résolution par la méthode des caractéristiquesdes contraintes du problème de butée dans un sable

décrit par le modèle « état critique »

J.-M. HOVANCandidat au doctorat, département de génie civil,

Université du Minnesota *J.GRAHAM

Professeur, département de génie civil,Université du Manitoba * *

RésuméOn a résolu par la méthode des caractéristiques des contraintes, le problème bidi­mensionnel du mur en butée contre du sable; ce sable est défini par le modèled'état critique. Le modèle tient compte du niveau des contraintes, de la densitéde mise en place, de la compressibilité du sable et du passage d'un comporte­ment d'écrouissage à un comportement d'antiécrouissage qui accompagne lesniveaux de contraintes les plus élevés.

Les résultats font apparaître une relation linéaire entre log (kp ) et log (hauteur dumur) ; cette relation dépend des données du sable utilisées. Les valeurs obtenuesont été comparées avec les résultats disponibles d'essais de maquettes et demurs en vraie grandeur. Bien que les données expérimentales soient insuffisan­tes pour une application satisfaisante du modèle d'état critique, la tendance desrésultats est encourageante. Plus de vérifications expérimentales sont toutefoisnécessaires.

AbstractA solution has been obtained for the sca/e effect of plane strain fai/ure of apassive wall in sand using stress characteristics. The sand is characterized by acritical state model that takes account of /ocal stress /evels in the fai/ure zone,·the placement density; the compressibility of the sand; and the transition fromstrain softening (expansive) behaviour ta strain hardening (compressive) beha....viaur with increasing stresses. The results suggest linear re/ationships betweenlog (K p) and log (wa// height) depending on the properties of the sand. Ca/culatedresu/ts have been compared with avai/able pub/ished results from mode/s andlarge scale wa//s. Although the pub/ished data does not permit development ofthe corresponding critica/ state mode/s, the trend of the ca/culated resu/ts isencouraging.

* Minneapolis, USA 55414.

* * Winnipeg, Canada R3T 2N2.

6

1. INTRODUCTION

La stabilité des murs en butée contre du sable est habi­tuellement estimée à partir de calculs d'équilibre limitequi tiennent compte des forces de poids propre dans lazone de rupture. Les forces de rupture sont d'ordinaireexprimées à l'aide du coefficient de butée Kp , par la for­mule Pp = 0,5 Kp )"H (les notations sont résumées àla fin de l'article). La plupart des solutions existantes uti­lisent des surfaces potentielles de rupture composées despirales logarithmiques et de lignes droites (BIAREZ etal., 1965). De telles solutions impliquent des restrictionssévères sur les conditions de frontière et de domaine quipeuvent être résolues. D'autre part, la plupart des analy­ses exigent que l'angle de frottement sol-structure soitconstant alors qu'il est en fait fonction des déplacementset n'est pas une propriété inhérente du sol (JAMES etBRANSBY, 1970 ; MORGENSTERN et EISENSTEIN,1970).Dans le présent contexte, il est aussi important de remar­quer qu'on suppose habituellement que la résistanced'un sable mis en place avec une densité uniforme estgouvernée par la contrainte limite de cisaillement, et parle critère de Mohr-Coulomb Tf = Cf n tancP où l'angle derésistance au cisaillement reste constant (fig. la). (Toutau long de notre étude, nous utilisons les contrainteseffectives et la convention habituelle « ' » qui les repré­sente a été supprimée pour raison de simplicité.)

En réalité, l'enveloppe de rupture n'est pas droite maiscourbe; aussi cP n'est-il pas constant. La courbure résultede l'effet du niveau de pression sur l'importance rela­tive des trois composantes de la résistance du cisaille­ment des sables, à savoir (1) le frottement de la matièreminérale au contact des grains (2) l'enchevêtrement desgrains, et (3) la dilatance (ROWE, 1969). La figure lbprésente une relation entre cP et la pression (LADANYI,1960 ; DE BEER, 1970). En pratique, les ingénieurs demécanique des sols tiennent compte de la courbure del'enveloppe de rupture lorsqu'ils utilisent des valeurs decP variant en fonction de la taille de l'ouvrage (TCHENGet ABSI, 1969 ; LAPERCHE, 1976) et de la densité

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

relative initiale du sable (par exemple, BJERRUM,1973). Bien qu'il soit possible d'arriver à des valeurscomparables entre les résultats d'essais de maquettes delaboratoire et des calculs de butée (GRAHAM, 1971),de telles valeurs sont trop grandes pour être utilisées enpratique (JAMES et BRANSBY, 1970). Par ailleurs, lecomportement des maquettes de mur de laboratoire estbeaucoup plus « cassant » que celui observé pour desouvrages en vraie grandeur. Ces deux effets ont con­duit les ingénieurs à traiter les valeurs analytiques et lesvaleurs de laboratoire avec scepticisme.

