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5/11/2018 Respuesta a exitación sísmica - slidepdf.com
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1
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
RESPUESTA A COMPONENTES ORTOGONALES DE EXCITACION SISMICA Y ANÁLISIS DE
LAS REGLAS DE COMBINACIÓN PORCENTUAL
Ernesto Heredia Zavoni1 y Raquel Machicao Barrionuevo2
RESUMEN
Se examinan los efectos de componentes ortogonales horizontales de excitación sísmica en la respuesta lineal
de sistemas torsionalmente rígidos y torsionalmente flexibles, cimentados en suelos blando y firme. Se utiliza
un modelo estructural de un nivel sometido a componentes principales de aceleración sísmica. Los modelos
de densidad espectral de la excitación se basan en datos registrados para sismos Mexicanos. Se evalúan las
reglas de combinación porcentual comúnmente especificadas en los códigos de diseño sísmico en función de
los resultados de los análisis dinámicos. Tales reglas de combinación pueden producir respuestas muy
conservadoras o subestimarlas, particularmente para sistemas torsionalmente flexibles. Dada la magnitud
relativa de la respuesta a cada componente de excitación del terreno, se encontró que usar valores diferentes
en el porcentaje de las reglas de combinación no tiene un efecto significativo para mejorar la estimación de la
respuesta total.
ABSTRACT
The effects of horizontal components of ground motion on the linear response of torsionally stiff and
torsionally flexible systems, on soft and firm soil conditions, are examined. A one storey structural model is
used subjected to uncorrelated ground acceleration components along their principal directions. Spectral
densities for ground acceleration are modeled based on recorded data from Mexican earthquakes. The
percentage combination rules usually specified in seismic design codes are assessed against the dynamic
response. Such combination rules can result in overly conservative design forces or underestimated design
forces, particularly for torsionally flexible structures. Given the relative magnitude of the response to each
ground motion component, it was found that using different percentage values in the combination rules has no
significant effect for improving the estimation of the total response.
INTRODUCCIÓN
Los edificios se encuentran sometidos a la acción simultánea de componentes múltiples de excitación sísmica.
En el diseño sísmico, se acostumbra analizar los efectos de los componentes traslacionales
independientemente y luego combinarlos para obtener las demandas de diseño. Los códigos de diseño
especifican generalmente unas reglas de combinación porcentual para calcular los efectos de los componentes
ortogonales de excitación del terreno. Sean R X y RY las respuestas de interés debido a excitaciones del terreno
de la misma intensidad actuando a lo largo de los ejes estructurales X y Y , respectivamente. La regla de
combinación porcentual establece que la respuesta de diseño debe tomarse como la mayor de las siguientes
dos combinaciones: R X +RY o R X + RY . Las reglas más comunes son la del 30% ( =0.3) y la del 40%
( =0.4). La regla del 30% fue desarrollada por Rosenblueth y Contreras (1977) y es considerada en varios
códigos, véase e.g. ICBO (1997) y DDF (1996). La regla del 40% fue propuesta por Newmark (1975) ytambién está incluida en varios códigos, véase e.g. ASCE (1986). La validez de tales reglas de combinación
para estimar la respuesta obtenida bajo la acción simultánea de dos componentes ortogonales, considerando el
1Programa de Investigación y Desarrollo Tecnológico en Aguas Profundas, Instituto Mexicano del
Petróleo, Eje Central 152, Col. San Bartola Atepehuacan, 07730, México DF, [email protected]
2Alonso García Hnos. y Asociados, S.C. Carretera México Toluca 1725-C5, Col. Lomas de Palo Alto,
México, D.F, 05110, [email protected]
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acoplamiento de los grados de libertad de la respuesta de la estructura, es todavía un tema de estudio y
análisis.
