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maxmiliano-felipe
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Capítulo 6
ANÁLISE DIMENSIONAL – SEMELHANÇA
Neste capítulo o leitor deverá compreender a utilidade da análise dimensional para a construção de leis da Física. O agrupamento de grandezas em números adimensionais facilita a análise empírica das funções que representam os fenômenos da natureza. O capítulo é dedicado à interpretação dos principais adimensionais utilizados na Mecânica dos Fluidos e à teoria dos modelos ou semelhança, de grande utilidade em análise experimental. Exercício 6.1
Base FLT [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] 1
12
2
1121m
1G
13
2
2
3
24
21
2
3
2
FLTN
FLWFLM
TL
TFL
TFLTTFLQ
FTQ
TLQ
FL
FLp
FL
TFL
FFTFLm
LTa
LV
LA
−
−
−
−−−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
===ν
=μ
=×=
=
=
=τ
=
=γ
=ρ
==
=
=
=
Exercício 6.2
( )
( )vazãodeecoeficientnD
QQDn
ynoldsRedenúmeronDRenDnD
Dn
D,n,:Base
32321
2
2
1321
1
φ==π⇒ρ=π
ν=⇒
ν=
ρμ
=π⇒μρ=π
ρ
βββ
ααα
Base MLT [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] 3212
22
222
12
1122
1m
312G
13
21
2122
2232
3
2
2
3
2
TMLLTMLTN
TMLW
TMLLMLTM
TL
TMLTLMLT
MTQ
MLTTMLTQ
TLQ
TML
TMLLMLTp
TMLLMLT
ML
MLTF
MmLTa
LV
LA
−−−
−
−−
−
−−−−
−
−−−
−
−−
−−−−
−−−−
−
−
−
=×=
=
=×=
=ν
=×=μ
=
=×=
=
=τ
=×=
=×=γ
=ρ
=
==
=
=
( )omanométricecoeficientDn
gHDn
HHDn
22B
22B
3B321
3 Ψ==ρ
γ=π⇒γρ=π δδδ
Exercício 6.3
( ) ( ) 0f0h,g,,pf)h,g,(fp
=π→=ρρ=
[ ][ ][ ][ ] Lh
TLg
TFL
FLp
12
24
2
==
=ρ
=
−
−
−
Como só existe um adimensional, ele será uma constante.
ghCpCghp
ρ=⇒=ρ
=π
Exercício 6.4 ( )
gCTgTTg
21;
21012
0TLTTLLTg
0g,,Tf
21
21
212
21
12221222121
l
ll
l
l
=⇒==π
=α−=α⇒=+α−
=α+α=π→=π→=π
=
−
+α−α+αα−αααα
Exercício 6.5
( )( ) ( ) 0f0p,,D,Qf
p,,DfQ=π→=ρ
ρ=
Como só existe um adimensional, ele será uma constante. [ ][ ][ ][ ] 2
24
13
FLp
TFL
LDTLQ
−
−
−
=
=ρ
==
m = n – r = 4 – 3 = 1
D,p,:Base134rnm
ρ=−=−=
( ) ( )
0120324
0
TLF
TLLFLTFLQDp
1
321
21
12324
13224
132121
321321
=−α=+α+α−α−
=α+α
=π
=ρ=π−α+α+α−α−α+α
−αα−α−ααα
21
2
21
221
21
pD
QQDp ρ=ρ=π −−
ρ=
pCDQ 2
Exercício 6.6 ( )
( ) ( )
( ) 25
21
2
2
21
21
121
21
1121211212121
hCg2tghghQ
2tgh2
h2htg2A2htg2b
h2b
2tg
2bhAvAQ
ghvvhg
21;
21
01201
TLLTLTLvhg
0h,g,vf
=α×π=
α=×α
=⇒α=⇒=α
→=→=
π=⇒=π
−=α−=α⎭⎬⎫
=−α−=+α+α
=π→=π→=π
=
−−
−α−+α+α−αα−ααα
Exercício 6.7
( )( ) ( ) 0f0H,Q,,Nf
H,Q,fN
BB
BB=π→=γ
γ=