Les changements du comportement contrainte­déformation du sable en fonction de la densité relativesont bien connus pour les essais triaxiaux (fig. 2). Lessables denses se dilatent lors du cisaillement alors queles sables lâches se rétractent. Des changements simi­laires de .comportement se produisent lorsque lesniveaux de contrainte augmentent : les sables de mêmedensité relative initiale se dilatent sous faible contraintealors qu'ils se rétractent sous forte contrainte lors ducisaillement. Les résultats de la figure 2 ont été norma­lisés en divisant la contrainte par la pression de confi­nement r; cell et les termes « écrouissage » et « anti­écrouissage » remplacent les termes habituels de mé_ca­nique des sols « lâche » et « dense », ou « faible pres­sion » et « grande pression ».

DOès lors, le problème consiste à construire un meilleurmodèle de comportement du sable et à l'introduire dansune analyse plus complète. MANDEL (1943) avait pré­senté les équations générales de K6tter pour un maté­riau homogène à courbe intrinsèque quelconque(SALENÇON, 1974). Le comportement d'un sol non­homogène où la cohésion augmente linéairement avecla profondeur fût présenté par SALENÇON et al.(1976). Des calculs précédents présentés par GRAHAM(1974) utilisaient le modèle de résistance simplifié(fig. lb) de DE BEER (1970) d'après LADANYI (1960),selon lequel cP variait en fonction du logarithme de lacontrainte principale moyenne. Dans leur étude, la plagede variation de cP dépendait de la densité de mise enplace du sable. On utilise ici un modèle de sable décritdans Critical State Soil Mechanics d'ATKINSON et

(a )

courbeexpérimentale

de

(b )

schéma deDe Beer (1970)

~In 19(pression)

Fig. 1 - (A) Approximation de Coulomb-Mohr pour l'enveloppe de rupture.(B) Relation <1>' -Ig (pression) (d'après DE BEER, 1970).

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES DES CONTRAINTES DU PROBLÈME DE BUTÉE 7

0--

_____ 0

-----------0""'I.------------~O

"'" cou r be s norma l eme nt

1 consolidées pour des

l ""'1 If densités initiales""'"", différentes

1! ~~ r",--..... ........... ""

.......... """ '""" "résistance aux grandes "" "'",

déformations (état critique) "" '"

'""'-..""""

( b)

o essais cru et CAUaprès consolidation

• état stabi l isé

(a)

d'après Vesic et Clough (1968)

d' après Been et Jefferi es (1985)(Kogyuk 350/2, Mer de Beaufort)

emin =0,470

contra i nte effect ive moyenne p' - kPa

contrainte effective moyenne p' - kPa

~•1,8

l

l, 0 L....L-_----L-_----l....-----L.-...L.....L_-----I-_--l-----'--------'----.L...----l._---'----'-~

10 2 103 104

105

1,6

1,4

1,2

emox=O,8291,80

Q.J::Jcr

4-

u 1,70-QJ0.Vl

QJ

30>

1,60

compte une grande partie du comportement plus com­plexe de la surconsolidation. La pente ~ est appelée ici« compressibilité ».

Pour les sables, un modèle similaire n'a pas encore étémis au point, bien que des données expérimentales exis­tent (fig. 3a) et qu'elles aient été récemment confirméespar des essais triaxiaux sous conditions non-drainées surdes sables de la mer de Beaufort canadienne (fig. 3b ;BEEN et al., 1985).

Q.J

3

u-Q.J0­Vl

----------

antiécrouissageétat dense - faible

pression de confinement

déformation relative axiale

déformation relative axiale

./,~ écrouissage

/ ~état lâche - pression;1' de confinement élevée

//

r--raEs-acr-­r--Q)

Uo

..........CT

Q)

::JCT

E c::J aa ...f..J> ra~

Q) ra> r--

'r--...f..J -0ro

r--Q)

s- C

c aa c.Il

~c.IlQ)

ra s-E a..s- E0 a4- u'OJ-0

BRANSBY (1978). Ce modèle est incorporé dans laméthode des caractéristiques de contraintes pour résou­dre la rupture des murs en butée. Nous prenons aussien compte les effets de la compressibilité du sable, cequi permet une première analyse théorique de l'influen.cede la hauteur d'un mur sur les valeurs des contraintesde rupture du sable.

Fig. 2 - Comportement contrainte-déformationet déformation volumique du sable.

Fig. 3 - Données d'état critique des essais triaxiauxpour des sables.

2. LE MODELE D'ETAT CRITIQUE

« L'état critique » a été bien développé pour les argilesremaniées (ROSCOE et BURLAND, 1968) et a con­duit à des modélisations utiles des propriétés des argilesnaturelles (GRAHAM et' al., 1983). Le modèle définitdes lignes parallèles de pente ~ dans l'espace V-Iog(p)pour la consolidation et la résistance au cisaillement d'unéchantillon normalement consolidé. Il prend aussi en

ATKINSON et BRANSBY (1978) proposent une nou­velle méthode graphique (fig. 4a) pour décrire l'espacep,q,V. On projette l'espace p-V sur un plan constantp = 1 kPa dans la direction ~ et une nouvelle variableV)t.. = V + )t..ln(p) est introduite. La relation entre la con­trainte et la déformation volumique d'un essai peut êtrealors tracée graphiquement avec en ordonnée le rap­port des contraintes q/p et en abcisse, le paramètre depression-volume V)t.. (fig. 4b). La section supérieure dela surface de l'état limite peut être alors approchée parl'enveloppe droite AB de la figure 4b. Cette droite décritles contraintes de rupture associées à l'anti-écrouissage

8 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

d'un échantillon « dense» ou « faible pression» de lafigure 2. Le point B correspond à la rupture d'écrouis­sage normalisé d'un échantillon « lâche» ou « hautepression ». Ce point correspond aussi à l'état critique.

