Resolução de Sistemas Lineares

Métodos Exatos

Fatoração LU

Profª. Dra. Tina Andreolla

Abril de 2008

Universidade Tecnológica Federal do Paraná-UTFPR CÁLCULO NUMÉRICO

Elaborado por: Elaine Harada Teixeira de OliveiraUniversidade Federal do Amazonas

Instituto de Ciências ExatasDepartamento de Ciência da Computação

Resolução de Sistemas Lineares

• Métodos numéricos– Exatos ou Diretos

• Método de Eliminação de Gauss•Fatoração LU

– Métodos Iterativos ou Indiretos• Método de Jacobi• Método de Gauss-Seidel

Fatoração (Decomposição)

LUSeja o sistema linear Ax = b.O processo de fatoração para resolução deste

sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original.

Por exemplo, se pudermos realizar a decomposição: A = CD, o sistema linear Ax = b, pode ser escrito:

(CD)x = bSe y = Dx, então resolver o sistema linear Ax = b é

equivalente a resolver o sistema linear Cy = b, e em seguida, o sistema linear Dx = y.

Decomposição LU• A vantagem dos processos de fatoração é

que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz de coeficientes.

• Se o vetor b for alterado, a resolução do novo sistema linear será quase que imediata.

• A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados.

• Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior.

Esquema Prático para a Fatoração LU

• Observe que teoricamente, para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e Uk−1.

• Entretanto na prática podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A.

Esquema Prático para a Fatoração LU

Seja então:

LU =

e a matriz

A =

Esquema Prático para a Fatoração LU

• Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:

• 1ª linha de U: Fazendo o produto da 1ª linha de L por todas as colunas de U e igualando com os elementos da 1ª linha de A, obtemos,

Esquema Prático para a Fatoração LU

• 1ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2ª a até a nª), pela 1ª coluna de U e igualando com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU

• 2ª linha de U: Fazendo o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 2ª até a nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, ( da diagonal principal em diante), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU

• 2ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U e igualando com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU

• Se continuarmos calculando 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L, etc . . ., teremos as fórmulas gerais:

Aplicação à Solução de Sistemas Lineares

• Seja o sistema Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.

• Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: LUx = b.

• Transformamos o sistema linear Ax = b no sistema equivalente LUx = b cuja solução é facilmente obtida.

• Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b.• Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b,

obtemos o vetor y.• Substituindo o valor de y no sistema Ux = y obtemos

um sistema triangular superior cuja solução é o vetor x que procuramos.

• Assim, a aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares requer a solução de dois sistemas triangulares.

Exemplo 4.2Seja:

a) Verificar se A satisfaz as condições da fatoração LU.

b) Fatorar A em LU.c) Através da fatoração LU, calcular o determinante

de A.d) Resolver o sistema Ax = b, onde b = (0, −7, −5)t,

usando a fatoração LU.

A =