Resumen Libre

5/19/2018 Resumen Libre

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Logica Simbolica para Informaticos

Pascual Julian IranzoDepartamento de Informatica

Universidad de CastillaLa Mancha

EDITORIAL RAMA

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Indice general

PROLOGO XV

1. INTRODUCCION A LA LOGICA 1

1.1. Que es la logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. De que trata la logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Correccion, Verdad y Analiticidad . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Presentacion de los sistemas logicos . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Cuestiones y Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I LOGICA DE PROPOSICIONES 15

2. SEMANTICA 17

2.1. El lenguaje formal de la logica de enunciados . . . . . . . . . 17

2.1.1. Traduccion del lenguaje natural al lenguaje formal . . 23

2.2. Conectivas, tablas de verdad y funciones de verdad . . . . . . 25

2.2.1. Significado de las conectivas . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2. Algebra de Boole y operadores booleanos . . . . . . . 30

2.2.3. Tablas de verdad y funciones de verdad . . . . . . . . 31

2.3. Valoracion y equivalencia logica . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Conjuntos adecuados de conectivas . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5. Argumentacion, validez y consecuencia logica . . . . . . . . . 42

2.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7. Cuestiones y Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3. CALCULO AXIOMATICO Y PROPIEDADES FORMA-

LES 49

3.1. Sistema formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iii


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iv INDICE GENERAL

3.2. Lenguaje objeto y metalenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3. El sistema formal axiomatico L . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4. El concepto de deduccion formal . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5. Teorema de la deduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.6. Propiedades formales de la logica de enunciados . . . . . . . . 65

3.6.1. Correccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6.2. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.3. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6.4. Deducibilidad y consecuencia logica . . . . . . . . . . 713.6.5. Decidibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7. Ley de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8. Otros sistemas formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.10. Cuestiones y Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. CALCULO DE DEDUCCION NATURAL 81

4.1. Metodos de Prueba y Deduccion Natural . . . . . . . . . . . . 82

4.1.1. Metodos de prueba de los matematicos . . . . . . . . . 82

4.1.2. Estrategias de deduccion natural . . . . . . . . . . . . 84

4.2. El Sistema de Deduccion Natural . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1. Reglas de construccion de una deduccion . . . . . . . 86

4.2.2. Reglas de inferencia basicas . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2.3. Reglas de inferencia derivadas . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3. Consejos para la resolucion de argumentos . . . . . . . . . . . 97

4.4. Equivalencia entre el sistemaL y el de deduccion natural . . . 99

4.5. Otros sistemas de deduccion natural . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


II LOGICA DE PREDICADOS 107

5. SEMANTICA 109

5.1. Nombres, functores y relatores . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Lenguaje formal de primer orden,L . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3.1. Vocabulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3.2. Terminos y formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.3. Ocurrencia libre y ligada de una variable . . . . . . . 120

5.4. Teora de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


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INDICE GENERAL v

5.4.1. Interpretaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.4.2. Traduccion del lenguaje natural al lenguaje formale interpretaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4.3. Valoracion, satisfacibilidad, equivalencia logica y verdad132

5.4.4. Formulas cerradas y verdad en una interpretacion . . 138

5.4.5. Verdad logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.4.6. Consecuencia logica y Modelos . . . . . . . . . . . . . 142

5.4.7. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


6. CALCULO AXIOMATICO Y PROPIEDADES FORMA-

LES 155

6.1. El sistema formal axiomatico KL . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.2. Teorema de la deduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.3. Propiedades formales de la logica de predicados . . . . . . . . 162

6.3.1. Correccion y consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6.3.2. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.3.3. Deducibilidad y consecuencia logica . . . . . . . . . . 168