Una regla de combinación modal, denominada CQC3, para sistemas lineales que tienen en cuenta la
correlación entre las respuestas modales y los componentes horizontales de excitación del terreno fue
propuesta por Menun y Der Kiureghian (1998), basados en el trabajo de Smeby y Der Kiureghian (1985). En
dicho trabajo, se especifican componentes horizontales de excitación del terreno a lo largo de sus direcciones
principales en términos de espectros de respuesta. Según Penzien y Watabe (1975) existe un conjunto de
direcciones principales para las que puede considerarse que los componentes de excitación del terreno no
tienen correlación. Especificar componentes de excitación (o formas espectrales) a lo largo de cualquier otro
conjunto de ejes estructurales ortogonales puede llevar a un modelado poco realista de la correlación entre los
componentes. El efecto de la correlación entre los componentes de excitación del terreno en la respuesta de la
estructura lineal es relativamente pequeña cuando la intensidad media cuadrática de los componentes de
excitación es similar entre sí, o cuando la relación de formas espectrales es cercana a uno. La regla de la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS) es un caso particular de la regla CQC3. Esta regla produce
resultados exactos cuando los ejes estructurales y las direcciones principales de la excitación del terreno se
alinean, y su uso es apropiado para combinar respuestas cuando los componentes horizontales son de
intensidades semejantes.
La regla CQC3, formulada por Menun y Der Kiureghian, está basada en suponer que el movimiento delterreno en cada dirección principal es un proceso de banda ancha. También supone que ambos componentes
tienen las mismas formas espectrales. La regla CQC3 ha sido usada para evaluar la capacidad de las reglas
SRSS y las de combinación porcentual, tales como las de 30% y 40%, para predecir una respuesta crítica, es
decir, la respuesta más grande sobre todos los posibles ángulos de incidencia sísmicos (López et al. (2001)).
En este artículo, se examina los efectos de componentes horizontales de excitación sísmica para sistemas
torsionalmente flexibles y torsionalmente rígidos en suelos firme y suelos con un periodo característico de
2seg. Las excitaciones se modelan mediante funciones de densidad espectral estimadas para cada componente
principal de movimiento del terreno basado en registros de dos sismos de gran intensidad en la Ciudad de
México. Se analiza la respuesta dinámica de un sistema lineal, de un nivel, asimétrico bidireccional sujeto a
los componentes principales de movimiento del terreno. Se estudia los efectos de componentes horizontales
de excitación en la respuesta en términos de fuerzas cortantes en elementos estructurales. Se utiliza la
respuesta dinámica debida a ambos componentes de excitación para evaluar las reglas de combinación
porcentual.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Consideremos el sistema estructural asimétrico lineal mostrado en la Figura 1 que consiste en una losa rígida
apoyada sobre elementos de resistencia lateral. Supongamos que el sistema está sujeto a un par de
componentes ortogonales de excitación sísmica a lo largo de los ejes estructurales. Sea { X }T ={x1 , x2 , x3 } el
vector de desplazamiento de respuesta a lo largo de los tres grados de libertad del sistema y { F }T =-
m{ y x uu , ,0} el vector de fuerzas equivalentes debido a los movimientos del terreno, donde x1 , x2 son los
desplazamientos laterales del sistema a lo largo de los ejes X y Y , respectivamente, x3 es la rotación de la losa,
m es la masa del sistema y yu xu , son las aceleraciones del terreno horizontales a lo largo de los ejes X y Y ,
respectivamente.
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b(t)
a
e y
e x
CR
CM
Figura 1. Sistema estructural
En forma matricial las ecuaciones de movimiento se escriben de la siguiente manera,
0
u
u
X
12r +1aΩaα λr aα-
aα10
λr aα-0 λ1
ω X
12r +1a00
010
001
y
x
222
x y
x
y
2
y
22
(1)
donde, y es la relación de frecuencias desacopladas de rotación y traslación en la dirección Y ,
x y k k es la relación de rigideces laterales en las direcciones Y y X , abr es la relación de aspecto, y
ar e ,ae y y x x son las excentricidades nominales normalizadas. De la solución de vibración libre
se obtiene las frecuencias modales, i, y las formas modales correspondientes,
}ar
,
r ,1{
y
2
x
2
i
2
x
2
i
2
x
2
i
2
x
y
x
i , y 0. En el caso en que la rigidez lateral en ambas
direcciones sea la misma, = 1, se puede demostrar que la segunda frecuencia modal es igual a la frecuencia
de traslación desacoplada, 2 = x, y
0 ,r ,1 x
y
2 . Sea Z el vector de coordenadas generalizadas
y la matriz modal, Z X . Las ecuaciones de movimiento desacopladas para las coordenadas
generalizadas son
ii2iiiii f z z2 z i = 1, 2, 3 (2)
donde,
i yi2 x1iim)t (u)t (u f
(3)
El coeficiente de amortiguamiento modal i ha sido incorporado en la ecuación 2; en la ecuación 3, im es la i-
ésima masa modal generalizada y 1i, 2i son los componentes del vector modal, i , correspondiente al i-
ésimo modo. Supongamos ahora que se modelan los componentes horizontales de excitación sísmica del
terreno como procesos aleatorios, estacionarios y con media cero. La función de correlación cruzada entre la
respuesta modal zi (t) y z j (t) es igual a
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122 j1i2 j1i jiij d d )-(t f )t ( f E )(h)(h(t) z)t ( z E )( R (4)
donde, hi (t) es una función de respuesta de impulso unitario.
Existe un conjunto de direcciones principales para las cuales los componentes de movimiento del terreno
están no correlacionados (Penzien y Watabe (1975)). Sean y x u ,u los componentes principales de aceleración
del terreno, de manera que los ejes estructurales coinciden con los ejes principales de excitación del terreno;
dado que no existe ninguna correlación entre los componentes principales de aceleración del terreno, la
función de correlación cruzada entre fi (t) y fj (t) se da por,
))-( R)-( R(mm
1)t ( f )t ( f E 21 yy2ji221 xx1ji1
ji
2 j1i
(5)
En la ecuación 5 R xx( ) y R yy( ) son las funciones de autocorrelación para los componentes de aceleración del
terreno en las direcciones principales. Expresando R xx( ) y R yy( ) en términos de las funciones de densidad
espectral de los componentes de aceleración del terreno en ambas direcciones, S xx( ), S yy( ), y sustituyendo
dicha ecuación en la ecuación 4, se encuentra la siguiente expresión para la función de correlación cruzada
entre las respuestas modales,
d )e( H )( H ))(S)(S(mm
1)( R i*
ji yy2j2i xx1j1i
ji
ij
(6)
donde el asterisco del exponente indica el conjugado complejo y son las funciones de
transferencia modales
)i2(1)( H d e)(h ii22
ii1-i
1i1 (7)
Sea2 la relación de las varianzas de los componentes principales de aceleración del terreno,
2 xx
22 yy . La relación
2 es mayor (o menor) que 1.0 si el componente de aceleración del terreno,
yu , es el componente principal mayor (o menor). Las densidades espectrales en la ecuación 6 pueden
normalizarse de la siguiente manera,
2 xx
xx xx
)(S)(s
,
2 xx
2
yy yy
)(S)(s
(8)
Reemplazando la ecuación 8 en la ecuación 6,
)d e )( H )( H Re)(s
d e )( H )( H Re)(s(mm
1
)( R
i* ji yy
22j2i
i*
ji xx1j1i
2
xx ji
ij
(9)
Las respuestas de desplazamientos y rotación del sistema pueden escribirse como sigue,
3
1iikik 1,2,3k ; (t) z)t ( x (10)
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Entonces, la función de correlación cruzada entre las respuestas del sistema está dada por
3
1i
3
1 jijmjki x xk m )( R)( R(t) x)t ( x E
mk
(11)
Consideremos ahora la respuesta estructural a lo largo del borde rígido del sistema. Sea k y la rigidez lateral del
eje estructural en el borde rígido del sistema. El desplazamiento relativo del eje es
2 xa 3 (12)
y su varianza está dada por
3232
2 x , xcova4 xvar a xvar var (13)
Usando la ecuación 11, se deduce de la ecuación 13 que
3
1i
3
1 j ji j3i2 j3i3
2
j2i2 )0( R }a4
a{var
(14)
La fuerza cortante en el eje es igual a k V y con una desviación estándar dada por k yV , donde
var . La fuerza cortante máxima esperada, max]V [ E V T , puede calcularse como la media
multiplicada por un factor pico KT,
V T K max]V [ E
T V (15)
donde, s)s) (2ln20.5772/ (2ln2K T y y s son la tasa de cruces por cero y la duración de la
ventana de la respuesta, respectivamente. Como los ejes estructurales están alineados con los ejes principales
de excitación del terreno, entonces las ecuaciones 9 y 14 representan la base para derivar la regla de
combinación SRSS. Asumiendo que el factor pico para la respuesta V T es el mismo que el factor pico para
cada componente de aceleración del terreno, entonces reemplazando las ecuaciones 9 y 14 en la ecuación 15
se obtiene la regla de combinación SRSS para V T .
