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PRLOGO DE LA SEGUNDA EDICIN

Al prep(>rar 1(> nueva edicin de esta pa.rte, .e h(> ccnservadoel carcter general del libro, procumndo poner su contenido aidia, incluyendo para ello los ltimos estudios tericos y prc-ticos relacionados oon el anlisis de fatiga.s, "s como la inves-tigacin experiment"l de las propiedades meonicas de los m"-tedales que intervienen en las estruetur(>s. Las modificacionesms importantes con relacin a la primera edicin, eomprenden:

1,o Una discusin ms dotallada de los problemas concel'-nientes " fielcin, compresin y torsin de estrueturas esbeltasy de p"l'ed delgad". Este gnero de estructuras e$ de gl'an apli-cacin en la construccin aeronutica y se h" considerado utiJincluir en esta nueva edicin ms problemas de este gnero,

2,o Un captulo de doformMin plstica, relacionado eon lafiexin y torsin de vigas y ejes ms alli del lmite de elasticid"dy tambin con la fiuenc;" del matedal en cilindros de pared grue-"" sometidos " "Itas pl'esiones internas,

3, Una considerable c"ntidad de nuevos datos, de carc-ter experimental, referentes al compol'tamiento de los materia-les a altas tempemturIL5 y a la resistencia de metales bajo la"ecin de fatigas alternas, especialmente en aquellos caBOS enque esta solicitacin se eombina cen una alta cencentracin dcfatiga.

4. D Se han heche importantes adiciones en la parte dc1libroreferente a vigas sobre fundacin elstiea; en los captulos refe-rentes a piezas curva.s y placas y membranas, y en el c"pitulo

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1" 11.fI'H,,ytmh t+ ! ,l., ,_:-_-...:....-__,__. .I.L.J.................._ ..!~...ij '~.~- ''I.~, ..~. /:'

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ES PROPIEDAD Espaso..Cnlpc, S. A., Mndrid t 1945

Imprc!!o en EspniJ.,tl.Printed in Spain

Dep6,ito leg.u, M. ~.780-1961ISBN 84.--239-6314--4 (Obr. o.,,,pl.t.)

ISBN 84.--239-6316-0 (Tomo 2)

Tnlle:r:(:~ tipo~fic05 de In. Editori:il Espnsa-Calpe'l S. A.Cnn.'ctera de Irn, km. 12,200. Madrid~34

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J:'RLOGO DE LA- PRIlIlERA JilDlOIN

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NDICE

l.~P.B.OBLEiMAS R.~1?ll:CIAT.:a:S EN LA n1!:XIN 'D"E v"l'OAS. 11. Vigas sobre fundaCIn elstioa. . . . . . . . . . . . . . . . 12. Lo. viga. aomlinfinita eobre fundacin el4s.tica..... . . 123. Vigas de longitud finita sobre una fundacin el.s~

tioa ........... , 164. Cargo. lateral y compresiIi. l1xial combinada.s. .. . 27. Vjgas continuas con I:1coion~s xiales y tro.nBvet~

sales.... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. 37.6. Tirantes oOn cargo. transvorsal..... ........... 417. Lo. elstica mediante sorios trigonomtricas.. . . . ';168. Flexin do vigas en un plano ptinoipal que no es

plano de siInetrla. Centro de torsi6n........ . . .. li39. Anchura efectiva de alas delgadas..... .. . . .. . 59

10. Lh::r;dtaciones del mtodo de Buperposicj6n.... ... 62lI.-PIEZA5 Ou1:tVAS............... _... ...... 68

11. Fatigo,s de flxi6n en barras curVa~. . . . . . . . . . . . . 6812. Caaoa particulares + 7213. Doformaoin de barras curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . 8214. Aroo artioulado en los extremos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9715. Fatigas en un volante :...... . .. . . .... 10016. ,Elstica de l1rta barra COn una lnea. medja circular. 10417. Defo;tJ?aei6n de banas con un~~ pequei"11;L curVo.ulIJ;"a

IniCIaL . :. 10718. Flexin de tuboa curvos +..... . 11019. Flexin d~ ~ barra curva fuera dol pla,no dA cm

v,at1,l:ra. InICIal + + + +..... .... 115TII.-PLAOAS y ENVOr.?1!:N'l';I]:S DELOADA5 121

20. Fleri6n de una placa. on superficie oilind1"ica... . . . 12121. Florin de una placa reotangular de gta.n longitud

cal:'gadu. uniformemente.................. ' . . 1.2322. Dl;lformacin da pla.cas rectangulares que tionen una

pcqueoo cUJ:'t"a.tura iniciaL. . . . . . . . . . . . . . . 12923. Fle:dn pura. en dos direeciones recta.ngula.rea... 133.24. Fatigas de otlgen trtnieo en las placaa........ . .. 137

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1..

RESISTENCIA DE MATERIALES

SEGUNDA'PARTE

CAPTULO PRIMERO

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIN DE VIGAS

1. Vigas sobre fundacin elstlea.---Consideremos una vigaprismtica apoyada en toda su longitud sobre una fundaci6nelstica continua, tal que cuando la viga se defcrma la intensidadde la reacoin distribuida de modo oontinuo es en oada secci6nproporcional a la flecha de dicha secci6n 1, Con esta hiptesis,la reaociu por unidad de longitud de la barra puede represen-tarse por la expresin ley, donde y es la flecha y k una constantedenominada ocrrientemonte m6dulo de la fundacin. Esta cons-tante representa la reaccin por unidad de longitud cuando laflecha es igual a la unidad. La sencilla hiptesis de que la reac-ci6n por unidad de longitud es proporcional a la flecha da re.sultados satisfactorios en muchos casos prcticos. Por ejemplo,en el caso de carriles sobre traviesas la solucin obtenida conesta hip6tesis est de acuerdo con las determinaciones reales ".

1 La. viga est embebida en un mtarjal capaz da ejercer iLcoioncshacia arribiL y haoia abajo.

:11: Vase S. ~rimo.5henko y B. F. Langer, Trans A. S. M. E., volu-men 64:, pg. 277. 1932. La. teorfa de 111 fIex;in de una. barra sobre fUll-dacjn el.stioa ha sido desarrollada pOr E. WinkIOl", Die Lehre ov. d.Elastizt u. F'estigkeit, Pl"aga, 1867, pg. 182. Vase tambin A. ZiIll_rnr.m.a.nn, Die Berechnung de8 Ei.genbahn.Oberba/ucs, BerI1n, 1888. Laltimos estudios de la teora ,??eden VW'.I;lU en las siguientes publicacio-

;R.EsrSTIeNOI.! me ll.4.TERJALJCS. T. 1I.-1

" P' .It. '9' ,. 11. wj! I .~ .._.---..

2 RESISTlONOIA DE MATERIAT,ES 1.'lJ.OBLEM:AS ESPECIALES EN LA V1,EXIO N DE VIGAS 3

Al estudiar la elstica de una viga, "~ obtu.yO 'd'yEl - = q.

da;4(al

nita de P la flecha y el giro de la seccin correspondiente seannulos. Esta condicin puede satisfaccrse nicamente si las cons-t"ntes A y B de la ecuacin (b) son nulas. Por consiguiente, laelstica para la parte de viga que se considera ser

ncs: Ha.rashi, Th~orit. des Tr4ge:ra OtUf ela8tischer Unte.'l'Zage, Berln.1921; W'!-cgh~rdt Zei~chrilt Iftr angewandte Math '!L. Mech., vol- 2, 1922.K. v. Sanden a.nd Schbicher, Beton und Eiaen, 1926. Hoft ; P~ster.nak, Beton u. Eis6n, 1926. 9 Y 10. W. Fragor, Zeitsc1l1ri/t f. ang~wandt6MCLth 'U. Mech.. vol. 7~ 1927, pg. 354; M. A. Diot.:l Journal Appl. Mech.,vol. 4, pg. 1, A, 1937.

1 Vase Strenght 01 Matf::'tials, primera parte. pg. 131.

(1)

(e)

(e)

(d)

O=D.

dy- = - 2 ~Oe-~'sen ~""da; .

d'y- = 2 ~20e -~,; (scn ~'" - cos ~"')d",'d'y- = 4 ~'Oe-r-cos ~'"da;"

La ecuacin (o) ser, por tanto,y = Oe-"' (cos ~'" + scn ~,,).

Las derivadas consecutivas de esta ecuacin son:

(V).- 0= (dM) = _ El. (d~) = _~,d", '-0 do; o-o 2

La constante e la determinaremos "hora, puesto que pa""'" = O la fuerza cortante en el trozo de viga que considera-

mos -flg. I (b)- es -~. El signo - procedc del conveuio e.tablecido para el signo dc la fuerza cortante (vaso pgina 68,Primra parte). Por consiguiente,

(dY) _ O

da; .-0-

utilizando 1'ar.. y 1" e>:presin (o).e-~o (O cos~:; +D sen~'"+ Osen ~",-D cOS ~",). _ o = O;

de donde

Las dos constantes que quedan, O y D, las encontraremospor las condiciones en el origen, '" = O. En este punto, ia ei"stica debe tener una tangente horizont"l; luego

I,.'

(2)

(1)

,~I le =~.r 4EI.

la solucin general de la ecuacin (1) puede escribirsey = o'. (A cos ~'" + B sen ~"') + O-~. (O cos ~'" + D sen ~"') (b)lo que puede comprobarse sustituyendo (b) en la eeuacin (I),

En cada caso particular se hallart.U las constantes A, B.O Y D por las condiciones especiales delmismo.

Sea, por ejemplo, el caso de una solacarga concentrada que acta sobre unaviga de longitud infinita (lig. 1). Tomemoscomo origen de coordenadas el punto deaplicacin de la fuerza. Por simetra, bastaconsiderar el trozo de viga a la derecha de

la carga -Iig. 1 (b)-. Para aplicar a este caso la solucin gene-ral (b), empezaremos por determinar las constantes. Es lgico,suponer que en puntos situados sobre la viga a distancia inli-

donde q representa la intensidad de la carga que obra sobrela viga.

En un trozo descargado, la nica fuerza so bre la Y'ga es 1..reaccin de intensidad ky. Por consiguiente.

q = _ ky, Y la ecuacin (a) ser..:El d'y = _ 1q:

d;;4Empleando la notacin

o,'

O~If

:1

1

\ (

"

, '" '

;r/1I!1I jI

i I 4 RESISTENCIA DE MATERIALES PROBLlIlMS ESPECIALES EN T_ FLEXIN DE VIGAs

_ ..._-

de donde

Las ecuaciones (3) y (4) tienen la forma de ondas, cuya am

plitud decreco gradualmente. La longitud de ouda a es igual alperiodo de las funciones cos ~'" y sen ~"'; es decir.

a= 2~'" ~ 2", V4~1. (5)PlLra simT'lificar la determinacin de la flecha, el momento

flector y 1'" fuerza cortante, se emplea la tahb numrica que se

(6)

J'UNOIONl!la 7, ~, e y ~TABLA 1

'P = e-~. (cos ~'" + scn ~"'); .. p~y= e-~'(oos~"'+sen~"')=-e-~'(cos~",+sen~"')(3)

8~3EI, 2k

M = - El d' = _ !'.- e-~ (sen ~'" - cos ~"'). (4)'k2 4~

empleando la ecuacin (1),El.

ao

1.0q

"'8

I

, I

_".,.,'r'..'n""''T""'Ir'III"T"O".....,'..,." .....'.~- ,..,.,."."'~ .....,

6 RESISTlilNOIA DE MATERIALElS PROBLEMAS ESpEoIALES EN LA FLEXIN DE VlGAS

Empleando la notaei6n (6) y la. eeuaeione. (d) a U), seobtiene

d' PM=-EI J = _"'(~x)'d,,' 4~~~'

y = p~ ,!,(~,,),213EI, + J>Mol

10= -(E + 2J>M.)2~'EI,

q--=

le

FIG.7

fundacin ser igual " to' Be caloul" el valor de R sustituyendoM o = OY Il = t en la ecu"cin (11'). As se obtiene:

R = 2R'EI i=-'L.t' 'le 2J>

y

de donde

En ei oaso de extremoempotr"do -ligo 7 (b)-, ioavaloros de la reMcin R ydel momento M. se obtie-

nen est"bleciendo qne en el apoyo la flecha y el giro aon nulos.

Observando que a dist"ncia grande del apoyo la Hech" v"le 'i yle'

empleando las ecuaciones (ll') y (12), se obtienen para el eloulode E y M. la. ecuacione. siguientes '; .

La elstica se obtiene restando )"s fleohas d"das por 1" ecna-cin(ll)paraP=R, M.=O,de 1" depresin.uniforme de

la vig" %' y as se obtiene:

M. = - 2J>'EI i R = 4~'EI i = 'l. (15). , k' ~, le ~

El signo menos de M. indie" que el momento tiene 1" direo-cin indic"da por ,. fieeh" de la figura 7 (b).

. 1 ,En la.s_e~maeione9 (11') ~ (12) 66 sustituye P = _ R, ya que la.dIrecCIn pOlilJtlVa. pa,l'a.la reaCCIn se ha tomado haoia. arribe..