6.3.4. Relaciones entre sintaxis y semantica . . . . . . . . . . 169

6.3.5. El problema de la indecidibilidad . . . . . . . . . . . . 170

6.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174


7. CALCULO DE DEDUCCION NATURAL 177

7.1. Metodos de Prueba y Deduccion Natural . . . . . . . . . . . . 177

7.2. Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.2.1. Sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.2.2. Reglas de inferencia basicas . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.2.3. Reglas de inferencia derivadas . . . . . . . . . . . . . . 185

7.3. Consejos para la resolucion de argumentos . . . . . . . . . . . 188

7.4. Equivalencia entre el sistema KL y el de deduccion natural . 190

7.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192


III EXTENSIONES Y OTRAS LOGICAS 197

8. EXTENSIONES DE LA LOGICA DE PREDICADOS 199

8.1. Logica de Predicados con Identidad . . . . . . . . . . . . . . . 199


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vi INDICE GENERAL

8.1.1. Sistema axioma t i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0

8.1.2. Sistema de deduccion natural . . . . . . . . . . . . . . 2018.1.3. Traduccion del lenguaje formal al lenguaje natural:

cuantificadores numericos . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.2. Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.2.1. Logica heterogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.2.2. Tipos y lenguajes de programacion . . . . . . . . . . . 210

8.3. Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

8.3.1. Logica de predicados de orden superior y expresividad 218

8.3.2. Logica de predicados de segundo orden . . . . . . . . . 220

8.3.3. Orden superior y metateora . . . . . . . . . . . . . . 221

8.3.4. Orden superior y lenguajes de programacion . . . . . . 2238.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225


9. OTRAS LOGICAS 233

9.1. Logica Clasica y Otras Logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.2. Problemas Expresivos y la Necesidad de Otras Logicas . . . . 236

9.3. Logicas Multivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

9.3.1. Logica trivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.3.2. Logica borrosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.4. Lo g i c a M o d a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 29.4.1. Sintaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.4.2. Semantica de los mundos posibles . . . . . . . . . . . . 244

9.4.3. Calculos deductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

9.5. Logica Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

9.6. Logica Intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9.7. Logica no Monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263


A. FUNDAMENTOS MATEMATICOS 271A.1. C onjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

A.2. Relaciones y Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

A.3. Numeros Naturales y Principio de Induccion Matematica . . 277

B. NOTACIONES PARA LOS OPERADORES LOGICOS 281


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INDICE GENERAL vii

C. REGLAS DE INFERENCIA 283

C.1. Reglas de inferencia basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 83C.2. Reglas de inferencia derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285C.3. Formulas logicamente equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 287

BIBLIOGRAFIA 289

INDICE ALFABETICO 293


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viii INDICE GENERAL


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Indice de figuras

2.1. Representacion arborescente de una forma enunciativa. . . . . 21

2.2. Puertas logicas y circuito combinacional. . . . . . . . . . . . . 32

3.1. Jerarqua de lenguajes y diseno en capas. . . . . . . . . . . . 53

4.1. Pasos en la construccion de la deduccion del Ejemplo 20. . . . 88

5.1. Arbol de relaciones familiares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2. Operaciones con conjuntos y enunciados categoricos. . . . . . 130

6.1. Relaciones entre sintaxis y semantica. . . . . . . . . . . . . . 1 70

8.1. Relacion de equivalencia sobre un dominio finito. . . . . . . . 2018.2. Una lista de enteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

A.1. Diferentes clases de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

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x INDICE DE FIGURAS


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Indice de tablas

2.1. Tabla de verdad para las conectivas binarias. . . . . . . . . . 29

2.2. Conectivas binarias mas notables. . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Algunas formulas logicamente equivalentes. . . . . . . . . . . 37

5.1. Lenguaje natural y su formalizacion. . . . . . . . . . . . . . . 1135.2. Enunciados categoricos y su formalizacion. . . . . . . . . . . . 129

8.1. Cuantificadores numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

9.1. Operadores modales y su interdefinibilidad. . . . . . . . . . . 2449.2. Relaciones entre los sistemas modales. . . . . . . . . . . . . . 252

