Resolución gráfica de problemas de Optimización

Resolución gráfica de problemas de Optimización

1: Introducción

Para seguir este tema, hemos de conocer, entre otros conceptos básicos, la convexidad de conjuntos y funciones, así como el concepto y construcción de curvas de nivel de funciones de dos variables.

En este mini-video daremos una introducción a los problemas de Optimización Estática para terminar con la resolución gráfica de modelos sencillos de dos variables con los que conseguiremos una visión geométrica muy importante que nos permitirá después la resolución de problemas mas complejos.

Nos ayudaremos del programa Mathematica. Es necesario conocer la convexidad de conjuntos y funciones así como el concepto de curvas de nivel de una función de dos variables.

1. Introducción 2: Problema general de Optimización 3: Resolución gráfica de problemas de Optimización


Distinguiremos entre:• Optimización Estática = Programación Matemática: analiza

modelos en un instante temporal dado. “Criterio racional de la distribución o asignación de recursos escasos entre fines competitivos en un instante de tiempo determinado”

• Optimización Dinámica = Teoría del Control: trabaja con variables de decisión que dependen del tiempo.

La O. Estática se divide, dependiendo el número de objetivos• Optimización Escalar: un único objetivo • Optimización vectorial o multiobjetivo: varios objetivos

generalmente contrapuestos

Y dependiendo el número de agentes decisores:•Uno•Varios (Teoría de Juegos)


2: Problema general de Optimización Estática

Se plantea como:

donde f es una función definida en un subconjunto D de Rn, abierto.

A f(x) le llamamos función objetivo, la cual se pretende maximizar o minimizar.Llamaremos H al conjunto formado por los puntos que satisfacen un conjunto de restricciones:

H = {xn / g(x) 0}donde

g:D n m



Llamaremos conjunto de oportunidades al:

Ejemplo:Supongamos que en una empresa se fabrican dos productos en cantidades desconocidas x1 y x2, los cuales se obtienen aplicando a la materia prima tres operaciones básicas: cortado, cosido y empaquetado. Cada operación se lleva a cabo en una máquina que se encuentra disponible un cierto número de horas por periodo según la siguiente tabla:Cada unidad de producto genera unos beneficios unitarios de 23 y 32 € respec-tivamente. Hallar las cantidades x1 y x2 de tal formaque se maximicen los beneficios.



El modelo es:

Y su solución, por métodos que veremos mas adelante, es x1=100 y x2=250, unidades a fabricar de cada producto.

Obsérvese que, en este punto, es decir, en la solución óptima (máxima en este caso) se obtienen un beneficio de:

23*100 + 32*250 = 10.300 €



En nuestro modelo podemos ver:

La función objetivo es f(x1,x2) = 23x1+32x2 función definida en D=R2.

Las restricciones son cinco:

Cada restricción está formada por una función menor/mayor o igual que un número. A la función se le llama función restricción.



Las funciones restricción en forma de vector forman la función vectorial restricción (que hemos llamado antes “g”) y que, en nuestro caso será:

(obsérvese que todas las restricciones las hemos puesto en la forma “≤”)

Esta función restricción está definida en H=R2.

Luego el Conjunto de Oportunidades será aquella parte de R2 formado por los puntos que verifican las restricciones del problema, es decir, los puntos formados por la intersección de los “semiespacios” :



Geométricamente, El Conjunto de Oportu-nidades es una parte de R2:

Conjunto que es cerrado, acotado y convexo



Concepto general de óptimo.

Dado el problema general:

x0 es máximo local si es máximo relativo a todos los puntos admisibles de su entorno (análogo para mínimo):

x0 es máximo global si es máximo con respecto a todos los puntos admisibles (análogo para mínimo):



Por ejemplo:La función f(x)=-945+2214x-1935x2+836x3-191x4+22x5-x6 tiene dos máximos locales en los puntos x=1.42341 y x=6.43096, siendo el segundo de ellos también máximo global



Ejemplo:La función f(x,y) = (x - 5)2 + (y - 4)2, en el conjunto de oportunidades dibujado, ¿dónde tomará su(s) valor(es) óptimos?



