Resuelve ecuaciones cuadráticas I - LEER EN … · A partir de las ecuaciones modeladas en el ejercicio anterior, encuentra la solución ... correspondientes conversiones de unidades,

B9 �

301

B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI

IV.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfecto;compruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x x 1 0− − =

2. 2x 3x 2 0− − =

3. 2x 10x 20 0+ + =

4. 22x 4x 6 0+ − =

5. 2x 5x 24 0− + =

6. 22x 8x 5 0− − =

7. 23x 12x 15 0− + =

8. 2x 6x 4 0+ − =

9. 2x 2x 10 0− − =

10. 2x 5x 2 0− + =

11. 260x 30x 120 0− + =

12. 210x 30x 1 0− + =

V.Apartirdelasecuacionesmodeladasenelejercicioanterior,encuentralasolucióndecadaunadeellasaplicandounmétodoalgebraico.

1.Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.

2.Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.

3. En un rectángulo, la basemide el triple que la altura.Si se disminuye en1 centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen 15centímetros.Calcularlasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.

4.Halla3númerosimparesconsecutivos,talesquesialcuadradodelmayorselerestanloscuadradosdelosotros 2, seobtienecomoresultado7.

5. Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo,¿cuántosañostieneahoracadauno?

VI. Enequipos resuelvan los siguientesproblemas, cuya solución seráexpuestaenplenaria.

1. La suma de dos números es9 y la suma de sus cuadrados es53. Halla losnúmeros.

302

B9 �B9 �2.Unnúmeropositivoes3/5 deotroysuproductoes2160.Encuentralosnúmeros.

3. Paola tiene tres añosmás que Brenda y el cuadrado de la edad deAdrianaaumentadoenelcuadradodelaedaddeBrendaequivalea317años.Determinaambasedades.

4.Unnúmeroeseltripledeotroyladiferenciadesuscuadradoses1800. ¿Cuálessonlosnúmeros?

5. El cuadradodeunnúmerodisminuidoen 9, equivalea8 vecesel excesodelnúmerosobre2.Obtienetalesnúmeros.

6.Untrenharecorrido200kmenciertotiempo.Parahaberrecorridoesadistanciaen1horamenos,lavelocidaddebíahabersido10km/h.Encuentralavelocidaddeltren.

7.Unaempresavendecalzadodeportivoa$40elparsisepidenmenosde50 pares.Sisecompran 50 omás,hasta600,elpreciodelparsereduceaunatasade$.04porelnúmerorequerido.¿Cuántosparessepuedencomprarcon$1800?

8.Sedeseausarunahojadepapelde24 cm x 36cm parauncartelrectangularcuyolargoseavertical.Losmárgenesalosladosyenlapartesuperiordebentenerigualanchura,peroelmargeninferiordebetenerdobleanchuraquelosdemás.Calculaelanchodelosmárgenessielárea impresadebetener661.5cm2.

9.Unapelotadebeisbolsearrojadirectahaciaarribaconunavelocidadinicialde64 pies/s.Elnúmerodepiess, sobreel terrenodespuésde t segundos,estáexpresadoporlaecuación:s=-16 t2 + 64 t.¿Cuándoestarálapelotaa48piessobreelterreno?

Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinando en cada uno de ellas: ecuación cuadrática y método algebraico desolución.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.

1.JuanAntoniotieneunterrenodeformacuadradaconunáreade289 m2,quequiereemplear como corral. ¿Cuántos metros de tela de alambre va a necesitar paracercarloporloscuatrolados?

a) 13 b) 15 c) 17 d) 19

Autoevaluación

B9 �

303


2. Si se aumenta en4 cm el ladodeun cuadrado, su área aumenta en 104 cm2.Calculareláreayperímetrodelcuadradoinicial.

a)Área:121cm2

Perímetro:44cmc)Área:144cm2

Perímetro:48cm

b)Área:81cm2

Perímetro:36 cmd)Área:169cm2

Perímetro:52cm

3. Determinaelvalordemparaquelaecuación2x2 - 4x + m = 0 tengaunaraízcuadráticadoble(demultiplicidad2).

a)m= 0 b)m=1 c)m=2 d)m=3

4.Calculaelvalordexparaelsiguientepardeecuaciones:

