RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES - disi.unal.edu.codisi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/MeNuCl02.pdf · Métodos de Solución Sistemas Lineales Triangulares Eliminación Gaussiana y

Métodos de Solución

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES


Métodos de Solución

Contenido

1 Métodos de SoluciónSistemas Lineales TriangularesEliminación Gaussiana y PivoteoFactorización Triangular


Métodos de SoluciónSistemas Lineales TriangularesEliminación Gaussiana y PivoteoFactorización Triangular

Contenido




Sistemas Lineales Triangulares

Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con elque podremos resolver un sistema de ecuaciones linealescuya matriz de coeficientes sea triangular superior.

Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo deresolución de un sistema de ecuaciones lineales generalen la siguiente sección.




Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con elque podremos resolver un sistema de ecuaciones linealescuya matriz de coeficientes sea triangular superior.

Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo deresolución de un sistema de ecuaciones lineales generalen la siguiente sección.




Definición

Se dice que una matriz A =[aij

]de orden N x N es triangular

superior cuando sus elementos verifican aij = 0 siempre quei > j . Se dice que una matriz A =

[aij

]de orden N x N es

triangular inferior cuando sus elementos verifican aij = 0siempre que i < j .




Si A es una matriz triangular superior, entonces se dice que elsistema de ecuaciones AX = B es un sistema triangularsuperior de ecuaciones lineales, sistema que tiene la siguienteforma:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1N−1xN−1 + a1N xN = b1

a22x2 + a23x3 + ... + a2N−1xN−1 + a2N xN = b2

a33x3 + ... + a3N−1xN−1 + a3N xN = b3

... ... ...

aN−1N−1xN−1 aN−1N xN = bN−1

aNN xN = bN




Teorema: Sustitución RegresivaSupongamos que AX = B es un sistema triangular superior. Si

akk 6= 0; k = 1, 2, ..., N,

entonces existe una solución única del sistema.




De la última ecuación:

xN =bN

aNN.

Usando xN en la penúltima ecuación:

xN−1 =bN−1 − aN−1NxN

aN−1N−1.




De la última ecuación:

xN =bN

aNN.

Usando xN en la penúltima ecuación:

xN−1 =bN−1 − aN−1NxN

aN−1N−1.




Usando xN y xN−1 para hallar xN−2:

xN−2 =bN−2 − aN−2N−1xN−1 − aN−2NxN

aN−2N−2.

Calculados los valores xN , xN−1, ..., xk+1, el paso generales

xk =bk −

∑Nj=k+1 akjxj

akk; k = N − 1, N − 2, ..., 1.




Usando xN y xN−1 para hallar xN−2:

xN−2 =bN−2 − aN−2N−1xN−1 − aN−2NxN

aN−2N−2.

Calculados los valores xN , xN−1, ..., xk+1, el paso generales

xk =bk −

∑Nj=k+1 akjxj

akk; k = N − 1, N − 2, ..., 1.




La condición akk 6= 0 es esencial porque en la fórmulaanterior hay que dividir entre akk . Si este requisito no secumple, entonces o bien no hay solución o bien hayinfinitas soluciones.

Un Teorema de Álgebra Lineal establece que un sistemalineal AX = B, siendo A una matriz de orden N x N, tienesolución única sii det (A) 6= 0 .




La condición akk 6= 0 es esencial porque en la fórmulaanterior hay que dividir entre akk . Si este requisito no secumple, entonces o bien no hay solución o bien hayinfinitas soluciones.

Un Teorema de Álgebra Lineal establece que un sistemalineal AX = B, siendo A una matriz de orden N x N, tienesolución única sii det (A) 6= 0 .




El siguiente Teorema establece que si un elemento de ladiagonal principal de una matriz triangular, superior o inferior,es cero, entonces det (A) = 0.

Teorema

Si una matriz A =[aij

]de orden N x N es triangular superior o

inferior, entonces

det (A) = a11a22...aNN =N∏

i=1

aii .




El siguiente Teorema establece que si un elemento de ladiagonal principal de una matriz triangular, superior o inferior,es cero, entonces det (A) = 0.

Teorema

Si una matriz A =[aij

]de orden N x N es triangular superior o

inferior, entonces

det (A) = a11a22...aNN =N∏

i=1

aii .



Contenido




Eliminación Gaussiana y Pivoteo

Desarrollamos un método para resolver un sistema deecuaciones lineales general AX = B de N ecuaciones conN incógnitas.

El objetivo es construir un sistema triangular superiorequivalente UX = Y que podamos resolver usando elmétodo de la sección anterior.




Desarrollamos un método para resolver un sistema deecuaciones lineales general AX = B de N ecuaciones conN incógnitas.

El objetivo es construir un sistema triangular superiorequivalente UX = Y que podamos resolver usando elmétodo de la sección anterior.




DefiniciónUna forma eficaz de trabajar es almacenar todas lasconstantes del sistema lineal AX = B en una matriz de orden Nx (N+1) que se obtiene añadiendo a la matriz A una columna,la (N+1)-ésima, en la que se almacenan los términos de B (esdecir, akN+1 = bk ). Esta matriz se llama matriz ampliada delsistema y se denota por [A | B] :

[A | B] =

a11 a12 ... a1N b1a21 a22 ... a2N b2... ... ... ... ...

aN1 aN2 ... aNN bN

.




