∫ 1

x3−8dx= 1

( x−2 ) ( x2+2 x+4 )dx

1

( x−2 ) ( x2+2 x+4 )= Ax−2

+ Bx+Cx2+2 x+4

A (x2+2x+4 )+(Bx+C ) ( x−2 )

¿

A+B=0

2A- 2B+C=0

4A – 2C= 1

Resolviendo tenemos: A= 1/12 B= -1/12 C= -1/3

∫ 112(x−2)

+ −x−412(x¿¿2+2 x+4)

dx ¿

¿ 112∫

1x−2

dx+ 112∫

−x−4x2+2x+4

dx

¿ 112

∈( x−2 )+ 112∫

−x−4x2+2x+4

dx

¿ 112

∈( x−2 )−( ¿(x2+2x+4)24 )−¿

∫ 1x3−8

dx= 112

∈( x−2 )−( ¿(x2+2x+4)24 )−¿

∫ 1+ex

1−exdx=∫ 1

1−exdx+∫ ex

1−e xdx

u=1−ex du= −ex dx v=ex dv= ex dx

¿∫ 1(1−v ) v

dv−∫ 1u du=−∫ 1(v−1 ) v

dv−∫ 1u du

¿−∫ 1( v−1 )

dv+∫ 1v dv−∫1udu

s= v-1 ds=dv

¿−∫ 1s ds+∫1vdv−∫ 1u du

¿−¿ (s )+¿ (v ) –∈(u )+C

Sustituyendo u, v y s

¿−¿ (ex−1 )+¿(ex )–∈(1−ex )+C

∫ 1+ex

1−exdx=−¿ (ex−1 )+¿ (ex ) –∈(1−ex )+C

∫¿ (1+x2 )dx

u= In (1+x2) du= 2x

1+ x2 dv= dx v=x

¿∈(1+x2 ) x−∫ x (2 x)1+x2

dx=x∈(1+x2 )−∫ 2x2

x2+1dx

¿ x∈(1+ x2 )−2∫ x2

x2+1dx

Dividimos la por fracciones parciales

¿ x∈(1+ x2 )−2∫1−¿ 1

x2+1dx ¿

La integral de 1

x2+1=tan−1 (arcotangente )

¿(x )∈(1+ x2 )−2x+2 tan−1(x)+C

∫¿ (1+x2 )=(x )∈(1+x2 )−2x+2 tan−1( x)+C

∫ sen(√ax¿)dx ¿

u= ax du= a dx

¿∫ sen¿¿

v=√u dv= 1

2√u du

¿2∫ s sens ds

a

w= s dw= ds dz= sin (v) dv z= -cos (v)

¿2∫cos (v )dv

a−2 scos (s )

a

Sustituyendo v y u

¿2 sen (√ax )−2√axcos¿¿

∫ sen(√ax¿)dx=2 sen (√ax )−2√axcos ¿¿¿

∫cosh ( x )+sec (x)dx

Utilizando la tabla con formulas de integración.

∫cosh ( x )+∫ sec( x)dx

∫cosh ( x )dx+∫ sec(x )dx=senh (x )+¿∨sec ( x )+ tan (x )∨+C

∫cosh ( x )+sec (x)dx=senh ( x )+¿∨sec (x )+ tan (x )∨+C