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jean-pierre-perales-gonzales
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CONTENIDO
Introducción………………………………………………………………………..
……………………………………..
Fuerzas
distribuidas………………………………………………………………………………………..
………….
Resultante de una carga general
distribuida………………………………………………………….……….
Magnitud de una fuerza resultante
Presión de un fluido
Placa curva de ancho constante
Placa plana de ancho variable
Centro de gravedad, centro de masa, y centroide para un
cuerpo…………………………..……..….
El Centroide
Volumen
Área
Línea
Simetría
Puntos importantes
Procedimiento de análisis
Cuerpos
Compuestos………………………………………………………………………………………
……………
Teorema de Pappus y
Guldinus………………………………………………………………..……………………
Ejercicios…………………………………………………………………………………………….
.………………..……
Bibliografía……………………………………………………………………………….
…………………………………
RESUMEN
En esta monografía se desarrollaran diferentes puntos; el como hallar la
resultante de una carga distribuida, y el centroide de una placa o una línea, o
el centro de masa, se utilizaran teoremas para el desarrollo de centroides y se
aplicaran muchas formulas dadas en esta nomografía para el calculo de la
resultantes de una carga distribuida.
OBJETIVOS
Analizar el concepto de centro de gravedad
Analizar la resultante de una carga general distribuida
Mostrar como se determina el centro de gravedad
Como utilizar el teorema de Pappus y Guldinus
Aplicar el desarrollo de la monografía en algunos ejercicios.
INTRODUCCIÓN
Un cuerpo rígido podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza,
denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro
de gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una
de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la
Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de
pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. Sin embargo, en esta
monografia se aprenderá que la totalidad de dichas fuerzas pequeñas puede
ser reemplazada por una sola fuerza equivalente W. También se aprenderá
cómo determinar el centro de gravedad, esto es, el punto de aplicación de la
resultante W, para cuerpos de varias formas. En la primera parte del capítulo
se describen cuerpos bidimensionales como placas planas y alambres que
están contenidos en un plano dado. Se introducen dos conceptos que están
muy relacionados con la determinación del centro de gravedad de una placa o
de un alambre: el concepto de centroide de un área o de una línea y el
concepto del primer momento de un área o de una línea con respecto a un eje
dado. También se aprenderá que el cálculo del área de una superficie de
revolución o del volumen de un cuerpo de revolución está directamente
relacionado con la determinación del centroide de la línea o del área utilizados
para generar dicha superficie o cuerpo de revolución (teoremas de Pappus-
Guldinus). Además, la determinación del centroide de un área simplifica el
análisis de vigas sujetas a cargas distribuidas y el cálculo de las fuerzas
ejercidas sobre superficies rectangulares sumergidas, como compuertas
hidráulicas y porciones de presas.
RESULTANTE DE UNA CARGA GENERAL DISTRIBUIDA.
Distribución de presión sobre una superficie.
Considere la placa plana mostrada en la (figura
primera), la cual está sometida a la función de
carga p = p(x,y)Pa, donde Pa(pascal) = 1N/m2.
Conocida esta función podemos determinar la
fuerza dF que actúa sobre el área diferencial de
A m2 de la placa, localizada en el punto arbitrario
(x, y). Esta magnitud de fuerza es simplemente
dF = [P(x, y) N/m2](dA m2) = [P(x, y) dA]N. Por
tanto, la carga total sobre la placa es
representada como un sistema de fuerzas
paralelas infinitas en número y actuando cada
una sobre un área diferencial separada dA. Este sistema será ahora
simplificado a una sola fuerza resultante F R actuando a través de un punto
único(X,Y) sobre la placa, (figura segunda)
Magnitud de una fuerza resultante.
Para determinar la magnitud de F]V es necesario sumar cada una de las
fuerzas diferenciales dF actuando sobre el área de la superficie total de la
placa. Esta suma puede ser expresada matemáticamente como una integral:
Aquí, p(x, y) dA = dV, o el elemento de volumen diferencial más oscuro la
figura 9-25a. Por tanto, el resultado indica que la magnitud de la fuerza
resultante es igual al volumen total bajo el diagrama de carga distribuida.
Ubicación de una fuerza resultante. La ubicación (X,Y)de F R es determinada
estableciendo los momentos de F R iguales a los momentos de todas las
fuerzas dF con respecto a los ejes y y x respectivos: a partir de las figuras,
usando la ecuación, esto resulta en
Por tanto, se puede ver que la línea de acción de la fuerza resultante pasa a
través del centro geométrico o centroide del volumen bajo el diagrama de
carga distribuida.