Le volume reste constant et l'état critique est atteint parécrouissage après grande déformation de l'échantillon.Prendre comme nouvelle variable VÀ = V + Àln(p)dans le modèle du sol, permet de tenir compte de lacourbure de l'enveloppe expérimentale de rupture(fig. la) en utilisant le volume spécifique de mise enplace Vo et la compressibilité Àdu sable. On peut noterque M = (q/p) est lié à l'angle cI> (cI> dépendant de lapression locale p) par le relation sin cI> = 3M(6 + M).

Avec ce modèle, il n'est plus possible de décrire un sablesimplement par son angle cI> , car cI> dépend désormaisdu niveau de pression, de la densité de mise en placeet de la compressibilité À. Définir la résistance de cettefaçon en fonction de la pression permet d'étudier lavariation des coefficients de butée en fonction de la hau­teur du mur. Par comparaison, les analyses basées surle modèle plus simple cI> = constante prédisent que lecoefficient de butée Kp (cI» = 2Ppl)'H2 est indépendantde la hauteur du mur H. On peut noter que le modèledu sol de la figure 4b présente une limite en B qui cor­respond à cI>min où l'enveloppe de rupture devient droitedans les diagrammes q-p et V-ln(p) (fig. 3).

Les calculs des coefficients de butée ont été effectuéspour l'ensemble des valeurs données dans le tableau 1.On a séparé l'analyse en deux groupes, un premier oùla plage de variation des paramètres est étroite, undeuxième où ces mêmes variations sont plus importan­tes. Dans chaque groupe, quatre valeurs de À ont ététestées. Dans le cas de la plage de variation étroite, lespropriétés du sable ne sont affectées que faiblement parles changements de pression alors que dans celui de laplage de variation large, de plus grandes variations sontenregistrées. Les paramètres du sol du tableau 1 sontreprésentés par les deux séries d'enveloppes qlp - VÀ

des figures Sa, b correspondant respectivement aux pla­ges de variations étroite et large.

étatcritique

ln p

1 \',1 ~ \

l'écrouissage1 \, , \

droite d'étatcritique

schéma d'Atkinsonet Bransby (1978)

droite de

( b)

section deréférence

(a)

VÀ

=v +À ln (p)

p =1 kPa

"-. en ve 1A ""'-. 0PPe

//

//

11

ant i "écrouissage1 1

Fig. 4 - Modèle d'état critique pour les sables.

VlQ)~

C

coS-

o..~........... Ccr O

U

Vl:EQ)

"0

~

S­o0..0..coS-

Ca) plage de variation étroite (b) plage de variation large2~0 2,0

epmaxe 45 .e. 451,84-> 1,8 4->

epmaxQ) c C-0 Q) QJ Q)

E 40 -0 E 401)6 Q) Q) 1,6QJ

r- 4-> Q) 4.J

0- en 4-> 0- r- 4.JC 0 "'" enD

"'" cu S- 0- C S-0- 1)4 4- 35 1)4 cu 4- 35Il epmin Il

L4 L

1,2 courbe À 30 1,2epmin

30

1 0,05 4

IJO2 0)103 0)175 25 la O 254 0,25

0)8 0)80 2 3 4 0 2 3 4

V>.. V>..

Fig. 5 - Enveloppes de rupture utilisées: (a) plage de variation étroite (b) plage de variation large.

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES DES CONTRAINTES DU PROBLÈME DE BUTÉE 9

Tableau 1

PARAMETRES DU SABLE POUR MODELISERLES ENVELOPPES DE RUPTURE

DE LA FIGURE 5

qui peut être écrit :

~( 1 7 n 1 - f(Πn ))

awa (3)

La figure 6a est une représentation schématique de cesexpressions mathématiques. En utilisant les équations(3) et (4), on arrive à la condition généralecotg(2j-t} = f'(an ) où 2J-t = 7r-2w. Quand on suppose<P constant, on a alors f(an) = an tg(<P) etJ-t = 7r/ 4 - <P /2. L'angle J-t = 7r/ 4 - f' (an) /2 déterminela direction des plans de cisaillement limite (lignes de glis­sement) en un point P (figure 6b), en fonction des étatslocaux de contraintes et de la pente locale f' (an) del'enveloppe de rupture courbe (ce que GRAHAM etPOLLOCK (1972) ont appelé « la valeur locale <P, fonc­tion de la pression »).

