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Resolução de equações não lineares. Raiz de uma equação. Raiz exata Um número x r é raiz exata de uma equação f(x)=0 se f(x r )=0 Raiz aproximada Um número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-x r | e |f(x’)| forem ambos próximos de 0 - PowerPoint PPT Presentation
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Resolução de equações não lineares
Raiz de uma equação
Raiz exata Um número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se
f(xr)=0 Raiz aproximada
Um número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0
Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata
Calculando as raízes
Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário:
1) delimitar, enumerar e separar as raízes 2) utilizar um método numérico para
calculo de cada raiz
Equações algébricas polinomiais
A) toda equação do tipo anxn+an-1xn-1
+...a1x1+a0 é algébrica e polinomial n é um número natural denominado grau
da equação Os coeficientes ai, i=0...n são números
reais
Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade
Equações algébricas polinomiais
Multiplicidade de raizes
Uma raiz tem grau de multiplicidade m se: anula a função que origina a equação
Anula as derivadas até a ordem m-1
Não anula a derivada de ordem m
Exemplo
A equação f(x)=x3-5x2+8x-4 tem raízes x1=1 x2=2 e x3=2
f(2)=0 f’(2) = 3x2-10x+8 -> f’(2)=0 f’’(2)=6x-10 ->f’’(2)=2
As raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi)
Toda equação polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real
Equações algébricas polinomiais
Delimitação de raízes reais
Limite superior positivo-teorema de Lagrange Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na
qual an>0 e a0 ≠ 0 Para limite superior de suas raízes positivas, caso
existam pode ser tomado o número
K= grau do 1º termo negativo M= módulo do menor coeficiente negativo
knna
ML 1
Exemplo
Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
Exemplo
Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
n=5,k=3,a5=1 e M=16
351
161 L 541161 2
Delimitação das raízes reais
Limite inferior negativo Obter a equação auxiliar f1(x)=f(-x)=0
usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas raízes positivas L1
O limite inferior das raízes negativas é dado por –L1
Exemplo
Calcule o limite inferior para as raízes negativas da equação
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
Exemplo
f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0
f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0
an<0 logo devemos multiplicar f1 por -1
f1(x) = x5-x4-8x3+16x2+7x-14 =0
n=5,k=4,a5=1 e M=14
Logo –L1=-15
451 1141 L 15141141 1
Enumeração das raízes
Regra dos sinais de Descartes – O número de raízes positivas de equações polinomiais é igual ao número de variação de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um número par
Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0
Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 2 variações -> 2 raízes ou nenhuma raiz
Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?
Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 Quantas raízes? 5 variações -> 5 raízes ou 3 ou 1 raiz
Exemplo
5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes?
Exemplo
5x5-16x2+7x-14=0 Quantas raízes? 3 variações -> 3 raízes ou 1 raiz positiva
Enumeração de raízes
Para determinar o número de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equação e aplicar a regra dos sinais
Exemplo
x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 3 raízes ou 1 raiz negativa
Exemplo
x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0
Sem variação -> nenhuma raiz negativa
Sucessão de Sturm
Dada a equação polinomial f(x)=0 a sucessão de Sturm a ela associada é o seguinte conjunto de polinômios:
f(x)f1(x)f2(x)... fm(x) f(x) é o polinômio que origina a equação f1(x) é a primeira derivada de f(x)
Sucessão de Sturm
A partir de f2(x) cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos 2 termos anteriores
f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x
f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x
A sucessão procede até que seja obtido um resto constante
Propriedades
Se a equação tiver raízes múltiplas então o último termo da sucessão é nulo
Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucessão não se anulam