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Para modelar las funciones de densidad espectral se analizó registros de aceleración del terreno para ambos
componentes horizontales de los sismos de México del 25 de abril de 1989 y del 9 de octubre de 1995. Se usó
registros de estaciones en suelo firme de la Ciudad de México y de estaciones en suelo con período dominante
cercano a 2 segundos, que denominaremos en este trabajo como “suelo blando”. Las características de los
sismos considerados, así como el número de estaciones para ambos tipos de suelo se muestran en la Tabla 1.Los registros se descompusieron en sus componentes principales de manera que ambos componentes fueran
no correlacionados (Penzien y Watabe (1975)). Las funciones de densidad espectral se estimaron entonces
para las direcciones principales.
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Tabla 1. Características de los sismos y número de estaciones registradas
Fecha Magnitud(Ms)
Longitud Latitud Profundidad(Km)
EstacionesSuelo T=2seg
EstacionesSuelo Firme
25 abril 1989 6.9 99.40 16.60 19 7 9
9 octubre 1995 7.3 104.67 18.74 20 7 9
La Figura 2 muestra el promedio de las densidades espectrales para las aceleraciones a lo largo de los
componentes principales mayores y menores para los dos eventos y las dos condiciones del terreno. Para
modelar el movimiento del terreno se seleccionó las funciones de densidad espectral correspondientes al
sismo del 9 de octubre de 1995.
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00f
Srr
25 abr 89
09 oct 95
1
2
1
2
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00f
Stt
25 abr 89
09 oct 95
1
2
1
2
a. Componente principal mayor; suelo blando b. Componente principal menor; suelo blando
0.00
0.50
1.00
1.50
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00f
Srr
25 abr 8909 oct 95
1
2
1
2
0.00
0.50
1.00
1.50
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00f
Stt
25 abr 89
09 oct 95
1
2
1
2
c. Componente principal mayor; suelo firme d. Componente principal menor; suelo firme
Figura 2. Funciones de densidad espectral normalizadas en direcciones principales
Se analizó sistemas estructurales como el mostrado en la Figura 1 con una relación de frecuencias 0.7,
0.9, 1.2, 1.4 y una relación de aspecto r = 0.5, 1.0. Las excentricidades nominales se tomaron iguales a 5%,
12% y 17% y se consideró un coeficiente de amortiguamiento crítico del 5% para todos los modos. El
componente principal menor de aceleración del terreno actuó a lo largo del eje Y , mientras que el componente
principal mayor actuó a lo largo del eje X . Para las excitaciones sísmicas consideradas la relación promedio de
la varianza de la aceleración del terreno a lo largo de los componentes principales menores y mayores es
78.0 / xx yy para suelo blando y 85.0 / xx yy para suelo firme.
Se calculó la fuerza cortante máxima esperada, V T , en el borde rígido del sistema a lo largo del eje Y debido a
la acción de ambos componentes principales de aceleración del terreno; y la fuerza cortante máxima esperada,
V Y , debido únicamente a la acción del componente principal en la dirección Y . Suponiendo que la relación
entre los correspondientes factores pico K T / K Y 1.0, la relación de las desviaciones estándar
correspondientes,Y T V V , puede interpretarse como la relación de los valores medios de las fuerzas
cortantes máximas. Las figuras presentadas a continuación muestran V T / V Y en el eje vertical versus el período
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de traslación desacoplado en la dirección de Y , T Y en el eje horizontal. En la dirección X se consideraron
cuatro valores para el período desacoplado del sistema; en la dirección Y , el período natural desacoplado se
varió considerando que la relación entre la rigidez lateral en ambas direcciones del sistema no es mayor que
cinco.
1.00
1.35
1.70
2.05
2.40
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 0.71
2
3
4
1.00
1.25
1.50
1.75
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 1.2
1
2
3
4
a. Sistemas torsionalmente flexibles; suelo firme b. Sistemas torsionalmente rígidos; suelo firme
1.00
1.55
2.10
2.65
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
Tx = 0.5 s
Tx = 1.05 s
Tx = 2.09 s
Tx = 3.14 s
= 0.71
2
3
4
1
2
3
4
1.00
1.45
1.90
2.35
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 1.2
1 2
3
4
c. Sistemas torsionalmente flexibles; suelo blando d. Sistemas torsionalmente rígidos; suelo blando Figura 3. Efectos de la rigidez torsional en la respuesta
Las Figuras 3(a) y 3(b) muestran la variación de la respuesta con los períodos desacoplados para las
estructuras en suelo firme considerando una excentricidad nominal del 5% y una relación de aspecto r = 0.5.
