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Resumen de
matemático I
Autores: Juan Pablo Martí
U.T.N. F.R.M.Ingeniería Electrónica
Resumen de Análisis
matemático I
U.T.N. F.R.M. Ingeniería Electrónica
Resumen de Análisis
matemático I
Autores: Juan Pablo Martí
UNIDAD I:
Entorno y Entorno Reducido
Entorno:
);( δaE (entorno de centro “a” y radio “
δδδ =+−= aaaE );();(
Entorno Reducido: );();(* δδ aEaE ′= (no incluye al punto a)
δδ ∪−= aaaE );();(*
Funciones Par e Impar
Función Par:
f: A→B será par ⇔ ∀x ∈Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y. Función Impar:
f: A→B será impar ⇔ ∀Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de
UNIDAD II:
Definición rigurosa de límite
ε >∀⇔=→
lxflímSiax
;0)(
Propiedad del Sándwich
xflímlxflímSiaxax
∧=→→
()( 21
Algunos límites especiales
lxflímx
=±∞→
)(
I. gr. P(x) = gr. Q(x)dos polinomios.
II. gr. P(x) < gr. Q(x)
III. gr. P(x) > gr. Q(x)
Infinitésimos
)(xf es un infinitésimo en
Funciones infinitésimas equivalentes
00=
→→
tgxlím
x
senxlím
xx
Definición de Continuidad
)(xf es continua en x
1. )(af∃
2. xflímax
=∃→
)(
Página 1 Resumen de Análisis matemático I
UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES
Entorno y Entorno Reducido
(entorno de centro “a” y radio “δ”)
δ<−= ax
(no incluye al punto a)
δδ <−<=+ axaa 0);(
∈ Domf ⇒ f(x) = f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y.
∀x ∈ Domf ⇒ f(x) = -f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de coordenadas.
UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición rigurosa de límite
δεδ ⇒<−<∧∈∀>∃ axDomfxx )0:/(0)(;
xfxfxfaExlx ⇒≤≤∈∀∧= )()()(:);() 231δ
Algunos límites especiales
gr. P(x) = gr. Q(x) ⇒ =l Cociente entre los coeficientes principales de los dos polinomios.
gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ 0=l
gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ ∞=l
es un infinitésimo en ⇔= ax 0)( =→
xflímax
nciones infinitésimas equivalentes
0000====
→→→→ tgx
xlím
senx
xlím
senx
tgxlím
tgx
senxlím
x
tgx
xxxx
Definición de Continuidad
⇔= a en a cumple con las siguientes condiciones:
l (único y finito)
Resumen de Análisis matemático I
ε<−⇒ lxf )(
lxflímax
=⇒→
)(3
re los coeficientes principales de los
1=tgx
cumple con las siguientes condiciones:
Autores: Juan Pablo Martí
3. )(afl =
Clasificación de Discontinuidad
Discontinuidad Evitable (aparente):
Cuando no existe )(af
función con varias reglas p Discontinuidad No Evitable (no removible):Cuando no existe )(af
valor se obtiene de dl −
Continuidad Lateral
Si )(xf tiene límites laterales distintos en
1. =∃−→
)(xflímax
2. =∃+→
)(xflímax
Álgebra de las funciones continuas
Funciones Continuas en x = a
)(xf y IRk ∈
)(xf y )(xg
)(xf y )(xg
)(xf y 0)( ≠xg
)(xf y )(xg (continua en (af
Página 2 Resumen de Análisis matemático I
Clasificación de Discontinuidad
Discontinuidad Evitable (aparente):
pero lxflímax
=∃→
)( (único y finito). En ese caso se rearma la
función con varias reglas para que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA.
Discontinuidad No Evitable (no removible): y no existe l único y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo
il− , y puede ser finito o infinito.
tiene límites laterales distintos en ax = , pero:
∃⇒== )(afli Continuidad Lateral Izquierda
∃⇒== )(afld Continuidad Lateral Derecha
Álgebra de las funciones continuas
⇒⇒⇒⇒ Función continua en x = a
⇒ )(. xfk
⇒ )()( xgxf +
⇒ )().( xgxf
⇒
)(
)(
xg
xf
)a ) ⇒ ))(( xgof
Resumen de Análisis matemático I
(único y finito). En ese caso se rearma la
ara que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA.
único y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo
Continuidad Lateral Izquierda
ral Derecha
Función continua en x = a
Autores: Juan Pablo Martí
UNIDAD III:
Recta secante y Recta tangente geométricas
Mtg (pendiente de la tangente) =
Incremento e incremento de la función
Incremento:
0xxx −=∆
Incremento de la funció
()()( 0 fxfxfy =−=∆
Razón de cambio promedio (cociente incremental)
x
y
∆
∆
Razón de cambio instantánea
X
Definición de derivada
dx
dyxfy == )(''
Función derivada
Es la función que nos permite calcular lapunto elegido.
Página 3 Resumen de Análisis matemático I
UNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALES
Recta secante y Recta tangente geométricas
(pendiente de la tangente) = 0
0 )()(
xx
xfxflím
XoX −
−
→
Incremento e incremento de la función
Incremento de la función:
)()( 00 xfxx −∆+
Razón de cambio promedio (cociente incremental)
x
xfxxf
xx
xfxf
∆
−∆+=
−
−=
)()()()( 00
0
0
Razón de cambio instantánea
x
xfxxflím
x
ylím
xXoX ∆
−∆+=
∆
∆
→∆→
)()( 00
0
x
xfxxflím
x
ylímxDf
dx
dy
xXoX ∆
−∆+=
∆
∆==
→∆→
()()( 0
0
Es la función que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del
Resumen de Análisis matemático I
IFERENCIALES
x )0
derivada en un punto en base al valor del
Autores: Juan Pablo Martí
Condición: DomfDomf ⊆'
Interpretación geométrica de la derivada
Es la pendiente de la recta tangente en el punto.
Mtg
Punto anguloso y cuspidal
Si el cociente incremental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada única. Lo que puede ocurrir es:
1. finitosll id (≠
Anguloso 2. ()( ∨+∞= ll
3. l 2∃⇒±∞=
−∞=Mtg ⇒
Derivabilidad y Continuidad
DerivabiliContinuida
Reglas de derivación (tabla de derivadas)
Función )/()( IRkkxf ∈=
xxf =)(
kxxf =)(
)/()( IRmxxf m ∈=
),/()( IRmnxxf n m ∈=
xxf ln)( =
xexf =)(
)10/()( ≠∧>= aaaxf x
)10/(log)( ≠∧>= aaxxf a
xxf sin)( =
xxf cos)( =
xxf tan)( =
xxf cot)( =
xxf sec)( =
xxf csc)( =
xxf arcsin)( =
Página 4 Resumen de Análisis matemático I
Domf
Interpretación geométrica de la derivada
Es la pendiente de la recta tangente en el punto.
x
xfxxflímxfMtgx ∆
−∆+==
→∆
)()()(' 00
0
Punto anguloso y cuspidal
mental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada única. Lo que puede ocurrir es:
gtfinitosr
2) ∃⇒ ⇒ tiene dos derivadas laterales⇒
)−∞= ⇒ tiene derivada infinita
gtr
2 (coincidentes verticales), una con +∞=Mtg
⇒Existe Punto Cuspidal
Derivabilidad y Continuidad
dContinuidadadDerivabili ⇒ dadDerivabilidContinuida ⇒/ (no siempre)
No continua ⇒ No derivable
Reglas de derivación (tabla de derivadas)
Función Derivada 0)( =′ xf
1)( =′ xf
kxf =′ )( 1.)( −=′ mxmxf
1)(
−⋅=′ n
m
xn
mxf
xxf
1)( =′
xexf =′ )(
aaxf x ln.)( =′
axxf
ln.
1)( =′
xxf cos)( =′
xxf sin)( −=′
xxf 2sec)( =′
xxf 2csc)( −=′
xxxf tan.sec)( =′
xxxf tan.csc)( −=′
21
1)(
xxf
−=′
Resumen de Análisis matemático I
mental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada
⇒Existe Punto
+∞ y la otra con
Autores: Juan Pablo Martí
xxf arccos)( =
xxf arctan)( =
xarcxf cot)( =
xarcxf sec)( =
xarcxf csc)( =
xxf cosh)( =
xxf sinh)( =
xxf tanh)( =
xxf coth)( =
hxxf sec)( =
hxxf csc)( =
xxf sinharg)( =
xxf cosharg)( =
xxf tanharg)( =
xxf cotharg)( =
hxxf secarg)( =
hxxf cscarg)( =
Álgebra de la derivada
Derivada de la Suma:
Derivada del Producto:
[ f
Derivada del Cociente:
Derivada de una función compuesta
(
Página 5 Resumen de Análisis matemático I
21
1)(
xxf
−−=′
21
1)(
xxf
+=′
21
1)(
xxf
+−=′
1.
