Embed Size (px)
Citation preview
Primitivasimediatas
por partes
por substituicao
de funcoes racionais
1 Introducao
O problema central desta seccao e o de, dada uma funcao f : I −→ R, definida numintervalo I, determinar uma nova funcao F : I −→ R tal que
F ′(x) = f(x), ∀x∈I. (44)
Trata-se do chamado problema da primitivacao da funcao f no intervalo I. Existindosolucao do problema, dizemos que f e primitivavel em I e cada funcao F verificando acondicao (44) e chamada uma primitiva ou uma antiderivadas de f em I. Escrevemos
F (x) = P(f(x)
)ou F (x) =
∫f(x)dx. (45)
Em particular, na segunda expressao de (45), o sımbolo∫
representa um “S” alongadoe “dx” e uma partıcula formal usada para denotar a variavel independente em relacaoa qual se esta a primitivar. Da definicao, e imediato que
F (x) = P(f(x)
), ∀x ∈ I sse F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I,
ou seja, queF e uma primitiva de f sse f e a derivada de F.
Fica assim claro que a primitivacao e o processo inverso da derivacao.
Exemplo 1
(a) A funcao definida por F (x) = senx, x ∈ R, e uma primitiva de f(x) = cosx, x ∈ R.De facto, basta atender a que (senx)′ = cosx, x ∈ R.
(b) A funcao definida por F (x) =1x, x ∈ R+, e uma primitiva de f(x) = lnx, x ∈ R+.
Basta recordar que (lnx)′ =1x, x ∈ R+.
2 Consequencias
Da definicao de primitiva, extraem-se algumas consequencias que passamos a enunciar.
Consequencia 1
Se F e uma primitiva de f no intervalo I entao toda a funcao
F (x) + C, x ∈ I, (46)
com C uma constante real arbitraria, e tambem uma primitiva de f .
Basta notar que [F (x) + C]′ = F ′(x) = f(x), x ∈ I.
15
Consequencia 2
Se F1 e F2 sao duas primitivas de f em I entao F2(x) = F1(x) + C, x∈I.
Basta atender a que F ′1(x) = F ′
2(x) = f(x), x∈I, resultando [F1(x)− F2(x)]′ = 0, x∈I. Como
I e um intervalo, conclui-se que F1(x)−F2(x) = C, x∈I, ou seja que F1(x) = F2(x) + C, x∈I.
Observacao 1
(a) Das Consequencias 1 e 2 sai que, quando o problema da primitivacao de uma funcaonum intervalo e possıvel, ele admite uma infinidade de solucoes, que se obtem deuma primitiva conhecida adicionando uma constante real arbitraria. Para alemdestas, nao ha outras primitivas de f no intervalo I. Representamos a expressaogeral das primitivas de f por
F (x) + C, C constante,
onde F e uma primitiva conhecida, e escrevemos
P (f(x)) = F (x) + C. (47)
(b) A tıtulo de curiosidade, note-se que o problema da primitivacao de uma funcaonum intervalo pode tambem nao possuir solucao. E o que se passa, por exemplo,com a funcao
f(x) ={
0 se x ∈ Q1 se x ∈ R \Q
em qualquer intervalo e com a funcao
g(x) ={
1 se 0 ≤ x ≤ 22 se 0 < x ≤ 4
no intervalo [0, 4]. Estas funcoes nao podem ser a derivada de funcao algumanum intervalo, porque a derivada de uma funcao num intervalo, ainda que sejadescontınua, possui a propriedade do valor intermedio, nao passando de um valora outro sem passar por todos os valores intermedios. Este resultado e conhecidopor Teorema de Darboux do valor intermedio para a derivada de uma funcao numintervalo (cf. a bibliografia recomendada). As descontinuidades de uma derivadanum intervalo, se existirem, sao bastante complexas, e nunca descontinuidades desalto.
(c) Mais adiante vamos abordar algumas regras de primitivacao muito uteis. Convem,no entanto, registar que estas regras nao permitem determinar as primitivas detodas as funcoes primitivaveis. Um exemplo bem conhecido (cf. a bibliografiarecomendada) e o da funcao definida por e−x2
, x ∈ R, que, como ficara claro maisadiante, e primitivavel em qualquer intervalo I e, no entanto, as regras que iremosabordar nao permitem determinar as primitivas desta funcao.
16
Exemplo 2
P (cosx) = senx+ C;
P(
1x
)= lnx+ C.