En rojo el máximo y en azul el mínimo

Ejemplo:La función f(x,y) = x2+y2, en el conjunto de oportunidades dibujado, ¿dónde tomará su(s) valor(es) óptimos?



En rojo el máximo y en azul el mínimo

Ejemplo:La función f(x,y) = x-(y-2)2, en el conjunto de oportunidades dibujado, ¿dónde tomará su(s) valor(es) óptimos?



En rojo el máximo y en azul los mínimos

Ejemplo:La función f(x1,x2) = -x1+x2 que es lineal, ¿dónde tomará su(s) valor(es) máximo en el conjunto de la figura?



Obsérvese que tiene infinitos:

Teorema de Weierstrass (Existencia de soluciones)En un problema de Optimización si el conjunto de oportunidades X es cerrado y acotado (compacto), distinto del vacío y la función objetivo continua en X, podemos afirmar que existirán, al menos, un máximo y un mínimo global (en el interior o en la frontera de X)

Ejemplo:En el modelo

Hemos visto que el conjunto de oportunidades era cerrado y acotado y la función objetivo continua, luego este problema posee solución global.



Este teorema nos da condiciones suficientes para poder afirmar la existencia de, al menos, un máximo y un mínimo globales, aunque no nos ofrece un método para calcularlos.

Al ser condiciones suficientes, si el teorema no se verifica en un problema, ello no significa que dicho problema no posea solución.

Ejemplo:

Función objetivo continuaConjunto de oportunidades cerrado pero no acotadoLuego no tenemos asegurada la existencia de soluciones globales

Nota: el problema posee en (0,0) un mínimo global



Ejemplo:

Función objetivo continuaConjunto de oportunidades cerrado y acotadoLuego tenemos asegurada la existencia de soluciones globales, es decir, existe, al menos, un máximo y un mínimo globales

Ejemplo:

Función objetivo continuaConjunto de oportunidades cerrado pero no acotadoLuego no tenemos asegurada la existencia de soluciones globalesNota: la función tiene un máximo global en (2,3)



Teorema Local-Global(globalidad de soluciones)- Si la función objetivo F es continua y convexa en D y si X es un conjunto convexo, entonces, todo mínimo local es global. - Si la función objetivo F es continua y cóncava en D y si X es un conjunto convexo, entonces, todo máximo local es global.

Obsérvese que el teorema supone la existencia de un óptimo (máximo ó mínimo) que siempre ha de ser local y demuestra en qué condiciones es también global.

Este teorema nos da condiciones suficientes no necesarias de la existencia de óptimo global. Por lo tanto, el hecho de no verificarse el teorema nunca va a significar que un posible óptimo local no sea también global.



EjemploSea el problema

¿podemos afirmar que todos sus puntos óptimos son globales?Solución:(Hemos comprobado que este modelo no verifica Weierstrass)Teorema local-global para máximo:Función objetivo continua y cóncava (no lo es, es convexa)Luego NO podemos asegurar que un máximo local sea también global.

Teorema local-global para mínimo:Función objetivo contínua y convexa (si)Conjunto de oportunidades convexo (si por ser semiespacio)Luego SI podemos afirmar que todo mínimo local es también global (0,0)



EjemploSea el problema

¿podemos afirmar que todos sus puntos óptimos son globales?Solución:(Hemos comprobado que este modelo sí verifica Weierstrass)

Teorema local-global para máximo y mínimo:Función objetivo continua y cóncava/convexa (se verifica para ambos casos ya que la función objetivo es lineal)Conjunto de oportunidades convexo (si)Luego SI podemos asegurar que todo máximo o mínimo del problema además de local será global.



3: Resolución gráfica de problemas de Optimización

Indicar que este apartado está destinado a resolver problemas de Optimización con dos variables, cosa que es de un alto interés práctico en muchos modelos económicos.

