Sumrio 1 Conceitos fundamentais ........................................................................................................ 2

1.1 Massa ............................................................................................................................ 2

1.2 Densidade de massa ...................................................................................................... 2

1.3 Inercia do material ........................................................................................................ 2

1.4 Rigidez ........................................................................................................................... 2

1.5 Energia cintica ............................................................................................................. 2

1.6 Fora de inercia ............................................................................................................. 2

1.7 Corpo livre ..................................................................................................................... 3

1.8 Equao geral do movimento ....................................................................................... 3

1.9 Sistemas dinmicos ....................................................................................................... 3

1.9.1 Quanto a fora ....................................................................................................... 3

1.9.2 Quanto ao tempo .................................................................................................. 3

1.10 Energia interna de deformao ..................................................................................... 3

1.11 Princpio da conservao de energia............................................................................. 3

1.12 Energia potencial total .................................................................................................. 3

1.13 Funo de Lagrange ...................................................................................................... 4

2 Equaes do movimento-exemplo ....................................................................................... 4

2.1 Exemplo 1: ..................................................................................................................... 4

Equao de Lagrange: ............................................................................................................... 4

L T T U V .................................................................................................... 4

Aplicando pequenos deslocamentos e rotaes ...................................................................... 5

2.2 Exemplo 2: ..................................................................................................................... 5

3 Molas em serie e em paralelo ............................................................................................... 6

3.1 Em srie ......................................................................................................................... 6

3.2 Em paralelo ................................................................................................................... 6

4 Vibrao livre no amortecida .............................................................................................. 7

4.1 Equao geral ................................................................................................................ 7

4.1.1 Equao do deslocamento .................................................................................... 7

4.1.2 Frequncia natural do sistema .............................................................................. 7

4.2 Movimento Harmnico ................................................................................................. 8

4.2.1 Frequencia ............................................................................................................ 8

4.2.2 Periodo .....................................................................Erro! Indicador no definido.

4.3 Problemas de valor inicial ............................................................................................. 8

4.3.1 Condies iniciais .................................................................................................. 8

Resumo Dinmica Primeira Prova

1 Conceitos fundamentais 1.1 Massa

braom AL

1.2 Densidade de massa

3

M

L

1.3 Inercia do material

2dir

esq

As

1.4 Rigidez

1.5 Energia cintica 2

2

mvT ou

I 2

2T

1.6 Fora de inercia

massa constanteacelerao

F m a

massa variveld mvdp dm

F v madt dt dt

P

EIL

M

K I3

3EK

L

I

I I

3

3

3

3

3 3

E P P PLK K P

EL K E

L

I3

12EK

L

1.7 Corpo livre

( )

0x

mola amortecimento inrcia t

F

f f f f

1.8 Equao geral do movimento

Mx Cx Kx F

1.9 Sistemas dinmicos

1.9.1 Quanto a fora

1.9.1.1 Conservativo: Independe da trajetria

1.9.1.2 No conservativo: Foras no conservativas

1.9.2 Quanto ao tempo

1.9.2.1 Autnomo Tempo implcito

0Mx Cx Kx

1.9.2.2 No autnomo Tempo explicito

sinMx Cx Kx A t

cos 0x x t x

1.10 Energia interna de deformao 2

2

KxU

1.11 Princpio da conservao de energia

2 2 2

2 2

C U T

Kx Mx c KxC x

M

1.12 Energia potencial total U V

Onde,

f(t)

fmola

famort

finrciaM

potencial gravitacional das cargas externas trabalho

V V W

1.13 Funo de Lagrange

L T T U V

2 Equaes do movimento-exemplo

2.1 Exemplo 1: ?

Equao de Lagrange:

L T T U V

Calculo dos termos

II =

22 2

2

2

2 2

2 2 2

sin sin

2 2

22 1 cos 1 cos

3 2

11 1 cos

6

22

43

3 2 27

, 2 6 3

pesototal peso barra

barra

K L KLU

L LW Mg Mg

MgLV W

LM

MLT

T T T

ML MLT onde

De posse de todos os termos, substituir na equao da Lagrange

K

2L/3

L/3

2M

M= AL?