El efecto de los componentes ortogonales es notoriamente distinto para sistemas torsionalmente flexibles y
torsionalmente rígidos. Para los sistemas torsionalmente flexibles la importancia del componente ortogonal es
mayor cuando el sistema es más rígido en traslación (Figura 3(a)). A medida que los períodos de traslación
del sistema en ambas direcciones son menores, el efecto de los componentes perpendiculares es mayor. El
incremento de máximo de respuesta debido a los componentes ortogonales varía entre 40% y 230%. Si T Y
T X el sistema es mucho más flexible en la dirección Y y la contribución del componente principal mayor de
excitación del terreno ( xu ) tiene un efecto pequeño en la respuesta de interés. Para los sistemas
torsionalmente rígidos el efecto de los componentes ortogonales es mayor para los sistemas con período de
traslación largos en ambas direcciones, i.e. para los sistemas flexibles en traslación (Figura 3(b)). Los
incrementos máximos de respuesta debidos a los componentes ortogonales varían entre 25% y 70%. Si T Y
T X la respuesta no es sensible a los efectos de bidireccionalidad debido a que el sistema es mucho más flexibleen la dirección X y por lo tanto la contribución del componente principal mayor de movimiento del terreno
( xu ) a la respuesta de interés a lo largo de la dirección Y es pequeña.
Las Figuras 3(c) y (d) muestran la variación de la respuesta con los períodos desacoplados para estructuras en
suelo blando. Para estructuras torsionalmente flexibles el efecto de bidireccionalidad no es importante para
sistemas con períodos largos en ambas direcciones, i.e. sistemas que son más flexibles en traslación ( T X =3s).
Por otro lado, para sistemas torsionalmente rígidos el efecto de los componentes ortogonales es despreciable
para sistemas con período natural corto (T X =0.5s), i.e. sistemas rígidos en traslación. Los incrementos pico de
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respuesta pueden ser del orden de 210% y 245% para sistemas torsionalmente rígidos y torsionalmente
flexibles, respectivamente. La sensibilidad de la respuesta a diferentes condiciones de terreno se puede
analizar también en la Figura 3. Para sistemas torsionalmente rígidos en suelos blandos el efecto de la
bidireccionalidad es despreciable para T X =0.5s; sin embargo, en suelo firme el incremento pico de la
respuesta debido a la combinación de los componentes ortogonales es del 25%. Para T X =1s la respuesta pico
se incrementa de 1.1 veces para suelo blando a 1.6 para suelo firme. En el caso de sistemas torsionalmente
flexibles, la respuesta pico aumenta de 2.05 a 2.45 (T X =1s) y de 1.9 a 2.3 (T X =2s) cuando el sistema está
cimentado en suelo blando en lugar de en suelo firme.
La Figura 4 muestra resultados para sistemas torsionalmente rígidos con excentricidades nominales en la
dirección Y, Y =5%, 12%, 17 %, relación del aspecto r = 0.5, X =17 %, y período T X =1s. Los efectos de
bidireccionalidad en la respuesta son sensibles al grado de asimetría del sistema y, en general, aumentan con
la excentricidad nominal. Por ejemplo, la respuesta pico aumentó de 1.5 a 2.2 ( =1.2) y de 1.5 a 2.40
( =1.4) cuando la excentricidad nominal aumentó de 5% a 17% para los sistemas en suelo firme. Para
excentricidades pequeñas (5%), cuando T Y T X la respuesta no es sensible a los efectos de los componentes
ortogonales ya que el sistema es mucho más flexible en la dirección X como se explicó anteriormente. La
Figura 4 muestra que para niveles mayores de asimetría, independientemente de que T Y T X , la
excentricidad es bastante grande para que la contribución del componente principal mayor de excitación del
terreno ( xu ) no sea despreciable. Consideremos por ejemplo un período T Y =0.5s y =1.2: la respuesta
aumenta de 1.1 a 2 (suelo firme) y de 1.04 a 1.4 (suelo blando) cuando la excentricidad nominal aumenta de5% a 17%. Se obtuvieron resultados similares para diferentes valores del período desacoplado en la dirección
X .
