𝑦 (𝑦 ′)2− (𝑥 𝑦2+1 ) 𝑦 ′+𝑥𝑦=0…….(1)

Resolver :

Resolución: Haciendo

o

𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑝 Y reemplazando en la ecuación (1)

Resolviendo el polinomio de segundo grado, respecto a la variable p

(𝑝− (𝑥 𝑦 2+1 )2 𝑦 )

2

−(𝑥 𝑦 2+1 )2

4 𝑦2+𝑥=0 Despejando la variable p

𝑝=(𝑥 𝑦2+1 )2 𝑦 ±√ (𝑥 𝑦2+1 )2

4 𝑦 2− 𝑥=

(𝑥 𝑦2+1 )2 𝑦 ±√ 𝑥2 𝑦4+2𝑥 𝑦2+1−4 𝑥 𝑦 24 𝑦2

Simplificando:

p=𝑥 𝑦2+12 𝑦 ±√ 𝑥2 𝑦4−2𝑥 𝑦2+1(2 𝑦 )2

=𝑥 𝑦2+12 𝑦 ±√(𝑥 𝑦2−1)2

(2 𝑦 )2

𝑝=𝑥 𝑦 2+12 𝑦 ± 𝑥 𝑦

2−12 𝑦

El polinomio tiene 2 resultados en la variable p:

{𝑝=𝑥𝑦𝑝= 1𝑦 {𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑥𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑥= 1

𝑦

{∫ 𝑑𝑦𝑦 =∫𝑥𝑑𝑥+𝑐

∫ 𝑦𝑑𝑦=∫𝑑𝑥+𝑐 {𝑙𝑛𝑦=𝑥22 +𝑐

𝑦22

=𝑥+𝑐

Resolver respecto a y: o 𝑝𝑙𝑛𝑝− 𝑦=0Despejando la función incógnita:

……

; 𝑝=𝑝(𝑥 )

Derivar la ecuación (1), respecto a x𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑙𝑛𝑝 𝑑𝑝

𝑑𝑥 +𝑑𝑝𝑑𝑥 𝑝=

𝑑𝑝𝑑𝑥 ( 𝑙𝑛𝑝+1) Separando Variables

𝑑𝑥=(𝑙𝑛𝑝+1 )𝑑𝑝 ∫𝑑𝑥=∫ 𝑙𝑛𝑝+1𝑝 𝑑𝑝+𝐶

𝑥=(𝑙𝑛𝑝+1)2

2+𝐶

Por tanto; la solución General de la ecuación diferencial es:

{ 𝑦=𝑝𝑙𝑛𝑝

𝑥=(𝑙𝑛𝑝+1)2

2 +𝐶  

Resolver respecto a y: (𝑦 ′ )2𝑐𝑜𝑠 𝑦 ′+𝑦 ′=𝑦 𝑦=𝑝2𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑝…… (1)

Despejando la función incógnita: ; Derivar respecto a x

𝑑𝑦𝑑𝑥 =2𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝𝑑𝑥 −𝑝

2𝑠𝑖𝑛𝑝 𝑑𝑝𝑑𝑥 +

𝑑𝑝𝑑𝑥 𝑝=

𝑑𝑝𝑑𝑥 (2𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑝2𝑠𝑖𝑛𝑝+1)

Separando Variables

∫𝑑𝑥=∫(2𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑝 𝑠𝑖𝑛𝑝+ 1𝑝 )𝑑𝑝  +𝐶𝑥=2𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝−𝑠𝑖𝑛𝑝+ 𝑙𝑛𝑝+𝐶=𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑙𝑛𝑝+𝐶

Por tanto; la solución General de la ecuación diferencial es:

{ 𝑦=𝑝2𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑝𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝+𝑙𝑛𝑝+𝐶

Resolver respecto a la variable y 3 𝑥4( 𝑑𝑦𝑑𝑥 )2

−𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 −𝑦=0

𝑦=3 𝑥4𝑝2−𝑥𝑝 Despejando la función incógnita: ;

Derivar respecto a x

𝑑𝑦𝑑𝑥 =3(4 𝑥3𝑝2+2𝑥4𝑝 𝑑𝑝

𝑑𝑥 )−𝑝− 𝑥 𝑑𝑝𝑑𝑥𝑝=12 𝑥3𝑝2+6 𝑥4𝑝 𝑑𝑝

𝑑𝑥 −𝑥𝑑𝑝𝑑𝑥 −𝑝

2𝑝−12𝑥3𝑝2=(6𝑥4𝑝−𝑥)𝑑𝑝𝑑𝑥

(𝑦 ′ )3−𝑦 ( 𝑦 ′ )2−𝑥2 𝑦 ′+𝑥2 𝑦=0 𝑝3−𝑦 𝑝2−𝑥2𝑝+𝑥2 𝑦=0

𝑝2 (𝑝− 𝑦 )−𝑥2 (𝑝− 𝑦 )=0

Factor izando, obtenemos:

(𝑝− 𝑦 ) (𝑝2−𝑥2 )=0

{ 𝑝−𝑦=0𝑝2−𝑥2=0

Igualando a cero cada uno de los factores

{ 𝑝=𝑦𝑝=± 𝑥 { 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑦

𝑑𝑦𝑑𝑥=±𝑥

Separando variables e Integrando:

{∫ 𝑑𝑦𝑦 =∫𝑑𝑥+𝐶

∫𝑑𝑦=±∫𝑥𝑑𝑥{ 𝑙𝑛𝑦=𝑥+𝐶

𝑦=± 𝑥2

2+𝐶

Resolver la siguiente ecuación diferencial respecto a la variable P

(𝑙𝑛𝑦−𝑥−𝐶 )(𝑦 ± 𝑥2

2−𝐶 )=0

Por tanto la S.G. es:

Resolver la siguiente ecuación diferencial de primer orden y grado superior

Resolución respecto a x 8 𝑦 (𝑑𝑦𝑑𝑥 )

2

=−2𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 +𝑦=0

Haciendo 𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑝 Y reemplazando en nuestra ecuación

8 𝑦 𝑝2=−2 𝑥𝑝+ 𝑦Despejando la variable x; ya que es resolución respecto a X

𝑥=𝑦−8 𝑦 𝑝22𝑝

Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥= 𝑓 (𝑦 ,𝑝 )

Si observamos detenidamente, vemos que x es función de Y y P

Además p es función de y, por tanto: 𝑝=𝑔(𝑦 )

En conclusión: la derivada del despeje de X debe ser respecto a la variable y

𝑑𝑥𝑑 𝑦=

12

[1−8 (𝑝2+2 𝑦𝑝 𝑑𝑝𝑑𝑦 )]𝑝−(𝑦−8 𝑦𝑝2) 𝑑𝑝𝑑𝑦𝑝2

Ordenando la ultima expresión:

1𝑑𝑦𝑑𝑥

=12

𝑝−8𝑝3−16 𝑦 𝑝2 𝑑𝑝𝑑𝑦 −(𝑦−8 𝑦𝑝2) 𝑑𝑝𝑑𝑦𝑝2

Reemplazando 𝑑𝑦𝑑𝑥 =𝑝 En la ultima expresión y factor izando

1𝑝 2𝑝

2=− (16 𝑦 𝑝2+𝑦−8 𝑦 𝑝2 ) 𝑑𝑝𝑑𝑦 +𝑝−8𝑝3Simplificando y ordenando

𝑝+8𝑝3=−(𝑦+8 𝑦 𝑝2) 𝑑𝑝𝑑𝑦 𝑝 (1+8𝑝2 )=− 𝑦 (1+8𝑝2) 𝑑𝑝𝑑𝑦Simplificando factores obtenemos: 𝑝=− 𝑦 𝑑𝑝𝑑𝑦 Separando Variables

𝑑𝑦𝑦 =− 𝑑𝑝𝑝 Integrando miembro a miembro ∫ 𝑑𝑦

𝑦 =−∫ 𝑑𝑝𝑝 +𝐶

𝑙𝑛𝑦=− 𝑙𝑛𝑝+𝑙𝑛𝐶 Por tanto la solución esta dada por

𝑙𝑛𝑦=𝑙𝑛 𝐶𝑝 𝑦𝑝=𝐶 𝑝=𝐶𝑦

Reemplazando 𝑝=𝐶𝑦 En nuestro problema 8 𝑦 𝑝2=−2 𝑥𝑝+ 𝑦

Luego la solución General del problema es:

8 𝑦 (𝐶𝑦 )

2

=−2𝑥 (𝐶𝑦 )+ 𝑦 8 𝑦 𝐶2

𝑦2=− 2 𝑥𝐶𝑦 +𝑦

Multiplicando por Y y simplificando 𝑦 2=8𝐶2+2𝑥𝐶

𝑦 2=8𝐶2+2𝑥𝐶

Resolver la siguiente ecuación diferencial , Respecto a la variable x

𝑙𝑛(𝑑𝑦𝑑𝑥 )+𝑠𝑖𝑛( 𝑑𝑦𝑑𝑥 )=𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑝Reemplazando

𝑥=𝑙𝑛𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥= 𝑓 (𝑦 ,𝑝 )

En este despeje no existe la variable Y: Pero sabemos que esta de manera implícita

Dentro de la variable P, es decir: 𝑝=𝑔(𝑦 )

Por tanto, debemos seguir la misma regla; es decir, debemos derivar respecto de y

𝑑𝑥𝑑𝑦=

1𝑝𝑑𝑝𝑑𝑦 +𝑐𝑜𝑠𝑝 𝑑𝑝

𝑑𝑦1𝑑𝑦𝑑𝑥

=(1𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝)

𝑑𝑝𝑑𝑦

1𝑝=

1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝𝑝

𝑑𝑝𝑑𝑦 Simplificando y Separando Variables

𝑑𝑦= (1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝 Integrando miembro a miembro

∫𝑑𝑦=∫ (1+𝑝𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝+𝐶 𝑦=𝑝+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶La solución de la ecuación Dif. se puede mostrar en sus 2 formas paramétricas

Dadas de la siguiente manera:

𝑥=𝑙𝑛𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝

𝑦=𝑝+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶

Resolver la siguiente ecuación Diferencial Respecto ala variable x

𝑥=𝑑𝑦𝑑𝑥 +𝑠𝑖𝑛(𝑑𝑦𝑑𝑥 ) Reemplazando

𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑝

𝑥=𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 Por tanto tiene la siguiente forma 𝑥= 𝑓 (𝑦 ,𝑝 )

Derivando respecto a la variable Y𝑑𝑥𝑑 𝑦=(1+𝑐𝑜𝑠𝑝)

𝑑𝑝𝑑𝑦 Modificando el primer miembro de la Ec.

1𝑝=(1+𝑐𝑜𝑠𝑝)

𝑑𝑝𝑑𝑦 Separando Variables

𝑑𝑦=𝑝 (1+𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝 Integrando ∫𝑑𝑦=∫𝑝 (1+𝑐𝑜𝑠𝑝 )𝑑𝑝+𝐶𝑦=𝑝 (𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝 )− 𝑝

2

2+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶 𝑦=

𝑝22

+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶Por tanto la S. G. 𝑥=𝑝+𝑠𝑖𝑛𝑝

𝑦=𝑝22

+𝑝𝑠𝑖𝑛𝑝+𝑐𝑜𝑠𝑝+𝐶En su forma paramétrica Es: