Resumo Parcial Estatica

Esttica Gilnei Artur Drehmer Folha 1

SUMRIO 1 CONCEITOS INICIAIS................................................................................................................................. 3

MECNICA ...................................................................................................................................................... 3 DIVISO ........................................................................................................................................................... 3 CONCEITOS BSICOS.................................................................................................................................... 3 PRINCPIOS FUNDAMENTAIS...................................................................................................................... 4 SISTEMAS DE UNIDADES ............................................................................................................................. 5

2 ESTTICA DOS PONTOS MATERIAIS.................................................................................................... 8

FORAS NO PLANO........................................................................................................................................ 8 FORA SOBRE UM PONTO MATERIAL. RESULTANTE DE DUAS FORAS .................................... 8 COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORA. VETORES UNITRIOS.................................... 10 ADIO DE FORAS PELA SOMA DAS COMPONENTES SEGUNDO X E Y................................... 11 EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL .............................................................................................. 11 EQUILBRIO DE DUAS FORAS APLICADAS NUM PONTO MATERIAL........................................ 11 PRIMEIRA LEI DO MOVIMENTO DE NEWTON ................................................................................... 11 PROBLEMAS RELACIONADOS AO EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE............................................................................................................................................. 12

FORAS NO ESPAO.................................................................................................................................... 12 COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORA NO ESPAO ....................................................... 12 ADIO DE FORAS CONCORRENTES NO ESPAO......................................................................... 15 EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL NO ESPAO ....................................................................... 15

3 CORPOS RGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORAS....................................................... 16

CONSIDERAES......................................................................................................................................... 16 FORAS EXTERNAS E INTERNAS ............................................................................................................. 16 PRINCPIO DA TRANSMISSIBILIDADE..................................................................................................... 16 PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES ............................................................................................... 16 PRODUTO VETORIAL EXPRESSO EM TERMOS DAS COMPONENTES CARTESIANAS................... 17 MOMENTO DE UMA FORA EM RELAO A UM PONTO.................................................................... 17

TEOREMA DE VARIGNON....................................................................................................................... 19 BINRIO OU CONJUGADO ......................................................................................................................... 19

SISTEMA FORA-CONJUGADO.............................................................................................................. 20


1 CONCEITOS INICIAIS MECNICA a cincia que descreve e prediz as condies de repouso ou movimento de corpos sob a ao de foras. DIVISO

1905EinsteinlatividadeRedaTeoriaARELATIVIST

hidrulicaveisIncompresseisCompressv

Fludos

SlidosdosMecnicaConcreto

MquinasdeElementosMateriaisdossistnciaRe

sDeformveiCorpos

DinmicaCinemtica

EstticaRgidosCorpos

NEWTONIANAMECNICA

- Mecnica Newtoniana espao, tempo e massa so conceitos absolutos sendo

independentes um do outro. - Mecnica Relativista o tempo de um evento depende do observador e a massa

de um corpo varia com sua velocidade. - Mecnica dos Corpos Rgidos os corpos so considerados indeformveis, mas

as mquinas e estruturas nunca so absolutamente rgidas e, portanto, deformam-se quando carregadas. Essas deformaes so geralmente muito pequenas e tratadas como desprezveis. Para quantificar e estabelecer as situaes limites, surge a mecnica dos corpos deformveis, que, juntamente com a mecnica dos fluidos fornecem os fundamentos para as aplicaes de engenharia.

CONCEITOS BSICOS ESPAO a regio geomtrica ocupada por corpos cuja as posies so descritas por medidas lineares e angulares, tomadas em relao a um sistema coordenado. Para problemas tridimensionais, so necessrias trs coordenadas independentes. Em problemas bidimensionais, apenas duas coordenadas so necessrias. TEMPO a medida da sucesso de eventos e uma quantidade bsica em dinmica. O tempo no est diretamente envolvido na anlise de problemas estticos.