( )2

2

3x y 12

y 2 2 x 2

+ =

+ = +

a) x 2= ± b) x 2= c) x 3= d) x 3= ±

5. Enunlaboratorioseestudiaelcrecimientodeunabacteriapeligrosa;elestudiodesucomportamiento fueencargadoaHugo,pero, sedurmióysóloalcanzóaregistrarlosdatosmostradosenlasiguientetabla:

Hora (x) Crecimiento de una bacteria (y)

1 43 12

287

8411 124

¿CuáleslaexpresiónalgebraicaquedebióencontrarHugoparadeterminarlosvaloresquefaltanyasíestablecerlarelaciónentreambascolumnas?

a) 2y x 3= +

b) y x 3= +

c) 2y 3x=

d) 2y 3x 1= +

304

B9 �B9 �Evaluación formativa

Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.

Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerloseparadamente,siunotarda5horasmásqueelotro?

a) Encuentralaecuacióncuadráticaquemodelalasituación.

b) Resuelvelaecuacióncuadráticaaplicandounmétodoalgebraico.

c) Verificaqueelprimerobrerotardaenrealizareltrabajo,élsolo,21.75horas,esdecir,21horasy45minutos;elsegundoobrerotarda5horasmás,esdecir,26horasy45minutos.

B9 �

305


Escala de rango

Nombredelalumno:

Escala de valoración:0 Nulo1 Deficiente2 Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituacióndelplanteada

Encontrólaecuacióncuadráticacorrectamente

Resolviólaecuaciónporalgúnmétodoalgebraico

Severificaronlosresultados

TOTAL:Cal

Total=

×1012

=

OBSERVACIONES:Nombredequienrevisó:

BLO

QU

E

10 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

»

• Identificalarelaciónentrefuncionesyecuacionescuadráticas.

• Reconocelaecuaciónendosvariablesy=ax2+bx+c,comolaformadelafuncióncuadrática,ylasecuacionesenunavariabled=ax2+bx+c,comocasosparticularesdelaanterior.

• Describelafuncióncuadráticaenlaformaestándary=a(x–h)2+kparatrazarsugráfica.

• Comprendeelefectodelparámetroaenelanchoyconcavidaddelaparábola,yasocialasintersecciones-xdeéstaconlasraícesdeax2+bx+c=0.

• Interpretalafórmulacuadrática.

Resuelve ecuaciones cuadráticas II

BLO

QU

E

10 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A»

Construyeeinterpretamodelosaritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

• Explicaquelaecuacióncuadráticaendosvariablesy=ax2+bx+c,representaunarelaciónfuncionalentrelasvariablesporqueparacadavalordexobtieneunúnicovalorparay.

• Obtieneelvalordelosparámetrosa,byc,deunaecuacióncuadrática.

• Trazalasgráficasdefuncionescuadráticastabulandovaloresylasidentificacomoparábolasverticales.

• Tabulapuntoscercanosalvértice,paraobteneréstemediantetanteosyaproximacionesyloidentificacomoelpuntomásaltoomásbajodeunaparábola.

• Escribelaformaestándardelafuncióncuadráticaparaubicarelvértice(h,k)delaparábolaytrazaréstacalculandovaloresdexalrededordeh.

• Anticipalaconcavidaddelaparábolamedianteelsignodelparámetroaycomparaelanchodedistintasparábolas,medianteelvalorabsolutodelparámetroa.

• Identificagráficamentecuándolaecuacióncuadráticaax2+bx+c=0poseeuna,dos,oningunasoluciónreal.

• Calculaelvalordeldeterminanteb2–4ac,paraanticiparlanaturalezadelasraícesdeunaecuacióncuadrática.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunaecuaciónounafuncióncuadrática.

• Elaboraointerpretagráficasytablasutilizandodistintasescalasyrealizandolascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesdiversasqueconllevanelusodefuncionesyecuacionescuadráticas.

• Resuelveecuacionescuadráticaspormétodosnuméricosygráficos.

• Representayresuelvesituacionesmedianteecuacionesyfuncionescuadráticas.

• Transitadeecuacionesafuncionescuadráticas,yviceversa,alrepresentarysolucionardiversassituaciones.

• Ejecutainstruccionesyprocedimientospropiosdelasecuacionescuadráticasdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedeunobjetivo.

• Describeelprocesoparahallarlassolucionesdeunaecuacióncuadráticamediantelafórmulageneral.

• Interpretalanaturalezarealocomplejadelasraíces,apartirdeldiscriminantecuadrático.

• Valoralaimportanciadelaconexiónentrefuncionesyecuacionescuadráticas,paraexaminarysolucionarsituaciones.

• Aprecialasrepresentacionesgráficasdefuncionescuadráticascomoinstrumentodeanálisisvisualdesucomportamiento.

• Aprecialautilidaddelafórmulacuadráticaysudiscriminante,pararesolverecuacionescuadráticascompletascontodotipodecoeficientesyconocerlanaturalezadelasraíces.

308

B10�B10�

Las ecuaciones cuadráticas tienen su representación gráfica para lo cual seestableceunarelacióncon lafuncióncuadrática;además,existeunmétodode soluciónpor fórmulageneral. Éstos son los temaspara el desarrollodelpresentebloque.

Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto.

1.¿Cuálenunciadocorrespondealaexpresión 2 yx

2+ ?

a)Lamitaddelcuadradodeunnúmeromásotro.b)Elcuadradodeunnúmeromáslamitaddeotro.c)Lasumadelcuadradodeunnúmeroconlamitaddeotro.d)Elcuadradodelamitaddedosnúmeros.

2.Losvaloresdexenlaecuación ( )2x 7 25− = son:

a) 1

2

x 5

x 7

==

b) 1

2

x 2

x 12

==

c) 1

2

x 2

x 12

= −=

d) 1

2

x 5

x 7

== −

3.Losvaloresdexenlaecuación 2x 64= − son:

a) 1

2

x 8i

x 8i

== −

b) 1

2

x 8

x 8

== −

c) 1

2

x 32

x 32

== −

d) 1

2

x 32i

x 32i

== −

4.¿Cuáleslagráficaquecorrespondealaecuación 2y x 1= −

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

B10�

309

B10�ResuleveecuacionescuadráticasII

a) b)

c) d)

5. Unaexpresiónequivalentea 9− enelconjuntodenúmeroscomplejoses:

a) 9i b) – 9 c) – 3 d) 3i

6.¿Cuántasraícespuedetenerunaecuacióncuadráticadelaforma ax2 + bx + c =0?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

7. ¿Quénombrerecibelagráficadeunaecuacióncuadrática?______________________

8.¿Quévalortomalaexpresión2b b 4ac

x2a

− + −= para a 2, b 4 y c 6= = = − ?

a) x 1= b) x 2= c) x 4= d) x 6=

310

B10�B10�9.Y,¿quévalortomalaexpresión

2b b 4acx

2a− − −

= tambiénparaa 2, b 4 y c 6= = = − ?

a) x 3= b) x 2= − c) x 3= − d) x 2=

Relacionandolaecuacióncuadráticaconsugráfica

Organizadosenequiposdetresintegrantes,ymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrarla ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.

Vamosaponerenpruebasushabilidades,jugandoalasadivinanzas:

1. ¿Cuántasmonedastengoenmibolsillo,sialmultiplicarelnúmerodemonedasqueposeoporelmismonúmeromenoscuatro,obtengo21?

a)¿Cómosepuedeexpresaralgebraicamentelasituaciónanterior?

b) ¿Quésimilitudencuentrasentreestaexpresiónencontradaylasecuacionesde las fórmulas que determinan el área de un cuadrado, un círculo y unrectángulo?

