PRINCIPIOS GENERALES DEL DISEO POR RESITENCIA INTRODUCCIN A LOS REQUISITOS DE DISEO UNIFICADO En esta seccin se da una breve explicacin de estas definiciones; las secciones relevantes del cdigo contienen una discusin ms detallada.

1. Deformacin especfica neta de traccin: Deformacin especfica de traccin cuando la solicitacin alcanza la resistencia

nominal, excluyendo las deformaciones especficas debidas al pretensado efectivo, la fluencia lenta, la contraccin y la

temperatura. La frase "cuando la solicitacin alcanza la resistencia nominal" significa en el momento que el hormign llega

al lmite de deformacin especfica supuesto de 0,003. La "deformacin especfica neta de traccin" es la

deformacin provocada por los momentos flectores y las cargas axiales, excluyendo la deformacin provocada por el

pretensado y los cambios volumtricos. La deformacin especfica neta de traccin es la que normalmente se calcula en los

clculos de la resistencia nominal.

2. Acero ms traccionado: Armadura (pretensada o no pretensada) ms alejada de la fibra comprimida extrema. El smbolo dt se usa para representar la profundidad entre la fibra comprimida extrema y el acero ms traccionado. La deformacin especfica neta de traccin en el acero ms traccionado es simplemente la mxima deformacin especfica de traccin debida a las cargas externas.

3. Valor lmite de la deformacin especfica para secciones controladas por compresin: Deformacin especfica neta de

traccin bajo condiciones de deformacin especfica balanceada.

4. Seccin controlada por compresin: Seccin transversal en la cual la deformacin especfica neta de traccin en el acero

ms traccionado para la resistencia nominal es menor o igual que el valor lmite de la deformacin especfica para

secciones controladas por compresin. Para las secciones controladas por compresin, se establece un factor de

reduccin de la resistencia igual a 0,65 0,7. 5. Seccin controlada por traccin: Seccin transversal en la cual la deformacin especfica neta de traccin en el acero ms

traccionado para la resistencia nominal es mayor o igual que 0,005. Para las secciones controladas por traccin, factor de

reduccin de la resistencia igual a 0,9. Para las secciones rectangulares, la correspondiente deformacin especfica neta de traccin t es igual a 0,00376. Usando los nuevos factores de carga reducidos, slo se permite usar un de 0,9 para secciones menos armadas en las cuales t 0,005.

HIPTESIS DE DISEO Equilibrio de las fuerzas y compatibilidad de las deformaciones El clculo de la resistencia de un elemento o de una seccin transversal mediante el Mtodo de Diseo por Resistencia exige

que se satisfagan dos condiciones bsicas: (1) equilibrio esttico y (2) compatibilidad de las deformaciones.

La primera condicin exige que las fuerzas de compresin y traccin que actan en la seccin transversal para la resistencia

"ltima" estn en equilibrio, mientras que la segunda condicin exige que tambin se satisfaga la compatibilidad entre las

deformaciones del hormign y de la armadura bajo condiciones "ltimas" dentro de las hiptesis de diseo permitidas por el

cdigo.

El trmino "ltimo" es muy utilizado en relacin con el Mtodo de Diseo por Resistencia. Pero es necesario tener en cuenta que la resistencia "nominal" calculada de acuerdo con los requisitos del cdigo puede no necesariamente ser el valor ltimo

real. Dentro de las hiptesis de diseo permitidas, se desprecian algunas de las propiedades de los materiales y se establecen

otros lmites conservadores para utilizar en el diseo prctico. Esto contribuye a la posibilidad de que la "resistencia ltima" sea

menor que la obtenida mediante ensayos. La resistencia nominal calculada se debera considerar exclusivamente como una

resistencia definida por el cdigo. En consecuencia, al definir la resistencia calculada de un elemento no se utiliza el trmino

"ltimo," sino que se usa el trmino "nominal."

Hiptesis de diseo #1 Las deformaciones especficas en la armadura y en el hormign se deben suponer directamente proporcionales a la

distancia desde el eje neutro. En otras palabras, se asume que las secciones planas normales al eje de flexin permanecen planas luego de la flexin.

Numerosos ensayos han confirmado que las deformaciones especficas de una seccin transversal de hormign armado

responden a una distribucin esencialmente lineal en altura, an cerca de su resistencia ltima. Para la armadura, esta hiptesis

ha sido verificada mediante numerosos ensayos de elementos comprimidos con carga excntrica y elementos solicitados

exclusivamente a flexin.

