraciones teóricas constituye un método

extraordinariamente útil para adquirir un conocimiento más

profundo de la resistencia de nuestras estructuras x. Combinando

este análisis de las roturas con las investigaciones teóricas sobre la

292 Se supone que la concentración de fatiga por flexión y torsic

acontece en el mismo pimto. Esta hipótesis es casi exacta en los acue dos de ejes de diámetro variable.


distribución de las fatigas en diversos casos, y con los ensayos de

laboratorio en solicitaciones variadas, obtendremos un

conocimiento seguro de la resistencia real de las estructuras.

Adquiriendo un conocimiento tal, las instrucciones actuales

para fatigas de trabajo en las diversas ramas de la ingeniería

pueden mejorarse considerablemente. Esto redundará en economía

de material y en mayor seguridad para las estructuras y máquinas.

P R O P I E D A D E S


Número Materia) Tratamiento

Límite de proporcio-

nalidad

Lib./pulg.1

l1 0,37 C, 0,55 Mn. Recocido a 850° C ................... 36,500

38.000

65.000

2 1 Normalizado a 850° C ..................... 31 » »

Tratado térmicamente a 850° C,

templado a 550° C (agua) ...........

4 2 0,49 C, 0,46 Mn.

» »

Normalizado a 910° C ..................... 44,700

75,800 52

Tratado térmicamente a 790° C,

templado a 430° C (aceite) . . . .

61 0,35 C, 0,45 Mn,

3,4 Ni. . ........... Laminado ........ ......... . .................. 47.000

52.000

52.000

72.000

7 1 » . Recocido a 840° C ............................

8i » Normalizado a 840° C, templado a

730° C ..... .....................................

9 1 » Tratado térmicamente a 800° C,

templado a 60Ó° C (agua) ...........

10 a 0,24 C, 0,37 Mn,

3,3 Ni, 0,87 Cr. »

Recocido a780° C .............. . 56,700

115,000

ll2 Tratado térmicamente, aceite 830°

C ......................................... .........

12* 0,30 0, 0,56 Mn,

4,3 Ni, 1,4 Cr. Enfriado al aire desde 800° C . . . . 45,000

13* » Enfriado al aire desde 800° C,

templado a 600° C .... . ................ 92,000

141 0,32 C, 0,74 Mn,

0,32 Si ......... t> .

Fundido .. . ...................................... 20,000

37,000 j

40,500

151 Recocido a 925° C ................. ........ .

161 » . Normalizado a 925° C .....................

Laboratorio de investigación, Westinghouse El. & Co. Véase Applied Elasticity. S. ' a Boletín de la Universidad de Illinois, núm. 136, pág. 33, H. I’. Moore v T. Jasper. * Engineering Steel», pág. 209, L. Aitchison, 1921.

1 La viga está embebida en un material capaz de ejercer acciones hacia arriba y hacia abajo. nes: Hayashi, Theorie des Tragers auj elastischer Unterlage, Berlín, 1921; Wieghardt Zeitschrijt jür angeuiandte Math u. Mech., vol. 2, 1922; K. v. Sanden and Schbicher, Belon und Eisen, 1926, Heft 5; Paster- nak, Betón u. Eisen, 1926, 9 y 10; VV. Prager, Zeitschrijt /. angewandte Math u. Mech., vol. 7, 1927, pág. 354; M. A. Biot, Journal Appl. Mech., vol. 4, pág. 1, A, 1937.

PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES 493 I C A S D E L O S A C E R O S

Fatiga de rotura

Alarga-miento sobre 2

pulgadas

Contracción en área

Límite de tolerancia

Observaciones Lib./pulg.

2 Por 100 Por 100 Lib./pulg.2

70,000 32 49 ± 29,000 Redondo de 2 1ji pulgada diámetro. 79,200 29 46 i 29,300 » 9 » »

105,000 22 56 ± 51,000 9 » 9 »

91,500 27 40 i 33,000 Cuadrado de 1S/18 pulgada.

121,800 11,3 51 ± 64,000 9 9 »

105,000 21 42 ± 41,000 Pletina 3 Va Pies X 2 Pies X 2 pulg.

104,000 22 49 ± 44,000 » » »

94,000 25 48 ± 47,500 » » »

107,000 23 56 ± 52,000 » » »

87,000 33 67 ± 49,000 Barra 2 pulgadas X 1 pulgada.