Sisabemosque:

2.¿Qúedioeláreadeunrectángulo?

Conbaseenlaecuación 2y x x 2= + − ,completenlasiguientetabulación:

x -3 -2 -1 0 1 2

y

a) Ubiquen las coordenadas ( )x,y obtenidas en la tabulación, en el plano, eintententrazarlagráficacorrespondiente.

Actividad introductoria

B10�

311


b)¿Quécaracterísticaspuedenmencionardelagráficaobtenida?

c)¿Paraquévalordexsetieney = 0?

d) ¿Qué pueden conjeturar acerca de las tres representaciones del área delrectángulo:figura,ecuaciónygráfica

e)Grafiquentambiénlaecuacióndeláreadelcuadrado 2y x=

f)Hagancomparacionesentrelasdosgráficasobtenidasdelasfórmulasdeunrectánguloydelcuadrado.

Alfinalizar,elíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.

Unmétodomás, donde podemos encontrar y observar la solución de unaecuación cuadrática es el de la representación gráfica de una ecuacióncuadráticaodesegundogrado,locualesunaparábola.Estarepresentaciónseestableceapartirdelaexpresión 2y ax bx c= + + lacualpodemosreferircomofuncióncuadrática,puesesunaexpresiónendosvariablesendondeelvalordeunadeellasy,correspondeunoysólounvalorsujetoalvalorquerecibax.

MÉTODO GRÁFICO

312

B10�B10�Una función cuadrática es una expresión de la forma

2y ax bx c= + + ,obien, ( ) 2f x ax bx c= + + ,cona,b,c,a,b,c∈ .

Paragraficarunafuncióncuadráticapuedeaplicarseelmétododetabulación,enelcualse leasignanvaloresax,paraquealsersustituidosen lafunción

2y ax bx c= + + ,setenganlosvaloresdey,obteniendoparejasordenadasqueserepresentanenelplanocartesianoparalogrartrazarlagráfica.

Enlaparáboladebemosreconocerunelementoimportantellamadovértice,queeselpuntodondelacurvacambiadedirección,obien,elpuntomásbajoomásaltodelaparábola;lacoordenadadeestevérticesedenotapor(h,k),comoseobservaenlassiguientesfiguras.

A partir del vértice, podemos describir la función cuadrática en su formaestándar:

( )2y a x h k= − +

dedondepuedetrazarsetambiénlaparábola.

Si tenemos la función cuadrática de la forma 2y ax bx c= + + , deducimos laformaestándar ( )2y a x h k= − + comosigue:

2

2

2

2 2

y ax bx c

by a x x c

a

by a x x c

a

b by a x c

2a 4a

= + +

= + +

= + + + −

= + + −

2 2b b4a 4a

Lasolucióndelaecuación2ax bx c 0+ + = es

elvalor(es)dexquesatisfacenlaigualdad,yporseruncasoparticulardelafunción

2y ax bx c= + +(puessededucesiy=0),podremosobservargráficamentedichasolucióncomolasabscisasdelospuntosdondelaparábolaintercepta(corta)alejex.Silagráficanointerceptaalejex,sedicequelasraícessonimaginarias

B10�

313


Sihacemos: 2b b

h y k c2a 4a

= = −

Tenemos: ( )2y a x h k= − +

Así, para determinar el vértice (h, k) a partir de la función cuadrática

2y ax bx c= + + tendremosporfórmula2b b

, c2a 4a

−

,pues

2b bh y k c

2a 4a= = −

Los valores que corresponden a la solución de una ecuación cuadrática2ax bx c 0+ + = , se denominan raíces o soluciones de la ecuación; éstas se

observangráficamentecomosigue:

• Unaecuacióncuadráticapuedetenerdos raíces;esdecir, laparábolacortadospuntosdelejex.