Après avoir d'abord transformé les coordonnées du ten­seur des contraintes au point P dans les axes x et z engrandeur sans dimension (fig. 6b), puis substitué l'équa­tion (4) dans l'équation (1) et enfin, introduit des trans­formations logarithmiques pour séparer les produitsrésultants, on obtient deux familles de caractéristiquesde contraintes réelles.

Plage Plagede variation de variation

étroite large

Valeurs de p(kPa) 10 104 10 104

Volume spécifiqueV == (1 + e) 1,5 1,7 1,4 1,8<Pmin, <P max (degrés) 32 40 28 45

Notes:(1) (V)i == Vi + )Jn Pi(2) Valeurs choisies deÀ == 0,05-0,10-0,175-0,25

3. APERÇU DE L'ANALYSE

La méthode des caractéristiques de contraintes a étédécrite en détail par SOKOLOVSKII (1965), GRAHAM(1968) et SALENÇON (1974) et ne sera revue que briè­vement ici. En déformation plane, on associe les équa­tions d'équilibre :

ou Œn

auzx+ - = aaz

avec le critère de rupture de Mohr-Coulomb,

(1)

(2)

dn/dz = a,dans la direction de glissement

dx/dz = tg (l/; - J-t)

et d~/dz = b,dans la direction conjuguée

dx/dz = tg (l/; + J-t) ; où

( b )

(5)

(6)

x

T

enveloppe deruptureTf= f (Cin>1

c:Tn

(a )

2W

CTn

"'/! " P(X,Z,CJ",,/!>

z

Fig. 6 - fA) Condition de rupture d'après Coulomb-Mohr, enveloppe non linéairefB) Définition des variables.

Ce système de quatre équations à quatre inconnus (x, z,a, t/;) peut être résolu pour tout nouveau point d'unemasse de sol en rupture, à partir d'un point frontière ouà partir de tout autre point du domaine déjà calculé dansles équations (5) et (6).

10

a,b± 1 . sin (t/; ± Il) (. a = al

2asin cI> cos (t/; ± Il) ,

YJ,~ = In(a)/2tg cI> ± Il

+ Œ3)/2 (7)

(8)

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

Aucune solution analytique n'est disponible, et on uti­lise la méthode de différences finies. Celles-ci prend dansles équations (5) et (6) les variations de la direction dela contrainte principale (SOKOLOVSKII, 1965) ; de lacontrainte principale moyenne (GRAHAM, 1968) ; etde l'angle de cisaillement local cI> (GRAHAM et POL­LOCK, 1972) ; HOVAN 1985). Le tableau II présenteun organigramme des calculs nécessaires.

3.1 Conditions aux limitesTableau 1/

ORGANIGRAMME DU CALCULD'UN NOUVEAU POINT (x, z, 0-, zf) (cP)A PARTIR DE DEUX AUTRES POINTS

DEJA CONNUS (x, z, 0-, zf)1,2

calcul de a et b à partir de (x, z, 0-, zf)1,2équation [7]

calcul de (0-, zf) à partir de a et béquation [8]

comparaison entre (o-,zf) et (o-*,zf*)

oui

calcul de x et zun nouveau point (x, z, 0-, zf) est déterminé

(c)

(d)paroi du mur

Le problème du mur en butée fût considéré par HAJAL(1961) et SALENÇON (1972). Le mur de la figure 7est résolu avec les hypothèses suivantes :

a) Mur de hauteur H retenant un remblai de sable sanscohésion, de poids volumique "/, de compressibilité À,et de résistance définie par un des modèles d'état criti­que de la figure 6.

b) Frontière inférieure d'une zone massive de Rankineuniquement définie pour un remblai horizontal et sanssurcharge. On peut noter que lorsque cI> = (an) commele montre la figure la, le bord de la zone passive n'estpas droit mais s'infléchit vers le bas.

c) Singularité au coin supérieur du mur, là où les lignesde glissement s'écartent en éventail avec des pentes dif­férentes (t/;i - Il) et où ailao = exp {2(t/;i - t/;o) tg cI>J.d) Mur complètement rugueux où 0 = cI> (an) . Pour sim­plifier les comparaisons avec des solutions existantes, onne fait pas varier ici la valeur de l'angle de frottementmobilisé en fonction de la profondeur, comme le sug­gèrent JAMES et BRANSBY (1970) et GRAHAM(1971).

La figure 7 présente une solution typique obtenue parla méthode des caractéristiques de contraintes. La con­dition de non-surcharge du remblai entraîne des diffi­cultés de calculs à la singularité (c) (KRAVTCHENKO

Fig. 7 - Solution typique des caractéristiques de contraintes pour le mur en butée.