Como só existe um adimensional, ele será uma constante. [ ][ ][ ][ ] LH
TLQ
FL
FLTN
B
13
3
1B
==
=γ
=
−
−
−
21
221
1
3
2
=α
−=α
−=α
BH,Q,:Base134rnm
γ=−=−=
( ) ( )
010133
01
TLF
FLTLTLFLNHQ
2
321
1
1213231311
1321313B
3B
21
=−α−=+α+α+α−
=+α
=π
=γ=π−α−+α+α+α−+α
−αα−α−ααα
BB QHCN γ=
Exercício 6.8
( )
( )
( )
( )Machcv
vccLv
100
012014
0
FroudeLgvFr
vLgLgv
210
022014
0
EulerLv
FEuLv
FFLv221
0204
01
ynoldsRevLRevL
Lv111
012024
01LTLTLTLFcLv
LTLTLTLFgLv
FLTLTLFFLv
TFLLTLTLFLv
L,v,:Basec,g,F,,L,v,:Grandezas
0104
2
3
1
21
321
1
2
220
3
2
3
1
21
321
1
2222221
2
2
3
1
21
321
1
1111
2
3
1
21
321
1
1322121411
3214
2322121411
3213
322121411
3212
2322121411
3211
=Μ⇒=ρ=π⇒−=λ
=λ=λ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−λ−λ=+λ+λ+λ−
=λ
=⇒=ρ=π⇒−=δ
=δ=δ
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−δ−δ=+δ+δ+δ−
=δ
ρ=⇒
ρ=ρ=π⇒
−=β−=β−=β
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=β−β=β+β+β−
=+β
μρ
=⇒ρμ
=μρ=π⇒−=α−=α−=α
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+α−α=−α+α+α−
=+α
=π⇒ρ=π
=π⇒ρ=π
=π⇒ρ=π
=π⇒μρ=π
ρμρ
−
−
−−−
−−−
−λλ−λλλ−λλλλ
−δδ−δδδ−δδδδ
ββ−βββ−ββββ
−αα−ααα−αααα
Exercício 6.9
( )( ) ( )4321 ,,,f0c,,,D,,v,Ff
c,,,D,,vfFππππ→=μρω
μρω=
111
2
3
1
−=α−=α−=α
B1
B11 NHQ −−−γ=π⇒
[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] 1
2
24
1
1
LTc
TFL
TFL
LDT
LTv
FF
−
−
−
−
−
=
=μ
=ρ
==ω
=
=
( ) ( ) 213211321
321
321
321
321
2411241
4
3
2
1
TLFFLLTTFL
cDv
Dv
Dv
FDv
α−αα+α+α−+ααα−α−
λλλ
δδδ
βββ
ααα
==π
ρ=π
μρ=π
ωρ=π
ρ=π
0204
01
21
321
1
=α−α=α+α+α−
=+α
É necessário observar que nos outros sistemas de equações a parte das incógnitas será a mesma, apenas mudando o símbolo e os coeficientes independentes das incógnitas dependerão da contribuição dos expoentes das variáveis independentes de cada adimensional.
012
040
21
321
1
=−β−β=β+β+β−
=β
012
02401
21
321
1
=+δ−δ=−δ+δ+δ−
=+δ
D,v,:Base
437rnm
ρ
=−=−=
Vale lembrar que se existir esta base, deverá ser preferida, pois, pode conduzir a alguns adimensionais conhecidos. deve-se lembrar que no lugar de D, pode ser qualquer grandeza de equação dimensional L.
F L T
2Dv
FEu2
Dv
FFDv1
2
223
22221
11
−=αρ
=⇒−=α
ρ=ρ=π−=α −−−
F L T 1
10
2
3
1
−=β⇒=β
=β
vD
vDDv
2
1102
ω=π
ω=ωρ=π −
F L T 1
11
2
3
1
−=δ⇒−=δ
−=δ
μρ
=
ρμ
=μρ=π −−−
vDRe
vDDv 111
3
F L T 1
00
2
3
1
−=λ⇒=λ
=λ
cvM
vccDv 010
4
=
=ρ=π −
012014
0
21
321
1
=−λ−λ=+λ+λ+λ−
=λ
( ) 0MRe,,v
D,Euf0c,,,D,,v,Ff =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω
→=μρω
Exercício 6.10
( )
( )
( )
α=πμρ
=⇒μρ=π
ρ=⇒ρ=π
ραμρ=
βββ
ααα
3
3212
22321
1
ynoldsRevLReLv
EulerLv
FEuFLv
L,v,:Base,v,,,LfF
Exercício 6.11
( ) ( ) 0Eu,Frf0g,,,L,v,Ff =→=μρ
000.11
101
16,311k)2(
hkm1585016,3v16,3v
vv
16,311
101kkk)1(
)protótipodoardoespropriedad
masmesascomolaboratóridoaroondo(sup1k;1k;101k
)2(kkkkEuEuLv
FEu
)1(kkkFrFrLgvFr
22
F
mp
p
mgLv
gL
2L
2vFpm22
gL2vpm
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛×=
=×==
==×==
===
=→=→ρ
=
=→=→=
ρ
ρ
Exercício 6.12
μ
Δ
μ
Δ
ρμ
ρΔ =⇒=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
μρ
=
ρ
Δ=
ρ=
ρ
k
kkk
kk
k
k
kkkk
kkk
vDRe
vp
DvF
Eu:ensionaisdimA
D,v,:Base
Dpv
D
vp
Dv
2vp
222
sm9,42,3
4,68,9v
4,68,9v
vv
8,94,6
104,6108,911k mp
p
m
4
4v =×==⇒==
×××
=
−
−
Exercício 6.13
( )
000.11
101
16,311k)3(
rpm37912016,3nnn
16,3
10116,31
kk
k)1(
sm37,2
16,35,7v
vv
16,311
101kkk)2(
)protótipodoáguaàigualelomoddoáguaaondo(sup1k;1k;101k
)3(kkkkEuEuDv
FEu
)2(kkkFrFrDgvFr
)1(kkkv
Dn
vDn
0Eu,Fr,v
nDf0F,g,n,D,v,f
22
F
mp
m
D
vn
mp
mgDv
gD
2D
2vFpm22
gD2vpm
2
Dnvp
pp
m
mm
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛×⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛×=
=×=→====
==→==×==
===
=→=→ρ
=
=→=→=
=→=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛→=ρ
ρ
ρ
Exercício 6.14
cm30215bm325,1
comPlaca
L2LLL
5,02,01,0
kk
k
2,0306k;1,0
1010k;
2,1000.1k
kkkvLvLRe
kkkkLv
FEu
L,v,:Base
mpp
m
vL
v5
6
Lv2
2L
2vF221
=×==×=
=⇒====
=====
=⇒ν
=μρ
==π
=⇒ρ
==π
ρ
ν
−
−
νρ
ν
ρ
l
N8,133,8
1533,8
FF
FF
33,85,02,02,1
000.1k mp
p
m22F ===⇒==××=
Exercício 6.15
omanométricecoeficientDn
gH
vazãodeecoeficientnD
Q
22B
3
=Ψ
=φ
m79316,025H
H
H316,0
1333,1422,0
kkk
k)2(
rpm844.2422,0200.1n
nn
422,0333,1
1
k
kk)1(
1k;333,11520
DD
k;1k
)2(kkk
)1(kkk
pp
mB
B
BB
B22
g
2D
2n
H
pp
m33
D
Qn
gp
mDQ
2D
2nHpm
3DnQpm
==→==×
==
==→====
=====
=→Ψ=Ψ
=→φ=φ
Exercício 6.16
sm106,9
247.105,04,2
247.1Dv
247.1Dv
247.1Re8,125,88,127,10
000.1500.1000.1Re
:elinearmentdoInterpolan
7,104,2800
102,49v
pEu
25pp
pp
pp
pp
2
3
2pp
pp
−×=×
==ν⇒=ν
=⇒−−
=−
−
=××
=ρ
Δ=
Exercício 6.17
( )
sm5,735,2v
vv5,2
4,011
kkk
k)2(
4,05020
DDk;1k;1k
)2(kkkkReRe
)1(kkkkEuEu
0vDRe;Dv
FEuf0,D,v,,Ff
12
1
Dv
2
1D
Dvpm
2D
2vFpm
22
=×=→==×
==
=====
=→=
=→=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛μ
ρ=
ρ=→=μρ
ρ
μ
μρ
ρμ
ρ
Para bombas:
Traçado o gráfico de F1 = f(v1), obtém-se, com v1 = 7,5 m/s, F1=260 N.