DefiniciónSe dice que dos sistemas de orden N x N son equivalentescuando tienen el mismo conjunto solución (o de soluciones).




Teorema: Operaciones elementales con las filas.Cualquiera de las siguientes operaciones aplicada a la matrizampliada produce un sistema lineal equivalente.1. Intercambio: el orden de las filas puede cambiarse.2. Escalado: multiplicar una fila por una constante no nula.3. Sustitución: una fila puede ser reemplazada por la suma deesa fila más un múltiplo de cualquier otra fila; o sea,

filar = filar − mrq ∗ filaq.



Eliminación Gassiana y Pivoteo

Las operaciones descritas en el anterior Teorema permitenobtener un sistema triangular superior UX = Y equivalente a unsistema lineal AX = B en el que A es una matriz de orden N xN.




Definición(Pivotes y multiplicadores). El elemento aqq de la matriz delos coeficientes en el paso q + 1 que se usará en la eliminaciónde arq, para r = q + 1, q + 2, ..., N, se llama q-ésimo pivote y lafila q-ésima se llama fila pivote.

Los números

mrq =arq

aqq; r = q + 1, q + 2, ..., N

por los que se multiplica la fila pivote para restarla de lascorrespondientes filas posteriores se llaman multiplicadores dela eliminación.




Definición(Pivotes y multiplicadores). El elemento aqq de la matriz delos coeficientes en el paso q + 1 que se usará en la eliminaciónde arq, para r = q + 1, q + 2, ..., N, se llama q-ésimo pivote y lafila q-ésima se llama fila pivote.

Los números

mrq =arq

aqq; r = q + 1, q + 2, ..., N

por los que se multiplica la fila pivote para restarla de lascorrespondientes filas posteriores se llaman multiplicadores dela eliminación.




Teorema: Eliminación gaussiana con sustitución regresiva.

Si A es una matriz invertible de orden N x N, entonces existeun sistema lineal UX = Y, equivalente al sistema AX = B, en elque U es una matriz triangular superior con elementosdiagonales ukk 6= 0. Una vez construidos U e Y, se usa elalgoritmo de sustitución regresiva para resolver UX = Y y, así,calcular la solución X.




Paso 1. Se almacenan todos los coeficientes en la matrizampliada. El superíndice (1) indica que esta es la primera vezque se almacena un número en la posición (r,c):

a(1)11 a(1)

12 a(1)13 ... a(1)

1N a(1)1N+1

a(1)21 a(1)

22 a(1)23 ... a(1)

2N a(1)2N+1

a(1)31 a(1)

32 a(1)33 ... a(1)

3N a(1)3N+1

... ... ... ... ... ...

a(1)N1 a(1)

N2 a(1)N3 ... a(1)

NN a(1)NN+1




Paso 2. Si es necesario, se intercambia la fila que ocupa ellugar 1 con alguna posterior para que a(1)

11 6= 0; entonces seelimina la incógnita x1 en todas las filas desde la 2a hasta laúltima. En este proceso, mr1 es el número por el que hay quemultiplicar la 1a fila para restarla de la fila r-ésima.




Los nuevos elementos a(2)rc se superindizan con un (2) para

señalar que esta es la 2a vez que se almacena un número enla posición (r,c) de la matriz. El resultado tras el paso 2 es:

a(1)11 a(1)

12 a(1)13 ... a(1)

1N a(1)1N+1

0 a(2)22 a(2)

23 ... a(2)2N a(2)

2N+1

0 a(2)32 a(2)

33 ... a(2)3N a(2)

3N+1... ... ... ... ... ...

0 a(2)N2 a(2)

N3 ... a(2)NN a(2)

NN+1




Paso q+1. (Paso general). Si es necesario, se intercambia lafila que ocupa el lugar q-ésimo con alguna posterior para quea(q)

qq 6= 0; entonces se elimina la incógnita xq en todas las filasdesde la (q+1)-ésima hasta la última. En este proceso, mrq esel número por el que hay que multiplicar la q-ésima fila pararestarla de la fila r-ésima.




El resultado final, una vez eliminada la incógnita xN−1 en laúltima fila es:

a(1)11 a(1)

12 a(1)13 ... a(1)

1N a(1)1N+1

0 a(2)22 a(2)

23 ... a(2)2N a(2)

2N+1

0 0 a(3)33 ... a(3)

3N a(3)3N+1

... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... a(N)NN a(N)

NN+1

Y el proceso de triangularización está terminado.




Puesto que A es invertible, cuando se realizan lasoperaciones con las filas, las matrices que se vanobteniendo sucesivamente son también invertibles. Estogarantiza que a(k)

kk 6= 0 para todo k a lo largo del proceso.Por tanto, podemos usar el algoritmo de sustituciónregresiva para resolver UX = Y.