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES DES CONTRAINTES DU PROBLÈME DE BUTÉE 11

et SIBILLE, 1965) et il faut recourir à un calcul de dif­férences finies pour évaluer les fonctions logarithmiques~ et Y/, indéterminées pour Œ = O. Ces difficultés peu­vent être résolues (GRAHAM, 1968) en commençantinitialement avec une surcharge sur la surface (b). Oncalcule la zone de rupture correspondante, puis on con­tracte vers le point (c) cette zone de rupture. La con­traction est en fait un changement d'échelle par unfacteur arbitraire (x10), dont le but est de diminuerl'influence de la surcharge. La surface réduite obtenueest alors utilisée comme spirale de départ et permet derecalculer le domaine de contraintes jusqu'à la zone quise trouve sous l'influence du chargement. A la fin decette deuxième phase, les effets de la surcharge ont étéréduits p:ar le facteur de contraction. On répète alors leprocédé jusqu'à ce que les changements d'échelle neproduisent plus que de petites variations acceptables deKp .

GRAHAM (1974) a montré que, pour des conditionsaux limites identiques, on obtient des valeurs de Kp toutà fait similaires par la méthode des surfaces potentiellesde rupture et par la méthode des caractéristiques de con­traintes. La seconde méthode a l'avantage de permet­tre la modélisation de distributions de frottement auxfrontières plus réalistes (JAMES et BRANSBY, 1970 ;GRAHAM, 1971) ainsi que la prise en compte de don­nées plus complexes dans la zone de rupture, commeici le modèle d'état critique présenté aux figures 4 et 5.La validité du nouveau programme d'ordinateur a étévérifiée (tableau III) en comparant les valeurs de la solu­tion de GRAHAM (1971) (q> reste constant) avec cellesproduites par une solution qui utilise une version sim­plifiée de la figure 5; dans ce cas, on spécifieq>min = q>max afin d'avoir q> constant. Les différencesentre les deux solutions sont négligeables.

Tableau III

COMPARAISON DES VALEURS DE Kp

D'APRES UNE SOLUTION cf> == CONSTANTE

q> (degrés) 30 34 38Kp (Auteurs) 5,65 7,85 11,60Kp (Graham, 1971 ) 5,6 7,8 11,3

3.2 Résistance en déformation plane

La relation qlp (q» fonction de V'A de la figure 5 pro­vient habituellement d'essais de laboratoire et correspondalors à des valeurs triaxiales q>tx. Cependant, l'analyseprésentée à l'organigramme du tableau II et le domainedes caractéristiques de contraintes de la figure 7 corres­pondent à des conditions de déformation plane, et fontappel à des valeurs q>ps' GRAHAM (1971) a montré qu'ilest nécessaire d'utiliser l'angle q>ps, mobilisé au niveaude contraintes adéquat, pour comparer les valeurs théo­riques et les valeurs expérimentales issues d'essais demaquettes de laboratoire.

Il est bien connu que les angles de résistance au cisaille­ment en déformation plane q>ps sont plus grands queles valeurs q> tx correspondantes obtenues à partir d'essaistriaxiaux symétriques. La figure 8 montre trois relationsentre q>ps et q>tx provenant de publications. Pour notre

étude de mur en butée, la relation de Bishop (1966) estutilisée sous la forme suivante :

(i) pour q>tx ~ 33°, q>ps = q>tx

(ii) pour 33° ~ q>tx 36°,Inq>ps = 1,6661nq>tx- 2,336

(iii) pour 36° ~ q>x, Inq>ps = 1,293 Inq>tx-1,002

Le passage d'un type de valeurs à un autre est effectuépar un sous-programme (tableau II) qui évalue la valeurq>ps nécessaire pour le calcul d'un nouveau point dudomaine des caractéristiques de contraintes. On opèreen termes de contraintes locales et de la compressibilitéde la figure 5.

.,....\""

~ en déformation plane".\ ,Vl 45

" " courbe 1 Bishop 1966'Q.J .\. "~

\ " 2 Lade et Lee 1976en "Q.J "- 3 Wroth (comm. pers.)u 43 \:'" "-\;"':" "-

........

.eo ........"'...... ........

+-> 41 ..............c: "....... .......

......Q.J

"- ......E ....... 3Q.J "- .......

.......+-> 39"+-> "- " -0 "- 2 -~ --4- "-.1 '. ---37

Q.J TRIAXIAL "-u "- '."- '.

Q.Jr-- 35 :---...en ~c:ra

33 It::.----IL----L_--l..-_-I..-_..L.---L_---I-_--'--_--L-----I

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

porosité initiale, %

Fig. 8 - Relations expérimentales entre les anglesde frottement en déformation plane

et en déformation triaxiale.

