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Calculo Integral
Integral de Riemann
Definicao, Propriedades
Teorema fundamental do calculo
Metodos de integracao
Aplicacoes geometricas do integral
Integral improprio
Na primeira parte deste capıtulo vamos apresentar a nocao de integral segundo Riemann,estudar algumas das suas propriedades e referir algumas das suas aplicacoes. Na segundaparte estudaremos os integrais improprios.
1 Introducao e motivacao
Classicamente, o conceito de integral aparece associado a nocao intuitiva de area de umaregiao plana. Nos vamos seguir a via classica para motivar a nossa exposicao.
Considere-se uma funcao contınua f : [a, b] −→ R e sejam
m = maxx∈[a,b]
f(x) e M = minx∈[a,b]
f(x). (67)
Suponhamos que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], e consideremos a regiao plana (cf. a Figura 1)
D ={
(x, y)∈R2 : a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f(x)}
(68)
Figura 1: Regiao D limitada pelo grafico de f , pelo eixo OX e pelas rectas x = a e x = b.
Suponhamos que pretendemos determinar o valor da area da regiao D. Em geral, aforma geometrica de D e pouro “regular”, pelo que as formulas da geometria elementarnao sao aplicaveis. Podemos pensar entao em aproximar a area de D pela area de figurassimples, compostas por regioes rectangulares justapostas.
29
Estrategia
1. Comecamos por decompor o intervalo [a, b] num numero finito de subintervalos,determinados pelos pontos x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn, tais que
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b,
s s s s sa ≡ x0 x1 x2 · · · · · · · · · xn−1 xn ≡ b
A uma tal decomposicao iremos chamar particao P do intervalo [a, b].
2. Em cada subintervalo generico, Ji = [xi−1, xi], fixamos arbitrariamente um ponto,digamos
y1 ∈ [x0, x1] , y2 ∈ [x1, x2], , yn−1 ∈ [xn−2, xn−1] , yn ∈ [xn−1, xn]
e consideramos o correspondente valor de f ,
f(y1), f(y2), . . . , f(yn−1), f(yn).
3. Aproximamos a area da porcao Dk da regiao D que assenta no subintervalo[xk−1, xk], Figura 2, a esquerda, pela area da regiao rectangular Rk de basexk − xk−1 e altura f(yk), Figura 2, a direita,
areaDk ' f(yk)(xk − xk−1) .
Figura 2: Aproximacao da area de Dk pela area de uma regiao rectangular.
Para a regiao completa D tomamos a aproximacao (Figura 3)
areaD ' areaR1 + areaR2 + · · ·+ areaRn' f(y1)(x1 − x0) + f(y2)(x2 − x1) + · · ·+ f(yn)(xn − xn−1),
ou seja, abreviando a notacao,
areaD 'n∑k=1
f(yk)(xk − xk−1). (69)
30
Figura 3: Aproximacao da area de D pela area de uma regiao poligonal
4. E intuitivo que:
(a) a aproximacao obtida na expressao (69) sera tanto melhor quanto maior foro numero de pontos considerados para a decomposicao do intervalo [a, b];
(b) a aproximacao optima seria obtida com um numero infinitamente grande depontos, ou seja, com subintervalos de amplitude infinitamente pequena.
5. Obtemos entao uma definicao para a area de D atraves da passagem ao limite nana expressao (69), tomando
areaD = limn→+∞
n∑k=1
f(yk)(xk − xk−1). (70)
Vamos passar agora a exposicao rigorosa deste assunto, formalizando adequadamente asideias intuitivas que acabamos de expor. A area da regiao D vai dar lugar ao integralde f em [a, b] e cada quantidade introduzida na expressao (69) para aproximar a areade D vai dar lugar a uma soma de Riemann.
2 Definicao de integral
Nesta seccao apresentaremos a definicao de integral segundo Riemann, para uma funcaof : [a, b] −→ R, limitada, nao necessariamente contınua nem necessariamente positiva.
Dada uma particao P do intervalo [a, b], chamamos amplitude de P a maior das ampli-tudes dos subintervalos [xk−1, xk],
||P|| = max {xk − xk−1 : k = 1, 2, . . . , n} ,
pelo que, considerar o numero de subintervalos a tender para +∞, equivale a considerar||P|| a tender para 0.
31
Fixando arbitrariamente pontos yk ∈ [xk−1, xk], definimos uma soma de Riemann dafuncao f em [a, b], para a particao P considerada, por
S(f ;P) =n∑k=1
f(yk)(xk − xk−1). (71)
Dizemos que a funcao f e integravel em [a, b] e que o correspondente integral e igual aI quando, independentemente da particao P e da escolha dos pontos yk, se tiver
I = lim||P||→0
n∑k=1
f(yk)(xk − xk−1). (72)
Ao numero I chamamos o integral de f em [a, b] e representamo-lo por∫ b
af(x) dx,
onde f e a funcao integranda, a e o limite inferior do integral, b e o limite superior dointegral, [a, b] e o intervalo de integracao e x e a variavel de integracao. O sımbolo dxrepresenta uma partıcula formal que fixa a variavel de integracao.
Exemplo 1
Seja f(x) = c, x ∈ R, com c uma constante e x em certo intervalo [a, b].
Dada uma particao P de [a, b] em subintervalos J1, J2, . . . , Jn teremos, independentemente daescolha dos pontos yk,
f(yk) = c , para todo k = 1, 2, . . . , n,
pelo que
n∑k=1
f(yk)(xk − xk−1) = c(x1 − x0) + c(x2 − x1) + · · ·+ c(xn − xn−1)
= c(x1 − x0 + x2 − x1 + · · ·+ xn − xn−1)= c(cn − x0) = c(b− a)
Entao f e integravel em [a, b], tendo-se∫ b
a
f(x) dx = c(b− a).
Exemplo 2
Seja g(x) ={
1 se x ∈ Q,0 se x ∈ R\Q, para todo x em certo intervalo [a, b].
Independentemente da particao P de [a, b], podemos escolher cada um dos pontos yk em Q ouem R\Q, uma vez que todo o intervalo nao degenerado de R contem racionais e irracionais. Seos escolhermos todos em Q, resulta
g(yk) = 1 , para todo k = 1, 2, . . . , n,
e pelo que vimos no Exemplo 1, vem
n∑k=1
g(yk)(xk − xk−1) = b− a.
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De modo perfeitamente analogo, se escolhermos todos os yk em R\Q, resulta
g(yk) = 0 , para todo k = 1, 2, . . . , n,
en∑k=1
g(yk)(xk − xk−1) = 0.
Consequentemente, nao existe o limite das somas de Riemann para esta funcao, no sentido
exposto anteriormente, e g nao e integravel em intervalo algum.
Observacao 1
So se define integral de uma funcao limitada, mas nem toda a funcao limitada e in-tegravel. Veja-se o Exemplo 2. Mais adiante, identificaremos algumas classes de funcoeslimitadas que sao integraveis.
A definicao que apresentamos anteriormente para funcao integravel e para integral deuma funcao, e que usamos nos Exemplos 1 e 2, e muito complexa para a generalidadedas funcoes, por ser difıcil estudar a existencia do limite das somas de Riemann parauma particao qualquer do intervalo e para uma escolha arbitraria de pontos yk. Onosso objectivo sera agora o de enunciar resultados que nos ajudem a decidir sobre aintegrabilidade de uma funcao e o de apresentar processos eficazes para o calculo dointegral. Comecemos com as principais propriedades do integral.
3 Propriedades do integral
Nesta seccao vamos apresentar, sem demonstrar, algumas propriedades do integral quese revelarao extremamente uteis.
Propriedade 1 [Aditividade do integral a respeito do intervalo de integracao]
Sejam f limitada em [a, b] e c ∈ ]a, b[ . Entao f e integravel em [a, b] se e so se f integravelseparadamente em [a, c] e [c, b], tendo-se∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx +
∫ b
cf(x) dx. (73)
No sentido de estender a Propriedade 1 a todos os reais a, b, c, adoptamos as seguintesconvencoes classicas ∫ a
af(x) dx = 0, para todo a ∈ R, (74a)∫ a
bf(x) dx = −
∫ b
af(x) dx , para todos a, b ∈ R. (74b)
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Propriedade 2 [Linearidade do integral]
Sejam f e g funcoes integraveis em [a, b]. Entao:
(a) a soma f + g e integravel em [a, b] e∫ b
a[f(x) + g(x)] dx =
∫ b
af(x) dx+
∫ b
ag(x) dx ; (75)
(b) o produto fg e integravel em [a, b]; em particular, se α e uma constante realarbitraria, o produto αf e integravel em [a, b] e∫ b
aαf(x) dx = α
∫ b
af(x) dx. (76)
Propriedade 3
Sejam f e g funcoes integraveis em [a, b]. Se |g(x)| ≥ k > 0, ∀x∈ [a, b], entao a funcao1/g e limitada e o quociente f/g e integravel.
Propriedade 4 [Monotonia do integral]
Se f e g sao integraveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b], entao∫ b
af(x) dx ≤
∫ b
ag(x) dx; (77)
em particular, se f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b], entao∫ b
af(x) dx ≥ 0.