3 Primitivas imediatas
Chamamos primitivas imediatas aquelas primitivas que se obtem por simples reversaodas regras de derivacao, recorrendo, eventualmente, a alguns artifıcios de calculo. Apartir de um quadro de derivadas do tipo
Funcao Derivadaex ex
senx cosxcosx − senxax a
xk kxk−1
facilmente construimos um quadro de primitivas imediatas. Para tal, basta fazer umatroca de colunas, adicionar uma constante arbitraria aos elementos da coluna da direitae, eventualmente, ajustar constantes. Resulta
Funcao Primitivaex ex + C
cosx senx+ Csenx − cosx+ Ca ax+ C
xk−1 xk/k + C
Mais em geral, sendo f : I −→ R derivavel num intervalo I e a, α constantes reais, algunsexemplos de primitivas imediatas sao:
(i) P (a) = ax+ C (a ∈ R) (ii) P (f ′(x)fα(x)) =fα+1(x)α+ 1
+ C (α 6=−1)
(iii) P(f ′(x)f(x)
)= ln |f(x)|+ C (iv) P
(af(x)f ′(x)
)=af(x)
log a+ C (a∈R+\1)
(v) P (cos f(x)f ′(x)) = sen f(x) + C (vi) P (sh f(x)f ′(x)) = ch f(x) + C
E assim possıvel construir uma tabela de primitivas imediatas (Apencice 1 deste capıtulo)que mais nao e do que uma lista de regras obtidas por leitura revertida de regras dederivacao. Em cada caso, pos-se dentro do sinal P ( · · · ) uma “expressao” na formade “derivada de alguma funcao”. A tabela diz-nos, no segundo membro, qual e essafuncao. Por exemplo, a regra (vi) afirma que a primitiva de uma “expressao” do tipo
17
sh f(x) f ′(x) e igual a ch f(x) + C; isto acontece porque a derivada de ch f(x) + C eprecisamente igual a sh f(x)f ′(x). Para que a tabela seja util, devemos ser capazes detraduzir a “expressao” a primitivar numa das formas contempladas na tabela dentro dosımbolo P ( · · · ). Este passo representa a unica dificuldade do processo de primitivacaoimediata. Ele requer um conhecimento razoavel das regras de derivacao.
Exemplo 3 [Primitivas imediatas]
1. P(− senx cos5 x
)=
cos6 x
6+ C. [Regra 4. da tabela]
2. P(
ex
1 + e2x
)= P
(ex
1 + (ex)2
)= arctg ex + C. [Regra 15. da tabela]
3. P(
ex
7 + ex
)= ln(7 + ex) + C. [Regra 3 da tabela]
4. P(
ex
4√
(5 + ex)3
)= P
(ex(5 + ex)−3/4
)=
(5 + ex)−3/4+1
−3/4 + 1+ C
= 4 4√
5 + ex + C. [Regra 4 da tabela]
4 Regras de primitivacao
O calculo das primitivas de uma funcao baseia-se num conjunto de regras, as chamadasregras de primitivacao, que se obtem a partir das regras de derivacao.
4.1 Regra de primitivacao por decomposicao
Resulta da regra da derivacao da soma de funcoes e da regra de derivacao do produto deuma funcao por uma constante. Se u e v sao funcoes derivaveis e α e β sao constantesreais, entao
[αu(x) + βv(x)]′ = αu′(x) + βv′(x). (48)
Em termos de primitivas, a regra (48) traduz-se por
P[αu′(x) + βv′(x)
]= αu(x) + βv(x) + C.
Pondo, mais em geral, u′(x) = f(x), v′(x) = g(x) e u(x) = F (x), v(x) = G(x), com F
e G primitivas de f e de g, respectivamente, vem
P [αf(x) + βg(x)] = αF (x) + βG(x) + C.
Podemos entao estabelecer o seguinte resultado.
18
Conclusao 1 [Primitivacao por decomposicao]
Sejam f e g funcoes primitivaveis num intervalo I e α, β duas constantes reais.. Entaoαf + βg e primitivavel em I, tendo-se
P[αf(x) + βg(x)
]= αP
(f(x)
)+ β P
(g(x)
). (49)
Exemplo 4
P(
5 cosx− 25ex +
3 senx1 + cos2 x
)= 5 P
(cosx
)− 2
5P(ex)− 3 P
(− senx
1 + cos2 x
)= 5 senx− 2
5ex − 3 arctg(cosx) + C
4.2 Regra de primitivacao por partes
Resulta da regra de derivacao de um produto de funcoes. Se u e v sao funcoes derivaveis,entao
[u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x). (50)
Em termos de primitivas, podemos traduzir a igualdade (50) por
P[u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
]= u(x)v(x) + C.