4. RESULTATS

La force de rupture du mur Pp est l'intégrale JŒxdz, prisele long de la partie arrière du mur (d) de la figure 7. Lesvaleurs de Œx augmentent avec la hauteur du mur, maisla variation n'est pas linéaire quand l'enveloppe de rup­ture est courbe comme dans la figure la. Toutefois, pour')implifier les comparaisons, il s'avère pratique d'utiliserla définition usuelle Kp = 2Ppl)'H2. Les figures 9 et 10présentent les valeurs du coefficient de butée Kp en fonc­tion de la hauteur du mur et de la compressibilité du sableutilisant les plages large et étroite des données du soldéfinies par la figure 5. Comme la figure 4b modélisela courbure de l'enveloppe de rupture, Kp varie en fonc­tion de la hauteur du mur et ce, bien qu'il s'agisse d'unparamètre sans dimensions. Cette variation traduit leseffets dus à la taille de l'ouvrage (DE BEER, 1970 ;LAPERCHE, 1976 ; HABIB, 1985 ; KIMURA et al.,1985). Un mur plus haut conduit à des contraintes plusimportantes dans la zone de rupture ; il mobilise doncdes valeurs de l'angle q> plus petites, et ainsi les valeursde Kp sont réduites. Le modèle d'état critique permetune première approche quantitative de la transitionécrouissage-antiécrouissage qui est liée à la compressi­bilité À.

12 N° 36 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

0,25

0,25

(a) plage devariation étroite

(b) f)lage devariation large

0,10 0)15 0,20

compressibilité

0,10 0,15 0,20

compressibilité

hauteur (m)~ ---,IO

~__--__---==718---~

r:::::=:::::::==------=:-:b28c::==----------,5 ----.1

L..------------I,I -----1

2 34 9 -_3,6

) --6)4

(b)

5

o0,05

25n.~

Q) 20'Q)

-+-:::5

..D15

Q)

u+Jc: laQ)

u

4- 54-Q)

0(0 )l)

a0,05

30

0.. hauteur (m)~

Q) 25 )10

'Q)

+J::J

..0 20,18

Q) ,28u

+J ,50c 15Q) 1)1

u2,3

4- la 3,64 94- 6,4Q)

0u

Fig. 10 - Coefficients de butée Kp en fonctionde la compressibilité À.

d'après cette figure, les plus grandes valeurs de VÀ sontassociées aux plus grandes valeurs de p ou aux plusgrandes valeurs de À. Pour les deux plages de variationétroite et large de l'angle <I> de la figure 5 entre Mmax

et Mmin , la pente de l'enveloppe de rupture par rapportà l'axe VÀ décroît lorsque À augmente. Ainsi pour depetits murs (H petit) où la plage des contraintes du sableest petite, on obtient une plage des valeurs M(<I» plusgrande pour des petites valeurs de À que pour des gran­des valeurs de À. Il en résulte des valeurs moyennes pluspetites de l'angle mobilisé <I>. Ce qui signifie que pourde petits murs, de plus petites valeurs de Kp sont asso­ciées aux valeurs de À plus petites.

La possibilité de rupture diminue lorsque le sol devientcompressible, car le nombre de contacts entre particu­les augmente au fur et à mesure que la contrainte croît.La rupture intervient alors pour des contraintes plus éle­vées et donne un angle <I> mobilisé plus grand. Il en

10

1

234

(b) plage devariation large

0)5 1 2 5

hauteur du mur0,2

43

2

( b)5

0)1

15

10

25

Fig. 9 - Coefficients de butée Kp en fonction de Ig ,(hauteur du mur)

25

0- (a) plage de~

Q) variation étroite'Q) 204-> courbe À::J.0 1 0,05Q) 2 0, 10u 15 3 0,1754-> 4 0,25cQ)

u 110 2

4- 34- 4Q)

0(0 )u

50,1 0,2 0)5 1 2 5 10

hauteur du mur

4->c:Q)

'r--U

4­4­Q)

ou

0­~

Q)

~ 20::J.0

Q)

U

La figure 9 présente un diagramme semi-Iogarithmiquede Kp fonction de la hauteur H du mur pour quatrevaleurs de À. Neuf valeurs de hauteurs de mur ont étéprises en compte (voir aussi figure 10). En accord avecla discussion qualitative précédente, Kp décroît lorsqueH augmente. La plage de variation des résultats est plusgrande dans le cas de la plage de variation large de don­nées du sable, où les propriétés changent beaucoup enfonction de la pression. Elle est plus petite dans le casde la plage de variation étroite. Il Y a de plus une parti­cularité de la figure 9 qui mérite attention. Pour de pluspetits murs (H petit), de petites valeurs de À conduisentà de plus petites valeurs de Kp . Cependant, pour desmurs hauts, le comportement est renversé et ce sont lesplus grandes compressibilités qui produisent les plus peti­tes valeurs de Kp .

Ce comportement est encore plus évident sur la figure10. Pour les deux plages de variations étroite et largedes données du sable, les valeurs de Kp augmentent avecÀ quant la hauteur du mur est faible, mais décroissentquand cette même hauteur est grande. L'explication duphénomène est complexe et se trouve dans le modèled'état critique de la figure 4. On doit se rappeler que

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES DES CONTRAINTES DU PROBLÈME DE BUTÉE 13

résulte que des valeurs des Kp élevées correspondentaux fortes valeurs de À.