Propriedade 5
Se f e integravel em [a, b] entao a funcao |f | e integravel em [a, b] e∫ b
a|f(x)| dx ≥
∣∣∣∣∫ b
af(x) dx
∣∣∣∣ . (78)
Propriedade 6
(a) Se f e limitada em [a, b], anulando-se em todos os pontos de [a, b] excepto, even-tualmente, num numero finito de pontos de [a, b], entao∫ b
af(x) dx = 0; (79a)
(b) se f e integravel em [a, b] e g e uma funcao que difere de f apenas num numerofinito de pontos [a, b], entao ∫ b
ag(x) dx =
∫ b
af(x) dx. (79b)
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4 Caracterizacao das funcoes integraveis
Vamos agora enunciar, sem demonstrar, alguns resultados que estabelecem condicoessuficientes para a integrabilidade de uma funcao num intervalo, a partir dos quais iden-tificaremos tres classes de funcoes integraveis (Teoremas 1, 2 e 3).
Teorema 1 [Integrabilidade das funcoes contınuas]
Se f : [a, b] −→ R e contınua entao f e integravel em [a, b].
Exemplo 3
As funcoes
xk, x ∈ R, ex, x ∈ R, senx, x ∈ R,1
1 + x2, x ∈ R,
sao integraveis em qualquer intervalo [a, b] por serem funcoes contınuas.
Observacao 2
O Teorema 1 estabelece que a continuidade de uma funcao garante a sua integrabilidade.No entanto, e conveniente reter, desde ja, que existem funcoes descontınuas que saointegraveis.
Teorema 2 [Integrabilidade das funcoes monotonas]
Se f : [a, b] −→ R e monotona entao f e integravel em [a, b].
Exemplo 4
A funcao f(x) =
0 se x = 01n
se1
n+ 1< x ≤ 1
n, n ∈ N, definida em [0, 1], possui um numero
infinito de descontinuidades - todos os pontos da forma1n, n ∈ N, sao pontos de
descontinuidade de f . No entanto, f e integravel por ser monotona.
Observacao 3
Do Teorema 2, podemos concluir que, ainda que uma funcao nao seja contınua, se formonotona, entao ela e tambem integravel. Mais uma vez, chama-se a atencao para ofaco de existirem funcoes que nao sao monotonas (nem contınuas) e, mesmo assim, saointegraveis.
Teorema 3 [Integrabilidade das funcoes com um numero finito de descontinuidades]
Se f : [a, b] −→ R e limitada possuindo um numero finito de descontinuidades entao f eintegravel em [a, b].
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Exemplo 5
A funcao
g(x) =
5 se 0 ≤ x ≤ 12 se 1 < x ≤ 23 se 2 < x ≤ 4
e integravel em [0, 4] porque possui apenas duas descontinuidades, em x = 1 e em x = 2.
Tambem a funcao
h(x) ={esenx se x 6= π−1 se x = π
e integravel em [0, 9] porque possui apenas uma descontinuidade em x = π.
Observacao 4
Mostra-se ainda que, se f : [a, b] −→ R e limitada e o conjunto dos pontos de desconti-nuidade de f constitui um conjunto numeravel1 entao f e integravel em [a, b].
5 O Teorema fundamental do calculo
Um dos resultados mais notaveis do Calculo esta patente no teorema que agora iremosapresentar. Nele estabelece-se uma ligacao crucial entre os conceitos de derivada e deintegral, a partir da qual e possıvel obter um processo extremamente eficaz para o calculodo integral, dispensando o recurso a definicao apresentada na Seccao 2.
Consideremos uma funcao contınua, f : [a, b] −→ R, logo integravel. Para cada x∈ [a, b],f e integravel em [a, x], pelo que podemos definir uma nova funcao, F : [a, b] −→ R, porpassagem ao integral, pondo
F (x) =∫ x
af(t) dt, x ∈ [a, b]. (80)
A funcao F acabada de definir possui uma caracterıstica importante, relacionada coma funcao inicial f .
Teorema 4 [Teorema Fundamental do Calculo, parte I]
A funcao F : [a, b] −→ R definida pela expressao (80) e derivavel em [a, b], tendo-se
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]. (81)
A partir da expressao (81), podemos concluir que a funcao f e uma primitiva de F , peloque vale o seguinte resultado.
1Um conjunto A ⊂ R diz-se numeravel se existir uma bijeccao ψ : A −→ N, significando que A possuitantos elementos como o conjunto N. Alguns exemplos de conjuntos numeraveis sao Z e Q e de conjuntosnao numeraveis sao R e R\Q.
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Corolario 1
Toda a funcao contınua f : [a, b] −→ R possui primitiva em [a, b].
De facto, basta pensar na correspondente funcao F obtida como em (80), por integracaoda funcao f desde a ate x.
Observacao 5
Quando f nao e contınua, mantendo-se integravel, podemos definir uma funcao F comoem (80). Acontece, porem, que F pode nao ser derivavel, ou entao, ate ser derivavelmas a sua derivada nao coincidir com f nos pontos de descontinuidade de f (Exemplos6, 7 e 8).
Exemplo 6
6
-
f
ppppppppt t
x
y
1
2
6
-
F
������
p p p p p p p p pppppppppp
t
t
x
y
2
2
f e contınua, logo integravel (Teorema 1) e primitivavel (Teorema 4).Define-se a funcao F , que e derivavel. Alem disso,
f(x) = 1 =⇒ F (x) =∫ x
01 dt = x, ∀x ∈ [0, 2].
Exemplo 7
6
-
f
ppppppppdtt t
ppppppp
x
y
1
21
6
-
F
������
p p p p p p p p pppppppppp
t
t
x
y
2
2
f e limitada com uma descontinuidade em 1, logo e integravel (Teorema 3). No entanto,f nao e primitivavel (isto e, f nao e a derivada de funcao alguma em [0, 2]. Mesmo assim,a integrabilidade de f em [0, 2] e suficiente para que se possa definir a funcao F , comoem (80). Como a funcao f deste Exemplo 7 difere da funcao f do Exemplo 6 apenas noponto 1, os integrais das duas sao iguais (Propriedade 6), pelo que F (x) = x, ∀x ∈ [0, 2].Alem disso, F e obviamente derivavel, com F ′(x) = 1, ∀x∈ [0, 2]. Acontece, porem, quea derivada de F em 1 difere de f(1).
37
Exemplo 8
6
-
fp p p p p p p p ppppppppp
pppppppp
t et t
x
y
1
1 2
6
-
F
�����
p p p p p p p p p p p p p p p p p ppppppppp
tt
x
y
1
1 2
f e limitada e possui uma descontinuidade no ponto 1. Logo f e integravel (Teorema 3)mas nao e primitivavel. Define-se novamente a funcao F , como em (80), e vem
x ∈ [0, 1[ =⇒ f(x) = 0 =⇒ F (x) =∫ x
00 dt = 0,
x ∈ [1, 2] =⇒ f(x) = 1 =⇒ F (x) =∫ x
11 dt = x− 1.
A funcao f e contınua mas nao e derivavel em 1.
Do ponto de vista do calculo do integral de uma funcao, a consequencia mais relevanteque se extrai do Teorema 4 e a que se apresenta a seguir.
Teorema 5 [Teorema Fundamental do Calculo, Formula de Barrow]
Sejam f : [a, b] −→ R contınua e G uma primitiva de f em [a, b]. Entao∫ b
af(t) dt = G(b)−G(a). (82)
Demonstracao
Pondo F (x) =∫ x
a
f(x) dx, tem-se F (b) =∫ b
a
f(x) dx.
Atendendo a que F e G sao duas primitivas de f em [a, b], tem-se
G(x) = F (x) + C, x∈ [a, b], C constante.
Em particular, para x = a, vem
G(a) = F (a) + C =⇒ C = G(a),
pelo queG(x) = F (x) +G(a), x∈ [a, b].
Para x = b, vemG(b) = F (b) +G(a) =⇒ F (b) = G(b)−G(a)
ficando, assim, justificada a igualdade (82).
Notacao
Para traduzir a identidade (82), usamos a notacao∫ b
af(t) dt =
[G(x)
]ba
.
38
O Teorema 5 fornece um processo extremamaente util para o calculo do integral de umafuncao contınua num intervalo. Quando a funcao integranda nao e contınua, conjugamoso Teorema 5 com as propriedades enunciadas na Seccao 3, para calcular o integral porintermedio de uma primitiva da funcao integranda em cada intervalo de continuidade.
Exemplo 9
(a)∫ π
0senx dx =
[− cosx
]π0
= − cosπ + cos 0 = 2 .
(b)∫ 3
−5|x| dx =
∫ 0
−5(−x) dx+
∫ 3
0x dx = −1
2
[x2]0−5
+12
[x2]30
=252
+92
= 7 .
(c)∫ 5
0
x
x2 + 1dx =
12
[log (x2 + 1)
]50
=12
(log 26− log 1) = log√
26 .
(d) Se f(x) ={
1 se x ∈ [0, 1]3 se x ∈ ]1, 2]
entao∫ 2
0f(x) dx
Prop. 6(b)=
∫ 1
01 dx+
∫ 2
13 dx
=[x]10
+[3x]21
= (1− 0) + (6− 3) = 4 .
(e) Se f(x) =
x2 se 0 ≤ x ≤ 12 se 1 < x ≤ 3
x− 3 se 3 < x ≤ 6entao, novamente pela Propriedade 6 (b), vem
∫ 6
0f(x) dx =
∫ 1
0x2 dx+
∫ 3
12 dx+
∫ 6
3(x− 3) dx
=[x3
3
]1
0
+[2x]31
+[x2
2− 3x
]6
3
=13
+ (6− 2) +(
0 +92
)=
536.