Numa forma mais util, e atendendo ao que se vimos na subseccao 4.1, podemos escrever
P[u′(x)v(x)
]= u(x)v(x)− P
[u(x)v′(x)
]+ C.
Pondo agora u′(x) = f(x), v(x) = g(x), u(x) = F (x), onde F e uma primitiva de f , sai
P[f(x)g(x)
]= F (x)g(x)− P
[F (x)g′(x)
],
ou ainda,
P[f(x)g(x)
]= P [f(x)] g(x)− P
[P(f(x)
)g′(x)
]. (51)
Podemos entao estabelecer a seguinte conclusao.
Conclusao 2 [Primitivacao por partes]
Sejam f : I −→ R primitivavel, F : I −→ R uma primitiva de f e g : I −→ R derivavel,tais que o produto Fg′ e primitivavel em I. Entao fg e primitivavel em I, tendo-se
P[f(x)g(x)
]= F (x)g(x)− P
[F (x)g′(x)
]. (52)
Podemos ler a formula (52) da seguinte forma: a primitiva de um produto e igual aprimitiva do primeiro factor a multiplicar pelo segundo factor, menos a primitiva donovo produto que resulta de multiplicar o factor que ja esta primitivado pela derivadado segundo factor. A regra de primitivacao expressa na formula (52) evidencia que aprimitiva de um produto pode ser calculada em duas partes: na primeira, primitiva-se apenas o primeiro factor, que depois e multiplicado pelo segundo; na segunda parte,primitiva-se o produto da funcao que ja esta primitivada pela derivada do segundo factor.
19
Observacao 2
(a) Para que o metodo de primitivacao por partes tenha sucesso, pelo menos um dosfactores deve ter primitiva imediata; o metodo resulta quando se sabe primitivaro produto que aparece na segunda parte (cf. o exemplo 5 (a)).
(b) Em geral, conhecendo a primitiva de ambos os factores, escolhe-se para primeiroaquele que menos se simplifica a derivar (cf. o exemplo 5 (b)).
(c) O metodo de primitivacao por partes pode ser aplicado com suceso para primitivaruma funcao que nao tem primitiva imediata, digamos f(x), interpretando-a comoo produto 1f(x) e comecando por primitivar o factor 1,
P[f(x)
]= P
[1f(x)
]= xf(x)− P
[xf ′(x)
]= · · · (53)
Este e o processo habitualmente utilizado para primitivar, por exemplo, logarıtmos,arcos trigonometricos e argumentos hiperbolicos (cf. o exemplo 5 (c)).
(d) Ao aplicar o metodo de primitivacao por partes duas ou mais vezes sucessivas,e frequente reencontrarmos a primitiva inicial afectada de um certo coeficiente(diferente de 1). A primitiva proposta pode ser obtida como solucao de umaequacao cuja incognita e precisamente essa primitiva (cf. o exemplo 5 (d)).
Exemplo 5
(a) P(x lnx) =x2
2lnx− P
(x2
21x
)=x2
2lnx− x2
4+ C.
Repare-se que o factor lnx nao possui primitiva imediata. Devemos, portanto, primitivarprimeiro o factor x.
(b) P(xex) = x ex − P(ex) = x ex − ex + C.
Aqui conhecemos a primitiva de ambos os factores. Mas o polinomio “complica-se”quando primitivado, porque aumenta de grau, e simplifica-se quando derivado. E entaoconveniente guarda-lo para segundo factor.
(c) P(arctg x) = P(1 arctg x
)= x arctg x− P
(x
11 + x2
)= x arctg x− 1
2P(
2x1 + x2
)= x arctg x− 1
2ln(1 + x2) + C.
O arco-tangente nao tem primitiva imediata, mas foi muito simples usar o metodo deprimitivacao por partes para o primitivar.
(d) P(ex senx
)= ex senx− P
(ex cosx
)= ex senx−
[ex cosx+ P
(ex senx
)]= ex senx− ex cosx− P
(ex senx
).
20
E para a primitiva proposta podemos escrever
P(ex senx
)= ex(senx− cosx)− P
(ex senx
).