1)(
2 −=′
xxxf
1.
1)(
2 −−=′
xxxf
xxf sinh)( =′
xxf cosh)( =′
xhxf 2sec)( =′
xhxf 2csc)( −=′
xhxxf tanh.sec)( −=′
xhxxf coth.csc)( −=′
21
1)(
xxf
+=′
1
1)(
2 −=′
xxf
21
1)(
xxf
−=′
1
1)(
2 −−=′
xxf
21
1)(
xxxf
−−=′
1
1)(
2 +=′
xxxf
[ ] )()()()( xgxfxgxf ′+′=′
+
] )().()().()().( xgxfxgxfxgxf ′+′=′
)(
)().()().(
)(
)(2
xg
xgxfxgxf
xg
xf ′−′=
′
Derivada de una función compuesta
[ ]dx
df
df
dgxfxfgxgof ⋅=′′=′ )(.)()()
Resumen de Análisis matemático I
Autores: Juan Pablo Martí
gohof(
Derivada de una función en forma implícita
Ejemplos:
xy
yy
+
+=
cossin
.ln 2
Método logarítmico de derivación
Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.
[ ]
[=′
′=′
′=′
=
=
)(
(.
(·1
(ln
)(
xfy
gyy
gyy
xgy
xfy
Derivada de la función inversa
[ ]
[ ]
yyx
yyf
yfx
xxfy
′⇒′′=
′=
′=′
⇒=
−
−
.1
.)(1
)(
)(
1
1
Diferencial
El incremento de la función puede expresarse como
infinitésimo para 0→∆x . Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:
Reglas de diferenciación
Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario de reglas de derivación nos sirven para la diferenciación.
Página 6 Resumen de Análisis matemático I
dx
df
df
dh
dh
dgxgohof ⋅⋅=′ )() (regla de la cadena)
ción en forma implícita
yxysenxyyderivoxyx
xyyyy
derivox
+′=−′⇒⇒=
+′=′⋅⇒⇒+
..cos.
3.21 23
Método logarítmico de derivación
Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.
]
]
′+′
⇒
′+
′⇒′+
⇒
⇒
)(
)().()(ln).(.
)(
)().()(ln).(
)(·)(
1)·()(ln).
)(ln).
ln
)(
)(
xf
xfxgxfxg
yreemplazoxf
xfxgxfx
ydespejoxfxf
xgxfx
derivoxf
aplico
xg
xg
Derivada de la función inversa
x
reemplazoy
composiciounadederivadaaplico
derivoyfx
′=′
⇒′
⇒′
⇒= −
1
)(1
incremento de la función puede expresarse como xxfy +∆′=∆ ).(
. Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:xxfdy ∆′= ).(
o dxydy .′= (expresión analítica)
Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario de ∆reglas de derivación nos sirven para la diferenciación.
Resumen de Análisis matemático I
y
Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.
ncomposicio
x∆+ .ω , siendo ω un
. Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe:
x∆ , las mismas
Autores: Juan Pablo Martí
Interpretación geométrica de la diferencia
Aproximación lineal
Con: � =x punto a aproximar
� =0x punto cercano a x
� 0xxx −=∆
Álgebra de la Diferencial
� [ ] )()()( xdfxgxfd +=+
� [ ] )(.)().( xdfgxgxfd =
� )(
.)(.
)(
)(2
xg
fxdfg
xg
xfd
−=
Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones
)(xf
Cóncava hacia arriba
)(xf ′ Creciente
)(xf ′′ Positiva
UNIDAD IV:
Definición de Máximo relativo (Mr)
)(xfy = tiene un Mr f
Definición de mínimo relativo (mr)
)(xfy = tiene un mr f
Condición necesaria pero no suficiente
Para que exista extremo relativo en un punto
+
P
x
Página 7 Resumen de Análisis matemático I
Interpretación geométrica de la diferencial
xxfxfxf ∆′+≅ ).()()( 00
x
)(gd+
)(. xdgf+
)
)(. xdg
Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones
Cóncava hacia
abajo
Creciente Decreciente
Decreciente
Positiva
Negativa
UNIDAD IV: APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
áximo relativo (Mr)
)( 0xf , siendo ;/);( 0
*
0 xxEDomfx ∀∃⇔∈ δ
Definición de mínimo relativo (mr)
)( 0xf , siendo ;/);( 0
*
0 xxEDomfx ∀∃⇔∈ δ
ecesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativos
Para que exista extremo relativo en un punto Domfx ∈0 es necesario que:
-
+
P
Q
T
R
dy
x∆.ε
y∆
x∆
x xx ∆+
Resumen de Análisis matemático I
Decreciente
Negativa
ULO DIFERENCIAL
)()( 0xfxf ≤
)()( 0xfxf ≥
para la existencia de extremos relativos
-
Autores: Juan Pablo Martí
Punto crítico
Son los puntos donde la función puede presentar un extremo relativo.� Puntos donde
� Puntos donde
Criterios para determinar Extremos relativos
Aplicando la definición
Si Domfx ∈0 es punto crítico y
),( 0xf ( 0 hxf −
� Si [ f (
� Si [ f (
� Si no se cumple ninguna de las anteriores, en
creciente o decreciente.
Método de la derivada primera
1. Derivo la función.2. Hallo los puntos críticos.
3. Si Domfx ∈0
)( 0 hxf −′ , f
� Si [ (f ′
� Si [ (f ′
Método de la derivada segunda
1. Derivo la función.2. Hallo los puntos críticos.3. Hallo la derivada segunda de la función en el punto.
� Si f ′′
� Si f ′′
� Si ′′f
Puntos de Inflexión
( ))(; 00 xfxPi es un Punto de Inflexión de
sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta. Condición necesaria pero no suficiente:
Si ( ))(; 00 xfxPi es un Punto de Inflexión de
Para hallar los Puntos de Inflexión:
1. Hallamos la derivada segunda de la función.
2. La igualamos a cero para hallar los puntos críticos, posibles
3. Analizamos el signo de
inflexión. Existe otro criterio:
Página 8 Resumen de Análisis matemático I
0)( 0 =′∃ xf
Son los puntos donde la función puede presentar un extremo relativo.Puntos donde 0)( =′ xf
Puntos donde )(xf ′∃/ , siendo punto anguloso o cuspidal.
iterios para determinar Extremos relativos
Aplicando la definición
es punto crítico y h un número pequeño arbitrario, calculamos
)h y )( 0 hxf + y los comparamos:
] [ ] xfhxfxfhxfx ⇒−>∧+> ()()()() 0000
] [ ] xfhxfxfhxfx ⇒−<∧+< ()()()() 0000
Si no se cumple ninguna de las anteriores, en 0x la función es
creciente o decreciente.
Método de la derivada primera
Derivo la función. Hallo los puntos críticos.
Domf es punto crítico y h un número pequeño arbitrario, calculamos
)( 0 hxf +′ y concluimos:
] [ ] (0)(0)( 000 xfMrhxfhx =∃⇒<+′∧>−
] [ ] (0)(0)( 000 xfmrhxfhx =∃⇒>+′∧<−
Método de la derivada segunda
función. Hallo los puntos críticos. Hallo la derivada segunda de la función en el punto.
)(0)( 00 xfmrx =∃⇒>′
)(0)( 00 xfMrx =∃⇒<′
0)( 0 =′ x , aplico método de la derivada primera o definición.
es un Punto de Inflexión de )(xf , si y sólo si en dicho punto cambia el
sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta.Condición necesaria pero no suficiente:
es un Punto de Inflexión de )(xf y ()( 0′′⇒′′∃ xfxf
Para hallar los Puntos de Inflexión: Hallamos la derivada segunda de la función.
La igualamos a cero para hallar los puntos críticos, posibles P
nalizamos el signo de )(xf ′′ a ambos lados del punto. Si éste cambia, hay
Resumen de Análisis matemático I
Son los puntos donde la función puede presentar un extremo relativo.
un número pequeño arbitrario, calculamos
Mrx =)0
mrx =)0
la función es
un número pequeño arbitrario, calculamos
)0
)0
, aplico método de la derivada primera o definición.
, si y sólo si en dicho punto cambia el
sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta.
0)0 =x
iP .
a ambos lados del punto. Si éste cambia, hay
Autores: Juan Pablo Martí
Si 0)( 0 =′′ xf , hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el
número de derivada es impar, el punto e
punto de inflexión en x
Extremos absolutos
Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una función en un intervalo );( ba , con los valores de la función
� Si el valor de la función en algún extremo es mayor que el valor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el mayor máximo relativo es el máximo absoluto (M).
� Si el valor de la funciómínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el menor mínimo relativo es el mínimo absoluto (m).