1.00
1.45
1.90
2.35
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 1.2
1
2
3
1
2
3
1.00
1.50
2.00
2.50
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 1.4
12
3
a. suelo firme b. suelo firme
1.00
1.20
1.40
1.60
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 1.2
1
2
3
1.00
1.15
1.30
1.45
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 1.4
12
3
c. suelo blando d. suelo blando
Figura 4. Respuesta de sistemas torsionalmente rígidos para varios niveles de asimetría
La Figura 5 muestra resultados para el caso de estructuras torsionalmente flexibles con excentricidades
nominales en la dirección Y, Y =5%, 12%, 17 %, relación del aspecto r = 0.5, X =17%, y período T X =1s. Los
efectos de bidireccionalidad en la respuesta también son sensibles al grado de asimetría del sistema y, en
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general, aumentan con la excentricidad nominal. Estos sistemas presentan un incremento de respuesta
máximo para el caso de estructuras con =0.9 cimentados en suelo blando.
Se calculó la fuerza cortante máxima esperada en el borde rígido a lo largo del eje Y del modelo mostrado en
la Figura 1 usando reglas de combinación porcentual y se comparó con la fuerza cortante obtenida del análisis
dinámico del modelo sujeto a ambos componentes horizontales de excitación del terreno. Sea V CR la fuerza
cortante máxima esperada en el borde rígido a lo largo de Y cuando la regla de combinación del -por cientose aplica: V CR= max( U Y + U X , U Y +U X ), donde U X y U Y denotan la fuerza cortante de interés debido a la
misma excitación del terreno que actúa a lo largo de cada eje estructural X y Y , respectivamente. Para calcular
U Y y U X , se usó la densidad espectral del componente principal mayor de aceleración del terreno para ambos
ejes estructurales.
1.00
1.45
1.90
2.35
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 0.71
2
3
1
2
3
1.00
1.60
2.20
2.80
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 0.9
1
2
3
a. suelo firme b. suelo firm e
1.00
1.25
1.50
1.75
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
= 0.7
1
2
3
1.00
2.00
3.00
4.00
0.1 1.0 10.0Ty
VT / VY
1
2
3 = 0.9
c. suelo blando . suelo blando
Figura 5. Respuesta de sistemas torsionalmente flexibles para varios niveles de asimetría
Primero, se analizan los resultados para la regla de combinación del 30%. La Figura 6 muestra la relación de
la fuerza cortante obtenida con la regla del 30%, V CR, y la obtenida del análisis dinámico que considera la
combinación de ambos componentes horizontales de movimiento del terreno, V T , para un sistema
torsionalmente flexible con =0.7 y r=0.5. Para los sistemas con un bajo nivel de asimetría ( = 0.05) en
suelo blando, la relación de respuestas es en general mayor que uno. Sin embargo, hay sistemas para los que
la respuesta dinámica puede ser mayor que la calculada según la regla del 30%, como T X =2s y T Y <1.3s. Para
los sistemas con período corto, digamos T X y T Y menores que 0.5s, la regla del 30% presenta respuestas que
son aproximadamente 3 veces la respuesta dinámica. En suelo firme, la respuesta con la regla del 30% esmayor que uno para todos los períodos considerados. Así, la regla de combinación del 30% presenta
respuestas conservadoras que son, a lo sumo, del orden de 2 veces la respuesta dinámica.
La Figura 6 muestra que para sistemas torsionalmente flexibles con un mayor nivel de asimetría ( = 0.17 ) en
suelo blando, la respuesta con la regla del 30% es mayor que la respuesta dinámica para los sistemas con
período T Y >1.5s. Para otros períodos se encontró que la respuesta dinámica es subestimada por la regla del
30%; en los casos menos desfavorables la respuesta de la regla de combinación del 30% es aproximadamente
20% de la respuesta dinámica. En suelo firme, la respuesta con la regla del 30% es mayor que la respuesta
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dinámica para los sistemas con período T Y mayores que 1s. Para sistemas con períodos cortos (T X =0.5s) la
respuesta de la regla de combinación es 40% a 90% la respuesta dinámica. Por otro lado, para ciertos sistemas
con período largo, la respuesta con la regla del 30% puede ser considerablemente más alta que la respuesta
dinámica. Por ejemplo, para los sistemas con T Y >3s, la respuesta con la regla del 30% puede ser hasta de 3 a 4
veces la respuesta dinámica.