Tanto la deformacin en la armadura como la deformacin en el hormign son directamente proporcionales a la distancia desde

el eje neutro. Este hiptesis es vlida para todo el rango de cargas, desde carga nula hasta la carga ltima. Pero no es valida para

vigas de gran peralte o en regiones de cortante elevado.

Hiptesis de diseo #2 La mxima deformacin utilizable en la fibra comprimida extrema del hormign se asumir igual a u = 0,003.

La mxima deformacin especfica de compresin del hormign para el aplastamiento del hormign se ha medido en

numerosos ensayos tanto en elementos de hormign simple como de hormign armado. Los resultados de ensayos realizados en

una serie de modelos de vigas y columnas de hormign armado, indican que la mxima deformacin especfica del hormign vara entre 0,003 y valores de hasta 0,008. Sin embargo, para los casos prcticos la mxima deformacin

especfica es de 0,003 a 0,004. Aunque la mxima deformacin disminuye a medida que aumenta la resistencia a la compresin

del hormign, el valor 0,003 permitido para el diseo es razonablemente conservador. En algunos pases los cdigos especifican

para el diseo un valor de 0,0035, lo cual representa una diferencia muy pequea en cuanto a la resistencia calculada de un

elemento.

Mxima deformacin especfica de compresin del hormign, u, obtenida en ensayos de elementos de hormign armado

Hiptesis de diseo #3 La tensin en la armadura fs por debajo de la tensin de fluencia fy se tomar como Es por la deformacin especfica del

acero s. Para deformaciones especficas mayores que fy/Es, la tensin en la armadura se considerar independiente de la deformacin e igual a fy.

En las armaduras conformadas es razonable suponer que, para tensiones por debajo de la tensin de fluencia, la tensin es

proporcional a la deformacin especfica.

La fuerza desarrollada en la armadura de traccin o de compresin es funcin de la deformacin especfica en la armadura s, y se puede calcular de la siguiente manera:

cuando s y (deformacin de fluencia): fs = Es s

As fy = As Es s

cuando s y: fs = Es y = fy

As fy = As fy

c

siendo s el valor del diagrama de deformacin correspondiente a la ubicacin de la armadura. Para el diseo, el mdulo de elasticidad del acero de la armadura, Es, se toma como 2.000.000 kg/cm2.

Hiptesis de diseo #4 En el diseo de los elementos de hormign armado solicitados a flexin se deber despreciar la resistencia a la traccin

del hormign.

La resistencia a la traccin del hormign solicitado a flexin, conocida como mdulo de rotura, es una propiedad ms variable que la resistencia a la compresin, y su valor es de aproximadamente 8% a 12% de la resistencia a la compresin. El valor de

diseo generalmente aceptado para el hormign de peso normal es 7,5 f ' . Esta resistencia a la traccin del hormign

solicitado a flexin se desprecia en el diseo por resistencia.

Hiptesis de diseo #5 La relacin entre la tensin de compresin en el hormign y la deformacin especfica del hormign se deber suponer

rectangular, trapezoidal, parablica o de cualquier otra forma que de origen a una prediccin de la resistencia que

concuerde en forma sustancial con los resultados de ensayos. Esta hiptesis reconoce la distribucin inelstica de las tensiones en el hormign cuando est sujeto a tensiones elevadas. A

medida que se va acercando a la tensin mxima, la relacin tensin-deformacin del hormign deja de ser lineal (la tensin ya

no es proporcional a la deformacin). En la Figura se ilustra la relacin tensin-deformacin del hormign. La forma de las

curvas es bsicamente funcin de la resistencia del hormign, y consiste en una curva que crece desde cero hasta un mximo

correspondiente a una deformacin especfica de compresin de entre 0,0015 y 0,002 seguida de una curva descendente hasta

una deformacin especfica ltima (que corresponde al aplastamiento del hormign) que vara entre 0,003 y hasta 0,008. Como ya se mencion al hablar de la Hiptesis de Diseo #2, el cdigo fija la mxima deformacin utilizable del hormign igual a

0,003 para el diseo. Las curvas muestran que la relacin tensin-deformacin para el hormign se vuelve considerablemente

no lineal para niveles de tensin mayores que 0,5 f c.

En la prctica, la distribucin real de las tensiones de compresin en el hormign es compleja y por lo general desconocida. Sin

embargo, investigaciones han demostrado que las propiedades ms importantes del hormign relacionadas con la distribucin de las tensiones se pueden aproximar adecuadamente usando una de las diferentes distribuciones de tensiones propuestas Las tres distribuciones de tensiones ms comunes son la parablica, la trapezoidal y la rectangular, y con cualquiera de ellas se obtienen resultados razonables. Para la resistencia ltima terica de un elemento solicitado a flexin, la distribucin de las tensiones de compresin se debera ajustar en buena medida a la variacin real de las tensiones, como se ilustra en la siguiente figura. En esta figura la tensin mxima se indica como k3f'c, la tensin media como k1k3f'c, y la profundidad desde el

baricentro de la distribucin parablica aproximada hasta la fibra comprimida extrema como k2c, siendo c la profundidad del

eje neutro.

