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Respuesta en frecuencia
México D.F. a 23 de Octubre de 2006
Departamento de Control, División de Ingeniería EléctricaFacultad de Ingeniería UNAM
La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y desempeño de los sistemas dinámicos, es a través del dominio del tiempo.
Respuesta en frecuencia
Motivación:
Ejemplos de esto es cuando se dice que un sistema responde más rápido que otro, o cuando se dice que el tiempo de establecimiento de tal sistema es de 0.25 segundos. Entre otros ejemplos.
Sin embargo a medida que los sistemas se presentan más complejos (en dimensión, parametrización, identificación, etc), sus comportamientos son más difíciles de determinar analíticamente.
Una forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar tales sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia
Respuesta en frecuencia
Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control, proveen un conjunto de análisis y herramientas gráficas que no están limitadas por el orden del sistema o por otras complejidades.
El análisis de respuesta en frecuencia:
• Se puede utilizar en funciones con alto grado de incertidumbre.
• Se puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones racionales.
• Las pruebas de respuesta en frecuencia son fáciles de realizar.
• Se pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas.
• Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales.
• Casi siempre existe una correlación entre la respuesta en frecuencia y la respuesta transitoria en el tiempo.
Respuesta en frecuencia
La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia , su salida seguirá siendo senoidal de la misma frecuencia pero probablemente con otra magnitud C y fase
00
Entrada Salida
SistematsenRtr 0)( )()( 0 tsenCtc
t
tsenRtr 0)( )()( 0 tsenCtc
Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.
Respuesta en frecuencia
La transformada de Laplace de la salida del sistema de la figura 1 es:
)()()( sRsGsC como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por j
)()()( jRjGjC
donde cada componente tiene magnitud y fase, ejemplo
)()()( jCjCjC
La relación de la salida entre la entrada en el régimen senoidal permanente se llama función de transferencia senoidal:
)( jC )( jR
)()(
)(
jRjC
jG
Respuesta en frecuenciaGráficas polaresEs una representación de la magnitud y ángulo de fase de en coordenadas polares al variar el valor de de cero a infinito.
)( jG
La función de transferencia senoidal puede ser vista:
• En su representación de magnitud y fase:
)()()( jGjGjG • En expresarse en términos de sus parte real e imaginaria.
)(Im)(Re)( jGjGjG
Re
Im )(Re jG
)( jG)( jG
0
)( jG )(Im jG
Figura 2. Gráfica polar de .)( jG
Respuesta en frecuencia
575
)(
s
sGEjemplos de gráficas polares:Obtener la gráfica polar de
Solución. Como primer paso se cambia a variable compleja s por j
jjjG
575
575
)(
El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para facilitar el cálculo). Para esto se multiplica y divide por el complejo conjugado del denominador de )( jG
225
7537555
575
)(
j
jj
jjG y se tiene
22 25
75
25
375)(Im)(Re)(
jjGjGjG
para plasmar este resultado en la gráfica polar, es necesario evaluar )( jG
Respuesta en frecuencia
en diferentes frecuencias desde hasta . Se evaluarán solo para algunas de las frecuencias.
0
0Si entonces:
15)0(25
)0(75
)0(25
375)0(Im)0(Re)0(
22
jjGjGjG
Si
00)(25
)(75
)(25
375)(Im)(Re)(
22jjjGjGjG
Si 5
5.75.7)5(25
)5(75
)5(25
375)5(Im)5(Re)5(
22jjjGjGjG
88675.2Si
49519.625.11)88675.2(25
)88675.2(75
)88675.2(25
375)88675.2(
22jjjG
Respuesta en frecuencia
Si 66025.8
49519.675.3)66025.8(25
)66025.8(75
)66025.8(25
375)66025.8(
22jjjG
Dependiendo de la experiencia y de lo complicado de la gráfica polar, se necesitarán más o menos frecuencias a evaluar.
Re
Im
66025.8
0
588675.2
Figura 2. Gráfica polar de .
575
)(
s
sG
Podemos transformar contornos a través de funciones complejas. Abajo tenemos un ejemplo.
3-1 1 21-1
Plano Z
Plano Wy
x
v
u
En este caso, la transformación es conforme y ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.
12)( zzf
Principio del Argumento y criterio de estabilidad de Nyquist
Utilicemos otra función:
1-1
Plano Z
Plano Wy
x
v
u
3)(
z
zzf
a
b
d
c
a
b
d
c
Observa que en este caso la transformación es no conforme pero también conserva el sentido positivo.
Existe una característica muy interesante que ocurre cuando el contorno del plano Z encierra a ceros o polos la función:
1.- Si el contorno en el plano Z encierra a un cero de la función, el contorno en el plano W encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano Z.
2.- Si el contorno en el plano Z no encierra a ningún cero o polo de la función, el contorno en el plano W no encierra al origen.
1-1
Plano Z
Plano Wv
u
a
b
d
c
a
b
d
c
3.- Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la función, el contorno en el plano W encierra al origen en sentido contrario.
-3
Plano Z
Plano W
u
a
b
d
c
a
b
d
c
y
x
3)(
z
zzf
x
vy
3)(
z
zzf
4.- Si el contorno en el plano Z encierra a un cero y un polo de la función, el contorno en el plano W no encierra al origen.