138,000 18 62 i 68,000 » » »

244,000 10,8

/

37 ± 102,000 Redondo de 1 1/8 pulgada.

157,000 17,5 55 i 80,000 » »

76,000 26 34 ± 30,500 Barra 2 1/i pulgada X 1 1/4 pulgada.

80,000 27 40 ± 35,000 » » »

85,000 28 46 ± 35,000 9 9 9

J. M. Lessells, pág. 522, 1924.



1 Véanse publicaciones del autor sobre Strength of Rails, Transac- tions of the Instituto of Way of Communications, San Petersburgo, Rusia (1915), y también las de Proc. of the Second International Congress for Applied, Mechanics, Zurich, 1926. Véase también referencia 2.

1 . cm.1, dirección positiva para la reacción se ha tomado hacia arriba. tructuras de buques. Un análisis completo de este género de problemas se encuentran en Theory of Structure of Ships, de I. G. Boobnov, vo lumen 2, 1914, San Petersburgo.

Engineers of Ways of Communication, 1900-1903, San Petersburgo T5n este trabajo se dan numerosas tablas de factores de amplificación.

Si b = 0, resolveríamos el caso de una carga 2P, concentrada en el centro de la pieza.

(47) tirante, que los tiene empotrados, y que está simétricamente cargado

1 Véase la publicación del autor, Application of General Coordina- tes in Solution of Problems on Bending of Bars and Plates, en Boletín del Instituto Politécnico de Kiev (Rusia), 1909; véase también de H. M. Westergaard, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., vol. 47, págs. 455-533.

2 pp »- oc i nnC n7ZX «= —-£ —sen—sen—-• (54)

EIn* » - i n* l l 1 Véase la publicación de M. Hetényi, Journal of Applied Mecha- nics, 1937, vol. 42, A-49. 1 Para el cálculo de las fatigas ae emplea el mismo método que para la sección en U. 1 Véanse la publicación de M. Seegar y K. Pearson, London. Roy Soc. Proc. (serie A), vol. 96,

1920, pág. 211, y la publicación del autor en London Math. Soc. Proc. (serie 2), vol. 20, 1922, pág. 398. Véase también Theory of Elasticity, 1934, pág. 301. Festigkeit, Prag, 18t»'7, capítulo 15. Estudios posteriores han sido realizados por P. Grashof, Elastizitdt und Fe.stigke.it, pág. 251, 1878, y por K. Pearson, History of the Theory of Elasticity, vol. 2, primera parte, pág. 422, 1893. La solución exacta del mismo problema fué dada por H. Golovin, Bulletin of the Instituto of Technology at San Peters- burgo, 1881. Véanse también C. Ribióre, O. R., vol. 108, 1889, y volumen 132, 1901, y L. Prandlt en la publicación de A. Timpe, Zeitschrijt. f. Math. u. Phys., vol. 52, pág. 348, 1905.

La teora aproximada que se va a exponer está en buen acuerdo con la solución exacta. Véase Theory of Elasticity, pág. 58, 1934.

1 y se toma positivo hacia el centro de curvatura de la pieza. 1 Véase página 302, Primera parte. 1 Para un estudio teórico del problema, véase H. Reissner, Jáhr- buch der

wissenschaftlichen Gesellschaft für Lujtfáhrt, 1928; también J. Beke, Der Eisenbau, pág. 233, 1921; Fr. Bleich, Theorie und Berech- nung der eis. Brücken, pág. 256, 1924; Blumenfeld, V. D. 1907, y Baumann, V. D. I., pág. 397, 1908. En el aspecto experimental, véase Dr. Mathar, Forschungsarbeiten, núm. 306, 1928; también D. Rühl, Dissertation, Dantzig, 1920; Preuss, V. D. I., vol. 55, pág. 2173, 1911; M. Voropaeff, Bulletin of Polytechnical Institute, Kiew, 1910; E. G. Co- ker, Photoelasticity, en Journal of the Franklin Inst., 1925.

1 Véase G. Bierett, Mitt. d. deutsch. Mat. Priif-Amtes, 1931. El método fotoelástico en ojos ha sido aplicado por K. Takemura e Y. Yo- sokawa, Rep. Aero. Inst., Tokio, vol. 18, pág. 128, 1926. Véase también M. M. Frocht y H. N. Hill, Journal of Applied Mechantes, volumen 7, pág. 5. lín esta última publicación se investiga el efecto del juego entre el perno y el ojo.

