Sumrio1Conceitos fundamentais21.1Massa21.2Densidade de massa21.3Inercia do material21.4Rigidez21.5Energia cintica21.6Fora de inercia21.7Corpo livre31.8Equao geral do movimento31.9Sistemas dinmicos31.9.1Quanto a fora31.9.2Quanto ao tempo31.10Energia interna de deformao31.11Princpio da conservao de energia31.12Energia potencial total31.13Funo de Lagrange42Equaes do movimento-exemplo42.1Exemplo 1:4Equao de Lagrange:44Aplicando pequenos deslocamentos e rotaes52.2Exemplo 2:53Molas em serie e em paralelo63.1Em srie63.2Em paralelo64Vibrao livre no amortecida64.1Equao geral64.1.1Equao do deslocamento74.1.2Frequncia natural do sistema74.2Movimento Harmnico74.2.1 Frequencia74.2.2Periodo74.3Problemas de valor inicial84.3.1Condies iniciais8

Resumo Dinmica Primeira Prova1. Conceitos fundamentaisMassa

Densidade de massa

Inercia do material

Rigidez

Energia cintica

ou Fora de inercia

Corpo livre

Equao geral do movimento

Sistemas dinmicosQuanto a fora Conservativo:Independe da trajetriaNo conservativo:Foras no conservativasQuanto ao tempoAutnomoTempo implcito

No autnomoTempo explicito

Energia interna de deformao

Princpio da conservao de energia

Energia potencial total

Onde,

Funo de Lagrange

Equaes do movimento-exemploExemplo 1:

Equao de Lagrange:

Calculo dos termos

De posse de todos os termos, substituir na equao da Lagrange

Onde,

Sendo assim, tem-se que

Aplicando pequenos deslocamentos e rotaes

Exemplo 2:

A equao geral do movimento ser:

Molas em serie e em paraleloEm srie

Em paralelo

Vibrao livre no amortecidaEquao geral

Pr dividindo tudo por M, tem-se que

Onde a frequncia natural do sistema. E tambm

Substituindo na equao geral acima, tem-se que

As razes possveis sero

Equao do deslocamento

Utilizando a formula de Euler

Substituindo a expresso acima, na expresso do deslocamento, tem-se que

Ento, tem-se que a equao geral do deslocamento, para vibrao livre no amortecida ser

Onde e so funes harmnicas.Frequncia natural do sistema

Movimento Harmnico Frequncia

Perodo

Problemas de valor inicialCondies iniciais

Ao derivar a equao do deslocamento, tem-se que

Sabendo que as constantes e possuem os valores abaixo

Tem-se que a expresso do deslocamento, substituindo os valores das constantes, tem-se que

Grficos Para , tem-se que

`

Para , tem-se que

Plano de fases

Energia total

Velocidade

`

Condies iniciais

Para

Sabendo que

Movimento livre amortecido

Equao do movimento

Onde,

Ento, substituindo a expresso anterior na equao do movimento, tem-se que

Deste modo, os valores das razes podero ser encontrados pela seguinte expresso

Baseado na expresso acima, pode-se concluir que

Sendo assim, o amortecimento critico pode ser calculado da seguinte forma

Para obter duas razes reais e iguais, tem-se que

Coeficiente de amortecimento

A equao do movimento, substituindo o valor de c, tem-se que

Ento, os valores das razes podem ser calculados a seguinte maneira

Onde a frequncia natural amortecida.Equao do deslocamento

Para encontrar a equao da velocidade, basta derivar uma vez, pela regra da cadeira, a expresso do deslocamento, apresentada anteriormente.

Aplicando a condio inicial de velocidade, no tempo zero, pode-se encontrar a expresso para calcular a constante B.

Da pode-se ter que

De posso das constantes A e B, substitui na expresso do deslocamento. Tem-se que

O perodo angular medido de acordo com a seguinte expresso.

O deslocamento tambm pode ser calculado pela seguinte expresso

Onde C amplitude e o ngulo de fase e podem ser medidos da seguinte maneira

Onde a relao dada pela expresso

Fator de amortecimentoPara que seja calculado o fator de amortecimento, pode-se utilizar o decremento logartmico

De posse do decremento logartmico, pode-se calcular o fator de amortecimento

Quando

Para o caso critico, tem-se que

Para a soluo no oscilatria, a expresso para o deslocamento ser