Asíntotas
Definición: Diremos que una recta R es asíntota de una curva
desde un punto P de la curva que se aleja infinitamente sobre la
se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende
Asíntotas Horizontales
La recta by = es una Asíntota Horizontal de
Si )(xf es una función racional, el valor de
siguiente regla:
1. gr. P(x) = gr. Q(x)
2. gr. P(x) < gr. Q(x)
3. gr. P(x) > gr. Q(x)
Asíntotas Verticales
La recta ax = es una Asíntota Vertical de
Para calcular el valor de anulan al polinomio denominador en las cuales el límite tiende a valores infinitos.
Asíntotas Oblicuas
La recta mxy +=
[ ()( +−∞→
mxxflímx
Para hallar el valor de
Para hallar el valor de
Página 9 Resumen de Análisis matemático I
, hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el
número de derivada es impar, el punto es de inflexión. Si el número es par, no existe
0 .
Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una función en un , con los valores de la función en los extremos del mismo:
Si el valor de la función en algún extremo es mayor que el valor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el mayor máximo relativo es el máximo absoluto (M). Si el valor de la función en algún extremo es menor que el valor del menor mínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el menor mínimo relativo es el mínimo absoluto (m).
Diremos que una recta R es asíntota de una curva )(xf , si la distancia “d”
desde un punto P de la curva que se aleja infinitamente sobre la )(xf , tiende a cero. Un punto
se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende
Asíntotas Horizontales
es una Asíntota Horizontal de xflímxfx
⇔∞→
()(
es una función racional, el valor de b se puede calcular mediante la
) = gr. Q(x) ⇒ )(..
)(..
xQppalcoef
xPppalcoefb =
gr. P(x) < gr. Q(x) ⇒ b = 0
gr. P(x) > gr. Q(x) ⇒ b∃/
es una Asíntota Vertical de =⇔→
)()( xflímxfax
el valor de a en funciones racionales, obtenemos las raíces que anulan al polinomio denominador en las cuales el límite tiende a valores
n+ es Asíntota Oblicua de [ cx
ylímxf −⇔∞→
)(
] 0) =+ n .
Para hallar el valor de m calculamos:
x
xflímmx
)(
∞→=
Para hallar el valor de n calculamos:
[ ]mxxflímnx
−=∞→
)(
Resumen de Análisis matemático I
, hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el
s de inflexión. Si el número es par, no existe
Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una función en un
Si el valor de la función en algún extremo es mayor que el valor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el
n en algún extremo es menor que el valor del menor mínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el
, si la distancia “d”
, tiende a cero. Un punto
se aleja infinitamente sobre la curva cuando al menos una coordenada tiende a ∞ .
bx =)
se puede calcular mediante la
∞−
∞+
∞±
=
en funciones racionales, obtenemos las raíces que anulan al polinomio denominador en las cuales el límite tiende a valores
]ry o que
Autores: Juan Pablo Martí
Teoremas del Valor Medio
Las funciones continuas en
teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres más importantes son:
Teorema de Rolle
Si )(xf es continua en [
Teorema de Lagrange
Si )(xf es continua en [
Teorema de Cauchy
Si )(xf y )(xg son continuas en
entonces:
Regla de L’Hôspital
Si 0
0
)(
)(=
→ xg
xflím
ax y
′
′∃
→ (
(
xg
xflím
ax
Si ∞
∞=
∞→
→ )(
)(
xg
xflím
x
ax y
′
′∃
∞→
→ (
(
g
flím
x
ax
Regla de Newton (resolución aproximada de ecuaciones)
Sea 0)( =xf una ecuación cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si
un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe una raíz en ),( ba , y ponemos α
ecuación puede escribirse así:
(αf
donde la nueva incógnita exactamente la raíz =α
Naturalmente no podemos resolver la ecuación por tener pero podemos prescindir de él y tomamos como expresión aproximada de la función el polinomio de primer grado.
f
Función Primitiva
)(xF es una primitiva de
funciones) )( fxF =′⇔
Página 10 Resumen de Análisis matemático I
Teoremas del Valor Medio
ontinuas en [ ]ba; y derivables en );( ba cumplen con un conjunto de
teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres más importantes son:
[ ]ba; y derivable en );( ba y además )( fbf =
0)(/);( =′∈∃ cfbac
[ ]ba; y derivable en );( ba , entonces:
)()()(
/);( cfab
afbfbac ′=
−
−∈∃
son continuas en [ ]ba; y derivables en );( ba , y )(′ xg
)(
)(
)()(
)()(/);(
cg
cf
agbg
afbfbac
′
′=
−
−∈∃
⇒)
)
x
x
)(
)(
)(
)(
xg
xflím
xg
xflím
axax ′
′=
→→
⇒)(
)(
x
x
)(
)(
)(
)(
xg
xflím
xg
xflím
x
ax
x
ax ′
′=
∞→
→
∞→
→
de Newton (resolución aproximada de ecuaciones)
una ecuación cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si
un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe una raíz xa ′+= , aplicando el desarrollo de Taylor al intervalo
ecuación puede escribirse así:
0)(..2
1)(.)() 2 =′′′+′′+= ξα fxafxaf
donde la nueva incógnita x′ es el incremento que debe asignarse al valor xa ′+= .
Naturalmente no podemos resolver la ecuación por tener 2x′ en el segundo término,
pero podemos prescindir de él y tomamos como expresión aproximada de la función el e primer grado.
0)(.)( =′′+ afxaf da: )(
)(
af
afx
′−=′
UNIDAD V: INTEGRALES
es una primitiva de )(xf Cx ∈∀ (conjunto común a los dominios de las dos
)(xf
Resumen de Análisis matemático I
cumplen con un conjunto de
teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres más importantes son:
)(af , entonces:
0) ≠ en el );( ba ,
una ecuación cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si a es
un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe una raíz α y sólo una , aplicando el desarrollo de Taylor al intervalo );( αa , la
es el incremento que debe asignarse al valor a para tener
en el segundo término, pero podemos prescindir de él y tomamos como expresión aproximada de la función el
(conjunto común a los dominios de las dos
Autores: Juan Pablo Martí
Cálculo Integral
Conocida )(xf , para hallar
antepuesto al producto
Integral Indefinida
Si )(xF es una primitiva de
la )(xf a la expresión F
Tabla de Integrales Inmediatas
Función
dx.0∫
∫ dx
IRkdxk ∈∫ /.
)1(/. −≠∫ ndxx n
dxx.sin∫
dxx.cos∫
dxe x .∫
dxa x .∫
dxx
.1∫
dxax
.1
∫ −
dxax∫
.ln.
1
dxx.sec2
∫
dxx.csc2
∫−
dxxx .tan.sec∫
dxxx .tan.csc∫−
dxx
.1
1
2∫−
dxx
.1
1
2∫−
−
dxx
.1
12∫ +
Página 11 Resumen de Análisis matemático I
, para hallar )(xF usamos el operador integral ∫ y será tal que
antepuesto al producto dxxf ).( nos dé como resultado )(xF
∫ =′⇒= )()()().( xfxFxFdxxf
es una primitiva de )(xf en un conjunto C, llamaremos integral indefinida de
cxF +)( , donde IRc ∈ .
∫ += cxFdxxf )().(
Tabla de Integrales Inmediatas
Primitiva
IRkk ∈/
x
kx
cn
xn
++
+
1
1
cx +− cos
cx +sin
cex +
ca
ax
+ln
cx +ln
cax +−ln
cxa +log
cx +tan
cx +cot
cx +sec
cx +csc
cx +arcsin
cx +arccos
cx +arctan
Resumen de Análisis matemático I
y será tal que
en un conjunto C, llamaremos integral indefinida de
Autores: Juan Pablo Martí
dxx
.1
12∫ +
−
dxxx
.1.
1
2∫−
dxxx
.1.
1
2∫−
−
dxx.sinh∫
dxx.cosh∫
dxxh .sec 2
∫
dxxh .csc 2
∫−
dxxhx .tanh.sec∫−
dxxhx .coth.csc∫−
dxx
.1
1
2∫+
dxx
.1
1
2∫−
dxx
.1
12∫ −
dxx
.1
12∫ −
−
dxxx
.1
1
2∫−
−
dxxx
.1
1
2∫+
Propiedades de las Integrales Indefinidas
1. Integral de una suma: ∫2. Integral de una constante por una función:
Métodos Generales de Integración
Descomposición
Se aplica cuando la
Consiste en aplicar integral de una suma.