Lsin?

Scos?

S*sin?

dS

x

y

L/2 2L/3

Mg

2Mg

(2L/3)cos?

(2L/3)(1-cos?)

2 2 2 211 sin 111 cos

18 2 6

ML KL MLL

Onde,

2 211 110 ;

9 9

L d L L ML d L ML

dt dt

Sendo assim, tem-se que

22

linearidade geomtrica

11 11sin cos sin 0

9 6no

ML MLKL

Aplicando pequenos deslocamentos e rotaes sin ; cos 1

2211 11 0

9 6

ML MLKL

2.2 Exemplo 2:

2K KC

L/2 L/3 L/6

A

5L?/6

L?/6

L?/6?

?

Corpo Livre

F1molaF2molaFamort.

MI

Lsin?

Lcos?

KLsin?

I I =

2 1.

0

6 3 262

66

0

5 50

6 6 3 6 3 3 3 36amortmola mola

LL

M

LL

FF F

M

KL L KL L CL L As MLAs ds

A equao geral do movimento ser:

2 2 27 170

36 9 12eq eq eqM C K

ML CL KL

3 Molas em serie e em paralelo

3.1 Em srie

1 2

11 1 1 1

1

22 2 2 2

2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

eq

eq

eq

eq eq

FF K x x x x x

K

FF K x x

K

FF K x x

K

K K K KK

K K K K K K K K

3.2 Em paralelo

1 2

1 1

2 2

eq

eq

F K x F F F

F K x

F K x

K x 1K x 2K x 1 2eqK K K

K Kf(t)x

f(t) f(t)

Keqf(t)x

K

Kf(t)x

Keqf(t)x

4 Vibrao livre no amortecida

4.1 Equao geral 0Mx Kx

Pr dividindo tudo por M, tem-se que

2

00 0K

x x x xM

Onde 0 a frequncia natural do sistema. E tambm

2t t

t tx e x e

Substituindo na equao geral acima, tem-se que

2 2 2

0

00

0t t tt t

x e x e e

As razes possveis sero

2 2 2

0 0 1,2 ou 0 ou , onde 1i i

4.1.1 Equao do deslocamento 0 0i t i t

tx Ae Be

Utilizando a formula de Euler

cos sinie i

Substituindo a expresso acima, na expresso do deslocamento, tem-se que

1 2

0 0 0 0

0 0

2 2

cos sin cos sin

cos sin

e -

t

a C b C

x A t i t B t i t

A B t A B i t

onde

A a bi B a bi

Ento, tem-se que a equao geral do deslocamento, para vibrao livre no amortecida ser

1 0 2 0cos sintx C t C t

Onde 0cos t e 0sin t so funes harmnicas.

4.1.2 Frequncia natural do sistema

0

K

M

4.2 Movimento Harmnico

4.2.1 Frequncia

f = 01

2Hz

s

4.2.2 Perodo

f0

0 0

1 2T seg

4.3 Problemas de valor inicial

4.3.1 Condies iniciais

0 00 0 e x x x v

Ao derivar a equao do deslocamento, tem-se que

1 0 0 2 0 00sin cosx C t C t

Sabendo que as constantes 1C e 2C possuem os valores abaixo

1 00

02 0 0 20

0

x C x

vx C v C

Tem-se que a expresso do deslocamento, substituindo os valores das constantes, tem-se que

00 0 0

0

cos sint

vx x t t

4.3.2 Grficos

Para 0 0v , tem-se que

0 0 0

0

0cos sin

tx x t t 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0

2 2

0 0 0 0 0

0

cos

0sin cos sin

0cos sin

t

t t

t

x x t

x x t t x x t

x x t t 20 0 0costx x t

`

2 rad

Para 0 00 e 0x v , tem-se que

0 00 0 0

0 0

0cos sin sint t

v vx t t x t

4.4 Plano de fases

5L?/6

x0

-x0

x0

5L?/6

-x0

x0

-x0

5L?/6

v0/

-v0/

t

Energia total

2

2 2

E T U cte

Mx Kxc

Velocidade

2 22

2 2

0

22

2 2

2

Kxc

Mx Kxc x

M

cx x

M

`

0

0

sin

cos

t

t

x c t

x c t

Condies iniciais

Para 0t

2 22 20 00 0

2 2 2

0 0 0

22 2

2

Mv Kxc Mv Kx c

cv x

M

M

2 2 2 2 2

0 0 0x v x x

Sabendo que

x0

-x0

x(t)