1 Una solución más aproximada del problema planteado en la figura 58, dada por el autor, puede verse en Bulle,tin of the Polytechni-

cal Institute de Kiew, 1910; véase también Phil. Mag., vol. 44, página 1014, 1922, y Theory of Elasticity, pág. 119, 1934. Esta solución muestra que la teoría anterior, basada en suponer que las secciones rectas permanecen planas durante la flexión, da resultados muy satis-factorios.

1 Véase J. A. C. H. Brosse, Cours de Mechanique Appliquée, 3.a edi 1 Esta teoría fué desarrollada por H. Resal, Annalea den Minea, vol. 5, pág. 38, 1874;

Comptes Bendita, vol. 73, pág. 542, 1871. Véanse también E. Reinhardt, V. D. /., vol. 45, pág. 232, 1901; H. Friedmann, Zeitachr. d. Ósterreich. Ing. u. Arch. Verein, vol. 60, pág. 632, 1908, y V. D. I., vol. 68, pág. 254, 1924.

1 Véase la publicación del autor, Calcul des Ares Elastiques, París, 1922; Bóranger, editor. 1 La teoría expuesta fué desarrollada por R. Bredt, V. D. /., vo-

1 La ecuación diferencial (95), correspondiente a la deformación de un anillo circular, fué establecida por J. Boussinesq; véase Comptea Rendas, vol. 97, pág. 843, 1883. Véase también H. Lamb, London Math. Soc. Proc., vol. 19, pág. 365, 1888. Varios ejemplos de aplicación de esta ecuación pueden verse en la publicación de R. Mayor, Zeitschr. /. Math. u. Phys., vol. 61, pág. 246, 1913. vos de sección rectangular ha sido estudiado por el autor; véase Amer. Soc. Mech. Eng., vol. 45, pág. 135, 1923.

1 Véase llamada *, página 89. 1 La explicación de este fenómeno ha sido dada por G. F. C. Sear- le, Experimental

Elasticity, Cambridge, 1908. Véanse también H. Lamb, London Math. Soc. Proc., vol. 21, pág. 70, 1891, y publicaciones del autor en Mechanical Engineering, pág. 259, 1923.

1 Si la longitud de una placa apoyada es tres veces su anchura, o dos veces en el caso de

placa empotrada, la solución obtenida con esta hipótesis es suficientemente aproximada. a Una solución de este problema fue dada por J. Boobnov. Véase su Theory of Structure of

Ships, vol. 2, pág. 545, San Petersburgo, 1914. La discusión de este problema, junto con el cálculo de fatigas en el casco de un barco, puede verse en Theory of Platee and Shells, 1940.

1 Se supone que el acero tiene un límite de proporcionalidad superior a la fatiga calculada.

1 La superficie media es la superficie que equidista de las caras de la placa. 2 Este caso de flexión fue desarrollado por Poisson, Mém. de l’Acad., vol. 8, París, 1829. 1 El aumento de flecha debido a la cortadura ha sido acusado experimentalmente por G.

M. Russell, Engineering, vol. 123, página 343, 1927. Véase también la publicación de H. Carrington, Engineering, vol. 126, pág. 31, 1928.

aaSiSlSNOlA DE K.XTBBXAIES.—T. U * Véase Theory of Plates and Shells, pág. 336, 1940. 1 Véanse publicaciones de Everett O. Waters y J. Hall Taylor, Trans. Amer. Soc. Mech.

Engrs., 1927. 1 La prueba de que esta suposición es suficientemente aproximada ha sido dada por E.

Meissner, Schweiz. Bauzeitung, vol. 86, página 1, 1926. 1 Este método se ha empleado para estudiar la distribución de fatigas en cabezas de

calderas de formas diversas. Véase E. Hóhn y A. Huggenberger, Líber die Festigkeit der gewólbten tíoden und der Zy- linderschale, Zurich, 1927. Véase también W. M. Coates, The State of Stress in FuU Heads of Pressure Vessels, Transactions, A. S. M. E., Applied Mech,. Div., 1929. Se ha empleado también para investigar laa flexiones locales en depósitos que contienen líquidos. Véanse T. Póschl y K. Terzaghi, Berechnung von Behaltern, Berlín, 1926; H. Reissner, Betón und Eisen, vol. 7, 1908, y C. Runge, Zeitschr. f. Math. u. Phys., volumen 51, pág. 254, 1904. Los depósitos cilindricos con cabezas de pequeña curvatura han sido estudiados por E. O. Holmberg y K. Axelson, Trans. A. S. M. Jf., vol. 54, pág. 13, 1932. Un estudio completo de las membranas cilindricas puede verse en Theory of Platee and Shells, 1940.

2 La aplicación de este método al cálculo de fatigas en un subma rino de sección circular puede verse en la publicación de K, v. Sanden, en Werft und Beederei, pág. 189, 1920.

1 Problemas de esta naturaleza se presentan al calcular las fatigas 1 Para una información más completa de problemas de pandeo, véase Theory of

Elastic Stability, 1936. 1 Los valores de carga crítica para piezas prismáticas, según las condiciones de

ligazón de sus extremos, fueron dados por primera vez por Euler; véase Additamentum, De curvis elasticis, en el Methodus in- veniendi lineas curvas maximi minimi ve proprietate gaudentes, Lausan- ne, 1744. Véase también Histoire de VAcademie, vol. 13, Berlín, 1757. Una traducción al inglés de esta obra puede verse en Isis, núm. 58, volumen 201, 1933.

c P y 1 Una excepción es el caso sencillo de igualdad en la luz de los dos tramos y de

sección constante a toda la longitud de la pieza. En este caso M2 =0 en el apoyo central, y cada tramo está en las miS' mas condiciones que una pieza con los extremos articulados.

1 Una tabla de esta naturaleza puede verse en Theory of Elaatio 1 Saalschiitz, Der Belastete Stab, Leipzig, 188. Véase también Hal- phen, Traité

des Fonetions elliptiques, vol. II, (1888), pág. 192. of the 2 d Internat. Congres of Applied Mech., pág. 357. Zurich, 1926-

1 En este caso pueden utilizarse curvas análogas a las empleadas en la figura 122. * Véa re Engesser. Zentralblatt d. Bauverw, 1891, pág. 483, y 1907, ¡mgina 609, L.

Prandtl, V. D. 1907, y también la publicación del autor en fel I.oletín del Instituto Politécnico de Kiew, 1908. Estas publicaciones analizan el problema de* pandeo de piezas entramadas en conexión con Ja catástrofe del puente sobre el Quebeo. rras no se indican en la figura.

1 Véase It. V. Southwell, Phil. Mag., vol. 29, pág. 67, 1915. 2 El Research Committee on the Strength of Vessels under Exter- nal Pressure ha

dado algunas curvas para el cálculo de presiones críticas en tubos cortos. A. S. M. E., diciembre 1933. Stodola, Zurich, 1929.

1 Los primeros experimentos en que analizó el pandeo de estruc-turas de pared delgada fueron hechos por William Fairbairn y descritos en su libro Britannia and Conway Tubular Bridges, London, 1849.

1 Puede verse que este mínimo es igual a 4, y acontece cuando drados.



1 En las publicaciones del autor, Proc. Am. Soc. O. E., vol. 55, pág. 855, 1929; Engineering, vol. 138, pág. 207, 1934, pueden verse más datos referentes al pandeo del alma y proyecto de refuerzos. Véase también E. ChwalJa, Second Gongress International Assoc. for Bridge and Structurál Eng., Berlín, 1936; Der Stahlbau, cuadernos 21 y 22, 1936.

* El colapso de vigas compuestas como consecuencia de! pandeo lateral se puso de manifiesto en la catástrofe del puente próximo a Tarbes (Francia). Véase La Revue Techniqut, 15 de noviembre de 1897 El pandeo lateral de vigas con sección rectangular estrecha fué estu diado por L. Prandtl, Dissertation, Nuremberg, 1899, y A. G. M. Mi chell, Phil. Mag., vol. 48, 1899. El pandeo de vigas en I ha sido estu diado por el autor; véase Boletín del Instituto Politécnico de San Petera- burgo, vols. 4 y 5, 1905, 1906. Véanse también Annales des Ponts et Chaussées, 1913, y Transactions Amer. Soc. G. E., vol. 87, pág. 1247, 1924. La aplicación práctica de la teoría ha sido analizada por E. Chwal- la, Die Kipp-Stabilitát gerader Trager mit doppelt-symmetrischem I-Quer- schnitt, Berlín. 1939.