6 Resultados classicos do calculo do integral
Do teorema fundamental do calculo, Teorema 4, saem algumas consequencias que pas-samos a apresentar.
A - Derivacao sob o sinal de integral
Seja f : [a, b] −→ R uma funcao contınua. Entao a funcao F definida como em (80) ederivavel e sera tambem derivavel a composta F ◦ϕ, com ϕ : [c, d] −→ [a, b] uma funcaoderivavel qualquer. Por um lado, pela regra de derivacao de funcoes compostas, vem
(F ◦ ϕ)′(x) = F ′(ϕ(x))ϕ′(x) ,
e pelo teorema fundamental do calculo, Teorema 4, sai que
(F ◦ ϕ)′(x) = f(ϕ(x))ϕ′(x). (83a)
39
Por outro lado, da definicao (80) para F , sai tambem que
(F ◦ ϕ)(x) = F (ϕ(x)) =∫ ϕ(x)
0f(t) dt,
pelo que
(F ◦ ϕ)′(x) =
(∫ ϕ(x)
0f(t) dt
)′. (83b)
Das expressoes (83a-b), resulta(∫ ϕ(x)
af(t) dt
)′= f(ϕ(x))ϕ′(x) , (84)
que da uma formula para a derivacao do integral com limite superior que e funcao davariavel. Mais em geral, sendo ϕ,ψ : [c, d] −→ [a, b] funcoes derivaveis, partindo de∫ ψ(x)
ϕ(x)f(t) dt =
∫ ψ(x)
af(t) dt−
∫ ϕ(x)
af(t) dt
e usando o resultado da formula (84), vem(∫ ψ(x)
ϕ(x)f(t) dt
)′= f(ψ(x))ψ′(x)− f(ϕ(x))ϕ′(x) . (85)
que da uma formula para a derivacao do integral com os dois limites de integracao quesao funcao da variavel.
Exemplo 10
Estudemos a monotonia da funcao definida por
H(x) = x2
∫ x3
0e−t
2dt, x ∈R.
Temos
H ′(x) = 2x∫ x3
0e−t
2dt+ 3x4e−x
6, x ∈R,
que se anula apenas para x = 0, ja que 3x4e−x6 ≥ 0, ∀x ∈R, e que
x > 0 =⇒ 2x > 0 ∧∫ x3
0e−t
2dt > 0 =⇒ H ′(x) > 0,
x < 0 =⇒ 2x < 0 ∧∫ x3
0e−t
2dt < 0 =⇒ H ′(x) > 0.
Logo H e monotona crescente.
40
B - Formula do valor medio para integrais
Novamente, dada f: [a, b] −→ R, contınua, podemos definir
m = minx∈[a,b]
f(x) e M = maxx∈[a,b]
f(x),
e por serm ≤ f(x) ≤M, ∀x ∈ [a, b],
da monotonia do integral, sai que∫ b
amdx ≤
∫ b
af(x) dx ≤
∫ b
aM dx,
ou seja,
m(b− a) ≤∫ b
af(x) dx ≤M(b− a).
Consequentemente, ter-se-a∫ b
af(x) dx = α(b− a), com α ∈ [m,M ].
Sendo contınua em [a, b], a funcao f toma todos os valores desde m ate M , existindoc ∈ [a.b] tal que f(c) = α, valendo o seguinte resultado.
Teorema 6 [do valor medio para integrais]
Se f: [a, b] −→ R e contınua entao existe c ∈ [a, b] tal que∫ b
af(x) dx = (b− a)f(c) . (86)
Com base no Teorema 6, define-se ususalmente o valor medio da funcao f por
f =1
b− a
∫ b
af(x) dx (87)
Exemplo 11
O valor medio da funcao f(x) = cosx no intervalo [0, π/2] e dado por
f =1π/2
∫ π/2
0cosx dx =
2π
[senx
]π/20
=2π.
C - Integracao por partes
Consideremos agora f, g : [a, b] −→ R com f contınua, F uma sua primitiva e g possuindoderivada contınua. Entao fg e integravel e conjugando a formula de Barrow expressapelo teorema fundamental do calculo, Teorema 5, com o metodo de primitivacao porpartes, sai que
41
∫ b
af(x)g(x) dx =
[F (x)g(x)− P
(F (x)g′(x)
)]ba
ou seja, ∫ b
af(x)g(x) dx =
[F (x)g(x)
]ba−∫ b
aF (x)g′(x) dx . (88)
Exemplo 12
(a)∫ 2
0xex dx =
[exx]20−∫ 2
0ex dx = 2e2 −
[ex]20
= e2 + 1 .
(b)∫ e
1log√x dx =
[x log
√x]e1−∫ e
1x
12√x√xdx =
e
2−∫ e
1
12dx =
e
2− 1
2
[x]e1
=12.
(c)∫ 1
0x arctg x2 dx =
[x2
2arctg x2
]10−∫ 1
0
x2
22x
1 + x4dx =
π
8− 1
4
[ln(1 + x4)
]10
=π
8− 1
4ln 2.
C - Integracao por por substituicao
Para calcular o integral∫ b
af(x) dx de uma funcao contınua f : [a, b] −→ R, podemos
conjugar a formula de Barrow, Teorema 5, com o metodo de primitivacao por substi-tuicao, passando da variavel x a uma nova variavel, digamos t, atraves da mudanca devariavel x = g(t). Ja sabemos como uma tal mudanca altera a funcao a primitivar, quepassara de f(x) para f(g(t)) g′(t). Mas e de esperar que o intervalo de integracao tenhaque ser adaptado a nova variavel t. Para isso, devemos procurar saber em que intervaloira variar t, se temos x a variar em [a, b] e fazemos x = g(t). Ou seja, devemos procurarpontos α e β tais que
a = g(α) e b = g(β) .
Para uma funcao f : [a, b] −→ R, contınua, e para uma substituicao definida atravesde uma funcao g : [α, β] −→ [a, b] possuindo derivada contınua e tal que g(α) = a eg(β) = b, o resultado e o seguinte∫ b
af(x) dx =
∫ β
αf(g(t)
)g′(t) dt . (89)
A expressao (89) da a formula de substituicao no integral, para uma mudanca de variaveldefinida por x = g(t).
Observacao 6
No integral do segundo membro da expressao (89), os limites de integracao α e β saoquaisquer numeros reais tais que g(α) = a, g(β) = b, ainda que haja varias escolhaspossıveis. Cf. o Exemplo 13.
42
Exemplo 13
(a) Calculemos∫ 1
0
√1− x2 dx, efectuando a mudanca de variavel x = sen t.
Pondo g(t) = sen t, vem g′(t) = cos t. Quanto aos limites de integracao, temos{x = sen tx = 0 =⇒ sen t = 0 =⇒ t = t1 = kπ, k ∈ Z,
{x = sen tx = 1 =⇒ sen t = 1 =⇒ t = t2 =
π
2+ 2kπ, k ∈ Z.
A escolha mais simples parece ser t1 = 0 e t2 =π
2, resultando
∫ 1
0
√1− x2 dx =
∫ π2
0
√1− sen2 t cos t dt =
∫ π2
0
cos2 t dt
=12
∫ π2
0
(1 + cos 2t) dt =12
[t+
12
sen 2t]π
2
0
=π
4.
A tıtulo de ilustracao, faca-se outra escolha, por exemplo, t1 = 2π e t2 =π
2. Viria
∫ 1
0
√1− x2 dx =
∫ π2
2π
√cos2 t cos t dt = −
∫ 2π
π2
√cos2 t cos t dt
Mas√
cos2 t = | cos t| e cos t nao tem sinal constante em[π
2, 2π], pelo que
∫ 1
0
√1− x2 dx =
∫ 3π2
π2
cos2 t dt−∫ 2π
3π2
cos2 t dt
=12
[t+
12
sen 2t] 3π
2
π2
− 12
[t+
12
sen 2t]2π
3π2
=12
(3π2− π
2
)− 1
2
(2π − 3π
2
)=
π
2− π
4=π
4.
(b) Calculemos agora∫ 2
1x√x− 1 dx, efectuando a mudanca de variavel x− 1 = t2.
Pondo g(t) = t2 + 1, vem g′(t) = 2t. Atendendo a que g(0) = 1 e g(1) = 2, resulta∫ 2
1
x√x− 1 dx =
∫ 1
0
(1 + t2)√t2 2t dt = 2
∫ 1
0
(t2 + t4
)dt
=23
[t3]10
+25
[t5]10
=23
+25
=1615
.
43
(c) Calculemos∫ e
−1f(x) dx para
f(x) =
√
1− x2 se − 1 ≤ x < 0,2 se 0 ≤ x < 1,
log x se 1 ≤ x ≤ e .
Recorrendo a Propriedade 6 (b), vem∫ e
−1
f(x) dx =∫ 0
−1
√1− x2 dx+
∫ 1
0
2 dx+∫ e
1
log x dx,
onde o primeiro integral se calcula por substituicao fazendo, por exemplo, x = sen t, o
segundo e imediato e o terceiro calcula-se por partes. Resulta∫ e
−1
f(x) dx =π
4+ 2 + 1 .
Exemplo 14
Sejam a∈R+ e f: [−a, a] −→ R uma funcao contınua. Vejamos que:
(a) se f e par entao∫ a
−af(x) dx = 2
∫ a
0f(x) dx;
(b) se f e ımpar entao∫ a
−af(x) dx = 0.