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PROLOGO

La logica simbolica o matematica estudia la logica utilizando tecnicas ynociones matematicas. Al mismo tiempo ha contribuido a la fundamenta-

cion de las matematicas. Aunque la logica es una disciplina muy antigua,que hunde sus races en los filosofos griegos de la escuela de Megara, la es-cuela Estoica y Aristoteles, solamente se ha constituido en disciplina formal,es decir, en logica simbolica (en adelante, simplemente logica), a partir dela segunda mitad del siglo XIX, con los trabajos de A. De Morgan y G.Boole. Con el comienzo del segundo tercio del siglo XX la logica se ha vis-to fertilizada por los nuevos problemas y tecnicas surgidos alrededor de lainformatica (Ciencias de la Computacion e Inteligencia Artificial).

La mayora de los informaticos reconocen la ntima conexion existenteentre la logica y la informatica, comparable en importancia a la relacion

existente entre el analisis matematico y la fsica. Desde el comienzo de surelacion la logica ha jugado diferentes papeles en el campo de la inform atica[3, 4]:

1. Como una fuente de lenguajes y sistemas para el razonamiento, debidoa su capacidad deductiva. Se han empleado diferentes tipos de l ogicapara describir e implementar sistemas que razonan sobre un dominioen particular (e.g. en los campos de la teora de la especificacion y lainteligencia artificial). La logica temporal, una clase de logica modal,se ha empleado para razonar sobre sistemas que incorporan el tiempocomo un parametro principal. La logica multimodal se ha empleado

para razonar sobre sistemas concurrentes e indeterministas. La l ogicamultimodal tambien es util en el campo de los lenguajes de especifi-cacion. La logica no monotonase ha aplicado a una gran variedad deproblemas que van desde la herencia de propiedades a las bases de da-tos deductivas y en todas aquellas areas en las que es necesario emularrazonamientos de sentido comun o manejar informaciones imprecisas.

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xiv CAPITULO 0. PROLOGO

La logica borrosatambien se ha utilizado para razonar sobre sistemas

en los que el conocimiento es incierto.

2. Comouna fuente de herramientas y tecnicas de analisis y fundamentacion.La logica se ha empleado como una herramienta para la representa-cion del conocimiento y en otras muchas areas de la inteligencia artifial.Desde el punto de vista de la fundamentacion, la logica se ha utilizadopara proporcionar un modelo de computo. El -calculo y la reduccionde -expresiones a formas normales, o bien la logica de clausulas deHorny el principio de resolucion SLD representan visiones idealiza-

das de la idea de computo. La logica tambien se ha empleado paraestablecer una descripcion formal del significado (semantica) de loslenguajes de programacion y en la especificacion y verificacion formalde programas.

Vemos, pues, que pueden darse un gran numero de razones para el es-tudio de la logica aparte de ser una buena vacuna contra la obsolescenciatecnologica que siempre amenaza a los profesionales de la informatica. Comose afirma en [1]: la logica es particularmente importante porque es la basematematica del software.

Audiencia y objetivos

El libro que estamos presentando nace de la experiencia acumulada enla docencia de la asignatura de Logica en la Escuela Superior de Informaticade la Universidad de CastillaLa Mancha, aunque tambien se ha beneficia-do de la experiencia obtenida en la docencia de otras asignaturas, como lade Programacion Declarativa y la de Inteligencia Artificial. La asignaturade Logica se imparte, durante el primer cuatrimestre, tanto a alumnos deprimer curso de las Ingenieras Tecnicas como de la Ingeniera Superior deInformatica. Esto supone que muchos de ellos nunca han cursado una asig-natura de logica o poseen conocimientos muy basicos de logica proposicional

y/o matematicas. Por este motivo, no se presuponen conocimientos previos,salvo algunos rudimentos sobre teora de conjuntos y aritmetica. Este es uncurso de logica matematica elemental1 y si bien la seleccion de los temas

1Aqu la palabra elemental no deb e tomarse en un sentido tecnico, esto es, para hacerreferencia a la parte de la logica en la que las variables toman valores entre los individuosde un conjunto y no se les asignan otros conjuntos o propiedades de individuos (lo que


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se ha hecho pensando en las necesidades de los alumnos de informatica,

tambien puede ser util a alumnos de matematicas u otras ingenieras.