Presión de un fluido
De acuerdo con la ley de Pascal, en un punto, un fluido en reposo genera cierta
presión p que es la misma en todas direcciones. La magnitud de p, medida
como una fuerza por área unitaria, depende del peso específico 'Y o de la
densidad de masa p del fluido y de la profundidad Z del punto desde la
superficie del fluido: La relación puede ser expresada matemáticamente como
Donde g es la aceleración debida a la gravedad. La ecuación es válida sólo
para fluidos que se suponen incompresibles, lo cual es el caso de la mayoría de
los líquidos. Los gases son fluidos compresibles, y puesto que sus densidades
cambian considerablemente con la presión y la temperatura, entonces esta
ecuación no puede ser usada.
Para ilustrar cómo se aplica la ecuación, consideremos la placa sumergida
mostrada en la (figura siguiente). Sobre la placa han sido especificados tres
puntos. Como el punto B está a profundidad Z1 de la superficie del líquido, la
presión en este punto tiene magnitud P1 = YZ1. Igualmente, los puntos e
y D están ambos a profundidad Z2; por ello, P2 = 'YZ2.
En todos los casos, la presión actúa normalmente al área superficial dA que se
localiza en el punto especificado. Usando la ecuación, es posible determinar la
fuerza resultante causada por una distribución de presión de un líquido y
especificar su ubicación sobre la superficie de una placa sumergida.
Consideraremos ahora tres formas diferentes de placas.
*En particular, para el agua 'Y = 62.4 lb/pie3, o 'Y = pg = 9810 N/m3 ya que p
= 1000 kg/m3 y g = 9.81 m/52.
Placa plana de ancho constante
Una placa plana rectangular de ancho constante, que está sumergida en un
líquido con un peso específico ɤ, se muestra en la figura (…..a) El plano de la
placa forma un ángulo con la horizontal, de manera que su borde superior está
localizado a una profundidad Z1 desde la superficie del líquido y su borde
inferior a una profundidad Z2'. Como la presión varía linealmente con la
profundidad, ecuación anterior la distribución de presión sobre la superficie de
la placa es representada por un volumen trapezoidal con intensidades P1 =ɤ Z1
a la profundidad Z1 y P2 = ɤZ2 a la profundidad Z2 .Como vimos en la sección
anterior, la magnitud de la fuerza resultante F R es igual al volumen de este
diagrama de carga y F R tiene una línea de acción que pasa por el centroide e
del volumen. Por consiguiente, F R no actúa en el centroide de la placa, sino en
un punto P llamado el centro de presión.
Como la placa tiene un ancho constante, la distribución de carga también
puede ser vista en dos dimensiones, figura(b). Aquí, la intensidad de la carga
es medida como fuerza/longitud y varía linealmente desde W1 = bP1 = bɤ Z1
hasta W2 = bP2 = bɤ Z2.
Placa curva de ancho constante
Cuando la placa sumergida es curva, la presión que actúa normalmente a la
placa cambia su dirección de manera continua, y por tanto, el cálculo de la
magnitud de F R Y su ubicación P es más difícil que para una placa plana. En
las figuras (….a) y (…b) se muestran vistas tri y bidimensionales de la
distribución de carga, respectivamente Aquí puede usarse la integración para
determinar FR y la ubicación del centroide C o centro de presión P.
Sin embargo, existe un método más simple para calcular l a magnitud de F R Y
su ubicación a lo largo de una placa curva (o plana) con ancho constante. Este
método requiere cálculos separados para las componentes horizontal y vertical
de FR' Por ejemplo, la carga distribuida que actúa sobre la placa curva DB en la
(figura siguiente) puede ser representada por la carga equivalente mostrada
en la figura (…..)
Aquí la placa soporta el peso del líquido wf contenido dentro del bloque BDA .