-3
Plano Z
Plano Wv
u
a
b
d
c
a
b
d
c
Todos estos resultado son consecuencia del principio del argumento.
3)(
z
zzf
y
x
Sea C un contorno cerrado simple, orientado positivamente, y f(z) una función analítica dentro y sobre C, excepto posiblemente en polos interiores a C. Supongamos además que f(z) no tiene ceros sobre C. Entonces:
Principio del argumento
PNzfc )(arg2
1
Donde N es el número de ceros y P el número de polos interiores a C contando sus multiplicidades.
Respuesta en frecuencia
0)(
)()(1)(
1
1
kmk
ini
ss
ssksPsF
El criterio de Nyquist
Sea la ecuación característica
Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s) deben de estar localizados en la parte izquierda del plano s. Por tal motivo se escogen un contorno en el plano s que encierre toda la parte derecha del plano y por medio del teorema de Cauchy se determina que ceros están dentro de . Esto se logra graficando en el plano F(s) y observando el número de rodeos al origen.
ss
f
Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser relativamente más sencillo, entonces:
)(1)( sPsF )(1)()(' sPsFsF
)01( jCon este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el puntodel plano F(s)
Respuesta en frecuencia
F(s)
-1
Contorno de Nyquist.
Gráfica polar de P(s).
Plano s Plano F(s)j
u
jv
Criterio de estabilidad de Nyquist
Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno . en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s es cero.
P
Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en el contorno el número de rodeos al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario al movimiento del reloj es igual al número de polos de P(s) con partes reales positivas.
P
Ps
Respuesta en frecuencia
Estabilidad relativa y criterio de Nyquist
El criterio de estabilidad de Nyquist se define en términos del punto . en la gráfica polar. La proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa de un sistema.
)01( j
-1u
jv
d
El margen de ganancia se define como el recíproco de la ganancia . para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza 180°, es decir cuando .
El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá que multiplicar la ganancia del sistema para que el lugar geométrico pase a través del punto .
)( jGH.0v
).01( j
d1
Margen de ganancia =
Respuesta en frecuencia
Otra medida de la estabilidad relativa es el margen de fase, que se define como el ángulo de fase que se debe girar el lugar geométrico para que el punto de magnitud unitaria pase a través del punto . en el plano
)( jGH1)( jGH
)01( j ).( jGH
-1u
1)( jGH
jv
fmf
Margen de fase (mf )
Respuesta en frecuencia
Ejemplo:Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:
)5)(4()(
sssK
sG
SoluciónPara realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos:sp
Plano s j
s0
j
0
Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde la frecuencia hasta , (gráfica polar).0
Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la función por donde representa un radio de valor infinito y es una evaluación angular de 90º a -90º.
j j
je je
Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde la frecuencia hasta , (espejo de la gráfica polar).
0 jContorno s
1T
2T3T4T
Respuesta en frecuenciaTramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la función por donde representa un radio de valor muy pequeño y es una evaluación angular de -90º a 90º. El tramo se diseña para rodear a posibles ceros o polos en el origen de la función a evaluar.
0 0
je je
T1. Se cambia en la función la variable s por y se obtiene la gráfica polar j
2045)5)(4()(
)5)(4()(
223 jj
Kjjj
KjG
sssK
sG
se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador
)20(9
)20(9
)20(9)(
22
22
22
j
j
j
KjG
Respuesta en frecuencia
40041
)20(
40041
9)(
35
2
24
K
jK
jG
Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde hasta
0
0
jKK
jK
G4009
)0(400)0(41)0(
))0(20(
400)0(41)0(
9)0(
35
2
24
00)(400)(41)(
))(20(
400)(41)(
9)0(
35
2
24j
Kj
KG
Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores muy pequeños para aproximar y valores muy grande de para aproximar cuando
0 .
Respuesta en frecuenciaEntonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar.
0
como a la frecuencia el valor es final es , se tiene que la gráfica polar llega a cero por el cuadrante superior izquierdo. Como se inició en el cuadrante inferior izquierdo, existe un cruce por el eje real y su valor se obtiene al igualar a cero la parte imaginaria de la ecuación resultante:
00 j
40041
)20(0
35
2
K
j
20 2200
y esta frecuencia se evalúa en la parte real
400)20(41)20(
9)Re(
24 K
1801
)Re(K
Se obtiene otro punto para la gráfica. Con ellos se dibuja de manera aproximada la gráfica polar. (Nota: para una mejor aproximación de la gráfica, se pueden evaluar más frecuencias)
j
180K
Figura. Gráfica polar.
jv
u
Respuesta en frecuencia
T2. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde 90º a -90º
je
)5)(4()(
sssK
sG)5)(4(
)(
jjj eee
KjG
InfinitoInfinito
pequeño
pequeño
33
0))((
)( jjjjj
ee
K
eee
KjG
Plano s j
s0
j
0
Contorno s
2T
El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s).
90jeº90)º90(3 00 je
El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s).
80jeº2400
El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s).