Este libro se centra, principalmente, en el estudio de las caractersticasy propiedades fundamentales de los sistemas logicos tradicionales: la logicade proposiciones y la de predicados. Sin desdenar el rigor matematico y elestudio de las propiedades formales de la logica se ha dado gran importan-cia a las tecnicas de formalizacion, y mas generalmente a las tecnicas derepresentacion del conocimiento mediante la logica, as como a los proce-sos deductivos. Conscientemente se ha buscado un equilibrio entre ambosextremos, lo que distingue a este libro de otras propuestas existentes en laliteratura, en las que o bien se hace hicapie en los contenidos matematicos y

la metateora, o bien se aborda el estudio de la logica de forma meramentedescriptiva y centrandose en los problemas de deduccion formal (en la propialogica). Al tomar esta orientacion se pretende que el alumno sea capaz de:

Tener fluidez en el uso de los formalismos logicos y la manipulacion deformulas. Esto es de gran interes, tanto en cuanto los lengua jes de pro-gramacion pueden considerarse sistemas formales y sus instruccionesformulas.

Realizar demostraciones usando diferentes sistemas de deduccion. Prin-cipalmente los llamados sistemas de deduccion natural, que permiten

instruir al alumno en diferentes tecnicas de prueba con mayor facili-dad: i) pruebas indirectas o por reduccion al absurdo; y ii) pruebasdirectas (dentro de estas, las pruebas por casos y las basadas en elteorema de la deduccion).

Distinguir entre sintaxis y semantica y la relacion existente entre am-bas.

Distinguir entre los diferentes niveles de lenguaje: lenguaje objeto ymetalenguaje. Esto es de gran ayuda para un informatico, ya que mu-chos sistemas informaticos estan disenados y estructurados como sis-temas de capas de lenguajes en los que el lenguaje definido en unacapa superior actua como metalenguaje del lenguaje de la capa inme-

llamamos logica de primer orden o logica de predicados). La palabra elemental la em-pleamos en un sentido coloquial, para indicar que el alcance de los temas seleccionadossi exceptuamos la Parte III y la profundidad con la que se abordan es de facil com-prension o al menos no entrana dificultades insalvables para el lector que por primera vezse acerca a la logica.


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xvi CAPITULO 0. PROLOGO

diatamente inferior, que es considerado como lenguaje objeto respecto

al primero.

Conocer las tecnicas de definicion por induccion y de traduccion dellenguaje natural al lenguaje formal, que son de interes en las tareasde programacion de computadoras.

Conocer las propiedades formales de la logica y sus implicaciones.

Entender el lenguaje preciso pero informal empleado por los matemati-cos y sus metodos de prueba. Dado que creemos que un ingeniero debeconocer y ser capaz de expresarse usando el lenguaje de las matemati-cas, concedemos gran importancia a que el alumno adquiera fluidez en

ese lenguaje y pueda entender pruebas matematicas (relacionadas conpropiedades de la logica) de complejidad pequena y media.

Aunque, como hemos dicho, el libro se centra en la logica clasica, tambiense dedica atencion a las nuevas tendencias de la logica, que a pesar de sureciente aparicion (en terminos del devenir historico de esta disciplina) yatienen una gran influencia en la ciencia y tecnologa actuales: por ejemplo,la logica modal o las logicas multivalentes. El objetivo principal, respectoa este punto, es que el alumno se familiarice con estos nuevos sistemas yreconozca su utilidad practica en las ciencias de la computacion.