Esta fuerza tiene magnitud Wf =(ɤb)( áreaBDA) y actúa a través del centroide
de BDA. Además, se tienen las distribuciones de presión causadas por el líquido
actuando a lo largo de los lados vertical y horizontal del bloque. A lo largo del
lado vertical AD, la fuerza FAD tiene una magnitud igual al área bajo el trapecio
y actúa a través del centroide CAD de esta área. La carga distribuida a lo largo
del lado horizontal AB es constante ya que todos los puntos que se encuentran
en este plano están a la misma profundidad desde la superficie del líquido. La
magnitud de FAB es simplemente el área del rectángulo. Esta fuerza actúa a
través del centroide CAB del área o punto medio de AB. Sumando las tres
fuerzas presentes en la figura (…) resulta:
Placa plana de ancho variable
La distribución de presión que actúa sobre la superficie de una placa
sumergida con ancho variable se muestra en la figura (ultima fig.). La fuerza
resultante de esta carga es igual al volumen descrito por el área de la placa
como su base y a la distribución de presión linealmente variable como su
altura. El elemento sombreado que muestra la figura 9-30 puede usarse si se
elige la integración para determinar este volumen. El elemento consiste en una
franja rectangular de área dA = x dy' localizada a una profundidad z por debajo
de la superficie del líquido. Como una presión uniforme p = ɤz (fuerza/área)
actúa sobre dA, la magnitud de la fuerza diferencial dF es igual a dF = dV = p
dA = ɤz(x dy'). Integrando sobre todo el volumen se obtiene la ecuación 9-13,
es decir,
En la ecuación 9-14, el centroide de V define el punto a través del cual actúa
FR' El centro de presión, que se encuentra sobre la superficie de la placa justo
debajo de e, tiene coordenadas P(X,Y' ) definidas por las ecuaciones.
Este punto no debe confundirse con el centroide del área de la placa.
CENTRO DE GRAVEDAD, CENTRO DE MASA, Y CENTROIDE PARA UN CUERPO
Centro de gravedad. Un cuerpo rígido está compuesto de un número infinito de
partículas, y si los principios usados para determinar las ecuaciones 9-3 son
aplicados al sistema de partículas que componen un Cuerpo rígido, resulta
necesario usar integración en vez de una suma discreta de términos.
Considerando la partícula arbitraria ubicada en (X, Y, Z) y con peso dW, las
ecuaciones resultantes son
Para aplicar estas ecuaciones apropiadamente, el peso diferencial dW debe ser
expresado en términos de su volumen asociado dV. Si 'Y representa el peso
específico del cuerpo, medido como un peso por volumen unitario, entonces
dW = 'Y dV, y por tanto
Aquí la integración debe ser efectuada a todo el volumen del cuerpo.
Centro de masa
La densidad p, o masa por volumen unitario, está relacionada mediante la
ecuación 'Y = pg, donde g es la aceleración debida a la gravedad. Sustituyendo
esta relación en las ecuaciones y cancelando G en los numeradores y
denominadores, se obtienen ecuaciones similares (con p remplazando a 'Y) que
se pueden usar para determinar el centro de masa del cuerpo.
El centroide
Es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede
ser determinad a partir de fórmulas similares a las usadas para encontrar el
centro de gravedad del cuerpo o centro de masa. En particular, si el material
que compone un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o peso
específico será constante en todo el cuerpo, y por tanto, este término saldrán
de las integrales y se cancelará a partir de los numeradores y denominadores
de las ecuaciones. Las fórmulas resultantes definen el centroide del cuerpo ya
que son independientes del peso del cuerpo y dependen sólo de la geometría
de éste. Consideraremos tres casos específicos.
Volumen
Si un objeto es subdividido en elementos de volumen dV la ubicación del
centroide C(x, y, z) para el volumen delobjeto puede ser determinada
calculando los "momentos" de los elementoscon respecto a cada uno de los
ejes coordenados. Las fórmulasresultantes son
Área
De manera similar, el centroide del área superficial de un objeto, como una
placa o un cascarón, se puede encontrar subdividiendo el área en elementos
dA y calculando los "momentos" de esos elementos de área con respecto a
cada uno de los ejes coordenados, esto es.
Línea
Si la simetría del objeto, tal como la de una barra delgada o la de un alambre,
toma la forma de una línea, el equilibrio de los momentos de los elementos
diferenciales dL con respecto a cada uno delos ejes coordenados resulta en
Recuerde que al aplicar las
ecuaciones es mejor elegir un sistema coordenado que simplifique tanto como
sea posible la ecuación usada para describir la frontera del objeto. Por ejemplo,
las coordenadas polares generalmente son más apropiadas para áreas que
tengan fronteras circulares. Los términos X, y, z en las ecuaciones se refiere a
los “brazos de momento” o coordenadas del centro de gravedad o centroides
del elemento diferencial usado. De ser posible, este elemento diferencial debe
elegirse de manera que tenga un tamaño diferencial o espesor en sólo una
dirección. Cuando se hace así, sólo es requerida una integración simple para
cubrir toda la región.