Resolvendo esta ultima equacao a respeito da incognita P(ex senx
), resulta
P(ex senx
)=ex
2(senx− cosx) + C.
4.3 Primitivacao de potencias de funcoes trigonometricas e hiperbolicas
Ha um conjunto de regras praticas para a primitivacao de potencias com expoentenatural de funcoes trigonometricas e de funcoes hiperbolicas, que se baseiam em algumaspropriedades destas funcoes. Passemos a apresentacao destas regras, apenas no caso dasfuncoes seno e cosseno, bem como das funcoes seno hiperbolico e cosseno hiperbolico.
A - Potencias pares de funcoes trigonometricas e hiperbolicas
No caso da primitivacao de potencias de expoente par de funcoes trigonometricas, econveniente passar para o arco duplo, recorrendo as formulas
sen2 x =1− cos 2x
2, cos2 x =
1 + cos 2x2
. (54)
De modo perfeitamente equivalente, no caso da primitivacao de potencias de expoentepar de funcoes hiperbolicas, e conveniente passar para o argumento duplo, tendo emconta que
sh2 x =ch 2x− 1
2, ch2 x =
ch 2x+ 12
. (55)
Exemplo 6
(a) P(cos2 x) = P(
1 + cos 2x2
)=
12
P(1 + cos 2x
)=
12
(x+
12
sen 2x)
+ C
=x
2+
12
senx cosx+ C.
(b) P(ch4 x) = P[(
ch 2x+ 12
)2 ]=
14
P(
ch2 2x+ 2 ch 2x+ 1)
=14
P(
ch2 2x)
+12
P(
ch 2x)
+x
4=
14
P(
ch 4x+ 12
)+
14
sh 2x+x
4
=18
P(
ch 4x)
+x
8+
14
sh 2x+x
4=
132
sh 4x+x
8+
14
sh 2x+x
4+ C
=116
sh 2x ch 2x+38x+
12
shx chx+ C
=18
shx chx(ch2 x+ sh2 x) +38x+
12
shx chx+ C
21
B - Potencias ımpares de funcoes trigonometricas e hiperbolicas
No caso da primitivacao de potencias de expoente ımpar de funcoes trigonometricas ouhiperbolicas, e conveniente destacar uma unidade a potencia ımpar e passar o outrofactor para a co-funcao, atraves das formulas
cos2 x+ sen2 x = 1 , ch2 x− sh2 x = 1. (56)
Exemplo 7
(a) P(cos3 x) = P(
cosx cos2 x)
= P(
cosx(1− sen2 x
))= P
(cosx
)− P
(cosx sen2 x
)= senx− 1
3sen3 x+ C.
(b) P(ch5 x) = P(
chx ch4 x)
= P[
chx(1 + sh2 x)2]
= P(
chx+ 2 chx sh2 x+ chx sh4 x)
= shx+23
sh3 x+15
sh5 x+ C.
4.4 Regra de primitivacao por substituicao
Resulta da regra de derivacao de uma funcao composta. Se u e v sao funcoes derivaveise a composta u ◦ v esta bem definida, entao
[u (v(t))]′ = u′ (v(t)) v′(t). (57)
Em termos de primitivas, podemos escrever
P[u′ (v(t)) v′(t)
]= u (v(t)) + C.
Pondo u′(x)=f(x), u(x)=F (x), v(x)=g(x) e v′(x)=g′(x), onde F e uma primitiva def , vem
P[f (g(t)) g′(t)
]= F (g(t)) + C. (58)
A expressao (58) pode adquirir uma forma mais util, atendendo a que F (g(t))+C indicauma primitiva generica de f(x) calculada em x=g(t). De facto, podemos escrever
P[f(g(t)
)g′(t)
]=[P[f(x)
]]x=g(t)
, (59)
mas a expressao (59) ainda nao e bem o que nos interessa. No entanto, tendo em contaque, em geral, o problema que nos e proposto e o de calcular P
[f(x)
], basta entao
desfazer a substituicao x = g(t) na formula (59), atraves de t = g−1(x). Legitimando as“manobras” anteriores, a conclusao e a seguinte.