1 3 c

Para las condiciones de tensin en estado ltimo, la resistencia nominal al momento, Mn, se pede calcular aplicando la

condicin de equilibrio de fuerzas y momentos de la siguiente manera: De la condicin de equilibrio de fuerzas (Fig. 6-6):

C = T

o, k1 k3 f'c b c = As fsu

de modo que c As fsu

k k f ' b

De la condicin de equilibrio de momentos:

M C T d k c

Se asume que se llega a la mxima resistencia cuando la deformacin especfica en la fibra comprimida extrema es igual a la deformacin especfica de aplastamiento del hormign, u. Cuando se produce el aplastamiento, su puede ser mayor o menor

que la deformacin especfica de fluencia, y = fy/Es, dependiendo de la proporcin relativa entre la armadura y el hormign. Si la cantidad de armadura es lo suficientemente baja, la fluencia del acero ocurrir antes que el aplastamiento del hormign (condicin de falla dctil). Si hay grandes cantidades de armadura, primero ocurrir el aplastamiento del hormign, permitiendo que el acero permanezca elstico (condicin de falla frgil). El cdigo contiene requisitos cuya intencin es asegurar un modo de falla dctil, limitando la cantidad de armadura de traccin. Para la condicin de falla dctil, fsu es igual a fy, y la Ecuacin (1)

se transforma en: Ecuacin 2:

Si se conoce el valor k2/(k1k3), la resistencia al momento se puede calcular directamente con la Ecuacin (2). No es necesario

conocer los valores k1, k2 y k3 de forma individual. En la Figura 6-7 se indican los valores para los trminos combinados, como

as tambin los valores individuales de k1 y k2, establecidos en base a ensayos. Como se observa en la figura, k2/(k1k3) vara

entre alrededor de 0,55 y alrededor de 0,63. El clculo de la resistencia a la flexin en base a la distribucin parablica aproximada de las tensiones de la Figura se puede realizar usando la Ecuacin (2) con los valores de k2/(k1k3) dados. Sin embargo, para los propsitos del diseo prctico, se recomienda utilizar un mtodo basado en el equilibrio esttico

Para muchos de sus trabajos experimentales y proyectos de investigacin, la Asociacin del Cemento Prtland (PCA) adopt la

distribucin parablica ilustrada en la Figura 6-8. Las distribuciones de tensiones "ms exactas" como esta se aplican mejor con

auxilio de computadoras, y no se recomiendan si los clculos se han de realizar de forma manual. La mayora de las publicaciones y software de la PCA relacionados con el diseo del hormign estructural se basan totalmente en el bloque

rectangular de tensiones o bien le permiten al diseador optar entre el bloque rectangular y el bloque parablico.

Hiptesis de diseo #6 Los requisitos de la hiptesis anterior se pueden considerar satisfechos con una distribucin rectangular de tensiones

equivalente en el hormign definida de la siguiente manera: Se asumir una tensin en el hormign de 0,85f'c uniformemente distribuida en una zona de compresin equivalente limitada por los bordes de la seccin transversal y una recta paralela al eje neutro ubicada a una distancia a = 1c a partir de la fibra con mxima deformacin

especfica de compresin. La distancia c entre la fibra con mxima deformacin especfica de compresin y el eje neutro se deber medir en direccin perpendicular a dicho eje. El factor 1 se deber tomar igual a 0,85 para resistencias f'c de hasta 4000 psi y se deber disminuir de forma progresiva en 0,05 por cada 1000 psi de resistencia en exceso de 4000

psi, pero 1 no se deber tomar menor que 0,65. El cdigo permite usar una distribucin o bloque rectangular de tensiones de compresin en reemplazo de las otras distribuciones de tensiones ms exactas. El bloque rectangular de tensiones equivalente, supone una tensin uniforme de 0,85f'c en una profundidad a = 1c, determinada de manera que a/2 = k2c. La constante 1 es igual a 0,85 para el hormign con f'c 4000 y se reduce en 0,05 por cada 1000 psi de f'c en exceso de 4000 psi. Para los hormigones de alta resistencia, con resistencias superiores a 8000 psi, se fija un lmite inferior de 1 = 0,65. El factor 1 es necesario para reflejar la variacin de la geometra de la curva tensin-deformacin para diferentes resistencias del hormign. Para resistencias del hormign de hasta 4000 psi, la geometra y el baricentro del diagrama real de tensiones en el hormign se puede aproximar de forma razonable mediante un bloque rectangular de tensiones que tenga una tensin uniforme de 0,85f'c y una profundidad igual a 0,85 por la profundidad al eje neutro. Es decir, con 1 = 0,85. Los hormigones de resistencia ms elevada presentan una geometra ms lineal, con menos comportamiento inelstico. Para lograr una buena aproximacin del bloque de tensiones para hormigones con resistencias superiores a 4000 psi, se debe reducir