------,." 1, _t. _h ._.~,--~"~~---~--~-~-~_...._._---.-.,_._---~_.-

""_.n. = __". ~-===----====~-=.." .::~

sea.

p~ 2~:y = 2k

18 RESISTENCIA DE MATERIALES--".""""II"""~"'"'''''''''

l'ROBLEMAS ESl'lIlCIALIIlS E'" LA li"Lli'lC16N DE VlGAS 19

Los valores apropiados de M. y Q. se obtienen de las eCUa-ciones

El momento JJ1" y la fuerza cortante V" producidos en elmismo punto por las fuerzas indicadas en la figura II (e), Se ob-ticnen mediante las ecuaciones (7) unidas a las (10'); lo que da

(g)

(f)

(e)

(h)

(el)

---l----!F,o, ]3

_.2 P~ Oh~l + cos ~ly.= Yb =------; Sh~l + sen ~l'

Ohrgco.~4P~ 2 2

y, ~k- Sh~l+ sen ~l'

~l ~lSh- sen-2P 2 2M.=-~ Sh~l+sen~l'

Oh @! COB~2P~ 2 2

Y.=Yb=------; Sh~I+Ben~l'P~ Oh~l + oos ~l + 2.

y, = 2k Sh~l + een ~lEl momento fleotor en el punto de aplioaoin de la carga vale

El momento fleetor en el centro es

P Oh~l- cos ~l (i)))1-- .,- 4~ Sh~l+ sen~l

El mtodo empleado para el caso de carga si"'ca -fig~ra II (a)- puede aplicarse tambin para el caBO,n'targa antl-simtrioa -11g. l4 (a)-. Qo y JJ10 constituyen en e caso unsistema antisimtrico -fig. 14 (e),-. Los valores de Q. y M o se

El caso de una oarga aislada en el oentro (flg. 13), puedededucirse tambin del estu- pdiado -11g. II (a)-. Basta

1 'b' Pbacer e ="2 y eSCl'l Ir enlugar de 2P.

De eeta forma, se ob-tiene para el valor de lasflechas en los extremos y centro las expresiones siguientes:

(a)

(e)M'+M'=O, VI + V/1 =01

M'= P t),[(3(I-e)] -H,(~e],i4~P

V' = - Ie(~ (1- e)J-+ e(~e] l.2

]!"lo. 12

Para establecer las ecuaciones que determinan los valoresapropiados de JJ1. y Q., consideraremos la seccin en .d de laviga infinitamente larga. Tomando el origen de coordenadas eneste punto y empleando las ecuaciones (7), calculemos el mo-mento flector M' y la fuer~a cortante V' producidlUl en estepunto por las fuerzas P.

JJ10 = Q. (1 + H~l)] + JJ1. (1 + e(~l)], i4~ 2(b)

V" = - Q. (1 - O(~IJJ _ M.~ [I _ 'I'(~I)J.2 2

que se resuelven en cada caso Can facilidad empleando la tabla r.Conocidos.M. y Q., la flecha y momento flector en cualquier

seccin de la viga dada -flgu-ra II (a)- se obtienen utili-zando las ecuaciones (7), (10)Y (10'), junto con el mtodode superposicin. El caso par-tioular de la figura 12 se re-suelve en la forma expuesta,hacicndo e = O.

De esta forma, Se obtiene para valor de la flecha en los ex-tremos y en el centro de la viga llUl expresiones siguientes;

~., 1, i", _11 ------~-~-~-.'"1 ,IE.II

'M.. ' !! i,," .,.'hln, M.'!!tl!'~" 'W. _._.,_,,_.,._, !!.....L-~......_ .......j,~,_-_.,-----'------'- "" ...

21

7~~W~I

Tml ~rTT17fl7l::177'7W,.L

Fm.16FIO. I

Plto'J3Ll1ll>fAS ESPEOXALES EN LA 1!'LEXIN DE VIGAS

1. Vigas cortas, ~ < 0,60.11; Vigas de longitud media, 0,60 < W< 5.

III. Vigas larga., ~> 5.

Al examinarse el casa de vigas del primer grupo, puede des-preciarse por completo la flexin y considerar la viga como absolutamente rgida, por ser la flecha que ori,'ina muy pequeaoomp..rada con la depresin de la fundacin. Sea, por ejemplo,el caso de una caIga aislada en el centro (fig. 13) Y supongamos

~ = 0,60, encontr""'amos, mediante las frmulas dadas ante-riormente para y. e y" que la diferenoia entre la fieoha en cl

blcs comparadas con la unidad en las ecuacioncs (6), lo que sim-plifioa considerablement I..s eouaciones (o).

En general, el ..nliJis de la fle:rin de viga. de longltuu Jin-ta se hace e!asificndolas en tres grupos:

mente, y por encim.. de cierto valor de '~lpuede suponerse que 1...fuerzas que actan en un e:x;tremo de la viga tienen tilla influen-oia despreciable sobre las deformaciones del otro e::

1 Diversos p:t"oblemaa de ceta naturaleza so presentan en las es-tr'lcturas de buques. Un an.lisis completo de este g~noro de .problemasSe encuentra.n

~~___,___,,,_, .'_'.~"'mt=_'=.'~' ~~'L .._,_ 11. ! !.....-

24 RESJSTENOIA DE MATERIALES PROBLEMAS ESl'EQXALES EN LA FLEXIN DE VIGdS 25anteriormente O integrar directamente la ecuaci6n (m). Esco-giendo ei itimo oamino, escribiromos ia integral genera.!- de laecuaci6n (m) en la forma siguiente;

y= ~' + 01 sen ~xSh~x.+ 0, Sen (3x Oh (3x + G, cos (3x(n)

X Sh~x + G, CO" (3xOh(3x.Tomando en el centro el origen de coordenadas -fig. 17 (e)-,

se deduce 1'0r simetria que

c,= e, = O.

Sustituyendo en la eeua.cin (n) y utilizando las condioionesen los e"tremos articnla.dos

Sustituyendo este valor en la ecnacin (le), se halla 1", reacoin en el apoyo central de la viga vcrtical correspondiente al.pnnto medio de AB.

Es interesa.nte subrayar que csta reaccin puede ser negativa,lo que indica que la viga horizontal acta como soporte de lasvigas verticales cuando es suficientemente rgida. En oaso contrario, puede aumentar la f!e:

26 REsrSTENorA DE MATERIALES PRon'EMAS n:SXEOlALES El,ir LA FLEXl6~ 'I)l~ 'VIGAS 27

5. Encontrar los momontoa fieotores on loa extremos de la viga dolliL figura 21, qua descansa sobro una fundacin elstica, est cargado.

(b)

(a)

P(I- e) (1 _ :e). I .Eld'y =-Syd",'

Empleando la notacin

4. Carga lateral y compresi6n axial combinadas.-Comen-zaremos por el problema sencillo de una pieza con los extre-mos articulados solicitada

'"" = """= ....d. P l:= c~r-~8 ~.y comprimida axia1mente .. por do. fuerza. S iguale.y opuestas (lig. 24). Supo-niendo que la fuerza P ao- lhe. 24ta en uno de los planosprincipales de llL pieza, tendremos flexin eu el mismo pllLuo.Las eeulLciones diferenciales de la elstica para lo. dos trozos enque P divide a llL pieza son .

Eld"y = _ Sy- Pe:e,dre' /

est flexada por 1,111 pl:LI' M uplica,do OLl un, extremO (ug. 23). Hallarla. eh1.6tiea.

Rellp'U88ta:

2MB' ~== o Bl tCh~1 son ~"Sh~(l- ,,) - OOR ~ISh~" .en W - x)J.lr:(Ch.:':j3/, 00S2 )

FIG. 21

q ShBI-se" Bl2 B' Sh~l + .e" ~'

~..

~l ~ll2 Ch- COij-2 2

ChBl + cosBI

Bl ~lP Sh'2 8en 2'BSh~l +SO" ~l

FrG. 20

-de modo unifol"Ino y con una carga ooncentrada en ese punto medio ytiene perfeotamente empotrado$ 10$ extremos.

R",pue.sla:

4. EncontJ:'a1" la flecho. y el mOmento fieotor en la seccin central

N" l' .," ,., . ____..,w..... -'---_---4-----"'""......._ . ....

28 RESISTENCIA DE MATERIAl,ES l'ROBLEMAS ESl?EOIALES EN LA FLEXIN DE VIGAS 29

8u"titllyendo en la ecuacin' (e), se obtiene para el trozo iz-quierdo de la pieza

0, sen p(l- e) = 0. [sen p(l- e) - tg pl cos p(l- e)J,PO,p cosp(l- e) = O.P [cosp(l- e) + tgplscnp(l-e)] +~,S

Las otras dos constantes se dcducen de la continuidad de laelstica en el punto de aplicaci6n dc la carga P, lo que obliga aque las ecuaciones (e) y (d) den la misma f1eoha y 01 mismo gll:0para x = l - e. Tendremos

(24)

(23)

En el caso partioular de que la carga se aplique en el centro

de la picza, .e e.cribe e = ~, e introduoiendo la notaci6nSI' p'l'~--~-u'4EI- 4 - ,

El primer factor de la exprcsi6n (24) reprcsenta la flechaque produoira la carga P actuando sola. El segundo factor in-dica en qu proporcin crece esa flecha por la accin de las fuer.zas S de compresin axial.

Cuando S es pequea comparada con la carga de Eulcr(S. = Ei,n:} la cantidad u os pequea y el scgundo factor dela ecuacin (24) se aproxima a la unidad, lo que indica que eneste oasO el efecto sobre la fleoha de la fuerza axial de compresines despreciable. Ouando S se aprxima al ..alor do Euler, la

1tcantidad u tiende a "2 -vase ocuacin (23)- y el segundofactor de la expresin (24) crece indefinidamente, de acuerdocon el anlisis ya efectuado de la carga crtica ("ase pgina 238,primera parte).

El ..alor mximo del momento flector acontece bajo la cargay su valor, deducido de la segunda de las ecuaciones (19), es

111 = - El (d'y) = El!!!. t pI =~ tg "'. (25)mOX dx' ._" 2S g 2 4 '"

Tambin el primer factor de la expresi6n (25) representa el

momento f1ector producido por la carga P aotuando sola, mien-tras que el segundo factor, denominado f..ctor de amplific..cin,representa la influencia sobre el momento fleotor mximo delas fuerzas axiales S.

Re.uelto el problema para una oarga trallSversal P (fig. 24),

de la eouaci6n (18), deducimos

(18)

(19)

(21)

(20)

. (22)

o __ P seIl p(l - c) ,- Sp tg pI

Pp sen p(l- c) (1 )scnp -x.

S sen pI

dy P sen po Pe j-= C08pX--da: S sen pl SI

doy Pp sen pe-- sen px.dx' S sen pI

Psenpe Pey = 80npx- - "'.

Spsen pl SI

51..2dx'

O _ Pscnpe,- ,Sp Sen pI

Psenp(l-e) (1 ) P(l-o)(l )y = sen p - x - ---- - x ,Sp sen pl . Sldy = _ P 8"np(l- o) COs p(l- x) +P(l- o),dx S sen pI SI

Diferenciando, tendromos

de donde

Las expresiones que corresponden al trozo de la dereoha seobtienen escribiendo 1- x en lugar de x; 1- o, en vez de e, y

cambiando el signo de : en las ecuacione. (18) y (19). De estemodo, se obtiene

30 RI'SISTlilNCIA Dlil MATlilRIALES l'ROBLEMAS ESl'EOULES EN LA FLEXIN DE VIGAS SI

FIG.25

se puede con f"cilidad obtener b solucin para el caso de Ulmpieza solicitada por un par aplicado en su extremo (lig. 25).B"st" suponcr en el anlisis "nterior que e disminuye y tiendehac;a cero, mientms que Po permanece constante e igual aMo'

la /lecha en cualquier punto puede obtenerse superponiendo laslieohas producidas en dicho punto por cada una de las cargas ,,-terales, obrando siempre la fuerza axial S. Consideremos 01 casogeneral de n fuerzas, de las que m estn aplicadas a la derechade la seccin recta para la que .se quiere calcular la flecha.La e"presin de esta flecha se obtiene empleando ia ecuacin (18)para las fuerzas P" Po, .... Pm Yla eouaoin (20) par.. 1... fuerzas.Pm+" p,"+" .... p . La flecha busc"da ser

Si en lugar de fuerzas concentradas acta sobre la pieza unacarg" uniforme de intensidad q, cada elemento q de esta cargasituado a una distancia e del extremo dereoho puede conside-rarse coma una fuerza ooncentrada. Sustituyndolo, en luga,.

FlG.26

senp(/-",)'-. /-:>;,-.+ L P,senp(/-e,)--- L P.(/-e,). (29)Spsenp/ '_ .. +, SI '-"+'

sonpx i_m X t_'IIIy= L P,senpo,--::8 P,o,

Spsenp/,_, S/'~l

Una consecuencia anlog" se obtiene para el casa referente apares aplicados en un extremo de ia viga.

Est" superposicin especial puede generalizarse fcilmenteen el CaSO de varias cargas (lig. 26). Para cada porcin de lapieza puede escribirse una ecuacin anloga a las eouaciones (a)y (b), Y obtenerse una solucin semejante a las ecuaciones (e)y (d). Las constantes de la integracin pueden encontrarse delas condiciones de continuidad en los puntos de aplicacin delas cargas y de las condiciones de apoyo de los extremos de lapieza. De esta form" .e veria que la flecha en cualquier puntode b pieza es una funcin lineal de las cargas P" P, ..., y qU&

(26)

1 ) (27)(2 u)'

dy = Mo('!' cos P'" !l)'a", S senp/

Los giros de la viga en los extremos son

(dy) =Mo( P _!)_Mo/. B( 1

dx._ o S senp/ /-BE! 2usen2u

Ide donde

Haoiendo Pe = Mo Y sen ko = ko en la ecuacin (18), se obtienepara la elstica la expresin

y=Mo(Sen p",_:),S senp/ /

(dy) = MO(L_!) _Mo/ s( 1 1) (28)d:>; ._1 S tg pi / SE! 2utg 2u (2u)2'De nuevo los primeros factores de las expresiones (27) y (28)

representan los giro. que producira el par Mo actuando solo(vase pg. 151, Primera parte), y los segundos bctores repre-sentan el efecto de las fuerzas axiales S.