0.00
0.70
1.40
2.10
2.80
3.50
0.1 1 10Ty
VCR / VT
x = 5%
y = 5%
1
2
3 4
0.00
0.70
1.40
2.10
2.80
3.50
0.1 1 10Ty
VCR / VT
Tx = 0.5 s
Tx = 1.05 s
Tx = 2.09
Tx = 3.14 s
x = 17%
y = 17%
1
2
3
4
1
2
3 4
a. Suelo blando b. Suelo blando
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
x = 5%y = 5%
1 2 34
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
x = 17%y = 17%
1
2
3
4
c. Suelo firme d. Suelo firme
Figura 6. Validez de la regla de combinación del 30%; sistemas torsionalmente flexibles
La Figura 7 muestra la relación V CR /V T para sistemas torsionalmente rígidos con =1.2 y r=0.5. En
condiciones de suelo firme, la respuesta de la regla del 30% es siempre mayor que la respuesta dinámica
obteniéndose resultados conservadores. La respuesta de la regla del 30% es más de dos veces la respuesta
dinámica para casi todos los períodos considerados cuando = 0.05. Para un nivel de asimetría mayor ( =
0.17), el procedimiento de la regla de combinación puede ser aun más conservador; obteniéndose fuerzas
cortantes 3 a 4 veces mayores que en el análisis dinámico para los intervalos de T Y . La respuesta de la regla de
combinación es en general por lo menos dos veces la respuesta dinámica. En el caso de suelo blando, se
encontró que las respuestas pueden ser muy variables para = 0.17 . Por ejemplo, para T X =3s, la respuesta de
la regla del 30% puede ser más de 4 veces la respuesta dinámica para T Y < 2s, mientras que para T Y >4s es
menos de la mitad. Por otro lado, para los otros valores de T X se observó que el procedimiento de
combinación del 30% produce respuestas que son 1.5 a 3.5 veces las del análisis dinámico para los períodos
T Y <2s. Finalmente, cabe señalarse que en prácticamente todos los casos estudiados se encontró que V CR=
max( U Y + U X , U Y +U X )= U Y + U X .
Otras reglas de combinación porcentual también se compararon contra la respuesta dinámica. Se usó la regladel 40% para la comparación. Para examinar la variación en el cálculo de la respuesta con el valor del
porcentaje usado para la combinación también fue considerada una regla del 10%. Las Figuras 8 y 9 muestran
resultados para las reglas de combinación del 10% y 40% para sistemas torsionalmente flexibles y rígidos en
condiciones de suelo firme y blando, =5% y r=0.5. Como se observa, utilizar diferentes porcentajes en las
reglas de combinación no mejora la estimación de la respuesta dinámica significativamente. Cuando la
contribución del componente ortogonal, U X , es pequeño comparado con el componente de la respuesta U Y , el
peso usado en la regla de combinación porcentual, ya sea 10%, 30% o 40%, no tiene una influencia
significativa en los resultados.
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0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
Tx = 0.5 s
Tx = 1.05 s
Tx = 2.09
Tx = 3.14 s
x = 5%
y = 5%
1
2
3
1 2
3
4
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
x = 17%
= 17%
1
2
3
4
a. Suelo blando b. Suelo blando
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
x = 5%
y = 5%
12
3
4
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
1
2
3
4x = 17%y = 17%
c. Suelo firme d. Suelo firme
Figura 7. Validez de la regla de combinación del 30%; sistemas torsionalmente rígidos
0.00
0.70
1.402.10
2.80
3.50
0.1 1 10Ty
VCR / VT
Tx = 0.5 s
Tx = 1.0 s
Tx = 2.0 s
Tx = 3.0 s
= 0.7
1
2
3
4
1
2
3
4
0.00
0.70
1.402.10
2.80
3.50
0.1 1 10Ty
VCR / VT
= 0.7
1
23 4
a. 10 % b. 40 %
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
= 1.2
1
2
3
4
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
= 1.2
1
2
34
c. 10 % d. 40 %
Figura 8. Comparación de resultados usando las reglas de combinación del 10% y 40%; suelo blando
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0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
= 0.7
1 2 3 4
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
Tx = 0.5 s
Tx = 1.0 s
Tx = 2.0 s
Tx = 3.0 s
= 0.71
2
3
4
1 2 34
a. 10 % b. 40 %
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
= 1.2
1 23
4
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0.1 1 10Ty
VCR / VT
= 1.2
1 2
3
4
c. 10 % d. 40 %
Figura 9. Comparación de resultados usando las reglas de combinación del 10% y 40%; suelo firme
La Figura 10 muestra la relación U X /U Y para sistemas torsionalmente flexibles y torsionalmente rígidos en