1 Véase la publicación del autor en Anuales des Ponts et Chaus- sées, 1913. Véase también Theory of Elastic Stability, pág. 254, 1936.

publicación del autor, Trans. Amer. Soc. G. E., voi. 87, pág. 1247, 1924, y Theory of Elastic Stability, cap. 5. Véase también E. Chwalla,

1 En las máquinas eléctricas, alrededor del 20 por 100 sobre la velocidad de servicio.

1 Véase C. H. Lees, Proc. Roy. Soc., serie A, vol. 101, 1922. 1 Esta analogía fue desarrollada por L. Prandtl; véanse Phys. Zeitschr., pág. 758,

1903; Jahresberichte d. Deutsch. Math. Ver., volumen 13, pág. 31, 1904. Estudios más recientes pueden verse en las publicaciones de A. A. Griffith y G. I. Taylor, en Proc. Inst. Mech. Eng., pág. 755. 1917, y en Technical Report of the Advisory Gommittee for Aeronáutica, vol. 3, págs. 920, 938, 950, 1917-18. Véase tambén Theory of Elasticity, pág. 239.

' Diversos experimentos de torsión de vigas en I, de pared delgada, han sido hechos por el autor (Boletín del Instituto Politécnico de San Petersburgo, vol. 5, 1906). Los resultados están en satisfactorio acuerdo con la ecuación (256). Una serie bastante larga de ensayos de torsión con perfiles laminados ha sido hecha por A. Fóppl, Sitz. Berichte Bayer. Alead, d. Wi«8., pág. 295, 1921, y Der Bauingenieur, vol. 3, pág. 42, 1922. De estos experimentos se han deducido algunos factores de corrección para la ecuación (256). hechos por Inge Lyse y B. G. Johnston, Lehiyh University Publica-

1 Si esta fuerza se aproxima a la carga de Euler es necesario un estudio más detenido, como el realizado por ít. Kappus (pw de la nota anterior).

1 El autor ha obtenido una fórmula más aproximada para el pandeo por torsión de un angular de lados iguales, considerando cada ala como una placa rectangular comprimida longitudinalmente. Véase Bol. del Inat. Polyt. de Kiew, 1907, y también Ztschr. f. Math. u. Phys., volumen 58, 1910. Este problema fué el primer caso de examen del pandeo por torsión. La ecuación fundamental (261) fué dada por el autor en 1905, ya citado, pág. 283. La generalización de esta ecuación a las secciones on U fué dada por C. Weber, ya citado, pág. 283. La aplicación de la ecuación al estudio del pandeo por torsión se debe a H. Wag- ner, Technische-Hochschule, Danzig, 25.° aniversario. 1929.

1 O. Góhner, ya citado, pág. 305. 1 El diámetro del agujero es menor, por ejemplo, que 1/5 del ancho de la placa. * Esta teoría fué dada por Kirsch, F. D. I., 1898; véase también Theory of

Elasticity, pág. 75, 1934. 1 En el articulo 63 se verán diversos métodos experimentales de determinación de

fatigas máximas. Véase también E. Lehr, tipannung- averteilung in Konstructionelementen, 1934.

1 H. Neuber, Zeitsch. /. angew. Math. u. Mech., vol. 13, página 439, 1933. * Véase E. G, Coker, Proc. International Assoc. for Testing Materials, New-York

Congress, 1913. pág. 76, 1892.

* Esta analogía fué estudiada por Lord Kelvin y Tait, Natural , Philosophy, vol. 2; J. Boussinesq, Journal de Mathématiques, vol. 16, Liouville, 1871, y A. G. Greenhill, artículo Hidromechanics, en Encycl.

Brit., 9.a edición. Con referencia a la aplicación experimental de la 1 H. Neuber, Ingenieur-Archiv, vol. 5, pág. 238, 1934, y vol. 6, página, 133, 1935.

a Esta figura y la siguiente están tomadas de la publicación de 1 Véase la publicación de M. A. Voropaev, Bulletin of the Poh>~ technical

Institute de Kiev, 1910, y la publicación del autor en Proc. Intern. Gongress for Applied Mechanics, pág. 419, Zurich, 1926.

1 Esta explicación ha sido sugerida al autor por L. EL Donnell. a Véase la publicación de F. Koerber y E. Siebel, Mitteilungen K. W., Instituto para

Investigaciones del acero, Dusseldorf, vol. 8, pág. 63, 1926, y vol. 9, pág. 13, 1927. 8 R. S. Johnston, Iron and Steel Institute, vol. 112, pág. 341, 1925. La aplicación

del método para investigar las fatigas en órganos maquinales ha sido analizada por Dietrich y Lehr, V. D. I., vol. 76, 1932. Véanse también II. Kayser, Bautechnik, 1936, y A. V. de Forest y Greer Ellis, Journal of the Aeronautical Sciences, vol. 7, pág. 205, 1940.