22
Conclusao 3 [Primitivacao por substituicao]
Sejam f : I −→ R uma funcao primitivavel no intervalo I, F uma primitiva de f em I,e g : J −→ I uma funcao bijectiva com derivada nao nula em cada ponto de J . EntaoF ◦ g e uma primitiva de (f ◦ g) g′ em J , tendo-se
P[f(x)
]=[P[f (g(t)) g′(t)]
]t=g−1(x)
. (60)
A expressao (60) exprime a regra de primitivacao por substituicao de variavel. Maisconcretamente, ela indica que o calculo da primitiva de f(x) pode ser efectuado daseguinte forma:
• faz-se a substituicao x = g(t);
• calcula-se depois a nova primitiva P[f(g(t)) g′(t)
];
• desfaz-se a substituicao, regressando a variavel inicial x, atraves de t = g−1(x).
Observacao 3
Em geral, aplica-se o metodo de primitivacao por substituicao quando nao se sabe pri-mitivar a funcao dada por outro processo, ou ainda quando o calculo da primitiva dadase simplifica significativamente. O sucesso do metodo depende, obviamente, da subs-tituicao adoptada. A dificuldade esta em intuir uma substituicao adequada para aprimitiva que nos e proposta. Para a escolha da substituicao, podemos recorrer a umatabela onde se listam substituicoes de sucesso para os casos mais importantes (Apendice2 deste capıtulo).
Exemplo 8
(a) Para calcular P(x√x− 1
), faca-se a substituicao definida por x− 1 = t2, t ≥ 0.
Vem x = 1 + t2, t ≥ 0, e no ambito da formula (60), tem-se g(t) = 1 + t2. Entaog′(t) = 2t e somos conduzidos ao calculo da nova primitiva,
P[(1 + t2)
√t2 2t︸︷︷︸
g′(t)
]= 2P(t2 + t4) =
23t3 +
25t5 + C.
Para regressar a variavel x, desfaz-se a substituicao, notando que t=√x− 1 com
x≥ 1, uma vez que t ≥ 0. Resulta finalmente
P(x√x− 1
)=
23
√(x− 1)3 +
25
√(x− 1)5 + C.
(b) Para calcular P(√
1− x2), faca-se a substituicao x = cos t, com t∈ [0, π]. Neste
caso, tem-se g(t) = cos t e g′(t) = − sen t, para t ∈ [0, π]. Calculemos entao
P[√
1− cos2 t (− sen t)︸ ︷︷ ︸g′(t)
]= −P
(sen2 t
) ∗= −P(
1− cos 2t2
)
=12
P (cos 2t− 1) =12
sen t cos t− 12t+ C,
23
onde na igualdade ∗= se usou o que vimos na subseccao 4.3, parte A. Para regressara variavel x, atenda-se a que x=cos t, t∈ [0, π]⇔ t = arccosx, x∈ [−1, 1] e a que,para t∈ [0, π], cos t=x⇔ sen t=
√1− x2, uma vez que sen2 t+ cos2 t = 1, ∀t ∈ R.
EntaoP(√
1− x2
)=
12x√
1− x2 − 12
arccosx+ C.
(c) Para calcular P(
arcsen√x√
x
), faca-se x = t2, t > 0. Depois de introduzir a subs-
tituicao, caimos numa primitiva que podemos determinar recorrendo ao metodode primitivacao por partes. Vem
P(
arcsen tt
2t︸︷︷︸derivada
)= 2P
(arcsen t
)= 2P
(1 arcsen t
)= 2
[t arcsen t− P
(t
1√1− t2
)]= 2t arcsen t+ P
[(−2t)(1− t2)−1/2
]= 2t arcsen t+ 2
√1− t2 + C,
donde, regressando a variavel x, resulta
P(
arcsen√x√
x
)= 2√x arcsen
√x+ 2
√1− x+ C.
(d) Para calcular P(x−√x
1 + 3√x
), faca-se x = t6, t ≥ 0. A solucao e
P(x−√x
1 + 3√x
)=
35x5/3 − 3
4x4/3 − 6
7x7/6 + x+
65x5/6 − 3
2x2/3
= −2x1/2 + 6x1/6 − 3 ln(1 + x1/3)− 6 arctg(x1/6) + C.
(e) Para calcular P(x 4√
1 + x), faca-se 1 + x = t4, t ≥ 0. Vem
P(x 4√
1 + x)
=49
4√
(1 + x)9 − 45
4√
(1 + x)5 + C.