• Unaecuacióncuadráticapuedetenersólo una raíz; es decir, la parábolacortasólounpuntodelejex.

• Si la parábola no corta ningúnpuntodel eje x, entonces la ecuacióncuadráticanotieneraícesreales;éstassonimaginarias.

Ejemplos

I. Acontinuación,sehaceunatabulaciónparagraficarlafuncióncuadráticaindicada,delaforma 2y ax bx c= + + y,apartirdeésta,sevisualizalasoluciónoraícesdelaecuación 2ax bx c 0+ + =

314

B10�B10�1.Graficar 2y x x 6= + −

Tabulación:

x y P(x, y)

–4 y = (–4)2 + (–4) – 6 = 6 P(–4, 6)–3 y = (–3)2 + (–3) – 6 = 0 P(–3, 0)–2 y = (–2)2 + (–2) – 6 = – 4 P(–2, – 4)–1 y = (–1)2 + (–1) – 6 = – 6 P(–1, –6)0 y = (0)2 + (0) – 6 = – 6 P(0, –6)1 y = (1)2 + (1) – 6 = – 4 P(1, –4)2 y = (2)2 + (2) – 6 = 0 P(2, 0)

Gráfica:

Enesteejemplo,podemosvisualizarconclaridadquelasabscisasdelasinterseccionesde laparábolaconelejexson: –3 y 2; luego, lassolucionesoraícesde laecuación

2x x 6 0+ − = son: x1 = –3 y x2 = 2

Comprobación:

Para x1 = – 3

(–3)2 + (–3) – 6 = 0

9 – 3 – 6 = 0

0 = 0

Para x2 = 2

(2)2 + (2) – 6 = 0

4 + 2 – 6 = 0

0 = 0

Elmétodográficodesolucióndelaecuación

2ax bx c 0+ + = sedeterminacorrectamentecuandolosvaloresdelasabscisasdelospuntosdeinterseccióndelaparábola,yeleje x,sonnúmerosenteros,deotromodosólopodráestimarselasoluciónalrecurrirentoncesaalgunodelosmétodosalgebraicos.

B10�

315


Alsustituirlasraícesenlaecuación,severificaquesoncorrectas.

II. Ahora, en estos ejemplos, observemos que a partir de visualizar las raíces dela ecuación cuadrática en la gráfica, podremos deducir la ecuación cuadráticamisma,asícomolafunciónlineal,aunsilasraícessonimaginarias.

1.

Paraestagráfica,como las raícesson:

1 2x 5, x 7= = , a partir del método defactorización,deducimos:

Ecuacióncuadrática: ( )( )2

x 3 x 1 0

x 2x 3 0

+ − =

+ − =

Funcióncuadrática: 2y x 2x 3= + −

2.

Paraestagráfica,como las raícesson:

1 2x 5, x 0= − = ,apartirdelmétododefactorización,deducimos:

Ecuacióncuadrática:( )( )

2

x 5 x 0 0

x 5x 0

+ + =

+ =

Funcióncuadrática: 2y x 5x= +

3.

Para esta gráfica,como las raícesson: 1 2x 2, x 6= = , a partir delmétodode factorización y atendiendo que laparábolaseabrehaciaabajo,deducimos:

4.

Para esta gráfica, como la raízes: 1x 0= , a partir del método defactorización y atendiendo que laparábolaseabrehaciaabajo,deducimos:

3x2 + 5x - 2esexpresiónalgebraica3x2 +5x -2=0es:ecuacióny =3x2 + 5x -2 esfunción

316

B10�B10�Ecuacióncuadrática:

( )( )2

x 2 x 6 0

x 8x 12 0

− − − =

− + − =

Funcióncuadrática: 2y x 8x 12= − + −

Ecuacióncuadrática: ( )2

2

x 0 0

x 0

− + =

− =

Funcióncuadrática: 2y x= −

5.