Examinando las ecuaciones (18) y (2B), se ve que la fnerzatransversal P y el par Mo figuran en ellas linealmente, mientrasque la fuerza axial S figura de modo ms oomplejo, ya que ptambin deponde de S (vase eouacin 17). De esto se deducequc si en el punto O (fig. 24) se aplican dos fuerzas P y Q, lafieoha en cualqnier punto puede obtenerse superponiendo laflecha producida por la carga Q y las fuerzas axiales S a la fle-cha producida por la carga P y las mismas fuerzas axiales.

------~... ~--~-----~-~-~----'~~~._-----_ ....__ .~" ..~. ~ .~--------------......;---

... .........-

S2 RESISTENOIA DE MATERIALES l'ROBLJIlM;AS JIlS>EOIALJIlS EN LA FLE1U6N DE VIGAS 33

--------------~

Empleando la solucin (26) para el caso de un par junto conla solucin (29) para cargas transversales y utilizando el mtodo

I...J

(35)

(34)

Fro.27

3 ) _ O(2U)2 - ,

ql't,g,--u_-_u]10=-- -12 1- u' tg u3

De las expresiones (34) Y (35) se deduce que los valores delos momentos biperestticos se dcducen multiplicando los momentos obteuidos en la teorfa elemental de vigas por ciertosfactores de amplificacin. Los clculos necc.ario. pueden sim-plificarse preparando tabla. numrica. que dan lo. factores deamplificacin '.

]fo

= _ ql' 4 tg 2u(tg u-u).8 u(tg2u-2u)

En el caBO de una pieza uniformemente cargada con a.mboseJt;tremos empotrados, loe momentos MD en los extremos se ob~tienen de la eouacin

:i Diveraoa CMOS particulares de pie2:AS comprimidaa carga.das la.~teralmente ha.n sido estudiados por A. P. V~der Floc.t, Bult. Seo. 01

:a~SIBT:XNOU DE ;rd;/LT:IIIUllillilil. T. II. - S

de donde

de donde

de superposicin, pueden resolverse fcilmente diversos casoshiperestticos de f1cxi6n de pieza. Sea, por ejemplo, el caso deuna. pieza empotrada en 'J.lll ex-tremo Y cargada do modo uni-forme (frg. 27). El momentof1ector M o on el empotramien-to se dcduce do la condici6n deque esta seccin no gira en ladeformacin. Utilizando las ecuaciones (28) y (32), la condicin seescribir

ql3 tgu-u Mol ( 3- 24EI 1 3 + 3EI 2utg2u

-u3 '

iI

-'-- .L

(30)

(32)

Diferenciando la ecuaci6n (30), se obtienen fcilmcnte las ex-presiones del giro y del momento Hector. El giro en el extremoizquierdo de la pieza es

d.e Pi' en la ~cuacin (29) y reemplazando sumas por integra-'Clones, se obtienc la siguiente e:x;presi6n para la elstica:

senp'" 1'-- '" 1'--y Sp sen pi o q sen pede - SI o qeMsenp(l-x)l' , I-Xl'+ S 1 qsenp(l-e)do--- q(l-c)dc.

psenp '_

34 RESIS7.'ENOa DE MA7.'ERIALES---------------..---._--,-'" .,-------

l'ROBLEMAS ESPECIAr.ES EN LA FLEXIN: DE VlG-AS 35

(el

(f)

Obtenido el momento mlcimo para una pieza esbelta, lafatiga mlcima numricamente se encuentra combinando 1"" fa-tigas de compresin y fielcin, lo que da

l iS .!JI"""""''''=A+Z

donde A y Z son el rea de la seccin recta y el mdulo de laseccin, respectivamente. Por ejemplo, en el Cll80 de una piezacomprimida ccn los extremos articulados y cargada lateral-mente de modo uniforme, mediante la ecuacin (33) se obtiene

1"'1,_ = S + qZ' 2(1- cos u),A 8Z u' COs u

Al escoger las dimensiones apropiad"" para la seccin rectade una pieza de esta clase, es necesario tener en euenta que elsegundo miembro de la ecuacin (f) no es lineal en S, puestoque la cantidad u tambin depende de S, segn se Ve en la ecua-ein (23). Debido a esto, la fatiga mxima aumenta en mayorgrado que la fuerza S. Por tanto, el mtodo corriente de deter-minar las dimensiones de una. seccin, tomando 1

Multiplicando los dos mipmbros de (h) por n, se obtiene_nS nql' 2(1- cos u,) (,')

crPl=-+ ,A 8Z uycos u,

lo que indica que la fatiga mxima aloanza al punto de /luenciacuando S y q se han hecho n ...eces mayores. En otros oooOs dec:.rga puede aplicarse un procedimiento anlogo para el pro-yecto de piezas comprimidas, Se deduce de lo expuesto anterior-mente que para contar con un coeficiente de seguridad n en elproyecto de piezas comprimidas 1, debe utilizarse, en lugar dela ecuacin (g) una ecuacin an.Ioga a la (h), en la que el par-metro u se sustituye por el '10 , = 'IIU.

Problemas

l. Encontrar el giro en el extremo izquierdo do una pieza. com7primida. cOn los e~tl'emOa l;L;r;'ticuladoe y oarga.da. en el oent,ro con lafuerza P.

Be8pue8ta:

(d1i) IIS_~ l-cosu= .Pl2 l-ooau..dx~_o 28 CQSu . 16Ell 3'2U COS'lL

Engine.6"O .o/ Way8 01 Communkation. 1900~I903, San Petersburgo EnCf:to tra.baJo ee dan numerOBI1S tablas d~ faototaa de a.mplifioacin'b- 'dS:._s.upone que 01 n:tate:l.'inl de la pieza, ~ien,o un pun,to de iluencia.len, C.ll.l~ldo.

donde n es el coeficiente de seguridad, f"Ila en este caso.Si la pieza eomprimida debe proyeot:.rse de suerte que co-

mienee la fiuencia cuando las fuerzas S y q se hagan n vece.mayores, la seccin debe escogerse de modo que cm'" sea algo

"PI dmenar que -, e suerte que quede satisfecha la ecuacin

n

siendo U 1 = nu.

I I "1'1C'mll.:z: =-,n

"11" = S + qZ' 2(1- COs u,),n A 8Z ufcosu,

(g)

(h)

2. Encontra.r IQS giros en loa extremos de una pie:l:.a oo:w.prhnida.con oarga triangular (fig. 28).

! -~---lFIG.28

Soluci6n: Sustituyendo en la. eouacin (29) Q01 en lugar de Fi y:reemplaz.ando la.s su.m.as por integrales, se obtiene

1 Este m6todo paro 01 proyecto de piezas comprimidaa fu6 de6~arrollado por K. S. Zavriev, Memoir8 o/ the Imtitute o/ Engl.neet"Q 01WaY8 o/ Cam1WUlI,'it;atiO'll., 1913, San l?e~erabu1"go.

----------~----~---~~............,..,..,------~ .._--:--_.'" ~'~-----------------_.__ .,-'" .,--------

yderivando respecto a z, ae halla

(dY) _ 2q,1;, '_'.:- ti p'EI (~ - 1)

._--

l'ROllLEMAS ESl'ECTALES EN l.A FLEXIN DE VIGAS 37

t.j";E~.n~._.,~=I"~==-""":'ffi;Yn-.;: -.t~-ll:-=.=1.=..=M~ .(a) /'1.CZ?/'1~ (b)

(e)Fra. 30

5. Vigas continuas con acciones axiales y transversales.-En el caso de un" vig" continua con acciones axiales Be procedecomo en el caso elemental de viga continua (v"",e pg. 192,Primera parte) y se consideran dos tramos adyacentes (fig. 30) "

. ..,'.. .!--._.L',-"",JI,_~ ~_ . .~_---"

lJ.ESSTENCtA DE lIlATElJ.TALES

__~.,. ."._. ~%~'~!I"~_"",,,,,,,,,,'''''''h '~''''''''I!jI",,'''''ti ......_.......' ~-II.

36

(,zy) . gJili: ._1 ~ - 6p'EI (O< - 1),dond~ !l ~. ~ sOn las funoiones dadas por las expresion9 (S6} (v~B$epgina 37 j.

3. Encontrar los giroa en" los extremos de uno. pioza. comprimida.cargada simtricamente con dos fllrZl;I.5 p. ta.l oomo indica la figura. 29.

Ret:1puceta:

o

, ~1

~4

~4

~~

~~~

~I

empleando 1"", ecuaciones (23), (27) Y (28) e introduciendo lasnotaciones siguientes para el tramo n:

(37)

(36)

tg'l},'If -'Uny.= .1 3-U3

[ 1 1]~ -$-- - (2 n.)' 2u'. tg 2no

('!Ji.) ~ _ (dY) _ ~ (COS pb _ 1)d,x ,+_1) dx, ~ .. l - S cos~ 4. Uno. piza. comprimida. cOn loa ex1;.reUlos empotrados est. CM'-

gnda tal corno indica. la. figura 29. Encontrar los momentos flseto,;eBM D en los extremos.

Solucwn; Los moz;r;t,entoe Mi> sO encuentran por la. eondioin da qttelos extremO$ df;l la pieza. eom.primido. no giren. Utilizando la. solucin

del problema ant0riol,". y las eouo.oionos (27) y (28), se puede esoribirla. ecuacin siguiente, que airve:para obtener M D:

M,I Mol P (coa pb )6EIO

les S sean nulas. las funciones 0:, (3 Y r valen 111 unidad y volve-mos a tener lo. resultados de la teora elemental de vigas On-tinuas.

Par.. otra clase de cuga transversal. lo nico que c..mbiaen 1.. ecuacin (39) es su segundo miembro. que depende delgiro que en el extremo comn a :1os dos tramos consideradosproduce la carga transversa!. Sea, por ejemplo, el caso de lacarga trape.oidal de la figura 3I.Dividiendo la carga en dos par- 'tes, earga uniforme y carga trian-gular, utilizaremos los trminosdel segundo miembro de la ecua-cin (39) para tener en cuenta laauga uniforme. A estos trminos F,c>. 31deben aadirse los trminos correspondientes .. las cugas triangulares. Utilizando los resultados dei problema 2 del artculo precedente, se halla que los dostrmioo. que deben ail.adirse al segundo miembro de la ecuacin (39). en el caso de la .c;arga de la figur.. 31. son

(q.-,-q.)I(o:.-l)- 2(q.-qo+l)I+>((3.+,_I). (e)p2J. ,p'I,,,, ,

donde o:" y (3. son los valores definidos por las expresiones (36).Cuando actan fuerzas concentrada. sobre los tramos conside"radas, los giros apetecidos se encuentran fcilmente por la e,,-presin general de 1.. elstica, ecuacin (29).

El clculo de lo. momentos a partir de las ecuaciones de lostres momentos puede simplificarse considerablemente emplean-do ta.blas numric..s de las funciones 0:, (3 Y r l.

.Al deducir la ecuacin (39). se SUPI1S0 que el momento M.en el apoyo ensimo tiene el mismo valor en los dos tramo.adyacentes. Hay casos. sin embargo, en los que un momentoe"terior M~ se aplica al ..poyo. tal como se indica en la. figu~rn 30 (c); en estos CagOS hay que distinguir entre el valor del

I':aollLEMAS ESPECIAL>:S EN ,LA FLEXIN DE V1

_.._~~--"~~_ .._... _~ ......~ ~ ...._ .... ""h'''!W!''''I'''.'!''H..tlM..t*..-,-.... n_ .. .1..._-

40 RE8ISTENCIA DE M.A'rl1l1U.A~nS Fl\OBLEMAS ESI'EOlALES EN LA FLEXIN DE VlGAS 41

1~I1(

momento !lector a la izquierda y a la dorccha del apoyo. La I"e-lacIn entre los dos momentos es, naturalmente "

Jft! ~ M~ ~ 1l{~ = OJde donde

(f)La ecuacin (39), en este .easo, se reemplaza por lit siguiente:

ccnlnM 2(.2. lTl M ln+l MI '-n"'II n-,+ ,-n] n+2/30+,-- n+"n+,--Mn+l110 n. Itt.+1 lito]

_~ qhl~' qn+Il~+l- Y'--YO+, . (40)

41n 41.+,Si los apoyos de una viga continua eon earga arial nO e.tn

en !lnea reeta, es preciso aadir a lo. segundos miembros de lasecuacIones (39) o (40) los trminos adieionales debidos a la di-ferencia en el uivel de los tres ",poyos oonseoutivos. Estos tr-minos no estn Influidos por la preseneia de las fuerzas a:rio.lesy son los mismos qne en el caso de una viga continua elemental(vase pg. 195, Primera p!JJrte).

Problemas

l. Esm.ibir el segundo miembro do lo. eouaoi6n de 106 treIJ momEm ..toe en el cal;!O de e:ri6tir una. fuer.ta eOncentra.da. P en el tramo n + ,l~8r una. distanoia Ctt.+" del apoyo n + 1.

Res'Pueala:

_ 6PE(6t~n Prt.+ta7i+l an +1)_ 6P (6en P"+l"n+1 C:n+1)8"+1 EJen Pn+lln+~ L"'+l - ~ p:+1I lI +1 sen P;'+llr:a+1 - Ltt+1 2. Escribir el segundo :m.iemb:ro do la. eouaoi6n de los tres momen~

tos si el tramo n est. ca.rgado en lo. formo. que indioo. la figura 29. pf:t..gina. 36, y en el tramo n + 1 no existe carga.

Re8pUeala: Empleando la solucin del probleP)a 31 prgi.na. 36) S6obtiene la. .siguiente expresin,:

_6PE (C06 p.b. _ 1) = _ 6P (C06 p.b. _ 1)Sn cos Pnl" 'PJln "Pnl", 2 008-2-

3. Escribir 01 segundo :mie:mbro de la. ecu.a.ci6n d los tros momen-tos si lo. oarga es la. qua indica la figura 32.

.1 . La. direooi6n do ~, indicada. en la. flgura 30 01 se torn.a comopOSItIva pQ.r~ el ;c:I.Qmento oxtorior.

_ 6 o. (co. Pn~ _ bo).p:Ln Pt! cos Pl~1J

6. Tirantes con carga transversal.-----Si un tirante est some-tido a la accIn de fuerza" extensoras S Y de UIla carga concen-

r-Zb.-----jr

donde1 u'~-1+-

() _Oh_u-;-;c~----.;::2'hU =(254) u'

[z ) ]Oh '!!..._1'xy = 8q , ( 2 Z - 1 + -'L x(Z- x),

l' Oh E- 282

43

(47)

(46)

.. ....,,:-;.

M,(",. ShP"')Y= S - Sh1'l .

M,=-

S

= M, (:'_ Sh1'''') +M,[!..=:: 8h 1'(I-",)]11 S 1 8h1'Z S Z Sh1'I

Oh1'(~-"')]1- Z.

. Oh 'E..2

De esta. eoua.oin se deduce que la. flecha en el oentro y elgiro en el extremo izquierdo del tira.nte v"len

Si se a.plican dos pares iguales y opuestos a IOB extremos deun tirante, se puede obtener la elstica por el mtodo de super-posicin

pnonLEMAS EsrEOTALES EN LA "LEXT'" DE VlOAS

Se ve que la flecha y el momento flector mximo se obtienemultiplicando los valores correspondientes de la teora elemen-tal de vigas por los factores 'l'l (u) Y h (u), que dependen delvalor de la fuerza axi.'! extensora S. Los valores numricos deeatos factores se dan en la tabla III .

En el caso de flexin de un tirante por un par aplicado en sUextremo derecho, la ehistica se deduce de la ecuacin (26), dedonde

RESlSTENCU DE MATERlALES42

y la flecha mxima ser1 u'

5 ql< Ohu - 1+ 2" 5 qZ'y,"" = (Y)._l = - - = -- - '1' (u) (43)

384 El (:4) u' 384 El' ,

Para la parte derecha del tirante, y utilizando las eouacio-nes (20) y (22), puede obtenerse frmulas anlogas. Toniendolas elsticas para el caBO de una carga aislada P, puede obtenersefoilmente la elstioa para cualqnier otra clase de oarga apli-cando el mtodo de superposioin.

Sea, por ejemplo, un tirante uniformemente oargado. Apli.

---_ ..._..~.----,~-------------. - -"""'5 "'_,.. - ..

," (u) = 11.- Thu1 '

. 3u'Thubl Los val?~es numricos de la funcin .ji, (u) ligur"" en la ta.

a IIIt

',?tilizando las expresiones (45) y (49), se obtiene el mo-men o "" l' en el centro

TAJ3LA TIlOO:N"STANTl!IS :P\.B.A ~,. DE7.'BRMINAOI;N DE F't>EOIIAS y MOM:rnNTOS

F'f,l!:ClTOREB MXIMOS fjl'N TIlit,A.NT1'.:a CON C,AR.GA ';t'ltAN5VERSAlJ

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIN DE VIGAS 45

24 (U 2 UOhU-U)'h(U) = --' - - .. - .

u' 2 Shu

Problamas

Todas estas funciones valen la unidad para u = O; eS dccir,ouando solamente acta la carga transversal. A medida que lafuerza extensora aumenta" las funoiones disminuyen; es decir) lasfuerzas extensoras disminuyen las flechas y los momentos flecto-res en los tirantes cargados transversalmente. Al estudiar la fle .."i6n de pl",c,," delgadas (vase pago 124), harelnos "'plicacin dela tabla anterior.

donde

"'1'. '1" .p, ~t .p,

"'1'1 , .p, 9~ .p,

--- -- -- -- ---- -- ---- -- -- --

o 1,000 1,000 \,000 1,00U 1,000 il,5 0,054 O,l!li' 0,04'1 O,snl 0,130O,, 0,B08 0,076 O.'ilOr. 0.081 0,\J72 ,O 0,017 0,175 O,OU 0,367 0,1211,0 0,711 O,{lOg 0,704 (l,u:l1) ,8~4 ',- 0,041 0,156 0,0:313 0,317 0,1061,0 0,523 0,817 0,511 n.870 0,788

"O 0,O3{\ 0,141 0,031 0,328 0,0932,0 0,380 0,716 0,307 n.dOr 0,67:1 ',- U,032 0,127 0,028 0,311 o OS.

','0,281 0,617 0,2a~ 1l,736 0,163 0,0 O,O2{l 0,111i 0,025 O,2{l\} O,ON

3.U 0,21.3 O,2t1 0,200 U,672 0,4U7 O,, 0 1026 0,105 0,022 0,28:1 o,013a:1.5 OllaG 0,45:;1 0,15:1 0,611 O,3~6 10,0 0,021 u,OfJa 0,020 0,:270 0,060',0 o,lf\2 0,3,~~ Ot lW 0,563 0,320 10,:; 0,021 o,OaS 0,018 O,25fJ 0,054','

0,107 0,33t> 0,01'l, O,51lJ 0,261 n.O 0,020 0,081 0,017 0,218 0,050,,O 0,038 O,2{l} O.07~ O,4fl.O 0,224 11,& 0,018 0,{)75 0,015 0,238 0,015li,ti 0,074 0,254 0,066 O,44.t1 0,18!J 12,0 0,016 U,06 0,014 0,2.20 0,042

j~,O 0,063 0,22'3 0.055 0,417 1 0,162 - - - -- -

..-

..

(50)

(51)

.1lIO= _ '!!: u - Thu _ gl' I12 1 - - 12 '" (u),- u'Thu3

.!J1, = ql' 2 (Ohu-l) _ ql' u- Thu8 u'Ohu 12 1

- u'Shu3= ql' 6 (Shu -u) ql'

24 u'Shu = 24 h(u).

44 REmSTENOIA DE MATERIALES

Una ve. hallf>das las elsticas de un tirante de tt' 1 d fI e" remos ar-lCU f> os exado por cargas trf>nsvcrsales y por pares en loe"tremos, se pucden resolver fcilmente "nsos hip t't. d Sa " d . - eres "leos eexlO~ e tIrantes, aplicando el mtodo de superposicin Spor ejemplo, el Cf>SO de un tirf>nte cargado nniform .~ ca,los extremos em t d E emen"", con1 po ra os, mpleando las expresiones (44) Y (48)os momentos No en los extremos se deducen de la eouacin ,.

ql' u- Thu .M 1 Thu'24 El 1 + 2;1 --;-=0,

~ u3 '3

de donde

sicndo

centro sc obtiene mediante las ecuacionesLa flecha en el(43) y (48), Y vale

1 u'--1+-

Ym" = (y). _ ~ = J_ ql' Ohu 2, 384 El (5)

- u24

_ L (u-Thu) (Ohu-l)_~16El u'Shu - 384 El 'f',(u) (52)

1. Encontra.r la :Al."Ic.ha ;rno.xima. y el momento fiector Inximo enun tirante ca.I'go.do en el ce1'J.tro.

Be8pul;;8la:Pla 'U - Thu

(1)- = 48 El 1- ,,'3

M_~P~.4 "

2. Eneontrar 108 mo:meIltos fleetorea M o en los extremOA de Untironte~ que los tiene empotrados, y que est. 6imtl"icumen~o cargs.docon dos f'UorZ8B P, ta.l como indica la figura 29.

!. (l _ eh 1'1 + M.l ThuS eh ~ 2EI ----;;: ~ O.

2

._-------_._----_. -

1 nnZ m1t'Xsen -- sen -- dx = O,o 1 1

n"mY n1t'" m7

____.'UII'-.......L.......... ...............~. _

""-

de donde_ 2 PI' 1 n7te

a. - -- -sen-,EI7t' n4 I

E 17t1 4 n7t'C--na =Psen-2/3 ni'

J(55)

49

4 ql' '" 1 ",7tXy= -- L -sen-'EI7t~n_l.3.5... n/1' l

:E":RBlilllMA8 ESPEC:I.6.LES ll:N LA lJ"LEXI6N DE. VlGAS

:nElH!lTE~(l1A. DE )~ATEn.IA.LES. T. II. ~ 4

Integrando esta exprcsin con relaci6n a. e desde e = O ae = 1, la flecha total ser

1\ = 2_P_I" = ---=Pc..l~'=El"" 48,7 El

2 PI" ( 1 1 )1\= (y) ,=---- 1+-+-+.- 2" El7t' ;>4 5' .. ,

n7'::O n7tXsen-scn-

2 qdol' - o:; 1 1y= El"" ~_I n'

Comparando con la ecuacin (90), pgina 137, Primera parte,se ve que se ha obteuido 48,7 donde alli era 48; de modo que elerror que supone emplen.r 01 primer trmino de la serie cn lugarde la serie completa es alrededor de 1'/. por 100. Esta aproxi-macin es suficiente en la mayora de los casOS pr:tcticos y ve-remos ms ejemplos en los que usando solamente el primer tr-mino de (a) se obtiene una aproximacin suficicnte.

Conocida la solucin para una carga aislada (ecuacin 54) Yempleando el mtodo de superposicin, se pueden resolver pro-blemas ms complejos. Sea, por ejemplo, una viga cargada demodo uniforme e intensidad q.. Cada elemento de carga qdc situado a una distancia e del

apoyo izquierdo, produce una flecha dada por la ecuacin (54),pouiendo P = qdc:

Tomando solamente el primer trmino de esta serie, se ob-tiene

Exprcsin por la que puede calcularse la flecha para. cual.quier valor de a;.

Por ejemplo, la flecha en el centrO cuando la carga est en1

el centro, e = a::: = .2' vale

(54)

48 RllSIS~JlNCIA DR MA~ERIALRS

teriorc" a lo largo del desplazamiento Cuando la l' t'representa J . . e as lea se

e a naturaieza. del indica.do dando pequcas va' ,108 coeficientes a tI. S. naCIOnes a.1 d . 1~:H a3 lt en general j al coeficiente a see a un lllcrernento dan' tendremos el termino (a + da ) n n

:nrrX . n n se-1- en la serie (a), en lugar del a sen~ L d .lit. l. os cm a trmInosno varan. Esto aumento da del fi' tcl . . . n cae OleD e (lin representa un