5 Primitivacao de funcoes racionais
A primitivacao de funcoes definidas como quociente de polinomios (funcoes racionais),
f(x) =P (x)Q(x)
, x ∈ R\{x∈R : Q(x) = 0} , (61)
e feita com uma tecnica muito propria que se baseia na decomposicao da fraccao P (x)/Q(x)em fraccoes mais simples, ditas elementares. Para obter uma tal decomposicao, e cru-cial a determinacao dos zeros do polinomio Q, bem como a especificacao da natureza
24
e da multiplicidade de cada zero. Omitindo aqui alguns resultados sobre polinomios,passemos a descricao desta tecnica.
Passo 1 Divisao dos polinomios (nem sempre e necessario).
Se grauQ ≥ grauP entao efectua-se a divisao dos dois polinomios. Resulta
P (x)Q(x)
= S(x) +R(x)Q(x)
, (62)
onde S e R sao polinomios e grauR < grauQ. A fraccaoR(x)Q(x)
deve agora ser
decomposta, como vira explicado nos passos seguintes.
Passo 2 Decomposicao deR(x)Q(x)
em fraccoes simples.
(a) Determinam-se os zeros de Q, atendendo a que:
• se Q e um polinomio de grau n entao Q possui exactamente n zeros, quepodem ser reais ou complexos;
• os zeros complexos ocorrem sempre aos pares de conjugados, isto e, sea+ bi e um zero de Q entao a− bi tambem e um zero de Q;
• cada zero de Q pode ser simples ou de multiplicidade um, quando anula Qmas nao anula a sua derivada Q′, e pode ser multiplo com multiplicidadek > 1, quando anula Q e todas as suas derivadas ate a ordem k − 1 masnao anula a derivada de ordem k;
• o polinomio Q possui o zero real x = a com multiplicidade k ≥ 1 se, nafactorizacao de Q, o factor (x− a) ocorre exactamente k vezes;
• o polinomio Q possui o par de zeros complexos x = a± bı com multipli-cidade k ≥ 1 se, na factorizacao de Q, o factor [(x − a)2 + b2]k ocorreexactamente k vezes.
(b) Decompoe-seR(x)Q(x)
numa soma de fraccoes simples, com base nos zeros de Q
encontrados em (a), atendendo a que:
• cada zero real x = a, com multiplicidade k, contribui com k fraccoessimples da forma
A1
(x− a)k,
A2
(x− a)k−1, · · · , Ak
x− a, (63)
onde A1, A2, . . . , Ak sao constantes reais a determinar;
• cada par de zeros complexos conjugados x = a ± bı, com multiplicidadek, contribui com k fraccoes simples da forma
P1x+Q1
[(x− a)2 + b2]k,
P2x+Q2
[(x− a)2 + b2]k−1, · · · , Pkx+Qk
(x− a)2 + b2(64)
onde P1, Q1, P2, Q2, . . . , Pk, Qk sao constantes reais a determinar.
25
(c) Calculam-se as constantesAi, Pi, Qi que figuram nos numeradores das fraccoessimples (63) e (64), recorrendo ao chamado metodo dos coeficientes indeter-minados, que vira exposto nos exemplos que se apresentam a seguir. Napratica, recorre-se muitas vezes a outras regras bastante simples que, con-jugadas com o metodo anterior, simpificam significativamente os calculos aefectuar.
Passo 3 Calculo das primitivas.
O calculo da primitiva inicial e efectuado a partir do que se viu nos passos anteri-
ores, nomeadamente, a partir da expressao (62), ondeR(x)Q(x)
se escreve como uma
soma de parcelas dos tipos (63) e (64). Entao
P[P (x)Q(x)
]= P [S(x)] + P
[R(x)Q(x)
]onde a primeira primitiva no segundo membro e imediata, por se tratar de umpolinomio, e a segunda primitiva e a soma das primitivas das fraccoes simples en-volvidas na decomposicao. Todas as fraccoes da forma (63) tem primitiva imediata(regra 4. da potancia e regra 3. do logarıtmo). As fraccoes da forma (64) podemser primitivadas atraves de uma substituicao de variavel. A ultima, em particu-lar, pode ser tratada como primitiva imediata, depois de algumas manipulacoesalgebricas (regra 15. do arco-tangente).
Exemplo 9
1. Calcular P(
2x5 − 4x4 + 4x3 − 4x2 + 3x(x2 + 1)(x− 1)2
).
Passo 1 Neste caso, grauP = 5 e grauQ = 4, pelo que e necessario efectuar adivisao dos dois polinomios. Resulta
2x5 − 4x4 + 4x3 − 4x2 + 3x(x2 + 1)(x− 1)2
= 2x +x
(x2 + 1)(x− 1)2.