30 jeº900
Se evalúan todos los puntos posible hasta deducir que el tramo 2 forma en el plano F(s)
Respuesta en frecuencia
tres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección antihoraria. jv
u
0radio
Plano F(s), tramo 2.
T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1) 0
j
180K
jv
u
Plano F(s), tramo 2.
T4. Se cambia en la función la variable s por y se evalúa desde -90º a 90º
je
)5)(4()(
sssK
sG)5)(4(
)(
jjjj
eee
KeG
muy muy pequeño relativ, grande
Respuesta en frecuencia
j
jjj e
e
K
e
KeG
)5)(4()(
Plano s j
s0
j
0
Contorno s
2T
El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s).
º90e º90e
El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s).
º45e º45e
P
j
0
jPlano F(s)
Contorno . Tramo 4. P
Respuesta en frecuencia
0
j
180K
Figura. Gráfica de Nyquist.
jv
u
T1
T3
T4
T2
1
Criterio de Nyquist:
Como el sistema no tiene polos inestables en lazo abierto, para que sea estable se necesita que no haya rodeos al punto -1. Entonces el rango de estabilidad es
1800 K
Respuesta en frecuencia
Diagramas de Bode
Respuesta en frecuencia
Los diagramas de bode son una representación de la magnitud y fase de una función en estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a infinito. Sea la ecuación característica
0)()(1 SHsGPor ser estado senoidal permanente, se cambia s por .
)()()( jHjGjP
Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.
)()()()( jHjGjHjG
j
Estos valores cambian mientras se varía la frecuencia . Para graficar la magnitud de , se hace uso de la norma de magnitud:
)(log20 jGMag
Por razones de sencillez se trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.
)( jG
Y el valor del ángulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar
Respuesta en frecuencia
La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una función de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente sumando las magnitudes y ángulos de fase de todos ellos.
La ventaja anterior resalta más cuando es necesario agregar otros elementos al sistema. En estos casos para obtener la nueva gráfica de Bode no es necesario recalcular todo el sistema, simplemente se suman a los elementos ya analizados.
Elementos básicos de una función de transferencia
1. Elementos de valor constante (Ganancia)2. Elementos integrales y derivativos3. Elementos de primer orden4. Elementos cuadráticos
Respuesta en frecuencia
1)( j
dbj
log201
log20
dBj log20log20
1. Elementos de valor constante (Ganancia)
KdB log20 Magnitud en decibelios
0 Ángulo de fase
2. Elementos derivativos e integrales
Derivadores
90
Integradores
90
Re
Re
Im
Impara todo rango de
para todo rango de
Respuesta en frecuenciaSi existen más de un derivador o integrador:
dbnj n
log20)(
1log20
dBnj n log20)(log20 Derivadores
n90Integradores
n 90 para todo rango de
para todo rango de
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (
dB)
100
101
90
135
180
225
270
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
100
101
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Respuesta en frecuencia3. Elementos de primer orden
dBj 221log201log20
Cero de primer orden
1tan
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0
10
20
30
40
Mag
nitu
de (
dB)
System: sysFrequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): 3.01
jjG 1)( 1
1 cortedefrecuenciac
De la figura:
c
Respuesta en frecuencia
dBj
221log201
1log20
Polo de primer orden
1tan
10-2
10-1
100
101
102
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (
dB)
System: sysFrequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): -3.01
c
jjG
11
)( 1
1 cortedefrecuenciac
De la figura:
Respuesta en frecuencia3. Elementos de segundo orden
2
2
2
22
21log2021log20
nnn
jj
Cuando no se puedan descomponer en dos elementos de primer orden, se normalizan de la siguiente forma:
2
21
1
2
tan
n
n
12
21)(
nn
jjjG
Ceros de segundo orden
nc
Respuesta en frecuencia
2
2
2
2
221log20
21
1log20
n
nn
jj
2
21
1
2
tan
n
n
Polos de segundo orden
nc
Respuesta en frecuencia
-20
0
20
40
60
80
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
0
45
90
135
180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Ceros de segundo orden
3 nc
6/1
7.0
5.0
3
99
)(2 ss
sG
993
)(2 ss
sG
992.4
)(2 ss
sG
Respuesta en frecuencia
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se (
deg)
Polos de segundo orden
3
3 nc
6/1
7.0
5.0
9
9)(
2
sssG
93
9)(
2
sssG
92.4
9)(
2
sssG
Respuesta en frecuencia
Ejemplo: Obtener el diagrama de Bode del sistema
)136)(5(
)3(1222
ssss
s
Normalizando:
)1136
13)(1
51
(
)131
(6536
22
ss
ss
s
Se tienen 5 elementos, Una constante, un cero en -3, un doble integrador, un polo en -5 y polos cuadráticos. Se buscan la gráfica de Bode de cada uno y después se suman.
Respuesta en frecuencia
65/36
13
1 s
2
1
s
151 s
1136
13
2
ss
Elementos ind.
Aportaciones individuales en magnitud. y ángulo
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
-180
-90
0
90
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Respuesta en frecuencia
-200
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
10-1
100
101
102
103
-360
-315
-270
-225
-180
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Diagrama de Bode (Resultante)