1 Véanse los experimentos de Carus Wilson, ya citado, pág. 351. dera positiva si el centro de curvatura correspondiente está hacia den tro del cuerpo.

2 Este método para dimensionar estructuras de acero ha sido propuesto por N. O. Kist, Der Eisenbau, vol. 11, 1920. Experimentos para

1 Un estudio detallado de este tema puede verse en la obra Pías- ticity, de A. Nadai, pág. 266, 1931.

1 En la publicación de A. Nadai, Trans. A. 8. M. E., vol. 53, interior ha sido estudiada por Saint Venant; véase C. R., vol. 74, pá gina 1009, 1872; véanse también Todhunter y Pearson, History of the Theory of Elasticity, vol. 2, primera parte, pág. 172, y la publicación de L. B. Turner, Cambridge, Phil. Soc. Trans., vol. 21, pág. 377, 1913.

8 La fluencia de un material para diversos estados elásticos se estudiará en el articulo 83. Supondremos eh nuestro" caso que tiene el mismo valor que en el caso de torsión (véase pág. 388).

1 En el libro de Batson y Hyde, Mechanical Testing, 1922, puede verse una descripción de los diversos métodos empleados en las máquinas de ensayos. Véanse también O. Wawrziniok, Handbuch. d. Ma- terialprüfungswesens, Berlín, 1923; K. Memmler, Das Materialprü- fungswesen, Stuttgart, 1924, y Handbuch d. Werkstoffprüfung, E. Sie- bel, 1940.

* The British Engineering Standards Assn. recomienda ocho pulgadas de longitud útil en los ensayos de planchas para calderas.

1 Véase la publicación de P. Ludwik, Bruchgefahr und Material- prüfung, en Schweiz Verband für die Materialprüfungen der Technik. Bericht., núm. 13, Zurich, 1928.

2 Véanse la publicación de Kühnel, V. D. I., vol. 72, pág. 1226, 1928, y la de M. Moser, Forschungsarbeiten, núm. 295, Berlín, 1927.' Véase también C. W. Mac Gregor, Trans. A. S. M. E.t vol. 53, página 187, 1931.

1 Véase P. Ludwik, Elemente der Technologischen Mechdnik, Berlín, 1909. 1 A. Fópp], Mitteilungen aus dem Mech. Techn. Laboratorium in München, núm.

27, 1900. 2 Véase L. Prandtl y Rinne, Neues Jahrbuch für Minerálogie, 1907. Véase también

W. Gehler, Der Bauingenieur, vol. 9, pág. 21, 1928. Para ensayos de hormigón se emplean a veces probetas cilindricas cuya altura es doble que su diámetro.

s Mitteilungen K. W. Instituí. Dusseldorf, vol. 9, pág, 157, 1927. 4 El límite de proporcionalidad en tracción para la fundición fué de- erminado por

Grüneisen, Berichte d. Dentschen. Phys. Gesellschaít, 1906. * Véase A. Nadai y L. H. Donnell, Trans. A. S. M. E., vol. 51, página 173, 1929.

1 Este fenómeno fué descubierto por I. Bauschinger, Mitteilungen ans dem Mech. Techn. Laboratorium in Manchen, 1886. Véase también Dinglers, Polytech. Journal, vol. 266, 1886.

1 Véase la publicación de F. Kórber y A. Pomp, Mitteilungen K. W. Instituí, vol. 8, pág, 135, 1926. Véase también S. W. Parr y

F. G. Straub, Engineering, vol. 124, pág. 216, 1927. lín, 1924.

_8 Véase H. Mark, M. Polanyi y E. Schmid, Zeitschrift /. Phys., vol. 12, pág. 58, 1922; véanse también G. I. Taylor y C. F. Elam,



Proc. Roy. Soc.. vol. 102 A, pág. 643, 1923; vol. 108 A, pág. 28, Í925; G. I. Taylor, Proc. Hoy. Soc., vol. 145, pág. 362. 1934.

1 Véase la publicación de C. W. Mac Gregor, ya citada, pág. 398. * Un estudio sobre estas líneas fué realizado por Hartman; véase BU libro Phénoménea

qui accompagnent la déformation permanente, 1900.