esplazam,ento adiclOnal dado por la Curva sinusoidal danjt;f. .... '" sen-1-' ~uperpuesto a la elstica primitiva, A 10 largo de este des-pl"zam~ento, las fu~rzas exteriores ~~baja.n, En el caso de unacarga aIslada. P, ~plicada a la distancia c del apoyo izquierdo, elpunto de aplicacIn de la carga. experimenta un desplazamiento

. I da n7tCvertICa sen -- y la cargo. realiza el trabo.jo

dan (sen n~c) p, (elVA"..",,. "hora. el aumento de la energa de defo 'dada ' rmac! n

'pur a ecuaCl n (53) cuando a se incrementa on da S :fa ........ "," era

dU lU El7t'= - dan = -- n'a da (d)~a:rl 213 J; nIgualndolo al trabajo realizado (e),

Deducido de aqui el valor de cada uno de los coeficientes dela sene (a), la ecuacin de la elstica ser

2PI' ( 7tC 7ta;, 1 2 2Y = -- sen-$en- + 1t'C 7tX' )El-' l I -sen-sen- +,. 2' I 1 ' , .

2 PI' n-oc l'= __ ~ 'n'1tC n7t"X

El,'" - sen ~sen-

, >< n_1 n;< I

RESISTENOLI, DE MATERIALES;:1

,",; '{" Tom~ndo solamente el primer trmino y refirindonoaal. -e >. ~ centro de la viga, se obtendra para la flccha el valor

',. .'?:) '';.J 2, ."4 ql< ql'8=-=--"_Eh' 76,5 El

Compar.ndolo Con la solucin exacta

5 ql' 'J148=--= ,384 El 76,8EI

se ve que el error cometido al tomar solamente el primer tr-mino es menor en este caso del '/, por 100. La serie trigono-mtrica (a) es especialmente til cuando la viga est sometidaa la accin de una compresin O extensin, adems de una carga

J;"G. 35

transversal. En el caso de la figura 35, la articulacin B se apro-xima a la a>ticulacin fija A durante la deformacin por flexinen una cantidad igual a 1" diferencia entre la longitud de la els-tica y la longitud de la cuerda AB '. P"ra curvaturllB peque...,esta diferencia es (vase pg. 170, Primera parte)

A= ~l' (dY) 2 d",. (56)2 o d",Dado y por la .erie (a), el cuacir"do de .u derivad" contiene

trmino. de la. formas

nm1t2 1't7tX' m7t:l:2a"a -- COs - cos __ m 1" 1 1

Integr"ndo, se ve que

1i n~X. l 1Z 'n.1t'X m1t'X'cos"--d", = -; cos-- cos-~d", = O, 'qm.o 1 2 o 1 11 La. oQnt:t'a.ooin longitudinal debida a la fuerza axia,l puede COn-

eiderarse constan't!e para defornJ.aoion.eB pequel1S.

",--" ....'" .". linN DE V10AS 511'1l.0BLEMA~ ESl'l'CIALllS EN LA FL

Po,' ."nto, el valor de A ser

j>;"' oc (57)A~-~ n2a'ft.41 n -,

efi . '" a a de las series (a),Para calcular loa co mentes 1J 2.' :l... .b, . r, ado por las fuerz"s exterIoreaconaidera>emos. el tra aJo re" 1Z .

. t da sen~ .desde la posicin de equi~para un desplazam,en o. 135 t to la fuerza P como laslibrio En el casO de la figura ,an to de A debidofuerz~s axiales S reali.an trabajo., El increme~ '

al da. experimentado por el coefiClente a.. ser..

01. ,,"dA = - da. = -1 n'a.da._oan 2

Por consiguiente, el trabajo reamado por las fue....s S vale",2

S-n2an dan o21

. d b -adirse al (e) correspondiente a la fnerzaEste trabaJo e e an d la. ga de de-I l. urna igualarse al "urnento e enertransversa y.... , bt"

. " (d)- De esta manera Be O ,eneformaCln -ecu..Cl n .",' . El",'. d

nc", d J- S _ n"a da = -- n a" a",Pscn -l~ a.- 21 2ZS

De donde2Pl3 1 n","sen--

a. = El,,' ( Sl' ) ln2 'r2_, __Eh'"t din I a su valor, crticoSi la rel..cin de la carga long1 u a

(v..se pg. 29) se ~epresenta porSI"

"'=-.-,El"Ttse obtiene

2 P ro 1 n",o_--:=---; sen -.

a. = El",' n'(n'-"') t

_...

, q._iI I ;i_='i1j'IIiIN"k i

---------~-._...._ ...._.. _..._-_._ .. ~ t...................

Si la fuerza axial es extensora en lugar de l' 1 comprosora. em .todo empleado es vlido sustituyendo - d'

. o:.envez eIXenl.a.expreSIn de la elstioa (58) 'Tomando solamente el .

. prImer tr-

(62)

(61)o.0=--'1+"donde 8. representa la fleoha producido. por las cargas trans-versales nicamente. Conviene subrayar que en el caso dc fuer-zas axiales de extensin" puede ser mayor que la unidad y queel grado de exactitud de la ecuacin aproximada (61) disminuyeal aumentar a.. Refirindonos, por ejemplo, a una oarga transver-sal uniformemente repartida, el CITar de la ecuacin (61) paro." = 1 es alrededor del 0,3 por 100. Para a. = 2. el error es 0,7por 100, y para" = 10 el eITor se eleva al 1,7 por 100.

En el caeO de una pieza can los extremos empotrados se'puede deducir una ecuacin anloga. a la (61) para el clculoaproximado de la. flecha en el centro. Dioha ecuacin es

~ Vas6 la publicacin de M. Retnyi, J ournal o/ Applied M echa-nic8, 1937. vol. 42, A49.

PRORLEMAS ESPEOIALES EN LA FLEXIN PE VIGAS 53

Donde 80 es la flecha en el oentro producida por la8 cargas trans-versales actuando solas y tiene el mismo significado que anoteriormente.

Ms adelante 'Veremos aplioaciones de estas ecuaciones apro-ximadas al estudiar la deformacin de placas rectangulares.El mtodo de 1.... series trigonomtricas puede emplearse tam-bin en el anlisis de vigas de seccin 'Variable l.

8. Flexin de vigas en un plano principal que no es plano de .simetra. Centro de torsin.-Al analizar la flexin pura ('Vasep'>glna 84, Primera parte), se encontr que el plano de la elas-tica coincide oon el plano de los pares fleetores siempre que di-chos pares aoten en uno de los dos planos principales de fle"in.Esto no es vlido, sin embargo, en el caso de que la vigo. est so-lioitada a flexin por un sistema coplanar de fucrzas transver-.ales. Si el plano en que estas fuerzas actan na es Un plano desimetra de la viga, la flexin viene acompaada do ordinario

mino ne eeta expresin, la frmula aproximada que do. la flechaen el centro .er

(58)

(59)

(60)]JImax = g'" + S8..8 1-"

RESISTENOIA DE MATERIALES

Sustituyendo en la seria (a), la al'>stica sera

52

~2PI' (1 7tC 7tX 1y -- -~~--l -~ sen - son...:....- + sen 27t'~ 21t'x )El7t' 1- , , 2"(2'_) --sen-,-+ ...

2P' oc 1= __ 1: nr:c n1t'a::

El ' sen-sen_o" - 1 n~ (n2 - xima d'd . O.pro UCI a cuando solamente actan I

gas tran 1 d as car-e sversi), es, pue e suponerse con aprov'~' Ji'1 '. J """-1..L.L1aCl n su mente

que. >aJo la aCOln combinada de las fuerzas de compresin Sy dicha" cargao transversales la flecha ..

. maXIma es

Esta. e"presin dc la flecha mxima puode tili'l' o u zarsO paraun c culo aproxImado del momento flector Sea . 1el caso de . . , por eJemp o,

una p'eza con los extremos articulados y .~t

UnhOl'me-men e cargada. El momento flector mximo ldr!a . d va aJ en este casoproXIllia a.mente, J

_.._ ....._._.- ._._ ......__._-

54 RESISTENCIA DE MATERIALES PROBLEMAS ESPECIALES EN :'A FLEXIN DE VIGAS 55r

FIG. 36

e

N=-ff ydA, Y N+dNdonde la integracin se extiende a la porcin rayada de la sec-ci6n del ala. La integral repreaenta el momento del rea rayadarespecto al eje Z. La diferencia de las fuerzas N y N +dN debeser igual a la suma de las fatigas cortantes "'.. que obra~ sobrela cara m", m ,"', del .elemento, Suponiendo que est"" fatIgaS sedistribuyen uniformemente sobre la cara: y :epresenta~do por tal espesor del ala, se obtiene la ecuacin SIgUIente, que SITve parael clculo de ""..:

.dM dXJ'"" tdx = dN = - - . - ydA,.. dx 1.

d.eben actuar en el plano vertical que pasa por este punto si Sequiere tener aolamente flexin. El punto 0, que goza de esta pro-piedad, se denomina centro de torsin. Considcremos ahora unaseccin en U -fig. 36 (c)-, y vamos a determinar la posicindcl plano cn el que deben actuar las cargas verticales, a fin deproducir nicamente /lexin con el eje z como linea neutra.

Veamos la distribuci6n de fatigas cortantes sobre la secci6nen la flexin aimple. Para calcular laa fatigas cortantes verti-cales"" en el alma, puede utilizarse el mtodo empleado paravigas :~ 1 (pg. 114,' Primera parte) y suponerse con auficien-te aproximacin que la fuerza .cortante vertical v es absor- _N..",....,, _bida solamente por el alma. Enlaa alas existen fatigas cortan-tes horizontales que represen-ta.remos por ,'t"~~. Para encon~trar el valor de estas fatigas,separaremos del ala un elemen-to mediante dos secciones rec- ytao a diBtancia dx y un plano FlO.37vertical m", m ,"', paralelo alalma (fig. 37). Si la viga /lexa con la convexidad hacia abajo, elala auperior estar comprimida y las fuerzas de compresIn N YN + dN que obran sobre el elemento indicado valdrn

(M+dd~dX)r1 ydA,, .

...

de una torsin de la viga. A lo largo de nuestro anlisis, veremoscmo e;ta torsin pucde eliminarse y establecerse una flexinsimple mediante un corrimiento adecuado del plano en queobran las fuerzas paralelamente a s mismo.

Comenzarcmos por los casos sencillos en los que la seccinde la viga tiene un cje de simetra (eje z) y las fuerzas actanen un plano perpendicular a este eje (lig. 36). Sea, por ejemplo,el caBO de la figura 36 (a) y vamos a determinar la posicin delplano vertical para el quc, al obrar las cargas, se produce nica-mente flexin de la viga en un plano vertical. De los estudios

realizados sobre la distribu-cin de las fatigas cortantesverticales ""., (vase pgi-.na 105, Primera parte), sededuce que prcticamentela totalidad de la fuerza COr-tante V la equilibran las alassolamente. Si consideramos

las ala. como dos vigas separadas cuyas secciones tienen mo-mentos de inercia. 1: e r;, respectiva.n1ente, .sus curvatura.s ysus fiechas, al /lexar, sern iguales si las cargas se reparten sobreellas en la relacin 1; :1, '. Las fuerzas cortantes en dichas alastambin estarn en la misma relacin.

Esta condicin se cumple si las cargas transversales obran enel plano vertical que pasa por el'punto O-fig. 36 (")-, tal qw

h 1"...l =---=,h, l'

donde h y h, son las distancias de O a los centros de gravedaddc las seccioncs de las alas. Se ve, pues, que en el oaso de alasde espesor pequeo, el punto O no coincide con el centro de gra-vedad O de la seccin total y que se desplaza hacia el ala cuyaseccin tiene mayor momento de inercia. En el caso limite-figura 36 (b)-, en el quo desaparece una de las alas, puedesuponerse con suficiente aproximaci6n que el punto O coincidecon el centro de gravedad del la y que las cargas trans"ersalea

1 ~J. efecto de 1l:L fuerzo. cOl''ta.n~e t:\1l la defor:m:acin de la.s aJ.aa sedespre;au en este estudio.

.... -~,~'''''~,-,,.,..----,.......11 .. __ .._ .._._,.- .."-'''--, "" ,,-..,, , ---,,~,,-~,~,_..~,_.~ ..

----_._._~ ,----'-"._"'---~. ~-_._-"._-_... "--................." ....!!!_~~----_._-"'" .---

66 RES1S:l'ENC1A PE MA:l'ERlALES PROBLEMAS ESPECuLES EN LA FLEX1N PE VlGAS 57'De donde

R

v Iy1"10. 40

R

___-jif (b)

Fro.39

1 Pa.ra el clculo do las fatigas se emplea el tniamo mtodo que-para la seccin en U.

de un angular (lig. 39), la fatiga cortante '1' en p.untos a lo largodc 1I

PROBLEMAS ESPECrALES EN LA l'LExr6N DE VIGAS 59

1 Va,nse la publioaoin de M. Seegal" y K: Pearaon, LQndon, RoySo~. P-roc. (SG:I;'je A). vol. 96, 1920, pg. 211, Y la. publioa.oin del autor

......,.__...._~.__.. _.~._.__ ._.",.,.~~._~__~_~!.~.~,~. ',,".'",'......."lII..'...tt..!!w.._....'..' ~'....

f

60 RESIS:J:ENClA DE MA:J:EEIALES PROBLEMAS ESPEOIALES EN LA FLEXIN DE V1GAS 61

un borde -lig. 41 (e)-, se ve quo las fatigas de compre.in nc>se distribuirn uniformemente sobre el ancho del al.. y un estu-dio detenido muestra 1 que la distribuci6n es la que indica elreo. rayada, en la que la fatiga mxima en el ala es igual a ia.que corresponde a las fibras de la cara superior del nervio.

