Upload
pedro-campos
View
224
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 1
Aula 14 Integração Definida
Objetivos da Aula
Apresentar o conceito de integral definida, por meio de somatório
de termos finitos e limites tendendo a infinito, fazendo sua
interpretação geométrica e em seguida enunciar o teorema
fundamental do cálculo.
A Notação SigmaPara facilitar somas de um grande número de parcelas iremos
introduzir a notação sigma. Esta notação envolve o uso do símbolo
o sigma maiúsculo do alfabeto grego, que corresponde ao nosso S.
Agora daremos alguns exemplos da notação sigma.
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 2
Temos agora a seguinte definição formal para sigma.
Definição da Notação Sigma
onde m e n são inteiros e m n.
O lado direito da fórmula acima consiste da soma de (n - m + 1)
termos, o primeiro dos quais é obtido substituindo-se i por m em F(i),
o segundo substituindo-se i por (m + 1) em F(i), e assim por diante,
até que o último termo seja obtido substituindo-se i por n em F(i).
O número m é chamado de limite inferior da soma, e n é chamado
limite superior. O símbolo i é chamado o índice do somatório. É um
símbolo “mudo”, pois qualquer outra letra poderia ser usada para esse
propósito. Por exemplo,
Os teoremas seguintes que envolvem a notação sigma poderão ser
úteis para nossos cálculos.
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 3
Exemplo:
Use as Fórmulas de 1 a 4 para calcular os seguintes somatórios.
Solução:
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 4
Área
Suponha que o fabricante de uma moderna calculadora eletrônica
determine que durante os 3 primeiros anos de produção, se x anos
decorreram desde que a calculadora foi introduzida pela primeira vez,
f (x) unidades devem ser produzidas anualmente, onde
Como deveria ser interpretada esta equação? Uma vez que
alguém poderia concluir que 348 calculadoras são produzidas 1
ano após o lançamento do produto no mercado. Contudo, esta
interpretação é válida somente se a taxa de produção for constante,
na base anual. Isto é, 348 unidades deveriam ser produzidas durante o
segundo ano somente se a taxa anual de produção durante o segundo
ano fosse uma constante, 348 unidades, que seria o nível no fim do
primeiro ano. Esta situação não ocorre. Por exemplo,
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 5
Visto que, quando x = 1, a produção é 348 unidades, e quando x = 2
a produção é 1212 unidades, segue que o número de calculadoras
produzidas durante o segundo ano está entre 348 e 1212. Uma melhor
aproximação vendo o argumento que durante a primeira metade do
segundo ano o número de unidades produzidas deveria ser pelo
menos 1/2.(348) = 174 e durante a segunda metade ela deveria ser
pelo menos 1/2.(708) = 354; assim, durante o segundo ano o número
de calculadoras produzidas deveria ser pelo menos 174 + 354 = 528.
Uma interpretação deste raciocínio está mostrada na figura ao lado.
A figura mostra um esboço do gráfico de
e dois retângulos sombreados. A área do primeiro retângulo é 1/2.(348)
= 174, que seria a quantidade de calculadoras produzidas durante a
primeira metade do segundo ano, se a produção durante este tempo
mantiver uma taxa anual constante de f (1) = 348. A área do segundo
retângulo é 1/2.(708) = 354, que é a quantidade de calculadoras que
deveriam ser produzidas durante a segunda metade do ano se a
produção durante esse tempo mantiver uma taxa anual constante de
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 6
Área Sob o Gráfico de Uma Função
Seja f uma função contínua não negativa em [a , b]. Então, a área da
região sob o gráfico de f é
onde x1, x2, ..., xn são pontos arbitrários pertencentes aos n
subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n.
A Integral Definida
Como vimos, a área sob o gráfico de uma função contínua não-
negativa f num intervalo [ a , b] é definida pelo limite da soma
de Riemann
Voltaremos agora nossa atenção ao estudo de limites de somas de
Riemann, envolvendo funções que não são necessariamente não-
negativas. Tais limites surgem em muitas aplicações do cálculo.
Por exemplo, o cálculo da distância percorrida por um corpo que se
move ao longo de uma reta envolve a determinação de um limite
dessa forma. O cálculo da receita total realizada por uma companhia
num certo período, o cálculo da energia elétrica total consumida
numa típica residência ao longo de 24 horas, a concentração média
de uma droga num corpo ao longo de um certo intervalo de tempo, e
o volume de um sólido - todos envolvem limites deste tipo.
Começamos com a seguinte definição.