RESISTENCIA DE MATEÜIAIES.—T. n 1 Determinaciones directas realizadas en el laboratorio de investigaciones de la

Westinghouse Elec. y Mfg. Co. con delgas de cobre han mostrado fatigas del orden de 1,700 kg./cm.® en barras cuya sección se había reducido un 15 por 100 mediante estirado.

1 P. Ludwik, Stahl. u. Eisen, vol. 43, pég. 1427, 1923. * Véase Th. v. Karman, Forschungsarheiten, uúm. 118, Berlín, 1912. 2 Estos ensayos fueron hechos por Westinghouse Elec. and Mfg. Co. Researoh

Laboratory; véanse también los, ensayos de P. Ludwik und R. Scheu, ¡átahl u. Eisen, vol. 43, pág. 999, 1923.

1 Véase el libro de A. Joffe, ya citado, pág. 426. * Se ha supuesto que la fatiga no es muy elevada a fin de que no pueda producirse,

al cabo de un, número elevado de ciclos, la rotura por fatiga alterna. 6 Este modelo fué usado por C. F. Jenkin. Véase Engineering, vol. 114, pág. 603,

1922. 1 Este tema ha sido examinado de modo muy completo en los dos libros siguientes:

The Fatigue of Metals, por H. J. Gough, London, 1924; The Fatigue of Metal, por H. F. Moore y J. B. Kommers, New- York, 1927. Ambos libros contienen una bibliografía muy completa del asunto. Para información adicional, véanse las monografías de H, J. Gough, dadas en Mass. Inst. of Techú. durante el curso de verano (21 junio a 15 julio 1937).

* J. O. Roos, estudiando un gran número de roturas en órganos de máquinas, dedujo que el 80 por 100 de ellas estaban ocasionadas por fatiga variable; Proc. Intern. Assoc. Testing Mat., 1912.

1 El límite de tolerancia obtenido por ensayos de flexión coincide con el correspondiente a ensayos por fatiga directa. Véase la publicación de P. L. Irwin, Proc. Amer. Soc. Test. Mal., vol. 25, 1925, y volumen 26, 1926. Un estudio más amplio de este tema puede verse en la publicación de R. D. Erance, Proc. Amer. Soc. Test. Mat.f volumen 31, 1931.

* Véase Me. Adam, Chemical and Met. Engr., 1921. El mismo tipo de probeta se emplea también por el Research Laboratory of the Westr inghouse Elec. and Mfg. Co.

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2 Un análisis de gran número de curvas n puede verse en la publicación de O. H. Basquin, Proc. Amer. Soc. for Test. Mat., volumen 10, 1910.

1 A. Wohler, Zeitschrift fñr Bauwesen, vols. 8, 10, 13, 16 y 20, 1860-70. Un resumen de este trabajo puede verse en inglés; Engineering, vol. 11, 1871; véase también el libro de Unwin, The Testing of Materialsof construction, 3.a edición, 1910.

4 Puede verse un estudio detallado de esta cuestión en el libro de 6 Véase lajmblicación de B. P. Haigh, Journal Insl. Metals, volumen 18, 1927.

1 Algunos experimentos recientes realizados con acero dulce no muestran influencia apreciable de la fatiga media am sobre el valor del recorrido B. Véase H. J. Gough, ya citado, pág. 431.

* The Institution of Mechanical Engineers, 1935 y 1936. ger, en los suyos, utilizó acero al carbono con 0,48 por 100 de C y las mismas deformaciones.

8 Véanse H. F. Moore y T. M. Jasper, Bull., núm. 136, Eng. Expt, Sta. Univ. of Illinois, y R. M. Brówn, Trans. Inst. Engrs. Shipbuilders Scot., 1928.

8 H. J. French, Trans. A. S. S. T., vol. 21, pág. 899, 1933, y H. W. Russell y W. A. Welcker, Proc. A. S. T. M„ vol. 36, 1936.

* B. P. Haigh, Journal Instituto of Metals, vol. 18, 1917. gina 97, 1931.

í' H. J. Gough y D. G. Sopwith, Journal Inst. Met., vol. 49, pá gina 93, 1932,

gina 1330, 1933, y Mitteil. Forsch. Inst., Veren Stahl werke, Dortrnund, vol. 3, pág. 235, 1933.

* E. H. Schulz y H. Buchholtz, Stahl u. Eisen, vol. 53, pág. 545, 1 Véase H. F. Moore y J. B. Kommers, Bulletin, núm. 124, ya citado, pág. 683.