condiciones de suelo blando y firme. Se puede ver que el componente de respuesta ortogonal en la regla de
combinación, U X , es muy pequeño comparado con el componente de respuesta U Y , y así el porcentaje usado
tiene una influencia muy pequeña en la estimación de la respuesta dinámica. Puede mostrarse fácilmente que
para obtener diferencias mayores que 5% en la respuesta calculada con las reglas del 40% y 30%, la relación
U X /U Y debe ser mayor que 0.62; y mayor que 0.27 al usar las reglas del 30% y 10%. La Figura 10 muestra que
la contribución del componente ortogonal nunca es suficientemente grande como para obtener respuestas quedifieran en más de un 5% usando diferentes porcentajes en la regla de combinación.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.5 1 1.5 2 2.5 3Ty
Ux / Uy
torsionally flexible, soft soil, Tx = 1.0 s
torsionally stiff; firm soil, Tx=1.0 s
torsionally flexible, soft soil, Tx=3.0 s
torsionally stiff, firm soil, Tx=3.0 s
1
2
3
4
1
2
3
4
Figura 10. Relación UX/UY for sistemas torsionalmente flexibles y rígidos
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CONCLUSIONES
Se evaluó un sistema estructural lineal, de un nivel, asimétrico para examinar el efecto de la combinación de
los componentes ortogonales de excitación sísmica. El sistema fue sometido a la acción de los componentes
principales de movimiento del terreno actuando a lo largo de los ejes estructurales. La función de densidad
espectral de aceleración del terreno se modeló basándose en registros obtenidos en la ciudad de México. Las
conclusiones principales de este trabajo son las siguientes:
1. El efecto de los componentes ortogonales en la respuesta estructural varía con el período de
traslación natural dependiendo si el sistema es torsionalmente flexible o torsionalmente rígido. Para
sistemas torsionalmente flexibles en suelo firme, la importancia de la bidireccionalidad es mayor
cuando el sistema es rígido en traslación; para sistemas torsionalmente rígidos, el efecto de los
componentes ortogonales es mayor para sistemas con periodos de traslación largos.
2. Sistemas con un nivel de asimetría baja (5% de excentricidad nominal) presentan incrementos
máximos de respuesta debido a la combinación de componentes ortogonales de aproximadamente
245% para sistemas torsionalmente flexibles y 210% para sistemas torsionalmente rígidos en suelo
blando. En el caso de suelo firme, los incrementos máximos de respuesta son aproximadamente
230% para sistemas torsionalmente flexibles y 70% para sistemas torsionalmente rígidos. El
incremento de respuesta debido a los componentes ortogonales puede ser mayor para nivelesmayores de asimetría.
3. El efecto de bidireccionalidad es sensible a las condiciones de suelo. Para ambos sistemas
torsionalmente flexibles y rígidos, el incremento de respuesta debido a los componentes ortogonales
puede ser mayor en suelo firme que en suelo blando, o viceversa, dependiendo del período natural
del sistema.
4. Las reglas de combinación porcentual pueden producir fuerzas de diseño que son menores que las
fuerzas dinámicas debido a los componentes ortogonales de excitación del terreno. Por otro lado,
estas reglas pueden producir también fuerzas de diseño demasiado conservadoras. Aunque las reglas
de combinación son relativamente fáciles de aplicar en la práctica del profesional, no consideran que
los efectos de los componentes ortogonales de excitación del terreno en la respuesta dependan
significativamente de las propiedades estructurales y de las condiciones del suelo.
5. No existe una diferencia significativa en el cálculo de la respuesta dinámica al usar reglas de
combinación con un porcentaje diferente. Una comparación de las ampliamente conocidas reglas del30% y 40%, pero también de una regla del 10%, muestra que, debido a la magnitud relativa de las
respuestas en cada componente de excitación del terreno, la diferencia en las respuestas calculadas
con dichas reglas de combinación porcentual es menor al 5%.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, CONACYT, por proporcionar fondos
para esta investigación bajo el proyecto 27521U.
REFERENCIAS
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