N260FF:LogoFF
14,05,21k)1(
12
2
1F
==
==××=
Exercício 6.18
( )C90aágua1053,3353,0353,021707,0k
707,0121kkk
kkkvLRe
kkkLgvFr
ensionaisdimA
L,v:base,L,g,v
o7m
p
m
gLv
Lv
gL2v
2
−ν
ν
×=ν⇒=νν
⇒=×=
=×==
=→ν
=
=→=
→ν
Exercício 6.19
f(N, g, ρ, v, L) = 0 Aplicando o Teorema π e usando como base ρ, v, L, obtém-se:
23221Lv
Nev
Lg
ρ=π=π
Pela figura: 23221
Lv
N
v
Lg
ρ=→π=π
kW5,2000.112000.1105,0vgLN 33 =××××=ρ=
Exercício 6.20
sm106
8108,4
881
41
21k
211
41kkk
kkkLgvFr
kkkvLRe
26
5p
mp
m
gLv
gL2v
2
Lv
−−
ν
ν
×=×
=ν
=ν→νν
==×=
=×==
=→=
=→ν
=
Exercício 6.21
Q08,515,0
60500.3
QnDQ
33 =×
==φ
Ψ=×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
×Ψ=×Ψ=
φ=××φ=φ=
=×=====
=
×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==Ψ
8125,78,9
3,060750.1
gDn
H
7875,03,060750.1DnQ
m3,015,02D2Derpm750.12500.3
2n
n:protótipooPara
H128,0
15,060500.3
H8,9Dn
gH
22
2p
2p
pB
33ppp
mpm
p
B2
2B
22B
Com essas expressões é possível construir a tabela a seguir e, portanto, as curvas da bomba. Q(m3/s) 0 5x10-3 10x10-3 15x10-3 20x10-3
HB(m) 25 24 23 20 14 φ 0 0,0254 0,0508 0,0762 0,1016 ψ 3,20 3,07 2,94 2,56 1,79
Qp(m3/s) 0 20x10-3 40x10-3 60x10-3 80x10-3 HBp 25 24 23 20 14
Exercício 6.22
N700.327
1027F
FFF
27373,11k
sm2,5
73,19
73,1v
vvv
73,113k
kkkLgvFr
kkkkLv
FEu
51
22
122F
12
2
1v
gL2v
2
2L
2vF22
===⇒==××=
===⇒==×=
=⇒=
=⇒ρ
= ρ
Exercício 6.23 Se a perda de carga de (5) a (7) é a mesma nas duas situações, como é função de v2, deve-se entender que a vazão nas duas situações deve ser a mesma, logo, kQ = 1.
( )( ) m164318HzH
m184338HzH
kkkk
1kkkkkkk
k1kkkk
7,1p72B
7,1p71B
43
BHn3
4n
32n
2nBHg
2D
2nBHg
3n
D3DnQ
=+++=′+=
=+++=+=
=→==→=
=→=
rpm158.3092,1450.3
092,1n
n
nn
092,11618k
12
2
14
3
n
===
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Exercício 6.24
( )768,0
5,10178
NN
kW7810100108,91500.8QHN)b
sL8,914,327Q27Q
2731kkk
sL5,3Qm1,11
9100
9H
HHH
91
31kkk
k)a
BB
33B
212
133DnQ
21B
2B2B
1B22
g
2D
2n
BH
===η
=××××=γ=
=×==⇒==×==
=⇒===⇒==×
==
−−
Exercício 6.25 A curva representa Eu = f(Re). Quando o efeito da viscosidade torna-se desprezível, o Eu não varia mais com Re e, portanto, Eu = constante. Essa situação acontece para 4105Re ×≅ , onde .3Eu ≅ Logo:
N75,005,01013F3Dv
F3Eu
sm10
05,010105
D105v105vD
2222
5444
=×××=→=ρ
→=
=××
=ν×
=→×=ν
−
Exercício 6.26
( )
mm9,5m109,510100
2,1102102,0
p102QD
102pD
QpDD
Q
pDD
Q
ensionaisdimA
D,,:BaseD,,,pfQ
332
3
2
222
2
2
1
2
2
2
1
=×=××
×=
Δρ
×=
×=Δρ
=Δρν
ν=
π
π
ρνΔ
=π
ν=π
νρρνΔ=
−−
−
−
−
Exercício 6.27 a)
10241
161
411kkkk
41
161kkkk
1k;161k;1k)e
sN500.151010106vLQ
106105,21010510
vL
5,010
105vLg)c
vL1
LvLv
vLggLv
vLQ
QLv)b
22LvGQ
vgL2v
gL
24421G
41
73
242
3
222
2
3323
3213
22321
2
2G
1G321
1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛××==
==→=
===
=××××=γπ=
×=π⇒×=××
=μγ
=π′
=×
==π
μγ
=π
=π′→γμ
=π→μγ=π
=π→γ=π
γ=π→γ=π
γ
γ
−
−−
δδδ
βββ
ααα
Exercício 6.28
( )
( ) kW500.7101075,010NNW75,06,36,375,0FvN
NN
101
1001
1011kkkk)c
hkm6,3
1036
10v
vvv
101
1001kkk
kkkk
kkk)b
LA
;vLg;
LvNL,v,:Base
A,L,g,v,fN)a
377mpm
p
m7
232L
3vN
pm
p
mgLv
2L
3vN
gL2v
2fr
322231
fr
=××=×=⇒=×==
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⎜⎝⎛×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛×==
===⇒====
=
=
=π=πρ
=π⇒ρ
ρ=
−
ρ
ρ
[ ][ ][ ] 3
2
1G
FL
LTg
FTQ
−
−
−
=γ
=
=
[ ][ ][ ] TFL
LLLTv
2
1
−
−
=μ
==