Resistências dos Materiais

1

TRANSFORMAÇÕES DE TENSÕES

Introdução Geral

Todas as fórmulas fundamentais para determinar das tensões em uma

seção de um elemento estrutural já foram bem estabelecidas em capítulos

anteriores:

• Fórmulas que permitem a determinação das tensões normais;

• Fórmulas que permitem a determinação das tensões de cisalhamento;

• Superposição ou composição de tensões.

2

No entanto, em certos casos, tensões normais e de cisalhamento podem agir

SIMULTANEAMENTE em um elemento de uma peça estrutural.

EX.: eixo circular que transmite torção com uma força normal (todos os seus

elementos com exceção dos situados no centro das seções) estão

SIMULTANEAMENTE submetidos a tensões de cisalhamento devido a torção

e a tensões normais, devido à força normal.

tensões normais e tensões de cisalhamento

ESTADO DE TENSÃO

3

4

tocisalhamen de tensão,,

normal tensão,,

zxyzxy

zyx

• O estado de tensão mais geral em um ponto

qualquer (Q) pode ser representado por 6

componentes:

• O mesmo estado de tensão é representado

por um conjunto de componentes diferentes

se o sistema de eixos rotacionar.

5

Portanto, o principal objetivo dessa primeira parte dos estudo de

transformação de tensões é determinar DE QUE MANEIRA SE

TRANSFORMAM AS COMPONENTES DAS TENSÕES QUANDO OCORRE

UMA ROTAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS.

6

Estado Plano de Tensão

Nossa dedução da lei de transformação das tensões se voltará principalmente

para o ESTADO PLANO DE TENSÕES

• O ESTADO PLANO DE TENSÃO ocorre quando

duas faces do elemento cúbico são livres de

tensões.

• Para o exemplo ilustrado, se adotarmos o eixo z

perpendicular a essas duas faces teremos:

.0,, e xy zyzxzyx

7

• O estado plano de tensões ocorre numa

placa fina submetidas a forças atuando

no ponto central.

• O estado plano de tensões também ocorrem nas

três faces de um elemento estrutural ou

componente de máquina, i.e., em algum ponto da

superfície não submetido a força externa.

8

A ideia é determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento,

referentes a rotação do cubo elementar, no plano.

9

sinsincossin

coscossincos0

cossinsinsin

sincoscoscos0

AA

AAAF

AA

AAAF

xyy

xyxyxy

xyy

xyxxx

2cos22

22cos22

22cos22

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x

sen

sen

sen

• Considerar a condição para o equilíbrio de um

elemento prismático com faces perpendiculares ao

eixos x, y e x`

• As equações podem ser reescritas para o campo de tensões:

10

Direção e Intensidade da Máxima Tensão Normal

O interesse é geralmente dirigido à determinação dos maiores valores

possíveis das tensões normais (tensões principais) e os planos sobre os

quais ocorrem essas tensões (planos principais).

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x

Estas equações se relacionam com

as equações paramétricas de uma

circunferência. Rraio

yxcentro

onde

Ryyxx

cc

cc

);(

)()( 222

11

Se adotarmos um sistema de eixos coordenados e marcarmos o ponto M de

abscissa x’ e ordenada x’y’, para qualquer valor do parâmetro , vamos

sempre obter um ponto que se encontra em uma circuferência.

2''

22'

2

2

2

2

''2

2

'

2

2

22

R

seTem

R

Fazendo

ýxmédx

xyyx

yxméd

xyyx

yxyx

x

12

Ponto A = máximo valor da tensão

normal.

Ponto B = mínimo valor da tensão

normal.

Para esses mesmos pontos, a tensão de

cisalhamento é nula.

)90 de defasados ângulos dois define (2

2tan

22

o

2

2

minmax,

yx

xyp

xyyxyx

R

R

méd

médmáx

_min

13

Direção e Intensidade da Máxima Tensão de Cisalhamento

2

é, máxima tocisalhamen de tensãode condição à ecorrespond que

)90 em defasados ângulos dois define (2

2tan

2

méd

o

2

2

max

yx

xy

yxs

xyyx

tensãoaE

R

Ponto D e E = corresponde ao máximo valor

da tensão de cisalhamento.

OBS: tg 2c é o inverso negativo de tg 2s

Os planos de máxima tensão de cisalhamento formam ângulos de 45 com os planos principais.

14

Exemplo 01

yx

xyp

22tan

22

minmax, 22 xyyxyx

22

max 2 xyyx

2yx

Para o estado de tensão

mostrado, determine:

a) o plano principal;

b) a tensão principal;

c) a tensão de cisalhamento e a

correspondente tensão normal.