Sustitución
Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable
En general son del tipo
Ejemplo:
Página 12 Resumen de Análisis matemático I
cxarc +cot
cxarc +sec
cxarc +csc
cx +cosh
cx +sinh
cx +tanh
cx +coth
chx +sec
chx +csc
cx +sinharg
cx +cosharg
cx +tanharg
cx +cotharg
chx +secarg
chx +cscarg
Propiedades de las Integrales Indefinidas
[ ] cxGxFdxxgxf +±=±∫ )()(.)()(
Integral de una constante por una función: ∫ = kxFkdxxfk /)(.).(.
de Integración
Se aplica cuando la )(xf es una suma de funciones, o se puede convertir en tal.
Consiste en aplicar integral de una suma.
Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable
En general son del tipo [ ] dxxfxfg ).(.)( ′∫
Resumen de Análisis matemático I
∈ IR
es una suma de funciones, o se puede convertir en tal.
Se hace un cambio de variable, de tal manera que con respecto a la nueva variable, la integral resulte inmediata. Una vez resuelta, vuelvo a la variable x .
Autores: Juan Pablo Martí
[
duu
+
∫
∫
3 ..2
1
sin(1
Integración por partes
Surge de integrar la diferencial de un producto.
∫
∫=
=
=
duvvu
vud
vud
..
).(
).(
Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar simplificada, de manera de poder reso
Ejemplo:
xx
dxxx
−
∫
cos.
.sin.
Integrales trigonométricas
1. Primer caso: Potencia impar:Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1, para que de ello resulten integrales inmediaser resueltas por los tres métodos.
2. Segundo caso: Potencia par:Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser resuelta inmediatamente o aplicando los métodos.
3. Tercer caso: Producto de potencias de seno y coseDescompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para que de ello resultres métodos.
4. Cuarto caso: Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares:Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me queden sumas y restas de
a integrales de sin
identidades trigonométricas para convertirlos en sumas y resolver por descomposición.
5. Quinto caso: Producto de senos y cosenos:Surge de aplicar las fórmulas de transformación trigonométricas:
� cos.sin qp =
Página 13 Resumen de Análisis matemático I
]
[ ]xcucu
du
dxxdu
dxxdu
xu
dxxx
++=+=++
=
=
=
=
+=
=
+44
13
3
)2sin(18
1
8
1
)13.(2
).2cos(2
).2cos(2
)2sin(1
).2cos(.)2sin(
Integración por partes
Surge de integrar la diferencial de un producto.
∫
∫∫+
+=
+
dvudu
dvuduv
dvuduv
.
..
..
∫∫ −= duvvudvu ...
Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar simplificada, de manera de poder resolverla inmediatamente o por otro método.
cxxxdxx
xvdxxdv
dxduxudx
++−=−−
=−==
===
∫ sincos..)cos(
cos.sin
Integrales trigonométricas
Potencia impar: Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1, para que de ello resulten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los tres métodos.
Potencia par: Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser resuelta inmediatamente o aplicando los métodos.
Producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar:Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para que de ello resulten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los
Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares:Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me queden sumas y restas de sólo senos o sólo cosenos. De esta manera logro llegar
x2sin o x
2cos , y en ellas los reemplazo utilizando las identidades trigonométricas para convertirlos en sumas y resolver por descomposición.
Producto de senos y cosenos: Surge de aplicar las fórmulas de transformación trigonométricas:
2
)cos()sin( qpqp −++=
Resumen de Análisis matemático I
c
Luego, reemplazo la integral propuesta por su equivalente, la que debe quedar lverla inmediatamente o por otro método.
Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con tas o susceptibles de
Convierto el integrando en una identidad equivalente para que pueda ser
no con un exponente impar: Descompongo la potencia impar en un producto de una par y otra con exponente 1. La potencia par puede ser reemplazada por una identidad equivalente que contenga la primitiva de la potencia de exponente uno. para
ten integrales inmediatas o susceptibles de ser resueltas por los
Producto de potencias de seno y coseno con exponentes pares: Convierto una de las potencias en su identidad equivalente, de manera que me
sólo senos o sólo cosenos. De esta manera logro llegar
, y en ellas los reemplazo utilizando las identidades trigonométricas para convertirlos en sumas y resolver por
Surge de aplicar las fórmulas de transformación trigonométricas:
Autores: Juan Pablo Martí
(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del seno de la suma y de la resta)
� cos.cos qp =
(deducida de una suma m.la resta)
� sin.sin qp =
(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de la resta)
Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas
⇒+=
⇒=+
−=+
)2cos(1cos.2
cossin)2cos(
sincos.cos)cos(
2
)1(22
xx
xxx
xxxxx
por
cos2x =
Método de descomposición en fracciones simples
Consiste en descomponer una función racional en la cual
)(xQ , en una suma de fracciones más simples, para luego resolver la integral por
descomposición. Existen cuatro casos:
1. Primer caso: Raíces simples
()()(
)(
1 xx
B
xx
A
xQ
xP
−+
−=
nxxx ,...,, 21 raíces simples de
2. Segundo caso: Raíces múltiples:
()()(
)(
1
nxxx
A
xQ
xP
−+
−=
NDCBA ,...,,,, coeficientes incógnita,
simples de )(xQ .
3. Tercer caso: Raíces complejas simples:
)(
)(
21 Q
DCx
Q
BAx
xQ
xP ++
+=
coeficientes incógnita, Q
de )(xQ y nxxx ,...,, 21 raíces simples de
Integral Definida
Si una función )(xf es continua en un intervalo
región R, en dicho intervalo existe un ú)(xf .
Página 14 Resumen de Análisis matemático I
(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del seno de la suma y de la
2
)cos()cos( qpqp −++=
(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de
2
)cos()cos( qpqp +−−
(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de
Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas
1cossin 22 =+ xx (1)
+⇒−+=
⇒−=⇒
coscoscos1)2cos(cos
sincos)2cos(sin.
2222
22
xxxx
xxxxx
2
)2cos(1 x+= (2) y
2
)2cos(1sin 2 x
x−
= (3)
Método de descomposición en fracciones simples
Consiste en descomponer una función racional en la cual )(xP es de menor grado que
, en una suma de fracciones más simples, para luego resolver la integral por
descomposición. Existen cuatro casos:
Raíces simples:
)(...
)2 nxx
N
x −++ con NBA ,...,, coeficientes incógnita y
simples de )(xQ .
Raíces múltiples:
)()(...
)() 21
2
1
1
1
nn xx
E
xx
D
xx
C
x
B
−+
−++
−+
− −−
coeficientes incógnita, 1x raíz múltiple de )(xQ y x
Raíces complejas simples:
)(...
)()( 21 nxx
N
xx
F
xx
ED
−++
−+
−+ con A,
21 ,QQ polinomios irreducibles que contengan raíces complejas
raíces simples de )(xQ
es continua en un intervalo [ ]ba; y determina con el eje
región R, en dicho intervalo existe un único valor real que es la integral definida de
Resumen de Análisis matemático I
(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del seno de la suma y de la
a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de
(deducida de una suma m.a.m. entre las fórmulas del coseno de la suma y de
Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas
⇒+= 1)2cos(2xx
es de menor grado que
, en una suma de fracciones más simples, para luego resolver la integral por
coeficientes incógnita y
)(...
nxx
N
−++ con
nxx ,...,2 raíces
NFEDCB ,...,,,,,,
polinomios irreducibles que contengan raíces complejas
y determina con el eje x una
nico valor real que es la integral definida de
Autores: Juan Pablo Martí
∫ xfb
a)(
Propiedades de la Integral Definida
I. 0.)( =∫ dxxfa
a
II. dxxfdxxfa
b
b
a.)(.)( ∫∫ −=
III. Si )(xf es integrable en
IV. Si )(xf y )(xg son integrables en
dxxgdxxfb
a
b
a.)(.)( ∫∫ ≥
V. Si )(xf y )(xg son integrables en
VI. Si )(xf es integrable en
VII. Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no cambia.
VIII. Si kkxf ∈= /)(
IX. Si )(xf es integrable en
Teorema del valor medio del cálculo integral
Si )(xf es continua en
Para demostrarlo partimos de que si
absoluto) y un M (máximo absoluto). Luego integramos estas 3 func
my = y My = ). Aplicamos propiedades y despejamos.
Función integral
Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces
va a ser una función del extremo variable y la llamamos
De allí se puede deducir que
Regla de Barrow
Si )(xF es una primitiva de
UNIDAD VI:
Cálculo de áreas
Si una función )(xf es continua en un intervalo
gráfica con el eje de las abscisas es la integral definida de
Página 15 Resumen de Análisis matemático I
=dx.) Integral definida de )(xf en [ ]ba;
Propiedades de la Integral Definida
dx
es integrable en [ ]ba; y 0)( ≥xf en [ ]⇒ba; 0.)( ≥∫ dxxfb
a
son integrables en [ ]ba; y [ ]bax ;∈∀ es ≥ ()( xgxf
son integrables en [ ]⇒ba; [ ] fdxxgxfb
a
b
a.)()( ∫∫ =+
es integrable en [ ]ba; y ⇒∈ IRk ∫∫ =b
a
b
adxxfkdxxfk ).(.).(.
Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no
IR en [ ]⇒ba; ).(. abkdxkb
a−=∫
le en [ ]ba; y ⇒∈ );( bac dxxfdxxfc
a
b
a.)(.)( ∫∫ =
Teorema del valor medio del cálculo integral
[ ]ba; , entonces existe al menos un punto c ∈
)).((.)( abcfdxxfb
a−=∫
Para demostrarlo partimos de que si )(xf es continua en [ ]ba; , tiene un
(máximo absoluto). Luego integramos estas 3 func
). Aplicamos propiedades y despejamos.
Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces
ción del extremo variable y la llamamos )(xF .
De allí se puede deducir que cxFdttfx
a+=∫ )(.)( (integral indefinida).
es una primitiva de )(xf en [ ]ba; , entonces:
b
a
b
axFaFbFdxxf )()()(.)( =−=∫
UNIDAD VI: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL
es continua en un intervalo [ ]ba; , el área A , que determina su
de las abscisas es la integral definida de )(xf entre
Resumen de Análisis matemático I
0
⇒)x
dxxgdxxfb
a.)(.)( ∫+
dx
Si en la integral definida, la x se sustituye por otra variable, el valor de la integral no
dxxfdxb
c.)(∫+
);( ba∈ tal que:
, tiene un m (mínimo
(máximo absoluto). Luego integramos estas 3 funciones ( )(xf ,
Si a uno de los extremos de la integral definida lo hacemos variable, entonces dttfx
a.)(∫
(integral indefinida).
NTEGRAL
, que determina su
entre ax =1 y bx =2 .
Autores: Juan Pablo Martí
(Área de la región comprendida entre
� Si )(xf mantiene el signo en
recinto.
� Si )(xf no mantiene su signo en
integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las integrales definidas en cada intervalo de negatividad. Esto es:
Si )(xf , definida en [a;
área dxxfAb
c
c
a.)( ∫∫ +=
Área entre dos curvas
Si )(xf y )(xg son integrables en
calcular el área entre f
AAA RRR 1 −=
Si las curvas se cortan, y los puntos donde lo hace no son
averiguarlos resolviendo el sistema
a
Página 16 Resumen de Análisis matemático I
Adxxfb
a=∫ .)(
ón comprendida entre )(xf , el eje xr
y las rectas
mantiene el signo en [ ]ba; , la integral definida se interpreta como el área del
no mantiene su signo en [ ]ba; , el área del recinto se calcula sumando las
integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las integrales definidas en cada intervalo de negatividad. Esto es:
]b; es [ ] 0)(:; ≥∈∀ xfcax y [ ] (:;∈∀ xfbcx
dxxfb
.)(
son integrables en [ ]ba; , y )()( xgxf > dentro del intervalo, podemos
),(xf ),(xg ax = y bx =
[ ]xgxfdxxgdxxfb
a
b
a
b
aR )()(.)(.)(2 ∫∫∫ −=−=
Si las curvas se cortan, y los puntos donde lo hace no son datos del problema, debemos
averiguarlos resolviendo el sistema
=
=
)(
)(
xgy
xfy.
A
)(xf
)(xg
a b
Resumen de Análisis matemático I
y las rectas ax = y bx = )
, la integral definida se interpreta como el área del
, el área del recinto se calcula sumando las
integrales definidas en cada intervalo de positividad y los valores absolutos de las
0) ≤x , entonces el
del intervalo, podemos
]dx.
datos del problema, debemos
Autores: Juan Pablo Martí
Sólidos de revolución
Llamamos así a los cuerpos engendrados por la rotación de un arco una curva C , cuando ésta rota alrededor de un eje de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una circunferencia cuyo radio es la distancia entre el punto y el eje
continua, podemos calcular el área lateral y el volumen del sólido de revolución, utilizando el cálculo integral.
Área Lateral:
Volumen:
Rectificaciones de arcos de curvas
Se llama así al cálculo de la longitud de un arco C . Su fórmula es:
Integración Numérica Aproximada
Cuando la función es empírica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar métodos de integración numérica aproximada, para hallar el valor de la integral.
Método de los trapecios
� Se realiza una partición regular del
igual amplitud ∆
� Si se lo descompone en
� Para cada subintervalo obtengo un trapecio de área
� ∑∑ == AtA iR
� Mientras mayor sea
Área debajo de un arco de parábola
Página 17 Resumen de Análisis matemático I
Llamamos así a los cuerpos engendrados por la rotación de un arco ndo ésta rota alrededor de un eje e . A la curva que recorre cada uno
de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una circunferencia cuyo radio es la distancia entre el punto y el eje e . Si la
continua, podemos calcular el área lateral y el volumen del sólido de revolución, utilizando el cálculo integral.
∫ ′+=b
aL dxxfxfA .)(1).(.2 2π
dxxfVb
a.)(2
∫= π
ones de arcos de curvas planas
Se llama así al cálculo de la longitud de un arco AB correspondiente a una curva plana
dxxfLb
a.1)(2
∫ +′=
Integración Numérica Aproximada
empírica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar métodos de integración numérica aproximada, para hallar el valor de la integral.
Método de los trapecios
Se realiza una partición regular del [ ]ba; , que lo descompone en los
hxi =∆ .
Si se lo descompone en n subintervalos n
abh
−=⇒ .
Para cada subintervalo obtengo un trapecio de área f
At i =
∑
+− hxfxf ii ·
2
)()( 1
++= ∑
−
=
1
1
0 2)(2
n
i
inR yyyh
A
Mientras mayor sea n , menor será el error del cálculo.
Área debajo de un arco de parábola
)4(3
210 yyyh
A ++=
Resumen de Análisis matemático I
AB (generatriz), de . A la curva que recorre cada uno
de los puntos del arco en el movimiento se la llama directriz, que en este caso es una . Si la )(xf es
continua, podemos calcular el área lateral y el volumen del sólido de revolución,
correspondiente a una curva plana
empírica (surge de la experiencia) o no podemos hallar la primitiva de la misma, debemos aplicar métodos de integración numérica aproximada, para
, que lo descompone en los [ ]ii xx ;1− , de
hxfxf ii ·
2
)()( 1 +− .
Autores: Juan Pablo Martí
Donde 0x es la abscisa del primer extremo
medio y 2x es la abscisa del extremo final. Entonces
)( 22 xfy = y 2
2 xxh
−=
Fórmula de Simpson
� Se realiza una partición regular del
par) de subintervalos
� Por tres puntos no alineados se puede hacer pasar unentonces, calculando el área de cada arco y sumándola:
4(3
10 yyh
A ++≅
(3
0yh
A
+≅
� Ésta fórmula es más exacta que la de los trapecios.
Integrales Impropias o Generalizadas
Cuando el intervalo [ ba;
finito y )(xf no es continua y no está
se llama Impropia o Generalizada.
(I). · )(xf es continua en
Integral Impropia:
· )(xf es continua en
Integral Impropia:
Para ambos casos: a. Si el límite existe, entonces la integral es b. Si el límite no existe, entonces la integral es
(II). )(xf es discontinua con salto infinito en
a. Cuando el salto está en
b. Cuando el salto está en
UNIDAD VII:
Sucesiones
Definición:
Página 18 Resumen de Análisis matemático I
es la abscisa del primer extremo del intervalo, 1x es la abscisa del punto
es la abscisa del extremo final. Entonces ),( 00 xfy = 1y
0x.
e realiza una partición regular del [ ]ba; , que lo descompone en
par) de subintervalos [ ]ii xx ;1− , de igual amplitud b
hxi ==∆
Por tres puntos no alineados se puede hacer pasar un arco de parábola, entonces, calculando el área de cada arco y sumándola:
4(3
...)4(3
) 124322 nn yyh
yyyh
y +++++++ −−
)24(3
24)2
1
2
2
1
212 PIEh
yyy
n
i
n
i
iin ++=
+++ ∑ ∑=
−
=+
Ésta fórmula es más exacta que la de los trapecios.