MASSA a medida da inrcia de um corpo, que por sua vez a resistncia mudana de velocidade. Massa tambm pode ser entendida como a quantidade de matria de um corpo. De maior importncia em esttica, massa tambm uma propriedade de todos os corpos atravs da qual eles experimentam atrao mtua com outros corpos. FORA uma conseqncia da ao de um corpo sobre outro. Uma fora tende a mover o corpo no qual ela est aplicada, na direo de sua linha de ao. A ao de uma fora caracterizada por sua intensidade ou mdulo, sua direo e por seu ponto de aplicao. PARTCULA Um corpo de dimenses desprezveis chamado de partcula. Do ponto de vista matemtico, uma partcula um corpo cujas dimenses tendem a zero, de forma que ele pode ser analisado como um ponto material. Freqentemente, uma partcula escolhida como um diferencial do corpo. CORPO RGIDO Um corpo considerado rgido quando o movimento relativo entre suas partes desprezvel. Por exemplo, o clculo das tenses em um cabo que suporta a lana de um guindaste mvel, submetida a um carregamento, no substancialmente afetado pelas pequenas deformaes que ocorrem nos elementos estruturais da lana. Sendo assim, considera-se para a determinao das foras externas que atuam na lana, a lana como sendo um corpo rgido. A Esttica trata do clculo das foras externas que atuam em corpos rgidos em equilbrio. A determinao das tenses e deformaes internas envolve uma anlise das caractersticas do material em questo, sendo que, essa anlise feita no contexto da mecnica dos corpos deformveis que deve seguir o estudo da Esttica. PRINCPIOS FUNDAMENTAIS LEI DO PARALELOGRAMO PARA ADIO DE FORAS Estabelece que duas foras atuantes sobre um ponto material podem ser substitudas por uma nica fora, chamada resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo cujos lados so iguais as foras dadas.

EQUILBRIO OU PRINCPIO DE TRANSMISSIBILIDADE Estabelece que as condies de equilbrio ou de movimento de um corpo rgido permanecero inalteradas se uma fora que atua num determinado ponto do corpo rgido substituda por outra com mesma intensidade, direo e sentido mas


que atuam em um ponto diferente, desde que ambas tenham a mesma linha de ao.

LEIS DE NEWTON Isaac Newton foi o primeiro a estabelecer corretamente as leis bsicas que governam o movimento de uma partcula, assim como a demonstrar sua validade. 1a Lei: Princpio da Inrcia Uma partcula permanece em repouso, ou continua a mover-se em linha reta com uma velocidade constante, se no existir nenhuma fora agindo sobre ela. 2a Lei: A acelerao de uma partcula proporcional fora resultante agindo sobre ela e possui a mesma direo dessa fora.

Equao Fundamental:

===

= resultanteaceleraoa

partculadamassampartculanaatuandoforasdasresultanteF

m.aF

3a Lei: Princpio da Ao e Reao As foras de ao e reao entre dois corpos que interagem entre si so iguais em intensidade, colineares e de sentidos opostos. Validade dessas leis inmeros experimentos fsicos. 1a lei princpio do equilbrio de foras principal tpico de interesse para a Esttica. 2a lei base para a anlise dinmica. 3a lei bsica para a compreenso da grandeza fora. As foras so sempre pares, iguais(mesma intensidade) e opostas(sentidos contrrios). Ex.: lpis ou caneta na mesa. A fora exercida pelo lpis sobre a mesa, acompanhada de uma fora para cima, de igual intensidade, exercida pela mesa sobre o lpis. SISTEMAS DE UNIDADES GRANDEZAS FUNDAMENTAIS: comprimento, tempo, massa e fora Obs.: As unidades dessas grandezas no podem ser escolhidas de forma independente, pois devem ser consistentes em relao a 2a Lei de Newton. SISTEMAS USADOS

UNIDADES SI UNIDADES INGLESASGRANDEZA

SMBOLO DIMENSIONAL UNIDADE SMBOLO UNIDADE SMBOLO

Massa M quilograma kg slug - Comprimento L metro m p Ft Tempo T segundo s segundo S Fora F Newton N libra Lb


Newton (N) unidade derivada. a fora necessria para proporcionar a uma massa de 1kg a acelerao de 1m/s2.

1N = (1kg).(1m/s2) = 1kg . m/s2

Lembrando:

metro, quilograma e segundo no mudam independentemente do local. Peso fora gravitacional exercida sobre o corpo varia de acordo com a localizao. Qual o peso de um corpo de massa 1kg? P = m.g = (1kg) . (9,81m/s2) = 9,81kg.m/s2 = 9,81N Unidades Inglesas: FPS foot-pound-second p-libra-segundo. Slug: unidade de massa derivada das trs unidades Fora(lb) = massa(slug) . acelerao(ft/s2) vem de F=m.a

fts.lbslug

2

= Assim, 1 slug a massa que, submetida a uma fora de 1lb, adquire a

acelerao de 1ft/s2. Desse experimento gravitacional, tem-se:

)s/ft(g)lb(P)slug(m 2=

Nas unidades inglesas, a libra pode ser usada como unidade de massa, particularmente para especificar as propriedades trmicas de lquidos e gases. Assim, usa-se: Unidade de massa libramassa lbm Unidade de fora librafora lbf Outras unidades usadas no Sistema Ingls: Quilolibra kip (1000lb) Tonelada ton = 2000lb. Algumas Relaes entre Unidades Comprimento: 1 p = 12 polegadas 1 polegada = 2,54cm 1 p = 0,3048m Massa: 1lbm = 0,4536kg 1kg = 2,205lbm


Fora: 1dina = 1g.1cm/s2 1kgf = 9,8N 1N = 105dinas 1N = 0,2248lbf Unidades Inglesas Slug fora(lb) = massa(slug) . acelerao(ft/s2)

fts.lbslug

2

= Relao entre lbm e lbf:

pol

s.lbf)s/pol(

lbfaFm

2

2 ===

ento: pol

s.lbflbm2

=


2 ESTTICA DOS PONTOS MATERIAIS Estudo do efeito das foras que atuam em pontos materiais.

Substituir duas ou mais foras que agem num ponto material por uma nica fora que produz o mesmo efeito que as foras originais Resultante. O uso do nome ponto material no implica restringir o estudo a pequenos corpsculos. Significa que o tamanho e a forma dos corpos em estudo no afetam significativamente a soluo dos problemas. Como essa hiptese vlida em muitas aplicaes prticas, possvel resolver um certo nmero de problemas de engenharia. FORAS NO PLANO FORA SOBRE UM PONTO MATERIAL. RESULTANTE DE DUAS FORAS Fora representa a ao de um corpo sobre outro, sendo caracterizada por seu ponto de aplicao, sua intensidade, direo e sentido. Intensidade: valor em N ou kN. Direo: a linha de ao reta ao longo da qual a fora atua, em relao a um eixo fixo, formando um ngulo. Sentido: pela seta (sempre indicar).

RESULTANTE DE DUAS FORAS PELO PARALELOGRAMO Dados duas foras que formam entre si ngulo .

Atravs do tringulo ODA, aplica-se o Teorema de Pitgoras, resultando:

I) F2 = (F2 + x)2 + y2 onde xCD = yAD = Pelo tringulo CDA tem-se: F12 = x2 + y2 portanto: II) y2 = F12 x2 no mesmo tringulo conclui-se que: III) x = F1 . cos


Substituindo a eq. II na eq. I tem-se: F2 = F22 + 2F2 x + x2 + F12 x2

Substituindo a eq. III na anterior tem-se:

++=++=

cos

cos

2F1F22F1FF

2F1F22F1FF22

222

DIREO DA RESULTANTE

Atravs do tringulo OAD tem-se:

x2F

ytg += No tringulo ACD tem-se: y = F1 sen x = F1 cos portanto, podemos escrever que:

+=

cos1F2Fsen1Ftg

LEI DOS SENOS (REGRA DO TRINGULO) Pelo tringulo OAD encontramos : +

=cos.1F2F

sen.1Ftg

Com , F1 e F2 conhecidos aplicando a Lei dos Senos:

== senR

sen2F

sen1F

o ngulo pode ser determinado por: = 180o - Ento, agora temos , e , onde:

= 180o - - Encontramos o valor de R:

== sen

sen.1FRsen

Rsen

1F ou

== sensen.2FR

senR

sen2F


COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORA. VETORES UNITRIOS. Em muitos problemas de engenharia necessrio decompor uma fora em duas componentes normais uma a outra.

Fx e Fy decomposio de F e so componentes cartesianas, Eixos x e y usualmente direes horizontal e vertical, embora possam ser tomadas duas direes perpendiculares quaisquer. Definindo, agora, dois vetores com intensidade 1 orientados segundo eixos positivos x e y. Esses vetores chamamos vetores unitrios e so representados por e .