La situation est différente pour des murs hauts(Ii grand). Dans ce cas, les contraintes près de la limitede la zone passive (b) (fig. 7) sont très petites, et devien­nent très grandes au bas de la limite (d). La distributiondes valeurs mobilisées q/p(<I» dépend de la relation loga­rithmique VÀ = V + Àlnp (fig. 5a). Il en résulte que,pour des murs hauts, de grandes valeurs de À produi­sent des valeurs de Kp plus petites, bien que proches,que dans le cas des petits À. Dans ce cas, l'influence dela compressibilité existe toujours, mais est cachée parl'influence d'une grande plage de variation de contrain­tes dans la zone de rupture et par la courbure de l'enve­loppe de rupture.

ques de contrainte, les niveaux de contrainte sont con­nus et ainsi les valeurs de l'angle localement mobilisé <I>peuvent être évaluées. Les lignes en pointillé représen­tent pour la zone de rupture, les contours où la mobili­sation de <I> est constante (iso-<I». La variation est del'ordre de 8 0 dans chacune des zones de rupture.Comme prévu, les valeurs de <I> sont plus grandes pourde petits murs que pour de hauts murs (de l'ordre de50 fig. lIa, b) et les valeurs de Kp suivent la même ten­dance. Dans ce cas, les valeurs sont Kp = 25,5 pourH = 0,1 m et Kp = 12,5 pour H = 2,0 m.

10,0

•••1-•~80

1,0

hauteur du mur (m)

d'après Kérisel (1972 )~ d'après Graham (1971)

auteurs (état critique)• 70 densité relative

695 •

••• plage de

variation large• À = 0 , 25

• •

••

•

•

5 1..L-- 6_7_6_2_8_----.!.. ----'

0 , 1

31

15

•• plage de 6

10 variation étroite 70

• À = 0,05 6 32

•

20

.r-U

~

~(1)

ou

30 rr----------.--------------,

5. DISCUSSION

Fig. 12 - Comparaison des résultats de Kp en fonctionde Ig (hauteur du mur).

Les résultats des figures 9 et 10 proviennent de l'utilisa­tion d'un modèle de sol amélioré (le modèle d'état criti­que) dans une version avancée du programme qui utiliseun angle <I> variable (comme prescrit par GRAHAM[1974]). Les lignes 1 et 2 de la figure 12 montrent lesvaleurs extrêmes atteintes dans l'analyse, respectivementpar la plage de variation large avec À = 0,25 et par laplage de variation étroite avec À = 0,05. On montredonc que les relations Kp en fonction de 10g(H) sont simi­laires à celles obtenues par GRAHAM et POLLOCK(lignes 3 et 4) mais que, comme on peut s'y attendre,les résultats diffèrent dans le détail. On n'a pas essayéici d'ajuster les données du sol de la figure 5 afin queles résultats des deux solutions coïncident. Toutefois, ilest apparent que le nouveau modèle prédit des réduc­tions substantielles de Kp quand H augmente (LAPER­CHE, 1976), et prédit que les réductions dépendent dela compressibilité du sable.

.. .. ... " : .. "" ~ .

0,1 m

(b) H = 2,0 m

(a) H

Fig. 11 - Valeurs de l'angle <I> localement mobilisédans les zones de rupture de différentes dimensions.

o~

coc.

Contrairement aux analyses habituelles du problème dumur de butée, le sable que nous considérons n'a pas unevaleur unique de l'angle <I>, prédéterminée par la den­sité de mise en place. La figure 4b modélise un sablequi peut se dilater ou se comprimer lors du cisaillement,et qui localement peut mobiliser des valeurs M(<I» diffé­rentes, fonction du niveau de contrainte. Ceci apparaîtsur les figures lIa, b où À = 0,25. La figure lIa estrelative à une maquette de laboratoire avec H = 0,1 m,et la figure lIb à un mur en vraie grandeur typique, avecH = 2,0 m. Les lignes pleines correspondent aux carac­téristiques de contrainte qui décrivent la forme de la zonede rupture. A chaque intersection de deux caractéristi-

14 N° 36 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

30 rr----------r---------~

NOTATION

ANNEXE

L'utilisation du modèle d'état critique dans la méthodedes caractéristiques de contraintes fait apparaître unerelation plus ou moins linéaire entre Kp et log (hauteurdu mur). La solution permet d'inclure l'effet du niveaude contrainte et de la densité de mise en place, ainsi quele comportement de plus en plus ductile qui est observélorsque la hauteur du mur augmente. La tendance desrésultats est conforme aux essais sur maquettes et surmurs réels. Des études supplémentaires sont nécessai­res pour valider le modèle d'état critique à partir d'essaisde résistance en laboratoire, et pour déterminer les para­mètres relatifs à un grand nombre de sables différents.

H Hauteur du murKp Coefficient du butéeM Rapport des contraintes q/p à rupture

6. CONCLUSIONS

même valeur de la force de rupture (GRAHAM, 1974 ;SALENÇON, 1974). On doit donc se demander s'il ya quelque avantage associé à la complexité supplémen­taire de la méthode des caractéristiques. Les donnéesci-dessus, et les articles précédents du deuxième auteur,ont montré que la méthode numérique des caractéristi­ques permet une définition plus précise des conditionsde frontière (GRAHAM, 1971) et du comportement dusol (GRAHAM, 1974 ; GRAHAM et HOVAN, 1986).Par ces moyens, on obtient une modélisation plus géné­rale du problème.