Paraestagráfica,comolaraízes: 1x 3= ,apartirdelmétododefactorización,deducimos:


2

x 3 0

x 6x 9 0

− =

− + =Funcióncuadrática: 2y x 6x 9= − +

6 .

Para esta gráfica , como la raíz es: x1=-4, a partir delmétodode factorización,deducimos:


2

x 4 0

x 8x 16 0

+ =

+ + =Funcióncuadrática: 2y x 8x 16= + +

7.8.

Lagráficadeunaecuacióndeprimergradocorrespondeaunarectaylagráficadeunaecuacióndesegundogradocorrespondeaunaparábola.

B10�

317


7. Para esta gráfica, como las raícesson imaginarias, deduciremos laecuacióndelasiguientemanera:

Partimos de la función cuadrática ensu forma estándar ( )2y a x h k= − +, y sustituimos en ella el vértice( ) ( )h,k 4,4= − y un punto( ) ( )x,y 3,5= − identificados en laparábola,paradeterminarasíelvalordea.

8.Paraestagráfica,comolasraícessonimaginarias,deduciremos laecuacióndelasiguientemanera:

Partimosdelafuncióncuadráticaensuformaestándary=a(x-h)2+k,ysustituimos

enellaunvérticeaprox. ( ) 1 8h,k ,

2 3 = −

y unpunto ( ) ( )x,y 0, 3= − identificados

en la parábola, para determinar así el

valordea.

( )( )( )

( )

2

2

y a x h k

5 a 3 4 4

5 a 1 4

a 5 4a 1

= − +

= − − − +

= +

= −=

Con este valor, determinamos lafunción cuadrática en su formaestándarcomo:

( )2y x 4 4= + +

Esdecir:

Funcióncuadrática: 2y x 8x 20= + +Ecuacióncuadrática: 2x 8x 20 0+ + =

( )2

2

y a x h k

1 83 a 0

2 3

1 83 a

4 3

8a 4 3

3

1 4a 4

3 3

= − +

− = − −

− = − = − +

− = − =

Conestevalor,determinamos lafuncióncuadráticaensuformaestándarcomo:

24 1 8y x

3 2 3 = − − −

Esdecir:Funcióncuadrática: 24 4

y x x 33 3

= − + −

Ecuacióncuadrática: 24 4x x 3 0

3 3− + − =

Hemosesperadohastaestemomentoparaestudiarotrométodoalgebraicodesolucióndeunaecuacióncuadrática,siendoéstacompletaoincompleta,esporfórmulageneral.

FÓRMULA GENERAL

Unapostolpredicabaalamultitudmencionandoy=ax2 +bx+caloquealguienpregunto¿Quéesello?Ylefuecontestado“Unaparábola”

318

B10�B10�Para resolver la ecuación 2ax bx c 0+ + = , bastará identificar los coeficientesdelostérminosdelaecuacióncuadráticaysustituirlosenlafórmulageneral.

Lafórmulageneralquepermiteencontrarlassolucionesdelaecuación

ax2+bx+c=0es:

2b b 4acx

2a− ± −

=

Donde:

aeselcoeficientedeltérminocuadrático.

beselcoeficientedeltérminolineal.

ceseltérminoindependiente.

(Esta fórmula se justifica en el caso 2 del método por factorización antesdescrito).

Laexpresiónb2– 4acsellamadiscriminanteydeterminalassolucionesdelaecuacióncuadráticabajolascondicionessiguientes:

• Sib2–4ac>0,laecuacióntienedossolucionesreales.

• Sib2–4ac=0,laecuacióntieneunasoluciónreal.

• Sib2–4ac<0,laecuacióntienedossolucionescomplejas(imaginarias).