Integrales Impropias o Generalizadas
]b es infinito y )(xf es continua, o cuando el intervalo
no es continua y no está acotada, o sea, presenta salto infinito, la integral
se llama Impropia o Generalizada.
es continua en );[ ∞a y dxxfabb
a.)(: ∫∃>∀ (o sea es integrable):
dxxflímdxxfb
aba.)(.)( ∫∫ ∞→
∞
=
es continua en ]b;(−∞ y dxxfbab
a.)(: ∫∃<∀ (o sea es integrable
dxxflímdxxfb
aa
b
.)(.)( ∫∫ −∞→∞−=
Si el límite existe, entonces la integral es Convergente. Si el límite no existe, entonces la integral es Divergente.
es discontinua con salto infinito en [ ]ba; . ae > y be >
Cuando el salto está en bx = , entonces límdxxfbe
b
a.)(∫ −→
=
Cuando el salto está en ax = , entonces límdxxfae
b
a.)(∫ +→
=
UNIDAD VII: SERIES Y SUCESIONES
Resumen de Análisis matemático I
es la abscisa del punto
),( 11 xf=
, que lo descompone en n (número
n
ab −.
arco de parábola,
)1 ny+
)
es continua, o cuando el intervalo [ ]ba; es
, o sea, presenta salto infinito, la integral
(o sea es integrable):
(o sea es integrable):
dxxflíme
a.)(∫−
dxxflímb
e.)(∫+
Autores: Juan Pablo Martí
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, llamados términos. Trabajaremos con sucesiones numéricas.
En toda sucesión hay un primer elemento
que se lo designa na , y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada
término de la sucesión.
La sucesión suele representarse
suspensivos después de
Una sucesión numérica infinita es una función cuyo Dominio es
incluida en IR , entonces es una función del tipo
Sucesión Constante:
Si ==∈∀ kaINn n: constante
Igualdad de sucesiones:
Las sucesiones )( na y (b
imágenes implica igualdad de suc Sucesiones acotadas: Una sucesión estará acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.
Límite de una sucesión
ε ∃>∀⇔=∞→
lalím nn
:0
Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes
1. Si la sucesión tiene límite 2. Si el límite es infinito o no existe, es 3. En algunos casos, si el límite no existe, decimos que es
Propiedades del límite de una sucesión
1. El límite de una sucesión numérica es único.
2. Si )( na y )( nb son sucesiones convergentes, entonces
( )n
nnn
límbalím→∞→
=±
3. ( )n
nnn
límbalím∞→∞→
=.
4.
n
n
n
n
n blím
alím
b
alím
∞→
∞→
∞→=
5. Si )( na y )( nc convergen al mismo límite
lblím nn
=∞→
.
6. Si lalím nn
=∞→
y l
Si
<⇒<
>⇒>
akl
akl
n
n
Página 19 Resumen de Análisis matemático I
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, llamados términos. Trabajaremos con sucesiones numéricas.
En toda sucesión hay un primer elemento 1a , un segundo, etc. y un término general
, y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada
La sucesión suele representarse ,...),...,,,,()( 4321 nn aaaaaa = , donde los puntos
suspensivos después de na indican que tiene infinitos términos.
Una sucesión numérica infinita es una función cuyo Dominio es IN
, entonces es una función del tipo nIRINS ∈∀→ /:
constante )( na⇒ es una sucesión constante.
Igualdad de sucesiones:
)nb serán iguales si nn baINn =∈∀ : . No siempre igualdad de
imágenes implica igualdad de sucesiones.
Una sucesión estará acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.
( εε <−⇒>∧∈∀> lannINnnn n00 :/0)(
Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes
Si la sucesión tiene límite l finito, es CONVERGENTE. Si el límite es infinito o no existe, es DIVERGENTE. En algunos casos, si el límite no existe, decimos que es OSCILANTE
Propiedades del límite de una sucesión
El límite de una sucesión numérica es único.
son sucesiones convergentes, entonces
nn
n blímalím∞→∞→
± .
nn
n blíma∞→∞
.
n
n
b
a, si 0≠
∞→n
nblím
convergen al mismo límite l y ≤∈∀ naINn :
k≠ /0n∃⇒ si kann n ≠⇒> 0 . En síntesis:
<
>
k
k
Resumen de Análisis matemático I
Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos, llamados términos. Trabajaremos
, un segundo, etc. y un término general
, y que es el generador, ya que contiene la regla para obtener cada
, donde los puntos
y la Imagen está
nanSIN =∈ )(: .
. No siempre igualdad de
Una sucesión estará acotada si tiene cotas inferiores y cotas superiores.
)ε
OSCILANTE.
⇒≤ nn cb
Autores: Juan Pablo Martí
Sucesiones monótonas
1. Una sucesión será
sentido estricto).
2. Una sucesión será
sentido estricto).
Para determinar el crecimiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar:
1. ⇒≤+
11n
n
a
a es Creciente
2. ⇒≥+
11n
n
a
a es Decreciente
Criterios de convergencia y divergencia
Series Numéricas
Definición
Llamaremos SERIE NUMÉRICA asociada a la expresión:
1
==∑∑∞
nn aa
Propiedades de las series infinitas
I. Si las series ∑a
IRc ∈ , entonces las series convergen a las sumas que se ind
1. ∑ =ac n.
2. (an +∑3. ( ban −∑
II. Si suprimimos los primeros
(convergente o divergente). Y si
h
h
n AAa −=∑∞
+1
.
Monótona
No monótona
Acotada
Convergente
Página 20 Resumen de Análisis matemático I
Una sucesión será CRECIENTE, cuando 1: +≤∈∀ nn aaINn (< para que sea en
sentido estricto).
Una sucesión será DECRECIENTE, cuando 1: +≥∈∀ nn aaINn
sentido estricto).
Para determinar el crecimiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar:
es Creciente
es Decreciente
de convergencia y divergencia
Llamaremos SERIE NUMÉRICA asociada a la expresión:
......321 +++++ naaaa
las series infinitas
na y ∑ nb convergen respectivamente a los números
, entonces las series convergen a las sumas que se ind
= Ac.
) BAbn +=
) BAbn −=
Si suprimimos los primeros h términos de una serie, no varía su naturaleza
(convergente o divergente). Y si Aan =∑ y ∑ =h
hn Aa1
, entonces
No monótona
Acotada No acotada
No Convergente
Puede converger o no
Monótona
Acotada
Implica
Resumen de Análisis matemático I
(< para que sea en
1 (> para que sea en
Para determinar el crecimiento o decrecimiento de sucesiones, basta con comparar:
convergen respectivamente a los números A y B , y
, entonces las series convergen a las sumas que se indican:
términos de una serie, no varía su naturaleza
, entonces
No acotada
Autores: Juan Pablo Martí
Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia
Si la serie ∑ na es convergente, entonces
cumple, pero la contra recíproca sí, y es muy
Criterio para la divergencia:
Serie Geométrica
La serie dada por .∑ ra
Serie Geométrica de razón
Criterio de convergencia para series geométricas
Serie Geométrica de razón r diverge si
Definición de P-Series
La serie dada por 1
∑ pn
Cuando 1=p , la P-Serie correspondiente se llama Serie Armónica.
Convergencia de P-Series
1. Converge si
2. Diverge si
Series de términos positivos
Una serie ∑ na que tiene
la sucesión de sumas parciales es está acotada, será convergente. Para determinar su convergencia conviene usar el criterio de comparación directa.
Criterio de comparación directa
Dadas las series
1. Si ∑ nb converge, entonces
número
2. Si ∑ na
Criterio de D’Lambert para serie de términos
Sea ∑ na una Serie de Términos Positivos y
1. ∑⇒<l 1
2. ∑⇒>l 1
3. ⇒= 1l , nada se puede afirmar.
Criterio de la Raíz o de Cauchy
Sea ∑ na una Serie de Términos Positivos y
1. ∑⇒<l 1
Página 21 Resumen de Análisis matemático I
Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia
es convergente, entonces 0=∞→
nn
alím . La recíproca no siempre se
cumple, pero la contra recíproca sí, y es muy importante:
Criterio para la divergencia: si 0≠∞→
nn
alím , entonces ∑ na es divergente.
......... 121 +++++= −− nnrararaar , con ≠a
Serie Geométrica de razón r .
Criterio de convergencia para series geométricas
diverge si 1≥r y converge si 10 << r con suma
...1
...3
1
2
1
1
1+++++=
pppppn
, con 0>p se llama P
Serie correspondiente se llama Serie Armónica.
Converge si 1>p
Diverge si 10 ≤< p
eries de términos positivos
que tiene 0>na se denomina Serie de Términos Positivos. En tal caso,
la sucesión de sumas parciales es monótona creciente, entonces si se comprueba que ergente. Para determinar su convergencia conviene usar el
criterio de comparación directa.
Criterio de comparación directa
Dadas las series ∑ na y ∑ nb , y sean nn baINn ≤≤∈∀ 0: , entonces:
converge, entonces ∑ na converge. Y si ∑B , entonces ∑ na converge al número A ≤
diverge, entonces ∑ nb diverge.
Criterio de D’Lambert para serie de términos
una Serie de Términos Positivos y la
alím
n
n
n=+
∞→
1 , y es:
∑ na es convergente.
∑ na es divergente.
, nada se puede afirmar.
Criterio de la Raíz o de Cauchy
una Serie de Términos Positivos y lalím nn
n=
∞→, y es:
∑ na es convergente.