Passo 2 Vamos decompor a fraccao no segundo membro da ultima equacao emfraccoes simples.
(a) Os zeros de Q(x) = (x2 + 1)(x− 1)2 sao:
x = 1 , real com multiplicidade 2;
x = ±i , complexos conjugados com multiplicidade 1.
26
(b) A fraccao decompoe-se numa soma de tres fraccoes simples, duas delas associ-adas ao zero real de multiplicidade 2 e a outra associada ao par de complexosconjugados de multiplicidade 1,
x
(x2 + 1)(x− 1)2=
A1
(x− 1)2+
A2
x− 1+Px+Q
x2 + 1, (65)
onde A1, A2, P e Q sao constantes a determinar.
(c) Da equacao (65), reduzindo ao mesmo denominador, sai que
x = A1(x2 + 1) +A2(x− 1)(x2 + 1) + (Px+Q)(x− 1)2
= (A2 + P )x3 + (A1 −A2 − 2P +Q)x2 + (A2 + P − 2Q)x+ (A1 −A2 +Q),
donde
A2 +P = 0 , A1−A2−2P +Q = 0 , A2 +P −2Q = 1 , A1−A2 +Q = 0,
e, portanto
A1 =12, A2 = 0 , P = 0 , Q = −1
2. (66)
A concluir este segundo passo, da equacao (65) e das expressoes (66), resulta
x
(x2 + 1)(x− 1)2=
12
(x− 1)2+−1
2x2 + 1
.
Passo 3 Do que se viu anteriormente, sai(2x5 − 4x4 + 4x3 − 4x2 + 3x
(x2 + 1)(x− 1)2
)= P
(2x)
+ P(
x
(x2 + 1)(x− 1)2
)
= P(2x)
+12
P(
1(x− 1)2
)− 1
2P(
1x2 + 1
)
= x2 − 12(x− 1)
− 12
arctg x+ C.
2. Calcular P(
4x2 + x+ 1x3 − x
).
Passo 1 Nao e necessario dividir os polinomios.
Passo 2 Obter4x2 + x+ 1x3 − x
=−1x
+2
x+ 1+
3x− 1
.
Passo 3 Resulta P(
4x2 + x+ 1x3 − x
)= ln
|x− 1|3 (x+ 1)2
|x|+ C.
27
3. Calcular P(
x+ 1x(x2 + 1)2
).
Passo 1 Nao e necessario dividir os polinomios.
Passo 2 Obterx+ 1
x(x2 + 1)2=
1x
+−x+ 1
(x2 + 1)2+−x
x2 + 1.
Passo 3 Resulta
P(
x+ 1x(x2 + 2)2
)= ln
(|x|√x2 + 1
)+
12(x2 + 1)
+12
arctg x +
√x2
1 + x2+ C.
28
Tabela de primitivas imediatas
DMCT, Universidade do Minho 2007/2008
Calculo A e B / Analise Matematica I MIEEIC, MIECOM. MIEMAT, MIEPOL, MIEMEC / LEC
Primitivas Imediatas
Na lista de primitivas que se segue, f : I −→ R e uma funcao derivavel no intervalo I ec denota uma constante real arbitraria.
1. P (a) = ax+ c 2. P (f ′fα) =fα+1
α+ 1+ c (α 6= −1)
3. P(f ′
f
)= ln |f |+ c 4. P
(af f ′) =
af
log a+ c (a∈R+\1)
5. P (f ′ cos f) = sen f + c 6. P (f ′ sen f) = − cos f + c
7. P(
f ′
cos2 f
)= tg f + c 8. P
(f ′
sen2 f
)= − cotg f + c
9. P (f ′ tg f) = − log |cos f |+ c 10. P (f ′ cotg f) = log |sen f |+ c
11. P(
f ′
cos f
)= log
∣∣∣∣ 1cos f
+ tg f∣∣∣∣+ c 12. P
(f ′
sen f
)= log
∣∣∣∣ 1sen f
− cotg f∣∣∣∣+ c
13. P
(f ′√
1− f2
)= arcsen f + c 14. P
(−f ′√1− f2
)= arccos f + c
15. P(
f ′
1 + f2
)= arctg f + c 16. P
(−f ′
1 + f2
)= arccotg f + c
17. P (f ′ ch f) = sh f + c 18. P (f ′ sh f) = ch f + c
19. P(
f ′
ch2 f
)= th f + c 20. P
(f ′
sh2 f
)= − coth f + c
21. P
(f ′√f2 + 1
)= argsh f + c 22. P
(f ′√f2 − 1
)= argch f + c
23. P(
f ′
1− f2
)= argth f + c 24. P
(f ′
1− f2
)= argcoth f + c
Tabela de substituicoes
DMCT, Universidade do Minho 2007/2008
Calculo A e B / Analise Matematica I MIEEIC, MIECOM. MIEMAT, MIEPOL, MIEMEC / LEC
Primitivas por Substituicao
Na lista de substituicoes que se segue, a, b e c sao constantes reais arbitrarias. Anotacao R(· · · ) indica uma funcao racional dos monomios que se encontram dentro dosparentesis. Na coluna da esquerda, figuram diferentes tipos de funcoes primitivaveis Nacoluna da direita sugere-se, em cada caso, uma substituicao adequada a funcao indicadana coluna da esquerda.