Vamos a ir presentando algunas funciones del programa Mathematica que nos ayudarán en esta tarea.

Van a ser las funciones:region[ ]curvasNivel[ ]campoGradientes[ ] curvasNivelCampoGradientes[ ]

Todas en el paquete mateco.m



region[ ]

Por lo tanto esta función va a servir para dibujar regiones en R2 que vienen dadas mediante relaciones de desigualdad. NUNCA debe aplicarse cuando alguna sea de igualdad.Aconsejamos separar las restricciones por “&&”



Ejemplo:



Ejemplo:



curvasNivel[ ]



La función curvasNivel[ ] devuelve un conjunto de curvas de nivel de una función dada para unos valores de las variables.

Tres Ejemplos nos van a ayudar a entender bien esta importante función.

1.- Dibuja solo la curva de nivel x2+y2 = 4:curvasNivel[x2+y2, {x,-3,3},{y,-3,3},{4}]

2.- Dibuja “4” curvas de nivel:curvasNivel[x2+y2, {x,-3,3},{y,-3,3},4]

3.- Dibuja las “4” curvas de nivel: x2+y2=1, x2+y2=2, x2+y2=3, x2+y2=4

curvasNivel[x2+y2, {x,-3,3},{y,-3,3},{1,2,3,4}]

Las gráficas:



Ejemplo 1



Ejemplo 2



Ejemplo 3



La función curvasNivel[ ] es muy útil para, utilizando la función region[ ], presentar unas gráficas mejores. Vamos a utilizarla con un ejemplo anterior:



Dibujemos las líneas que generan la anterior gráfica:

Es decir, hemos llamado C3 a la gráfica de y-x=0 y hemos llamado C4 a la gráfica de y+x2=4

Por lo tanto C3 y C4 son las líneas (recta y parábola) que generan la gráfica del recinto que hemos llamado C2.

Ahora lo único que tenemos que hacer es dibujar “a la vez” las gráficas C2, C3 y C4 y eso se hace con la función Show[ ]:





campoGradientes[ ]

Esta función dibuja vectores gradiente de una función de dos variables en una zona de R2

Vamos a hacer un ejemplo con la función x2+y2:





curvasNivelCampoGradientes[ ]

Esta función une las dos funciones anteriores: curvas de nivel y campo de gradientes.

Todas lo indicado para la función curvasNivel[ ] nos vale aquí. Haremos los siguientes ejemplos:1.- curvasNivelCampoGradientes[x2+y2, {x,-3,3},{y,-3,3},{4}]2.- curvasNivelCampoGradientes [x2+y2, {x,-3,3},{y,-3,3},4]3.- curvasNivelCampoGradientes [x2+y2, {x,-3,3},{y,-3,3},{1,2,3,4}]



Ejemplo 1



Ejemplo 2



Ejemplo 3



Finalizamos ya indicando los pasos que seguiremos para la resolución gráfica de los problemas de Optimización:

1. Dibujar el conjunto de oportunidades.2. Dibujar el mapa de curvas de nivel: F(x,y) = k y/ó la

dirección de máximo crecimiento (gradiente).3. Dibujar ambas gráficas.4. Ver las características del problema (teoremas de

Weierstrass y Local-global) y localizar los máximos y los mínimos, ya sean locales o globales de manera gráfica.



Ejemplo:Resolver gráficamente:

Solución:

Seguimos los cuatro pasos indicados con anterioridad:

1.- Dibujamos el conjunto de oportunidades:





Conjunto cerrado, no acotado y convexo.

2.- Dibujamos 10 curvas de nivel junto con el campo de gradientes:



3.- Dibujamos ambas gráficas:



4.- Terminamos:

Dado que el conjunto de oportunidades no está acotado, no se verifica el teorema de Weierstrass. Por lo tanto no tenemos asegurada que el problema tenga solución.

La función objetivo es convexa y el conjunto de oportunidades convexo, con lo que todo mínimo local será global.