De esta variad.. distribuci6n de la fatiga se deduce que para.aplicar a la viga de lo. figura 41 (ct) la frmula de la flexi6n sim-ple, debe usarse una anchura reducida 2 A.. en lugar de la real 2 ,.de las dos alo.s, si se quiere obteJ1.er un valor correoto para la.fatiga mxima. Esta anchura reducida sc denomina corriente-mente o.ncho efectivo y puede calcularse si se conoce 1.. distri-buci6n de fatigas representad.. por el rea rayada de la ligo-ra 41 (e). Basta para ello igoalar el rea del rectngulo dibu-jado de trozos en la figura al rea rayada. Su valor 2 A, vara.corrientemente a lo largo de la luz de la viga; depende de las di-mensiones de la viga y tambin de la forma del diagrama demomentos flectores.

En el caso particular de que el ancho del ala sea muy gran-de (por ejemplo, 2 6 '" 1) y el diagrama de momentos fiectore..est dado por la curva sinusoidal

4 ql'M" = -, (a)n 37t i:l

.

1 Estas soluciones eXl1etae son de aplicaCin en las instruccionespara el clculo do losas de hormg6n reforzadas con nervios. En 01 pro-yeoto de aviones la diatribucin. variada. de las fatigas en las alasI1nchas S8 tiene en cuenta mediante una teora. aproxima.da) cuyo an.lisis puede VCl"SO en las public.aeion,6s de P. Kulul, Naticm,(Ll Adv. Oom~m.itlcf/, far AerQnautics Ri;:port8, nm. 608, 1937; nm. 636. 1938. Vasetambin H. Ebner, L'lJ.,tfhah".trJi'ort8c.hun'J~vol. 14) pg. 93. 1937, Y VQ-lumen 1, pllg_ 527. 1938.

r--f

(e}

(bl'

(a)'

Af4/NA~:, . fl e

l'IQ. ~3

0= n.3El.

De la ccuacin1 PI 1-=-=-

r El" Rpuede obtenerse el valor limite de la carga P, para el que laviga empieza a tom.." contacto con la superficie cilindrica que

la sirve de apoyo ms all del punto A. Sea P, = ~i', estc va-

1 M PI;= El, = El:

. 1es menor que la ourvatura R del apoyo, el voladizo toca ala su-perficie A a en el punto A nican:rente, y la flecha oen el ex-tremo B vicne d"da por la conocida. f6rmula

producen, adems de extensin o compresin axial, una fle~xin adicional de ma.yor O menor, importancia. En estos casos(vase artculo 4.) existen limitaciones p""" el mtodo de super-posicin. Puede usarse este mtodo nioamente con relacin a.las cargas transversales, supoulendo que la fuerza axial permanece siempre presente. Hay otros casos en los que las pequeas.deformaciones de las vigas pueden introducir cambios conside-,rabIes en la accin de las fuerzas. En estos casos, el mtodo

d~ superposicin fa.lla. A conti-nu"cin examinaremos algunoscasos de esta naturaleza.

Como primer ejemplo, consi-deraremos 1" flexin de un valarlizo AB (fig. 43), que durante la flexin toma contacto gra.-dualmente con una superfioie cilndrica rgida AO, que le sirve-de apoyo. I,a curv"tura constante de est.. superficie es ~ y en Atiene una tangente horizontal.

Se ve que mientras 1.. curvatura de la viga en el extre-mo A, da.da por la f6rmula

PROBLEMAS ESPECIALES EN. LA FLExIN DE VlOAS 63nESTSTENCIA DE MATERIALES

FIG.42

Q37S '#J./

{I-O.//,0

/0,0

el valor (d), se ve que p.."a diversos valores de ~ la variacin delancho efectivo a lo I.."go de la lu. de la viga es la indicada enla figura 42. Se observa que en la pO"cin central de la luz elancho efGctivo vara muy lentamente y es, aproximadamente,el mismo que el correspondiente a un diagrama de momentosfiectores sinusoidal (vase ecuacin 63). Conocido el ancho efecti-vo por la frmula (64), la fatiga mxima y la flecha mxima se

calculan aplicando las fr-mulas de la flexin simple ala viga equivs.lente.

Hemos analizado el casoeu que las alas de la vigatienen una gran anchura.Existen tambin solucione..rigurosas para el caso de queas alas nO sean muy anchas

y para el caso de una placa rectangular reforzada por un siste-ma de nervios iguales y equidistantes. En todos estos casos, elproblcma Be reduce al clculo de fatigas y deformaciones de laviga equivalente '.

10. Limitaciones del mtodo de superposicin.-Al estudi.."la flexin de vigas (vase pg. 138, Primera parte), se vi que elclculo de las deformaciones puede simplificarse en alto gradoutilizando el mtodo de superposicin. Este mtodo se aplicasiempre que la flcxin de la viga no introduzca modificacionesen el modo de actuar las fuerzas exteriores. Por ejemplo, laspequeas flechas que las cargas transversales producen en unaviga no modifican los diagramas de momentos Hectorcs de estascargas y el mtodo de superposicin se puede aplicar de modosucesivo. Pero si tenemos flexin combinada con extensin ocompresin axial, 1" deformacin producida por las c"rgas trans-versales modifica la accin de las fuerzas axiales y estas ltimas

62

'.*f4,JAililii.+i ,lA Ni 'i ;; ;,;; "i"

....__..,._._---------......._-_ ...... ,,----_._-"'~.~~----~--

REsrS'rENcrA DE M'rERIALES I PROBLEMAS ESPEOlALES EN LA FLEXI6N DE TIGAS 65lar lmite de 1", c",rg"': por consiguiente, par", P > P, un trozo ADde ", viga apoyar tal cama se indic", con la lne", de trazos en lafigura 43. La longitud :l; de 1", p",rte libro de! voladizo se obticne

1 .-estableciendo que la curvatura - en D es igual a la de la super

. r

ficie sustcntadora; por consiguiente,Px 1- =-,El, R

d

y Se obtienc1tJI~-

x=-.PR (d)

Como segundo ejemplo, consideraremos el caso de una vigauniformemente c"rgada con los extromos empotrados (fig. 44).Se supone que durante la flexin la parte centr"l de la viga Seapoya sobre una fundacin hori-zontal riglda, de modo que a 10l

66 RESISTENCIA DE MATERlALES P:ROBLEMAS llSPllCLl.LES DE LA FLEXIN DE VIGAS 67

Nuevamente se ve que el momento Hector no aumenta en la:misma proporcin que la carga. Es decir, el mtodo de super-posicin no puede aplicarse.

Se vc inmediatamente que la reaccin X no es proporcionala la cal'ga. El momento Hector mximo en valor absoluto acOn-tece en loa extrcmos :empotrados y es

'la'IMal = IM, =- -Xa,2

Resolviendo las eouacionoB (i) y (k), ser

a __ -/1728'lEI" 1'/8V X=V98EI.'l3.

FIO.46

3 _ P(! - ~ Ra)' + Ra'.- 48EI, _ ~

3. Resolver el problema anterior, suponiendo qua la viga este:mpot;r:a.da en 105 puntos A y B.

4. Resolvor 01 problema 2, si l~ carga no est. en el eant:to de laluz AB.

. UJlU- viga uniformemente carga.da se apoya. 8obrl;l lllUl. fu..nda..

P(! - ~ Ra)'IX =. 16 l!JI.j

Conocido 0:, la fleoha en el cent:ro ser.

tangente a. las. aupe:tf'iciea de apoyo; po'r ta.ntoJ para pequeos valoree ujj cx:~

(1)

(m)'la' --M a = - = V2~EI,q.6

o sea~

Problema.

1. Encont:t:a.:r la flecha del voladizo do la 1igu,ra 43, si en luta.r dela, fuerz~ P I;lst. solicitado por una. carga 1mifm.m~ de intensidad q.

ci6n horizontal rgida (flg. 46). Hallar el ngulo tl.J que gira. el extre-mo A, y la longitud z, fiexada cuando' se aplico. el momenw M o en elex.tremo.

SaLu,ei6n: Lo. longitud Z SE! encli.~tra por lo, ecu~ciJJ,

Fra. 45

2. Encontrar la cxpt'csi6n de la. flocha en el centro de una vigaapoyada en dos supel;"ficies cilndrieas idnticl:l,.s. de radio R. y cargo.du.en el oentro (flg. 45).

Solucin.. A medida quo la. carga P aumenta, 109. puntos de con~tacto de la viga con las superficies da a.poyo so mueven hacia dentrQy la luz dierninuye~ pOi." consiguiente) la flecha. aumenta en menor pro-porci6n que. lo ha.ce la. carga. P.

El .ngulo IX, que d~ine la posici6n de los puntoa de contacto, seencuentro, pOX' lu condioin do que en esos puntos lo. eL.i.$tica. ha de ser

(I!I;II

!t

El li.ngulo de rotacin en el extremo A ea

M,x >pi''" = 3EI- ~4EI'

--_ ... ~-~._--.-----',",""""",,---,--.,,-,,-------------- '----......,.........,.........."'''''''',...,,..........."-,,,....,, ,~"--~~~-

....---.-----.....--.-.----;---~-- ~' _" ._' , Ift., .L..-..o...................,"".~_~__

PIEZAS OURVAS 69

.-....-

CAPiTULO rr

tamente prximas y representemos con d

,o REsrs~llNcrA DE MA~E1

111

72 RESISTENCIA !lE MATERIALES PIEZAS Ou:aVAS

1 Esta hip6teais e$t de aouerdo oon la soluci6n enota corrospon..diento .a. una. socci6n rec~gule.r estrecha; vase Theoty (JJ Ela8hcity,

p~ginJ> 73, 1931.

(b)

(71)

(70)

(69)

ov=r-y

= '-"- [1 + ~ (~). + ~ (~). + ...],R 3 2R 5 2R

se tiene

Ar=--fd:

En el o..so de la figura 48, A = bh, dA = bdv, y la integralse extiende desde v = a a v = c, siendo a y e loo radios interiory exterior de la pieza curva.

Sustituyendo en la eouaoi6n (69), tendremosbh h

r= =--.

1,bd" lag. ~ V aUtilizando conocidos desarrollos en serie

Sustituyendo en la eouaoi6n (a)er-:)dA = O,

de donde

Un.. primer.. aproxmaoi6n para e se obtione tomando sola-mente doo trminos en el dcnominador del segundo miembro.Tendremos

Representando con v (lig. 48) el r..dio del elemento rayado dA,se tiene

(a)

(68)1R

! ydA ~ O.,r-y

Na.C:.,d

Utilizando tres trminos de las series (b), se obtiene, en segun-da apro"imacin l '

e = 1:~ [1 + l~ (2~) J. (72)Se ve f'eilmente que la distancia e de la lnea neutra ..1cen-

tro de gravedad disminuye a medida que la relacin ~ decrece.PaJea valores pequeos de esta relacin, la distancia e es pequeay puede suponerse con bastante apro"imacin que la distribncinde fatigas sigue una ley lineal en lugaJe de la hiperblica. En latabla siguiente se comp",ran los v",lores obtenidos p""a la fatigam'xima, snponiendo leyes de distribucin lineal e hiperblica(ecuacin 66).

75

(75)

(74)

.~,~----~~,----_.,

PIEZAS CURVAS

Cuando b, = b, = b, la ecuacin anterior coinoide con 1..ecuacin (70), correspondiente a un reotngulo. Cuando b, = O,.e obtiene el caso de una .eccin triangular.

Seccin en T.-En este caso, 1", ecuacin (69) da (lig. 50)bd, + b,j, b,f, + b,l,7= ~ .

f.ddV J.'dV d eb, - + b. - b, lag. - + b.log. -eV dV a dSeccin en l.-De la ecuacin (69) (fig. 51),

b,l, + b,l, + b,l,r= .

d 'g eb, logn - + b,logn - + b.logn -a . d fJ

,,,,\",",',,.,, .\1'"''''

RESISTENOIA l)l!: MA,TE;n.IALES74

'l'ABLA IVoOO:MPAltACIN DE .r..AS DISTRmllOJ:O$ES DEl FATIGA LIN'lIlAL E IllPll:RDI,.ICA

b,

"r- eh R

ol O"FIO_ 50 FIG. 51

ye. el valor de e decrece, y para determinarle con aproximaci!,.uficiente es preclao calcular con gran exactitud. Para salvar esta

Be ve que, escogiendo convenientemente las dimensiones en elcaso de secciones en T y en 1, puedelograrse sitUar el centro de gravedadde modo que las ecnaoiones (66) den elmismo valor numrico para (J"m..I. y (mln.

Este dimensionamiento es aconseja-ble en materiales tales oomo el acero,que resisten de igual manera a exten-sin y compresin.

Hasta ahora, la distancia e del oen-tro de gravedad a la linea neutra 'se ha hobtenido por la diferencia R - r. A medida que Ji disminu-

r

(73)

o-ob = b, + (b , - b,) -- o-a

Sustituyendo en la ecuacin (69), se obtieneA A

r=--=

J'bdV' blo - b,a l o (b b)v h ogn,,-,-'

Dlstrlbu(lin d~ fatIsa hlperbOlIclL Dbtrlbuel6n (lE! fll-tJga J1juor en Q"m6.l< del,\JdoUD~~1 11- 8n:D(I'~r la ley lID~II.I

"

aDllo.J: Q"!~jD cr ID!!.X 0'1lI11l---YT M M lif ~Or 'clBntl'lr.""

JO ::D ,;

I 9,2 -4,4 6 -6 302 14,4 -103

I12 -12 17

3 20,2 -16 t l 8 -18 10.94 26,2 - 22,2 24 -24 9,2

10 62,0 - 58,0 60 -60 3,2

Se ve que para ~ > 10 puede suponerse lineal la distribu-cin de fatigas y aplicar con suficiente ",proximacin las fr.mulas de piezas rectas.

S&Jcin trapezoidaZ.-La longitud de una tira elemental si-tuada a la distancia v del eje O-O (fig. 49) es

r' -.r~--r-----"'""':'!rlH'~'-,--r-llil-- .._. r i . ***14;,,1111 i , ;;

. , ... _ ..~----_.__ ._~--~-~~,__~__~"'~"~""__""","", -,o ____.." .I..-...-....._ ...'i ..' ~._. ~.. _-

76 RESISTENOIA DE MATERIALES PIEZAS CUItVAS 77

(f)

I(Ji)' 1(Ji)" 1(Ji )"= 2R + 2R +"7 2E + ...