Organizacion y Contenidos

Tras un primer captulo introductorio, que quiere ser una aproximaciona la logica en la que presentamos de manera informal el objeto de la l ogica yalgunos de los conceptos que consideramos mas importantes (enunciado, ar-gumento, correccion, verdad, analiticidad, y relacion de consecuencia logica),el contenido de este libro se ha organizado como sigue:

Parte I. Logica de Proposiciones.

Captulo 2. Semantica.

Se estudia lalogica de proposicionesdesde una perspectiva semanti-

ca. Se introduce el lenguaje formal de la logica de proposiciones:el lenguaje de las formas enunciativas. Se define el concepto devaloracion que formaliza el proceso de atribucion de significadopara las formas enunciativas. El concepto de valoracion nos per-mite precisar varios conceptos importantes y demostrar algunasde sus propiedades: formas enunciativas logicamente equivalentes;


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xvii

formas enunciativas tautologicas y el concepto de consecuencia

logica y forma argumentativa correcta.

Captulo 3. Calculo axiomatico L y propiedades formales.

Se estudia lalogica de proposicionesdesde una perspectiva sintacti-ca. Comenzamos definiendo el concepto de sistema formal e in-troducimos el problema de la distincion entre lenguaje y meta-lenguaje, al que damos gran relevancia durante todo el desarrollode este libro. Despues, describimos el sistema formal axiomaticoL, dedicando especial atencion al concepto de deduccion, ya queuna de las finalidades del sistema formal es proporcionarnos unmetodo de calculo que sirva para establecer la correccion de unargumento. Puesto que deducir en el sistema formal L es difcil,buscamos herramientas para facilitar esta tarea: el teorema dela deduccion y el teorema de intercambio. Estudiamos las pro-piedades formales de la logica de proposiciones, centrandonos enla correccion, la consistencia, la completitud y la decidibilidad;probamos que el sistema formal L posee todas estas propiedades.Para finalizar, se introduce el sistema de Kleene, como ejemplode sistema axiomatico distinto del que nosotros empleamos.

Captulo 4. Calculo de deduccion natural.

Se presenta un sistema de deduccion natural de tipo Gentzenque flexibiliza el proceso de deduccion en la propia logica. Pri-

mero se describen algunos de los metodos de prueba usados porlos matematicos, que tienen su reflejo en las distintas reglas deinferencia basicas que componen nuestro sistema de deduccionnatural. El sistema que presentamos se caracteriza por hacer usode un amplio conjunto de conectivas logicas, por poseer solo re-glas de inferencia (pero no contener axiomas, contrariamente alo que sucede con otras caracterizaciones de los sistemas de de-duccion natural) y por tener un reducido numero de reglas parala construccion de una deduccion. Finalizamos el captulo discu-tiendo la relacion de nuestro sistema de deduccion natural conotros similares, como el calculo de secuentes. Tambien demostra-

mos la equivalencia deductiva entre el sistema L y el sistema dededuccion natural.

Parte II. Logica de Predicados.

Captulo 5. Semantica

En este captulo se introduce el lenguaje de la logica de predica-


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xviii CAPITULO 0. PROLOGO

dos y se estudian sus aspectos semanticos. Primero se muestra la

necesidad de introducir un lenguaje formal mas rico, en terminosexpresivos, que permita dar cuenta de los nombres, los functores,los relatores y la cuantificacion que es habitual en los lengua-

jes naturales. Despues se define el lenguaje formal de la logicade predicados como un sistema de smbolos desprovisto de to-da significacion e inmediatamente se plantea el problema de suinterpretacion desde la perspectiva de la teora de modelos. Seprecisan los conceptos de interpretacion, valoracion, satisfacibili-dad, verdad y validez. Estos conceptos nos permiten ampliar elconcepto de equivalencia logica a la logica de predicados. Tam-bien se demuestran diversas propiedades relativas a la nocion de

verdad y validez. Introducimos la nocion de interpretacion mo-delo, asociada a un determinado tipo de formulas que llamamoscerradas. La nocion de modelo es determinante en la definiciondel concepto de consecuencia logica. El teorema de la deduccionsemantica pone en relacion los conceptos de consecuencia logicay formula logicamente valida. Para finalizar, se introduce el con-cepto de independenciay la tecnica de prueba de independencia,que es util para detectar cuando una formula no es consecuencialogica de otro conjunto de formulas.