Si a(k)kk = 0, entonces no podemos usar la fila k-ésima para

eliminar los elementos de la columna k-ésima que estánpor debajo de la diagonal principal. Lo que hacemos esintercambiar la fila k-ésima con alguna fila posterior paraconseguir un elemento pivote que no sea cero; si esto nopuede hacerse, entonces la matriz de los coeficientes delsistema es singular y el sistema no tiene solución única.



Contenido




Factorización Triangular

DefiniciónSe dice que una matriz invertible A admite una factorizacióntriangular o factorización LU si puede expresarse como elproducto de una matriz triangular inferior L, cuyos elementosdiagonales son todos iguales a 1, por una matriz triangularsuperior U:

A = LU.




Ejemplo: Matriz 4 x 4

2664a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

3775 =

26641 0 0 0

m21 1 0 0m31 m32 1 0m41 m42 m43 1

37752664

u11 u12 u13 u140 u22 u23 u240 0 u33 u340 0 0 u44

3775 .

La condición de que A sea invertible implica que ukk 6= 0 paratodo k .




Teorema: Factorización directa A = LU sin intercambio de filas.Supongamos que podemos llevar a cabo hasta el final elproceso de eliminación gaussiana, sin intercambios de filas,para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX = B.Entonces la matriz A admite factorización LU.




Una vez halladas Ly U, la solución X puede calcularse en dospasos:

1 Hallar Y resolviendo LY = B con el método de sustituciónprogresiva.

1 Hallar X resolviendo UX = Y con el método de sustituciónregresiva.




Una vez halladas Ly U, la solución X puede calcularse en dospasos:

1 Hallar Y resolviendo LY = B con el método de sustituciónprogresiva.

1 Hallar X resolviendo UX = Y con el método de sustituciónregresiva.




Paso 1. Se almacenan todos los coeficientes en la matrizampliada. El superíndice (1) indica que esta es la primera vezque se almacena un número en la posición (r,c):

a(1)11 a(1)

12 a(1)13 ... a(1)

1N a(1)1N+1

a(1)21 a(1)

22 a(1)23 ... a(1)

2N a(1)2N+1

a(1)31 a(1)

32 a(1)33 ... a(1)

3N a(1)3N+1

... ... ... ... ... ...

a(1)N1 a(1)

N2 a(1)N3 ... a(1)

NN a(1)NN+1




Paso 2. Se elimina la incógnita x1 en todas las filas desde la 2ahasta la última y, en la posición (r,1) de la matriz, almacenamosel multiplicador mr1 usado para eliminar x1 en la fila r-ésima.




Los nuevos elementos a(2)rc se superindizan con un (2) para

señalar que esta es la 2a vez que se almacena un número enla posición (r,c) de la matriz. El resultado tras el paso 2 es

a(1)11 a(1)

12 a(1)13 ... a(1)

1N a(1)1N+1

m21 a(2)22 a(2)

23 ... a(2)2N a(2)

2N+1

m31 a(1)32 a(2)

33 ... a(2)3N a(2)

3N+1... ... ... ... ... ...

mN1 a(2)N2 a(2)

N3 ... a(2)NN a(2)

NN+1




Paso q+1. (Paso general). Se elimina la incógnita xq en todaslas filas desde la (q+1)-ésima hasta la última y, en la posición(r,q) de la matriz, almacenamos el multiplicador mrq usado paraeliminar xq en la fila r-ésima.




El resultado final, tras haber eliminado xN−1 de la última fila es

a(1)11 a(1)

12 a(1)13 ... a(1)

1N a(1)1N+1

m21 a(2)22 a(2)

23 ... a(2)2N a(2)

2N+1

m31 m32 a(3)33 ... a(3)

3N a(3)3N+1

... ... ... ... ... ...

mN1 mN2 mN3 ... a(N)NN a(N)

NN+1




Por lo tanto,

L =

2666641 0 0 ... 0

m21 1 0 ... 0m31 m32 1 ... 0... ... ... ... ...

mN1 mN2 mN3 ... 1

377775 , U =

26666666664

a(1)11 a(1)

12 a(1)13 ... a(1)

1N

0 a(2)22 a(2)

23 ... a(2)2N

0 0 a(3)33 ... a(3)

3N... ... ... ... ...

0 0 0 ... a(N)NN

37777777775El proceso de triangularización ya está completo.




Sólo hemos necesitado una matriz para almacenar loselementos de L y U: no se guardan los unos de la diagonal deL ni los ceros que hay en L y U por encima y por debajo de ladiagonal principal, respectivamente; sólo se almacenan loscoeficientes esenciales para reconstruir L y U.


Apéndice


Razón para elegir el método de factorización triangular antesque el método de eliminación de Gauss: Si debemos resolvervarios sistemas que tienen la misma matriz de coeficientes Apero diferentes columnas B de términos independientes, sólose hace la factorización la primera vez y se almacenan losfactores. Si sólo hay que resolver un sistema de ecuaciones,los dos métodos son iguales, salvo que en la factorizacióntriangular se guardan los multiplicadores.


Apéndice

Bibliografía

MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB.Prentice Hall, 2000.


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