Fx e Fy componentes escalares da fora F (positivos ou negativos) yFexF - componentes vetoriais de F. Ento: a componente escalar Fx ser positiva quanto a componente vetorial

xF tiver o mesmo sentido que o vetor unitrio (isto , o mesmo sentido do eixo x) e negativa quando xF tiver sentido oposto. Denominando: F a intensidade da fora F e o ngulo entre F e o eixo x, medido a partir do eixo x no sentido anti-horrio, pode definir-se:

= cosFxF e = senFyF Quando uma fora F definida por suas componentes cartesianas xF e yF , o ngulo que define a direo pode ser calculado pela expresso:

xFyFtan =

A intensidade F da fora pode ser obtida por Pitgoras: 22 FyFxF +=

Mas, tendo o valor de , geralmente mais fcil determinar a intensidade da fora pelas equaes:

= cos.FFx ou = sen.FFy


ADIO DE FORAS PELA SOMA DAS COMPONENTES SEGUNDO X E Y

SQPR ++=

jSyiSxjQyiQxjPyiPxjRyiRx +++++=+

j)SyQyPy(i)SxQxPx(jRyiRx +++++=+ Rx = Px + Qx + Sx Rx = Fx Ry = Py + Qy + Sy Ry = Fy EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL At agora sempre determinamos a resultante de vrias foras que atuam sobre um ponto material. Apesar de no Ter ocorrido nenhum caso nos exemplos anteriores, a resultante pode ser nula. Nesse caso, o efeito global das foras dadas nulo, e o ponto material est em equilbrio. DEFINIO: Quando a resultante de todas as foras que atuam sobre um ponto material zero, este ponto est em equilbrio. Repouso ou movimento retilneo e uniforme, conforme a Lei de Newton. EQUILBRIO DE DUAS FORAS APLICADAS NUM PONTO MATERIAL Algebricamente:

0FR == Decompondo cada fora F em componentes cartesianas, temos: ( ) =+ 0jFyiFx ou ( ) ( ) 0jFyiFx =+ Ento, a condio necessria e suficiente para o equilbrio de um ponto material :

Fx = 0 Fy = 0 PRIMEIRA LEI DO MOVIMENTO DE NEWTON 1a lei: Se a fora resultante que atua sobre um ponto material tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou se move ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente em movimento). Ento: dessa lei e da definio de equilbrio: Um ponto material em equilbrio est em repouso ou movimenta-se sobre uma reta com velocidade constante.


PROBLEMAS RELACIONADOS AO EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

Na prtica: um problema de engenharia tirado de uma situao fsica real. Um esquema mostrando as condies fsicas do problema conhecido como diagrama espacial. Grande nmero de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido, efetivamente, a problemas referentes ao equilbrio de um ponto material. Diagrama de corpo livre: escolhe-se um ponto material esquematizando-o em um diagrama separado com todas as foras que atuam sobre ele. PONTO MATERIAL EM EQUILBRIO Ao de trs foras: pode ser resolvido pelo desenho de um tringulo de foras. Ao de mais de trs foras: Graficamente: desenho do polgono de foras. Analiticamente: pelas equaes de equilbrio.

Fx = 0 Fy = 0 So vlidas para a soluo de no mximo duas incgnitas. Da mesma forma, o tringulo de foras, para equilbrio de trs foras, pode ser resolvido para duas incgnitas apenas. Tipos de problemas mais comuns: 1 Duas componentes (ou a intensidade ou a direo) de uma nica fora. 2 Intensidade de duas foras com direes conhecidas. 3 Problemas para determinar os valores mximo e mnimo da intensidade de uma fora. FORAS NO ESPAO COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORA NO ESPAO

ycos.FFy =

=====

sen.ysen.Fsen.FhFzcos.ysen.Fcos.FhFx

ysen.FFh

sendo assim, temos Fx, Fy e Fz (componentes escalares)


Componentes vetoriais: i.FxxF = j.FyyF = k.FzzF = Aplicando Pitgoras nos tringulos OAB e OCD: F2 = (OA)2 = (OB)2 + (BA)2 = Fy2 + Fh2 Fh2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = Fx2 + Fz2 Substituindo Fh2 em F2 = Fy2 + Fh2, temos: F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 222 FzFyFxF ++= Componentes Fx, Fy e Fz:

zcos.FFzycos.FFyxcos.FFx ===

Os ngulos x, y e z definem a direo de F. Normalmente so mais usados que os ngulos y e da situao anterior. Os cosenos de x, y e z so os cosenos diretores da fora F. Forma vetorial:

k.Fzj.Fyi.FxF ++=

222 FzFyFxF ++= Como:

zcos.FFzycos.FFyxcos.FFx === e

k.Fzj.Fyi.FxF ++= substituindo Fx, Fy e Fz, temos:

)k.zcosj.ycosi.x(cosFF ++= ento:

= .FF , onde: k.zcosj.ycosi.xcos ++=

e um vetor unitrio com mesma direo e sentido de F. Componentes do vetor unitrio : (cosenos diretores)


zcoszycosyxcosx === Os trs ngulos no so independentes e a soma dos quadrados dos ngulos igual ao quadrado de seu mdulo:

1 2z2y

2x =++

substituindo zyx e, 1zcosycosxcos 222 =++

Quando forem dadas as componentes Fx, Fy e Fz de uma fora F , o mdulo de F ser obtido por:

222 FzFyFxF ++= As equaes zcos.FFzeycos.FFy,xcos.FFx === podem ser resolvidas para os cosenos diretores

FFzzcos

FFyycos

FFxxcos ===

obtendo, assim, os ngulos x, y e z. Fora definida por seu mdulo e dois pontos de sua linha de ao.

Vetor MN liga os pontos M e N e tem o mesmo sentido de F

k.dzj.dyi.dxMN ++=

dk.dzj.dyi.dx

MNMN ++==

( )k.dzj.dyi.dxdF.FF ++==

ddz.FFz

ddy.FFy

ddx.FFX ===

Essas equaes simplificam consideravelmente a determinao das componentes de uma fora F de intensidade F dada por dois pontos M e N. Determinamos as componentes do vetor MN pela subtrao das coordenadas de M das de N, achando d

1z2zdz1y2ydy1x2xdx === 222 dzdydxd ++=


Introduzindo esses valores nas equaes das componentes obtemos Fx, Fy e Fz. Substituindo, tambm, na determinao dos ngulos:

ddzzcos

ddyycos

ddxxcos ===

ADIO DE FORAS CONCORRENTES NO ESPAO Podemos determinar a resultante R de duas ou mais foras no espao pela soma de suas componentes cartesianas. Os mtodos grficos e trigonomtricos no so geralmente prticos no caso de foras do espao. Processo semelhante ao usado com foras coplanares.

= FR decompondo cada fora em suas componentes cartesianas. ( ) ( ) ( ) ( )kFzjFyiFxk.Fzj.Fyi.Fxk.Rzj.Ryi.Rx ++=++=++ de onde:

=== FzRzFyRyFxRx

222 RzRyRxR ++=

RRzzcos

RRyycos

RRxxcos ===

EQUILBRIO DE UM PONTO MATERIAL NO ESPAO

=== 0Fz0Fy0fX Soluo de problemas com nmero de incgnitas 3 1. Diagrama de corpo livre mostrando o ponto material em equilbrio e todas as

foras que atuam sobre esse ponto. 2. Escreve-se as equaes de equilbrio, resolvendo-as para trs incgnitas. Problemas usuais: 1 trs componentes de uma nica fora 2 os mdulos de trs foras de direo conhecida.


3 CORPOS RGIDOS: SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORAS

CONSIDERAES Nem sempre possvel tratar um corpo como um ponto material, devendo ser

tratado como um conjunto de grande nmero de pontos materiais. As foras atuam em pontos diferentes dos corpos, devendo ser tratados como diferentes pontos de aplicao. A maioria dos corpos tratados na Mecnica considerado como corpo rgido, porm, na realidade, as estruturas e mquinas nunca so absolutamente rgidas deformando-se sob ao de cargas. FORAS EXTERNAS E INTERNAS

- Foras Externas: so as aes de outros corpos sobre o corpo rgido considerado, sendo responsveis pelo comportamento externo do corpo rgido. Causam o movimento ou asseguram a permanncia em repouso.

- Foras Internas: so as que mantm unidos os pontos materiais que formam o corpo rgido.

Exemplo: Caminho sendo puxado.

PRINCPIO DA TRANSMISSIBILIDADE

O princpio da transmissibilidade estabelece que o efeito de uma fora externa sobre um corpo rgido no se altera se a fora deslocada ao longo de sua linha de ao.

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES

O produto vetorial de dois vetores Q e P definido como sendo o vetor perpendicular ao plano que contm Q e P .

Q x P V = sendo o mdulo desse vetor:

V = PQ.sen


E sentido tal que uma pessoa com a cabea colocada na ponta do vetor V observar uma rotao anti-horria quando o vetor P varrer o ngulo at alinhar-se com o vetor Q .