Simetría
Los centroides de algunas formas o perfiles pueden ser parcial o
completamente especificados usando condiciones de simetría. En los casos
donde la forma tenga un eje de simetría, el centroide de la forma se encontrará
a lo largo de ese eje. Por ejemplo, el centroide e para la línea mostrada en la
debe encontrarse a lo largo del eje y, puesto que para toda longitud elemental
dL a una distancia + x a la derecha del eje y hay un elemento idéntico a una
distancia -x a la izquierda. Por tanto, el momento total para todos los
elementos con respecto al eje de simetría
Se cancelará; esto es, Jx dL = O, por lo que x= O. En los casos donde una
forma tenga dos o tres ejes de simetría, se infiere que el centroide se
encuentra en la intersección de esos ejes
Puntos importantes
• El centroide representa el centro geométrico de un cuerpo. Este punto
coincide con el centro de masa o con el centro de gravedad sólo si el material
que compone al cuerpo es uniforme u homogéneo.
• Las fórmulas usadas para localizar el centro de gravedad o el centroide
simplemente representan un balance entre la suma de momentos de todas las
partes del sistema y el momento de la "resultante" para el sistema.
• En algunos casos, el centroide se ubica en un punto fuera del objeto, como
en el caso de un anillo, donde el centroide está en el centro del anillo. Además,
este punto se encontrará sobre cualquier eje de simetría del cuerpo.
Procedimiento de análisis
El centro de gravedad o centroide de un objeto o forma puede ser determinado mediante simples integraciones usando el siguiente procedimiento.
Elemento diferencial.
• Seleccione un sistema coordenado apropiado, especifique los ejes
coordenados, y luego elija un elemento diferencial para la integración.
• Para líneas, el elemento dL es representado como un segmento diferencial de
línea.
• Para áreas, el elemento dA es generalmente un rectángulo de longitud finita
y ancho diferencial.
• Para volúmenes, el elemento dV es o un disco circular con radio finito y
espesor diferencial, o bien, un cascarón con longitud y radio finitos y espesor
diferencial.
• Localice el elemento en un punto arbitrario (x, y, z) sobre la curva que define
la forma.
Tamaño y brazos de momento
• Exprese la longitud dL, el área dA,o el volumen dV del elemento en términos
de las coordenadas de la curva usada para definir la forma geométrica.
• Determine las coordenadas o brazos de momento X, y, z para el centroide o
centro de gravedad del elemento.
Integraciones.
• Sustituya las formulaciones para X, y, z Y dL, dA,o dV en las ecuaciones
apropiadas y efectúe las integraciones.
• Para efectuar la integración, exprese la función en el integrando en términos
de la misma variable aplicada al espesor diferencial del
• Los límites de la integral son definidos a partir de las dos ubicaciones
extremas del espesor diferencial del elemento, de manera que cuando los
elementos son "sumados" o la integración es efectuada, la región completa
queda cubierta.
CUERPOS COMPUESTOS
Es la unión de varios cuerpos simples conectados, las cuales pueden ser rectangulares, semicirculares, etc. Un cuerpo de esta índole a menudo es seccionado o dividido en sus partes componentes si se conoce el peso o la ubicación de estas partes es posible eliminar la necesidad de integración para conocer el centro de gravedad del cuerpo entero. El método para esto requiere que se trate a cada componente como una partícula. Ya que debemos considerar un número finito de pesos tenemos las siguientes formulas:
X=ƩaWƩW
Y= ƩbWƩW
Z=Ʃ cWƩW
En este caso x, y, z representan las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo compuesto.
a, b, c representan las coordenadas del centro de gravedad de cada parte componente del cuerpo.
ƩW es la suma de los pesos de todas las partes componentes del cuerpo, o simplemente el peso total de cuerpo.
Cuando el cuerpo tiene densidad o peso específico constantes, el centro d gravedad coincide con el centroide del cuerpo. El centroide para líneas, áreas y volúmenes compuestos puede encontrarse usando la misma fórmula solamente debe cambiarse la W por L, A y B respectivamente.