Resumen de Análisis matemático I
. La recíproca no siempre se
es divergente.
0 se denomina
con suma r
aS
−=
1.
se llama P-Serie.
se denomina Serie de Términos Positivos. En tal caso,
, entonces si se comprueba que ergente. Para determinar su convergencia conviene usar el
, entonces:
nb converge al
B≤ .
, y es:
, y es:
Autores: Juan Pablo Martí
2. ∑⇒>l 1
3. ⇒= 1l , nada se puede afirmar.
Criterio de Rabe
Sea ∑ na una Serie de Términos Positivos y
1. ∑⇒>l 1
2. ∑⇒<l 1
3. ⇒= 1l , nada se
Series alternadas
Si 0>na a la serie ∑ −(
Las series ∑ +− n
na.)1( 1
siguientes condiciones.
1. na es monótona decreciente
2. 0=∞→
nn
alím
Convergencia absoluta
Si ∑ na es una serie de Términos Cualesquiera, formamos
convergente, entonces diremos que
demostrar que:
Si
Si en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie
convergerá al mismo número que
Convergencia condicional
Si ∑ na es una serie de Términos Cualesquiera que converge y
entonces decimos que
Si en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie no convergerá al mismo número.
Página 22 Resumen de Análisis matemático I
∑ na es divergente.
, nada se puede afirmar.
una Serie de Términos Positivos y a
anlím
n
n
n
− +
∞→
11.
∑ na es convergente.
∑ na es divergente.
, nada se puede afirmar.
+− n
na.)1 1 la llamamos Serie Alternada.
y ∑ −− n
na.)1( 1 serán convergentes si y sólo si cumplen las
monótona decreciente.
es una serie de Términos Cualesquiera, formamos ∑ na . Si
convergente, entonces diremos que ∑ na es absolutamente convergente
∑ na converge, entonces ∑ na converge.
Si en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie
mo número que ∑ na .
es una serie de Términos Cualesquiera que converge y
entonces decimos que ∑ na es condicionalmente convergente
i en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie convergerá al mismo número.
Resumen de Análisis matemático I
l= , y es:
si y sólo si cumplen las
. Si ∑ na es
absolutamente convergente. Y se puede
Si en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie
es una serie de Términos Cualesquiera que converge y ∑ na diverge,
condicionalmente convergente.
i en estas series se ordenan sus términos de manera diferente, la nueva serie
Autores: Juan Pablo Martí
Convergencia
Definición de Serie de Potencias
Es la serie de expresión
También está la Serie de potencias controlada en la constante
.().( 10
0
+=−∑∞
n
n aacxa
Por cada valor que se le asigne a ser convergente. Por cada valor de número Sxf =)( , que es su suma, es decir que la serie sería una Función de
dominio es el conjunto de valores de Toda serie de potencias es convergente en su centro (
Convergencia de una serie de potencias
Para toda serie de potencias pueden ocurrir tres cosas:1. Que converja sólo en su centro2. Que converja para todo3. Que exista un número
diverja en );( ∪−−∞ Rc
correspondiente se llama Inter
Para calcular R hacemos: =nlímR
La convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular.
Propiedades de una función definida por una serie de potencias
Las funciones definidas por una ser
Fórmula de Taylor (aproximación de una función con un polinomio)
Podemos aproximar una función con un polinomio:
xfxfxPxf ).(()()()( 00′+=≅
nn
alím∞→
Si la serie es de términos
D’Alambert Cauchy
Página 23 Resumen de Análisis matemático I
de Potencias
Es la serie de expresión .......... 2
210
0
+++++=∑∞
n
n
n
n xaxaxaaxa .
de potencias controlada en la constante c a la expresión
...).(...).().( 2
2 +−++−+− n
n cxacxacx .
Por cada valor que se le asigne a x obtendremos una serie numérica, que puede o no ser convergente. Por cada valor de x que hace a la serie convergente se obtiene un
, que es su suma, es decir que la serie sería una Función de
dominio es el conjunto de valores de x para los cuales la serie se hace convergente.Toda serie de potencias es convergente en su centro ( c ).
Convergencia de una serie de potencias
Para toda serie de potencias pueden ocurrir tres cosas: Que converja sólo en su centro Que converja para todo x Que exista un número R , tal que la serie converja en el intervalo
);( ∞+∪ Rc . A R se lo llama radio de convergencia y el dominio
correspondiente se llama Intervalo de Convergencia.
1+∞→
n
n
n a
alím
La convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular.
edades de una función definida por una serie de potencias
Las funciones definidas por una serie de potencias son derivables e integrables en su intervalo de convergencia.
(aproximación de una función con un polinomio)
Podemos aproximar una función con un polinomio: n
xn
xfxx
xfxx .(
!
)(...).(
!2
)()).( 0
)(2
00
0 ++−′′
+−
Si es ⇒≠ 0 Diverge
Si es 0=
Criterios
Si la serie es de términos Si la serie es Alternada
Rabe Comparación Directa
Convergencia Absoluta
Resumen de Análisis matemático I
a la expresión
obtendremos una serie numérica, que puede o no que hace a la serie convergente se obtiene un
, que es su suma, es decir que la serie sería una Función de x cuyo
a serie se hace convergente.
, tal que la serie converja en el intervalo );( RcRc +− y
se lo llama radio de convergencia y el dominio
La convergencia en los extremos del intervalo se determina en cada caso en particular.
edades de una función definida por una serie de potencias
ie de potencias son derivables e integrables en su
(aproximación de una función con un polinomio)
nx )0− .
Si la serie es Alternada
Convergencia
Autores: Juan Pablo Martí
Pero esta expresión es aproximada. Paracomplementario correspondiente al error cometido en el cálculo, de la forma
);(/·)!1(
)(0
1)1(
xxcxn
cfT
nn
n ∈+
= ++
, entonces, la función queda determinada por:
00 ).(()()( −′+= xxxfxfxf
Fórmula de Mc Laurin
Cuando 00 =x , reemplazamos en la fórmula de Taylor y obtenemos:
)0()( += ffxf
Serie de Taylor
Serie de Mc Laurin
Para que la Serie de Mc Laurin o de Taylor sean igualescumplirse dos condiciones:
1. Que la Serie sea convergente
2. Que el 0=∞→
nn
Tlím
Esas condiciones se cumplen en muchas funciones, algunas de ellas son:
� ...!3!2
132
++++=xx
xex
� !7!5!3
sin753
−+−=xxx
xx
� !6!4!2
1cos642
−+−=xxx
x
� 7!5!3
sinh53
+++=xxx
xx
� !4!2
1cosh42
+++=xxx
x
Página 24 Resumen de Análisis matemático I
Pero esta expresión es aproximada. Para que sea exacta, se debe agregar al final un término complementario correspondiente al error cometido en el cálculo, de la forma
, entonces, la función queda determinada por:
nTxPxf += )()(
00
)(2
00
0 ).(!
)(...).(
!2
)() −++−
′′+
n
xxn
xfxx
xfx
, reemplazamos en la fórmula de Taylor y obtenemos:
)1()(2
)!1(
)(.
!
)0(....
!2
)0().0(
+
++++
′′+′
nn
n
n
cfx
n
fx
fxf
∑ − n
n
xxn
xf).(
!
)(0
0
)(
∑ nn
xn
f.
!
)0()(
Para que la Serie de Mc Laurin o de Taylor sean iguales a la función que representan tienen que
Que la Serie sea convergente
Esas condiciones se cumplen en muchas funciones, algunas de ellas son:
...!
... ++n
xn
...)!12(
.)1(...!
127
++
−+++
n
xn
n
...)!2(
.)1(...!8!
286
+−+−+n
xxn
n
...)!12(
...!7
127
++
+++
n
xxn
...)!2(
...!8!6
286
++++n
xxxn
Resumen de Análisis matemático I
que sea exacta, se debe agregar al final un término complementario correspondiente al error cometido en el cálculo, de la forma
, entonces, la función queda determinada por:
1)1(
·)!1(
)() +
+
++ n
nn
xn
cf
1·
) +nx
a la función que representan tienen que
Autores: Juan Pablo Martí
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UNIDAD I: Relaciones y funcionesEntorno y Entorno Reducido................................Funciones Par e Impar ................................