Sustituyendo, en la ecuacin (e),

[+;~'2A --y,dy, A)-(1+m)=2 h =27t(R- E._ h4', ((7)11 -. R-y,de donde, desarrollando en serie

Esta serie es muy convergente y mpuede obtenerse oon gran aproximacin.Sustituyendo m en la ecuacin (76), se obtiene la distancia e.

En el easo de una scccin circular (fig. 52),

dA = 2V~ ydYl'

Sea, por ejemplo, una seocin rectangular A = bJi. dA = bdy,Y sustituyendo en (77),

dificultad y obtener e directamente, se emplea el mto.;Io siguien-te. Sea y, la distancia dc cualquier punto de la seecin a! ejeque pasando por su centro de gravedad es paralelo a la lnea neu.tra. Se tendr y, = y + e, Y la ecuaoin (a) que da la posicinde la lnea neutra podr escribirse

(y, - e)dA =} y,dA _ e r~=O. (e)E-y, E-y, J E-y,La primera integral del segundo miembro representa un rea

y puede escribirse como sigue en funcin del rea A de la seccin

Jy,dA = mA, (d)E-y,dende m representa un nmero a determinar en oada oaso par-ticular.

La segunda integra! del segundo miembro de la ecuaoin (e)puede transformarse

}~=!f(1 + ......EL)dA =::i(l + m). (e)E-y, E E-y, ESustituyendo (d) y (e) en la ecuacin (e), se obtiea.e

mA 'e(1 + m)A = O,E

y

m = _1_}(1 + 10 + y~ + )y dA (77)AR 'RR,"'"

I

J

(78)y se obtiene

m =! (~)2+! (~).+ ~ (~)" +4, 2R 8 2R 64 2R

Serie muy oonvergente, por la qne m puede calcularse c-modamente. Sustituyendo m en la ecuacin (76), se obticne laposicin de la lnea neutra. Se observa que al c"lcubr m por 1..ecu..cin (e), el valor de m no oambia si todos los elementos dAse multiplican por una constante, ya que tnto b intcgml delprimer miembro de la eouaoin (e) oomo el rea A del segundomiembro de la misma ecu"cin crccen en 1" mism" prcporcin.De a,qui se deduce que el valor (78) obteuido para m en una sec-

(76)me=E--.I+m

de donde

Por tanto,

I y,dAE-y,

Para ealcular m en la ecuacin i;d), se desarrolla en serie elI

factor R -y,

cin circular puede utilizarse en lUla elipse de ejes h y "l' puestoque en este caso cada rea elemental (1) puede obtenerse de li.correspondiente del crculo multiplicndola por la relacin cons-

h,tante y,;'

El cilculo de la integral que figura en el primer miembro dela ecuacin (e) puede simplificarse a veces dividiendo la seccinen varias partes, integrando para cada parte y sumando los re.sultados de las inte;Taciones. Sea, por ejemplo, lUla seccin enforma de anillo circular, de dimetro exterior h e interior h,.Empleando la ecuacin (g) para los crculos exterior e interior,obtendremos para la seccin anular

p

FW.54

o

R --","o

Fro_ 53

La diferencia entre las reas OD F Y A BO da el rea modi-ficada mA. Conocida sta, pueden oaloularse fcilmente m y e_

La teoria de las piezas CUrvas 'desarrollada se aplioa al pro-yeoto de ganchos 1. En la figura 54 se ve la parte que trabaja.ell un gancho de secoin oiroular 'OOns-tanteo Se supone que la fuena vertical Ppasa por el centro de curvatura del ejedel gancbo. Las fatigas mximas de flexin acontecen en la seccin reota par-

'Pni:ZAS cunVAST

(79)

:&ESISTEl

"M ,,' rr=,nbt . !l' ' .. .._.---

80 RESrSTEl'OIA DE MATERIALES PIEZAS ctrnvAS 81

Se "'e que 1" fatiga mayor en ...alor "bsoluto acontece en el

intrads, es de exterurln y se obtiene multiplicando la fatiga ~por el factor de fatiga

(82)

de donde2ac 2 X 7,5 X 17JQ

r=a;+c= 7,5+17~ =10J 5etn.Sustituyendo en la eouacin (75).

106 = 43,75 ro U 175

01 lego 7,5 + 2.5 lego lo + (12,5 - o,) log. 1i-d. dend.

1I1Il....h ---l I

~'_Ll- a.J o,-j-.-1-- e ----1 I

R b, + 20, h~ ,,+ o, + b, . '3 ~ 6.83 em.

4. Determinar la dimensi6n 61 de la. secoin en T de la figura 50de modo que O"mb Y d'mn sean iguales en va.lor absoluto en ~l oaso d~fle:ri6n pura.. Dntos: fI = 2.5 cm., fa = 7,5 cm.,bl! ::II1II 2,5 cm., a ~ 7,0 cm.

Respuuta: b1 ... 7,72 cm.5. Dettminar O'ml1:'\; Y t:rmfn po.ra la seeei6n

trapci:a.l mn dol ganoho do la figura 65, sip~ 2,250 kg.

bx = 4,06 om., b2 = 0,94 om.,a = 3,12 om., ~ = 12,0 cm.

Befuci6n: De la oeuaoin (73),!l" = 5~93 cm.

El radio de la. anca media

Por oonsiguiente. e =:t 11 - r c::;g 0)9 cm., FXG. Gilh1 'mi r ~ a v;o 6)93 - 3,12 = 2,81 om.~~ = e ~ r ~ 12,5 - 0193 = 6,57 cm., Ae == 21,09; M::::::I P.R = 15,375ki1ogt'a,m.o6 om. Ls.a fatigas dI;} .f1e:x;in por la,a ecuaciones (66) son

() 15,376 X 2.81 ,C1z ma..J: r;;;; 21 09 X 3 12 :::;::: 656 kg./om., ,

vor tanto, h, = 5 - 0,595 = 4,305 em.; h. ~ 6 + 0.695 = 5,695.L l ' . 4,306 X 17,5 I 75a re aOl n anterIor es 5,695 X 7,5 ~ , 2. Resolver. el problelll.$. an.terior, suponiendo circular la. secoin.

R~pug:;l(,:

10 [ 4 (!O)']6 == 10 X 12 X 12,5 1 X 15 25 - 0.,695 om.

Problema.

8. li.a.Un.:t la fa.tigo. mxima en 1.Ul gancho do BClcci6n ei:tcuIA.r~ si ld'i.Inet:ro do lo. secoin recta ea h = 2,5 cm.) al ;tadio do !a lfnoo. modiaR ~ 2,5 c",. y P ~ 500 kg.

Ee$'Pucsta :500k = 13,9 t O"D1h 1= 13,9 g = 1,416 kg.!cm.2 ,

83PIEZAS CURVAS

La ecuacin (83) es anloga a la (187) (vase Primera parte), re.lativa a vigas rectae ' y la fiecha del punto de aplicacin de cual-quier carga P, que acta .sobre la ba-rra., en la. direccin de la carga, es -f'... Q

au3 =-.Qp

" "3 = ~ {2M"Rd,!, _ 1 ('i dMdP)o 2El, - El,)o M dP Rd

.__. _,__.. ,-,_.,.,-""~-~._-~._----..........."-'---_ _----~, _"II~',~,.~=_=.,~~, ... ..-

85l'Il!lZAS CURVAS

~

1 1"[P ]= - M O - - R(l - eos '1') Rd

86 RESISTENCIA DE MATERTALES PIEZAS CU1WAS 87

Jc\C:-;'M N~\..f.dP, ,

\ ,

FIG.59donde E es el radio de la-lnea media. Sustituyendo en la. eoua-cin (88) y aplicando el teorema de Oastigliano, el oorrimientovertical del punto B ser

(f)

(88)

V = P sen '1',N = -Pcos'P;

s = ",PE (12R' + 2,12).4AE Jo

M = -PR 0OS'P;

La fuerza cortante V produce un deslizamiento de una sec-

cin respecto de la otra, de valor"':;, donde", es un coeficiente

que depende de la forma de la aeoci6n (vase pg. 163, Primeraparte). La energa de deformaoi6n correspondiente es

dV = o:Pda., 2AG

Sumando (d), (e) y (1) e integrando a lo I"rgo de la pieza, setiene para la energa de deformaci6n total de la barra la expre-sin siguiente:

I ( M' N' MN o:ro)V = o 2AEeR + 2AE - AER + 2AG M.

"dU PR 12 (R cos'9 O:E)s=-=- -cos''P+-sen'9 d

.....__.._--,_.,"---_._-~--~----'-".'~"~--".~'._--'~'.

88 RESrSTEli

90 llJlSISTlJ'NClA DE MA.TEI\IALES pmZAS CURVAS 91

32

0,021

I,

0,038

1

0,090

R1i =!

PRl 2 2

J

_._._-.

(k)

93

A

,8

r

l'l:EZA$ OURVAS

f' PydiJ P f'~ ~ El, ~ El, yds.

-.

a 1 O 0.8 0.7 0,0 O.' O.' 0.3,-------

------ ---

a: 1,571 It663 1,795 1,982 2,273 2,736 3,559 51327~ ...... O 0,057 0,133 0.237 0,39' 0,629 1,049 1,927y . O 0,060 0,148 0,283 0,498 0,870 1,576 3,128

TaBLA v

La. intogral del segundo mie:mbro de esta. ecuacin represonta. elmomento de la. llnoo medio. del muelle respeoto al eje :z;;. El vo.lor doeste momento ser J.n. longitud total 8 del xnuelle xnult:ipbcada por la

t.d~ ~ Md8 ~ Pyd8. FIG. 65Elz EI1i

El giro total de un. extremo del resorte. respeoto del ot.ro durn.ntela torsin, c;la

CONST.AN"rE8 I',A;B.A EL OLOULO DE ANILLOS ELf;l;l'TICOS

niqu,6 Maritime-, vol. 19~ 1908; M. GO\l.pil~ Annalu detl PanUl et 01f(JU.'1o~tUJ~ vol. 2, pg. 3861 1912, Y Mayal' Mita, V. D.!., vol. 58, pg. 619,1914: W. F. Bu. Gom. Aoron. Techn. Notes, 444, 1933.

8. U:tt, ;rIl;'Sorl delgado en espiral (fig. 65) est. unido en el cen'trOa u.n eje O. En este eje se aplica \ID, pnr M o pa:ta. a.pretar el resorte. Seoquilibrn roedjante la. fl1Q:rza horizontal P, aplioada en 01 o:.tt:temo Adel resorte y la reacoin en el eje. Hallar la rela.cin. existente entre M oy el ngulo qup gira el eje, oonooidas todas las dimensiones del resorte. Se suponeque el J;;Lgulo de to:t.i3in 0$ lo suficiente-mente pequeo para que las espiras DO to-quon entre s.

Solucin: Tomando 01 o:tigen do ooor-denadas en A, el m.O;r;J;lenW fieotor en un ,-punto del ;muelle situado a la distaneia 'Y de Ila fuerzs. P os M =Py. Lo. deformacin angulo.t o giro entre dos seooiones adyacentesen el punto oonsiderado eB~ ecuaci6n. (67),

U.sando las notaciones 1!J; + 111 :::::; cw~ b, M o = ~ ~pa1i, y el momontoen B (fig. 64) ~ M, = ypa

94 RES13:l'ENCrA DE MA:l'IIJRrALES PIEZAS O'O'RVAS-~-'...--------

9&

de dondo

Boluoin aproxim.ada. del proble1:Da. Mediante la eouaoin (67) tendremos

(e,

(a)

(a,

(g)

'P 24'l"'f,1~~ ~ .El -S-o

P 2~r ,1'h~ = Jjj -8- sen 2do dondo

12 p,.oO"IIIJ..I; =-~i~-'

donde puede calcularse hD, da~os la presi6n 'P y la fa~iga. de traba.jorEl va.lor de a se> etLcuentra sustituyendo ho en la ecuac~n (6). .

Puede 'verse que si. en. el eorte del segmento se aphoan. tangenCIal..mento dos fuerzas extensoras P~ iguales, y opuestas) producen en laaecoin mn el momento Hedor

, '1'-1'". (1- coslI) ~ - 2 Prsen~2'

es decir, el mom:Q.to flector va,:rfa con ~ con ley i\lllogo. a l~ da&: por'la eouaoin (b). Por consiguiente, si los extremos de un anIllo a~lel"tose juntan, y en esta fo;rma se le da un radio e~terior f', esliu a.n.dlo Q

Para t:p = 11: 90 obtiene el valor m.ximo de h~ representndole por'hD, 6e tiene

La fatiga wxima. de fiexin en la seccin mn es

M 12 P'"' son' ~ (1)'~= Z. h2

De las cO'I.tncionee (f) y (d) se deduoe que la fatiga ro.xi:rna. de tie~xin aconteoe para 4p = nI, es decir, en ,la secci6n 0:r.uesta. al corte. del

~fol,gnJ.ento. Escribiec.do h .e::::I ho y !p = ~ en la. eC\Ul.0l6n (/) se obtlOD.I';t

El momento flector M, producido en una seooin general mn delsegmento por la. presi6.z:t. p distribuida. unifoX'mo:me;c,te sobre la auper-ticie exterio:t del l3ogm.onto, es

M = - 2po".on't (b)oh'Si 6'ti;l3titunos este va.lor en la ecuacin (a), P?nemos 12 en lugat

d I 2) z. d 1 _1_ (para valorea pcqueftos dl;l 8), se obtiene-e 'Yr-S1enve er~r+S .la ecuaoin siguiente, que sirve para. el ct...lculo de h:

8 P 24,.0 ,'1' (el;:i=E~son 2"

[

\Il!,Ir!

"

I

distancia. de su Centro de gravedad al aje ~. Esta diatancia valG~ apro..ximadamcnte, 'rJ y de la ecuacin (k) so deduce

p.riJ M o.9''1' = el = el . (1), ,

Si 01 GlJl::trmo A Ost unidp a un eje, el momento Mojo a.plicado en o~produce una ren.ccin P en el extremo fijo A del muelle. Si el spesordel muelle Ca muy pequof,O, el nmerO de espiraa grande y las espirasno se tocan entre s. puede conside:r'arse sUfioientf;!;IUen,te aproximadala hip6te8is antero!' de qua la fuerza P pe:tmaneeo horizontal y darsepor vl.id~J,. 1 la. eouaci6n (l).

9. Suponiendo que el rOsOrte reproaentado en la :6.gura. 65 est enestudo natural y unido a. un eje en A; determinar la. fatiga. m.:x:iI;c,o,producida y la energla. alma.cenada. en el muelle al dar tres vuoltaacompletas a. la espiga ll". El muelle as de a.cero. tiene 1,25 cm. de ancho,5/S =n. do gruoso y 3 >n. do longitud.

Solucin: Sustituyendo 10$ do.t06 antoriores cm la ecuaoin (l)l300XI2xS'XIO'

6'Tt' 1::::: M o .2 X 1011 X 1,25 X 5:J.'

M n ;g 3,20 kg. Cm.La. unergie. almaoenada es

(. M'a. P' (' P' ( sr') 5 MO.U= Jo 2E11:::::2.BJI Jo yZd8=2El Sr"l + T =Sx=' = 37,74 kg. om.

La fatiga. m.:rima de flexin aoonteoe on el punto B. donde GIl mo-x:o.ento fl.flctor ""ale aproximadamento 2Pr = 2 M o' por consiguiente

_3,20X2X6XS'XIO'_ 111I1IU. - 1,25 X 52 - 7864 kg./om.

10. Un segmento cuyo per1metro exterior es ciroulo.I', tiene unaseccin rectangular da anoh11t'a b constanta yaltura h vllXiable (fig. 66). Detonninar la leyde VB.:l."iacin de 10. altura h, a :fin de obtenerun segmonto que, cuando Be monte con elmbolo en el oil.in.dro) produzca una presin,uniforme sobra la pared del oilindro.