A Integral Definida
Seja f definida em [a , b]. Se
existe para todas as escolhas de pontos representativos x1,x2, ..., xn
nos n subintervalos de [a , b] de igual comprimento x = (b - a)/n,
então este limite é chamado de integral definida de f de a a b e é
denotado por
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 7
Assim,
O número a é o extremo inferior da integração, e o número b é o
extremo superior da integração
Interpretação Geométrica da Integral Definida
Se f é não-negativa e integrável em [a , b], então temos a seguinte
interpretação geométrica da integral definida
Interpretação Geométrica de para em [ a , b]
Se f é não-negativa e contínua em [a , b], então
é igual à área da região sob o gráfico de f em [a , b] (Figura abaixo)
de f em [a , b].
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 8
O Teorema Fundamental do Cálculo
Seja f contínua em [ a , b ]. Então
onde F é uma antiderivada qualquer de f, isto é, F’(x) = f (x).
Ao aplicarmos o teorema fundamental do cálculo, é conveniente
usarmos a notação
Por exemplo, usando esta notação, escrevemos [ 1 ] da seguinte forma
Exemplo 1:
Seja R a região sob o gráfico de f (x) = x no intervalo [1 , 3]. Use o
teorema fundamental do cálculo para determinar a área A de R e
verifique seu resultado por meios elementares.
Solução:
A região R é mostrada na figura (a) abaixo. Como f não é negativa no
intervalo [1,3], a área da região R é dada pela integral definida de f de
1 a 3, ou seja,
A área de R pode ser calculada de duas maneiras diferentes.
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 9
Para calcular a integral definida, observe que uma antiderivada de
f (x) = x é onde C é uma constante arbitrária. Portanto,
pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Para verificar este resultado por meios elementares, observe que a
área A é a soma da área do retângulo R 1 (largura x altura) com a
área do triângulo R 2 (1/2 base x altura) como mostra a figura acima
(b); ou seja,
que coincide com o resultado obtido anteriormente.
Observe que no cálculo da integral definida do Exemplo 1, a
constante de integração “desapareceu”. Isto sempre acontece, pois
se F (x) + C denota a antiderivada de uma função f, então
Tendo em mente este fato, em todos os cálculos futuros envolvendo
uma integral definida, podemos ignorar a constante de integração.
Calculando Integrais Definidas
Exemplo 2:
Solução:
Aplicação
Um estudo de eficiência conduzido para a Companhia Elektra
Electronics, mostrou que a taxa à qual os intercomunicadores do
tipo Space Commander são montados por um trabalhador médio, t
horas após iniciar o trabalho às 8:00 da manhã, é dada por
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 10
Determine quantos intercomunicadores podem ser montados por
um trabalhador médio na primeira hora do turno da manhã.
Solução:
Denotemos por N(t) o número de intercomunicadores montados
por um trabalhador médio t horas após iniciar o seu trabalho no
turno da manhã. Então, temos
Portanto, o número de unidades montadas por um trabalhador
médio na primeira hora do turno da manhã é
ou seja, 20 unidades.
Propriedades da Integral Definida
Seja f e g integrais definidas, então,
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 11
A propriedade 5 afirma que c é um número entre a e b de forma que
divida o intervalo [a , b] nos intervalos [a , c] e [c , b], então a integral
de f no intervalo [a, b] pode ser expressa como a soma da integral de
f no intervalo [a , c] com a integral de f no intervalo [c , b].
A propriedade 5 tem a seguinte interpretação geométrica quando f
não negativa. Por definição é a área da região sob o gráfico
de y = f (x) de x = a a x = b (como mostra a figura 1). Analogamente,
interpretamos as integrais definidas
como as áreas das regiões sob o gráfico de y = f (x) de x = a a x =
c e de x = c a x = b, respectivamente. Como as duas regiões não se
sobrepõem, vemos que
Método de Substituição para Integrais Definidas
Este exemplo mostra duas formas distintas de se calcular uma integral
definida usando o método de substituição.
Exemplo:
Solução:
(Método 1) Primeiramente, determinamos a integral
indefinida correspondente.
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 12
Fazemos a substituição , de modo que
Então,
Usando este resultado, calculamos agora a integral definida:
(Método 2) Mudando os limites de integração. Como antes, fazemos
a substituição
Em seguida, observamos que a integral definida é calculada em
relação a x com o domínio de integração dado pelo intervalo [0 , 4].
Se efetuarmos a integração em relação a u por meio da substituição [
1 ],então devemos ajustar o domínio de integração para refletir o fato
de que a integração está sendo executada em relação à nova variável
u. Para determinar o domínio apropriado de integração, note que, x =
0, a equação [ 1 ] implica que
que fornece o limite inferior de integração com relação a u.
Analogamente, quando x = 4, u = 9 + 16 = 25
é o limite superior de integração com relação a u. Assim, o domínio
de integração quando a integração é efetuada com relação a u é dado
pelo intervalo [9 , 25]. Portanto, temos
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 13
que coincide com o resultado obtido usando o método 1.