Ejemplos

I. Resolvamos ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general, y realicemostambiénsucomprobación.

1. 3x2 – 4x + 1 = 0

Seidentificanloscoeficientesdelostérminos: a = 3, b = – 4 y c = 1

Estosvaloressesustituyenenlafórmulageneral:

2b b 4acx

2a− ± −

=

Donde:( ) ( ) ( )( )

( )

24 4 4 3 1x

2 3

− − ± − −=

B10�

319


Simplificando:

1

2

4 2 6x 1

4 16 12 4 4 4 2 6 6x4 2 2 16 6 6

x6 6 3

+ = = =± − ± ± = = = = − = = =

Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1 2

1x 1 y x

3= =

Comprobación:

Parax1= 1 Parax2=13

( ) ( )23 1 4 1 1 0

3 4 1 04 4 00 0

− + =

− + =− ==

21 13 4 1 0

3 31 4

1 03 3

1 1 00 0

− + =

− + =

− + ==

2. 4x2– 4x + 1 = 0

Seidentifica:a=4, b = – 4 y c = 1


2b b 4acx

2a− ± −

=

Donde:

( ) ( ) ( )( )( )

24 4 4 4 1x

2 4

− − ± − −=

4 16 16 4 0 4 2 1x ,de donde x

8 8 8 4 2± − ±

= = = = =

Así,lasoluciónoraízdelsistemaes: 1

1x

2=

Comprobación:

21 14 4 1 0

2 21 2 1 0

1 1 00 0

− + = − + =− + ==

320

B10�B10�3. 5x2 - 4x + 1 = 0

Seidentifica:a=5,b=–4yc=1


2b b 4acx

2a− ± −

=

Donde:

( ) ( ) ( )( )( )

24 4 4 5 1x

2 5

− − ± − −=

( )

4 16 20x

10

4 4 14 410 10

4 4 110

4 2i10

± −=

± −± −= =

± −=

±=

Luego, 1

2

4 2i 2 ix

10 10 5 54 2i 2 i

x10 10 5 5

= + = + = − = −

Así,lassolucionesoraícesdelsistemasonimaginarias:

xi

y xi

1 2

25 5

25 5

= + = −

I. Relaciona las siguientes ecuaciones cuadráticas con su correspondiente funcióncuadrática,construyelagráficaeidentificagráficamente,lasraícesdelaecuación.

1. 2x 9 0+ =

2. 23x 12 0+ =

3. 22x 10 0− − =

4. 27x 11 0+ =

5. 25x 15 0− =

6. 281x 16 0− − =

Actividad

Unaraízimaginariaesunnúmerocuyocuadradoesnegativo;serepresentacomobi,dondebesunnúmerorealeieslaunidadimaginariaconlapropiedadsiguiente:

i2 = – 1,dedondei= 1−

Lassolucionesimaginariasseexpresancomo a bi±

B10�

321


7. 2x 18 0− + =

8. 28x 20 0+ =

9. 21x 4 0

2− =

10. 2x 3x 0+ =

11. 23x 9x 0− =

12. 2x 4x 0− − =

13. 214x 17x 0− =

14. 25x 20x 0− − =

15. 212x 48x 0− =

16. 23x 18x 0− − =

17. 21 1x x 0

2 3+ =

18. 21 4x x 0

2 3− =

19. 2x x 2 0− − =

20. 2x 3x 4 0− − =

21. 2x 10x 25 0+ + =

22. 22x 5x 3 0+ − =

23. 2x 10x 24 0− + =

24. 22x 3x 5 0− − =

25. 23x 12x 12 0− + =

26. 2x 5x 6 0+ − =

27. 2x 2x 15 0− − =

28. 23x 5x 2 0− + =

29. 263x 29x 4 0− − + =

30. 265x 29x 4 0− − + =

31. 2x x 1 0− − =

32. 2x 3x 2 0− − =

33. 2x 10x 20 0+ + =

34. 22x 4x 6 0+ − =

35. 2x 5x 24 0− + =

36. 22x 8x 5 0− − =

37. 23x 12x 15 0− + =

38. 2x 6x 4 0+ − =

39. 2x 2x 10 0− − =

40. 2x 5x 2 0− + =

41. 260x 30x 120 0− + =

42. 210x 30x 1 0− + =

II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general,comprueba que las raíces encontradas son correctas y construye la gráficavisualizandoquelassolucionesenlagráficaylasencontradasporfórmulageneralsonlasmismas.