PRODUTO VETORIAL EXPRESSO EM TERMOS DAS COMPONENTES CARTESIANAS

Consideramos os vetores unitrios k e j ,i . O produto de dois vetores ser positivo se eles estiverem um aps o outro no sentido anti-horrio, caso contrrio ser negativo.

jkxi

kjxi

0ixi

===

ikxj

0jxj

kixj

===

0kxk

ijxk

jixk

==

=

MOMENTO DE UMA FORA EM RELAO A UM PONTO Alm da tendncia a deslocar um corpo na direo de sua aplicao, uma

fora tambm tende a promover a rotao do corpo em torno de um determinado eixo. Esse eixo pode ser qualquer linha que no intercepte ou seja paralela linha


de ao da fora. Essa tendncia rotao conhecida como momento M de uma fora. O momento de uma fora tambm denominado como torque.

A fora aplicada na direo perpendicular chave inglesa ir provocar um efeito que a tendncia rotao ou giro do cano em torno de seu eixo vertical. A intensidade dessa tendncia depende tanto da intensidade da fora F quanto da distncia efetiva d. Agora, vamos considerar um corpo bidimensional sobre o qual atua uma fora F, que est contida em seu plano:

A intensidade do momento, ou da tendncia de a fora promover a rotao do corpo em torno do eixo O-O, normal ao plano do corpo, proporcional intensidade da fora e ao brao de alavanca, d, que a distncia do eixo linha de ao da fora, medida na perpendicular a esta ltima. Dessa forma, a intensidade do momento definida como:

M = F.d O momento um vetor M , perpendicular ao plano do corpo. O sentido de M depende da direo na qual F tende a girar o corpo. A regra da mo direita usada para identificar esse sentido. O momento de F em torno do eixo O-O pode ser representado como um vetor que aponta na direo indicada pelo polegar, com os outros dedos indicando a tendncia da rotao. O momento M obedece a todas as regras vetoriais e pode ser considerado um vetor deslizante com a linha de ao coincidente com o eixo do momento. A unidade bsica do momento no SI newton.metro (N.m). Quando as foras atuam em um dado plano, pode-se falar em momento em relao a um ponto. O momento em relao a um eixo, normal a esse plano, que passa pelo ponto em questo.


Dessa forma, o momento da fora F em torno do ponto A, possui intensidade M = F.d e sentido anti-horrio. O sentido de um momento pode ser considerado a partir de uma conveno de sinais.

No exemplo acima, o momento de F em torno do ponto A (ou em torno do eixo z que passa pelo ponto A) positivo. A seta curva mostrada na figura uma forma conveniente de representar momentos na anlise bidimensional.

Em alguns problemas bidimensionais, e em muitos problemas tridimensionais,

conveniente utilizar a abordagem vetorial para efetuar o clculo dos momentos. No exemplo anterior, o momento de uma fora F em torno do ponto A pode ser representado pelo seguinte produto vetorial:

F.rM = onde r o vetor-posio medido desde o centro do momento, que o ponto de referncia A, at um ponto qualquer da linha de ao de F . A intensidade dessa expresso dada por:

M = F.r.sen = F.d Nota-se que o brao de alavanca, d = r.sen, no depende de um ponto em particular na linha de ao de F para o qual o vetor r est apontado. TEOREMA DE VARIGNON

Estabelece que o momento de uma fora em torno de um ponto qualquer igual soma dos momentos das componentes da fora em torno do mesmo ponto.

R.roM = , onde QPR += , podemos escrever ento: )QP(.rR.r += Q.rP.rR.roM +==

Q.qP.pd.RMo += (anti-horrio positivo) BINRIO OU CONJUGADO

o momento produzido por duas foras no lineares, iguais e opostas. Considerando a ao de duas foras iguais e opostas, F e F, separadas por

uma distncia d.


Essas duas foras no podem ser combinadas em uma resultante nica, uma vez que a soma, em qualquer direo, zero e que elas produzem um efeito que a tendncia rotao. O momento resultante dessas duas foras em torno de um eixo normal ao seu plano que passa por um ponto qualquer, o ponto O, por exemplo, um conjugado de M, cuja intensidade dada por:

M = F(a + d) F.a M = F.d SISTEMA FORA-CONJUGADO O efeito de uma fora que ata em um corpo tem sido descrito em termos da tendncia de empurrar ou puxar o corpo na direo da fora e da tendncia de promover a rotao do corpo em torno de um eixo que no intercepte a linha de ao dessa fora.

M = F.d

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