(a) Sendo f par, tem-se f(x) = f(−x), ∀x∈ [−a, a], e entao∫ a
−af(x) , dx =
∫ 0
−af(x) dx+
∫ a
0
f(x) dx =∫ 0
−af(−x) dx︸ ︷︷ ︸J
+∫ a
0
f(x) dx.
Fazendo a mudanca de variavel x = −t no integral J , vem∫ a
−af(x) dx =
∫ 0
a
f(t)(−1) dt+∫ a
0
f(x) dx =∫ a
0
f(t) dt+∫ a
0
f(x) dx = 2∫ a
0
f(x) dx.
(b) Sendo f ımpar, tem-se f(x) = −f(−x), ∀x∈ [−a, a], e entao∫ a
−af(x) dx =
∫ 0
−af(x) dx+
∫ a
0
f(x) dx = −∫ 0
−af(−x) dx︸ ︷︷ ︸J
+∫ a
0
f(x) dx.
Fazendo a mudanca de variavel x = −t no integral J , vem∫ a
−af(x) dx = −
∫ 0
a
f(t)(−1) dt+∫ a
0
f(x) dx = −∫ a
0
f(t) dt+∫ a
0
f(x) dx = 0.
44
7 Aplicacoes do integral
Algumas aplicacoes geometricas do integral estao relacionadas com a area de um domınioplano limitado, o comprimentos de um arco de curva entre dois pontos, o volume de umsolido de revolucao, e a area de uma superfıcie de revolucao.
7.1 Area de um domiınio plano
Vamos retomar o problema que serviu de motivacao a definicao de integral (Seccao 1).No caso em que f : [a, b] −→ R e uma funcao contınua tal que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b],dissemos que a area do domınio limitado pelo grafico de f , pelo eixo OX e pelas rectasverticais x = a e x = b, representado na Figura 1 da Seccao 1, e dada por
area(D) =∫ b
af(x) dx.
Daqui extraem-se as seguintes consequencias.
(a) Se f(x) ≤ 0, ∀x∈ [a, b], entao, por simetriaem relacao a OX, a area da regiao plana
D ={
(x, y)∈R2 : a ≤ x ≤ b ∧ f(x) ≤ y ≤ 0}
coincide com a area de um novo domınio plano,digamosD∗, obtido deD por simetria em relacaoao eixo OX, ou seja
D∗={
(x, y)∈R2 : a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ −f(x)}
donde
Figura 4: Regiao limitada pelo graficode uma funcao negativa, pelo eixo OXe pelas rectas x = a e x = b.
area(D) = −∫ b
af(x) dx. (90)
(b) Se f, g : [a, b] −→ R sao contınuas e tais que0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀x∈ [a, b], entao, a area da regiao
D ={
(x, y)∈R2 : a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ f(x)}
pode ser dada por area(D) =area(D1)−area(D2),onde D1 e a regiao plana sob o grafico de f e D2 ea regiao plana sob o grafico de g. Entao
area(D) =∫ b
af(x) dx−
∫ b
ag(x) dx
ou seja
Figura 5: Regiao limitada pelos
graficos de duas funcoes positivas
e pelas rectas x=a e x=b.
area(D) =∫ b
a
[f(x)− g(x)
]dx. (91)
45
(c) Consideremos agora uma regiao plana
D ={
(x, y)∈R2 : a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ f(x)}
onde f e g sao duas funcoes contınuas, nao necessa-riamente positivas, tais que g(x) ≤ f(x), ∀x∈ [a, b].Por translaccao segundo um vector vertical orien-tado no sentido positivo de OY , a regiao D seriatransportada para o semiplano superior (positivo),obtendo-se uma regiao D∗ geometricamente igual aD, limitada por y= f(x) + k, y= g(x) + k, com kuma constante positiva tal que k > | min
x∈[a,b]f(x)|.
Figura 6: Regiao limitada pelos
graficos de duas funcoes quaisquer,
e pelas rectas x = a e x = b.
A area da regiao D seria entao dada por
area(D) = area(D∗) =∫ b
a
[f(x) + k −
(g(x) + k
)]dx,
ou seja novamente por
area(D) =∫ b
a
[f(x)− g(x)
]dx.
(d) Mais em geral, se os graficos das funcoes f e gse intersectam num ponto de abcissa c e invertem aposicao relativa, a area da regiao D limitada pelosgraficos de f e de g e pelas rectas verticais x = ae x = b pode ser calculada como a soma de duasareas, a da regiao entre x = a e x = c e a da regiaoentre x = c e x = b. Pelo que vimos em (b), resulta
area(D) =∫ c
a
[f(x)− g(x)
]dx
+∫ b
c
[g(x)− f(x)
]dx. (92)
Figura 7: Regiao limitada pelos
graficos de f e de g, quando estes
se intersectam, e ainda pelas rectas
x = a e x = b.
Exemplo 15
(a) A area da regiao limitada pelas parabolasy = x2 e y = 2 − x2, que se intersectam parax = −1 e x = 1, e dada por (caso (b))∫ 1
−1(2− 2x2) dx =
[2x− 2
3x3]1−1
=83. x
y
2
y!x^2
y!2"x^2
(b) A area da regiao limitada pelas curvasy = senx, y = cosx, x = 0 e x = π/2 edada por (caso (d))
x
y
!!2!!4
1 y " sen x
y " cos x
46
areaD =∫ π/4
0(cosx− senx) dx+
∫ π/2
π/4(senx− cosx) dx
=[
senx+ cosx]π/40
+[− cosx− senx
]π/2π/4
= 2√
2− 2.
7.2 Comprimento de um arco de curva
Seja f : [a, b] −→ R uma funcao possuindo derivada contınua. Designemos por C oarco de curva y = f(x), com x∈ [a, b], representado na Figura 8, imagem da esquerda.Vamos atribuir significado ao comprimento do arco C, recorrendo a definicao de integralem termos das somas de Riemann. Para tal, vamos considerar uma particao P de [a, b]definida por pontos x0 = a, x1, . . ., xn−1, xn = b. Sejam P0, P1, . . . , Pn os pontoscorrespondentes sobre a curva C e consideremos a linha poligonal LP representada adireita na Figura 8, definida pelos segmentos de recta Pi−1Pi, com i = 1, 2, . . . , n.
Figura 8: Arco de curva C (a esquerda) e linha poligonal LP (a direita).
Quando os pontos Pi sao considerados cada vez mais proximos uns dos outros, ou seja,quando a amplitude ||P|| da particao tende para zero, a linha poligonal LP tende aconfundir-se com o arco C. Entao, por definicao, pomos
comp C = lim||P||→0
compLP . (93)
Mas o comprimento da linha poligonal ea soma dos comprimentos dos varios seg-mentos de recta que a constituem, ou seja
compLP = P0P1 + P1P2 + · · ·+ Pn−1Pn,
sendo o comprimento de cada segmentoPi−1Pi dado pela distancia entre Pi−1 =(xi−1, yi−1) e Pi=(xi, yi), ou seja por
Pi−1Pi=√(
xi−xi−1
)2+(f(xi)−f(xi−1)
)2,
Figura 9: Ampliacao de uma porcao do
arco C e da linha poligonal LP .
47
ou ainda por
Pi−1Pi =(xi−xi−1
)√1+(f(xi)−f(xi−1)
xi−xi−1
)2
.
O quociente que figura no radical do segundomembro da o declive do segmento de rectaPi−1Pi e, portanto, da tambem o declive de umarecta r paralela ao segmento e tangente a curvaC. Como f e derivavel (teorema do valor mediode Lagrange), tal declive pode ser expresso comoa derivada de f em algum ponto yi ∈ ]xi−1, xi[,e vem
Figura 10: Recta r tangente a C e
paralela ao segmento Pi−1Pi.
Pi−1Pi =√
1 +(f ′(yi)
)2(xi − xi−1
).
Consequentemente, o comprimento da linha poligonal LP e dado por
comp(LP) =n∑i=1
√1 +
(f ′(yi)
)2(xi − xi−1
), (94)
onde, no segundo membro, mais nao temos do que uma soma de Riemann para a funcaointegravel g : [a, b] −→ R definida por g(x) =
√1 + (f ′(x))2. Tomando o limite quando
||P|| → 0 na equacao (94), vem (cf. as equacoes (71) e (72))
lim||P||→0
comp(LP) =∫ b
a
√1 + (f ′(x))2 dx, (95)
e tendo em conta a definicao (93), sai
comp(C) =∫ b
a
√1 +
(f ′(x)
)2dx . (96)
Exemplo 16
(a) O comprimento do arco de curva y = chx, entre os pontos de abcissa x = −1 ex = 2 e dado por
comp(C) =∫ 2
−1
√1 + sh2 x dx =
∫ 2
−1chx dx =
[shx
]2−1
= sh 2 + sh 1 .
(b) O comprimento do arco de curva y = 23x
3/2, entre os pontos de abcissa x = 1 ex = 8 e dado por
comp(C) =∫ 8
1
√1 + (
√x)2 dx =
∫ 8
1
√1 + x dx =
23
[(1 + x)3/2
]81
= 18− 43
√2.
48
7.3 Volume de um solido de revolucao
Quando uma regiao plana roda em torno de uma recta r do mesmo plano, obtem-seum solido dito de revolucao. Assim, um cilindro pode ser obtido pela rotacao de umaregiao rectangular, uma esfera pode ser obtida pela rotacao de um semi-cırculo, e umcone pode ser obtido pela rotacao de uma regiao triangular.