322

B10�B10�1. 2x 3x 4 0− + =

2. 22x 5x 2 0− + =

3. 22x 3x 5 0+ + =

B10�

323


4. 2x 6x 9 0+ + =

5. 22x 5x 1 0− + =

6. 2x 5x 14 0− + =

324

B10�B10�7. 23x 8x 5 0− + =

8. 23x 6x 2 0− + − =

III. Diseñalaecuaciónquemodelelassituacionesplanteadasyencuentralasoluciónacadauna.

1.Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.

2. Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.

3. Enunrectángulo,labasemideeltriplequelaaltura.Sisedisminuye 1 centímetrocadalado,eláreainicialdisminuye 15 centímetros.Calculalasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.

4. Halla 3 númerosimparesconsecutivos,talesquesialcuadradodelmayorselerestanloscuadradosdelosotros 2, seobtienecomoresultado7.

5. Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode 24 añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo,¿cuántosañostieneahoracadauno?

B10�

325


IV. Mediantelavisualización,obténlasraícesdelaecuacióncuadráticarepresentadaencadaunade lasgráficassiguientes,además,usatucuadernodenotasparadeterminarlaecuacióncuadráticayfuncióncuadráticacorrespondientes.

1.

Ecuacióncuadrática:

Funcióncuadrática:

2.



3.



4.



326

B10�B10�7.



8.



Elije laopción correctaen cadaunode losejercicios y resuelveen tu cuadernodenotaslaecuacióncorrespondienteacadaejercicioaplicandolafórmulageneral.

1. ¿Cuál es la gráfica que representa correctamente los valores numéricos de laecuación 2y x 8x= − + ?

a) b)

Autoevaluación

B10�

327


c) d)

2.¿Cuáleslafuncióncuadráticaqueserelacionaconlasiguientegráfica

a) 2y x 2x 2= − +

b) 2y x 2x 2= − −

c) 2y x 2x 2= + −

d) 2y x 2x 2= + +

3.Identificalagráficadelafunción: 2y x 2x 1= + −

a) b)

Autoevaluación

328

B10�B10�c) d)

4.¿Cuáleslafuncióncuadráticaqueserelacionaconlagráfica?

a) 2y x 4x 3= − + −

b) 2y x 4x 3= − + +

c) 2y x 4x 3= − − −

d) 2y x 4x 3= − − +

Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.

1.Enunlaboratoriomédicoseinvestigaelcrecimientodelabacteriaqueproduceelcólera.Paraellosecolocalabacteriaenunacajadepetriconaguaycomponentesnutrimentales. En la gráfica se representa el número de bacterias durante lasprimerashorasdelexperimento.

Evaluación formativa

B10�

329


a) ¿Cuáleslaecuaciónquerelacionalagráficayhacecorresponderelnúmerodebacteriasconeltiempotranscurrido?

a)y= 1+2x2 b)y= 1+x c)y= 1+x2 d)y= 1+4x

b) ¿Cuántasbacteriashabíaaliniciarelexperimento?

c) Si el crecimientode lasbacterias sedade igualmaneraal transcurrir lashoras,¿cuántasbacteriashabrádespuésdetranscurrir 5 horas?

Escala de rangoNombredelalumno:

Escala de valoración:0 Nulo1 Deficiente2 Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituacióndelplanteada

Encontrólaecuacióncuadráticacorrectamente

Resolviólaecuaciónporalgúnmétodoalgebraico

Severificaronlosresultados

Total:Cal

Total=

×1012

=

Observaciones:

Nombredequienrevisó:

330

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Resuelve ecuaciones cuadráticas I - LEER EN … · A partir de las ecuaciones modeladas en el ejercicio anterior, encuentra la solución ... correspondientes conversiones de unidades,