Se, para algum x, um termo médio da sucessão se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos
Teorema de Sturm
Seja N(alpha) o número de variações de sinal apresentado pela sucessão de sturm. Para x = alpha
O número de raízes reais de uma equação polinomial, sem raízes múltiplas, situadas em um intervalo [a,b] é igual a N(a)-N(b)
Exemplo
Determine o número de raízes reais da equação no intervalo (-15,5)
f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14
f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7
f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72
f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22
f4(x)=-68,42x-49,69
f5(x)=-2,88
-15 0 5
f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 - + +
f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x +7 + + +
f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 - - +
f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 - + -
f4(x)=-68,42x-49,69 + - -
f5(x)=-2,88 - - -
N(x) 4 3 1
Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1Raízes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2
As outras duas raízes são complexas
Separação de Raízes reais
Teorema de Bolzano: seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]
Se f(a).f(b)<0 então a equação f(x)=0 tem um número impar de raízes no intervalo [a,b]
Exemplo
Exemplo
Separação de Raízes reais
Se f(a).f(b) >0 então f(x)=0 tem um número par de raízes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Separe as raízes positivas da equação f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Sabendo-se que estão situadas no
intervalo (0,5) e que o número de raízes positivas é 2
f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5
Equações não polinomiais
Duas possibilidades 1) Construir um esboço do gráfico da
função com o objetivo de detectar os pontos 2) Transformar a equação f(x)=0 em uma
equação equivalente da forma g(x)-h(x)=0 g(x)=h(x)
Esboçar os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos
As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam é uma raiz de f(x)
Equações não polinomiais
Exemplo
Seja a equação f(x)=x+ -5=0 Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))
x
x
Metodo da Bisseção
Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b]
O intervalo contém uma única raiz da equação f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)<0
Este método consiste em dividir de forma sucessiva o intervalo [a,b] ao meio, até que seja obtido (b-a) <= precisão estabelecida
Graficamente
a b
- +
a b
- ++
Graficamente
a b
- +
b’
+
Graficamente
a b
- +
b’
+-
Graficamente
a b
- +
b’
+
a’
-
Graficamente
Critério de parada
O processo para quando o intervalo [a,b] é suficientemente pequeno
Assim qualquer ponto no intervalo é tomado como raiz
Número máximo de passos – pré-estabelecido
Convergência
Sendo f(x) contínua em [a,b] f(a).f(b)<0
O método da bisseção converge se as condições anteriores forem respeitadas
Exemplo
Utilizando o método da bisseção calcule a maior raiz positiva da equação
f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 Precisão 0,025, máximo de 10 iterações,
intervalo = [2,5;5] f(2,5)=-56,781 e f(5)=2399
k xk f(xk) b-a
2,5 -56,781 -
5 2399 2,5
1 3,75 332,706 1,25
2 3,125 28,875 0,625
3 2,813 -32,239 0,312
4 2,969 -7,224 0,156
5 3,047 9,307 0,078
6 3,008 0,679 0,039
7 2,989 -3,26 0,019
Qualquer número no intervalo [2,989;3,008] pode ser tomado como raiz
Método da Falsa Posição
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém um e só uma raiz da equação f(x)=0
Este método consiste em dividir o intervalo [a,b] no ponto onde a reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) intercepta o eixo das abscissas
Graficamente
Graficamente
Critério de parada
O processo iterativo é interrompido quando for obtido |f(xk)|, k=1,2,... Menor ou igual à precisão estabelecida e então xk é tomado como raiz
Critério de convergência
Se f(x) é contínua em [a,b] e f(a).f(b)<0, então o método da falsa posição converge
Calculando xk
No método da bisseção x é dado pela média aritmética do intervalo x= (a+b)/2
No método da FP o x é dado pela média aritmética ponderada
x=(a|f(b)|+b|f(a)|)/(|f(b)|+|f(a)|) x=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
O cálculo de xk
Seja a matriz
bf(a) +x1f(b)-af(b)-x1f(a) x1=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
0
1)(
10
1)(
1 bfb
x
afa
Generalizando
xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a)) Desde que a cada passo seja atualizado a
ou b O critério utilizado por este método para a
divisão do intervalo [a,b] é o da média ponderada
Exemplo
Utilizando o método da falsa posição com precisão 0.006 e um máximo de 5 iterações encontrar a maior raiz positiva
f(x)=x4-14x2+24x-10=0
A) delimitação das raízes reais LSP = = 4,7 = 5kn
naM1
LIN – equação auxiliar f(x) = x4 -14x2-24x-10 L1=6 Logo –L1=-6
Enumeração das raízes reais
Raízes positivas:+1-14+24-10 3 variações -> 3 ou 1 raiz positiva Raízes negativas:+1-14-24-10 1 variação -> 1 raiz negativa
Número de raízes positivas
Teorema de SturmSucessão de Sturm 0 5
f(x)=x4-14x2+24x-10 - +
f1(x)=4x3-28x+24 + +
f2(x)=7x2-18x+10 + +
f3(x)=7,24x-9,3 - +
f4(x)=1,5 + +
N(x) 3 0
Número de raízes positivas
O número de raízes é dado por:
N(0)-N(5)=3-0=3
Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
2,5
+
Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
2,5
+
1,25
+
3,75
+
Separação das raízes positivas
Teorema de Bolzano e o método da bisseção
0 5
- +
2,5
+
1,25
+
3,75
+
0,625
-
1,875
-
Calculando a maior raiz positiva
Reduzindo um pouco mais o intervalo f(1,875)<0, f(2,5)>0, f(2,188)<0
Aplicando o método da falsa posição xk=(af(b)-bf(a))/(f(b)-f(a))
k a b f(a) f(b) xk f(xk)
1 2,188 2,5 -1,592 1,563 2,345 -0,467
2 2,345 2,5 -0,467 1,563 2,381 -0,085
3 2,381 2,5 -0,085 1,563 2,387 -0,016
4 2,387 2,5 -0,016 1,563 2,388 -0,005
Para a precisão estabelecida, 2,388 é a maior raiz positiva da equação
Método de Newton-Raphson
Também conhecido como método das tangentes
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a,b] que contém uma e só uma raiz da equação f(x)=0
Dada uma estimativa xk-1, k=1,2,..., para uma raiz de f(x)=0 a estimativa xk é a abscissa do ponto onde a reta tangente f(x) em [xk-1,f(xk-1)] intercepta o eixo das abscissas
Método de Newton-Raphson
Critério de parada: O processo é interrompido quando for obtido um |xk-xk-1| ou |f(xk)| menor ou igual a uma precisão pré-estabelecida
Método de Newton-Raphson
Graficamente
x0
x1
x0
Graficamente
x0
x1
Graficamente
x0
x1
Convergência: se f(a)f(b)<0 e f’(x) e f’’(x) forem não nulas e mantiverem o sinal em [a,b], então partindo-se de uma estimativa inicial x0 є[a,b] tal que f(x0)f’’(x)>0 é possível construir, pelo método de Newton-Raphson uma sequência {xk}, k=1,2,..., que converge para a raiz de f(x)=0
Método de Newton-Raphson
Seja o cálculo de x1
Para x2
Método de Newton-Raphson
)('
)()('
)(
0
0010
10
0
xf
xfxxxftg
xx
xf
)('
)()('
)(
1
1121
21
1
xf
xfxxxftg
xx
xf
Generalizando
Método de Newton-Raphson
)('
)(
1
11
k
kkk xf
xfxx
Exemplo
Calcule a raiz negativa de f(x)=x4-14x2+24x-10=0 utilizando o método de newton-Raphson com precisão 0,001 e um máximo de 5 iterações. Sabe-se que esta raiz está situada no intervalo (-6,0)
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
f(-6)=638 f(0)=-10
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
f(-6)=638 f(0)=-10f(-3)=-127
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
-4,5
+
f(-6)=638 f(-3)=-127f(-4,5)=8,562
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
-4,5
+
-3, 75
-
f(-3)=-127f(-4,5)=8,562
f(-3,75)=-99.125
Exemplo
Aplicando o método da Bisseção para diminuir o intervalo
-6 0
+ -
-3
-
-4,5
+
-3, 75
-
Exemplo
f’(x)=4x3-28x+24 <0 no intervalo [-4,5;-3,75]
f’’(x)=12x2-28 >0 no intervalo [-4,5;-3,75]
Como f(-4,5)f’’(-4,5)>0 então x0=-4,5
Exemplo
k xk f(xk) f'(xk) |xk-xk-1|
0 -4,5 8,562 -214,5 -
1 -4,460 0,153 -205,986 0,040
2 -4,459 0,018 0,001
Notas
Com relação à convergência o que se faz na prática é:
1) toma-se uma estimativa inicial próxima da raiz; para isto basta diminuir suficientemente o intervalo que a contém
2) toma-se x0 є [a,b] de forma que seja obtido x1 є [a,b]
Comparação - Bisseção
Apesar de sempre convergir, tem baixa velocidade de convergência
Utilizado de forma isolada quando se deseja um intervalo, tal que qualquer dos pontos pode ser tomado como raiz
Normalmente é utilizado para reduzir o tamanho do intervalo que contém a raiz
Quando se deseja é um intervalo que contém a raiz o método da Falsa Posição não é adequado porquê não converge
Quando não houver problemas para trabalhar com a primeira derivada de f(x) deve-se usar o método de Newton-Raphson; caso contrário deve-se usar o método da Falsa Posição
Comparação – F.P. e N.R.
Exercício
Determine os limites das raízes reais da equação f(x)=x3+4x2-10=0