1 R. E. Peterson, Trans. A. S. M. E., Journal Appl. Mech., vo A. S. M. E., Journal Appl. Mech., vol. 3, pág. 15, 1936.

1 Los ensayos con fundición han mostrado el poco efecto de la concentración de fatiga en los resultados. A. Thum y H. Ude, Zeitschr.

V. D. vol. 74, pág. 267, 1930.

RESISTENCIA DE MATERIA ÍES.—T. n 1 Esta fotografía y las dos siguientes están tomadas de la publicación de S. Way,

presentada a la reunión de la American Gear Manu- facturers Association, mayo de 1940. En la publicación de S. Way, Proceedings of ihe Special Summer Conferences on Priction and Surface Finish, Mass. Inst. Techn., junio de 1940, se describen diversos métodos de investigación del grado de acabado do superficies. En esta publicación se da una bibliografía completa del tema.

1 Estos estudios han sido realizados por S. Way en los laboratorios de investigación de la Westinghouse; véase su publicación en Journal of Applied Mech., vol. 2, 1935.

1 Mellanby y Kerr, Proc. Inst. Mech. Engr. London, 1927; Guy, H. L., Proc. Inst. Mech. Engr., 1929, y The Engineer, vol. 147, página 136, 1929.

* En el artículo Symposium on effect of temperature on the proper- lies of metáis puede verse una bibliografía completa de este trabajo de investigación; Proc. Am&r. Soc. Test. Matls., vol. 24, 1924. Véase también la publicación de H. J. Frendí, H. C. Cross y A. A. Peterson, Technologic Papers of the Burean of Standards, núm. 362, 1928.

1 Para eliminar el tiempo de efecto en la determinación del módulo de elasticidad se han empleado ensayos de vibración. Véase la publicación de G. Versé, Journal of Appl. Mech., vol. 2, 1935.

gaeiones posteriores puede verse en el libro de H. J. Tapsell, Creep of Metals, 1931; véanse también Symposium, A. S. T. M., Chicago, 1931; E. L. Robinson, Journal Appl. Meeh., vol. 1, pág. 145, 1933, y P. G. Me. Vetty, Proa. Am. Soc. Test. Math., vol. 37, 1937.

1 Véase F. R. Hensel y E. I. Larsen, Trans. Am. Inst. Min. Me- tálg. Engrs., vol. 99, pág. 55, 1932. G. H. Mac Cullougli, Journal Appl. Mech., vol. 1, pág. 87, 1933; J. Marín, Journal Franklin Inst., vol. 226, pág. 645, 1938.

1 A veces se denomina teoría de Rankin. 1 Véase Vehage, Milteilungen d. Techn. Versuchsanstalten, página 89, Berlín, 1-

888. a Esta teoría se apoya en los experimentos de J. J. Guest, Phil. Mag., vol. 50, pág.

69, 1900. Véanse también L. B. Tumer, Engineering, vol. 86, pág. 169; W. A. Scoble, Phil. Mag., diciembre 1906 y enero 1910; C. A. Smith, Engineering, vol. 88, pág. 238.

V M. T. Huber, Czasopismo technime, Lwov (Lemberg), 1903. Véanse también R. v. Mises, Gottinger Nachrichten. Math. Phys. Kl., pág. 582, 1913; H. Hencky, Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., vol. 5, pág. 115, 1925; F. Schleicher, ya citado, pág. 468, y M. Ros y A. Ei- ehinger, Proc. Intern. Gongress for Applied Mechanics, Zurich, 1926.

4 R. Boker, Forschungsarbeiten, núm. 175/176. 1 Se supone que los puntos de fluencia en tracción y compresión son iguales. 1 Este procedimiento se emplea por la Westinghouse Electric and Manufacturing

Co. para el proyecto de maquinaria; véanse las publicaciones de G. R. Soderberg, Trans. A. S. M. E., vol. 52, pág. 52, A. M. Wahl, Machine De-sign, 1938.

4 Las condiciones límites de fatiga se definen como las, que producen el colapso; es decir, la rotura o deformaciones fuera de los límites permitidos.

1 Este es siempre el caso cuando el eje que gira está solicitado por cargas fijas en el espacio.

1 Si se determina k por la tabla correspondiente a los problemas d dos dimensiones (fig. 210), estaremos siempre del lado de la seguridad

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