la relacin 1 entre la profundidad del bloque rectangular de tensiones y la profundidad del eje neutro. Por este motivo el cdigo

de 1963 estableca que "1 se deber reducir continuamente en 0,05 por cada 1000 psi de resistencia en exceso de 4000 psi." Con el tiempo, y a medida que se comenzaron a utilizar hormigones con resistencias ms elevadas, se hizo evidente que esta reduccin de 1 no poda continuar de forma indefinida. Por ejemplo, para un hormign de 17.000 psi, 1 sera igual a cero.

Para los hormigones de resistencia muy elevada el bloque de tensiones se aproxima a una forma triangular. La mejor aproximacin de este diagrama de tensiones casi triangular se logra con 1 = 0,65. Por lo tanto, en el cdigo de 1977 y en todas las ediciones posteriores se fij 1 = 0,65 para resistencias del hormign mayores o iguales que 8000 psi.

Usando la distribucin rectangular de tensiones equivalente y asumiendo que la armadura entra en fluencia antes del

aplastamiento del hormign (s > y), la resistencia nominal al momento Mn se puede calcular en base a la condicin de equilibrio de fuerzas y momentos. De la condicin de equilibrio de fuerzas:

Reemplazando a de la condicin de equilibrio:

Observar que el valor 0,59 corresponde a k2/(k1k3) de la Ecuacin (2). Reemplazando As = bd, la Ecuacin (3) se puede escribir de la siguiente manera adimensional:

Como se ilustra en la siguiente figura, la ecuacin anterior "concuerda sustancialmente con los resultados de ensayos

exhaustivos." Sin embargo, se debe tener en cuenta que el bloque rectangular de tensiones no representa la distribucin real de

las tensiones en la zona de compresin en condiciones ltimas, sino que permite obtener esencialmente los mismos resultados

que los obtenidos en ensayos.

Ensayos de 364 vigas controladas por traccin (s > y),

PRINCIPIOS Y REQUISITOS GENERALES Resistencia nominal a la flexin Usando la distribucin rectangular de tensiones equivalente, a continuacin se resumen las expresiones para la resistencia nominal al momento de secciones rectangulares y con alas (secciones tpicas muy utilizadas en las construcciones de

hormign):

a. Seccin rectangular que slo tiene armadura de traccin:

Las expresiones ya fueron presentadas en la seccin correspondiente a la Hiptesis de Diseo #6

b. Secciones con alas que slo tienen armadura de traccin:

Cuando el espesor del ala comprimida es mayor o igual que la profundidad del bloque de tensiones rectangular equivalente, a,

la resistencia al momento Mn se calcula como para una seccin rectangular cuyo ancho es igual al ancho de ala. Si el espesor

del ala comprimida hf es menor que a, la resistencia nominal al momento Mn es

donde

Asf = rea de armadura requerida para equilibrar la resistencia a la compresin de las alas que sobresalen

= 0,85 f'c (b bw) hf / fy

a = (As Asf) fy / 0,85 f'c bw b = ancho de ala efectivo

bw = ancho del alma

hf = espesor del ala

c. Seccin rectangular con armadura de compresin:

Para una seccin con armadura de traccin y de compresin A's hay dos situaciones posibles (ver Fig. 6-13):

i. La armadura de compresin A's llega a la fluencia:

f's = fy

As A 's f y a

0, 85 f 'c b

La resistencia nominal al momento es:

Observar que A's llega a la fluencia cuando se satisface (para armadura Grado 60 con y = 0,00207):

d/ c 31

siendo c=a

ii. La armadura de compresin no llega a la fluencia:

La profundidad del eje neutro c se puede determinar usando la siguiente ecuacin cuadrtica:

en la cual f'c y fy se expresan en kips. La resistencia nominal al momento es:

Mdonde a 1 c d. Para otras secciones transversales diferentes, la resistencia nominal al momento Mn se calcula mediante un anlisis

general basado en las condiciones de equilibrio y compatibilidad de las deformaciones usando las hiptesis de diseo.

e. La resistencia nominal a la flexin Mn de la seccin transversal de un elemento compuesto formado por hormign colado

in situ y hormign prefabricado se calcula de forma similar al caso de una seccin de hormign armado regular. Ya que la resistencia "ltima" no se relaciona con la secuencia de aplicacin de las cargas, en los clculos de resistencia no se diferencia entre elementos apuntalados y elementos no apuntalados.