UNIDAD II: Límites y continuidadDefinición rigurosa de límite ................................Propiedad del Sándwich ................................Algunos límites especiales ................................Infinitésimos ................................Funciones infinitésimas equivalentesDefinición de Continuidad ................................Clasificación de Discontinuidad Continuidad Lateral ................................Álgebra de las funciones continuas
UNIDAD III: Derivadas y diferencialesRecta secante y Recta tangente geométricasIncremento e incremento de la funciónRazón de cambio promedio (cociente incremental)Razón de cambio instantánea ................................Definición de derivada ................................Función derivada ................................Interpretación geométrica de la derivadaPunto anguloso y cuspidal ................................Derivabilidad y Continuidad................................Reglas de derivación (tabla de derivadas)Álgebra de la derivada ................................Derivada de una función compuestaDerivada de una función en forma implícitaMétodo logarítmico de derivaciónDerivada de la función inversa ................................Diferencial ................................................................Reglas de diferenciación ................................Interpretación geométrica de la diferencialAproximación lineal ................................Álgebra de la Diferencial ................................Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones
UNIDAD IV: Aplicaciones del cálculo diferencialDefinición de Máximo relativo (Mr)Definición de mínimo relativo (mr)Condición necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativosPunto crítico ................................Criterios para determinar Extremos relativos
Aplicando la definición ................................Método de la derivada primeraMétodo de la derivada segunda
Puntos de Inflexión ................................Extremos absolutos ................................Asíntotas ................................................................
Asíntotas Horizontales ................................Asíntotas Verticales ................................Asíntotas Oblicuas ................................
Página 25 Resumen de Análisis matemático I
BIBLIOGRAFÍA
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ÍNDICE
UNIDAD I: Relaciones y funciones ................................................................................................................................................................
................................................................................................................................
Límites y continuidad ................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Funciones infinitésimas equivalentes ................................................................................................
................................................................................................ ................................................................................................
................................................................................................................................Álgebra de las funciones continuas ................................................................................................
UNIDAD III: Derivadas y diferenciales ................................................................Recta secante y Recta tangente geométricas ................................................................Incremento e incremento de la función ................................................................................................Razón de cambio promedio (cociente incremental) ................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................ción geométrica de la derivada ................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
Reglas de derivación (tabla de derivadas) ................................................................................................................................................................................................................................
Derivada de una función compuesta ................................................................................................Derivada de una función en forma implícita ................................................................................................Método logarítmico de derivación ................................................................................................
................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
Interpretación geométrica de la diferencial ................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................Deducciones de crecimiento y concavidad de las funciones ................................................................
UNIDAD IV: Aplicaciones del cálculo diferencial ................................................................imo relativo (Mr) ................................................................................................
Definición de mínimo relativo (mr) ................................................................................................Condición necesaria pero no suficiente para la existencia de extremos relativos ................................
................................................................................................................................Criterios para determinar Extremos relativos ................................................................
................................................................................................Método de la derivada primera ................................................................................................Método de la derivada segunda ................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
Resumen de Análisis matemático I
......................................................... 1 ............................................................... 1
........................................ 1
.......................................................... 1 ............................................................... 1
..................................................................... 1 .................................................................. 1
....................................................... 1 ................................................. 1
.................................................................. 1 .......................................................... 2
............................................ 2 .................................................... 2
.................................................... 3 ..................................................................... 3
............................................. 3 ........................................................... 3
............................................................. 3 ........................................ 3
................................................ 3 .......................................... 4
.................................................................. 4 ................................................................ 4
.......................................... 4 ........................................ 5
.................................................. 5 ...................................... 6
..................................................... 6 ........................................................... 6 ........................................................... 6
..................................................................... 6 ....................................... 7
............................................ 7 ..................................................................... 7
.............................................. 7
.................................... 7 ................................................... 7
..................................................... 7 ............................................. 7
........................................................ 8 .................................................................... 8 ................................................................... 8
..................................................... 8 .................................................... 8
............................................. 8 ............................................ 9
............................................................. 9 ................................................................... 9
........................................ 9 .......................................... 9
Autores: Juan Pablo Martí
Teoremas del Valor Medio ................................Teorema de Rolle ................................Teorema de Lagrange ................................Teorema de Cauchy ................................Regla de L’Hôspital................................Regla de Newton (resolución aproximada de ecuaciones)
UNIDAD V: Integrales ................................Función Primitiva ................................Cálculo Integral ................................Integral Indefinida ................................Tabla de Integrales Inmediatas ................................Propiedades de las Integrales IndefinidasMétodos Generales de Integración
Descomposición ................................Sustitución ................................Integración por partes ................................
Integrales trigonométricas ................................Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas
Método de descomposición en fracciones simplesIntegral Definida ................................Propiedades de la Integral DefinidaTeorema del valor medio del cálculo integraFunción integral ................................Regla de Barrow ................................
UNIDAD VI: Aplicaciones del cálculo integralCálculo de áreas ................................Área entre dos curvas ................................Sólidos de revolución ................................Rectificaciones de arcos de curvas planasIntegración Numérica Aproximada
Método de los trapecios ................................Área debajo de un arco de parábola
Fórmula de Simpson ................................Integrales Impropias o Generalizadas
UNIDAD VII: Series y sucesionesSucesiones ................................Límite de una sucesión ................................Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantesPropiedades del límite de una sucesiónSucesiones monótonas ................................Criterios de convergencia y divergenciaSeries Numéricas ................................
Definición ................................Propiedades de las series infinitasCondición necesaria pero no suficiente para la convergenciaSerie Geométrica ................................Criterio de convergencia para series geométricasDefinición de P-Series ................................Convergencia de P-Series ................................Series de términos positivos ................................Criterio de comparación directaCriterio de D’Lambert para serie de términosCriterio de la Raíz o de Cauchy ................................Criterio de Rabe ................................Series alternadas ................................Convergencia absoluta ................................Convergencia condicional ................................
Página 26 Resumen de Análisis matemático I
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Regla de Newton (resolución aproximada de ecuaciones) ................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................Propiedades de las Integrales Indefinidas ................................................................................................Métodos Generales de Integración ................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
Fórmulas útiles para la resolución de Integrales Trigonométricas ................................Método de descomposición en fracciones simples ................................................................
................................................................................................................................Propiedades de la Integral Definida ................................................................................................Teorema del valor medio del cálculo integral ................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
UNIDAD VI: Aplicaciones del cálculo integral ................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
Rectificaciones de arcos de curvas planas ................................................................................................Integración Numérica Aproximada ................................................................................................
................................................................................................Área debajo de un arco de parábola ................................................................................................
................................................................................................................................Integrales Impropias o Generalizadas................................................................................................
siones ................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes ................................................................Propiedades del límite de una sucesión ................................................................................................
................................................................................................................................Criterios de convergencia y divergencia ................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
las series infinitas ................................................................................................Condición necesaria pero no suficiente para la convergencia ................................................................
................................................................................................................................Criterio de convergencia para series geométricas ................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................Criterio de comparación directa ................................................................................................
ara serie de términos ................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
Resumen de Análisis matemático I
............................................................... 10 .............................................. 10
....................................... 10 .......................................... 10
............................................ 10 ............................................... 10
......................................... 10 .............................................. 10
................................................. 11 ............................................ 11
......................................................... 11 ........................................ 12
.................................................. 12 ........................................... 12
................................................... 12 ................................................................. 13 ................................................................ 13
.............................................................. 14 .......................................................... 14
............................................... 14 .................................................. 15
.................................................................. 15 ................................................ 15 ................................................ 15
....................................... 15 ................................................ 15
....................................... 16 ........................................ 17 ........................................ 17
................................................... 17 .............................................................. 17
............................................ 17 ......................................... 18
............................................... 18
.......................................................... 18 ........................................................ 18
..................................... 19 ......................................................... 19
........................................... 19 ..................................... 20
........................................... 20 .............................................. 20
..................................................... 20 .................................................... 20
......................................... 21 .............................................. 21
............................................................ 21 ....................................... 21
................................................................. 21 ............................................................. 21
....................................................... 21 .................................................................. 21
......................................................... 21 ................................................ 22 ............................................... 22
..................................... 22 ................................................................. 22
Autores: Juan Pablo Martí
Convergencia ................................Definición de Serie de Potencias
Convergencia de una serie de potenciasPropiedades de una función definida por una serie de potencias
Fórmula de Taylor (aproximación de una función con un polinomio)Fórmula de Mc Laurin ................................Serie de Taylor ................................Serie de Mc Laurin ................................
Bibliografía ................................ÍNDICE ................................................................
Página 27 Resumen de Análisis matemático I
................................................................................................................................Definición de Serie de Potencias ................................................................................................
Convergencia de una serie de potencias ................................................................................................edades de una función definida por una serie de potencias ................................
Fórmula de Taylor (aproximación de una función con un polinomio) ................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................
FECHA DE ÚLTIMA EDICIÓN: 13 de agosto de 2010
Resumen de Análisis matemático I
.................................................... 23 .................................................. 23
.......................................... 23 ............................................................... 23 .............................................................. 23
....................................... 24 .................................................. 24
............................................ 24
......................................................... 25
................................ 25
13 de agosto de 2010