Solucin: Sea 1" el 1'adio del cilindro, yr + B el radio extarior dcl segmcJ;l,to en Su es-

]'m. Ut tado natural. Esoribiendo la. variacin do cur.vatura on el pormetiro ext~:dor dol segmen.

to en lugar do la que aaont~ce O:Q su lnea media, Se obtione una,lEn 01 libro do A. Castigliano, The.orie d. Biegungs-u.Toraio~

lJedern, Viena., 1888, puede verso un estudio m,'i,s completo del pro.blern..a.. Vc:ian.as to.mbin E. C. Wadlow, Engineer, vol. 150, pg. 474.

t1930, YJ. A. Va.n dGn Broek, Tran8. A. S. M. E., vol. 53, pg. 247, 1931.

.. " '~~--""",",,"""~-T-._IIIII" _

f,

-o'00 -----' ..._--------

------_._ ..__._--~----_._-"~"-,,._._~-,~ .._" .. n-IL....L..~ ...........'"....!~

\)6 RESISTENCIA DE MATERIALES l'IEZAS CURVAS 97

14. Arco articulado en los extremos.-Sea el arco de e"tre-mos articulados representado en la figura 68 solicitado por fuer-

~as verticales y con los apoyos al mismo ulvcl. Las componentes. verticales de las reacciones en A y B pueden determinarse porlas ecuaciones de la esttica, del mismo modo que en una vigaapoyada, y as componentes horizontales sern iguales y opues-u.s. El vaior H de estas componentes se denomina empuje del

-"""l..k-xL --~----""'---_b"

FIG.68

TC-B=P~tga.:,PEM" = - 2i< [1 + eee . - (TC - ) tg J.

A

segmento, al IDontade t ptoduoiX' una p.I:'el3i;c, uniforn1e contra las pa_redes del cilindro ;J..

Determinar. PQr ejemplo, O" y hiJ para. \1n segmento de fundici6n~ sir :::;;I 25 o;m crt - 3liO kg./em.~, p = 0,11 kg.fem.2 y 1ll = 106 kg.fom.1

Sustituyendo en la eou.ncin (U)t se obte-P no ho FOIl 1,03 cm. De la. ecuaoin (a) se de-

duoe 8' = 0,29 cm.. 11. Deducir la ""Pr..in (S7), dada enla pgina S6.

12. E:x;perimentalmente so ha vietoqua refCi.i'zs.n.do tX'anav6l'13ab:oente un esla-bn so aumenta eOJJ.aidera.blem.ente BU resistencio.. Hallar 01 momeD.to t1ectol." M 1 enl06 puntOB de aplion.oin de las cargas P ty la fllsX'Z$. axial de compresin 2B enel tmvoaafloJ para, el eslabn de la. figu_ra 63.

S~lucidn... Puesto que en el caso deFIQ. 67 un tra.vosaflo la. seeei6n horizon~l ~fi.gu.

ra, 63 (b)~ no S6 mueve horizontalmentey nO gira, 1&s ca;,tidades hip.m.eat.tica.s Mil y El se deducen de las ecua-ciones

13. Hallar 01 momento fiector M o Y la. fue'('2:a exten~ora H on la.-aeeei6n A del anillo oirou1a.r, simtricamente cargado, tep:tol;1Qn,t~do enla ligura 67.

1 Est.a teorla. ru d66a.rrollada. por H. Resal, An.n(lk8 aea Mine8,vol. ~, pg. 38,_ 1874, OOmpte8 Re.ndus, vol. 73. pg. 542, 1871. Va.naeta.~b16n E. :fl.omha.~dtj V . .I? 1., vol. 45, pg, 232~ 1901; R. Friechn.ann,ZeitocM. d. Oaterrewh. Ing. u. Arch. V61'ein, vol. 60~ pg. 632, 1905, yV. D. 1.. vol. 68, pg. 26~, 1924.

Z Vanae publicaeiones da H. J. Gough; H. L. Cox y D. G. Sop.with, ya eita.dag, pg. 76. \.

(b)

(a)

donde Mo es el momento lector correspondiente a la seCClOncorrelativa de la dada en una viga simplcmentc apoyad", de lamisma lu~ y con la misma solicitacin que el arco. El segundotrnilno de la integral que figura cn la ecu"cin (a) representala energa de dcformacin debida a la compresin en direccintangencial y tiene importancia secundaria. Para al'COS rebajados

El momento f1ector en cualquler seccin mn del arCO ser

arco_ No puede obtenerse estticamente; pero se determina em-pieando el teorema de Castigliano.

En el caso de un arco rebajado los dos ltimos trminos dela expresin general (88) de la energa de deformacin puedendespreciarse y para arcos de dmensiones normales puede reem-

pla~arse el producto AeE por el momento de incrcia 1, dc laseCCIn. La ecuacin p"ra el clculo de H scr, por consiguiente,

II,I

\

dUeH =0,

dU--~o y01110 '

PEM" =2(1~)

(m + 2) [m' + 6 m' + 12 (~ - Te) m + ~8 (Te 3m' + ~"""+ 18 m' + 2~Tem+ 24 (Te' 8) ~ = 12 (m + ~) [(Te - ~) m + ~ (~- Te

m' + ~"m' + 4S m' + UTem + 24('" S)l

m=(

de donde

donde 1I

:RE3I5TENOU, P;R ;ll.....TElf.1.Al,:l/lS. T. n.-1

l _

-1-99PIEZAS C1JRV AS

TABLA VI

El empujc re"'] H ser menor que. el .que da la ecuacin (e).Para dar idea del error posible ~:' ~e da estevalor e" la tabla VIpara diversas proporciones Cle arcoa '. Paro, el c6.1eulo de est.. ta-

----_._-------~._--~,_.._-- ....._---

_J.'(Mo-EYJYda J.'Edao El, + o .dE = 0,

98 !tESISTENCIA DE lIL.:(1- >.:)y- .l'

Te"drcmos

M o = ~>.:(l-x).Sustituyendo (e) y (a) en la ecuacin (91), se obtiene

ql'H=-.S/

('MoydaE = )0 El,

('Y'da + ('~)0 El, )o.dE

Para un arco de seccin recta eonst..nte y empleando la no-tacin '" = ~, la ecuacin (S9) se escribo

f. ,MoYdsE= olo' y'a. + /,' J:a.' (90)El segundo trmino del denominador representa el efecto de

acortamiento de 1.. linea media del arco, debido a la compresinl~ngitudin"J. En muchos casos, es pequeo y puede despN-marse. Por tanto,

......"'" t ~,_........-r'...,~-,--,_.., "..._ .-- ......~ " .

100 RESISTENCIA DE MATERIALES

'r ti r,=_ ! -_0,... , ..,--_...,,--- -'------~..,.....,......_---~._---"----'..:;;

FIEZAS CURVAS 101

(a)

(b)

i ', ,I ,

, I

i

Considerando solamente el efecto crmico y poniondoM. = Oy N = R, se deduce mediante la ecuacin (1)

R = "U. (92),f.' y'ds (' ds

-+ -, El, _" AE

En libros dedicados el

102 RESISTl!:NCIA DW' :M.ATERrALES PIEZAS OUl

---'--,,~~,~,,~'~---~._---~-~ ..""""-

En este caso, el efecto de la flexin de la llanta sobre la fa-tiga mxima es pequeno y el clculo de las fatigas en dichallanta, considerndola como anillo giratorio libre, da resultadosatisfactorio.

16. Elstica de una barra con una linea media circular.-En el easo de una pieza curva delgada con linea media circular,la ecuacin diferencial de '-la elstica es anloga a la de una piezarecta (ecuacin (a), pg. 130, Primera parte). Sea ABen (figu-ra 70) la linea media de un anillo circular despus de la defor.

donde d-I-I1~El = M -1- 11M'

FIO. 70

macin y representemos, con u el pequeo corrimicnto radi"ldurante la deformacin. La variacin de la curvatura de la li-nea media durante la flexin puede estudiarse considerando unelemento del aulllo "In y'el correspondiente m,n, del anillo de-formado comprendido entre los mismos radios -fig. 70 (b)_.La longitud inicial y la curvatura inicial del elemento mn son

M = Ed

'

PR' PR'u = A cos '1' + B sen,!, + --- -- '" seu ",oEh, 4EJ'

107

(a)

._--_.-.-.._---_.-

y = Yo + YI'

",rEZAS CURVAS

Por consiguiente>

Para,!, = OY '!' = ~, se obtie.ne

PR' PR' PR'u = -----

_.-~_-------------~. ..-

, 1

108 RESIS'l'ENOTA 1)E MATERlAU'S FlEZAS CURVAS 109

..._--------'----------_~

L", expresin analtioa de la form", inioial O estado natur",1 de1", barra es

(d)

(98)

n"c2P' sen - + Sn'''''b.a.=

"o:0:1; sen- "X b "o:Y = '!JI + '!lo = ---'- + b sen - = _~ sen -.

1-0: 1 1-IX

d~ donde

Debido a las fuerzas S de compresin axial, as ordenadas

de la llnea media aument"n en la relacin _l~; es decir, que1-"

Sustituyendo en la expresin (c) y empleando la notacinSI"

--=0:Elrr.'l. '

('lte 1t'X 27t"C ~nx )sen ~ !-:len - Sen - sen __

2P' '1 t.ly,= El,, 1-0: + 24_2'0: + ...

(bl sen "z'" b, sen 2;x )

+ o: + + .... (97)1-0: 2'_0:

El primer trmino del segundo miembro de la ecuacin (97)representa la deformacin de una pieza recta (vase ecuacin 58),mientras que el segundo expresa 1", deformacin adioional de-bido a la curvatura inicial.

Sea, por ejemplo, una barra de eurvatllra inicial Yo = b"o:

sen T. La flecha en el centro de SU cuerda es igual a b. Si ac.tuasen solamente las fuerzas longitudinales (P = O), la defor-macin en dicha seccin central producid", por aquell",s fLlerzasse obtendra mediante la ecuacin (97), hacieud" P = O; b, = b;h. = b. = ... = u .l:'or cOll$igwente,

o:b sen .::=1

'!J, = _~_'-1-0:

1,"," ordenad"," totale. de 1", lnea media despus de la flexin son

(o}

(6)

(96)

deducido de 1&

7tX 27tX'Yo = b, sen - + b, sen --+ ...

El trabajo realizado por la carga P es. 'n7CO

Psen-dan

y el incremento de la energa de deformacin,ecuacin (53), vale

,,' ( n_oc n-oc)= - 2:E. n2an,b", + 1; n2a~ J

41 n-' n_'

que representa el corrimiento de uno de lo. extremo. de la ba-rra hacia el otro durante la deformacin.

Procediendo como en el caso de piezas rectas (pg. 51), Y. al ~- n"o: ldando a la barrIL una deformaoin VlrtU """n sen -1-' e exa-

bajo de las fuerzas S para este corrimiento serS "(Al - 1.0) dan = S ""'" (an + bn)dana~ ~~

La ecuacin para el clculo de an serEI1t4: n7tC n 27t2-- nandan = P sen - dan + S -- (an + bn)dan

213 1 21

y la flecha producida por la carga ser'TCX 27t"X

y, = a, sen 1 + a, sen -- + ...En este caso puede utilizarse la ecuacin (53), que da la

energa de deform",ein para barras rectas. Suponiendo la piezaea.rgada en la forma qne indioa la figura 35, e. neoesario, al eal-e,I\ar el trabajo que dan las fuerzas longitudinales S, reempla-ZOil" la cantidad A (vase ecuacin 56) por

A, _ 1.0 = ~ (' [d(Y, + Yo)]' do: _! r(dYo)' dz2 Jo do: 2 Jo dx

I,i1i

1'I

"

"

110 RESISTENOIA DE MATERIALES

,"'_"'~I~I",.,II" '"'~'''''''''''''r'~''' ."" ..T....,.,....

PJEZAS CURVAS Inr-

(99)

(b)

el aumento dc las ordenada, depcnde del valor" de la' relacinentrc la fuerza longitudinal y la carga critica. Si en lugar defuerzas de compresi6n actan fuerzas longitudinales extensora~sobre la bana, basta sustituir~ 1X. en vez de CI.. en las ecuacionesanteriOJ;'es.

En el c"so particular Yo = b sen ~CJ:, las ordenad... de la U-nea mcdia, despus de Ia. deformacin, sern

b lt'"1/ = --- .en-1 + " l

Se ve qne la fuerza longitudinal extensora disminuye la.s Or-denadas inicialea. Tornando, por ejemplo, " = 1, es decir, su,poniendo qne la fuerza longitudinal extensora es igual al v",lor

crtio~ se tienel "CJ:11 = - b aen-,2 l

es decir, en este caso la fuel"~a longitndino, reduoe n.la mlt"d 1"'8ordenadas inici",les de lo, barra.

18. Flexin de tubos curvos.-Al analizar la distribucin d"las fatigas de flexin en piezas Curvas (articulo 11), se supusoque lo, forma de las seociones recta. pcrmanece invariable.Tal suposicin est justificada para piezas macizas, puesto quelos pcquenos desplazamientos que acontecen en el plano de laseccin, debidos a la contraccin y expansin tr",nsversal, notienen efecto apreciable en la distribucin de las fatigas. El fen-meno es muy diferente cuando se f1exan tubos deigados. La ex-periencia prueba que los tubos curvOs de pared delgada solici-tados a flexin sOn ms flexibles que io que se desprende deaplicar la teora corriente de barras curvas 1. En este caoso, es.necesacio considerar el cambio de forma de la seccin durantoia fiexin '. Consideremos un elemento comprendido entre do:;

1 Multitud do tra.l;ajo9 (;lJ(perimentales sobre floxibilidad de tuboR.!), !1flxin han. sido rea.lizados por A. Ba.rtlin, V. D. 1" vol. 54, pg. 4,1910, Y J!1ofschung8arbeiten, nm. 96. Va.nse tl1mbin W. Hovga~l.rd,Jourrwl o/ l1iath. and F/.vs. Ma88. Instu:Ule (JI Technology, vol. 7, 1928.yA. 1\1. W~Lhl, Tran$. Amer. Soco Mech. Eng., vol. 49, 1927.

2 Este probleml1 para tuboa de seccin circula:!.' fu ana.li7;ado pOi"Th.ILuilll1n, V. D. 1., vl. 55."p.g. 1889, 1911. El caso du tubos cur-

secciones adyacentes de un tubo OUrvo (fig. 71) flexado por p".res de la direccin indicada. Puesto que tanto las fuerzas ex-tensoras del lado convexo del tubo corno las oompresoras dellado cnca.vo tienen resultantes hacia la. linea neutra, las secciones rectas primitivamente circulareB se con