Nesta seccao, estamos interessados nos solidos de revolucao S gerados pela rotacao emtorno do eixo OX de uma regiao plana D limitada pelo grafico de uma funcao contınua,pelo eixo OX e por dua rectas verticais, x = a e x = b. Mais concretamente vamos obteruma expressao para o calculo do volume do solido S, recorrendo novamente a definicaode integral em termos das somas de Riemann. Para tal, consideramos uma particaoP de [a, b] definida por pontos x0, x1, . . . , xn. Em cada subintervalo [xi−1, xi] fixamosarbitrariamente um ponto ci.Tomamos a regiao poligonal RP definida pe-las n regioes rectangulares de altura f(ci) quese erguem sobre os varios subintervalos. Ob-servamos que, quando a amplitude ||P|| daparticao tende para zero, a regiao poligonalRP tende a confundir-se com o domınio D e osolido SP gerado por RP , a direita na Figura11, tende a confundir-se com o solido S ge-rado por D, a esquerda na Figura 11. Entao,por definicao, pomos
Figura 11: Soma de Riemann para o
volume de um solido de rotacao.
volS = lim|P|→0
volSP . (97)
Reparando (Figura 10) que cada rectangulo elementar Ri gera um cilindro “achatado”Si (Figura 11, a direita) com volume
vol(Si) = π(f(ci)
)2(xi − xi−1),
obtemos
vol(SP) =n∑i=1
π(f(ci)
)2(xi − xi−1). (98)
49
Figura 12: Solido S de volume a definir e solido SP cujo volume aproxima o de S.
No segundo membro da equacao (98) temos novamente uma soma de Riemann, destavez para a funcao h : [a, b] −→ R definida por h(x) = π
(f(x)
)2, que e integravel. Logo,tomando o limite quando ||P|| → 0 na equacao (98), vem
lim||P||→0
vol(SP) =∫ b
aπ(f(x)
)2dx, (99)
e da definicao (97), sai
vol(S) =∫ b
aπ(f(x)
)2dx. (100)
Exemplo 17
O volume do solido S gerado pela rotacao em torno de OX da regiao
D ={
(x, y)∈R2 : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 + 1}
e dado por
volS =∫ 1
−1π(x2 + 1)2 dx = π
[x5
5+
2x3
3+ x]1−1
= 2π(1
5+
23
+ 1).
Exemplo 18
A formula para o volume de uma esfera S de raio r pode ser obtida pensando na esferacomo o solido gerado pela rotacao em torno de OX do semi-cırculo superior
D ={
(x, y)∈R2 : x2 + y2 ≤ r2 ∧ y ≥ 0}.
Atendendo a simetria da esfera, podemos considerar apenas a rotacao do quarto decırculo situado no primeiro quadrante. Vem
volS = 2∫ r
0π(√
r2 − x2)2dx = 2π
∫ r
0
(r2 − x2) dx = 2πr2
[x]r0− 2π
3[x3]r0
=43πr3.
50
A semelhanca do que fizemos na Subseccao 7.1 em relacao ao conceito de area, pode-mos obter formulas mais gerais para o calculo do volume de solidos de revolucao. Porexemplo, no caso em que f, g : [a, b] −→ R sao contınuas e 0≤g(x)≤f(x), ∀x∈ [a, b], o
volume do solido S gerado pela rotacao em tornode OX da regiao plana
D ={
(x, y)∈R2 : a ≤ x ≤ b ∧ g(x) ≤ y ≤ f(x)}
e dado por
vol(S) =∫ b
aπf2(x) dx−
∫ b
aπg2(x) dx
=∫ b
aπ[f2(x)− g2(x)
]dx.
Figura 13: Solido gerado pela rotacao em
torno de OX da regiao D.
Exemplo 19O volume do solido S gerado pela rotacaoem torno de OX da regiao plana
B ={
(x, y)∈R2 : |x− 2|+ 1 ≤ y ≤ 3}
e dado por (tendo em conta a simetria)
volS = 2∫ 2
0π(
32 − (−x+ 3)2)dx
= 2π∫ 2
0
(− x2 + 6x) dx =
56π3. 1 2 3 4
x
1
2
3
y
1 2 3 4x
1
2
3
y
Exemplo 20 [Volume de um toro]
O volume do solido S gerado pela rotacao emtorno de OX da regiao plana
C ={
(x, y)∈R2 : (x− 4)2 + (y − 4)2 ≤ 1}
e dado por (tendo em conta a simetria emrelacao a recta x = 4)
vol S = 2π∫ 5
4
[(4 +
√1− (x− 4)2
)2 − (4−√1− (x− 4)2)2]
dx
= 32π∫ 5
4
√1− (x− 4)2 dx [substituicao x− 4 = sen t]
= 32π∫ π/2
0
√1− sen t2 cos t dt = 32π
∫ π/2
0cos2 t dt = 16π
∫ π/2
0
(1 + cos 2t
)dt
= 16π([t]π/20
+12[
sen 2t]π/20
)= 8π2.
51
7.4 Area de uma superfıcie de revolucao
Quando um arco de curva y=f(x), com x ∈ [a, b], roda em torno do eixo OX, obtem-seuma superfıcie de revolucao. Vamos recorrer a definicao de integral em termos das somasde Riemann para obter uma formula para o calculo da area de tal superfıcie.
Figura 14: Arco de curva C (a esquerda) e superfıcie S de revolucao (a direita).
Para tal, consideramos uma particao P de[a, b] definida por pontos x0, x1, . . . , xn. Se-jam P0, P1, . . . , Pn os correspondentes pon-tos sobre a curva C e consideremos a linhapoligonal LP representada na Figura 15, de-finida pelos segmentos de recta Pi−1Pi, comi = 1, 2, . . . , n. Quando os pontos Pi saoconsiderados cada vez mais proximos uns dosoutros, ou seja quando a amplitude ||P|| daparticao tende para zero, a linha poligonal LP
Figura 15: Particao do intervalo
[a, b] e linha poligonal LP .
tende a confundir-se com a curva C e a superfıcie SP gerada por LP tende a confundir-secom a superfıcie S gerada por C. Entao pomos
areaS = lim||P||→0
areaSP . (101)
Figura 16: Superfıcie S gerada por C e superfıcie SP gerada por LP .
52
Mas cada segmento de recta “inclinado” gera um tronco de superfıcie conica Ci (Figura16, a direita), com area lateral
area(Ci) = 2π Pi−1Pif(xi − 1) + f(xi)
2,
uma vez que a area da superfıcie lateral de um tronco de cone (Figura 17, direita) edada por 2π g(r +R)/2.
Figura 17: Tronco de cone (a direita) e pormenor da curva que gera a superfıcie S (a esquerda).
Mas (Figura 17, esquerda)
Pi−1Pi =√
(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2
e como vimos na subseccao 7.3, podemos escrever
PiPi+1 =√
1 +(f ′(yi)
)2(xi − xi−1
),
para algum yi ∈ [xi−1, xi]. Se agora aproximarmos f(xi−1)+f(xi)2 por f(yi) vem entao
area(Ci) = 2π f(yi)√
1 +(f ′(yi)
)2 (xi − xi−1
).
Consequentemente, a area da superfıcie de revolucao SP e dada por
area(SP) = 2πn∑i=1
f(yi)√
1 +(f ′(yi)
)2 (xi − xi−1
). (102)
O segundo membro da expressao (102) nao e mais do que uma soma de Riemann paraa funcao k : [a, b] −→ R definida por k(x) = 2πf(x)
√1 + (f ′(x))2. Como a funcao k e
integravel, tomando o limite quando ||P|| → 0 na equacao (102) vem entao
area(S) = 2π∫ b
af(x)
√1 + (f ′(x))2 dx. (103)
Nos casos mais gerais em que a funcao f muda de sinal entre a e b, resulta
area(S) = 2π∫ b
a|f(x)|
√1 + (f ′(x))2 dx. (104)
53
Exemplo 21
A area da superfıcie de revolucao S gerada pela rotacao em torno de OX do arco deparabola x = y2, para y ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ 1, e dada por
area(S) = 2π∫ 1
0
√x
√1 +
14x
dx = π
∫ 1
0
√1 + 4x dx
=π
6
[√(1 + 4x)3
]10
=π(5√
5− 1)
6.
8 Coordenadas polares
Habitualmente identificamos a posicao de um ponto P do plano atraves das suas co-ordenadas cartesianas, (x, y), definidas em relacao a um referencial ortonormado XOYconstituıdo por uma origem O e por dois eixos ortonormados, OX e OY . Em muitassituacoes revela-se mais util introduzir um novo referencial e identificar a posicao de umponto do plano atraves de um novo sistema de coordenadas. Vamos agora introduzir aschamadas coordenadas polares.
8.1 Definicao
Consideremos em R2 um ponto O, a que chamamos polo, e uma semirecta OX, a quechamamos eixo polar. A posicao de um ponto P de R2 pode ser identificada peladistancia de P ao polo e pelo angulo entre a direccao de P e o eixo polar. Definimosassim as coordenadas polares de P 6= O pelo par (ρ, θ), com ρ > 0 e θ∈ [0, 2π[, onde
ρ = dist(O,P ), θ = <| (OX,−→OP ), (105)
a que chamamos raio vector e angulo polar, respectivamente.