Condicin de deformacin balanceada En una seccin transversal existe un condicin de deformacin balanceada cuando la mxima deformacin especfica en la

fibra comprimida extrema llega a u = 0,003 en el mismo instante en que se produce la primera deformacin de fluencia s = y = fy/Es en la armadura de traccin. Esta condicin de deformacin balanceada se ilustra en la Figura:

La relacin entre la profundidad del eje neutro cb y la profundidad extrema dt para producir una condicin de deformacin

balanceada en una seccin que slo tiene armadura de traccin se puede obtener aplicando las condiciones de compatibilidad de las deformaciones. De acuerdo con la Figura, para la condicin de linealidad de las deformaciones:

Observar que, para el acero Grado 60, permite redondear la deformacin especfica del acero y a un valor de 0,002. Reemplazando en la ecuacin anterior, la relacin cb / dt = 0,6. Este valor se aplica a todas las secciones armadas con acero

Grado 60, no slo a las secciones rectangulares.

Secciones controladas por compresin Las secciones son controladas por compresin cuando la deformacin especfica neta de traccin en el acero ms traccionado es

menor o igual que el valor lmite de la deformacin especfica para secciones controladas por compresin justo en el momento

que el hormign solicitado a compresin llega a su valor lmite supuesto de 0,003. El valor lmite de la deformacin especfica

para secciones controladas por compresin es la deformacin especfica neta por traccin correspondientes a condiciones de

deformacin balanceada. Para la armadura Grado 60 y para cualquier armadura pretensada, estar permitido fijar el valor lmite

de la deformacin especfica para secciones controladas por compresin igual a 0,002.

Observar que cuando se utiliza armadura de diferente grado, el valor lmite de la deformacin especfica para secciones

controladas por compresin no es igual a 0,002. Esto modifica el valor lmite de la deformacin especfica para secciones

controladas por compresin, y por lo tanto vara las ecuaciones "de transicin" para el factor de reduccin de la resistencia.

Secciones controladas por traccin y secciones de transicin Las secciones son controladas por traccin cuando la deformacin especfica neta de traccin en el acero ms traccionado es

mayor o igual que 0,005 justo en el momento en que el hormign comprimido llega al valor lmite de la deformacin especfica para secciones controladas por compresin supuesto de 0,003. Las secciones en las cuales la deformacin especfica neta por

traccin en el acero ms traccionado est comprendida entre el valor lmite de la deformacin especfica para secciones

controladas por compresin y 0,005 constituyen una regin de transicin entre las secciones controladas por compresin y

aquellas controladas por traccin.

La Figura ilustra las condiciones de tensin y deformacin en el lmite correspondiente a secciones controladas por compresin.

Este lmite es importante ya que es el lmite de aplicacin de = 0,9. Los parmetros crticos en este lmite se indican con el subndice t.

Deformaciones especficas en el lmite para secciones controladas por traccin

Armadura mxima en elementos solicitados a flexin El Cdigo 2002 define los lmites de armadura en trminos de la deformacin especfica neta de traccin, t, no en trminos de la relacin balanceada /b como ocurra anteriormente. Para secciones rectangulares que contienen una capa de acero Grado 60, existe una relacin sencilla entre t y /b

En condicin balanceada:

El Cdigo 2002 limita la armadura mxima en un elemento solicitado a flexin (con carga axial menor que 0,1 f'cAg) a aquella

con la cual la deformacin especfica neta de traccin t, para la resistencia nominal, no resultara menor que 0,004. Esto es comparable al lmite que estableca el cdigo anterior (0,75 b) con el cual se obtena un t = 0,00376. Adems, en el lmite de

deformacin especfica para secciones controladas por traccin de 0,004 el factor se reduce a 0,812. Es evidente que las resistencia de las secciones controladas por traccin dependen fundamentalmente de la resistencia del acero,

la cual es menos variable que la resistencia del hormign. Para los elementos solicitados a flexin controlados por traccin, el

Cdigo 2002 permite usar un igual a 0,9, a pesar de los factores de carga reducidos. Si las dimensiones del elemento estn limitadas pero se requiere resistencia adicional, la mejor solucin consiste en usar armadura de compresin para limitar la deformacin neta de traccin de modo que la seccin sea controlada por traccin.