La question la plus fondamentale soulevée par cetteétude est de savoir comment modéliser le comportementdu sable. Traditionnellement, les comparaisons entrerésultats théoriques et expérimentaux sont faites sur labase de « l'angle-<p » du sable. Pourtant, il est reconnuque le sable n'a pas une valeur unique <P et que des com­paraisons ne peuvent être valables que si une valeurmoyenne et appropriée pour la zone de rupture peutêtre évaluée (GRAHAM, 1971 ; HOVAN, 1985).

Si <P est un paramètre inadéquat, que prendre en con­sidération ? L'application du modèle d'état critique dela figure 4b demande peu d'essais supplémentaires, maisqui doivent être prévus dès la conception du programmed'essai; celui-ci doit désormais inclure différentes den­sités de mise en place, différents niveaux de contrainte,et des mesures précises du changement de volume lorsdu cisaillement. Ce modèle de sol semble ouvrir d'impor­tantes possibilités pour l'analyse du comportement desouvrages. Ces possibilités n'ont pas encore été entière­ment explorées, mais la présente étude montre qu'il peutrendre compte des effets d'échelle. Il faut toutefois noterque ce modèle de résistance de sol, relativement sim­ple, n'a reçu qu'une validation partielle, et que des don­nées d'essais supplémentaires sont nécessaires, relativesà une plus grande variété de sables de différentes miné­ralogies.

10)0

plage de~-variation

étroitelarge Fig. 5"dense""lâche" Fig.l(b)

courbe1234

120

hauteur du mur {ml

4

3

1

5LL...---------L....-------------I0,1

10

0­~

OJ 25'OJ+->='

..0

Q)

u 20+->cOJ.~

U

4- 154-OJou

Lorsque la hauteur du mur augmente, il y a changementévident du mécanisme de rupture: on passe d'une rup­ture générale de cisaillement le long de surfaces de rup­ture clairement définies avec petits mouvemerits, à unerupture par affaissement, où les phénomènes de com­pression du sol dominent et entraînent d'importantsmouvements du mur. Au moins une partie de cette tran­sition peut être attribuée au changement du comporte­ment écrouissage-antiécrouissage qui accompagne, pourun sable, l'augmentation de la pression de confinement(fig. 2). Cet effet est inclus dans le modèle d'état criti­que de la figure 4b et se répercute dans le calcul desvaleurs Kp .

Le point B de la figure 4 montre que lorsque les con­traintes sont importantes (mais encore au-dessous desvaleurs qui causent la fracture ou une déformation plas­tique des grains de sable), le modèle d'état critique définitune enveloppe de rupture qui approche une pente cons­tante <P min . A ce stade, on s'attend à des valeurs de Kp

ou de N'Y plus ou moins constantes. Cet état n'est jamaisatteint par des murs de butée, mais on doit le considé­rer pour les grandes plate-formes gravitaires de forage,où le coefficient N'Y peut atteindre une valeur constanteminimale. L'analyse des semelles peu profondes a étérécemment proposé par GRAHAM et HOVAN (1985).

Lorsque les conditions de frontière d'un problème sontdéfinies identiquement pour une solution d'équilibrelimite et pour une solution résolue par la méthode descaractéristiques de contraintes, on trouve en principe la

On peut comparer ces résultats avec des données dis­ponibles de maquettes de laboratoire et de murs réels(fig. 13), dont les références sont fournies par GRAHAM(1971). Les données figurant dans les publications sontinsuffisantes pour appliquer complètement le modèled'état critique approprié à chaque programme expéri­mental. Toutefois, la tendance des données est claire,et va dans le sens des résultats des figures 9 et 10.

Fig. 13 - Comparaison des résultats théoriques de Kp

avec les données disponibles sur maquetteset sur murs réels.

RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DES CARACTÉRISTIQUES DES CONTRAINTES DU PROBLÈME DE BUTÉE 15

n,f,max,min normal, rupture, maximale, minimale1,3,i,0 majeur mineur, i-ième, initialtx,ps, v triaxial, en déformation plane, verticalTout au long du texte, les contraintes utilisées sonteffectives.

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a

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Coefficient de force portante des semellespour l'effet des forces de poids propre dansla zone de ruptureContrainte effective moyenne (al + 2a3) /3Contrainte déviatorique (al - a3)Contrainte (force) portante à ruptureVolume spécifique, volume du sol occupépar volume unitaire des solidesV + }dn pPoids volumique du solCompressibilité du sable, pente de la droitenormalement consolidée dans l'espace V,Ig(p)7r/4-<I>/2Angle de frottementAngle de al par rapport à l'axe z, positifdans le sens contraire des aiguilles d'unemontre(Sans indice) contrainte moyenne,(al + a3) /2, contrainte normaleContrainte de cisaillement

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