PROCEDIMIENTO DE ANALISIS:
PARTES COMPONENTES:
Mediante un croquis divide el cuerpo u objeto en un número finito de partes componentes que tengan formas más simples.
Si una parte componente tiene un agujero o una región geométrica que no contenga material, entonces considérala sin el agujero y a este como una parte componente adicional con peso o tamaño negativos.
BRAZOS DE MOMENTO:
Establezca los ejes coordenados sobre el croquis y determine las coordenadas a, b y c del centro d gravead o centroide de cada parte.
SUMATORIAS: Determine x, y, z aplicando la ecuación del centro de gravedad o la
fórmula del centroide ya dada. Si un objeto es simétrico a un eje su centroide se encuentra sobre
este eje.
TEOREMA DE PAPPUS Y GULDINUS
Estos teoremas fueron formulados primero por el geómetra griego Pappus
durante el siglo III después de Cristo y fueron replanteados posteriormente por
el matemático suizo Guldinus o Guldin (1577-1643), se refieren a superficies y
cuerpos de revolución. Una superficie de revolución se genera mediante la
rotación de una curva plana con respecto a un eje fıjo. Por ejemplo en la figura
siguiente se puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco
semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie
de un cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC y se puede
generar la superficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un
círculo con respecto a un eje que no interseca a dicha circunferencia.
Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área plana
alrededor de un eje fıjo. Como se muestra en la fıgura siguiente, se puede
generar una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con
respecto al eje que se indica.
Teorema I:
El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva
generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha
curva al momento de generar la superficie.
Demostración: Considérese un elemento dL de la línea L (figura siguiente) que
rota alrededor del eje x. El área dA generada por el elemento dL es igual a 2πy
dL. Por tanto, el área total generada por L es A=∫ 2πydL.
A=∫ 2πyL.
Donde 2πy es la distancia recorrida por el centroide de L (figura anterior). Se
debe señalar que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el cual rota; si
lo hiciera, las dos secciones, una a cada lado del eje, generarían áreas que
tendrían signos opuestos y el teorema no podría aplicarse.
Teorema II:
El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada
por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el
cuerpo.
Demostración Considérese un elemento dA del área A, el cual se rota con
respecto al eje x (figura siguiente). El volumen dV generado por el elemento dA
es igual a 2_y dA. Por tanto, el volumen total generado por A es V=∫2 πydA y,
puesto que la integral y dA es igual yA. Se tiene
V=2πyA
donde 2πy es la distancia recorrida por el centroide de A. Es importante señalar
que el teorema no puede aplicarse si el eje de rotación interseca al área
generatriz. Los teoremas de Pappus-Guldinus proporcionan una forma sencilla
de calcular las áreas de superficies de revolución y los volúmenes de cuerpos
de revolución. En forma inversa, estos teoremas se emplean para determinar el
centroide de una curva plana cuando el área de la superfıcie generada por la
curva es conocida o para determinar el centroide de un área plana cuando el
volumen del cuerpo generado por el área es conocido.
Algunos centroides de áreas de figuras conocidas
Centroide de líneas de formas conocidas
Ejemplo de desarrollo de centroides:
Problema 1: Para el área plana mostrada en la figura determine la ubicación
de su centroide.
Desarrollo.
Se realiza una tabla donde se separan areas conocidas para poder trabajar y
desarrollar el problema.
Después de realizar la tabla se dividen la sumatoria de “x” sobre la sumatoria
de AREAS (A mm2) para hallar el centroide en “X”, y para hallar el centroide en
“Y” se divide la sumatoria de “y” sobre la sumatoria de AREAS (A mm2). (LAS
ECUACIONES DE CENTROIDE).
El centroide se encuentra:
Problema 2: la figura mostrada esta hecha a partir de un pedazo de alambre
delgado y homogéneo, Determine su centroide de gravedad.
Lo primero que se realiza antes de desarrollar el problema anterior es escoger
o separar segmento por segmento y en este caso tenemos 3 segmentos AB, BC
,CA; después hallamos su longitud y su centroide en “x” y en “y”, los cuales los
colocamos en una tabla como en el problema anterior.
Después se realizan sumatorias de áreas, de distancias por longitud tanto en el
eje “x” como en el eje “y”, y se dividen para hallar el centroide (las ecuaciones
de centroide).
BIBLIOGRAFIA:
HIBBELER, R. C.
Mecánica vectorial para ingenieros. Estática.
Décima edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004
ISBN: 970-26-0501-6