O angulo e medido no sentido positivo, ouanti-horario, a partir do eixo polar. Paracada ponto P 6= O, o par (ρ, θ) assim de-finido e unico e escrevemos P = (ρ, θ). Poroutro lado, o ponto O e identificado por qual-quer par (0, θ), com θ ∈ [0, 2π[ , pelo que assuas coordenadas polares nao sao unicas. Figura 17: Sistema de coordenadas polares.
Em vez do habitual sistema de eixos graduados, usamos um referencial polar graduado(cf. a Figura 18) com uma escala para a distancia ρ e outra para o angulo θ. Assim, emrelacao aos pontos A, B, C e D representados na Figura 18, teremos
54
A = (3, 0), B =(1, π3
),
C =(3, 5π
6
), D =
(2,−3π
2
).
Figura 18: Referencial polar “graduado”.
8.2 Relacao entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares
Para relacionarmos os dois tipos de coordenadas, consideremos um referencial cartesianoortonormado, XOY , e um referencial polar com polo coincidente com O e eixo polarsobre OX+.
Figura 19: Coordenadas cartesianas e polares.
Dado um ponto P , qualquer, de coordenadascartesianas (x, y) e coordenadas polares (ρ, θ),da Figura 19, e facil reconhecer que se tem
x = ρ cos θ e y = ρ sen θ, (106)
donde
ρ =√x2 + y2. (107a)
Por outro lado, se x 6= 0, tem-se tambem
tg θ =y
x, (107b)
e, se x = 0, entao P esta sobre OX, podendo ser
(θ = π/2 se y > 0) ∨ (θ = 3π/2 se y < 0) ∨ (θ ∈ [0, 2π[ se y = 0) . (107c)
Assim, usaremos as expressoes (106) para passar de coordenadas polares a cartesianas,e as expressoes (107a) e (107b-c), juntamente com os sinais de x e de y, para passar decoordenads cartesianas a polares.
Exemplo 22
1. Se as coordenadas cartesianas de certos pontos sao dadas por
A = (1, 1) , B = (−4,−4) , C = (0, 2) , E =(
0,−12
), F =
(−√
3,−3),
55
entao as correspondentes coordenadas polares sao
A =(√
2,π
4
), B =
(4√
2,7π4
), C =
(2,π
2
), E =
(12,3π2
), F =
(2√
3,4π3
).
2. Reciprocamente, se as coordenadas polares de certos pontos sao dadas por
A =(
1,π
4
), B =
(3,
11π6
), C = (0, π) , E =
(√3, 0), F = (1, 5) .
entao as correspondentes coordenadas cartesianas sao
A =
(√2
2,
√2
2
), B =
(3√
32,−3
2
), C = (0, 0) , E =
(√3, 0), F = (cos 5, sen 5) .
8.3 Representacao polar de curvas
Analisemos agora o problema da representacao geometrica de curvas, dadas pelas suasequacoes polares. Comecemos com os casos mais simples.
A) ρ = r, com r uma constante positiva.
Trata-se da circunferencia de centro O e raio r, tal como decorre da definicao(105). Cf. a Figura 20.
Figura 20: Curva de equacao ρ = r. Figura 21: Curva de equacao θ = α.
B) θ = α, com α uma constante em [0, 2π[.
Trata-se da semi-recta de origem em O que faz com OX um angulo de α radianos,tal como decorre tambem da definicao (105). Cf. a Figura 21.
C1) ρ = θ, considerando θ ∈ R+0 .
Neste caso, a curva passa pelo polo e ρ cresce linearmente com θ. Obtem-se acurva representada na Figura 22, que e conhecida por espiral de Arquimedes.
56
Figura 22: Espiral de Arquimedes, ρ = θ. Figura 23: Espiral exponencial, ρ = eθ.
C2) ρ = eθ, considerando θ ∈ R+0 .
A curva nao passa pelo polo, pois para θ = 0 vem ρ = 1. Alem disso, ρ cresceexponencialmente com θ e obtem-se a curva representada na Figura 23, que comecade dentro para fora. Esta curva e conhecida por espiral exponencial.
C3) ρ = e−θ, considerando θ ∈ R+0 .
A curva nao passa pelo polo, pois paraθ = 0 vem ρ = 1. Desta vez, ρ decresce ex-ponencialmente com θ e obtem-se a curvarepresentada na Figura 24, que comeca defora para dentro. Esta curva e conhecidapor espiral logarıtmica.
!!1,"!0
Figura 24: Espiral logarıtmica, ρ = e−θ.
D1) ρ = 1− cos θ, θ ∈ [0, 2π[.
Como cos θ varia entre −1 e 1, ρ vai variar entre ρmin = 0 (para θ= 0) e ρmax = 2(para θ=π). Obtem-se a curva da Figura 25, conhecida por cardeoide.
Figura 25: Cardeoide ρ = 1− cos θ. Figura 26: Cardeoide ρ = 1 + cos θ.
D2) ρ = 1 + cos θ, θ ∈ [0, 2π[.
Com uma analise breve, semelhante a efectuada em F1), btem-se o cardeoide daFigura 26.
57
D3) ρ = 1− sen θ, θ ∈ [0, 2π[.
Tambem agora, com uma analise semelhante a efectuada em F1), btem-se ocardeoide da Figura 27.
Figura 27: Cardeoide ρ = 1− sen θ. Figura 28: Cardeoide ρ = 1 + sen θ.
D4) ρ = 1 + sen θ, θ ∈ [0, 2π[.
Mais uma vez, de maneira semelhante, btem-se o cardeoide da Figura 28.
E1) ρ2 = cos 2θ, θ ∈[0, π4
]∪[
3π4 ,
5π4
]∪[
7π4 , 2π
].
Observe-se que o intervalo de variacao de θ e aquele onde se tem cos 2θ ≥ 0. Nestecaso, ρ e maximo quando θ = 0 e quando θ = π, caso em que ρ = 1. Analisando amonotonia de ρ como funcao de θ, obtem-se a curva da Figura 29, a que se chamalemniscata.
Figura 29: Lemniscata ρ2 = cos 2θ. Figura 30: Lemniscata ρ2 = sen 2θ.
E2) ρ2 = sen 2θ, θ ∈[0, π2
]∪[π, 3π
2
].
O intervalo de variacao de θ e aquele onde se tem sen 2θ ≥ 0. A curva e a lemniscatarepresentada na Figura 30, tendo-se ρ = 1 para θ = π
4 e para θ = 3π4 .
F1) ρ = | cos 2θ |, θ ∈[0, 2π
[.
Agora, ρ sera maximo e igual a 1 quando θ = 0, θ = π2 , θ = π, θ = 3π
2 . A curvaesta representada na Figura 31 e chama-se rosa de quatro petalas.
58
Figura 31: Rosa de 4 petalas, ρ = | cos 2θ |. Figura 32: Rosa de 8 petalas, ρ = | cos 4θ |.
F2) ρ = | cos 4θ |, θ ∈[0, 2π
[.
Desta vez, ρ sera maximo e igual a 1 quando θ = 0, θ = π4 , θ = π
2 , θ = 3π4 , θ = π,
θ = 5π4 , θ = 3π
2 e θ = 7π4 . A curva esta representada na Figura 31 e chama-se rosa
de quatro petalas.
G1) ρ = | sen 3θ |, θ ∈[0, 2π
[.
A curva esta representada na Figura 33 e chama-se rosa de tres petalas.
Figura 33: Rosa de 4 petalas, ρ = | sen 3θ |. Figura 34: Rosa de 8 petalas, ρ = | cos 3θ |.
G2) ρ = | cos 3θ |, θ ∈[0, 2π
[.
A curva esta representada na Figura 34 e tambem e uma rosa de tres petalas.
H) Se agora a curva for dada em coordenadas cartesianas, podemos obter a corres-pondente equacao polar, atendendo as expressoes (105).
H1) Circunferencia (x− 1)2 + y2 = 1, de centro C = (1, 0) e raio 1.
Tem-se x2−2x+1+y2 = 1, donde x2 +y2−2x = 0. Em coordenadas polares,fica ρ2 − 2ρ cos θ = 0, donde se conclui que ρ = 2 cos θ e a equacao polar dacircunferencia dada, ja que ρ = 0 define apenas o polo. Como ρ ≥ 0, tem-seθ ∈
[0, π2
]∪[
3π2 , 2π
[. A circunferencia esta representada na Figura 35.
59
Figura 35: Circunferencia passando por O
com diametro sobre OX, ρ = 2 cos θ.
Figura 36: Circunferencia passando por O
com diametro sobre OY , ρ = 2 sen θ.
H2) Circunferencia x2 + (y − 1)2 = 1, de centro C = (0, 1) e raio 1.
A correspondente equacao polar e ρ = 2 sen θ, com θ ∈ [0, π]. A circunferenciaesta representada na Figura 36.
8.4 Areas planas em coordenadas polares
Em muitas situacoes, torna-se mais simples trabalhar em R2 com coordenadas polares.Esta situacao ocorre frequentemente no calculo de areas de regioes planas, quando aprimitiva da funcao integranda e complicada. Vamos agora estabelecer uma formulapara o calculo de uma tal area, atraves de um integral em coordenadas polares.
Suponhamos que pretendemos determinara area da regiao plana A, que e limitadapela curva de equacao ρ = f(θ), com f
contınua, e pelas semi-rectas θ = α eθ = β (cf. a Figura 37). Entao, adop-tando uma estrategia semelhante a queutilizamos para determinar a area em co-ordenadas cartesianas:
Figura 37: Regiao plana A.