Tipo de Funcao Substituicao
1.1
(x2 + a2)k, k ∈ N, k > 1 x = a tg t
2.Q(x)
(ax2 + bx+ c)k, k ∈ N, k > 1, b2 − 4ac < 0 ax+
b
2= t
onde Q(x) e um polinomio de grau inferior a 2k
3.Q(x)
[(x− p)2 + q2]k, k ∈ N, k > 1 x = p+ qt
onde Q(x) e um polinomio de grau inferior a 2k
4. R(arx, asx, . . .) amx = t com m = m.d.c.(r, s, . . .)
5. R(loga x) t = loga x
6. R
(x,
(ax+ b
cx+ d
)p/q,
(ax+ b
cx+ d
)r/s, . . .
)ax+ b
cx+ d= tm com m = m.m.c.(q, s, . . .)
7. R(x, (ax+ b)p/q, (ax+ b)r/s, . . .
)(ax+ b) = tm com m = m.m.c.(q, s, . . .)
8. R(x, xp/q, xr/s, . . .
)x = tm com m = m.m.c.(q, s, . . .)
9. R(x,√a2 − b2x2
)x =
a
bsen t ou x =
a
bcos t ou x =
a
bth t
10. R(x,√a2 + b2x2
)x =
a
btg t ou x =
a
bsh t
11. R(x,√b2x2 − a2
)x =
a
bsec t ou x =
a
bch t
12. R(x,√x,√a− bx
)x =
a
bsen2 t ou x =
a
bcos2 t
13. R(x,√x,√a+ bx
)x =
a
btg2 t
Tipo de Funcao Substituicao
14. R(x,√x,√bx− a
)x =
a
bsec2 t
15. R(x,√ax2 + bx+ c
)se a > 0 faz-se
√ax2 + bx+ c = x
√a+ t
se c > 0 faz-se√ax2 + bx+ c =
√c+ tx
se ax2 + bx+ c = a(x− r1)(x− r2) faz-se√ax2 + bx+ c = (x− r1)t ou√ax2 + bx+ c = (x− r2)t
16. xm(a+ bxn)p/q se m+1n ∈ Z faz-se a+ bxn = tq
se m+1n + p
q ∈ Z faz-se a+ bxn = xntq
17. R (senx, cosx) com
(a) R ımpar em senx isto eR (− senx, cosx) = −R (senx, cosx) cosx = t
(b) R ımpar em cosx isto eR (senx,− cosx) = −R (senx, cosx) senx = t
(c) R par em (senx, cosx) isto eR (− senx,− cosx) = R (senx, cosx) tg x = t , sendo entao (supondo x ∈ ]0, π/2[ )
senx =t√
1 + t2, cosx =
1√1 + t2
(d) nos restantes casos (e ate nos anteriores) tgx
2= t , sendo senx =
2t1 + t2
, cosx =1− t2
1 + t2
18. R (senmx, cosmx) mx = t
19. R (ex shx, chx) x = log t
20. R (shx, chx) com
(a) R ımpar em shx chx = t
(b) R ımpar em chx shx = t
(c) R par em (shx, chx) thx = t , sendo shx =t√
1− t2, chx =
1√1− t2
(d) nos restantes casos (e ate nos anteriores) thx
2= t , sendo shx =
2t1− t2
, chx =1 + t2
1− t2
21. R (shmx, chmx) mx = t