x(t)

x0-x0

x

x0

-x0

t

v0

-2 /2- /

xmx

0 0

0

0 0

0

0

0

2 2

2 2 20 00 0

0 0

sin cos cos sin

sin

cos

x c t t

c xx

tgvc v

v vc x c x

5 Movimento livre amortecido

x 00

00

X

v V

5.1 Equao do movimento

2

0

0

0

Mx Cx Kx

Cx x x

M

M

Onde,

t

tx ce

Ento, substituindo a expresso anterior na equao do movimento, tem-se que

0

0

2 2

0 0tC ce

M

Deste modo, os valores das razes podero ser encontrados pela seguinte expresso

2

2

1,2 0

sinal de Rreal

C C

M M

Baseado na expresso acima, pode-se concluir que

1,2

1,2

0 par complexo conjugado ( ), funo hamnica

0 duas razes reais distintas, funo no harmnica

0 Caso lmite amortecimento crtico cr

R a bi

R

R c

Sendo assim, o amortecimento critico pode ser calculado da seguinte forma

c*cos

c*sin

K

c

M

a/ 0

20%

1

0 022cr

cr

cc M

M

Para obter duas razes reais e iguais, tem-se que

2crc MK

5.2 Coeficiente de amortecimento

02

0

22cr

c cc M

c M

A equao do movimento, substituindo o valor de c, tem-se que

2 2

0 02 0x x x

Ento, os valores das razes podem ser calculados a seguinte maneira

20

12 2 2 2 2

1,2 0 0 0 0 0

1

1 , 1

a

i para

Onde a a frequncia natural amortecida.

5.3 Equao do deslocamento

0

no amortecidoamortecido

cos sint a atx e A t B t

00x A X

Para encontrar a equao da velocidade, basta derivar uma vez, pela regra da cadeira, a

expresso do deslocamento, apresentada anteriormente.

0

0

0 cos sin

sin cos

t

a at

t

a a a a

x e A t B t

e A t B t

Aplicando a condio inicial de velocidade, no tempo zero0

v , pode-se encontrar a expresso

para calcular a constante B.

01 1

0

00cos 0 sin 0a ax e A B

0

1

0 sin 0a ae A

1

0

cos 0a a

a

B

A B

Da pode-se ter que

0 00,

a

v AB onde A X

De posso das constantes A e B, substitui na expresso do deslocamento. Tem-se que

0 0 0 00 cos sin

t

a at

a

v Xx e X t t

O perodo angular medido de acordo com a seguinte expresso.

2a

a

T

O deslocamento tambm pode ser calculado pela seguinte expresso

0 costat

x Ce t

Onde C amplitude e o ngulo de fase e podem ser medidos da seguinte maneira

v0 TdA

B

XA XB

X0 e- t

-e- t

22 0 0 0 0 0 00

0

tana a

v X v XC X

X

Onde a relao A

B

X

X dada pela expresso

A

B

X C

X C 0 0 0 02

1 1

a

Tee e 0

2

2

2 2

2

1

2

1 1

1e

e

5.4 Fator de amortecimento Para que seja calculado o fator de amortecimento, pode-se utilizar o decremento logartmico

2

2ln

1

B

A

X

X

De posse do decremento logartmico, pode-se calcular o fator de amortecimento

2 24

Quando 1 22

1ln m

A

X

N X

Para o caso critico, tem-se que

0

1,2 0 tx e A Bt

0,2

Caso Experimental

Para a soluo no oscilatria, a expresso para o deslocamento ser

0

0 0 0 0tx e X v X t

5.5

v0X0