(i) Consideramos uma particao P de [α, β] em n subintervalos [θi−1, θi], i = 1, 2, . . . , n.
(ii) A regiao A fica dividida em n fatias, cada uma de amplitude θi − θi−1 (Figura 38).
Figura 38: Regiao plana A. Figura 39: Fatia elementar Ai.
60
(iii) Aproximamos a area de cada fatia elementar pela area de um sector circular,comecando por observar que (Figura 39)
12ρ2i (θi − θi−1) ≤ area(Ai) ≤
12ρ2i−1 (θi − θi−1).
Mas ρi = f(θi) e ρi−1 = f(θi−1), donde
12f2(θi) (θi − θi−1) ≤ area(Ai) ≤
12f2(θi−1) (θi − θi−1).
Como f e contınua, resulta que
area(Ai) =12f2(ci) (θi − θi−1).
para algum ci ∈ [θi−1, θi].
(iv) Fazendo a soma para i = 1, . . . , n e tomando o limite quando a amplitude ||P||tende para zero, obtemos
areaA =12
∫ β
αf2(θ) dθ.
Exemplo 23
A area do cırculo de raio r pode ser obtida com um integral em coordenadas polares,bastando atender a que, se a circunferencia estiver centrada na origem, a sua equacaopolar e ρ = r, pelo que
areaA =12
∫ 2π
0r2 dθ =
12r2[θ]2π0
= π r2.
Exemplo 24
A area da regiao plana A = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ θ ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π}, limitada pela espiralde Arquimedes (Figura 22), e dada por
areaA =12
∫ 2π
0θ2 dθ =
12
13
[θ3]2π0
=43π3.
Exemplo 25
A area da regiao plana A = {(ρ, θ) : 0 ≤ ρ ≤ 1 + cos θ ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π}, limitada pelocardeoide ρ = 1 + cos θ (Figura 25), e dada por
areaA =∫ π
0(1 + cos θ)2 dθ =
∫ π
0(1 + 2 cos θ + cos2 θ) dθ
=[θ]π0
+ 2[
sen θ]π0
+12
∫ π
0(1 + cos 2θ) dθ
= π +12
([θ]π0
+12
[sen θ
]π0
)=
3π2.
61
9 Integral Improprio
Na seccao 2 deste capıtulo apresentamos a definicao de integral segundo Riemann, parauma funcao limitada que esta definida num intervalo limitado. A extensao desta de-finicao aos casos em que o intervalo de integracao e nao limitado, ou em que a funcaointegranda se torna nao limitada nas vizinhancas de um ponto do intervalo de integracao,conduz a nocao de integral improprio. Assim, diremos que os integrais∫ +∞
0x2 dx,
∫ 1
0
1xdx e
∫ +∞
−1
1x2dx
sao todos improprios. Para estender a definicao de Riemann a estes casos, iremos recorrera nocao de limite.
9.1 Intervalo de integracao ilimitado
Neste caso, o integral improprio diz-se de primeira especie ou de tipo I. Comecemoscom o caso em que o intervalo de integracao e do tipo [a,+∞[ e, a tıtulo de motivacao,consideremos os integrais
I =∫ +∞
1
1xdx e J =
∫ +∞
1
1x2
dx. (108)
Do ponto de vista geometrico, os integraisI e J estao relacionados com a medidada area das regioes nao limitadas situadasa direita da recta x = 1, acima do eixoOX, sob o grafico de cada uma das cur-vas representadas na Figura 40. Porem,tratando-se de regioes com “largura” infi-nita e “altura” que se torna infinitamentepequena, podera ser possıvel atribuir umamedida a area em causa.
1x
1
y
y!1!x2
y!1!x" " " "
""
Figura 40: Regioes associadas aos integrais I e J .
Para decidir se esta possibilidade se verifica, estudamos os limites
L(I) = limb→+∞
∫ b
1
1xdx e L(J) = lim
b→+∞
∫ b
1
1x2
dx, (109)
para os quais vem, respectivamente,
L(I) = limb→+∞
[lnx]b1
= limb→+∞
(ln b− ln 1
)= +∞,
L(J) = limb→+∞
[− 1x
]b1
= limb→+∞
(− 1b
+ 1)
= 1,
donde se depreende que apenas fara sentido atribuir significado a area da regiao relacio-nada com o integral J , podendo dizer-se que a medida dessa area e igual a 1.Passemos agora a expor a teoria geral.
62
Caso A. Comecemos por considerar uma funcao f: [a,+∞[−→ R , que e integravel emtodo o intervalo limitado [a, x] tal que [a, x] ⊂ [a,+∞[.
Dizemos que o integral improprio∫ +∞
af(x) dx e convergente, ou que a funcao f e
integravel em sentido improprio, se existir o correspondente limite,
limb→+∞
∫ b
af(x) dx,
caso em que escrevemos ∫ +∞
af(x) dx = lim
b→+∞
∫ b
af(x) dx .
No caso contrario, em que aquele limite nao exite (em R), dizemos que o integralimproprio e divergente ou que a funcao f nao e integravel em sentido improprio.
Propriedade 7 [Linearidade]
Sejam α, β ∈ R . Se f e g sao integraveis em sentido improprio em [a,+∞[ entaoαf + βg e integravel em sentido improprio em [a,+∞[ e∫ +∞
a[αf(x) + βg(x)] dx = α
∫ +∞
af(x) dx+ β
∫ +∞
ag(x) dx. (110)
Propriedade 8 [Aditividade]
Sejam a, b ∈ R. Se f e integravel em sentido improprio em [a,+∞[ entao f e integravelem sentido improprio em [b,+∞[ e∫ +∞
af(x) dx =
∫ b
af(x) dx+
∫ +∞
bf(x) dx. (111)
Exemplo 26
1.∫ +∞
0ex dx e divergente.
De facto, estudando o correspondente limite (cf. a Figura 41), vem
limb→+∞
∫ b
aex dx = lim
b→+∞[ex]b0 = lim
b→+∞(eb − 1) = +∞.
y ! exp x
1
!b
exp b
y ! exp!"x"1
#bexp!"b"
Figura 41: Exemplo 26.1 Figura 42: Exemplo 26.1
63
2.∫ +∞
0e−x dx e convergente e igual a 1.
Para o correspondente limite (cf. a Figura 42), vem
limb→+∞
∫ b
0e−x dx = lim
b→+∞
[−e−x
]b0
= limb→+∞
(−e−b + 1) = 1.
Exemplo 27
Estudemos agora o integral∫ +∞
1
1xk
dx , com k uma constante real.
• Para k = 1, vem
limb→+∞
∫ b
1
1xdx = lim
b→+∞[lnx]b1 = lim
b→+∞[ln b− ln 1]b1 = +∞.
• Ja para k 6= 1, vem
limb→+∞
∫ b
1
1xk
dx = limb→+∞
[x1−k
1− k
]b1
= limb→+∞
(b1−k − 1
1− k
),
e como
limb→+∞
b1−k = 0, se 1− k < 0, limb→+∞
b1−k = +∞, se 1− k > 0,
resulta
limb→+∞
∫ b
1
1xk
dx =1
1− k, se k > 1,
(112)
limb→+∞
∫ b
1
1xk
dx = +∞, se k < 1.
Consequentemente, o integral improprio∫ +∞
1
1xk
dx diverge se k ≤ 1 e converge se
k > 1, caso em que ∫ +∞
1
1xk
dx =1
1− k.
Caso B. O estudo do integral improprio∫ b
−∞f(x) dx, quando f : ] − ∞, b] −→ R
e integravel em todo o intervalo limitado [x, b] com [x, b] ⊂ ] − ∞, b], e semelhante,baseando-se no
lima→−∞
∫ b
af(x) dx.
Para este caso, valem resultados semelhantes aos das Propriedades 7 e 8, com asadaptacoes necessarias.
64
Exemplo 28∫ 0
−∞cosx dx e divergente.
De facto, estudando o limite correspon-
dente, vemos que
lima→−∞
∫ 0
acosx dx = lim
a→−∞
[senx
]0a
= − lima→−∞
sen a,
y ! cos x
"#$$$$2"
3 #$$$$$$$$2
"5 #$$$$$$$$2
"7 #$$$$$$$$2
A1
A2
A3
A4
A5
Figura 43: Exemplo 28
que nao existe porque, sendo a funcao seno periodica, podemos exibir duas restricoes doseno com limites diferentes. Por exemplo, pondo
A ={x ∈ R : x =
π
2+ 2kπ, k ∈ Z−
}, B =
{x ∈ R : x =
3π2
+ 2kπ, k ∈ Z−},
tem-se x ∈ A =⇒ senx = 1 e x ∈ B =⇒ senx = −1, pelo que
limx→−∞x∈A
senx = 1 e limx→−∞x∈B
senx = −1.
Nao seria difıcil antecipar esta conclusao a partir da Figura 43. Por um lado, se cadaAi representar a area de uma parte da regiao (cf. a Figura 43), entao
A1 = A5 = 1 e A2 = A3 = A4 = 2.
Por outro lado, como a area de cada regiao Ai se pode exprimir como um integral decosx ou de − cosx , consoante estiver em causa um intervalo onde o cosseno seja positivoou negativo, temos por exemplo∫ 0
−4πcosx dx = A5 −A4 +A3 −A2 +A1 = 0,∫ 0
−7π/2cosx dx = −A4 +A3 −A2 +A1 = −1,∫ 0
−5π/2cosx dx = A3 −A2 +A1 = 1,
o que, de imediato, nos leva a intuir que nao sera possıvel atribuir um valor ao integralapresentado.