SOLUÇÃO:

• Encontrar a orientação para as tensões principais:

• Determinar as tensões máxima e mínima:

• Calcular a tensão de cisalhamento máxima

15

oop

oop

yx

xyp

6,2690 e 6,26

1,53180 e 1.532

333.11050

40222tan

o

6.116,6.26pMPa10

MPa40MPa50

y

xyx

Solução:

• Encontrar a orientação do elemento

das tensões principal,

22

22

minmax,

403020

22

xy

yxyx

MPa30

MPa70

min

max

• Determinar as tensões principais

16

22

22

max

4030

2

xy

yx

MPa50max

6.71,4.18s

• Cálculo de tensão de cisalhamento máxima

2

1050

2

yx

méd

MPa20

• A correspondência tensão normal é,

MPa10

MPa40MPa50

y

xyx

op

oos

xy

yxs

43,1890 e 43,18

87,36180 e 36,87- 2

402

1050

22tan

o0

o

17

Exemplo 02

Uma força horizontal P de 150lb é

aplicada na extremidade D da

alavanca ABD. Determine:

(a) as tensões normal e de

cisalhamento em um elemento no

ponto H, possuindo lados paralelos

aos eixos x e y;

(b) os planos principais e as tensões

principais no ponto H.

18

inkip5.1in10lb150

inkip7.2in18lb150

lb150

xM

T

P

4

21

441

in6.0

in6.0inkip7.2

in6.0

in6.0inkip5.1

J

Tc

I

Mc

xy

y

ksi96.7ksi84.80 xyyx

Solução:

• Determinar uma força equivalente no

sistema no centro da seção transversal

passando por H

• Tensões normais e de cisalhamento em

H:

19

• Determinação dos planos principais e das tensões principais.

Planos Principais:

5,59 5,30

5,3090 e 5,30

61180 e 612

8,184,80

96,7222tan

o

oop

oop

oop

yx

xyp

e

Então

Tensões Principais

22

minmax, 22 xyyxyx

20

Ciclo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

O traçado do denominado círculo de Mohr é um método gráfico que pode ser

utilizado para determinar as tensões normais e de cisalhamento que atuam

num plano genérico, cuja normal faz um ângulo θ com a direção X,

21

• Define-se o elemento com as tensões ,x, y e xy ;

• Adota-se o sistema de eixos ( ; ) paralelos aos eixos xy;

• Marcam-se no sistema os pontos X = (x ; - xy ) e Y = (y ; xy ) ;

• Unem-se os dois pontos por uma reta que vai cortar o eixo σ no ponto C; • Desenha-se o círculo de centro C e diâmetro XY.

Para a construção do círculo de Mohr segue-se o seguinte roteiro básico:

(x , -xy )

(y ; xy )

(x , -xy )

(y ; xy )

C

(x , -xy )

(y ; xy )

C

22

Rraio

yxcentro

onde

Ryyxx

cc

cc

);(

)()( 222

2yx

méd

centro = ( méd ; 0)

23

yx

xyp

med R

22tan

minmax,

Informações obtidas apartir do traçado do Círculo de Mohr

Planos Principais e Tensões Principais

Rmáx

Normais:

Cisalhamento:

24

• Com o Círculo de Mohr definido, outros

estados de tensões em outras

orientações podem ser descrito.

• Para o estado de tensões um ângulo

com relação aos eixos xy, constrói-se um

novo diâmetro x’y’ com ângulo de 2

com os eixos xy.

• As tensões normal e de

cisalhamento são obtidas das

coordenadas X’Y’.

25

0, xyyx A

P A

Pxyyx 2

J

Tcxyyx 0

0 xyyx J

Tc

• Círculo de Mohr para carregamento concêntrico axial

• Círculo de Mohr para carregamento de torção

26

Exemplo 03

Para o estado de tensão mostrado, determine:

a) o plano principal;

b) a tensão principal;

c) a tensão de cisalhamento e a correspondente tensão normal.

27

• Tensões principais

5020max CAOCOAMPa70max

5020max BCOCOB

MPa30min

1.53230

402tan

p

p CF

FX

6.26p

• Planos principais

SOLUÇÃO:

• Construção do círculo de Mohr

MPa504030

MPa40MPa302050

MPa202

1050

2

22

CXR

FXCF

yxmed

28

• Tensão máxima de cisalhamento

6.71s

Rmax

MPa 50max

med

MPa 20

29

Exemplo 04

SOLUÇÃO:

• Construção do circulo de Mohr

MPa524820

MPa802

60100

22222

FXCFR

yxmed

Determinar, para o estado plano de tensão indicado:

a) os planos principais e as tensões principais;

b) as componentes de tensões que se exercem no elemento obtido rodando-se o elemento dado de 30º, no sentido horário

30

• Tensões e plano principais

4.672

4.220

482tan

p

p CF

XF

5280

max

CAOCOA

5280max

BCOCOA

MPa132max MPa28min

31

6.52sin52

6.52cos5280

6.52cos5280

6.524.6760180

XK

CLOCOL

KCOCOK

yx

y

x

MPa3.41

MPa6.111

MPa4.48

yx

y

x

•Componentes de tensões após rotação de 30º

Os pontos X’e Y’, que correspondem as tensões no elemento girado de 30º, são obtido girando XY, no sentido anti-horário de 2=60o