Valor Médio de uma Função
Suponha que f integrável em [ a , b ]. Então, o valor médio de f em
[a , b] é
Exemplo:
Determine o valor médio da função no intervalo [0 , 4].
Solução:
O valor médio solicitado é dado por
Aplicação
As taxas de juros cobradas pela Madison Finance sobre empréstimos
para compra de carros usados durante um certo período de 6 meses
no ano 2000 são aproximadas pela função
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 14
onde t é medido em meses e r(t) é a porcentagem anual. Qual é a
taxa média sobre tais empréstimos concedidos pela Madison durante
o período de 6 meses em questão?
Solução:
A taxa média durante o período de 6 meses em questão é dada por
ou seja, 9% ao ano.
Daremos agora uma interpretação geométrica do valor médio de
uma função f num intervalo [a , b]. Suponha que f (x) é não negativa,
de modo que a integral definida é a área sob o gráfico de f
de x = a a x = b (como mostra a figura ao lado).
Observe que, em geral, a “altura” f (x) varia de ponto a ponto. Podemos
substituir f (x) por uma função constante g (x) = k (que tem altura
constante), tal que as áreas sob cada uma das duas funções f e g sejam
as mesmas? Se isto ocorre, como a área sob o gráfico de g de x = a a
x = b é k (b - a), temos
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 15
de modo que k é o valor médio de f em [a , b]. Assim, o valor médio
da função f num intervalo [a , b] é a altura de um retângulo com base
de comprimento (b - a) que tem a mesma área da região sob o gráfico
de f de x = a a x = b.
Área Entre Duas Curvas
Suponha que f e g funções contínuas tais que
no intervalo [a , b]. Então, a área da região limitada superiormente
por y = f (x) e inferiormente por y = g (x) em [a , b] é dada por
Embora tenhamos assumido que tanto f quanto g fossem não
negativas ao enunciarmos a equação acima, podemos mostrar que
esta equação permanece válida para f e g quaisquer. Observa também
que se g (x) é zero para todo x, isto é, quando a fronteira inferior da
região R é o eixo x, então a equação acima fornece a área da região
sob a curva y = f (x) de x = a a x = b, como seria de esperar.
Exemplo:
Determine a área da região limitada pelo eixo x, o gráfico de
e as retas x = -1 e x = 4.
Solução:
A região R em consideração é mostrada na figura abaixo. Podemos
ver R como a região limitada superiormente pelo gráfico de f (x) = 0
(o eixo x) e inferiormente pelo gráfico de
Portanto, a área de R é dada por
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 16
Aplicação
Num estudo realizado em 1994 para o Ministério do Desenvolvimento
Econômico de um certo país emergente, economistas do governo e
especialistas em energia concluíram que se o Projeto de Lei sobre
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 17
Conservação de Energia fosse implementado em 1995, o consumo de
petróleo daquele país pelos 5 anos subseqüentes cresceria de acordo
com o modelo R(t)= 20e 0,05t
onde t é medido em anos (t = 0 correspondendo ao ano de 1995) e
R(t) em milhões de barris por ano. Sem estas mediadas impostas pelo
governo, entretanto, a taxa de crescimento esperada de consumo de
petróleo seria dada por
R1(t) = 20e 0,08t
milhões de barris por ano. Usando estes modelos, determine quanto
petróleo teria sido economizado de 1995 até 2000 se o projeto de lei
tivesse sido implementado.
Solução:
Sob a vigência do Projeto de Lei sobre Conservação de Energia, a
quantidade total de petróleo que teria sido consumida entre 1995 e
2000 é dada por
Na ausência do projeto de lei, a quantidade total de petróleo que teria
sido consumida entre 1995 e 2000 é dada por
A equação [ 1 ] pode ser interpretada como a área da região sob a
curva y = R(t) de t = 0 a t = 5. Analogamente, interpretamos [ 2 ]
como a área da região sob a curva y = R 1(t) de t = 0 a t = 5. Note
também que o gráfico de y = R 1(t) = 20e 0,08t se situa sempre acima
do gráfico de y = R(t) = 20e 0,05t (t 0). Assim, a área da região
sombreada S na figura abaixo mostra a quantidade de petróleo que
teria sido economizada de 1995 a 2000 se o Projeto de Lei sobre
Conservação de Energia tivesse sido implementado. Mas a área da
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 18
região S é dada por
ou seja, aproximadamente 9,3 unidades quadradas. Portanto, a
quantidade de petróleo que teria sido economizada é de 9,3 milhões
de barris.
Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB 19
Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:
Thomson, 2001.
MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de
Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo:
Atlas, 1999 .
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2003.