Caso C. Para analisar o integral improprio∫ +∞
−∞f(x) dx, quando f: ]−∞,+∞[−→ R
e integravel em todo o intervalo limitado [x, y], escolhe-se arbitrariamente um pontoc ∈ R (em geral, considera-se c = 0) e estuda-se separadamente cada um dos integrais∫ c
−∞f(x) dx e
∫ +∞
cf(x) dx, (113)
65
como descrito anteriormente. Pela aditividade do integral improprio (Propriedade 8 ecorrespondente adaptacao ao caso B), a convergencia destes integrais nao depende da
escolha do ponto c. Assim, dizemos que o integral improprio∫ +∞
−∞f(x) dx e convergente,
ou que a funcao f e integravel em sentido improprio, se e so se os integrais indicadosem (113) sao convergentes. Escrevemos∫ +∞
−∞f(x) dx =
∫ c
−∞f(x) dx+
∫ +∞
cf(x) dx. (114)
Por outro lado, se algum dos integrais de (113) e divergente, entao dizemos que o integral
improprio∫ +∞
−∞f(x) dx tambem e divergente.
Para este caso, valem tambem resultados semelhantes aos das Propriedades 7 e 8, comas adaptacoes necessarias.
Exemplo 29
1.∫ +∞
−∞ex dx e divergente.
Basta atender a definicao apresentada e ao que vimos no Exemplo 26.
2.∫ +∞
−∞
11 + x2
dx e convergente e igual a π.
De facto, por um lado,
limb→+∞
∫ b
0
11 + x2
dx = limb→+∞
(arctg b− arctg 0) =π
2− 0 =
π
2.
e, por outro lado, t
lima→−∞
∫ 0
a
11 + x2
dx = lima→−∞
(arctg 0− arctg a) = 0−(−π
2
)=π
2.
Atendendo ao grafico da funcaointegranda, e a sua simetria emrelacao ao eixo OY (Figura 44),bastaria ter estudado o integralimproprio estendido a um dos inter-valos [0,+∞[ ou ]−∞, 0].
x
y
y!1!"1"x2#1
bax
y
Figura 44: Exemplo 29.2.
66
9.2 Funcao integranda ilimitada
No caso em que a funcao integranda se torna ilimitada numa vizinhanca de algum pontodo intervalo de integracao – um extremo ou um ponto interior – o integral impropriodiz-se de segunda especie ou de tipo II.
Caso A. Consideremos uma funcao f : ]a, b] −→ R que e ilimitada, mantendo-se in-tegravel em qualquer intervalo [c, b] com [c, b] ⊂ ]a, b]
Dizemos que o integral improprio∫ b
af(x) dx e convergente, ou que a funcao f e in-
tegravel em sentido improprio, se existir o limite
limc→a+
∫ b
cf(x) dx,
caso em que escrevemos ∫ b
af(x) dx = lim
c→a+
∫ b
cf(x) dx .
Quando este limite nao exite (em R), dizemos que o integral improprio e divergente ouque a funcao f nao e integravel em sentido improprio.
Tambem para este tipo de integral improprio valem resultados semelhantes aos dasPropriedades 7 e 8, com as adaptacoes necessarias.
Exemplo 30
1.∫ 1
0
1x2dx e divergente (Figura 45).
A funcao integranda torna-se ilimitada a direita da origem. Calculamos
L = limc→0+
∫ 1
c
1x2dx = lim
c→0+
[− 1x
]1c
= limc→0+
(− 1 +
1c
)= +∞,
donde se conclui que o integral improprio apresentado diverge para +∞.
1 x1
y
y!1!x2
1 x1
y
1 x
1
y
y!1!"###x
1 x
1
y
Figura 45: Exemplo 30.1. Figura 46: Exemplo 30.2.
2.∫ 1
0
1√xdx e convergente (Figura 46).
67
A funcao integranda torna-se ilimitada a direita da origem. Calculamos
L = limc→0+
∫ 1
c
1√xdx = lim
c→0+
[2√x]1c
= limc→0+
(2− 2
√c)
= 2,
pelo que o integral converge, tendo-se∫ 1
0
1√xdx = 2.
3. Estudemos, mais em geral, o integral∫ 1
0
1xk
dx , com k uma constante real.
• Para k = 1, vem
limc→0+
∫ 1
c
1xdx = lim
c→0+
[lnx]1c
= limc→0+
(− ln c) = +∞.
• Para k 6= 1, vem
limc→0+
∫ 1
c
1xk
dx = limc→0+
[x1−k
1− k
]1
c
= limc→0+
(1− c1−k
1− k
)e como
limc→0+
c1−k = 0, se 1− k > 0, limc→0+
c1−k = +∞, se 1− k < 0,
resulta
limc→0+
∫ 1
c
1xk
dx =1
1− k, se k < 1,
(115)
limc→0+
∫ 1
c
1xk
dx = +∞, se k > 1.
Consequentemente, o integral improprio∫ 1
0
1xk
dx diverge se k ≥ 1 e converge se
k < 1, caso em que ∫ 1
0
1xk
dx =1
1− k.
Caso B. O estudo do integral improprio∫ b
af(x) dx, quando f : [a, b[−→ R e ilimitada,
mantendo-se integravel em todo o intervalo [a, c], com [a, c] ⊂ [a, b[, e perfeitamenteanalogo, baseando-se no estudo do
limc→b−
∫ c
af(x) dx.
Valem novamente resultados semelhantes aos das Propriedades 7 e 8, com as adaptacoesnecessarias.
68
Caso C. O caso em que f : ]a, b[−→ R e ilimitada, mantendo-se integravel em todo ointervalo [x, y], com [x, y] ⊂ ]a, b[, reduz-se aos casos anteriores, escolhendo arbitraria-mente um ponto c ∈ ]a, b[ e estudando separadamente os integrais improprios∫ c
af(x) dx e
∫ c
af(x) dx, (116)
como descrito anteriormente (casos A e B). Dizemos que o integral improprio∫ b
af(x) dx
e convergente, ou que a funcao f e integravel em sentido improprio, se e so se os integraisindicados em (116) sao convergentes. Escrevemos∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx+
∫ b
cf(x) dx. (117)
Por outro lado, se algum dos integrais de (116) e divergente, entao dizemos que o integral
improprio∫ b
af(x) dx tambem e divergente.
Caso D. Consideremos agora a, b, c ∈ R, tais que a < c < b, e seja f: [a, c[∪ ]c, b] −→ Ruma funcao ilimitada em pelo menos um dos intervalos [a, c[ ou ]c, b], que se mantemintegravel em qualquer intervalo [a, x] com [a, x] ⊂ [a, c[ e em qualquer intervalo [y, b]com [y, b] ⊂ ]c, b]. Neste caso, estudamos separadamente os integrais improprios∫ c
af(x) dx e
∫ c
af(x) dx,
como descrito anteriormente. Dizemos que o integral improprio∫ b
af(x) dx e conver-
gente, ou que a funcao f e integravel em sentido improprio, se e so se estes dois integraissao convergentes, caso em que escrevemos∫ b
af(x) dx =
∫ c
af(x) dx+
∫ b
cf(x) dx. (118)
Por outro lado, se algum daqueles integrais e divergente, entao dizemos que o integral
improprio∫ b
af(x) dx tambem e divergente.
Exemplo 31
1.∫ 2
0
1(x− 1)2
dx e divergente.
A funcao integranda torna-se ilimitada emtorno do ponto x = 1. Estudamos separa-damente os integrais
I=∫ 1
0
1(x− 1)2
dx e J=∫ 2
1
1(x− 1)2
dx .
Para o primeiro, calculamos
1 2 3 x
1
4
y
y!1!"x"1#21 2 3 x
1
4
y
Figura 47: Exemplo 31.1.
L(I) = limc→1−
∫ c
0
1(x− 1)2
dx = limc→1−
(−[
1x− 1
]c0
)= lim
c→1−
(− 1c− 1
− 1)
= +∞,
69
donde se conclui que o integral proposto e divergente (independentemente da na-tureza do integral J).
2.∫ 1
−1ln |x| dx e convergente.
A funcao integranda torna-se ilimitada em torno do ponto x = 0. Entao estudamosseparadamente os integrais
I=∫ 0
−1ln |x| dx =
∫ 0
−1ln(−x) dx e J=
∫ 1
0ln |x| dx =
∫ 1
0lnx dx ,
que possuem a mesma natureza, tendo emconta a simetria da figura a respeito doeixo OY . Estudamos entao o integral J ,comecando por primitivar por partes,
P(lnx) = x lnx− x+ C,
e calculando depois o limite
-1 1 x
y
y!ln!x!-1 1 x
y
Figura 48: Exemplo 31.2.
L(J) = limc→0+
∫ 1
clnx dx = lim
c→0+
[x lnx− x
]1c
= limc→0+
(− 1− c ln c︸︷︷︸
(*)
+c)
= −1.
Concluimos que o integral J converge, tendo-se J = −1. O mesmo se passa como integral I, tendo-se tambem I = −1. Consequentemente, o integral propostoconverge e ∫ 1
−1ln |x| dx = −2.
(*) Este limite e igual a 0 porque a velocidade com que c tende para 0 e exponencialmente
superior a velocidade com que ln c tende para −∞.
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