Captulo 6. Calculo axiomatico KL y propiedades formales.

Estudiamos los aspectos sintacticos y las propiedades de la logicade predicados. Con este objetivo se introduce el sistema formalaxiomatico KL. El sistema KL puede considerarse como una ex-tension del sistema L con nuevos recursos expresivos y axiomaspara poder tratar un lenguaje mas rico en el que tienen cabida lasformulas cuantificadas. Dado que deducir en el sistema formal KLes tan difcil o mas que en el sistema L, tambien aqu buscamosherramientas para facilitar la tarea de deducir. Probamos quetanto el teorema de la deduccion (con ciertas restricciones) comoel teorema de intercambio siguen siendo validos en el sistema KL.Estudiamos las propiedades formales de la logica de predicados,

comprobando que el sistema formal KL es: correcto, consistentey completo; pero indecidible (si bien fragmentos de la l ogica depredicados pueden probarse decidibles). La indecidibilidad de lalogica de predicados impide su completa automatizacion y soloes posible implementar procedimientos de semidecision, es decir,que permiten comprobar la validez de una formula pero pueden


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no terminar, si la formula es insatisfacible.

Captulo 7. Calculo de deduccion natural.

Aqu, se extiende el sistema de deduccion natural del Captulo 4con las reglas de inferencia apropiadas para tratar la cuantifica-cion. Despues de resumir los principales metodos de prueba usa-dos por los matematicos cuando tratan con formulas cuantifica-das, se introducen las reglas de inferencia basicas para los cuanti-ficadores: un par de reglas de introduccion/eliminacion del cuanti-ficador universal y otro par de reglas de introduccion/eliminaciondel cuantificador existencial. Tambien se introducen y justificanlas reglas de inferencia derivadas y se dan consejos practicos para

la resolucion de argumentos cuando se usa el sistema de deducci onnatural. Para finalizar, se demuestra la equivalencia deductiva en-tre el sistema KL y el sistema de deduccion natural.

Parte III. Extensiones de la Logica Clasica y Otras Logicas.

Captulo 8. Extensiones de la Logica de Predicados.

En este captulo nos centramos en los sistemas de primer ordencon igualdad, que se abordan desde el punto de vista de los sis-temas axiomaticos y desde el punto de vista de los sistemas de

deduccion natural. Tambien estudiamos la problematica que oca-siona la introduccion de tipos y caracterticas de orden superioren el lenguaje de logica de predicados. Comprobamos, mediantenumerosos ejemplos, que tanto el empleo de tipos como del ordensuperior mejora la expresividad y el diseno de los lenguajes deprogramacion.

Captulo 9. Otras Logicas.

En la segunda parte del captulo se caracterizan los principiosbasicos sobre los que se fundamenta la logica clasica (principiode identidad, principio de bivalencia, principio de no contradic-

cion, principio del tercio excluso,...) y se estudian algunas de lasllamadas logicas desviadas (logicas multivalentes, logica modal,logica intuicionista y logica no monotona), indagando como seven afectados esos principios fundamentales de la logica clasicapor las nuevas concepciones de la logica. Tambien se comentanalgunas de las aplicaciones de las logicas no clasicas.