Observamos que la función sin restringir se minimiza en el punto (0,0), punto que es admisible, por lo tanto esa será el mínimo global del problema dado.

Por otra parte, no existen máximos no locales ni globales.




Solución:







Conjunto cerrado, acotado y convexo.







4.- Terminamos:

Se verifican los teoremas de Weierstrass y local-global para mínimo: por lo tanto tenemos asegurada la existencia de, al menos un máximo y un mínimo globales (Weierstrass) y cualquier mínimo local será también global (local-global).

Observamos que la función sin restringir se minimiza en el punto (0,0), punto que es admisible, por lo tanto esa será mínimo global del problema dado.

En la figura podemos ver la existencia de cuatro máximos locales. Calculemos las componentes de estos puntos:





En primer lugar vemos que (1,0) (-1,0) son máximos locales.

Pero hay otros dos formados en la intersección de las curvas:

Gráficamente: Hemos representado los dos puntos:

3 30, (0, 0.866) y 0, (0,0.866)

2 2



Además, en la gráfica podemos observar que el valor de la función objetivo en (1,0) y (-1,0) es mayor que en los otros dos, por los que los primeros serán, además de locales, globales.

También podemos comprobar esto último calculando el valor de la función objetivo en estos puntos:

Luego nuestro problema posee un mínimo global: (0,0) (en azul) y cuatro máximoslocales (en rojo), dos de los cuales sontambién globales


Solución:







Conjunto cerrado, acotado y no convexo.







4.- Terminamos:

Se verifica el teorema de Weierstrass (tenemos asegurada la existencia de, al menos, un máximo y un mínimo globales), pero no el teorema local-global, ya que el conjunto de oportunidades no es convexo (luego un punto óptimo que obtengamos solo podremos afirmar que es local).

A la hora de buscar puntos mínimos, si nos fijamos en la dirección de los gradientes (función objetivo cóncava) vemos que en los puntos (8,0) y (0,2) hay sendos mínimos locales. Uno de ellos, al menos, ha de ser global (se verifica Weierstrass), luego lo será el de menor valor de la función objetivo: (8,0). Luego (8,0) es mínimo global y (0,2) mínimo local.

Busquemos puntos máximos:



El máximo (que será global por Weierstrass) debe ser el punto, en el conjunto de oportunidades,con la función objetivo mayor, y ese corresponde al dibujado en color rojo en la figura:

Tratamos de calcular las com-ponentes de este punto máximo:

Este problema no es fácil. Vamosa resolverlo siguiendo un razona-miento sencillo basado en la ideade curva de nivel:



En la figura de la derecha hemos dibujado tres curvas de nivel de la función objetivo y el conjunto de oportunidades.En el corte de las curvas y la recta x+2y=8 pueden ocurrir los tres casos:. que no haya punto de corte. que haya 1 punto de corte. que haya 2 puntos de corte

Como las curvas de nivel son de la forma y-(x-1)2=k, el punto de corte se consigue resolviendo el sistema:



. Que no haya punto de corte implica que el sistema no tenga solución . Que haya 1 punto de corte implica que el sistema tenga una solución. Que haya 2 puntos de corte implica que el sistema tenga 2 soluciones

Recordemos que buscamos obtenerEl “punto rojo” de la figura:



Es decir, buscamos cuanto tiene que valer “k” para que nuestro sistema:

tenga una única solución.

Resolvemos:



Y nos da, en general, dos soluciones.Para que solo sea una, ambas deben ser iguales, es decir, las primeras y segundas componentes de los dos puntos obtenidos deben coincidir.Calculemos el valor de “k” para que ello ocurra:



Calcular ahora las componentes del punto máximo es sencillo, basta sustituir “k” en cualquiera de los resultados obtenidos antes:

Luego la función toma, en el conjunto de oportunidades, su valor máximo global en el punto (3/4 , 29/8)



Documents

Resolución gráfica de problemas de Optimización