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Es conveniente notar que a lo largo del libro aparecen una serie de temas

recurrentes2 que son de gran interes para la formacion del informatico, comoson: la distincion entre lenguaje y metalengua je; la tecnica de definicion porinduccion; el conocimiento de las diferentes tecnicas de prueba y el proble-ma de la representacion del conocimiento. Dado que la representacion delconocimiento es de singular importancia en el campo de la Inteligencia Arti-ficial, hemos querido prestarle suficiente atencion. En nuestro contexto, eseproblema se concreta en el problema de la traduccion del lenguaje naturalal lenguaje formal de la logica. En lugar de dedicar un captulo ex professo aesta materia, a lo largo del libro se proporcionan reglas practicas y ejemplosque permiten al lector adquirir pericia en el proceso de transformar frasesdel lenguaje natural en formulas del lenguaje formal. Hemos preferido ha-

cerlo as tanto porque las tecnicas son muy diversas como porque convieneintroducirlas desde el primer momento y agruparlas significara postergar elestudio de algunas de ellas hasta muy tarde.

Se ha dedicado el Apendice A a la introduccion de un limitado numero denotaciones y nociones matematicas que es conveniente que el lector conozca.Este apendice puede usarse como un manual de referencia rapido al quedirigirse solo cuando se necesite.

Para finalizar, diremos que los contenidos enumerados en las dos pri-meras partes se adaptan a una asignatura cuatrimestral (impartida en 15

semanas, con tres horas de teora y una de problemas por semana). Dichoscontenidos pueden ampliarse con apartados de la tercera parte hasta cu-brir un semestre, dependiendo de la profundidad y el detalle con el que seexpliquen los mismos. En cualquier circunstancia es recomendable incluirel Apartado 8.1 en un primer curso de l ogica. El resto de los contenidospresentados en la tercera parte se consideran temas avanzados. Tambien esrecomendable que un curso de estas caractersticas se complemente y prosigacon uno de programacion declarativa.

Agradecimientos

Deseo agradecer la colaboracion y el apoyo de los companeros que hanimpartido o imparten la asignatura de logica: Eduardo Fernandez-Medina,Mar Jimenez y Ramon Manjavacas. Un especial recuerdo en este momen-to para Jose Angel Olivas que participo en los inicios de este proyecto y

2Usando la terminologa de Denning et al. [2].


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que, lamentablemente, otras obligaciones profesionales le han impedido co-

laborar en la elaboracion de este libro. Sus opiniones han sido muy valiosasy de ellas se ha beneficiado este texto. Algunos ejercicios sobre deducci onnatural son de su autora y cedidos desinteresadamente. Tambien deseo re-conocer la aportacion de Serafn Benito, ya que su lectura atenta de algunoscaptulos ha servido para detectar y solucionar algunos errores introducidosinadvertidamente. Gines Moreno ha revisado el Captulo 8 y Jaime Pena-bad ha revisado el Captulo 9, aportando extensos comentarios. Desde estaspaginas mi mas sincero agradecimiento a todos ellos.

Finalmente, quisiera agradecer a Nieves su paciencia continua, su com-prension y apoyo, sin los que no hubiese sido posible escribir este libro.

Sagunto, Navidad de 2003


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xxii CAPITULO 0. PROLOGO


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Bibliografa

[1] M. Ben-Ari. Mathematical Logic for Computer Science. Springer-Verlag, Lon-don, UK, 2001.

[2] P.J. Denning, D.E. Comer, D. Gries, M.C. Mulder, A.B. Tucker, A.J. Turner,and P.R. Young. Computing as a discipline. Communications of the ACM,32(1):923, 1989.

[3] D.J. Israel. The role(s) of logic in artificial intelligence. In J.A. RobinsonD.M. Gabbay, C.J. Hogger, editor, Handbook of Logic in Artificial Intelligenceand Logic Programming, volume 1 Logical Foundations, pages 67182. OxfordUniversity Press, Oxford, UK, 1992.

[4] M. Ryan and M. Sadler. Valuation systems and consequence relations. InT.S.E. Maibaum S. Abramsky, D.M. Gabbay, editor, Handbook of Logic in Com-puter Science, volume 1 Background: Mathematical Structures, pages 321363.Oxford University Press, Oxford, UK, 1992.

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